MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1. 2 SISTEMA FINANCIERO Dentro de las finanzas encontramos el Sistema...

SISTEMA FINANCIERODentro de las finanzas encontramos el Sistema Financiero entendido como “aquel que permite transacciones de dinero entre inversionistas y prestatarios de una economía y que comprende todas las instituciones y mecanismos que las promueven y regulan”.

Para entender qué es el Sistema Financiero hay que empezar por decir que en toda economía hay personas, naturales o jurídicas, con exceso de liquidez y otros con déficit de liquidez.

Preparado por Gilberto Valencia Trujillo 3

SUPERINTENDENCIAFINANCIERA

SUPERINTENDENCIAFINANCIERA

AHORRADORES

Personas, EmpresasGobierno

Carteras colectivas

INVERSIONISTAS

PRESTATARIOS

Personas, EmpresasGobierno

EMISORES

INTERMEDIARIOS FINANCIEROS

Bancos, Corporaciones A y V., Corporaciones Financieras

Cías de Fin. Comercial, Cooperativas.

MERCADO DE VALORES

Bolsa de Valores, firmas comisionistas, mesas de dinero, Mercado OTC.

Financi

aci

ón d

irect

a

+ R

enta

bili

dad +

Rie

sgo

Financi

aci

ón Indir

ect

a

- R

enta

bili

dad -

Rie

sgo

Tasas de captación(tasa pasiva)

Tasas de captación(tasa pasiva)

Tasas de Colocación (tasa activa)

Tasas de Colocación (tasa activa)

Cuentas de ahorro, corrientes, CDTs,

Pagarés, sobregiros, Contratos, Hipotecas, Tarjetas de Crédito

Aceptaciones financieras

TES Bonos y papelescomerciales

Pagarés y contratos

Acciones Facturas

TitularizaciónCERTs

Cheques

Tit. Participación

Cert. Cambio

ESQUEMA BÁSICO DEL SISTEMA FINANCIEROESQUEMA BÁSICO DEL SISTEMA FINANCIERO

4

ELEMENTOS DEL SISTEMA FINANCIEROELEMENTOS DEL SISTEMA FINANCIERO

ACTIVOS: Son todos aquellos bienes que están en poder de personas o empresas y que permiten la obtención de beneficios económicos.

(todas las empresas que generan utilidades necesariamente no son rentables.

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ELEMENTOS DEL SISTEMA FINANCIEROELEMENTOS DEL SISTEMA FINANCIERO

Los activos se dividen en dos: activos reales (edificios, good will) y activos financieros (papeles) se encuentran en mercado primario y secundario , estos se dividen en mercados de dinero ( corto plazo) y mercados de capital (largo plazo).

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INVERSIÓNINVERSIÓN

Proceso mediante el cual una persona asigna unos recursos HOY con la esperanza (se traduce en certeza o incertidumbre) de que MAÑANA me devuelvan lo que invertí más un beneficio. Éste depende de la inversión que se haga: CDT, Acciones.

En toda inversión hay un sacrificio con el propósito de recibir en un futuro un beneficio

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INVERSIONISTAINVERSIONISTA

Es quien realiza el acto de invertir.

8

Ren

dim

ient

o

Conservador

ConservadorModerado

Moderado

AgresivoAgresivoModerado

¿CUÁL ES EL PERFIL DEL CLIENTE?¿CUÁL ES EL PERFIL DEL CLIENTE?

Nivel de riesgo

PREOCUPACIONES DEL PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTAINVERSIONISTA

Rentabilidad (CUIDADO): Entendida como la variación porcentual del capital invertido en un plazo establecido.(siempre expresada en porcentaje)

• Beneficio financiero asociado a una inversión. • Incluye valorización y rendimientos• Permite comparar inversiones comparando sus rentabilidades

La diferencia monetaria entre la inversión inicial y el monto La diferencia monetaria entre la inversión inicial y el monto final obtenido la definimos como UTILIDADfinal obtenido la definimos como UTILIDAD

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Riesgo: Probabilidad de obtener en una inversión una rentabilidad inferior a la esperada, e incluso perder un porcentaje del capital invertido.• Siempre está latente en cualquier inversión. • Existen inversiones con más riesgo que otras. • (CDT vs Acciones).• La percepción de riesgo es diferente para cada persona.

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Riesgo (Continuación)

Clasificación:

Diversificable ( no sistemático)

Afecta un solo sector de la economía

Se logra controlar con la diversificación

No Diversificable ( Sistemático)

Afecta toda la economía

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EL RIESGO SE DIVIDE EN:EL RIESGO SE DIVIDE EN:

Riesgo no sistemático: Riesgo de incumplimiento

Riesgo de moneda

Riesgo de sector

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Riesgo sistemático: Riesgo de mercado

Riesgo de tasa de interés

Riesgo país

Riesgo de reinversión.

Riesgo de inflación

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EL RIESGO SE DIVIDE EN:EL RIESGO SE DIVIDE EN:


Una forma de minimizar el riesgo es diversificando: (funciona sólo en los no sistemáticos)

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SUGERENCIA:

Constituya portafolios de inversión y así disminuirá su riesgo.

¿QUÉ ES UN PORTAFOLIO DE ¿QUÉ ES UN PORTAFOLIO DE INVERSIÓN?INVERSIÓN?

Una combinación de activos financieros poseídos por una persona natural o jurídica.

Un portafolio de inversión es diversificado cuando en el conjunto de activos se combinan títulos con rentabilidades, emisores, modalidades de pago de intereses y riesgos diferentes

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Aumentarla rentabilidad

Disminuir el Riesgo

EL RETO

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Liquidez : Hace referencia a la rapidez con la que un inversionista recibe utilidades de su inversión, puede entenderse de dos maneras:

1. Rapidez con la que una inversión entrega dinero en efectivo al inversionista

2. Es la facilidad de vender la inversión en corto tiempo.

REFLEXIÓN

• El inversionista racional busca inversiones con alta rentabilidad, bajo riesgo y líquidas.

• Esa combinación es la ideal, lo difícil es encontrarla

• Las empresas pueden estar solidas más no liquidas

Para una empresa, la liquidez, se entiende como la

capacidad que tiene esta para generar efectivo a corto plazo, con el fin de cumplir

con los compromisos de corto plazo.

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EJEMPLO

Rentabilidad: La cría de la vaca.

Riesgo: que se roben ó se muera la

vaca.

Liquidez: la leche (diaria) de la vaca

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1)VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Un peso de hoy tiene más valor que un peso de mañana

PRINCIPIOS PRINCIPIOS FUNDAMENTALESFUNDAMENTALES

20

Supongamos que un familiar suyo lo aprecia mucho, por tal motivo le quiere regalar un millón pesos y le propone dos opciones: entregárselos hoy o dárselos dentro de un año. ¿Cuál opción escogería usted?

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

La respuesta es obvia!!!

Todos sabemos que hoy!!!, ¿pero porqué?

a) Dentro de un año con el millón de pesos no puedo comprar lo mismo que compro hoy.

b) Si tengo el millón de pesos, lo puedo invertir a una tasa de interés y obtener más dinero.

c) Mejor recibo esa plata ahora, no sea que mi tío no la tenga no la tenga dentro de un año (… o se muera… o se arrepienta).

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Veamos cuando se utilice en el mundo financiero

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• Elevación del nivel general de los precios, ello implica perdida del poder adquisitivo. Por lo tanto el dinero se desvaloriza debido a la inflación.

Para cualquier inversionista es fundamental considerar la inflación que se producirá en el período de su inversión, ya que esta inflación deteriora la capacidad de compra del valor futuro que obtendrá. INTERÉS REAL.

INFLACIÓN - DEFLACIÓNINFLACIÓN - DEFLACIÓN

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Perdida o aumento del valor de una una moneda con respecto a otra.

La devaluación estimula las exportaciones y desestimula las importaciones ¿por qué?

DEVALUACIÓN - REVALUACIÓNDEVALUACIÓN - REVALUACIÓN

25

DEVALUACIÓN - REVALUACIÓNDEVALUACIÓN - REVALUACIÓN

26

0

$US

000.2$TC0

$US

950.1$TC1

Si la TC1 > TC0 Hay Devaluación

Si la TC1 < TC0 Hay Revaluación

1

INTERÉSINTERÉS

SIMBOLO DEL INTERÉS ( I):

Interés = Monto pagado – Valor del préstamo

Interés = Monto recuperado - Inversión27

El interés es el pago que se hace por el uso del dinero de un capital (que se presta o se lo prestan, o que se aporta), en un tiempo determinado

Cantidad de dinero que excede a lo prestado o invertido.

TASA DE INTERÉSTASA DE INTERÉS

Parte proporcional expresada como porcentaje que el dueño del capital cobra a quien lo utiliza por el servicio prestado en un plazo dado.

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INTERÉS Y TASA DE INTERÉSINTERÉS Y TASA DE INTERÉS

1) se invirtieron $10´000.000 el 17 de mayo y se retira un total de $10´600.000 un año después. Calcular el interés ganado sobre la inversión inicial y la tasa de interés o rendimiento de la inversión.

Solución:

interés = 10´600.000 - 10´000.000 = $ 600.000

* 100% = 6 % anual600.000 por año 10´000.000

Tasa de interés =

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a. El riesgo: Posibilidad de no obtener la utilidad la utilidad esperada en una inversión o aun perder el capital invertido. Es mejor pájaro en mano que ciento volando.

b. El costo de oportunidad: La rentabilidad que se deja de percibir al excluir una alternativa de inversión y elegir otra con similares características.

El valor del dinero en el tiempo debe tener en cuenta:

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Retomando la definición del interés como el pago que se hace por el uso del dinero en el tiempo, tenemos que el interés, ADEMÁS,

debe compensar los tres factores: la inflación, el costo de oportunidad y el riesgo.

EjemploUsted tiene un millón de pesos y decide prestarle la plata, por un año, a una tía suya que comercia con oro y que le dice que le reconocerá el 25% anual. Suponga una inflación del 7.75% EA, el banco le reconoce el 3% anual, CDT le ofrece 10% EA. No necesita el dinero hasta dentro de un año. (liquidez)

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ANALICEMOS ESTE EJEMPO A LA LUZ DE LOS TRES ELEMENTOS

Inflación: 25% EA - 7.50% EA = 17,50% EA (Tía) 10% EA - 7.50% EA = 2,50% EA (CDT) 3% EA - 7.50% EA= - 4.50% EA (Banco)

Costo de oportunidad: 25% EA> 10% EA> 3% EA

Riesgo: a mayor riesgo se debe buscar más tasa. (ojo con las tasas altas) donde la normal es la tasa más baja.De eso tan buen no dan tanto. Indagar, buscar información.

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Dos cantidades de dinero ubicadas en diferentes momentos en el tiempo son equivalentes si al trasladarlas al mismo momento, se hacen iguales en magnitud.

$ Q0

$ Q1

Interés: i %0 1

$ $ Qo y $ Q1 son equivalentes a una tasa de interés i %.

2) PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

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ENUNCIADO

$100.000 hoy son equivalentes a $120.000 dentro de un año a una tasa del 20% anual.

=

$100.000

$120.000

20% AV0 1 año

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Las personas y los agentes económicos siempre buscarán maximizar beneficios y reducir costos para un nivel de riesgo dado

Si se tiene disponible una cantidad de dinero, existe la posibilidad de encontrar en el mercado financiero una tasa de interés mayor que la inflación (tasa real positiva).

3) PRINCIPIO LA RACIONALIDAD FINANCIERA DE LOS AGENTES

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CARACTERÍSTISCAS DE LOS CARACTERÍSTISCAS DE LOS MERCADOS ACTUALESMERCADOS ACTUALES

•Volatilidad : Inestabilidad en tasas de interés.•Desintermediación: Buscar reducir costos.•Globalización: Noticias inmediatas.•Tasa de oportunidad: Decisión de tomar una u otra alternativa. Se busca la que se cree que es mejor.

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MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS FINANCIERASFINANCIERAS

DEFINICIÓN:

• Conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el análisis, comparación y evaluación financiera de proyectos.

• Es una herramienta de decisión por medio de la cual se podrá escoger una alternativa entre varias como la más económica de todas.

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MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS FINANCIERASFINANCIERAS

Es un rama de las matemáticas que se apoya en la aritmética. (ecuaciones de primer grado, potenciación radicación y logaritmos).

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SÍMBOLOS Y SIGNIFICADOSSÍMBOLOS Y SIGNIFICADOS

Cada autor maneja sus propios símbolos, por eso vamos a poner en la mesa un lenguaje común.

$ 350 $ 380 $X $ 100

0 1 2 3 4 meses

$ 1.000 i = 2% MV $ 50

Periodos y subperiodos (calendario 365 -360)Ingresos – egresos (principio - final)Convenciones (vp, vf, n, i, pago)

Línea de tiempo

Final del periodo 1,

principio del 2

Final del periodo 4

principio del 5

Principio del periodo 1

Final del periodo 3

principio del 4

vp

vf

n

i

39

SÍMBOLOS Y SIGNIFICADOSSÍMBOLOS Y SIGNIFICADOS

CARACTERÍSTICASTodo el conjunto se llama

Flujo de cajaPrincipio y final del períodoNo se pueden restar o sumar

valores que no estén en el mismo período, para poder hacerlo se utilizarán herramientas matemáticas que son objeto del curso.

40

0 3

$100

20% EA 4 años

105150

100

0 3

$100

20% EA 4 años

10550

INTERÉS SIMPLEINTERÉS SIMPLE

Los intereses no se capitalizan. Se calculan con base en la inversión inicial o el saldo insoluto.

CARACTERISTICAS DEL INTERÉS SIMPLE:•El capital permanece constante (insoluto)•La tasa de interés siempre es la misma•Los intereses calculados siempre son los mismos

43


0 1 2 3 4

$100

Años

$20$20 $20 $20

$100 $100 $100 $100

$100 $120 $140 $160 $180

20% EA

F1 F2 F3 F4

44


0 1 2 3 4

P

Pi

P + Pi

P+ Pi

Pi

P

P + P i + P i

P + 2 P i

P

P i P i

P + P i + P i + P i

P + 3 P i

P

P + P i + P i+ P i + P i

P + 4 P i

P

i

F1 F2 F3 F4

F4 = P + 4 P i Fn = P(1+ni)ENTONCES

45


2) se prestan $1.000 al 14 % anual, por 12 años ¿Cuánto dinero se debe al cabo de tres años si se utiliza interés simple?.

Solución:

F = P(1+(ni))

F3 = $1.000 (1 + (3x 0.14))

F3 = $1.420

Se debe al cabo de 3 años $1.420

46

1.000

14% ANUAL

3 AÑOS

1.420

12 AÑOS0

?

FACTORES DE PAGO ÚNICOFACTORES DE PAGO ÚNICOINTERÉS SIMPLEINTERÉS SIMPLE

VFn = VP ( 1 + ni)

VP = VF .

(1 +( n x i))

i = VF -1 x 1

VP n

n = VF -1 x 1

VP i

Encuentra el valor futuro

Encuentra el valor presente

Encuentra la tasa de interés

Encuentra el número de períodos

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INTERÉS COMPUESTOINTERÉS COMPUESTO

Se calcula con base en el saldo al principio del período. Los intereses generan intereses, es decir, se capitalizan.

•Capitalización•Período de capitalización•Período de pago•Anatocismo

48


0 1 2 3 4

$100

Años

$24$20 $28,8 $34,56

$120 $144 $172,80 $207,36

$100 $120 $144 $172,80 $207,36

20% EA

49


0 1 2 3 4

P

Pi

P(1 + i)

( P+ Pi)

P(1 + i) i

P(1 + i)

P(1+i) + P(1 + i) i

P(1 + i)2

P(1 + i)2

P(1 + i)2 i P(1 + i)3 i

P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i

P(1 + i)3

P(1 + i)2

P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i

P(1 + i)4

P(1 + i)3

i

F1 F2 F3 F4

F4 = P(1+i)4Fn = P(1+i)nENTONCES

50


0 1 2 3 4

P

Pi

P(1 + i)

( P+ Pi)

P(1 + i) i

P(1 + i)

P(1+i) + P(1 + i) i

P(1 + i)2

P(1 + i)2

P(1 + i)2 i P(1 + i)3 i

P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i

P(1 + i)3

P(1 + i)2

P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i

P(1 + i)4

P(1 + i)3

i

F1 F2 F3 F4

F4 = P(1+i)4 = P (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

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CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO:

•El capital inicial cambia cada período por efecto de la capitalización de los intereses• La tasa de interés es igual para cada período• Los intereses ($I) calculados son diferentes para cada período

F = P(1+i )n Fórmula •Factor que nos permite calcular la equivalencia entre dos cantidades ubicadas en diferentes momentos.• F es equivalente a P a una tasa de interés i %

• (1+ i)n Es conocido como factor de capitalización

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0

$100

20% EA 4 años

207,3600

Teniendo vp ,i , n puedo conseguir vf

n)i1(vpvf

A partir de esta fórmula, se pueden despejar las otras tres.

n)i1(vpvf

Esta fórmula tiene cuatro variables

0

$100

20% EA 4 años

207,3600

Si tengo vf , n, i puedo conseguir vp

ni1

vfvp

n)i1(vfvpo

0

$100

20% EA4 años

207,3600

Si tengo vf , vp, i puedo conseguir n

)i1log(vpvf

logn

)i1log(nvp

vflog

)i1(vp

vf

)i1(vpvf

n

n

0

$100

20% EA4 años

207,3600

Si tengo vf , vp, i puedo conseguir n

)i1log(

vp

vflog

n

0

$100

20% EA4 años

207,3600

Si tengo vf , vp, n puedo conseguir i

1vp

vfi

i1vp

vf

)i1(vp

vf

)i1(vpvf

n

1

n

1n

n

1

n

n

0

$100

20% EA4 años

207,3600

Si tengo vf , vp, n puedo conseguir i

1vp

vfi

n

1

FACTORES DE PAGO ÚNICOFACTORES DE PAGO ÚNICOINTERÉS COMPUESTOINTERÉS COMPUESTO

Si se desconoce el valor futuro:

Si se desconoce el valor presente:

Si se desconoce la i:

Si se desconoce la n:

62

n)i1(vpvf

ni1

vfvp

1vp

vfi

n

1

)i1log(

vp

vflog

n

INTERÉS SIMPLE VS COMPUESTOINTERÉS SIMPLE VS COMPUESTO

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BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍAAgudelo, Diego; Fernández, Andrés. Elementos básicos de

matemáticas financieras. 2001. Documento Guía. Esquema Básico.Adaptación acetatos curso ingeniería económica de Universidad de

Antioquia.Adaptación de guía elaborada por el profesor Gilberto Valencia T.

(Universidad EAFIT).Baca Currea, Guillermo. Ingeniería económica, 2007. Octava

edición. Fondo Educativo panamericano

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