Matematicas financieras,

Ingeniería EconómicaMatemáticas FinancierasIngeniería EconómicaMatemáticas Financieras

Profesor: Pablo Diez BennewitzDepto de Industrias – UTFSM

Profesor: Pablo Diez BennewitzDepto de Industrias – UTFSM

Son herramientas matemáticas de decisión

para comparar racionalmente alternativas

económicas, de modo de seleccionar la

más conveniente

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Se evalúan aspectos

económicos de diferentes

opciones, las que cumplir

un mismo objetivo

Es el traspaso del derecho al uso de un bien por

parte de una persona natural o jurídica que goza

de tal derecho y que renuncia a ese uso, a favor

de otra persona natural o jurídica, la cual lo

adquiere por un plazo específico o no

CRÉDITO

Bien o recurso económico circulable, cuyo uso o

posesión, ocasiona un costo o un beneficio,

cuya magnitud depende tanto de la valoración

que se le dé, como del tiempo de usufructo de

dicho bien

DINERO

Supóngase el problema de decidir entre

dos alternativas mutuamente excluyentes:

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

• Recibir hoy día $100.000

• Recibir $100.000 dentro de un año más

¿ Cuál alternativa preferiría usted ?


Los motivos para preferir la primera alternativa son:

• La pérdida del poder adquisitivo

Debido a la existencia de inflación, con $100.000

disponibles hoy, es posible adquirir más bienes

y servicios que con $100.000 dentro de un año

• El riesgo

Más vale tener $100.000 seguros hoy que poseer

una promesa de recibir $100.000 en un año más


Los motivos para preferir la primera alternativa son:

• Los usos alternativos del dinero

Con $100.000 colocados a trabajar hoy, es

posible tener más de $100.000 dentro de un año

Es la renta que se paga por el uso del dinero

tomado en crédito (punto de vista del deudor), o

bien, es la renta que se cobra por renunciar al

uso del dinero otorgado en préstamo (punto de

vista del acreedor)

INTERÉS

INTERÉS

Por lo tanto:

Interés = Monto Final – Monto Inicial

Por ejemplo, si se solicita

un préstamo de $100.000

y se devuelven $105.000,

entonces el interés

pagado es de $5.000

Es el porcentaje del monto inicial de un crédito,

en un instante de tiempo específico

TASAS DE INTERÉS

Por ejemplo, con un monto inicial de $100.000

e intereses de $5.000, se desprende que:

Tasa de Interés (%) =Monto del crédito

Interésx 100

Es la ganancia o rentabilidad de la mejor

alternativa desechada o sacrificada al asignar

un bien o recurso a un uso específico,

existiendo usos alternativos rentables para

ese mismo bien o recurso

COSTO DE OPORTUNIDAD

Existen tres únicas y mutuamente excluyentes

alternativas para invertir $250.000 a un mes

plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo

EJEMPLO 1

• Realizar el depósito en un banco, que ofrece

pagarle a fin de mes un interés de $2 por cada

$100 depositados

• Colocar el dinero en una alternativa que

reporta un interés de $4.750 al final del mes

EJEMPLO 1

• Colocar el dinero en un fondo que reporta, a fin

del mes, un interés de $0,25 por cada $100 del

depósito previamente reajustado por inflación

1.Determine cuál sería la mejor alternativa, si se

estima una tasa de inflación mensual del 1,6%

2.Obtenga la ganancia (en $), la tasa de

rentabilidad (sobre $) de cada alternativa y el

costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa),

al seleccionar cada una de las alternativas

3.Encuentre a partir de cuál tasa de inflación

(mínima o máxima) se entraría a modificar la

respuesta en 1.

EJEMPLO 1

FACTORES DE LOS QUE DEPENDE EL INTERÉS

• Capital: Es la suma de dinero originalmente

prestada o la parte de ella que aún resta por

pagar (capital insoluto o impago). El capital

insoluto depende, a su vez, de la forma de pago

• Tiempo (n): Extensión donde se calcula el interés

• Tasa de interés (i): El interés por unidad de

tiempo, expresado como tanto por ciento o tanto

por uno, del capital sobre el cual se devenga

TIPOS DE INTERÉS

Interés

Nominal

Interés

Real

Se devenga sobre el capital

no reajustado por inflación

Se devenga sobre el capital

reajustado por inflación

TIPOS DE INTERÉS

Interés

Vencido

Interés

Anticipado

Se cobran los intereses al

final del período en que se

ha usado el capital

Implica el cobro de los

intereses de un período, a

inicios de dicho período

TIPOS DE INTERÉS

Interés

Simple

Interés

Compuesto

Los intereses se calculan

sólo sobre el capital

insoluto o saldo de capital

Los intereses se calculan

sólo sobre el saldo insoluto

o saldo de la deuda

Es el saldo de deuda vigente en un instante

específico, conformado por el capital insoluto

vigente y la totalidad de los intereses

devengados y no pagados hasta ese momento,

de acuerdo a la modalidad del crédito

SALDO INSOLUTO

De esta manera, en el

interés compuesto se

devengan intereses

sobre intereses

2 ahorrantes depositan a un mes plazo su dinero

en un banco, quien se compromete al cabo de un

mes, mediante un pagaré, a devolverles a cada

ahorrante el capital y los intereses respectivos

EJEMPLO 2

El ahorrante A depositó $180.000 y tras un mes

retiró los intereses, volviendo a depositar sólo el

capital por otro mes. El ahorrante B depositó

$180.000 y al cabo de un mes depositó por otro

mes todo el dinero retirado del primer depósito

En los dos meses (de 30 días) relevantes, el banco

aplica tasa de interés del 1% mensual para ahorros

EJEMPLO 2

1.Calcule el capital insoluto de la deuda del banco

con el ahorrante A y con el ahorrante B, al cabo

de los primeros 15 días y al comienzo de la

última semana del lapso relevante

2.Calcule el saldo insoluto a favor del ahorrante A

y del ahorrante B, al final del primer mes y al

final del segundo mes, respectivamente

Es la representación gráfica de los flujos de

efectivo trazados en una escala de tiempo

DIAGRAMAS ECONÓMICOS

Consta de una línea horizontal, dividida en

intervalos de tiempo, además de flechas

verticales que representan los ingresos y

egresos

GRÁFICO REPRESENTATIVO DE MOVIMIENTOS ECONÓMICOS

Tiempo

Egresos

Valor Presente

Ingresos

0 1 2 3 n ………….....

El valor futuro (VF) alcanzado por un capital (valor

presente – VP) al final de un período dado, a una

tasa de interés conocida, es ese capital más los

intereses devengados a esa tasa de interés y

acumulados sobre él en ese período

VALOR FUTURO

Se tiene que:VF VP + Intereses=

VALOR FUTUROA INTERÉS SIMPLE

Tiempo

VF

0 1 2 n – 2 n – 1 n ……….

VP • Interés en 1ª unidad de tiempo: VP ● i• Interés en 2ª unidad de tiempo: VP ● i

• Interés en nª unidad de tiempo: VP ● i

…..

…..

i

VALOR FUTUROA INTERÉS SIMPLE

Por ende, el interés simple acumulado a una

tasa de interés fija sobre un capital fijo, es:

Intereses = n ● VP ● i

Luego, el valor futuro a interés simple es:

VF = VP + Intereses = VP + ( n●VP●i )

VF = VP ● ( 1 + i ● n )

VALOR FUTUROA INTERÉS COMPUESTO

Tiempo

VF

0 1 2 n – 2 n – 1 n ……….

VP • VF en 1ª unidad tiempo: VP + (VP●i)• VF en 2ª unidad tiempo: VP(1+i) + VP(1+i)i• VF en 3ª unidad tiempo: VP(1+i)2 + VP(1+i)2i

• VF en nª unidad tiempo: VP(1+i)n-1 + VP(1+i)n-1i

… …

i i i i i


Tiempo

VF

0 1 2 n – 2 n – 1 n ……….

VP • Valor futuro en 1ª unidad tiempo: VP ● (1 + i)• Valor futuro en 2ª unidad tiempo: VP ● (1 + i)2

• Valor futuro en 3ª unidad tiempo: VP ● (1 + i)3

• Valor futuro en nª unidad tiempo: VP ● (1 + i)n

… …

i i i i i


En definitiva,

Valor futuro en nª unidad de tiempo:

VP(1+i)n-1 + VP(1+i)n-1i = VP(1+i)n

VF = VP ● ( 1 + i )n

Una persona A deposita $250.000 durante 6

meses, a una tasa de interés simple del 6%

trimestral y retira todo el dinero al final de ese

lapso

EJEMPLO 3

Otra persona B coloca $90.000 a

interés simple durante 6 meses y

retira todo el dinero (exactamente

$101.880) al fin de ese lapso

1.Calcule el monto retirado por la persona A, a fin

de los 6 meses

2.Obtenga la tasa de interés mensual simple para

la persona B durante los 6 meses

3.Determine cuál ahorrante consigue una mejor

tasa de interés

EJEMPLO 3

Se requiere obtener en préstamo un capital de

$800.000, a 2 años plazo, con un pago único al

vencimiento. Se tiene para ello 3 alternativas de

tasas de interés mutuamente excluyentes

EJEMPLO 4

A. 60% Anual con capitalización anual

B. 60% Anual con capitalización semestral

C. 60% Anual con capitalización mensual

Halle el monto a pagar al vencimiento del crédito

en cada alternativa y determine la mejor opción

A mayor frecuencia de capitalización de la tasa

de interés dentro del período relevante, mayor es

el interés que se devenga

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN

En el ejemplo anterior se tiene que en A) la

frecuencia anual es 1, en B) es 2 y en C) es 12

Obs: si hay un solo período de capitalización, no

existe diferencia entre interés simple y compuesto

Una persona tenía un depósito a interés, cuyo

monto alcanzaba a $630.000 en el momento de la

última capitalización. Esa cantidad fue colocada

luego durante 27 meses, a una tasa de interés del

40% anual compuesto con capitalización semestral

EJEMPLO 5

Obtenga el valor futuro

devengado al final del

mes número 27

INTERÉS EFECTIVO Y NOMINAL

La tasa de interés nominal (r) significa aparente o

pretendida, pues si hay interés compuesto con

más de un período de capitalización, no se

condice con el interés efectivo del crédito

La tasa de interés efectiva (i)

es aquella que mide en

concreto el interés otorgado

o cobrado

INTERÉS EFECTIVO Y NOMINAL

Por ejemplo, $1000 depositados al 10% anual

con capitalización semestral (nominal)

Tasa de interés en cada semestre = 0,1 / 2 = 0,05

1.000 1.050

5%

1.102,5

5%

Equivalente a una tasa de interés anual del 10,25%

En general, es posible calcular una tasa de

interés efectiva a partir de una tasa de interés

nominal, por medio de la siguiente ecuación:

CONVERSIÓN DE UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVA

i = 1 +rm

– 1

Donde m: Número de capitalizaciones que ocurren

dentro del período que dice la tasa nominal

m

CONVERSIÓN DE UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVA

En el ejemplo anterior:

i = 1 +rm

– 1 = 1 +m 0,1

2

2

i

– 1

= 0,1025

CONVERSIÓN DE TASAS EFECTIVAS

(1 + iA) = (1 + iS)2 = (1 + iT)4 = (1 + iM)12 = (1 + iD)365

Donde:

• iA : Interés anual efectivo

• iS : Interés semestral efectivo

• iT : Interés trimestral efectivo

• iM : Interés mensual efectivo

• iD : Interés diario efectivo

Se sabe que la ecuación:

INTERÉS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONES

CONTINUASi = 1 +

rm

– 1 m

Sirve para convertir una tasa

de interés nominal en efectiva

Sin embargo, cuando hay capitalizaciones

continuas, es decir cuando m tiende al infinito,

sirve la siguiente estimación:i = er – 1

Por ejemplo, un banco aplica a los préstamos una

tasa de interés del 15% anual con capitalización

en segundos

¿ Cuál sería la tasa de interés efectiva ?

…. m es muy grande !!! m tiende a

Luego: i = e0,15 – 1 = 0,16183 = 16,183%


CONTINUAS

∞

Calculando la tasa efectiva con precisión:

m = 365●24●60●60 = 31.536.000

Se llega a:

i = 1 +0,15

31.536.000– 1

31.536.000

= 0,16196

La diferencia entre la estimación y el valor preciso

empieza en el 4° decimal (2° si es con porcentaje)


CONTINUAS

VALORES EQUIVALENTES

Dos o más cantidades de dinero, expresadas en

una misma unidad monetaria, son equivalentes

entre sí, dada una tasa de interés, si y sólo si en

una fecha común llamada fecha focal, sus valores

capitalizados (montos) y/o sus valores

descontados (valores actuales) a esa tasa de

interés, resultan iguales entre sí

FECHA FOCAL

Es una fecha común de referencia, ubicada dentro

del lapso en que se considera pertinente la tasa de

interés usada en el cálculo de las equivalencias

Por lo tanto, la elección de la

fecha focal no debiese alterar

las equivalencias

ECUACIÓN DEVALORES EQUIVALENTES

Es una ecuación financiera que, en una fecha y a

una tasa de interés conocidas, involucra sólo a

los valores equivalentes de distintas sumas de

dinero

A una empresa le resta por pagar las dos últimas

cuotas de un crédito: $12.000 dentro de 3 meses y

$18.000 dentro de 9 meses

EJEMPLO 6

Si quisiera liquidar anticipadamente la deuda, hay

dos opciones mutuamente excluyentes:

1. Pagar $29.500 dentro de 5 meses

2. Pagar $31.400 dentro de 7 meses

Si en cada mes de los próximos tres trimestres,

los fondos de esta empresa tendrían una tasa de

rentabilidad del 2% mensual compuesto,

entonces decida cuál sería la opción más

conveniente para esta empresa

EJEMPLO 6

Una empresa a la que le restaba pagar sólo dos

cuotas de un crédito, renegoció la deuda con su

acreedor, sustituyéndose las dos cuotas de

$15.000 y $25.000, con vencimiento dentro de 3 y

5 meses respectivamente, por otras dos cuotas de

$R, con vencimiento dentro de 4,5 y 7,5 meses

respectivamente

EJEMPLO 7

La renegociación se hizo de una forma tal, que la

situación final es equivalente a la situación

original, dada una tasa de interés del 2,1%

mensual compuesto

EJEMPLO 7

Calcule $R mediante cálculo teórico en las

fracciones de período de capitalización, usando:

1. Fecha focal en el instante 5 (final del mes 5)

2. Fecha focal en el instante 7,5 (mitad del mes 8)

PAGOS PERIÓDICOS (PAYMENT)

Con frecuencia se reconocen pagos o ingresos de

tipo periódicos, tales como sueldos y salarios,

imposiciones, pensiones de jubilación, pagos de

arriendos, cuotas mensuales de créditos, etc

Payment es una sucesión de

valores monetarios de igual signo

e igual monto, por lo que los

pagos periódicos son constantes


Con una ecuación de valor equivalente al inicio:

Tiempo

0 1 2 3 n …………..

VP≈

PMT PMT PMT PMT…….....

PMT

(1 + i)1+

PMT

(1 + i)2+

PMT

(1 + i)3+

PMT

(1 + i)n+VP = ……..


PMT(1 + i)

jVP = ∑●

1= PMT

j = 1

n

(1 + i)n i●

●

(1 + i)n – 1

Despejando PMT se obtiene:

VP=PMT(1 + i)n i

●●

(1 + i)n – 1

FRC: Factor de recuperación del capital


Recordando que VF = VP ● ( 1 + i ● n )

Es posible relacionar PMT con el valor futuro:

VF=PMTi

●(1 + i)n – 1

SFF: Factor de amortización del capital

Se depositan $50.000 cada fin de período mensual,

en una cuenta que paga una tasa de interés del

24% anual compuesto con capitalización mensual

EJEMPLO 8

Calcule el monto acumulado en la cuenta, en

cada uno de los siguientes casos:

1. Inmediatamente después del depósito n° 4

2. Inmediatamente después del depósito n° 36,

junto con hallar los intereses devengados en el

conjunto de los 36 meses involucrados

Sea una determinada cuenta que otorga

una tasa de interés constante del 36%

anual con capitalización mensual, a lo

largo de un período de 120 meses

EJEMPLO 9

Encuentre el monto acumulado en

la cuenta al final del mes n° 120,

en cada uno de los siguientes

casos:

1.El primer depósito se efectuó por $200 a inicios

del primer mes y posteriormente se depositan

$10 al comienzo de cada mes, desde el 2° mes

2.El primer depósito se realizó por $150 al término


$15 al final de cada mes, a contar del 2° mes

3.El primer depósito se hizo por $200 al empezar

el primer mes y posteriormente se depositan

$10 al final de cada mes, desde el mes n° 16

EJEMPLO 9

El primer depósito se realizó por $150 al término


$15 al principio de cada mes, desde el mes n° 16

EJEMPLO 9

4.

SIMULACIÓN

Una conocida multitienda ofrece para todos sus

clientes vacaciones, las que se permiten cancelar

de dos maneras mutuamente excluyentes: precio

contado y crédito en cuotas fijas

EJEMPLO 10

Determine la tasa de interés compuesta

y el valor que tendría un crédito en 6

cuotas fijas, si es que se opta por las

vacaciones de invierno en Punta Cana

¿ Sería esa una tasa de interés razonable ?

EJEMPLO 10

Otra alternativa es que los flujos de ingresos o

egresos varíen en el tiempo, ya sea en forma fija

(uniforme) o en cierto porcentaje (escalada)

GRADIENTES

Tiempo

0 1 2 3 n ……………

≈

F1…….....F2 F3 F4

Los flujos ya no son iguales en cada período

Tiempo

0 1 2 3 n ……………

≈P

……...

P + G

Se denomina P al valor base (que no cambia) y G

al aumento constante período a período

El aumento en los flujos es constante

P + 2GP + (n-1)G

GRADIENTE UNIFORME

GRADIENTE UNIFORME

Al aplicar una ecuación de valor equivalente que

lleve todos los flujos a valor presente, se llega a:

VP = P(1 + i)n i

●●

(1 + i)n – 1 +

–G

i

(1 + i)n – 1

(1 + i)n i●–

(1 + i)n

n

El primer término

equivale al PMT de

los flujos constantes

Signo positivo si el

gradiente es creciente,

negativo si es decreciente

Considere los siguientes flujos:

EJEMPLO 11

Con una tasa de interés

del 4% en cada período

Período Flujo

1 1.000 2 1.100 3 1.200 4 1.300 5 1.400

¿ Cuánto es el valor presente de los flujos ?

GRADIENTE EN ESCALADA

La variación en los flujos es en algún porcentaje

Tiempo

0 1 2 3 n ……………

≈P

……

..

P (1+E)P (1+E)2

P (1+E)n –

1

Donde E: porcentaje de aumento del flujo

GRADIENTE EN ESCALADA

Llevando a valor presente (instante 0) todos los

flujos, se obtiene la siguiente expresión:

VP =1 + i

●1 + E

E = 0,15

i = 0,1

P

Si se dice que los flujos aumentan

período a período en un 15% y

que la tasa de interés es del 10%

E – i– 1


EJEMPLO 12



Período Flujo

1 10.000 2 12.000 3 14.400 4 17.280 5 20.736

¿ Cuánto es el valor equivalente de

los flujos al finalizar el período 5 ?


EJEMPLO 13



Período Flujo

1 2.000 2 2.250 3 2.500 4 2.750 5 3.000 6 3.300 7 3.630 8 3.993

¿ Cuánto es el valor

presente de los flujos ?

INTERÉS INTERPERIÓDICO

Si es que algunos pagos se efectúan al interior

de los períodos de capitalización, deben

definirse las condiciones para los períodos de

capitalización

Por ejemplo, asumiendo capitalización anual:

Años

0

35 40

15

10

125


Condiciones para los períodos de capitalización:

1.No se paga interés sobre el dinero depositado

(o retirado) entre los períodos de capitalización

2.El dinero depositado (o retirado) entre períodos

de capitalización gana interés simple


A través del siguiente ejemplo, se reconocerá

cómo se hace el cálculo para ambas modalidades

El siguiente diagrama de flujos muestra

los depósitos y giros que realizó Jorge en

su cuenta de ahorros durante 12 meses

Calcule la cantidad de dinero que tiene Jorge al

final de los 12 meses, si el banco paga un interés

del 3% trimestral; para cada uno de los dos casos


Depósitos Giros

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 90 50 5030 30

50 20 70 70 40

Tasa de interés = 3% trimestral


Condición 1 para los períodos de capitalización:

1.No se paga interés sobre el dinero depositado

(o retirado) entre los períodos de capitalización

Los depósitos se consideran como si se

hiciesen al inicio del siguiente período de

capitalización, mientras que los giros se

consideran como efectuados al final del

período de capitalización anterior

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 90 50 5030 30

50 20 70 70 40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 90 + 50 50

50 20 + 70 70 + 40

30 + 30



Ahora se calcula la cantidad de dinero que, en

el caso 1., tendría Jorge al final de los 12 meses

VF12 40●(1 + 0,03)4 – 90●(1 + 0,03)3 + 140●(1 + 0,03)2 –

– 50●(1 + 0,03)1 + 50 94=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

40 140 50

90 50

=


Condición 2 para los períodos de capitalización:

Los depósitos realizados en un inter – período

ganan interés simple, llevando el monto al inicio

del siguiente período de capitalización. Los

giros, al igual que en el caso 1. se consideran al

final del período de capitalización anterior

El dinero depositado (o retirado) entre períodos de capitalización gana interés simple

2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 90 50 5030 30

50 20 70 70 40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 50 + 90(1 + 0,03 ) 50

50 20 + 70 70 + 40


30(1 + 0,03 ) + 30(1 + 0,03 )23

23

13


VF12 40●(1 + 0,03)4 – 90●(1 + 0,03)3 +

+ 50 97=

+ [ 30●(1 + 0,03 ) + (30●(1 + 0,03 ) – 110 ]●(1 + 0,03) +

=+ [ 50 + ( 90●(1 + 0,03 ) ]●(1 + 0,03)2 + 2

323

13

Luego se obtiene la cantidad de dinero que, en

el caso 2., tendría Jorge al final de los 12 meses

EJEMPLO 14

Calcule la cantidad de dinero al final de los 12

meses, si el banco paga un interés del 5%

cuatrimestral, si es que se paga interés inter –

periódico a los depósitos aunque no a los giros

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

100 10 40 20 10

20 50 30 30 20

AMORTIZACIÓN

Es aquella parte de la cuota de pago de

una deuda correspondiente a abonos

que disminuyen el capital insoluto

Cada cuota en que se cancela una deuda

contiene pagos de amortización (abonos

al capital insoluto) y de intereses

El pago de intereses es, en cada

pago, proporcional al capital insoluto

CRÉDITOS

El crédito principal es el monto que se adeuda,

que al final del plazo debe ser igual a cero

Es el monto periódico para cancelar la deuda,

que se compone de la amortización (pago de una

parte de la deuda) y los intereses (pago de los

servicios de la deuda)

CUOTA DEL CRÉDITO

Existen dos modalidades de

cuotas para pagar la deuda:

cuota fija (que es lo usual) o

amortización fija

CUOTA FIJA DEL CRÉDITO

¡¡ Es la ecuación de payment !!

Implica un desembolso constante a lo largo de

los años en que se pacta el crédito

VP=Cuota(1 + i)n i

●●

(1 + i)n – 1

EJEMPLO DE CRÉDITO

Valor del crédito = $ 4.000

Plazo = 4 años

Tasa de interés = 10 %

Obténgase el valor de las cuotas

para pagar el crédito: tanto en el

caso de amortización fija como en

el caso de cuota fija

Flujo de pagos amortización fija: (4.000/4) = $ 1.000

Año 1 2 3 4

Capital Insoluto 4.000 3.000 2.000 1.000

Intereses 400 300 200 100

Amortización 1.000 1.000 1.000 1.000

Cuota del crédito 1.400 1.300 1.200 1.100

AMORTIZACIÓN FIJA

AMORTIZACIÓN FIJA - CRÉDITO

En cada período se paga un monto fijo de

amortización, mientras que el pago de intereses

disminuye con cada sucesivo pago

Pago del créditoen el tiempo

Cuota del crédito

Fijo

Amortización

Intereses

Flujo de pagos con cuota fija:

Año 1 2 3 4

Capital Insoluto 4.000 3.138 2.190 1.147

Intereses 400 314 219 115

Cuota del crédito 1.262 1.262 1.262 1.262

Amortización 862 948 1.043 1.147

Valor futuro: VF = (4.000 (1,10 4) = $ 5.856,4

Cuota = (5.856,4 0,10) / ([1,10 4] – 1) = $ 1.261,9

• •

CUOTA FIJA


En los períodos iniciales (finales) se paga una

mayor (menor) proporción de intereses y una

menor (mayor) proporción de amortización


Intereses

Amortización

Cuota

Cuota del crédito


Intereses

Amortización

Cuota

El primer pago tiene altos intereses y

baja amortización

El último pago tiene bajos intereses y alta amortización


Cuota del crédito

PERÍODOS DE GRACIA

Independiente del método de pago, son períodos

en los que solamente se cancelan intereses, sin

abonos que reduzcan el capital insoluto

Se pacta un crédito de $1.000.000, a pagar en un

período de 3 años en cuotas anuales, con una

tasa de interés del 10% anual y 2 años de gracia

EJEMPLO 15

Calcule el pago de intereses y de

amortización, en cada cuota, tanto

con el método de cuota fija como

con el método de amortización fija

BONOS

Es un instrumento de deuda a largo plazo, emitido

por una corporación o entidad gubernamental,

con el propósito de conseguir el capital necesario

para financiar algún proyecto de inversión

BONOS

Se utilizan frecuentemente debido al mayor

atractivo que posee para el deudor y el acreedor,

pues la tasa de interés de los bonos suele

ubicarse dentro del margen de ganancia (spread)

que maneja el sistema financiero

SPREAD

icolocación

icolocación

icaptación

Tasa de interés

Spread

: es la tasa de interés

que cobran los bancos

cuando prestan dinero

donde:

icaptación : es la tasa de interés

que pagan los bancos

cuando reciben dinero

CONDICIONES DE PAGO

Se especifican al emitir los bonos e incluyen:

• Valor nominal del bono

• Tasa de interés del bono

• Fecha de vencimiento

Los intereses se pagan periódicamente

En la fecha de vencimiento se paga el interés

correspondiente más el valor nominal del bono

FLUJOS DE PAGO DE UN BONO

Tiempo

0 1 2 3 n ……………≈

I …..….........

I + Valor nominal

I I

Valor nominal

BONOS – MERCADO ABIERTO

Son documentos pagaderos al portador. Luego,

es posible comprarlos y venderlos en el mercado

abierto. Tanto el acreedor actual como el deudor

actual de un bono, quizás no lo sean mañana

BONOS – MERCADO ABIERTO

Por ejemplo, a usted le ofrecen un bono de $10.000

cuya tasa de interés es del 3% semestral y paga

los intereses semestralmente

Si la fecha de vencimiento es en 15 años,

¿ Cuánto pagaría hoy por el bono si desea

ganar un 4% de interés semestral ?

El pago de intereses semestral

es de: 10.000●0,03 = 300

Tiempo

0 1 2 3 30 ……………≈

300 …….........

300 + 10.000

300 300

VP

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO

Para resolver el ejemplo, debe hallarse VP

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO

Luego:

VP = Intereses(1 + i)n i

●●

(1 + i)n – 1

+(1 + i)

n

Valor nominal

VP = 300(1 + 0,04)30 i

●●

(1 + 0,04)30 – 1

+(1 + 0,04)

30

10.000

Obteniéndose 8.271VP =

BONOS DE MERCADO

Un ejemplo es un bono emitido por el Banco de

Chile, con las siguientes características:

• Valor nominal: 10.000 UF

• Tasa de interés: 6,5% anual

• Moneda de pago: el monto equivalente en pesos

• Reajuste: UF, unidades de fomento

• Período de maduración: 5 años

• Emisión: 5.000.000 UF en 2 series de 250 bonos de

• Transferencia: al portador 10.000 UF c/u

BONOS DE MERCADO

A usted le ofrecen un bono de valor nominal de 18

UF, con tasa de interés del 6% anual capitalizable

trimestralmente. Se pagan los intereses cada 6

meses y el plazo de maduración pendiente del

bono es de 15 años

EJEMPLO 16

Si usted compra hoy el bono, en 5

años más, después de retirar el 10°

interés devengado, usted estima que

es posible vender el bono en 26 UF

¿ Cuál es el monto máximo que usted pagaría

hoy por el bono si su tasa de descuento (costo de

oportunidad) es del 14,5% anual y lo vendería en

el año 5 inmediatamente después de retirar el 10°

interés devengado ?

EJEMPLO 16

INFLACIÓN

Con $1.000 de hoy no alcanzo a comprar la misma canasta de

bienes y servicios como lo hice en el año 2008 .....

Es debido a la inflación,ya que el valor del dinerodisminuye con el paso del tiempo, entregándose más dinero por menos bienes

CÁLCULOS DE VALOR FUTURO CONSIDERANDO INFLACIÓN

Se reconocen 4 diferentes posibilidades para la

cantidad de dinero futuro:

1. Cantidad real de dinero

2. Poder adquisitivo

3. Número de pesos de entonces requeridos

4. Ganancia de interés sobre inflación

No toma en cuenta la existencia de inflación

CANTIDAD REAL DE DINERO

Se limita sólo a calcular la cantidad de dinero que

se alcanzaría con un interés específico

El cálculo del valor futuro es de forma tradicional:

VF VP ● ( 1 + i ) n=

Usted deposita $100.000 en una cuenta de

ahorros con un 10% anual de interés por 8 años

CANTIDAD REAL DE DINERO

¿ Cuál sería la cantidad de dinero

que obtendría al finalizar los 8 años ?

VF = VP ● ( 1 + i ) n

VF = 100.000 ● ( 1 + 0,1 ) 8

VF = 214.359

PODER ADQUISITIVO

En el ejemplo de la diapositiva anterior, al cabo

de 8 años usted tendría más del doble del dinero

que depositó inicialmente

Sin embargo, probablemente no será posible

comprar el doble de bienes y servicios en

comparación con la situación inicial

Desde luego, en los 8 años los precios de los

bienes y servicios aumentan por la inflación

¿ Cómo es posible comparar el poder de compra

del presente con el poder de compra del futuro ?

Una solución es construir una ecuación de valor

equivalente que lleve a valor presente (V),

mediante la tasa de inflación (f), el valor futuro

(VF) obtenido con la tasa de interés (i)

PODER ADQUISITIVO

Llevando a valor futuro el depósito:

VF VP ● ( 1 + i ) n

Ahora el valor futuro (VF) se actualiza a su valor

presente (V) equivalente en el poder de compra

VP ● ( 1 + i ) n

( 1 + f ) n=

=

=( 1 + f )

n

VFV

PODER ADQUISITIVO

Representa la tasa (ir) a la cual el dinero presente

posee un poder adquisitivo equivalente al del

dinero futuro

TASA DE INTERÉS REAL

Tasa de interés real( 1 + f )

( i – f )ir =

Llegándose a

la ecuación:VP ● ( 1 + i )

n

( 1 + f ) n=V = VP ● ( 1 + ir )

n

Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros

con un 10% anual de interés por 7 años

EJEMPLO 17

Se espera que la tasa de inflación sea un 8% anual

Encuentre, a través de dos formas de cálculo

distintas, la cantidad de dinero que es posible

acumular con el poder de compra actual

NÚMERO DE PESOS DE ENTONCES REQUERIDOS

Comprar algo en una fecha futura necesita más

pesos de los requeridos ahora para dicha compra

Se calcula el valor futuro (VF) según:

VF VP ● ( 1 + f ) n=

Reconociéndose que los precios crecen

durante los períodos inflacionarios

GANANCIA DE INTERÉS SOBRE INFLACIÓN

Mantiene el poder de compra, añadiéndose la

ganancia de interés

Se utiliza la ecuación del caso número de pesos

de entonces requeridos, a la que posteriormente

se le agrega la ganancia de interés

VF VP ● ( 1 + f ) n

● ( 1 + ir ) n=

TASA INFLADA

Se define la tasa inflada (if):

if ir + ( ir ● f ) + f=

Cumpliéndose que:

VF VP ● ( 1 + f ) n

● ( 1 + ir ) n VP ● ( 1 + if )

n= =

Matematicas financieras,

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