Matematicas financieras AEAT

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Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras

2ª parte: Matemáticas Financieras

Capítulo 1. CAPITALIZACIÓNSIMPLE

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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Índice de contenidos Página

CAPÍTULO 1  CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3 

1.1 CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 31.1.1 Concepto 31.1.2 Cálculo del interés total 31.1.3 Cálculo del capital final 41.1.4 Cálculo del capital inicial 51.1.5 Cálculo del tanto de interés 51.1.6 Cálculo del tiempo 6 

1.2 TANTOS DE INTERES 71.2.1 Tantos equivalentes 71.2.2 Interés anticipado (Tanto de descuento) 8 

1.3 EL DESCUENTO 9

1.3.1 El descuento racional 101.3.2 El descuento comercial 111.3.3 El descuento de las letras de cambio 12 

1.4 EQUIVALENCIA DE CAPITALES 181.4.1 Principio de equivalencia de capitales 181.4.2 El capital común 181.4.3 El vencimiento común 221.4.4 El vencimiento medio 24 

1.5 LAS CUENTAS CORRIENTES 25 1.5.1 Concepto 251.5.2 Liquidación de las cuentas corrientes 26 

1.6 OTROS ACTIVOS FINANCIEROS 29

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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Capítulo 1 CAPITALIZACIÓN SIMPLE 

1.1 CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES

1.1.1 Concepto

Se denomina capitalización al cálculo de unos capitales generadores de interesesen un momento posterior a la inversión de estos.En el régimen de capitalización simple, el capital productor de intereses siemprees el mismo a lo largo de la duración de la operación, ya que los intereses que sevan produciendo en cada período no se acumulan al capital inicial, con lo que noafectan al cálculo de los intereses de los períodos posteriores. Como

consecuencia de esto, los intereses que se van generando en cada uno de losdistintos períodos han de ser iguales.Las leyes basadas en el interés simple suelen utilizarse en operacionesfinancieras con duración igual o menor al año. 

1.1.2 Cálculo del interés total

Como ya se ha comentado anteriormente, los intereses que se producen en cadaperíodo han de ser iguales, y su importe será el resultado de multiplicar el capitalinicial por el tipo de interés. Por tanto tendremos:

1er período: I1 = C0 × i2do período: I2 = C0 × i3er período: I3 = C0 × i

. .

. .n período : In = C0 × i

El valor del interés total será la suma de los intereses de todos y cada uno de losperíodos.

I = I1 + I2 + I3 + ….. + In 

Si sustituimos los valores de los intereses de cada período por su expresión enfunción del capital inicial y del tipo de interés obtendremos:

I = C0 × i + C0 × i + C0 × i + … + C0 × i

Como C0 × i se repite n veces, tenemos que el interés total será:

I = C0 × i × n

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 Ejemplo:

Se tiene un capital de 1.000 €, el cuál se quiere invertir durante 10 años a untanto del 10 % anual en una operación a interés simple. ¿Calcular los interesestotales que se obtendrán cuando transcurra dicho plazo?

C0 = 1.000 €n = 10i = 0,10

Aplicando la formula del interés total:

I = C0 × i × n = 1.000 × 0,10 × 10 = 1.000 €

1.1.3 Cálculo del capital final

Denominamos capital final o montante a la suma del capital inicial y de losintereses totales.

Cn = C0 + I

Vamos a sustituir en la expresión del capital final el interés total, poniéndolo enfunción del capital inicial, del tanto de interés y de la duración de la operación.

Cn = C0 + C0 × i × nSacando factor común C0 tendremos:

Cn = C0 + C0 × i × n = C0 × ( 1 + ( i × n ))

Cn = C0 × ( 1 + ( i × n ))

Ejemplo:

Se tiene un capital de 1.000 €, el cuál se quiere invertir durante 10 años a untipo de interés del 10 %. ¿Calcular el capital final que se obtendrá cuandotranscurra dicho plazo?

C0 = 1.000 €n = 10i = 0,10

Aplicando la formula del capital final:

Cn = C0 × ( 1 + ( i × n )) = 1.000 × ( 1+ ( 0,10 × 10 )) = 2.000 €

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1.1.4 Cálculo del capital inicial

Se puede calcular el capital inicial despejando C0 en la fórmula del capital final obien en la del interés total.

  En el primer caso tendremos:

Cn = C0 × ( 1 + ( i × n ))

C0 =n)(i1

Cn

×+ 

  Si despejamos C0 en la fórmula del interés total obtendremos:

I = C0 × i × n

ni

IC0

×=  

Ejemplo:

Transcurridos 10 años y a un tipo de interés del 10% obtenemos un capitalfinal de 3.000 € ¿Cuál fue el capital invertido inicialmente?

Aplicando la fórmula del capital inicial tenemos:

C0 =n)(i1

nC

×+=

10)(0,101

3.000

×+= 1.500 €

1.1.5 Cálculo del tanto de interés

Al igual que en el caso anterior, se puede calcular el tanto de interés despejando “i” bien en la fórmula del capital final o bien en la del interés total.

  En el primer caso tendremos:

Cn = C0 × ( 1 + ( i × n )) =C0 + C0 × i × n

Cn - C0 = C0 × i × n

i =nC

CC

0

0n

×

− 

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  Si despejamos “i” en la fórmula del interés total obtendremos:

I = C0 × i × n

i =nC

I

0 × 

Ejemplo:

Se invierten 1.000 € hoy y al cabo de 10 años se obtienen 2.500 € ¿Cuál es eltanto de interés aplicado en esta operación?

i = nCCC

0

0n

×

−= 101000

000.12.500×

−= 0,15 = 15%

1.1.6 Cálculo del tiempo

Para calcular el tiempo también vamos a partir de las dos fórmulas anteriores yde aquí y despejando la variable tiempo obtendremos que:

  Si partimos de la fórmula del capital final:

Cn = C0 × ( 1 + ( i × n ))

n =i

×

0

0n

C

  Si partimos de la fórmula del interés total:

I = C0 × i × n

n =i×0C

I  

Ejemplo:

Invirtiendo un capital de 1.000 € al 15% de interés obtenemos 2.500 €¿Cuánto tiempo estuvo impuesto dicho capital?

n =i

×

0

0n

C

C =15,01.000

000.12.500

×

−= 10 años

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1.2  TANTOS DE INTERES

1.2.1 Tantos equivalentes

La capitalización simple se emplea en aquellas operaciones financieras que son acorto plazo, es decir, con duración igual o inferior al año. Por ello los períodossuelen estar referidos a fracciones de año, mientras que los tantos suelenexpresarse con referencia anual, siendo necesario en este caso, adaptar launidad temporal de la duración o del tanto para que estén expresadas en lamisma unidad de tiempo.

Para adaptar el tanto o tipo de interés, debemos utilizar el concepto de tantoequivalente. Definiremos los tantos equivalentes como “Aquellos que referidos adistinta unidad de tiempo, producen los mismos intereses cuando se aplican al mismo capital por igual período de tiempo. O bien, diremos que dos o más tantosde interés son equivalentes, cuando al aplicarlos a un mismo capital durante unmismo período de tiempo obtenemos el mismo capital final.” 

Por tanto serán equivalentes un tanto anual i y otro referido a una fracción deaño ik si aplicados al mismo capital y por igual período de tiempo (expresado enaños para el primero de los casos y en fracciones para el segundo) producen elmismo interés total.

El interés total producido por la inversión de un capital C0 durante un año a untanto de interés anual i, es igual a:

I = C0 × i × n = C0 × i × 1

Si el interés se paga en una fracción de año k, el interés total producido en unaño será:

I = C0 × ik × k × n = C0 × ik × k × 1

Igualando ambas fórmulas obtenemos:

C0 × i × 1 = C0 × ik × k × 1

De donde:

Tomando como referencia un año k adoptará los siguientes valores:

2 cuando se refiera a semestres3 cuando se refiera a cuatrimestres

K= 4 cuando se refiera a trimestres12 cuando se refiera a meses

365 cuando se refiera a días

i = ik × k ik =

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C0 = Cn × ( 1 – d × n )

Ahora y para tratar de buscar la relación existente entre los intereses anticipados

y el tanto de interés por vencido, vamos a sustituir el valor que acabamos deobtener de C0 en la fórmula del montante o capital final:

Cn = C0 × ( 1 + i × n )

Cn = Cn × ( 1 – d × n ) × ( 1 + i × n )

Despejando d tenemos:

d =n)(i1

i

×+ 

Y de aquí obtenemos también el valor de i:

i =n)(d 1

×− 

Ejemplo:

¿Cuál será el tanto de interés anticipado equivalente a un tanto de interés porvencido del 12%?

d =n)(i1

i

×+=

0,121

0,12

+= 0,107142857

1.3  EL DESCUENTO

En la capitalización obtenemos el capital futuro producido por la inversión de uncapital presente, mientras que en el descuento sustituimos ese capital futuro porotro con vencimiento presente. El descuento es por tanto la operación inversa ala capitalización.Existen dos tipos de descuento, el racional y el comercial. Estos se diferencian enque en el primer caso utilizamos el tipo de interés y en el segundo un tipopactado, que es el tipo de descuento.

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1.3.1 El descuento racional

Para calcular el descuento racional, diferencia entre el capital a cobrar al final delperíodo pactado y el importe que realmente recibimos si se anticipa el cobro,utilizamos el tanto de interés. Este descuento hace que la operación financierasea reversible, esto es, que si el importe recibido o efectivo se impone a igualtanto de interés y por igual plazo obtendremos el mismo capital final, y por elcontrario, si descontásemos ese capital final al mismo tanto de interés e igualplazo obtendríamos el efectivo.

El descuento racional será la diferencia entre el valor final o nominal y el valordescontado o actual:

Dr = Cn - C0 = C0 × ( 1 + i × n ) - C0 

Deshaciendo el factor común:

Dr = C0 + C0 × i × n - C0

Simplificando, obtendremos la expresión del descuento racional o matemático:

Dr = C0 × i × n

Al tratarse del descuento, el valor conocido es el del capital final. Por tanto serámás útil expresar el descuento como:

Dr = Cn -n)(i1

Cn

×+ 

Operando, obtendremos la expresión del descuento racional en función delcapital final o nominal:

Dr =n)(i1

CCC nnn

×+

−××+ ni 

Dr =n)(i1

Cn

×+

×× ni 

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 Ejemplo:

Se desea anticipar el pago de una deuda que vence dentro de 5 años y queimporta 30.000 €. Si el pago se quiere realizar en el momento actual. ¿Quécantidad tendrá que abonarse sabiendo que el tanto de interés al que seconcierta la operación es del 10% anual? ¿Cuál será el importe del descuento?

Cn = 30.000 €

n = 5 años

i= 0,10

1º Vamos a calcular el efectivo que habrá de satisfacerse a día de hoy .

C0 =n)(i1

Cn

×+=

)5(0,101

30.000

×+= 20.000 €

2º Cálculo del descuento racional 

Dr = Cn – C0 = 30.000 – 20.000 = 10.000 €

1.3.2 El descuento comercial

En el descuento comercial se pacta un tanto de descuento es decir, se fija elimporte que deberá deducirse para cada unidad de capital por anticipar su pagoen una unidad de tiempo.El descuento comercial será igual al importe del capital que se anticipa por eltanto de descuento que se ha fijado y por el plazo de tiempo que se anticipa.

Dc = Cn × d × n

Y el importe efectivo que percibimos será el capital final que se iba a percibir ónominal menos el descuento debido a la disponibilidad anticipada del capital.

E = Cn - Dc = Cn - Cn × d × n = Cn ( 1 - d × n )

C0 = Cn ( 1 - d × n )

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Ejemplo:

Se desea anticipar el pago de una deuda que vence dentro de 5 años y queimporta 30.000 €. Si el pago se quiere realizar en el momento actual. ¿ Quécantidad tendrá que abonarse si el tipo de descuento fijado es del 10% anual?¿ Cuál será el importe del descuento?

Cn = 30.000 €n = 5 añosd = 0,10

1º Vamos a calcular el efectivo que habrá de satisfacerse a día de hoy.

C0 = Cn ( 1 - d × n ) = 30.000 × ( 1 - 0,10 × 5 ) = 15.000 €

2º Cálculo del descuento comercial 

Dr = Cn – C0 = 30.000 – 15.000 = 15.000 €

1.3.3 El descuento de las letras de cambio

En la práctica comercial, las operaciones de descuento se llevan a cabo mediantela presentación de letras de cambio en entidades de crédito.La letra de cambio es un documento por el cuál una de las partes (librador)ordena a otro (librado) que pague una determinada cantidad a un tercero(tenedor) en una fecha determinada.Si un comerciante vende algo o presta un servicio y el cobro lo realiza en sutotalidad o en parte aplazado mediante la aceptación de letras de cambio, tienedos posibilidades:

  Esperar al vencimiento del efecto y presentarlo al cobro 

Presentar al descuento el efecto antes de su vencimiento en unaEntidad de Crédito.

El importe que percibirá en este segundo caso (efectivo), será el importe nominalde la letra menos los intereses del descuento, las comisiones y los gastos fijosque cobre la Entidad.

•  Los intereses se hallan sobre el valor nominal y son igual a :

Dc =k 

nd  N ×× 

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 Siendo:

N = Nominal del efecto

d = Tanto de descuenton = Plazo que existe entre la fecha de descuento del efecto y la de suvencimientok = Su valor variará dependiendo de cómo se exprese el tiempo.

n kaños 1semestres 2trimestres 4meses 12días 360

Es importante para el cálculo del descuento saber cual es la fecha delvencimiento de la letra. Las letras de cambio se libran de alguna deestas formas según establece el art. 38 y ss. de la Ley 19/1985Cambiaria y del Cheque:

o   A fecha fija: Estas deben pagarse el día indicado en la letra.o   A un plazo desde la fecha: Estas vencen cuando a

transcurrido este plazo el cuál empieza a computarse desdeel día siguiente al de la fecha de expedición.

o   A la vista: Esta es pagadera a su presentación. Debepresentarse al pago en el año siguiente a su fecha.o   A un plazo contado desde la vista: Aquí el plazo comienza a

computarse a partir del día siguiente a la fecha deaceptación.

•  La comisión es el importe que va a cobrar la Entidad de Crédito pornegociar dicho efecto y que va a ser un porcentaje sobre el nominal.

•  Los gastos fijos son cuantías que cobran las Entidades en concepto decorreo, suplidos, timbres, etc… y que se van a descontar del nominal.

En resumen, la cantidad que se percibe es:

Efectivo = Nominal – Descuento – Comisiones – Gastos fijos

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 Ejemplo:

Se envía a una Entidad de Crédito una remesa de 3 efectos para su descuento.¿Cuál será el efectivo producido por estos el día 1 de mayo fecha denegociación de la remesa sabiendo, que el tipo de descuento aplicado es del10%, que se cobra una comisión del 2 por 1000, existiendo una comisiónmínima por efecto de 5 €, y sabiendo también que los gastos fijos por eldescuento de los efectos ascienden a 10 €?

Nominal Vencimiento Fecha de expedición Fecha de aceptación3.000 10-07 15-04 20-042.000 30 días desde la fecha 20-04 25-044.000 60 días desde la vista 15-04 20-04

•  Cálculo del número de días que van desde la fecha de descuento 01-05 hasta lafecha de vencimiento de cada una de las letras

Nominal Fecha descuento Fecha vencimiento Días3.000 01-05 10-07 702.000 01-05 20-05 (1) 194.000 01-05 19-06 (2) 49

(1) Al tratarse de días desde la fecha para conocer su fecha de vencimiento el plazocomienza a computarse desde la fecha de expedición.

(2) Al tratarse de días vista el plazo comienza a computarse desde la fecha de

aceptación.

•  Cálculo de los intereses a pagar por cada letra

Nominal Días d Importe del descuento3.000 70 0,10 58,332.000 19 0,10 10,564.000 49 0,10 54,44

El calculo del descuento se hará para cada letra aplicando la siguiente fórmula:

Dc =k 

nd  N ××  

•  Cálculo de la comisión a pagar por cada letra

NominalComisión del 2 por

1000 sobre el nominalComisión mínima

Importe de lacomisión a aplicar

3.000 6 5 62.000 4 5 54.000 8 5 8

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 •  Cálculo del importe efectivo entregado por la Entidad

Nominal Importe del descuento Comisión Gastos fijos

3.000 58,33 62.000 10,56 54.000 54,44 89.000 123,33 19 10

Efectivo = Nominal – Descuento – Comisiones – Gastos fijos

Efectivo = 9.000 – 123,33 – 19 – 10 = 8.847,67 €

  Devolución de efectos impagados

En el momento del vencimiento de la letra esta puede ser:

•  Pagada por el librado•  Impagada por el librado

En este último caso la Entidad de Crédito restituye la letra descontada al clientecargándole en su cuenta el importe de la letra no atendida más los gastos,incluidos los de protesto y las comunicaciones.

Ejemplo:

El día 10 de diciembre la Entidad de Crédito nos comunica que la letra quedescontamos el día 1 de mayo de nominal 3.000 € y fecha de vencimiento 10de julio ha sido impagada. Si la Entidad cobra una comisión de devolución del1%, unos gastos de correo de 0,50 € y además existen unos gastos de protestode 10 € ¿Cuál será el importe de la liquidación?

Vamos a calcular el importe de la liquidación efectuado por la Entidad . 

El importe de la liquidación será igual al importe de la letra no atendida más los gastos.

Nominal del efecto: ............................................ 3.000,00

Comisión de devolución: 0,01×3.000 = 30 €Gastos de protesto: 10 €Gastos de correo: 0,50 €Total gastos: ....................................................... 40,50

Importe del adeudo en C/C: ............................... 3.040,50 €

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1.4  EQUIVALENCIA DE CAPITALES

1.4.1 Principio de equivalencia de capitales

Decimos que dos capitales son equivalentes en un momento determinado deltiempo, cuando sus valores financieros en ese momento son iguales.

Si se tienen varios capitales C1, C2, C3,..., Ck que van a vencer en distintosmomentos t1, t2, t3,..., tk estos van a ser equivalentes a otros capitales Ck+1, Ck+2,Ck+3, ..., Cn que van a vencer respectivamente en tk+1, tk+2, tk+3, tn , dado untanto de valoración, si se cumple la siguiente ecuación de equivalencia:

  En el descuento racional:

Decíamos que C0 =ni

nC 

×+1 

Por tanto y para que exista equivalencia financiera la suma de los capitales C1, C2, C3 ,... , Ck en el momento 0 a de ser igual a la suma de los valores de loscapitales Ck+1, Ck+2, Ck+3, ..., Cn también valorados en el momento 0

De donde:

1

1

1 t i

×++

2

2

1 t i

×++

3

3

1 t i

×++....+

t i

×+1=

1

1

1 +

+

×+k 

t i

C +

2

2

1 +

+

×+k 

t i

C +

3

3

1 +

+

×+k 

t i

C +....+

n

n

t i

×+1 

  En el descuento comercial:

En el descuento comercial C0 = Cn × ( 1 – d × n )

De donde:

C1 × ( 1 – d × t1 ) + C2 × ( 1 – d × t2 ) + C3 × ( 1 – d × t3 ) +...+ Ck × ( 1 – d × tk ) = Ck+1 × ( 1 – d × tk+1 ) +Ck+2 × ( 1 – d × tk+2 ) + Ck+3 × ( 1 – d × tk+3 ) +...+ Cn × ( 1 – d × tn )

1.4.2 El capital común

El capital común es aquel capital Ct que venciendo en el momento t sustituye avarios capitales C1, C2, C3,..., Cn que vencen respectivamente en t1, t2, t3,..., tn .

0 t1 t2 t3 t tn

C1 C2 C3 Ct Cn

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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La ecuación de equivalencia será:

  En el descuento racional:

t i

C t 

×+1=

1

1

1 t i

×++

2

2

1 t i

×++

3

3

1 t i

×++....+

n

n

t i

×+1 

De donde si despejamos Ct, obtenemos:

t C  = (1

1

1 t i

×++

2

2

1 t i

×++

3

3

1 t i

×++....+

n

n

t i

×+1) x (1 + i × t)

)1()1(

1

t it i

C C 

n

 j j

 j

t  ×+××+

= ∑=

 

  En el descuento comercial:

Ct × ( 1 – d × t ) = C1 × ( 1 – d × t1 ) + C2 × ( 1 – d × t2 ) + C3 × ( 1 – d × t3 ) +...+ Cn × ( 1 – d × tn )

Si despejamos Ct de la fórmula anterior tenemos que:

Ct= )1(

)1(...)1()1()1( 332211

t d 

t d C t d C t d C t d C  nn

×−

×−×++×−×+×−×+×−× 

De donde y si seguimos operando, tendremos:

Ct=d t 

t C d C 

n

 j

 j j

n

 j

 j

×−

− ∑∑==

1

11  

El tanto de descuento que nos den va a ser normalmente anual, peronosotros podemos estar trabajando en meses, días...

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

20

o  Si trabajamos en días la expresión se formularía como:

Ct =360

1

36011

d t 

t C d 

n

 j

 j j

n

 j

 j

×−

− ∑∑==

 

Si ahora multiplicamos y dividimos la expresión pord 

360 nos queda:

Ct =t 

t C C d 

n

 j

 j j

n

 j

 j

− ∑∑==

360

360

11  

o  Si trabajamos en meses:

Ct =

121

1211

d t 

t C d 

n

 j

 j j

n

 j

 j

×−

− ∑∑==  

Si ahora multiplicamos y dividimos la expresión pord 

12 nos queda:

Ct =t 

t C C d 

n

 j

 j j

n

 j

 j

− ∑∑==

12

12

11  

Llamaremos divisor fijo y lo designaremos como D a la expresiónd 

k cuyo

valor será:

Si trabajamos en díasd 

360  

Si trabajamos en mesesd 

12  

De donde, el capital único quedará expresado como:

Ct= t  D

t C C  D

n

 j

 j j

n

 j

 j

− ∑∑== 11  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

21

 

Ejemplo:

Se desea conocer el importe del capital único que venciendo dentro de 60días, sustituirá a tres deudas de 1.000, 2.000 y 3.000€ euros que venzanrespectivamente en el plazo de 30, 40 y 90 días. Siendo el tanto de descuentodel 10%.

Solución:

1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el momento 0

1.000 2.000 C  3.000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

C × (1 - 0,10 ×360

60)= 1.000 × (1 - 0,10 ×

360

30) + 2.000 × (1 - 0,10 ×

360

40) + 3.000× (1 - 0,10×

360

90) = 5.994,35 €

2º Si calculamos la equivalencia de capitales en función de la fórmula del capital único 

Ct=t  D

t C C  D

n

 j

 j j

n

 j

 j

− ∑∑== 11  

C j t j C j × t j1.000 30 30.0002.000 40 80.0003.000 90 270.000

∑=

n

 j j

1

 6.000 ∑=

n

 j j j

t C 1

 380.000

Ct=  €35,994.5

6010,0

360

000.380000.610,0

360

=

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

22

1.4.3 El vencimiento común

En este caso se conoce el capital único Ct que sustituye a varios capitales C1, C2,C3,..., Cn que vencen respectivamente en t1, t2, t3,..., tn , y hemos de calcular el

momento t en el cuál vence ese capital único Ct .Por tanto diremos que el vencimiento común es el momento t en el cuál venceun capital Ct que sustituye a varios capitales C1, C2, C3,..., Cn que vencenrespectivamente en t1, t2, t3,..., tn.

  En el descuento racional

t i

C t 

×+1=

1

1

1 t i

×++

2

2

1 t i

×++

3

3

1 t i

×++....+

n

n

t i

×+1 

Si despejamos t nos queda:

i

t i

n

 j j

 j

t  1

)1(1

×+=

∑=  

  En el descuento comercial:

Obtendremos el vencimiento común partiendo de la fórmula del capitalcomún y despejando de esta “t”:

Ct= t  D

t C C  D

n

 j

 j j

n

 j

 j

− ∑∑== 11  

Operando tendremos:

∑∑==

−=−×n

 j

 j j

n

 j

 jt  t C C  Dt  DC 

11

·)( = ∑∑==

+−×=×n

 j

 j j

n

 j

 jt t  t C C  DC  Dt C 

11

 

n

 j

n

 j

 j j jt 

t C C C  D

∑ ∑= =

+−

=1 1

)(

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

23

 

Ejemplo:

Se desea conocer el momento en el cuál vencerá un capital único de importe3.100 € que sustituirá a tres deudas de 1.000 € cada una que venzanrespectivamente en el plazo de 30, 60 y 90 días. Siendo el tanto dedescuento del 10%.

Solución:

1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el momento 0

3.100 × (1 - 0,10 ×360

t ) = 1.000 × (1 - 0,10 ×

360

30) + 1.000 × (1 - 0,10 ×

360

60) + 1.000× (1 - 0,10×

360

90)=174 días

2º Si calculamos la equivalencia de capitales en función de la fórmula del capital único 

n

 j

n

 j

 j j jt 

t C C C  D

∑ ∑= =

+−

=1 1

)(

= 174100.3

000.180)000.3100.3(10,0

360

=

+−

días

C j t j C j × t j1.000 30 30.000

1.000 60 60.0001.000 90 90.000

∑=

n

 j

 jC 

1

  3.000 ∑=

n

 j

 j jt C 

1

  180.000

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

24

1.4.4 El vencimiento medio

El vencimiento medio es un caso particular del vencimiento común, que se

produce cuando la suma de los capitales que vamos a sustituir es igual alimporte del capital único que los sustituye, es decir, Ct = ∑

=

n

 j

 jC 

1

 

Si sustituimos en la fórmula del vencimiento común el valor de Ct por el de ∑=

n

 j

 jC 

1

 

nos queda:

=

==

n

 j

 j

 j

n

 j

 j

t C 

1

1  

Ejemplo:

Se desea conocer el momento en el cuál vencerá un capital único de importe6.000 € que sustituirá a tres deudas de 1.000, 2.000 y 3.000€ que venzanrespectivamente en el plazo de 10, 25 y 40 días. Siendo el tanto de descuentodel 10%.

Solución:

1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el momento 0

6.000 × (1 - 0,10 ×360

t ) = 1.000 × (1 - 0,10 ×

360

10) + 2.000 × (1 - 0,10 ×

360

25) + 3.000× (1 - 0,10×

360

40) = 30 días

2º Si calculamos la equivalencia de capitales en función de la fórmula del capital único 

=

==

n

 j

 j

 j

n

 j

 j

t C 

1

1 = 30

000.6

000.180= días

C j t j C j × t j1.000 10 10.0002.000 25 50.0003.000 40 120.000

∑=

n

 j

 jC 

1

  6.000 ∑=

n

 j

 j jt C 1

  180.000

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

25

1.5  LAS CUENTAS CORRIENTES

1.5.1 Concepto

La cuenta corriente es un contrato que se efectúa entre dos personas o entidadesy en el que se establece que las operaciones que entre ellos se realizan y de lasque se derivan créditos y débitos, se salden a una determinada fecha, a undeterminado tipo de interés y con el método de valoración que en él seestablezca.Normalmente este contrato se produce entre un banco y una persona,comprometiéndose la persona a depositar dinero en la cuenta y el banco por suparte a cumplir sus órdenes de pago. La firma del contrato en estos casos serealiza en un formulario prerredactado y estandarizado que establece lascondiciones generales de la cuenta corriente.Por tanto una cuenta corriente es una operación financiera, valorada en

capitalización simple y con liquidación periódica de intereses.

Estos intereses pueden ser:  Recíprocos: se establece igual tipo de interés para los saldos deudores

que para los acreedores.  No recíprocos: en los cuáles el tipo de interés variará según se trate de

saldos deudores o acreedores.

Los elementos que aparecen en los modelos de liquidación de las cuentascorrientes son:

Fechaoperación concepto Debe Haber

SaldoDeudor

SaldoAcreedor

Fechavalor Días

NúmerosDeudores

NúmerosAcreedores

Saldo anterior 0,00 01-10

01-10Entregaefectivo

422,20  422,20 01-10 7 2.955

12-10 Comisiónmantenimiento 

39,74  382,46 08-10 11 4.207

19-10  Tesoro Público  801,18  418,72 19-10 1 419

19-10 Entrega enefectivo  1.000,00 581,28 20-10 5 2.906

02-11  Tarjeta Crédito  222,95  358,33 25-10 1 358

27-10  Telefónica  486,07 127,74 26-10 4 511

30-10  Tesoro Público 206,92 334,66 30-10 3 1.004

30-10  Entrega enefectivo 206,92 127,74 02-11 4 511

12-11 Proveedores  125,49 253,23 06-11 6 1.519

11-11Entrega enefectivo

500,00 246,77 12-11 6 1.481

18-11 Comisión 1,44 245,33 18-11 2 491

18-11Ingresocheque 957,00 1202,33 20-11 4 4.809

25-11 Telefónica 271,79 930,54 24-11 1 931

02-12 Tarjeta Crédito 269,16 661,38 25-11 8 5.291

04-12 Proveedores 125,49 535,89 03-12 21 11.254

25-12 Telefónica 289,41 246,48 24-12 8 1.972

Totales 92 3.964 36.655

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

26

Fecha operación: Es la fecha en que se produce la operación

Concepto: Es la descripción del apunte efectuado

Movimientos: Los movimientos pueden ser al debe o al haber dependiendo deque se trate de un cargo o un abono.

Saldo: Es la variación acumulativa de los movimientos

Fecha valor: Es el día en que se realiza la contrapartida de la operación

Días: Es el número de días que transcurren desde el día siguiente a la primerafecha de valor hasta la siguiente fecha de valor, esta incluida.

Números: Los números son iguales al saldo por los días

1.5.2 Liquidación de las cuentas corrientes

Existen tres métodos diferentes de liquidación de las cuentas corrientes. Estosson:

  Método directo: El método directo es aquel que considera que cadacapital deudor o acreedor devenga intereses durante los días que vandesde el vencimiento a la fecha de cierre de la cuenta. Por tanto parapoder utilizar este método debemos conocer de antemano la fecha de

liquidación.

  Método indirecto: En este método los días se cuentan desde cadavencimiento hasta una fecha fija establecida. Lo que se produce es uncálculo de números que no corresponden a los que realmente producenintereses.

  Método hamburgués: En este último método los días se cuentan devencimiento a vencimiento.

De los tres el método más empleado para la liquidación de las cuentas corrientes

es el hamburgués.

Las operaciones a realizar en la liquidación por el método hamburgués de lacuenta corriente son las siguientes:

1.  Cálculo de los númerosNúmeros = Saldo × Días (1)

(1) Los días son los que median entre dos fechas de valor consecutivas

2.  Cálculo de los intereses

Intereses = Suma de los números comerciales / (días naturales/ tipo de interés expresado en tanto por uno)

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

27

 

Ejemplo:

Liquidar la siguiente cuenta corriente cerrada a 31 de marzo por el métodohamburgués sabiendo que, los intereses son del 15% para los saldos deudoresy del 0,1% para los saldos acreedores y que presenta los siguientesmovimientos:

Fechaoperación concepto Debe Haber SaldoDeudor SaldoAcreedor FechavalorSaldo anterior 0,00 01-10

01-10Entrega enefectivo

422,20 422,20 01-10

12-10 Comisiónmantenimiento 

39,74  382,46 08-10

19-10  Tesoro Público  801,18  418,72 19-10

19-10 Entrega enefectivo 

1.000,00 581,28 20-10

02-11  Tarjeta Crédito  222,95  358,33 25-10

27-10  Telefónica  486,07 127,74 26-1030-10  Tesoro Público 206,92 334,66 30-10

30-10 Entrega enefectivo

206,92 127,74 02-11

12-11 Proveedores  125,49 253,23 06-11

11-11Entrega enefectivo

500,00 246,77 12-11

18-11 Comisión 1,44 245,33 18-11

18-11Ingresocheque

957,00 1202,33 20-11

25-11 Telefónica 271,79 930,54 24-1102-12 Tarjeta Crédito 269,16 661,38 25-1104-12 Proveedores 125,49 535,89 03-1225-12 Telefónica 289,41 246,48 24-12

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

28

 

Solución: 

Fecha

operación concepto Debe Haber

Saldo

Deudor

Saldo

Acreedor

Fecha

valor

Días

(1)

Números

Deudores

Números

AcreedoresSaldo anterior 0,00 01-10

01-10 Entrega en efectivo 422,20  422,20 01-10 7 2.955

12-10 Comisiónmantenimiento  39,74  382,46 08-10 11 4.207

19-10  Tesoro Público  801,18  418,72 19-10 1 419

19-10  Entrega en efectivo  1.000,00 581,28 20-10 5 2.906

02-11  Tarjeta Crédito  222,95  358,33 25-10 1 358

27-10  Telefónica  486,07 127,74 26-10 4 511

30-10  Tesoro Público 206,92 334,66 30-10 3 1.004

30-10  Entrega en efectivo 206,92 127,74 02-11 4 511

12-11 Proveedores  125,49 253,23 06-11 6 1.51911-11 Entrega en efectivo 500,00 246,77 12-11 6 1.481

18-11 Comisión 1,44 245,33 18-11 2 491

18-11 Ingreso cheque 957,00 1202,33 20-11 4 4.809

25-11 Telefónica 271,79 930,54 24-11 1 931

02-12 Tarjeta Crédito 269,16 661,38 25-11 8 5.291

04-12 Proveedores 125,49 535,89 03-12 21 11.254

25-12 Telefónica 289,41 246,48 24-12 8 1.972

Totales 92 3.964 36.655

(1)Los días son los que median entre dos fechas de valor consecutivas.El apunte que realizará el Banco será:

Intereses a su favor = 10,0

001,0

365

655.36= €

Intereses a nuestro favor = 63,1

15,0

365

964.3= €

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

30

Cálculo de rentabilidades de descuento para letras del tesoro, pagarés del tesoroy pagarés de empresa.

Cálculo del efectivo a partir deltipo de descuento

Cálculo de la rentabilidad a partirdel efectivo

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ×−= n

d  N  E 

3601  

n E 

 E  N r 

100360××

−=  

Cálculo de la rentabilidad a partirdel tipo de descuento

Cálculo del tipo de descuento apartir del efectivo

nd 

d r 

×−×

××=

100360

100360  n N 

 E  N d 

100360××

−=  

E = Efectivo de compra, N = Nominal, r = Rentabilidad anual. d = Tipo de descuento anual. n =Número de días entre fecha de compra y fecha de vencimiento.

Ejemplo:

Se adquiere una Letra del Tesoro de 1.000 € de valor nominal y descontadaal 10% anual, con fecha de vencimiento 12 meses.Calcular:

•  El efectivo que se paga por la compra de la Letra del Tesoro•  Si cuando faltan 180 días para su vencimiento se vende en elmercado secundario a un tanto de descuento del 9,75%. Calcular elimporte que habrá de pagar el segundo comprador

•  Calcular la rentabilidad obtenida por el primer comprador•  Calcular la rentabilidad obtenida por el segundo comprador

1º Vamos a calcular el importe pagado por la adquisición de la Letra del Tesoro.

N  1.000

0 1

E = N( 1- d × n ) = 1.000 ( 1 – 0,10 ) = 900 €2º Precio de venta de la Letra del Tesoro

180 días

900  E2  1.000

0 t 1

E2 = N( 1- d2 × n ) = 1.000 ( 1 – 0,0975 × 360

180) = 951,25 €

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

31

 

3º Calcular la rentabilidad obtenida por el primer comprador 

Podemos calcular de las siguientes formas:

185 días 180 días

900  951,25 1.000r

0 t 1

E2 = E1( 1+ r × n ); 951,25= 900 ( 1 + r × 360

185) = 0,1108108 = 11,08%

%08,11185

100360

900

90025,951100360=

××

−=

××

−=

n E 

 E  N r   

4º Calcular la rentabilidad obtenida por el segundo comprador 

Podemos calcular de las siguientes formas:185 días 180 días

900  951,25 1.000r

0 t 1

N = E2( 1+ r ×( n – t) )

1.000 = 951,25 ( 1 + r × 

360

180  ) = 0,102496714 = 10,25% 

%25,10180

100360

25,951

25,951000.1100360=

××

−=

××

−=

n E 

 E  N r   

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Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras

2ª parte: Matemáticas Financieras

Capítulo 2. CAPITALIZACIÓNCOMPUESTA

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

2

 Índice de contenidos

Página 

CAPÍTULO 2  CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 3 

2.1  CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 3 2.1.1 Concepto 32.1.2 Características 32.1.3 Cálculo del capital final 32.1.4 Cálculo del capital inicial 52.1.5 Cálculo del tanto de interés 52.1.6 Cálculo del tiempo 62.1.7 El interés total 7

2.2  TANTOS DE INTERÉS 8 2.2.1 Tantos equivalentes 82.2.2 Tanto nominal 9

2.3  CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS 11 2.3.1 Capitalización por tiempos fraccionados: convenio lineal y convenio exponencial 11

2.4  EL DESCUENTO COMPUESTO 12 2.4.1 Descuento racional 132.4.2 Descuento comercial 142.4.3 Equivalencia entre tanto de interés y tanto de descuento. 15

2.5  EQUIVALENCIA DE CAPITALES 17 2.5.1 Equivalencia de capitales en capitalización compuesta 172.5.2 El capital común 172.5.3 Vencimiento común 192.5.4 Vencimiento medio 20

2.5.4.1 Caso particular: capitales de la prestación iguales entre sí 22

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

3

 Capítulo 2  CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

2.1  CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 

2.1.1 Concepto

Las operaciones en capitalización compuesta se caracterizan porque, a diferenciade lo que ocurre en capitalización simple, el capital que sirve de base paracalcular los intereses cambia al inicio de cada período, y es igual al capital máslos intereses del período anterior.Se puede definir la capitalización compuesta como aquella operación financiera

que trata de sustituir un capital por otro, que es equivalente pero convencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalizacióncompuesta.

2.1.2 Características

La capitalización compuesta se caracteriza por:

1.  El capital que sirve de base para el cálculo de los intereses va variando

de período a período y es igual al capital más los intereses del períodoanterior.

Matemáticamente se expresa, como:

Cn = Cn –1 + Cn –1× i

2.  Los intereses son distintos en cada período, y además al acumularse alcapital van a producir nuevos intereses en el período siguiente.

Matemáticamente se expresa, como:

In = Cn –1× i

2.1.3 Cálculo del capital final

Si C0 es el capital inicial e, i es el tanto por uno al que se calculan los interesesde cada período, se verificará que:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

4

 C0 C1 C2 C3 Cn-1 Cn 

0 1 2 3 i n-1 n

Período 0: C0

Período 1: C1= C0 + C0 × i = C0 × ( 1 + i )

Período 2: C2 = C1 + C1 × i = C1 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i ) × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i )2 

Período 3: C3 = C2 + C2 × i = C2 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i )2 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i )3 

Período n: Cn = Cn-1 + Cn-1 × i = Cn-1 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1+ i )n 

Por tanto, el capital final o montante será:

Cn = C0 × ( 1+ i )n 

Esta fórmula es aplicable siempre que el tipo de interés no varíe, y siempre ycuando el tanto y el tiempo se refieran al mismo período, es decir, que sitenemos un tanto semestral, el tiempo debe expresarse en semestres.

Ejemplo:

Se tiene un capital de 1.000 €, que se va a invertir durante 10 años a un tipode interés del 10% ¿Qué montante se obtendrá cuando transcurra dichoplazo?

Aplicando la fórmula del capital final:

Cn = C0 × ( 1+ i )n = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 = 2.593,74 €

Si el tanto hubiese sido del 8% para los cinco primeros años y del 10% paralos cinco restantes. ¿Cuál sería el capital final obtenido?

En este caso no podemos aplicar la fórmula del capital final, ya que al variar el tanto deinterés debemos trabajar con el tanto vigente en cada período.

1000 Cn

0 i=8% 5 i=10% 10

Cn = C0 × ( 1+ i1 )5 × ( 1+ i2 )5 = 1000 × ( 1+ 0,08 )5× ( 1+ 0,10 )5 = 2.366,37€

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

6

2º Quitamos la potencia, hallando la raíz n-ésima en ambos miembros de laigualdad  

nn

n

i)(1C o

C n

+=  Π

i)(1C o

C n

+=n  

3º Despejamos el tanto de interés

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =−=

Co

Cn

1

1C

C nn

o

ni - 1 

Ejemplo:

Si se invierten 1.000 € y al cabo de 10 años se obtienen 2.500€ ¿Cuál será eltanto de interés aplicado en esta operación?

%6,9096,0095958226,01101.000

2.5001

C

C=≈=−=−= n

o

ni  

2.1.6 Cálculo del tiempo

Para calcular el tiempo o la duración de la operación, procederemos de igualmanera que en los apartados anteriores, es decir, despejaremos la variabledeseada, (n) en este caso, de la fórmula de la capitalización.

Cn = C0 × ( 1 + i )n 

Paso 1º: Pasamos C 0 al otro miembro de la ecuación

Cn  ⎯⎯  = ( 1 + i )n 

C0

Paso 2º: Se despeja n, utilizando logaritmosCn 

Log   —  ⎯ = log ( 1 + i )n = log Cn – log C0 = n × log ( 1 + i ) C0

Propiedades de los logaritmos aplicadas:

a)  El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmodel divisor

b)  El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmode la base 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

7

 Paso 3º: Despejando obtenemos:

log Cn – log C0 n =  —  ⎯⎯  ——  ⎯⎯  —  ⎯  log ( 1 + i )

Ejemplo:

Invirtiendo un capital de 1.000 € al 9,6% de interés obtenemos 2.500 €¿Cuánto tiempo estuvo impuesto dicho capital?

log Cn – log C0 log 2.500 – log 1.000 

n =  —  ⎯⎯  —  ⎯  —  ⎯⎯  =  —  ⎯⎯  —  ⎯⎯  —  ⎯  —  ⎯⎯  —  = 10 añoslog ( 1 + i ) log ( 1 + 0.096 )

2.1.7 El interés total

El interés total, es la diferencia que existe entre el capital inicial invertido y elmontante o capital final obtenido; es decir:

I = Cn – C0 

Si sustituimos Cn, por la fórmula del valor final obtenemos que:

I = C0 × ( 1 + i )n – C0 = C0 ×[( 1 + i )n - 1]

Ejemplo:

¿Qué intereses producirán 1.000 € invertidos 10 años al 10%?

1.000 C10

0 10

C10 = C0 × ( 1+ i )n = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 = 2.593,74 €

I = Cn – C0 = 2.593,74 – 1.000 = 1.593,74 €

I = Cn – C0 = C0 ×[( 1 + i )n – 1] = 1.000 ×[( 1 + 0,10 )10 – 1] = 1.593,74 €

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

8

 

2.2  TANTOS DE INTERÉS

2.2.1 Tantos equivalentes

Decimos que dos o más tantos de interés son equivalentes, cuando al aplicarlos aun mismo capital durante un mismo período de tiempo se obtiene el mismocapital final.

Una vez definidos los tantos equivalentes, vamos a definir la frecuencia decapitalización. La frecuencia es el número de veces que durante un período detiempo se capitalizan los intereses producidos.

Si tomamos como referencia un año diremos que la frecuencia ( k ) adopta lossiguientes valores:

  Si se capitalizan semestralmente: k = 2  Si la capitalización es trimestral : k = 4  Si se capitalizan mensualmente : k = 12

En la capitalización compuesta para que dos tantos sean equivalentes tienen,que por definición cumplir la siguiente relación:

( 1 + ik )k = 1 + i

Despejamos i obtenemos:

i = ( 1 + ik )k – 1

Despejando ik: 

ik =k 

i)1( + - 1

ik = ( 1 + i )1/k – 1

Donde i recibe la denominación de tanto efectivo anual e ik es el tantoequivalente k-esimal

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

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 Ejemplo:

Calcular los siguientes tantos equivalentes correspondientes a un tantoefectivo anual del 10%:

  mensual  trimestral  cuatrimestral  semestral 

1º Tanto de interés mensual:

i = 0,10k = 12

i12 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )1/12 – 1 = 0,0079741404

2º Tanto de interés trimestral :

k = 4

i4 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )1/4 – 1 = 0,024113689

3º Tanto de interés cuatrimestral:

k = 3

i3 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )

1/3 – 1 = 0,032280115

4º Tanto de interés semestral:

k = 2

i2 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )

1/2 – 1 = 0,048808848

2.2.2 Tanto nominal

El tanto nominal se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización por eltanto de interés k-esimal. Por tanto:

Jk = k × ik 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

10

O de otra forma:

ik =

k  J 

 

Es decir el tanto k-esimal se obtiene dividiendo el tanto nominal entre lafrecuencia de capitalización.

Dicha relación nos permite obtener fácilmente el tanto efectivo k-esimal una vezque conocemos su correspondiente tanto nominal anual capitalizable por k-ésimos o viceversa.

En el siguiente esquema se observan las relaciones que existen entre losdistintos tantos:

ik = ( 1 + i )1/k – 1•  Dado i tendremos que:

Jk = [ ( 1 + i )1/k – 1 ] × k

i = ( 1 + ik )k – 1•  Dado ik tendremos que:

Jk = k × ik 

i = ( 1 +k 

 J k  ) k – 1

•  Dado Jk tendremos que:

ik =k 

 J k   

Donde:

(i): Tanto de interés efectivo anual T.A.E.(ik): Tanto efectivo k-esimal

(Jk): Tanto nominal anual capitalizable por k-ésimos

Ejemplo:

Dado un tanto de interés nominal capitalizable por trimestres del 12% ¿Cuálserá el tanto efectivo anual correspondiente?

k=4 Î J4= 0,12 Î i4= J4 /4=0,12 /4=0,03Î i = (1+i4)4 – 1=(1,03)4 – 1=0,12550881

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

11

 2.3  CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS

2.3.1 Capitalización por tiempos fraccionados: convenio lineal yconvenio exponencial

Puede ocurrir que en la fórmula de la capitalización Cn = C0 × ( 1+ i )n, n no

represente un número entero de años, sino que sea igual a n = h +k 

 p, donde

h sea un número entero de años yk 

 psea una fracción de año.

En este caso la fórmula del capital final será:

Cn = C0 × ( 1+ i )h + (p/k) = C0 × ( 1+ i )h × ( 1+ i ) (p/k) 

Ante esta situación existen dos posibles formas de calcular el capital final:

  Convenio lineal : consiste en capitalizar en régimen de capitalizacióncompuesta el número entero de años y en régimen de capitalizaciónsimple la fracción del año.

Cn = C0 × ( 1+ i )h × ( 1 + ik 

 p )

  Convenio exponencial : en el convenio exponencial la capitalización serealiza en régimen de compuesta tanto por el período entero como porel fraccionado.

Cn = C0 × ( 1+ i )h × ( 1 + ik )p 

Siendo ik el tanto k-esimal equivalente al anual. También se podríacalcular el capital final en función únicamente del tanto de interés anual

i, o bien del tanto de interés k-esimal ik, en cuyo caso tendríamosrespectivamente que: 

Cn = C0 × ( 1+ i )h +k 

 p

 

Cn = C0 × ( 1+ ik )kh + p 

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 Ejemplo:

Calcular el capital final que producirán 1.000 € impuestos al 10% durante 10años y 8 meses utilizando ambos convenios:

1º Convenio lineal :

i = 0,10

Cn = C0 × ( 1+ i )h × ( 1 + ik 

 p ) = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 × ( 1 + 0,1012

8) = 2.766,66€

2º Convenio exponencial :

i = 0,10

i12 = ( 1+ i )1/12 = ( 1 + 0,10 ) 1/12 = 0,0079741404

Cn = C0 × (1+ i)h × (1 + ik)p = 1.000 × (1+ 0,10)10 × (1 + 0,00797414)8 = 2.763,89 €

También podemos hallar el capital final:

  En función del tipo de interés k-esimal, únicamente

Cn = C0 × ( 1 + ik )kh+p = 1.000 × ( 1 + 0,00797414 )(10 × 12) + 8 = 2.763, 89 €

  En función del tanto de interés anual

Cn = C0 × ( 1+ i )h +k 

 p

= 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 +12

8

= 2.763, 89 €

2.4  EL DESCUENTO COMPUESTO

El descuento compuesto es aquella operación financiera que tiene por objeto lasustitución de un capital futuro por otro con vencimiento en el presente,mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es decir, esuna operación financiera que resulta de aplicar un tanto de descuento a uncapital Cn ó nominal con vencimiento futuro, para obtener el valor del capitalactual Co llamado efectivo, de disponibilidad inmediata.En definitiva, es la operación inversa a la capitalización. En la capitalizaciónobtenemos el capital futuro producido por la inversión de un capital presente,mientras que en el descuento sustituimos ese capital futuro por otro convencimiento presente. Siendo el descuento el importe que se percibe por

anticipar la disponibilidad de un capital.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

13

El descuento se calcula restando del capital final al vencimiento o nominal elcapital que se obtiene en el presente o efectivo. ( D=Cn-Co )

C0 Cn

0 1 2 n

Existen dos clases diferentes de descuento compuesto según el capital quetengamos en cuenta para el cálculo de los intereses.

2.4.1 Descuento racional

El descuento racional es el interés que produce un capital inicial durante el

período que va entre el vencimiento del capital final o montante y el del capitalinicial. Es decir se considera generador de intereses el capital al inicio de dichoperíodo.

C0 C1 C2 Cn-1 Cn 

0 1 2 i n-1 n

Vamos a realizar el cálculo del capital para los distintos momentos del tiempo:

Momento n: Cn

Momento n-1: Cn-1= Cn – In= Cn – Cn-1 × i; Cn-1 + Cn-1 × i=Cn ; Cn-1 × ( 1 + i )=Cn ; Cn-1 =i)(1

C n

Momento n-2: Cn-2=Cn-1–In-1=Cn-1–Cn-2 × i; Cn-2 + Cn-2 × i=Cn-1; Cn-2 × (1 + i)=Cn-1; Cn-2= 2n

i)(1

C

Momento 0: C0=C1 – I1 =C1 – C0 × i; C0 + C0 × i = C1; C0 × ( 1 + i ) = C1; C0 =i)(1

C1

+=

nn

i)(1

C

Partiendo de las fórmulas del capital final Cn = C0 × ( 1 + i )n y del capital inicialC0 = Cn  × ( 1 + i )-n , y sustituyendo en la fórmula del descuento racionalDr = Cn – C0 tendremos:

  Si sustituimos C0, obtendremos el importe del descuento en función delnominal

Dr = Cn - Cn  × ( 1 + i )-n = Cn × [ 1 - ( 1 + i )-n] 

  Si sustituimos Cn, obtendremos el importe del descuento en función delefectivo

Dr = C0  × ( 1 + i )n – C0 = C0 × [ ( 1 + i )n - 1] 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

15

La fórmula que permite obtener el efectivo ( Co ) aplicando el tanto de descuento( d ) al valor nominal ( Cn ) es:

C0 = Cn  × ( 1 - d )n 

Si partimos del valor que acabamos de obtener para el capital inicial, y losustituimos en la fórmula del descuento comercial Dc = Cn – C0 tendremos:

Dr = Cn - Cn  × ( 1 - d ) n = Cn × [ 1 - ( 1 - d )n] 

Quedando expresado el descuento en función del nominal.

Ejemplo:

Se desea anticipar el pago de una deuda que vence dentro de 5 años y queimporta 30.000 €. Si el pago se quiere realizar en el momento actual ¿Quécantidad tendrá que abonarse si el tipo de descuento fijado es del 10% anual?¿Cuál será el importe del descuento?

C0 30.000

0 d =0,10 5

Cn = 30.000 €

n = 5 añosd = 0,10

1º Vamos a calcular el efectivo o capital inicial que habría de satisfacer a día de hoy.

C0 = Cn × ( 1 - d )n = 30.000 × ( 1 - 0,10 ) 5 = 17.714,7 €

2º Cálculo del descuento comercial 

Dr = Cn – C0 = 30.000 – 17.714,7 = 12.285,3€

2.4.3 Equivalencia entre tanto de interés y tanto de descuento. 

Una vez que se han visto los dos modelos de descuento existentes, y teniendo encuenta que descontando el mismo capital, por igual período y al mismo tanto, losresultados que obtenemos van a ser diferentes según que utilicemos uno u otro,vamos a tratar de encontrar la relación que existe entre ambos tantos para queel resultado sea el mismo utilizando cualquiera de los dos procedimientos.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

17

2.5  EQUIVALENCIA DE CAPITALES

2.5.1 Equivalencia de capitales en capitalización compuesta

Se dice que varios capitales C1, C2, C3, ..., Ck que vencen respectivamente en t1,t2,t3,..., tk son equivalentes a otros capitales Ck+1, Ck+2, Ck+3, ..., Cn que vencenen tk+1, tk+2, tk+3, tn, cuando, la suma de sus valores sea igual, para un momentot cualquiera en que se comparen.

Si valoramos en el momento actual, para que sean equivalentes, debe cumplirseque:

C1  × (1+i) 1t − + C2 × (1+i) 2t − + C3  × (1+i) 3t − +...+Ck× (1+i) k t − = Ck+1  × (1+i) 1+− k t  +Ck+2  × (1+i) 2+− k t  + Ck+3 × (1+i) 3+− k t  + Cn × ( 1 + i ) nt −  

En la equivalencia entre capitales, es indiferente cual sea el momento en querealice la valoración, si dos capitales son equivalentes van a serlo, sea cual sea elmomento en que se valoren.

2.5.2  El capital común

Es el capital único y equivalente Ct que vence en un momento t y que sustituye avarios capitales C1, C2, C3,…, Cn con vencimientos en t1, t2, t3,…, tn respectivamente, siendo todos ellos conocidos.

1º Partiendo de la ecuación de equivalencia:

Ct × ( 1 + i )-t = C1 × ( 1 + i ) 1t − + C2 × ( 1 + i ) 2t − + C3 × ( 1 + i ) 3t − + ...+ Cn × ( 1 + i ) nt −  

∑ ++=

−− =n

 j j

t t  iC iC  t j

1

)1()1(  

2º Pasando ( 1 + i )-t al otro miembro de la ecuación: 

)1(

)1(1

i

iC 

C t 

n

 j j

t  j

+

∑ +

=

=

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

18

 

Ejemplo:

Se desea conocer el importe del capital único que venciendo dentro de 5 años,sustituiría a tres deudas de 1.000 €, 2.000 € y 3.000€ que venciesen en elplazo de 2, 4 y 6 años respectivamente. La operación se realiza a un tanto deinterés del 10%.

Solución:

1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el año 5.

1.000 2.000 C5  3.000

0 1 2 3 4 5 6

C5 = 1.000 × (1 + 0,10)3 + 2.000 × (1 + 0,10) + 3.000 × (1 + 0,10) -1 = 6.258,27 €

2º Si calculamos la equivalencia de capitales en el año 0

1.000 2.000 C5  3.000

0 1 2 3 4 5 6

C5 × (1+0,10)-5 = 1.000 × (1+0,10)-2 + 2.000 × (1+0,10)-4 + 3.000 × (1+0,10)-6 = 6.258,27 €

3º Si utilizamos la fórmula del capital común

 €27,258.6)10,1(

894982,885.3

)1(

)1(

5

1

==+

+

= −−

=

−∑t 

n

 j

 j

t  i

iC 

 j

 

1.000 × (1,10)-2 = 826,4462812.000 × (1,10)-4 = 1.366,0269113.000 × (1,10)–6= 1.693,42179

 jt n

 j

 j iC −

=

+∑ )1(

1

= 3.885,894982

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

20

 Ejemplo:

Se deben pagar tres deudas de 2.000 €, 5.000 € y 7.000 € con vencimientosrespectivos a los 2, 4 y 6 años. El importe de las deudas, se desea sustituir porun pago único de 10.000 €. La operación se realiza a un tanto de interés del12%. ¿Cuándo habrá de efectuarse el pago?

Solución:

2.000 × (1,12)-2 = 1.594,387765.000 × (1,12)-4 = 3.177,590397.000 × (1,12)–6= 3.546,41785

 jt n

 j

 j iC −

=

+∑ )1(

1

= 8.318,40 €

t =)12,1log(

)40,318.8log()000.10log( −= 1,62461

t = 1 año 7 meses y 14 días

2.5.4 Vencimiento medio

Es un caso particular del vencimiento común en el que:

C1 + C2 + C3 + … + Cn = Ct; es decir Ct = ∑=

n

1 j

 jC  

Si sustituimos el valor de Ct por el de ∑=

n

1 j

 jC en la fórmula de vencimiento común

obtenemos:

)i1log(

loglog11

)1(

+

−−=

∑ +∑==

n

 j j

n

 j j

m

iC C 

t  j

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

21

 

Ejemplo:

Se deben pagar tres deudas de 2.000 €, 5.000 € y 7.000 € con vencimientosrespectivos a los 2, 4 y 6 años. El importe de las deudas, se desea sustituir porun pago único de 14.000 €. La operación se realiza a un tanto de interés anualdel 12%¿Cuándo habrá de efectuarse el pago?

Solución:

2.000 × (1,12)-2 = 1.594,387765.000 × (1,12)-4 = 3.177,590397.000 × (1,12)–6= 3.546,41785

 jt n

 j

 j iC −

=

+∑ )1(

1

= 8.318,40 €

t = )12,1log(

)40,318.8log()000.14log( −

= 4,593607

t = 4 años 7 meses y 3 días

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

22

 2.5.4.1  Caso particular: capitales de la prestación iguales entre sí 

Este es un caso particular del vencimiento medio, en el que todos los capitalesson iguales entre sí y además el importe del capital único que los sustituye esigual a la suma de dichos capitales.

De donde:

C1 = C2 = C3 = … = Cn 

C1 + C2 + C3 + … + Cn = Ct = n × C

1º Si partimos de la ecuación de equivalencia y sustituimos en ella los valorestenemos: 

Ct (1 + i)-t = C1 (1 + i) 1t − + C2 (1 + i) 2t − + C3 (1 + i) 3t − + ... + Cn (1 + i) nt −  

n × C (1 + i)-t = C (1 + i) 1t − + C (1 + i) 2t − + C (1 + i) 3t − + ... + C ( 1 + i) nt −  

2º Si sacamos factor común C :

n × C (1 + i)-t = C × [(1 + i) 1t − + (1 + i) 2t − + (1 + i) 3t − + ... + (1 + i) nt − ]

3º Simplificando y pasando n al otro miembro de la ecuación:

(1+i ) mt − =n

iC 

n

 j

t  j

 j

∑=

−+1

)1(

 

4º Aplicando las propiedades de los logaritmos:

)i1log(

loglog1

)1(

+

−−=

∑ +=

n

 jm

i

t n j

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

23

 Ejemplo:

Se deben pagar tres deudas de 2.000 € cada una con vencimientos respectivos

a los 2, 4 y 6 años. El importe de las deudas, se desea sustituir por un pagoúnico de 6.000 €. La operación se realiza a un tanto de interés anual del 12%¿Cuándo habrá de efectuarse el pago?

Solución:

(1,12)-2 = 0,79719388(1,12)-4 = 0,63551808(1,12)–6= 0,50663112

 jt n

 j

i−

=

+∑ )1(

1

= 1,93934308

t =)12,1log(

)93934308,1log()3log( −= 3,849537214

t = 3 años 10 meses y 5 días 

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Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras

2ª parte: Matemáticas Financieras

Capítulo 3. RENTAS

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

2

Índice de contenidos 

Página

CAPÍTULO 3 RENTAS 3

3.1  CONCEPTO Y CLASES 3 3.1.1 Concepto 33.1.2 Clasificación 3

3.2  RENTAS CONSTANTES 5 3.2.1 Renta constante, pospagable y temporal 53.2.2 Renta constante, pospagable y perpetua 133.2.3 Renta constante, prepagable y temporal 163.2.4 Renta constante, prepagable y perpetua 21

3.3  RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 22 3.3.1 Rentas variables en progresión geométrica, pospagables y temporales 233.3.2 Rentas variables en progresión geométrica, pospagables y perpetuas 293.3.3 Rentas variables en progresión geométrica, prepagables y temporales 30

3.3.4 Rentas variables en progresión geométrica, prepagables y perpetuas 33

3.4  RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 35 3.4.1 Rentas variables en progresión aritmética, pospagables y temporales 363.4.2 Rentas variables en progresión aritmética, pospagables y perpetuas 403.4.3 Rentas variables en progresión aritmética, prepagables y temporales 423.4.4 Rentas variables en progresión aritmética, prepagables y perpetuas 45

3.5  RENTAS FRACCIONADAS 47 3.5.1 Rentas constantes 47

3.5.1.1 Rentas pospagables 473.5.1.2 Rentas prepagables 50

3.5.2 Rentas fraccionadas variables en progresión geométrica 503.5.2.1 Rentas pospagables 513.5.2.2 Rentas prepagables 53

3.5.3 Rentas fraccionadas variables en progresión aritmética 543.5.3.1 Rentas pospagables 543.5.3.2 Rentas prepagables 56

3.6  RENTAS CONTINUAS 57 

3.7  RENTAS CONSTANTES DE PERÍODO UNIFORME SUPERIOR AL AÑO 60 3.7.1 Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadas en función del

tanto de interés anual “i” 603.7.2 Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadas en función del

tanto de interés equivalente ip 62

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

3

Capítulo 3 RENTAS

3.1 CONCEPTO Y CLASES

3.1.1 Concepto

Una renta es una sucesión de capitales disponibles en vencimientosdeterminados.

En el estudio de las rentas llamaremos:

  Término de la renta: A los capitales que forman dicha renta

  Período: Al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos

  Origen de la renta: Es el momento donde comienza la renta

  Fin de la renta: Momento donde finaliza la renta

  Duración: tiempo que transcurre entre el comienzo y fin de la renta

  Vencimiento del término: El término de la renta puede vencer bien alcomienzo o al final de cada período. Dos ejemplos típicos son:

o  Los sueldos: Estos normalmente se pagan al final del mes, aunquese comienzan a generar el primer día.

o  Los alquileres: Estos vencen el primer día del mes, es decir sepagan el primer día, aunque se generen a lo largo de todo el mes.

3.1.2 Clasificación

Las rentas pueden clasificarse de muy diversas formas. Según el criterio al queatendamos, tendremos:

1.  Atendiendo a la naturaleza del término:

Si atendemos a la naturaleza de los términos de la renta, estas puedenser:

  Constantes: Todos los términos de la renta son iguales entre sí. Esdecir,

C1 = C2 = C3 = .... = Cn-1 = Cn

  Variables: Si los términos de la renta difieren entre sí. Es decir,

C1  ≠ C2  ≠ C3  ≠ .... ≠ Cn-1  ≠ Cn

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

4

2.  Atendiendo a la duración de la renta

Si atendemos a la duración de las rentas estas pueden ser:

  Temporales: Cuando la renta tiene un número finito de términos.

  Perpetuas: Cuando la renta tiene infinitos términos.

3.  Atendiendo al momento de vencimiento del término:

Los términos de la renta pueden vencer al principio o al final delperíodo. Teniendo en cuenta este hecho, las rentas se pueden clasificaren:

  Pospagables: Si el término de la renta se cobra o paga al final de

cada período.  Prepagables: Si el término de la renta se cobra o paga al inicio de

cada período.

4.  Atendiendo al momento en que se realice la valoración de la renta:

Dependiendo del momento en que se efectué la valoración las rentaspueden ser:

  Inmediatas: Cuando el punto de valoración coincide con el inicio o el

final de la renta.  Diferidas: Cuando el punto de valoración es anterior al origen de larenta.

   Anticipadas: Cuando el punto de valoración es posterior al definalización de la renta.

5.  Atendiendo al fraccionamiento de la renta:

  Enteras: El período sobre el que se aplica el tanto de interéscoincide con el período del término de la renta.

  Fraccionadas: Cuando el período del término de la renta no coincidecon el período del tanto de interés o bien no coincide con el períodode capitalización del tanto.

6.  Atendiendo a la amplitud de los intervalos:

Según la amplitud de los intervalos, las rentas pueden ser:

  Discretas: Cuando los intervalos son de dimensión finita.  Continuas: Cuando la amplitud de los intervalos es de dimensión

infinitesimal.

Una vez definidos los principales elementos de las rentas y realizada suclasificación, vamos a pasar a su estudio. 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

5

3.2  RENTAS CONSTANTES

Las rentas constantes son aquellas en las que todos sus términos son igualesentre sí. Dependiendo de sus características podemos encontrarnos con lassiguientes clases de rentas constantes:

3.2.1  Renta constante, pospagable y temporal

Las rentas constantes, pospagables y temporales presentan las siguientes

características:  Todos sus términos son iguales entre sí.  Los términos vencen al final de cada período.  Están compuestas por un número finito de términos.

Dependiendo de cuál sea el momento de valoración de estas rentas, tendremos:

1.  Inmediatas 

Son inmediatas cuando su punto de valoración coincide con el origen oel final de la renta.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

6

  Valor actual 

El valor actual de una renta es igual al valor actual de todos y cada uno

de sus términos.El valor actual de una renta constante, inmediata, pospagable ytemporal se representa gráficamente del siguiente modo:

0 1 2 3 n-1 n

C × (1+i)-1 C C C C CC × (1+i)-2 C × (1+i)-3 C × (1+i)-(n-1) 

C × (1+i)-n 

Matemáticamente se expresará como:

V0 = C × (1+i)-1 + C × (1+i)-2+ C × (1+i)-3+ ... + C × (1+i)-n 

Si sacamos factor común a C, nos queda:

V0 = C × [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-n ] 

Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:

V0 = [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-n ] Donde [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-n  ] es una progresióngeométrica de razón (1+i)-1 < 1, y por tanto, decreciente.

La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente esigual a:

S =r 1

r aa n1

×− 

a1 = Primer término de la progresiónan = Último término de la progresiónr = Razón

Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:

S = 1

1n-1

i)(11

i)(1i)(1i)(1−

−−

+−

+×+−+ 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

7

S = 1)1(

)1()1()1()1()1(

i)(1

1-i)(1

i)(1i)(1i)(1 111n-1

−+

+×+×+−+×+=

+

++×+−+ −−−−−

i

iiiii n

 

S =i

i)(11n−+−

 

Por tanto, el valor actual de una renta constante, unitaria, pospagable,temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, querepresentaremos como an ┐i, será igual a:

an ┐i =i

i)(11 n−+− 

El valor actual de una renta constante, temporal, pospagable einmediata de términos de cuantía C será:

i

i)(11 n

0

−+−×= C V 

 

  Valor final 

El valor final de una renta es igual a la suma de todos y cada uno desus términos valorados en el momento n.

El valor final de una renta constante, inmediata, pospagable ytemporal se representa gráficamente del siguiente modo:

0 1 2 3 n-1 n

C C C C C

CC × (1+i)C × (1+i)n-3

C × (1+i)n-2

C × (1+i)n-1 

Matemáticamente se expresará como:

Vn = C + C × (1+i) + C × (1+i)2+ C × (1+i)3+ ... + C × (1+i)n-1 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

8

Si sacamos factor común a C, nos queda:

Vn = C × [ 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n-1 ] 

Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:

Vn = [1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n-1 ] 

Donde [ 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n-1  ] es una progresióngeométrica de razón (1+i) > 1, y por tanto, creciente.

La suma de los términos de una progresión geométrica creciente esigual a:

S =1r 

ar a 1n

−× 

a1 = Primer término de la progresiónan = Último término de la progresiónr = Razón

Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:

S =i

1i)(1

1-i)(1

1i)(1i)(1 n1-n −+=

+

−+×+ 

S =i

1i)(1n −+

 

Por tanto, el valor final de una renta constante, unitaria, pospagable,temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, querepresentaremos como Sn ┐i, será igual a:

Sn ┐

i

1i)(1 n

i

−+=  

El valor final de una renta constante, temporal, pospagable einmediata de términos de cuantía C será:

i

1i)(1C

n −+×=nV   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

9

  Relación entre el valor actual y el valor final  

El valor final es igual al valor actual de la renta capitalizado almomento n. Gráficamente lo representaremos como:

0 1 2 3 n-1 n

V0=C× an ┐i 

(1+i)n Vn=V0× (1+i)n 

Matemáticamente se expresará como Vn=V0×(1+i)n , si desarrollamosesta expresión nos queda:

Vn = Ci

1i)(1Ci)(1

i

i)(11n

nn −+

×=+×+−

×−

 

Por tanto el valor final de la renta será igual al valor actual multiplicadopor (1+i)n

.

2.  Diferidas

Las rentas son diferidas cuando su punto de valoración es anterior alorigen de la renta. La representación gráfica de estas rentas es:

d 0 1 2 n-1 n

C C C C

C × (1+i)

-1

 C × (1+i)-2 C × (1+i)-(n-1) C × (1+i)-n 

(1+i)-d

El valor actual de una renta constante, temporal, pospagable y diferidad períodos será igual a:

=0/V d d 

n

i)(1i

i)(11C

−−

+×+−

×  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

10

3.  Anticipadas

Las rentas son anticipadas cuando su punto de valoración es posteriora la finalización de la renta. Gráficamente las representaremos como:

0 1 2 3 n-1 n h

C C C C CCC × (1+i)C × (1+i)n-3

C × (1+i)n-2

C × (1+i)n-1 

(1+i)h

El valor final de una renta constante, temporal, pospagable yanticipada h períodos será igual a:

=nV h / hn

i)(1i

1-i)(1C +×

+×  

Ejemplo:

Dada una renta constante, temporal y pospagable de términos de cuantía10.000€, de duración 10 años y valorada a un tipo de interés del 10%.Calcular:

1.  El valor actual y final de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años3.  El valor final de la renta si se valora 2 años después de su

finalización

Solución:

1. Cálculo del valor actual y final de la renta constante, temporal y pospagable.

  Valor actual

i

i)(11n

0

−+−×= C V   

 €67,445.6110,0

)10,1(1000.10

10

0 =−

×=−

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

11

  Valor final

i1i)(1C

n

−+×=nV   

 €25,374.15910,0

1)10,1(000.10

10

=−

×=nV   

También podríamos haber calculado el valor final como:

nn iV V  )1(0 +×=  

 €25,374.159)10,1(67,445.6110 =×=nV   

2. Cálculo del valor actual para un diferimiento de 2años 

=0/V d  d n

i)(1i

i)(11C −

+×+−

×  

=0/2 V   €55,781.50)10,1(10,0

)10,1(1000.10 2

10

=×−

×= −−

 

3. Cálculo del valor final si la valoración se efectúa 2 años después de lafinalización de la renta

=nV h /h

n

i)(1i

1-i)(1C +×

+×  

=nV /2  €84,842.192(1,10)0,10

1-(1,10)10.000 2

10

=××  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

12

Ejemplo:

El valor actual de una renta constante, temporal y pospagable, de duración10 años es de 92.168,51€. ¿Cuál será el importe de los términos de dicharenta, sabiendo que el tipo de interés empleado en su valoración es del10%?

Solución:

  Cálculo del importe de los términos de la renta.

0 1 2 3 9 10

C C C C C

V0= 92.168,51€

i

i)(11n

0

−+−×= C V   

10,0

)10,1(1 €51,168.92

10−−×= C   

 €000.15

10,0

)10,1(1

51,168.9210

=−

=−

C   

Ejemplo:

El valor final de una renta constante de términos de cuantía 12.550€,

temporal y pospagable, es de 200.014,68€. ¿Cuál será la duración de dicharenta si el tipo de interés empleado en su valoración es del 10%?

Solución:

  Cálculo de la duración de la renta.

i

1i)(1C

n −+×=nV   

10,0

1)10,1(550.1268,014.200

−×=

n

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

13

10,0

1)10,1(

550.12

68,014.200 −=

n

 

1)10,1(10,0550.12

68,014.200 −=× n  

110,0550.12

68,014.200)10,1( +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ×=n  

59374247,2)10,1( =n  

Si aplicamos logaritmos nos queda:

añosn 10)10,1log(

)59374247,2log(

==  

Ejemplo:

Dada una renta constante, temporal y pospagable, de términos de cuantía10.000€, de duración 5 años y cuyo valor actual es igual a 38.000€. ¿Cuálserá el tipo de interés empleado en la valoración de dicha renta?

Información adicional:

n/i 0,095 0,10 0,105

5 3,83970879 3,79078697 3,74285822

Solución:

  Cálculo del tipo de interés.

ii)(11

n

0

+−×= C V  

i

i 5)1(1000.10000.38

−+−×=  

8,3)1(1

000.10

000.38 5

=+−

=−

i

i

 

Si buscamos en la tabla, vemos que el tipo de interés tiene que estar entre el 9,5%y el 10%. Por tanto y para poder calcular el tipo de interés tendremos que

interpolar

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

14

a5 ┐0,095 = 3,83970879 X1 a5 ┐0,10 = 3,79078697 X2 a5 ┐i = 3,8 X

i = 0,095 Y1

i = 0,10 Y2

i Y 

21

21

1

1

Y Y 

 X  X 

Y Y 

 X  X 

−=

− 

10,0095,0

79078697,383970879,3

095,0

83970879,38,3

−=

Y  

Y = 0,0990583925

Por tanto i = 9,9 %

3.2.2 Renta constante, pospagable y perpetua

Las rentas constantes, pospagables y perpetuas presentan las siguientescaracterísticas:

  Todos sus términos son iguales entre sí.  Los términos vencen al final de cada período.  Están compuestas por un número infinito de términos.

Dependiendo de cuál sea el momento de valoración de estas rentas tendremos:

1.  Inmediatas 

El valor actual de la renta constante, pospagable, inmediata y perpetuaserá igual al valor actual de la renta constante, pospagable, inmediatay temporal cuando el número de términos tiende a ∞ .

Por tanto, el valor actual de la renta unitaria, constante, pospagable,inmediata y perpetua que representaremos como a∞  ┐i será:

a∞  ┐i Lím

n ∞→= a n ┐i =  Límn ∞→

ii

i n1)1(1

=+− −

 

a ∞  ┐ii

1=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

15

El valor actual de la renta constante, pospagable, inmediata y perpetuade términos de cuantía C será:

0V   = C a ∞  ┐i =i

C  1×  

2.  Diferidas 

La renta es diferida cuando su punto de valoración es anterior en dperíodos al origen de la renta. Su representación gráfica será:

d 0 1 2 3 ∞  

C C C C C

(1+i)-d

El valor actual de una renta constante, perpetua, pospagable y diferidad períodos será igual a:

=0/

V d 

C a ∞ ┐i

×  d d 

iiC i

−− +××=+)1(

1

)1(  

Ejemplo:

Dada una renta constante, pospagable y perpetua de términos de cuantía10.000€. Calcular:

1.  El valor actual de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años

Sabiendo que el tipo empleado en la valoración es del 10%.

Solución:

1. Cálculo del valor actual de la renta constante, pospagable y perpetua.

i

10 ×= C V   

 €000.1000,10

1000.100 =×=V   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

16

2. Cálculo del valor actual para un diferimiento de 2años 

=0/V d  d i)(1

i

1C

−+××  

=0/2 V   €63,644.82)10,1(10,0

1000.10

2 =××= −  

3.2.3 Renta constante, prepagable y temporal

Las rentas constantes, prepagables y temporales presentan las siguientescaracterísticas:

  Todos sus términos son iguales entre sí.  Los términos vencen al principio de cada período.  Están compuestas por un número finito de términos.

Dependiendo cuál sea el punto de valoración de estas rentas tendremos:

1.  Inmediatas 

Son inmediatas cuando su punto de valoración coincide con el origen oel final de la renta.

  Valor actual 

El valor actual de una renta constante, inmediata, prepagable ytemporal se representa gráficamente del siguiente modo:

0 1 2 3 n-1 n

C C C C C CC × (1+i)-1

C × (1+i)-2 C × (1+i)-3 C × (1+i)-(n-1) 

Matemáticamente se expresará como:

V0 = C + C × (1+i)-1 + C × (1+i)-2+ C × (1+i)-3+ ... + C × (1+i)-(n-1) 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

17

Si sacamos factor común a C, nos queda:

V0 = C × [ 1 + (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-(n-1) ] 

Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:

V0 = [ 1 + (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-(n-1) ] 

Donde [ 1 + (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-(n-1)  ] es unaprogresión geométrica de razón (1+i)-1 < 1, y por tanto, decreciente.

La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente esigual a:

r 1

r aaS n1

×−=  

Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:

S =1

11)-n(

i)(11

i)(1i)(11−

−−

+−

+×+− 

S = )1(1i)(1

i)(1-1

i)(1

1-i)(1

i)(1i)(11 -n11)-(n

i+×−+

+=

+

++×+− −−

 

S = i)(1i

i)(11 n

+×+− −

 

Por tanto, el valor actual de una renta constante, unitaria, prepagable,temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, querepresentaremos como än ┐i, será igual a:

än ┐i = i)(1

i

i)(11n

+×+− −

 

än ┐i = an ┐i × (1+i)

El valor actual de una renta constante, temporal, prepagable einmediata de términos de cuantía C será:

i)(1i

i)(11CV

n

0 +×+−

×=−

&&  

i)(1VV 00 +×=&&  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

18

  Valor final 

El valor final de una renta constante, inmediata, prepagable y temporal

se representa gráficamente del siguiente modo:

0 1 2 3 n-1 n

C C C C C

C × (1+i)

C × (1+i)n-3

C × (1+i)n-2

C × (1+i)n-1

C × (1+i)n 

Matemáticamente se expresará como:

Vn = C × (1+i) + C × (1+i)2+ C × (1+i)3+ ... + C × (1+i)n 

Si sacamos factor común a C, nos queda:

Vn = C × [ (1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n ] 

Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:

Vn = [(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n ] 

Donde [(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n] es una progresióngeométrica de razón (1+i) > 1, y por tanto, creciente.

La suma de los términos de una progresión geométrica creciente esigual a:

1r 

ar aS 1n

−×=  

Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:

S = i)(1i

1i)(1

i

1i)(1i)(1

1-i)(1

i)(1i)(1i)(1nnn

+×−+

=−++

=+

+−+×+ 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

19

Por tanto, el valor final de una renta constante, unitaria, prepagable,temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, querepresentaremos como S&& n ┐i, será igual a:

S&& n ┐i = i)(1i

1i)(1 n

+×−+  

S&& n ┐i = Sn ┐i  i)(1 +×

 

El valor final de una renta constante, temporal, pospagable e inmediatade términos de cuantía C será:

2.  Diferidas 

El valor actual de la renta constante, prepagable, temporal y diferida en dperíodos será igual a:

=0/V d  && d n

i)(1i)(1i

i)(11C

−−

+×+×+−

×  

3.  Anticipadas 

El valor final de la renta constante, prepagable, temporal y anticipada en hperíodos será igual a:

=nV h &&/ hn

i)(1i)(1

i

1-i)(1C +×+×

 

Ejemplo:

Dada una renta constante, temporal y prepagable de términos de cuantía10.000€, y de duración 10 años. Calcular:

1.  El valor actual y final de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años3.  El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización

Sabiendo que el tipo empleado en la valoración es del 10%.

i)(1i

1i)(1CVn

n +×−+×=&&

i)(1VV nn +×=&&

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

20

Solución:

1. Cálculo del valor actual y final de la renta constante, temporal y prepagable.

  Valor actual

i)1(i

i)(11 n

0 +×+−

×=−

C V &&  

 €24,590.67)10,1(10,0

)10,1(1000.10

10

0 =×−

×=−

V &&  

  Valor final

)i(1i

1i)(1C

n

+×−+

×=nV &&  

 €67,311.175)10,1(10,0

1)10,1(000.10

10

=×−

×=nV &&  

También podríamos haber calculado el valor final como:

nn iV V  )1(0 +×= &&&&

 

 €67,311.175)10,1(24,590.67 10 =×=nV &&  

2. Cálculo del valor actual para un diferimiento de 2años 

=0/V d  && i)(1i)(1i

i)(11C

d n

+×+×+−

× −−

 

=0/2 V &&  €70,859.55)10,1()10,1(10,0

)10,1(1000.10 2

10

=××−

×= −−

 

3. Cálculo del valor final si la valoración se efectúa 2 años después de la finalización dela renta

=nV h &&/i)(1i)(1

i

1-i)(1C h

n

+×+×+

× 

=nV &&/2  €12,127.212)10,1((1,10)0,10

1-(1,10)10.000 2

10

=×××  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

21

3.2.4 Renta constante, prepagable y perpetua

Las rentas constantes, prepagables y perpetuas presentan las siguientescaracterísticas:

  Todos sus términos son iguales entre sí.  Los términos vencen al principio de cada período.  Están compuestas por un número infinito de términos.

Dependiendo de cuál sea el momento de valoración de estas rentas tendremos:

1.  Inmediatas 

El valor actual de la renta constante, prepagable, inmediata y perpetuaserá igual al valor actual de la renta constante, prepagable, inmediata

y temporal cuando el número de términos tiende ∞ .Por tanto, el valor actual de la renta unitaria, constante, prepagable,inmediata y perpetua que representaremos como ä ∞  ┐i será:

ä ∞  ┐i Lím

n ∞→= a&& n ┐i =  Límn ∞→ )1(

1)1(

)1(1i

ii

i

i n

+×=+×+− −

 

ä ∞  ┐i )1(1

ii

+×=  

El valor actual de la renta constante, prepagable, inmediata y perpetuade cuantía C será:

0V &&  = C a&& ∞  ┐i = )1(1

ii

C  +××  

2.  Diferidas 

El valor actual de una renta constante, perpetua, pospagable y diferidad períodos será igual a:

=0/V d && C a

&& ∞  ┐i ×  )1()1(1)1( iii

C i d d  +×+××=+ −−  

Ejemplo:

Dada una renta constante, prepagable y perpetua de términos de cuantía10.000€. Calcular:

1.  El valor actual de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años

Sabiendo que el tipo empleado en la valoración es del 10%.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

22

Solución:

1. Cálculo del valor actual de la renta constante, prepagable y perpetua.

i)(1i

10 +××= C V &&  

 €000.110)10,1(0,10

1000.100 =××=V &&

 

2. Cálculo del valor actual si existe un diferimiento de 2años 

=0/V d  && i)(1i)(1

i

1C d  +×+×× −  

 €09,909.90)10,1()10,1(10,0

1000.10/2 2

0 =×××= −V &&  

3.3  RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Estas rentas se caracterizan porque sus términos varían en progresióngeométrica, siendo cada término igual al anterior multiplicado por unadeterminada cantidad “q”, a la que denominaremos razón.Si C1, C2, C3,...Cn son los términos de la renta que vencen en los momentos1,2,3,...,n respectivamente y “q” es el valor de la razón, tendremos que:

  Primer término Î C1   Segundo término Î C2= C1 x q  Tercer término Î C3= C2 x q= C1 x q x q= C1 x q2 

• • 

  Termino n-ésimo Î Cn=Cn-1 x q= C1 qn -1

 

Dependiendo de sus características, nos podemos encontrar con las siguientesclases de rentas variables en progresión geométrica:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

23

3.3.1 Rentas variables en progresión geométrica, pospagables ytemporales

Las rentas variables en progresión geométrica pospagables y temporalespresentan las siguientes características:

  Sus términos varían en progresión geométrica  Sus términos vencen al final del período  Presentan un número finito de términos

Estas a su vez pueden ser, según el momento de valoración:

  Inmediatas  Diferidas  Anticipadas

1.  Inmediatas 

  Valor actual 

Si el valor actual de una renta variable en progresión geométrica,pospagable, temporal e inmediata. Se designa como:

A(C1,q) n⎤ i

Donde C1 es el valor del primer término de la renta, q es la razón de laprogresión, n el número de términos de la renta e i es el tanto de

valoración.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

24

Su representación grafica, será:

0 1 2 n-1 n

C1 C2= C1q ........ Cn-1 = C1 qn-2 Cn= C1 qn-1

C1(1+i)-1 C1q(1+i)-2 

C1qn-2(1+i)-(n-1) 

C1qn-1(1+i)-n 

Así pues, matemáticamente tendremos:

A(C1,q) n⎤ i = C1(1+i)-1+ C1q (1+i )-2+ C1q2(1+i)-3+.....+C1qn-1(1+i)-n 

Si sacamos factor común C1 nos queda:

A(C1,q) n⎤ i = C1 [(1+i)-1+ q (1+i )-2+ q2(1+i)-3+.....+qn-1(1+i)-n ]

Y sabiendo que:

[(1+i)-1+ q (1+i )-2+ q2(1+i)-3+.....+qn-1(1+i)-n ]

Es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón

r = q(1+i)-1 

Donde:

o  Si q < (1+i)

Nos encontramos con una progresión geométrica decreciente, en lacual la suma de sus términos, es:

Si en la expresión anterior sustituimos los valores de nuestraprogresión nos queda:

1 nra aS

1 r

−=

n-1-1 -n -1-q q(1+i) (1+i) (1+i)S=

-11-q (1+i)

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

25

Operando obtendremos, que:

q i1

i)(1 nq n1S

−++ −−

=  

Como:

A(C1,q) n⎤ i = C1 [(1+i)-1+ q (1+i )-2+ q2(1+i)-3+.....+qn-1(1+i)-n ]

Sustituyendo el valor del corchete por el de la suma de términos deuna progresión geométrica decreciente, obtenemos:

q i1

i)(1 nq n1Cinq),CA( 11

−+

+ −−=⎤  

o  Si q = (1+i)

La representación gráfica de la renta, será:

0 1 2 n-1 n

C1 C2= C1(1+i) .......................... Cn-1 = C1(1+i)n-2 Cn= C1(1+i)n-1 C1(1+i)-1 

C1(1+i)1(1+i)-2 

C1 (1+i)n-1(1+i)-n 

Matemáticamente la expresamos como:

A(C1,q) n⎤ i = C1(1+i)-1+ C1 (1+i) (1+i)-2+C1(1+i)2(1+i)-3 +.....+C1(1+i)n-1(1+i) -n

 

Eliminando exponentes:A(C1,q) n⎤ i = C1(1+i)-1+ C1 (1+i)-1+ C1(1+i)-1 +.....+C1(1+i)-1 

Que queda, como:

i)(1nCinq),A(C 111 +=⎤ −  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

27

3.  Anticipadas 

El valor final de una renta anticipada en h períodos, es igual al valor

final de la correspondiente renta inmediata multiplicada por (1+i)h

.

i)(11

q ni)(1 n

Ci)(1inq),CS(iq)n,CS(

h11

1

+−+−+

=+⎤=⎤

h

qi

h  

Ejemplo:

Calcular el valor actual y el valor final de una renta variable en progresióngeométrica, pospagable, de duración 10 años, si la cuantía del primer términoes de 10.000Є, el aumento anual acumulativo de los términos es el 10% y eltanto empleado en la valoración es el 10% efectivo anual.

Solución:

1.  Valor actual de la renta variable en progresión geométrica, pospagable ytemporal

i)(1nCinq),A(C 111 +=⎤ −   €09'909.90'10)1(x10.000x100'1010'10)A(10.000,1 1 ==⎤ −  

2.  Valor final de la renta variable en progresión geométrica, pospagable ytemporal.

 €77,794.235)10,1('10)1(x10.000x10i)(1i)(1nCinq),S(C 101n111 =×=++=⎤ −−  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

28

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión geométrica, temporal y pospagable

Calcular:

1.  El valor actual y final de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años3.  El valor final de la renta si se valora 2 años después de su

finalización

Sabiendo que el importe del primer término es de 10.000 €, que elaumento anual acumulativo de los términos es un 5%, que la duración dela renta es de 10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.

Solución:

1. Valor actual y final de la renta pospagable de duración 10 años

  Valor actual

q i1

i)(1 nq n1Cinq),CA( 11

−++ −−

=⎤  

 €12,398.7405,110,1

(1,10)

01

(1,05)

10

1000.0110,010,05)A(10.000,1 =−

−=⎤  

  Valor final

qi −+

−+=⎤

1

q ni)(1 n

Cinq),CS( 11

 

 €57,969.192)05,1()10,1(

(1,05)10(1,10)10000.1010,010,05)S(10.000,1 =

−=⎤

 

2. Valor actual de la renta para un diferimiento de 2 años

d 11 i)(1

q i1

i)(1 nq n1Cinq),Cd/A(

−+−+

+ −−=⎤  

 €05,486.61,10)1()05,1()10,1(

(1,10) 01)05,1(1000.1010,010,1,05)2/A(10.000

210

=−

−−=⎤ −  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

29

3. Valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización

h11 i)(1

q i1

q ni)(1 n

Cinq),Ch/S( +−+

−+=⎤  

 €18,493.233)10,1()05,1()10,1(

(1,05)10(1,10)10000.1010,010,1,05)2/S(10.000 2 =

−=⎤  

3.3.2 Rentas variables en progresión geométrica, pospagables yperpetuas

Las rentas variables en progresión geométrica pospagables y perpetuaspresentan las siguientes características:

  Sus términos varían en progresión geométrica.  Sus términos vencen al final del período  Tienen un numero infinito de términos

Dependiendo del momento en que se efectúe su valoración estas pueden ser:

  Inmediatas  Diferidas

1.  Inmediatas 

Para hallar su valor actual tendremos que calcular el límite cuando ntiende a ∞ en la fórmula del valor actual de la renta variable enprogresión geométrica, pospagable, inmediata y temporal.

  Si q < (1+i)

( ) 0i)(1

q  n 

1

1C

q i1

i)(1 nq n1Climiq),CA(

ncuandoqueYa

1n 1

1

=+

∞→

−+=

−+

+ −−=∞⎤

∞→ qi 

  Si q > (1+i)

( ) ∞=+

∞→

∞=−+

=−+

+ −−=∞⎤

∞→

i)(1

q  n 

1

1C

q i1

i)(1 nq n1Climiq),CA(

ncuandoqueYa

11n

1qi

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

30

  Si q = (1+i)

∞=+∞→

=∞⎤ −)1(Cnnlimiq),A(C 1

11 i 

2.  Diferidas 

El valor actual de una renta variable en progresión geométrica,pospagable, perpetua y diferida, será:

i)(11

1Ci)(1iq),CA(

iq),CA(d 

111

+ −−+

=+ −∞⎤=∞⎤

qi

d   

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión geométrica y perpetua, cuyo primertérmino es de 10.000€, y cuya razón es igual a 1,05. Calcular el valor actualde dicha renta sabiendo que existe un diferimiento de 5 años, y que el tantode interés empleado en la valoración el 10%.

Solución:

 €26'184.124(1'10) 5

05'110'1

1000.01

0'10'05)A(10.000,15

i)(11

1Ci)(1iq),CA(

iq),CA(d 

111

=−−

=∞⎤

+ −−+

=+ −∞⎤=∞⎤

qi

 

3.3.3 Rentas variables en progresión geométrica, prepagables ytemporales

Las rentas variables en progresión geométrica, prepagables y temporales secaracterizan porque:

  Sus términos varían en progresión geométrica  Sus términos vencen al principio de cada período  Por tener un numero finito de términos

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

31

Y a su vez, y dependiendo del momento de su valoración, estas pueden ser:

  Inmediatas  Diferidas

  Anticipadas1.  Inmediatas 

  Valor actual 

Para obtener el valor actual de una renta prepagable basta conmultiplicar por (1+i) el valor actual de su respectiva renta pospagable.

o  Si q ≠ (1+i)

)1(q i1i)(1 nq n1Ci)(1iq),CA(iq),C(A 111 inn +

−++ −−=+⎤=⎤&&  

o  Si q = (1+i)

Cni)(1ii),1CA(ii),1C(A 111 =+⎤+=⎤+ nn&&

 

  Valor final 

o  Si q ≠ (1+i)

i)(1q i1

q ni)(1 nCi)(1iq),CS(iq),C(S 111 +

−+

−+=+⎤=⎤ nn&&

 

o  Si q = (1+i)

i)(1Cni)(1ii),1CS(ii),1C(S 111 +=+⎤+=⎤+ nnn&&

 

2.  Diferidas 

El valor actual de la renta diferida es igual al valor actual de lacorrespondiente renta inmediata multiplicado por (1+i)-d, donde d es elnúmero de períodos de diferimiento

i)(1)1(

1

)1(1Ci)(1iq),C(A

iq),C(A

d 11

1

+ −+

−+

+−=+ −⎤=

−d i

qi

iqd n

n

nn

&&&&

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

33

2. Prepagable de duración 10 años con un diferimiento de 2 años

 €66,634.67'10)1( 2)10'1(05'110'1

)10'1(05'11000.01

10'00105)(10.000,1'A2

i)(1)1(1

)1(1Ciq),C(A

1010

11

=−−

−=

+ −+−+ +−=⎤−

&&

&&d i

qiiq

n

nn

 

3. Prepagable de duración 10 años y valorada 2 años después de finalizada la renta.

 €49,842.256'10)1( 2)10'1(

05'110'1

05'1 10)10'1( 1000010.

10'00105)(10.000,1'S2

i)(1)1(1

)1(C1iq),C(S

h

1

=−

−=

++−+

−+=

&&

&&hi

qi

q ni n

3.3.4 Rentas variables en progresión geométrica, prepagables yperpetuas

Las rentas variables en progresión geométrica, prepagables y perpetuas secaracterizan porque:

  Sus términos varían en progresión geométrica  Sus términos vencen al comienzo de cada período  Tienen un numero infinito de términos

Estas pueden ser a su vez

  Inmediatas  Diferidas

1.  Inmediatas 

Para hallar su valor actual tendremos que calcular el límite cuando ntienda a infinito en la fórmula del valor actual de la renta variable enprogresión geométrica, prepagable, inmediata y temporal.

)1(1

1i)(1),A(Clim),(CA 11

n1 i

qiC inqiq +

−+=+⎤=∞⎤

∞→

&&  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

34

2.  Diferidas Se obtiene multiplicando por (1+i)-d el valor actual de la inmediatasiendo d el numero de períodos de diferimiento.

i)(1)1(1

1C

 ),C(Ad  d 

11

++−+

=∞⎤

−i

qiiq&& 

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión geométrica prepagable y perpetua.Calcular:

1.  El valor actual2.  El valor actual si existe un diferimento de 5 años

Siendo la cuantía del primer termino 10.000€, la razón 1’05, y el tanto deinterés utilizado en la valoración el 10%.

  El valor actual 

 €000.220)10'1(05'110'1

1000.0110'0)05'1,(10.000A

)1(1

1 ),(CA 11

=−

=∞⎤

+−+

=∞⎤

&&

&& iqi

C iq

 

  El valor actual para un diferimento de 5 años

 €69,602.1365

)10,1)(10'1(05'110'1

1

000.01 10'0)05'1,(10.000A5

5)1)(1(

1

1

 ),(CAd 

11

=−

−=∞⎤

−++−+

=∞⎤

&&

&&ii

qiC 

iq 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

35

3.4  RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Las rentas variables en progresión aritmética se caracterizan porque sus términosvarían de un período a otro en una determinada cantidad constante quellamamos razón y que designamos como “d”.

Si tenemos una renta variable en progresión aritmética sus términos serán:

  Primer término Î C1   Segundo término Î C2=C1+d

  Tercer término Î C3=C2+d=C1+2d• • • 

  Término n-ésimo Î Cn=Cn-1+d=C1+(n-1)d

Las rentas variables en progresión aritmética pueden ser:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

36

3.4.1 Rentas variables en progresión aritmética, pospagables ytemporales

Las rentas variables en progresión aritmética, pospagables y temporales

presentan las siguientes características:

  Sus términos varían en progresión aritmética  Sus términos vencen al final del período  Presentan un número finito de términos

Dependiendo del momento de valoración estas pueden ser:

  Inmediatas  Diferidas

  Anticipadas

1.  Inmediatas 

  Valor actual 

El valor actual de estas rentas se representa gráficamente del siguientemodo: 

0 1 2 3 n-1 n

C1 C2= C1+d ........ Cn-1 = C1+(n-2)d  Cn= C1 +(n-1)d 

C1(1+i)-1 (C1+d)(1+i)-2 

[C1+(n-2)d](1+i)-(n-1) [C1+(n-1)d](1+i)-n 

Podremos obtener el valor actual de la renta variable en progresiónaritmética, pospagable, temporal e inmediata como la suma de las nrentas constantes en que podemos dividir la renta variable en

progresión aritmética de n términos.

Renta1:

1 2 3 n-1 nC1 C1 C1 …… C1 C1 

Renta2:

1 2 3 n-1 n

d d ….. d d

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

38

Si en esta expresión sumamos y restamos el cociente dn/i , resultaque:

i

dnndn

i

d Cn),CA(

:Entonces

i

dn

i

i)(1-1dnn

i

d C

i

dn

i

i)(1

i

1dnn

i

d C

idni)(1

id n

idnn

id Cn),CA(

11

n

1

n

1

n11

−⎤⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ++=⎤

−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛  ++⎤⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=

=−⎟⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛  +−+⎤⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=

=−+−+⎤⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +=⎤

iaid 

ia

ia

iaid 

 

  Valor final 

El valor final de una renta es igual al valor actual de dicha rentamultiplicado por (1+i)n.

El valor final de una renta variable en progresión aritmética,pospagable, temporal e inmediata, será:

i)(1 nind),A(Cind),S(C 11 +⎤=⎤  

De donde:

i

dn

i

1i)(1 n

i

d  i)(1 ni)(1 n-

i

dn

i

i)(1-1 n-

i

d  ind),S(C 111 −

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛  −+⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=+

⎥⎥

⎢⎢

⎡+−

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛  +⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎤ C C   

2.  Diferidas 

El valor actual de la renta diferida será igual al valor actual de la rentainmediata multipicado por (1+i)-d , siendo d el número de períodos de

diferimiento.

i)(1

i

dnndn

i

 in),A(Cd 

 i)(1in),A(C in),A(Cd 

11

11

:dondeDe

+−⎤++=⎤

+⎤=⎤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

iaC d 

d d 

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

39

3.  Anticipadas 

El valor final de la renta anticipada será igual al valor final de la rentainmediata multiplicado por (1+i)h siendo h el número de períodos de

anticipación.

i)(1i

d ninS

i

d C

 n),CS(h

:donde De

i)(1n),CS( n),CS(

h

h1

1

h1

1

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎤⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=

+⎤=⎤

id 

id id 

 

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión aritmética, temporal y pospagableCalcular:

1.  El valor actual y final de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años3.  El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización

Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€, que dichostérminos se incrementarán cada año en 500€, que la duración de la renta es de

10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.Solución:

1. Renta variable en progresión aritmética, pospagable, de duración 10 años

  Valor actual

( )  €34,891.720'10

5.000,144567116000.5000.5000.1010'010)500,A(10.000

14456711,610'0

)10,1(110'010 Siendo

0'10

10x50010'01010x005

0'10

500000.1010'010)500,A(10.000

i

dnndn

i

d Cn),A(C

10

11

=−++=⎤

=−

=⎤

−⎤⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ ++=⎤

−⎤⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ++=⎤

a

a

iaid 

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

40

  Valor final 

( )  €37,061.1890'10

5.000015,9374246000.5000.1010'010)500,S(10.000

93742460,1510'0

1)10,1(10'010 Siendo

0'10

10x50010'010

0'10

500000.1010'010)500,S(10.000

i

dnn

i

d Cn),S(C

10

11

=−+=⎤

=−

=⎤

−⎤⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  +=⎤

−⎤⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛  +=⎤

iS id 

 

2. Valor actual para un diferimento de 2 períodos

 €78,240.601,10)72.891,34( 10'010)500,A(10.000

2

 i)(1in),A(C

 in),A(C

2-

-d 

11

==⎤

+⎤=

⎤d 

d   

3. Valor final si la renta se valora 2 años después de su finalización

 €26,764.228(1,10)189.031,73 10'010)500,S(10.000

2 2

11

 i)(1in),S(C in),S(C

==⎤

+⎤=⎤ q

3.4.2 Rentas variables en progresión aritmética pospagables y perpetuas

Las rentas variables en progresión aritmética, pospagables y perpetuas presentanlas siguientes características:

  Sus términos varían en progresión aritmética  Los términos vencen al final de cada período  Presentan un número infinito de términos

Pudiendo ser según el momento de su valoración:  Inmediatas  Diferidas

1.  Inmediatas 

El valor actual de la renta variable en progresión aritmética,pospagable y perpetua será:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

41

i

1

i

d Ci)(1 n-

i

d  

nlim

i

d C

i)(1 n-i

d  a

i

d C

nlimd),A(C

nlimd),A(C

11

111

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

+=+−⎤∞→

+=

=+−⎤+∞→

=⎤∞→

=∞⎤

nina

ninini

 

2.  Diferidas 

Su valor actual va a ser igual al de la renta inmediata multiplicado(1+i)-d, donde d es el número de períodos de diferimiento.

i)(1

i

i

d  

i),A(Cd 

 i)(1i),A(C i),A(Cd 

d -

11

11

:dondeDe

++=∞⎤

+∞⎤=∞⎤

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

C d 

d d 

 

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión aritmética, perpetua y pospagable

Calcular:1.  El valor actual de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 5 años

Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€, que dichostérminos se incrementarán cada año en 500€ y que el tipo empleado en lavaloración es del 10%.

Solución:

  Valor actual de renta perpetua

 €000.150i)500,A(10.000

0'10

1x

10'0

500000.01i)500,A(10.000

i1x

id Cid),A(C 11

=∞⎤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=∞⎤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛  +=∞⎤

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

42

  Diferida en 5 años y perpetua

( )

( ) €20,138.93

 10'0)500,0.0001A(5

 

0'10)(1 5x0'10

1x0'1050010.000

 10'0)500,0.0001A(5

 i)(1 d 

i

i

d C1 ind),C1A(

=∞⎤

+ −+=

∞⎤

+ −+=⎤

 

3.4.3 Rentas variables en progresión aritmética, prepagables ytemporales

Las rentas variables en progresión aritmética, prepagables y temporales secaracterizan porque:

  Sus términos varían en progresión aritmética  Los términos vencen al inicio de cada período  Presentan un número finito de términos

Dependiendo del momento de su valoración estas pueden ser:

  Inmediatas  Diferidas  Anticipadas

1.  Inmediatas 

  Valor actual 

El valor actual de esta renta será igual al valor actual de la rentavariable en progresión aritmética, pospagable temporal e inmediatamultiplicado por (1+i).Por tanto tendremos, que:

i)(1d),A(Cind),(CA 11 +⎤=⎤ in&&  

De donde:

)1(i)(1n-

i

d  

i

d  d),(CA 11 ininaC in ++−⎤+=⎤ ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ &&

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

43

  Valor final 

El valor final de una renta variable en progresión aritmética,

prepagable, temporal e inmediata será igual al valor final de una rentavariable en progresión aritmética, pospagable, temporal e inmediatamultiplicado por (1+i).

i)(1d),CS(ind),C(S 11 +⎤=⎤ in&&  

De donde:

)1(i

d  S

i

d Cd),C(S 11 ininin +⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎤⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎤&&

 

2.  Diferidas 

El valor actual de la renta diferida, será igual al valor actual de la rentainmediata multiplicado por (1+i)-d , donde d es el número de períodosde diferimiento.

i)(1i)(1i)(1i

nd 

 -inai

C in),C(Ad 

:donde De

 i)(1in),C(A in),C(Ad 

d n

11

11

++⎥⎦

⎢⎣

+⎤⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎤

+⎤=⎤

−−

d d 

&&

&&&&

 

3.  Anticipadas 

El valor final de la renta anticipada será igual al valor final de la rentainmediata multiplicado por (1+i)h siendo h el número de períodos deanticipación.

h1

1

h

11

i)i)(1(1i

nd  -inS

i

d  in),(CS

h

 i)(1in),(CS in),(CS

h

:donde De

++⎤+=⎤

+⎤=⎤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ C 

d d 

&&

&&&&

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

44

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión aritmética, temporal y prepagableCalcular:

1.  El valor actual y final de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 2 años3.  El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización

Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€, que dichostérminos se incrementan cada año en 500€, que la duración de la renta es de10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.

Solución:

  Renta variable en progresión aritmética, prepagable, de duración 10 años

o  Valor actual

 €48,180.80(1'10)x10'0

500x10

10'0

(1'10)110x500

10'0

500000.10

i)1(i

d  nxd 

i

d Ci)(1d),A(Cd),(CA

10

111

=−−

++

=+−⎤++=+⎤=⎤

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

ninainin&&

 

o  Valor final

 €51,967.207(1'10)x10'0

500x10

10'0

1)10,1(

10'0

500000.10

)1(i

d ninS

i

d i)(1d),S(Cind),(CS

10

111

=−−

+=

+−⎤+=+⎤=⎤

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ iC in&&

 

  Valor actual si existe un diferimiento de 2 años

 €86,264.66(1,10)(1'10)x10'0

500x10

10'0

(1'10)110x500

10'0

500000.10

i)i)(11(i

d  nxd 

i

d i)(1d),A(Cd),(CA2/

2-10

2-111

=×−−

++

=++−⎤++=+⎤=⎤

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

ninaC inin&&

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

45

  Valor final si la renta se valora 2 años después de su finalización

 €68,640.251(1,10)(1'10)x10'0

500x10

10'0

1(1'10)

10'0

500000.10

)1)(1(id ninSid Ci)(1d),S(Cind),(CS2/

210

111

=×−−

+=

++−⎤+=+⎤=⎤

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛  hiiin

&&

 

3.4.4 Rentas variables en progresión aritmética prepagables y perpetuas

Las rentas variables en progresión aritmética, prepagables y perpetuas secaracterizan porque:

  Sus términos varían en progresión aritmética  Los términos vencen al inicio de cada período  Presentan un número infinito de términos

Dependiendo del momento de valoración estas pueden ser:

  Inmediatas  Diferidas

1.  Inmediatas 

El valor actual de una renta variable en progresión aritmética,prepagable y perpetua será igual al valor actual de la renta variable enprogresión aritmética, pospagable y perpetua multiplicado por (1+i).

i)(1d),CA(id),C(A 11 +∞⎤=∞⎤ i&&  

De donde:

i)1(i

1

i

d Cd),C(A 11 +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=∞⎤i&&

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

46

2.  Diferidas 

El valor actual va a ser igual al de la renta inmediata multiplicado por(1+i)-d donde d es el número de períodos de diferimiento.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +++=

∞⎤

+∞⎤=∞⎤

i)(1i)(1i

i

d C1 i),(CA

 i)(1i),(CA i),(CAd 

1

11

:donde De

d d 

&&

&&&&

 

Ejemplo:

Dada una renta variable en progresión aritmética, perpetua y prepagableCalcular:

1.  El valor actual de dicha renta2.  El valor actual si existe un diferimiento de 5 años

Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€ , que dichostérminos se incrementarán cada año en 500€ y que el tipo empleado en lavaloración es del 10%.

Solución:

  Cálculo del valor actual

165.000€0'100)(10.000,50A

10),(10'10

1

0'10

50010.0000'100)(10.000,50A

i)(1i

1

i

d Cid),(CA 11

=∞⎤

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=∞⎤

+⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=∞⎤

&&

&&

&&

 

  Cálculo del valor actual si existe un diferimento de 5 años

 €02,452.102 0'10)500,(10.000A

5

,10)1()10'1(0'10

0'10

500000.10

 0'10)500,(10.000A5

i)(1i)(1i

i

d C

 id),(CAd 

 

5

d 1

1

=∞⎤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=

∞⎤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=

∞⎤

&&

&&

&&

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

47

3.5  RENTAS FRACCIONADAS

Son rentas fraccionadas aquellas en las que los cobros o pagos se realizan conuna periodicidad inferior al año, es decir, estos pueden ser trimestrales,

cuatrimestrales, semestrales...Estas rentas reciben el nombre de rentas fraccionadas de frecuencia m, siendo elnúmero de términos que las componen nxm.

3.5.1 Rentas constantes

Las rentas fraccionadas constantes son aquellas en las que todos sus términosson de igual cuantía “Cm”, para las distintas fracciones de año, durante toda laduración de la renta.Las fórmulas generales estudiadas anteriormente son válidas para las rentas

fraccionadas, siempre y cuando se realicen en ellas los ajustes pertinentes.

Para efectuar la valoración de estas rentas podemos, bien:

  Utilizar el tanto de interés equivalente  Utilizar el factor de transformación

3.5.1.1  Rentas pospagables

  Valor actual 

1.  Si utilizamos tantos de interés equivalentes.

Sean los términos de la renta constantes y de cuantía “Cm”, m elnúmero de fracciones en que se divide el año, n el número de años e im el tanto de interés equivalente.

La representación gráfica de esta renta, será:

0 1 2 n

0 im m 2m n x m

Cm Cm Cm

Cm(1+ im)-1 Cm(1+ im)-2 

Cm (1+ im)-nxm 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

48

Matemáticamente la expresaremos como:

V0(m)=Cm(1+ im)-1+ Cm(1+ im)-2 +Cm(1+ im)-3+...+ Cm(1+ im)-n x m 

Sacando factor común a Cm nos queda:

V0(m)=Cm[(1+ im)-1+ (1+ im)-2 +(1+ im)-3+...+ (1+ im)-n x m] 

La expresión que aparece en el corchete es la suma de términos de unaprogresión geométrica decreciente que será igual a:

r aaS  n

×−=

1

Operando, obtendremos que:

i

)i(11  CV

m

mmn x

(m)0

+−=

 

Si la renta fuese perpetua, su valor actual sería:

i

1CV

m

(m)0 =  

2.  Si utilizamos el factor de conversión.

En este caso vamos a partir de la expresión del valor actual obtenidoempleando el tanto equivalente

i

)i(11  CV

m

mmn x

(m)0

+−=

 

Como ya se estudio en el capítulo anterior, la relación entre tantosequivalentes en compuesta, es:

(1+i)=(1+ im)m

Y el tanto nominal equivalente a un tanto de interés k-esimal, es:

m

Jmim =  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

49

Si la relación entre tantos equivalentes la expresamos para n períodos,y además elevamos los 2 miembros a(-1), tenemos:

(1+i)-n=(1+ im)-n x m 

Sustituyendo estos valores en la expresión del valor actual obtenida enfunción del tanto equivalente, nos queda:

m

Jm

i)(11 nCV(m)

0

+− −=  

Operando tenemos, que:

Jm

i)(11 nxmxCV(m)

0

+− −=  

Ahora si multiplicamos y dividimos por el tipo de interés, tenemos:

inaxJm

ixmxC

i

i)(11 nx

Jm

ixmxCV(m)

0⎤=

+− −=  

  Valor final  

1.  Si utilizamos tantos de interés equivalentes. 

El valor final es igual al valor actual de la renta capitalizado los nperíodos de duración de esta, es decir, el valor actual multiplicado por(1+im)n x m.

De donde:

im

1)im(1  mn x

C)im(1

mn x

im

)im(11  mn x

CV(m)n

−+

=+

+− −

=  

2.  Si utilizamos el factor de conversión 

iSn jm

ixmxC

i

1)i(1 n

x jm

ixmxCV(m)

n ⎤×=−+

=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

50

3.5.1.2  Rentas prepagables

Los valores actuales y finales prepagables serán iguales a los pospagablesque acabamos de obtener, multiplicados por (1+im)

Ejemplo:

Calcular el valor actual de una renta de términos de 1.000€ trimestrales,pospagables, de duración 5 años, si el tanto empleado en su valoración es el10% efectivo anual.

Solución:

Se trata de una renta fraccionada ya que el tanto de interés viene expresado en años ylos términos son trimestrales.

  Cálculo del valor actual utilizando el tanto equivalente trimestral

i4=(1+i)1/4-1=0’02411369€

 €48'720.150'02411369

'02411369)1(1  20000.1

im

)im(11  mn xCV(m)

0=

− −=

+− −=  

  Cálculo del valor actual utilizando el factor de conversión

Jm=im x m =0’02411369 x 4 =0’09645476

 €48'720.150'10

'10)1(1 5

09645476,0

10,04000.1

i

)i(1-1n

mJ

imCV

(m)0

=− −

×××=+ −

×××=  

3.5.2 Rentas fraccionadas variables en progresión geométrica

En este tipo de rentas, en las que sus términos varían en progresión geométrica,nos podemos encontrar ante dos situaciones:

  Que los términos varíen en progresión geométrica de un período a otro,manteniéndose constantes para las distintas fracciones en que sedivide el período.

  Que los términos vayan variando en progresión geométrica desde elprimero hasta el último de ellos.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

51

3.5.2.1  Rentas pospagables

  Si los términos varían en progresión geométrica de un período a otro,manteniéndose constantes para las distintas fracciones en que se

divide el período.

o  Valor actual  

Gráficamente lo representaremos, como:

0 1 2 n

0 im m 2m n x m

m+1

Cm Cm Cm Cm x q Cm x qn-1 

Cm(1+ im)-1 Cm(1+ im)-2 

Cm(1+ im)-m Cm x q(1+ im)-(m+1) 

Cm x qn-1(1+ im)-nxm 

En este caso podremos calcular el valor actual mediante cualquierade los 2 siguientes procedimientos:

1.  Calculando los términos anuales equivalentes

Lo que hay que hacer es calcular los términos anuales (C1,C2, ..,Cn)que sean equivalentes a los términos m-esimales. Estos serán igualesa:

immSq CmC

immSq CmC

immSCmC

2*3

*2

*1

⎤=⎤=

⎤=

 

Donde:

q -i1

i)(1 nq 1Cinq)C ,

(Ainq)C ,(A(m)n

*1

*1m +

+ −−=⎤=⎤

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

52

Siendo:

*1C  :el término anual equivalente correspondiente al primer período

de la renta )imSm( *1 ⎤= mC C   

q: la razónn: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón)i : el tanto de interés (en la unidad de tiempo de la razón)

2.  Utilizando el factor de transformación

q -i1

)i(1  q 1

J

imCinq)C ,(A(m)

nn

m

mm +

+−××=⎤

 

o  Valor final 

1.  Calculando los términos anuales equivalentes

q -i1

q i)(1Cinq)C ,

(Sinq)C ,(S(m)nn

*1

*1m +

−+=⎤=⎤

 

2.  Utilizando el factor de transformación

q -i1

q i)(1

J

imCinq)C ,(S(m)

nn

m

mm +−+

××=⎤ 

  Si los términos varían en progresión geométrica desde el primero deellos hasta el último.

0 1 2 n

1 2 3 m 2m nxm 

Cm Cmq Cmq2 Cmqm-1 Cmq2m-1 Cmqnxm-1 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

53

o  Valor actual 

q

q

−++−

=⎤−×

×

m

mmn xmn

mmmnmi1

)i(11Ciq),C(A(m)

 

o  Valor final  

qi

qiC 

m

mnmn

m −+−+

=+⎤=⎤××

×××

1

)1()i(1iq),C  (A(m)iq),C(

(m)S m

mnmmnmmmnm  

3.5.2.2  Rentas prepagables

  Valor actual 

Es igual al valor actual de la renta pospagable multiplicado por (1+im)

)i(1inq),C  (A(m) inq),C  (A(m)

mmm +⎤=⎤&&  

  Valor final 

)i(1inq),C(S(m) inq),C  (S(m)

mmm +⎤=⎤&&  

Ejemplo:

Calcular el valor actual de una renta de términos de 1.000€ trimestralespospagables, que aumentan anualmente en un 5% , de duración 5 años, ysiendo el tanto de interés empleado en su valoración del 10% efectivo anual.

Solución:

Se trata de una renta fraccionada ya que el tanto de interés viene expresado en años ylos términos son trimestrales.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

54

  Cálculo del valor actual utilizando el término equivalente

4.147,02€02411369'04S000.1C

 j

ixmxCimSCC

1

mmmm1

=⎤=

=⎤=  

( )  €59,212.1705,110,1

(1,10)  5(1,05)1  5 0,105,054.147,02;1AV0 =

−−⎤=  

  Cálculo del valor actual utilizando el factor de transformación

 €59,212.171,05-1,10

,10)1( 5-,05)1(-1  5x

0,09645476

0,10x4x1.0000,105'05)1,;000.1(A(4) ==⎤

 

3.5.3 Rentas fraccionadas variables en progresión aritmética

Ante este tipo de rentas, en las que sus términos varían en progresión aritmética,

nos podemos encontrar con dos situaciones:

  Que los términos varíen en progresión aritmética de un período a otromanteniéndose constantes para las distintas fracciones en que sedivide el período.

  Que los términos vayan variando en progresión aritmética desde elprimero de ellos hasta el último.

3.5.3.1  Rentas pospagables

  Si los términos varían en progresión aritmética de un período a otro,manteniéndose constantes para las distintas fracciones del período.

o  Valor actual  

Podemos calcular el valor actual de las dos siguientes formas:

1.  Calculando el término equivalente 

Lo que hay que hacer es calcular el primer término anual *1C  que

sea equivalente a los términos m-esimales, y calcular también elimporte de la razón que sea equivalente. Estos serán iguales a:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

55

 j

ixmxCimSC

m

mmm*1 =⎤=C   

 j

i

xmxd imSd d  mmmm

* =⎤= 

Donde:

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  −−

+××

−+−

+=⎤=⎤ ni)1(i

d n

i

i)(1  1

i

d Cin)d C ,

(Aind)C ,(A(m)*n*

*1

**1m  

Siendo:

*

1C  : el término equivalente

*d  : la razón equivalenten : el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón)i : el tanto de interés (en la unidad de tiempo de la razón)

2.  Utilizando el factor de transformación

⎥⎦

⎢⎣

⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎝ 

⎛ 

+

×

×

+×=

⎤××=⎤

i)(1i

md 

n x-iani

md 

mC j

i

inm)d m,C  (A j

i ind),C  (A(m)

n

mm

m

m

m

 

o  Valor final  

)i(1ind),C  (A(m) ind),C  (S(m) n

mm+⎤=⎤  

  Si los términos van variando en progresión aritmética desde el primerode ellos hasta el último

o Valor actual 

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ×−+×⎤+=⎤ mnm

mmmn x

mmmn xm )i(1

i

d xmn x-ia

i

d Cimd),C(A(m)

 

o  Valor final  

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⎤+=⎤m

mmn xm

mmn xmi

d xmn x-iS

i

d Cimd),C(

)(mS 

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

57

3.6  RENTAS CONTINUAS

Una renta continua es aquella que tiene períodos de amplitud infinitesimal, por loque se produce un flujo constante de capitales.

Se pueden calcular los valores actuales y finales de estas rentas partiendo de lasfórmulas de las rentas fraccionadas y haciendo tender el fraccionamiento a ∞ .

  Rentas constantes

El valor actual de la renta continua, inmediata, temporal y unitaria, lopodremos obtener como el límite de la renta unitaria, discreta yfraccionada de frecuencia m, cuando dicha frecuencia tiende a ∞ .

a n ┐i = )(m Límm a∞→ n ┐i =  Lím

m ∞→ ii

i

 J 

in

m

=+− −

)1(1a n ┐i ×   Lím

m ∞→m J 

Desarrollando el límite cuando m tiende a ∞ del tanto de interésnominal tendremos:

=×= ∞→∞→ mi J  m Lím

mm Lím

m Lím

m ∞→   mi m ×⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−+ 1)1(

1

= Límm ∞→

m

i m

1

1)1(

1

−+ 

Si aplicamos la regla de L´Hopital este límite será igual a:

 Límm ∞→

m

i m

1

1)1(

1

−+ = Lím

 x 0→ )1(1)1(

i Ln X 

i x

+=−+  

an ┐i =

 Límm ∞→

)1(

)1(1

i Ln

i

i

i

 J 

in

m +=

+− −a

n ┐i

a n ┐i

)1( i Ln

i

+

= a n ┐i

 Si la renta en lugar de ser unitaria fuese constante de cuantía C (C=Cmx m) su valor actual sería:

0V )1( i Ln

iC 

+×= a n ┐i 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

59

  Rentas variables en progresión aritmética:

),( d C  A n ┐i = )( dn

i

d C  ++ a n ┐i - 

)1( i Ln

dn

Las rentas continuas se emplean cuando el fraccionamiento es superior a12 (m>12). 

Ejemplo:

¿Cuál será el valor actual y final de una renta diaría de 50€ que percibiremosdurante 5 años, si el tanto empleado en su valoración es del 10%.?

Solución:

1º Cálculo del valor actual:

0V )1( i Ln

imC m +

××= a n ┐i

0V )10,01(

10,036550

+××=

 Lna 5 ┐0,10 = 72.586,01€

2º Cálculo del valor final :

nV  0V)1( ni+=  

nV  72.586,01)10,01(

5

+= = 116.900,50

nV )1( i Ln

imC m +

××= S n ┐i  €50,900.11610,0

1)10,1(

)10,1(

10,036550

5

=−

×××= Ln

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

60

3.7  RENTAS CONSTANTES DE PERÍODO UNIFORME SUPERIOR ALAÑO

Las rentas constantes con periodicidad superior al año son aquellas cuyaamplitud, que llamaremos p, va a ser superior al año. En ellas sus términos sehacen efectivos cada “p” años o cada “p” períodos del tanto.

Podemos calcular estas rentas:

  En función del tanto de interés anual  En función del tanto de interés equivalente ip 

3.7.1 Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadasen función del tanto de interés anual “i”

La representación gráfica de una renta constante, temporal y pospagable en laque sus términos se hacen efectivos cada p períodos del tanto, será:

0 p 2p np

1 2 3 4 p+1 p+2

C C CC(1+i)-p

C(1+i)-2p 

C(1+i)-np 

Matemáticamente lo expresaremos como:

np p p iC iC iC V −−− ++++×++×= )1(...)1()1(

20  

( ) ( ) np p piiiC V 

−−− ++++++= )1(...112

0  

Donde ( ) ( )[ ]np p piii

−−− ++++++ )1(...112 es la suma de los términos de una progresión

geométrica decreciente de razón (1+i)-p, que como ya se ha visto anteriormenteserá:

r aaS  n

−=

1

1

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

61

Si sustituimos en la expresión anterior los valores de la progresión queda:

[ ]1)1(

)1(1)1(1

)1(1)1()1(1

)1()1()1(−+

+−=+−

+−+=+−

++−+=−

−−

−−−

 p

np

 p

np p

 p

 pnp p

ii

iii

iiiiS 

 

Si multiplicamos y dividimos por i tendremos:

ai

i

i

iS 

 p

np

=−+

+−=

1)1(

)1(1np ┐i 

i pS 

×1

 

an ┐i p

= an,p ┐i

= an ┐i

i pS  ⎤

×1

 

Las fórmulas serán:

  Renta constante, temporal, inmediata y pospagable:

o  Valor actual

0V  ×= C  an ┐ip

×= C    an,p ┐i  ×= C  a

np ┐i 

i pS 

×1

 

o  Valor final

nV    ×= C S n⎤ip

×= C S n,p⎤i  ×= C a

np⎤i i

 p

inp

np

i p S 

S C i

S ⎤

×=+×× )1(1

 

  Renta constante, temporal, inmediata y prepagable:

o

  Valor actual

0V && ×= C a&&n⎤ip  ×= C a&&

n,p⎤i  ×= C  anp⎤i 

i pS 

×1

i p

inp

a

a

C  p

i

⎤×=+× )1(  

o  Valor final

nV && ×= C S &&n⎤ip

×= C S &&n,p⎤i  ×= C   

i p

inp

np

i p

inp

a

S C i

a

a

⎤×=+× )1(  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 3. RENTAS

62

  Renta constante, perpetua, inmediata y pospagable:

o  Valor actual

0V  ×= C  a ∞ ⎤ip  ×= C  a ∞ ,p⎤ip ×= ∞→ C lím

n anp⎤i 

i p

i p iS 

C S 

⎤⎤

×=×11

 

  Renta constante, perpetua, inmediata y prepagable:

o  Valor actual

0V &&

×= C  a&&

∞ ⎤ip C límn ∞→= × a ∞ ⎤ip

i p

 p

aiC i

⎤×=+× )1(  

3.7.2 Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadasen función del tanto de interés equivalente ip 

Si nos proporcional el tanto de interés anual lo primero que se debe hacer escalcular el tanto de interés equivalente ip. El tanto de interés equivalente ip seobtendrá según la ecuación de equivalencia de forma que:

1+ip = (1+i)p 

De donde:

ip=(1+i)p-1

Las fórmulas serán las mismas que las estudiadas hasta ahora sustituyendo el

tanto de interés anual por el tanto de interés equivalente.

  Renta constante, temporal, inmediata y pospagable:

o  Valor actual

0V  ×= C  a n ┐ip

o  Valor final

nV 

 ×= C S 

n ┐ip 

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

6

4.2.2 Sistema de amortización americano

En el sistema de amortización americano el prestamista amortiza todo el capitalentregado al final de la operación y periódicamente va pagando los intereses

devengados.

Por tanto los términos amortizativos serán iguales a la cuota de interés de cadauno de los períodos, a excepción de la última, en la que además de los interesescorrespondientes se amortiza la totalidad del capital.

Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización debemosrealizar las siguientes operaciones:

1.  Cálculo de los intereses de cada período

Como el capital se amortiza en su totalidad en el último período los interesesvan a ser iguales al capital prestado inicialmente por el tanto de interésfijado.

Ik = C0 × i

2.  Cálculo de las cuotas de amortización

Al amortizarse el capital al final de la vida del préstamo el capital amortizadoen los n-1 primeros años será 0, siendo la última cuota de amortización igualal importe total del préstamo.

A1 = A2 = A3 = .... = An-1 = 0

An = C0 

3.  Cálculo de los términos amortizativos

Los términos amortizativos serán:

a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = Ik = C0 × i

an = In + An = C0 × i + C0 

4.  Cálculo del capital amortizado

El capital amortizado en los n-1 primeros períodos será igual a 0 ya que no serealiza ninguna amortización del préstamo. En el último período se amortizatodo el capital.

M1 = M2 = M3 = ... = Mn-1 = 0

Mn = C0 

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

13

Entonces:

Ak+1 = Ak ( 1 + i )

Por tanto las cuotas de amortización para los distintos períodos serán:

Período Cuota de amortización Ak

1 A1 = a – C0 × i2 A2 = A1 × ( 1 + i )3 A3 = A2 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i ) × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )2 : :k Ak = Ak-1 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )k-1 : :n An = An-1 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )n-1 

3.  Cálculo del capital amortizado

El capital total amortizado al final de un período se puede obtener como:

Mk = Mk-1 + Ak = A1 + A2 + A3 + .... + Ak = A1Sk⎤ i

Mk = A1Sk⎤ i 

4.  Cálculo de los intereses

El interés de los sucesivos años es igual a la deuda que queda pendiente deamortizar al final del ejercicio anterior por el tanto de interés:

Ik = Ck-1 × i

Como el término amortizativo es igual a la suma de la cuota de capital más lacuota de interés, podríamos obtener esta última como diferencia entre eltérmino amortizativo o anualidad y la cuota de amortización:

Ik = a - Ak 

5.  Cálculo del capital pendiente de amortizar

El capital vivo al final del año k lo podemos calcular:

  Por el método retrospectivo:

Calculamos el capital pendiente en el momento k como la diferencia entre elvalor del préstamo y el valor de todas las anualidades pagadas hasta esemomento, valoradas en el momento k

Ck = C0 × ( 1 + i )k – a S k⎤ i 

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

31

 Ejemplo:

Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 60.000 € que debe seramortizado en 8 años.

Calcular:-  El importe de la anualidad-  El capital pendiente de amortizar al principio del año 4º-  La cuota de amortización del 5º año 

Realizar también el cuadro de amortización del préstamo. Sabiendo que elsistema de amortización empleado es el alemán y que el tipo de interésanticipado es el 10% anual.

1º Cálculo de la anualidad constante en función del tanto de interés anticipado:

 €95,534.108)10,01(1

10,0000.60

)*

1(1

*

0 =−−

×=−−

×=n

i

iC a  

2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del año 4º:

Ck = a*

* )1(1

i

ik n−−−

× = 10.534,9510,0

)10,01(1 5−−× = 43.141,68 €

3º Cálculo de la cuota de amortización del 5º año:

Ak = An (1-i

*

)

n-k

 A5 = A8 (1-i* )3 = 10.534,95 ( 1-0,10 )3 = 7.679,98 €

A8 = a = 10.534,95 €

4º Cuadro de amortización:

Términoamortizativo

Cuota deinterés

Cuota deamortizaciónPeríodo

ak Ik Ak 

Capital vivo 

Ck 

Capitalamortizado

Mk 

0 6.000 6.000 60.0001 10.534,95 5.496,12 5.038,83 54.961,17 5.038,832 10.534,95 4.936,25 5.598,70 49.362,46 10.637,543 10.534,95 4.314,17 6.220,78 43.141,68 16.858,324 10.534,95 3.622,97 6.911,98 36.229,70 23.770,305 10.534,95 2.854,97 7.679,98 28.549,72 31.450,286 10.534,95 2.001,64 8.533,31 20.016,41 39.983,597 10.534,95 1.053,50 9.481,46 10.534,96 49.465,048 10.534,95 0 10.534,95 0 60.000

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

32

 

4.4  PRÉSTAMOS DIFERIDOS

Los préstamos diferidos o con carencia son aquellos en los que no es precisopagar al comienzo de la operación, durante uno o varios períodos, las cuotas deamortización e incluso, en ocasiones, ni siquiera las cuotas de interés.

Por tanto podemos encontrarnos ante dos situaciones:

  Durante los períodos de diferimiento si se pagan los intereses (carenciaparcial)

  Durante los períodos de diferimiento no se paguen los intereses(carencia total)

4.4.1 Préstamos con carencia parcial

En el caso de que exista carencia parcial los primeros períodos se pagan losintereses correspondientes al capital prestado, y en el momento en el quefinaliza el período de carencia, nos encontramos con un préstamo normal que seresuelve como cualquiera de los sistemas amortizativos existentes.

Si estuviésemos ante un préstamo amortizable mediante términos amortizativoso anualidades constantes y diferido en t períodos, se van a pagar los interesescorrespondientes al capital prestado “C0 × i” durante los períodos de carencia ydurante los períodos siguientes, y por la duración del préstamo, se pagarán lasanualidades constantes “a”.

Gráficamente su representación será:

C0 C0×i C0×i C0×i a a a

0 1 2 t t+1 t+2 n

El cálculo de la anualidad al igual que el del resto de elementos del cuadro deamortización, se realizará de igual manera que en el préstamo francés.

Una vez terminado el período de carencia, nos encontramos ante un préstamonormal que se amortiza exactamente igual que el resto de préstamos mediantecualquiera de los sistemas de amortización existentes.

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

36

 -  Si nos dan un tanto anual:

Primero calculamos el tanto fraccionado y con este calculamos el tanto

anual equivalente.

im = (1 + i )1/m - 1

i = ( 1 + im )m -1

-  Si nos dan un tanto nominal:

Primero calculamos el tanto fraccionado y luego el tanto anualequivalente

m J i m

m =  

i = ( 1 + im )m -1

a.1) Cálculo del término amortizativo equivalente

El término amortizativo equivalente se calculará un vez que tenemos eltanto de interés efectivo equivalente como:

i

i

C na

C an

i−+−

==)1(1

00  

a.2) Cálculo de las cuotas de amortización

Las cuotas de amortización serán:

A1 = a – C0 × i

Ak = Ak-1 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )k-1 

a.3) Cálculo del capital total amortizado

El capital total amortizado al final de un período se puede obtenercomo:

Mk = Mk-1 + Ak = A1 + A2 + A3 + .... + Ak = A1Sk⎤ i

Mk = A1Sk⎤ i 

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

37

a.4) Cálculo de la deuda pendiente de amortizar

Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momentok todas las anualidades que quedan pendientes.

Ck = a a n-k⎤ i 

También se puede calcular el capital vivo al final del año k como ladiferencia entre el importe del préstamo y lo que ya se ha amortizadoen esos k primeros años:

Ck = C0 - Mk 

a.5) Cálculo de la cuota de interés

La cuota de interés es igual a la deuda que queda pendiente deamortizar al inicio de dicho año por el tanto de interés fraccionado, o loque es lo mismo:

)(mk 

 I  = Ck-1 × im

Ejemplo:

Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 30.000 € que debe seramortizado en 5 años mediante el pago de anualidades constantes, sabiendoque los intereses se pagan semestralmente.

Calcular:-  El importe de la anualidad financiera constante-  El capital pendiente de amortizar al principio del 4º año-  El capital amortizado en los 3 primeros años -  La cuota de interés semestral que se paga en el 4º año 

Realizar también el cuadro de amortización del préstamo. Sabiendo que eltipo de interés semestral es del 5%.

1º Cálculo de la anualidad financiera constante:

Lo primero que vamos a hacer es calcular el tanto de interés anual

( 1 + i ) = ( 1 + im )m 

i = ( 1 + im )m – 1 = ( 1,05 ) 2 – 1 = 0,1025

 €53,964.7

1025,0

)1025,1(1

000.30

)1(1 5

0 =−

=+−

=−−

i

i

C a

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

39

b ) Cu an tía de l o s térm i n o s q u e ve n ce n a l f i n a l d e l p e r íod o co n s t a n t e :  

b.1) Cálculo del término amortizativo a´

El término amortizativo a´ se calculará como:

m

nmi

i

i

na

C a

m

−+−==

)1(1´´ 00  

b.2) Cálculo de las cuotas de amortización

Las cuotas de amortización serán:

A1 = a´ – C0 × im

Ak = Ak-1 × ( 1 + im ) = A1 × ( 1 + im )k-1 

b.3) Cálculo del capital total amortizado

El capital total amortizado al final de un período se puede obtenercomo:

Mk = Mk-1 + Ak = A1 + A2 + A3 + …. + Ak = A1Sk⎤ im

Mk = A1Sk⎤ im 

b.4) Cálculo de la deuda pendiente de amortizar

Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momentok todas las anualidades a´ que quedan pendientes.

Ck = a´ a n-k⎤ im 

También se puede calcular el capital vivo al final del año k como ladiferencia entre el importe del préstamo y lo que ya se ha amortizadoen esos k primeros años:

Ck = C0 - Mk 

b.5) Cálculo de la cuota de interés

)(mk 

 I  = Ck-1 × im

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

41

 5º Cuadro de amortización:

Términoamortizativo Cuota deinterés Cuota deamortizaciónAño Semestre

ak Ik Ak 

Capitalvivo

Ck 

Capitalamortizado

Mk 

1 1500 1.500 - 30.000,00 -1

2 6.929,24 1.500 5.429,24 24.570,76 5.429,241 1.228,54 1.228,54 - 24.570,76 5.429,24

22 6.929,24 1.228,54 5.700,70 18.870,06 11.129,941 943,50 943,50 - 18.870,06 11.129,94

32 6.929,24 943,50 5.985,74 12.884,32 17.115,681 644,22 644,22 - 12.884,32 17.115,68

4

2 6.929,24 644,22 6.285,02 6.599,30 23.400,701 329,96 329,96 - 6.599,30 23.400,705

2 6.929,24 329,96 6.599,28 0 30.000

4.6  TANTOS EFECTIVOS DE UN PRÉSTAMO

En las operaciones de amortización es corriente que aparezcan características

comerciales que afecten, bien a alguna de las dos partes, o bien a las dos.Las características comerciales más comunes son entre otras; los gastosnotariales, de registro, de tasación, Impuesto de Transmisiones Patrimoniales,...,que afectan al prestatario, el impuesto sobre los rendimientos que afecta alprestamista, y la comisión de apertura, comisión de cancelación, comisionesbancarias,..., que afectan a ambos.

Debido a estas características comerciales el tanto de interés efectivo de laoperación va a ser distinto del tanto de interés pactado. Este tanto efectivo de laoperación será aquel que permita la equivalencia financiera al aplicarlo a lascantidades que se entregan y a las que se reciben.

4.6.1 Tanto efectivo del prestamista

Para calcular el interés efectivo para el prestamista se tiene que cumplir laecuación de equivalencia en la que la prestación real, lo entregado realmente porel prestamista, sea igual a la contraprestación real, es decir, a lo recibido por elprestamista.El prestamista entregará el importe del préstamo, pero si al preparar este tieneuna serie de gastos, la prestación real entregada por el prestamista será elimporte del préstamo más los gastos. Es decir:

Prestación real: C0 + Ga 

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

44

 Si llamamos a:

ia = X a 5⎤ ia = Yi = 0,09 = X1  a 5⎤ 0,09 = Y1

i = 0,095 = X2 a 5⎤ 0,095 = Y2

Interpolando y sustituyendo los valores:

=−

−=

12

12

1

1

Y Y 

 X  X 

Y Y 

 X  X 

88965129,383970879,3

09,0095,0

88965126,3867368409,3

09,0

−=

−ai  

ia = 0,09223085

2º Cálculo del tanto efectivo para el prestatario:

C0 – Gp = ( a + gp ) a n⎤ ip 

60.000 – 1% 60.000 – 1.500 = (15.827,85 + 1% 15.827,85) a n⎤ ip 

57.900 = 15.986,13 a 5⎤ ip 

a 5⎤ ip = 621889726,313,986.15

900.57=  

Si buscamos en las tablas financieras e interpolamos, tenemos:

a 5⎤ 0,115 = 3,64987785a 5⎤ ip = 3,621889726a 5⎤ 0,12 = 3,60477620

Interpolando y sustituyendo los valores:

=−

−=

12

12

1

1

Y Y 

 X  X 

Y Y 

 X  X 

64987785,360477620,3

115,012,0

64987785,3621889726,3

115,0

−=

− pi  

ip = 0,118102782

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERACapítulo 4. PRÉSTAMOS

48

Términoamortizativo

Cuota deinterés

Cuota deamortizaciónPeríodo

ak Ik Ak 

Capital vivo 

Ck 

Capitalamortizado

Mk 

0 - - - 60.000 -

1 15.827,85 6.000,00 9.827,85 50.172,15 9.827,852 15.827,85 5.017,22 10.810,64 39.361,52 20.638,493 15.827,85 3.936,15 11.891,70 27.469,82 32.530,184 15.827,85 2.746,98 13.080,87 14.388,95 45.611,055 15.827,85 1.438,89 14.388,96 0 60.000

2º Cálculo de valor, del usufructo y de la nuda propiedad utilizando las fórmulasgenerales:

∑+=

−−

− +×=

n

k s

k s

sk  iiC U 1

)(

1 ´)1( =  €12,777.308,1

89,438.1

08,1

98,746.2

´)1( 21 =+=+∑+=

n

k sk s

s

i

 I 

 

∑+=

−−+=n

k s

k ssk  i A N 

1

)(´)1( =  €13,448.2408,1

96,388.14

08,1

87,080.132

=+  

 €25,225.2808,1

85,827.15

08,1

85,827.15

)1( 21

=+=+

=+= ∑+=

n

k sk s

sk k k 

i

a N U V   

3º Cálculo de valor, del usufructo y de la nuda propiedad utilizando las fórmulas de Achard:

k k k  N U V  +=  

Uk = )(´

k k  N C i

i−  

Se puede aplicar la fórmula de Achard ya que:

- El tipo de interés del préstamo se mantiene constante- El tipo de interés de mercado es constante y distinto al tanto del préstamo

Vamos a calcular el capital vivo del préstamo:C3 = 15.827,85 a2⎤ 0,10 = 27.469,82 €

=3V  15.827,85 a2⎤ 0,08 = 28.225,25 €

28.225,25 = U3 + N3 

U3 = )82,469.27(08,0

10,03 N −  

N3 = 24.448,13 €U3 = 3.777,12 €

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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Índice de contenidos Página

CAPÍTULO 5  EMPRÉSTITOS 3 

5.1 CONCEPTO, TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN 35.1.1  Concepto 3 5.1.2  Terminología empleada en los empréstitos 4 5.1.3  Clasificación de los empréstitos 5 

5.2 EMPRÉSTITOS SIN CARACTERÍSTICAS  COMERCIALES 75.2.1  Empréstitos de cupón periódico pospagable 7 

5.2.1.1 Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo constante 75.2.1.2 Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo variable 15

5.2.1.2.1 Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo variables enprogresión geométrica 15

5.2.1.2.2 Empréstitos de cupón periódico constante y términos amortizativos variables enprogresión aritmética 22

5.2.1.2.3 Empréstitos de cupón períodico con amortización de igual número de títulos en

cada sorteo 295.2.1.3 Empréstitos de cupón períodico con intereses variables 325.2.2  Empréstitos de cupón periódico prepagable 34 

5.2.2.1 Empréstito de cupón periódico y prepagable con término amortizativo constante. 345.2.2.2 Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo variable. 40

5.2.2.2.1 Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo variable enprogresión geométrica. 41

5.2.2.2.2 Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo variable enprogresión aritmética. 47

5.2.2.2.3 Empréstitos de cupón periódico prepagable con igual número de títulosamortizados en cada sorteo 52

5.2.3  Empréstitos con cupón periódico fraccionado 55 5.2.4  Empréstitos de cupón acumulado 58 

5.2.4.1 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo constante 595.2.4.2 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo variable 66

5.2.4.2.1 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo variable enprogresión geométrica 67

5.2.4.2.2 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo variable enprogresión aritmética 74

5.2.4.2.3 Empréstitos de cupón acumulado constante con igual número de títulosamortizados en cada sorteo 80

5.3 EMPRÉSTITOS CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES 82

5.4 VIDA  MEDIA,  VIDA  MEDIANA  O  PROBABLE  Y  VIDA  MATEMÁTICA  DE  LOS  TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DEL K-ÉSIMO SORTEO 96

5.5 VALOR, USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD 101

5.6 TANTOS EFECTIVOS 119

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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5.1.3 Clasificación de los empréstitos

A la hora de clasificar los empréstitos vamos a atender a los siguientes criterios:

1.  Pago de intereses:

  Empréstitos con pago periódico de intereses: En el caso de que lasociedad emisora pague los intereses periódicamente, el pagopuede ser:

o  Anticipado: el pago de los intereses se realiza al principio delperíodo (cupón periódico prepagable).

o  Por vencido: El pago de intereses se realiza al final del período(cupón periódico pospagable).

  Empréstitos sin pago periódico de intereses: En el caso de que lasociedad emisora pague los intereses de una sola vez o de formaacumulada, el cálculo de los intereses puede hacerse:

o  En régimen de capitalización simpleo  En régimen de capitalización compuesta

2.  Estructura de los términos amortizativos

  Empréstitos sin características comerciales: A los empréstitos cuyotérmino amortizativo no presenta características comerciales se les

denomina empréstitos puros o normales.En este caso la estructura del término amortizativo se compone deuna parte destinada al pago de cupones y de otra destinada alreembolso de los títulos amortizados.

La estructura del término amortizativo puro o normal para un año kcualquiera será:

C  M iC  N a k k k  ··· +=  

  Empréstitos con características comerciales: El término amortizativo

se dedica además de al pago de los cupones y al reembolso de lostítulos amortizados por su valor nominal, al pago de determinadasprimas, lotes; en otros casos se puede establecer la pérdida delúltimo cupón.Cuando se presenta alguna de estas características habrá querealizar determinadas operaciones para preparar el empréstito, detal forma que exista equilibrio financiero. Este proceso detransformación recibe el nombre de normalización.La estructura del término amortizativo de un empréstito quepresente características comerciales dependerá de cuál o cuáles deéstas presente.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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5.2  EMPRÉSTITOS SIN CARACTERÍSTICAS COMERCIALES

5.2.1  Empréstitos de cupón periódico pospagable

5.2.1.1  Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativoconstante

Estos empréstitos se conocen como empréstitos normales y se caracterizanporque sus términos amortizativos y el tanto de interés son constantes, esdecir, a1=a2=a3=…=an=a e i1=i2=i3=…=in=i

La representación gráfica de estos empréstitos será:

C x N1

0 1 2 na a a

Donde “C x N1” es el valor nominal del empréstito y “a” es el importe deltérmino amortizativo constante.

Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización delempréstito debemos realizar las siguientes operaciones:

1.  Cálculo del término amortizativo

Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendoen cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a lacontraprestación (valor actual de la renta formada por los términosamortizativos) tenemos que:

=× 1 N C  a an ┐i 

i

i)(1-1 n-

1

+

×=

N C a  

El importe de los términos amortizativos incluye el pago de loscupones y la amortización por el valor nominal de los títuloscorrespondientes.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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2.  Cálculo de los títulos amortizados

Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k

cualquiera tenemos que:

k k k  M C  N iC a ×+××=  

Podemos calcular el número de títulos amortizados en cada período dela siguiente manera:

  Títulos amortizados en el primer período:

El término amortizativo para el primer período será igual a:

11 M C  N iC a ×+××=  

En primer lugar se calcula el importe del término amortizativoconstante, como se ha explicado en el apartado anterior. Al ser elresto de variables conocidas, calcularemos M1 despejando en laexpresión anterior:

11 M C  N iC a ×+××=  C 

 N iC a M  1

1

××−=  

  Títulos amortizados en el resto de períodos:

Siendo conocidos y constantes los términos amortizativos de dosperíodos consecutivos “k” y “k+1” cualesquiera, veamos si existealguna relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.

Período k k k  M C  N iC a ×+××=  Período k+1 11 ++ ×+××= k k  M C  N iC a  

)()( 11 ++ −+−××=− k k k k  M  M C  N  N iC aa  

El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual alos títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulosque se amortizaron en dicho período. Luego para un período kcualquiera tendremos:

k k k  M  N  N  −=+1   1+−= k k k  N  N  M   

Por tanto:

)()( 11 ++ −+−××=− k k k k  M  M C  N  N iC aa  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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De donde sacando factor común a M1 nos queda:

mk = M1·[1+(1+i)+ (1+i)2 + …+ (1+i)k-1]

Siendo el corchete igual a la suma de términos de una progresióngeométrica creciente de razón (1+i)

La suma de términos de una progresión geométrica creciente esigual a:

S =1-r 

aa 1n −r  

Donde:o  a1 es el primer término de la progresión

o  an es el último término de la progresióno  r es igual a la razón

Sustituyendo en la fórmula los valores de nuestra progresión, nosqueda:

S =i

i k  1)1(

1-i)(1

1i)(1i)(1 1-k  −+=

+

−++= Sk ┐i 

Siendo:

mk = M1· Sk ┐i 

mk = M1· Sk ┐i

 

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk = N1 – Nk+1 

4.  Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo

  Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos 

Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidosen el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado elk-ésimo término amortizativo.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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igual al valor actual de la renta que forman los términosamortizativos pendientes de pago.

Su representación gráfica será:

C x N1 C x Nk+1 

0 1 2 k k+1 k+2 na a a

Donde:

C x Nk+1 = a a n-k ┐i 

Despejando:

Nk+1 =C 

aa n-k ┐i

   Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados 

Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulosque ya han sido amortizados, tendremos:

Nk+1 = N1 - mk

 Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del períodok+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizadosen los k primeros períodos.

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes deamortizar  

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de lostítulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,k+2, k+3, …, n.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn

 

5.  Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1

Los intereses que se pagan en el período k+1 serán loscorrespondientes al número de títulos en circulación al comienzo dedicho período, por el nominal de los títulos, y por el tipo de interéspactado.

Ik+1 = C x i x Nk+1 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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3º Cuadro de amortización:

PeríodoTítulos

amortizadosTotal títulosamortizados

Títulospend. deamortizar 

InterésCapital

amortizadoAnualidad

1 1.638 1.638 10.000 1.000.000 1.638.000 2.638.000

2 1.802 3.440 8.362 836.200 1.802.000 2.638.200

3 1.982 5.422 6.560 656.000 1.982.000 2.638.000

4 2.180 7.602 4.578 457.800 2.180.000 2.637.800

5 2.398 10.000 2.398 239.800 2.398.000 2.637.800

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual.  Plazo de amortización (n): 5 años  Término amortizativo anual y constante (a)

Utilizando para su resolución el método de capitalización de residuos

1º Cálculo del término amortizativo:

=× 1 N C  a an ┐i =× 000.10000.1 a a5 ┐0,10 

 €81,974.637.2

 0,10

10),(1-1

000.10000.15-

=a  

2º Cuadro de amortización:

Amortización Títulos

Años Capital vivo Intereses Anualidaddisponible Teórica Real Residuo Residuo

Capializado

Amort.en elaño

Totalamort.

TítulosVivos

1 10.000.000 1.000.000 2.637.974,81 1.637.974,81 1.637.000 974,81 1.072,29 1.637 1.637 10.000

2 8.363.000 836.300 2.639.047,10 1.802.747,10 1.802.000 747,10 821,81 1.802 3.439 8.363

3 6.561.000 656.100 2.638.796,62 1.982.696,62 1.982.000 696,62 766,28 1.982 5.421 6.561

4 4.579.000 457.900 2.638.741,09 2.180.841,09 2.180.000 841,09 925,20 2.180 7.601 4.579

5 2.399.000 239.900 2.638.900,01 2.399.000,01 2.399.000 0 0 2.399 10.000 2.399

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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5.2.1.2  Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativovariable

Estos empréstitos presentan las siguientes características:

  Los intereses se pagan de manera periódica.  Sus términos amortizativos varían de un período a otro

na aaaa ≠≠≠≠ ...31    El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos

iiiii n ===== ...321  

5.2.1.2.1  Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativovariables en progresión geométrica

Los empréstitos de cupón periódico constante, con términos amortizativosvariables en progresión geométrica presentan las siguientes características:

  Los intereses se pagan de manera periódica.  Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresión

geométrica de razón q. Siendo:1

1−×= k 

k  qaa    El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos

iiiii n ===== ...321  

Su representación gráfica será:

0 1 2 3 n

C x N1 a1 a1 x q a1 x q2 a1 x qn-1 

Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización delempréstito debemos realizar las siguientes operaciones:

1.  Cálculo del término amortizativo

Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendoen cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a lacontraprestación (valor actual de la renta formada por los términosamortizativos) tenemos que:

=× 1 N C  A(a1,q)n ┐i

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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3.  Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k

Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período kde cualquiera de las dos formas siguientes:

  Como la suma de los títulos amortizados durante los k primerosaños:

mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk

 

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk= N

1– N

k+1 

4.  Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo

  Cálculo de los títulos vivos en función de los términosamortizativos 

Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán loscomprendidos en el capital pendiente de amortizar después dehaberse pagado el k-ésimo término amortizativo.

Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:

C x N1 C x Nk+1 

0 1 2 k k+1 k+2 na1 a2 ak ak+1 ak+2 an

Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k,podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos

amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través delos términos amortizativos futuros (método prospectivo).

o  Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo

Para el momento k se tiene que cumplir que la amortizaciónanticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras elpago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser igual a loque recibió la entidad emisora en el momento de emisión delempréstito menos lo ya pagado por ésta.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados 

Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulosque ya han sido amortizados, tendremos:

Nk+1 = N1 - mk 

Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del períodok+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizadosen los k primeros períodos.

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes deamortizar  

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de lostítulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,k+2, k+3, …, n.

Es decir:

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn 

5.  Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1

Los intereses que se pagan en el período k+1 serán los

correspondientes al número de títulos en circulación al comienzo dedicho período, por el nominal de los títulos y por el tipo de interéspactado.

Ik+1 = C x i x Nk+1 

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo que aumenta anualmente un 5%  Plazo de amortización (n): 5 años

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodosconsecutivos cualesquiera “k” y “k+1”, veamos si existe algunarelación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.

Período k k k k  M C  N iC a ×+××=  Período k+1 111 +++ ×+××= k k k  M C  N iC a  

)()( 111 ++− −+−××=− k k k k k k  M  M C  N  N iC aa  

El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual alos títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulosque se amortizaron en dicho período. Luego para un período kcualquiera tendremos:

k k k  M  N  N  −=+1

 1+−= k k k  N  N  M 

 Por tanto:

)()()( 11 ++ −+−××=+− k k k k k k  M  M C  N  N iC d aa  

Será igual a:

)( 1+−+××=− k k k  M  M C  M iC d    d i M C  M C  k k  ++××=× + )1(1  

Despejando M k+1 nos queda:

d i M  M  k k  ++×=+ )1(1

 

3.  Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k

Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período kde cualquiera de las dos formas siguientes:

  Como la suma de los títulos amortizados durante los k primerosaños:

mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk 

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk = N1 – Nk+1 

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4.  Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo

  Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos 

Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidosen el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado elk-ésimo término amortizativo.

Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:

C x N1 C x Nk+1 

0 1 2 k k+1 k+2 n

a1 a2 ak ak+1 ak+2 an

Tomando como punto de equivalencia financiera el momento kpodemos calcular los títulos vivos a partir de los términosamortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de lostérminos amortizativos futuros (método prospectivo).

o  Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo

Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización

anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras elpago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser igual a loque recibió la entidad emisora en el momento de emisión delempréstito menos lo ya pagado por ésta.

Su representación gráfica será:

C x Nk+1 

0 1 2 k nC x N1 a1 a2 ak 

Donde:

C x Nk+1 = C x N1x (1+i)k – S(a1,d) k ┐i 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

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 €55,873.649.2000.10355,873.619.24 =×+=a  

 €55,873.659.2000.10455,873.619.25 =×+=a  

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

111 M C  N iC a ×+××=  

1000.1000.1010,0000.155,873.619.2 M ×+××=   51.619,87351 = M   

d i M  M  k k  ++×=+ )1(1  

1.791,8609000.1000.10)10,1(87355,619.12 =+×= M   

91.981,0469000.1

000.10)10,1(8609,791.13 =+×= M 

 

15169,189.2000.1

000.10)10,1(04699,981.14 =+×= M 

 

06686,418.2000.1

000.10)10,1(15169,189.25 =+×= M 

 

619.11 = M  M1=1.620

791.12 = M  M2=1.792

981.13 = M  M3=1.981

189.24 = M  M4=2.189

418.25 = M    M5=2.418 

ΣMk=9.998 ΣMk=10.000

3º Cuadro de amortización:

Período Anualidadteórica

Títulosamortizad.

Total títulosamortizados

Títulospendientes

de amortizar 

Interés Capitalamortizado

Anualidadpráctica

1 2.619.873,55 1.620 1.620 10.000 1.000.000 1.620.000 2.620.000

2 2.629.873,55 1.792 3.412 8.380 838.000 1.792.000 2.630.000

3 2.639.873,55 1.981 5.393 6.588 658.800 1.981.000 2.639.800

4 2.649.873,55 2.189 7.582 4.607 460.700 2.189.000 2.649.700

5 2.659.873,55 2.418 10.000 2.418 241.800 2.418.000 2.659.800

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

33

05,0000.1

503 ==i  

1000.1000.30 a=× a5 ┐0,04 + 12a a5 ┐0,0455)04,1( −× 14a+ a5 ┐0,05

5)04,1( −×   5)045,1( −×  

Despejando obtenemos:

 €1,239.299.11 =a  

- 50 ≤≤ n  

 €1,239.299.11 =a  

- 106 ≤≤ n  

 €2,478.598.22 1 =a  

- 1511 ≤≤ n  

 €4,956.196.54 1 =a  

2º Cálculo de los títulos amortizados en el octavo sorteo:

88212 M C  N iC a ×+××=  

a N  1

8

2= a3 ┐0,045 +

a14a5 ┐0,05 3)045,1( −×  

000.1

2,478.598.28 = N  a3 ┐0,045 +

000.1

4,596.196.5a5 ┐0,05 3)045,1( −×   886,859.268 = N   

8000.1886,859.26045,0000.12,478.598.2 M ×+××=   títulos390.178333,389.18 ≈= M   

3º Títulos amortizados en los nueve primeros sorteos:

1019 N  N m −=  

+×= −1110 )045,1(

000.12a N 

C a14 a5 ┐0,05 1)045,1( −×  

+×= −110 )045,1(

000.1

2,478.598.2 N 

000.1

4,956.196.5a5 ┐0,05 1)045,1( −×   títulos78,017.2410 = N   

22,982.578,017.24000.309 =−=m  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

35

1.  Cálculo del término amortizativo

Como se acaba de ver la equivalencia financiera en el origen es iguala:

1 N C × = C  × i*×N1 + a × ( 1 - i* ) + a × ( 1 - i* )2 + a × ( 1 - i* )3 + ... + a × ( 1 - i* )n 

De donde:

1 N C × -C  × i*×N1= a × ( 1 - i* ) [ 1 + ( 1 - i* )+ ( 1 - i* )2 + ... + ( 1 - i* )n-1 ] 

Siendo los elementos del corchete una progresión geométricadecreciente de razón (1-i*).

La suma de términos de una progresión geométrica decreciente es

igual a:

S =r 1

r aa n1

×− 

Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:

S =i*)(11

i*)(1i*)(11 1)-n(

−−

−×−− 

S = *

i*)(1-1

*)1(1

i*)(1i*)(11 n1)-(n

ii

−=−−

−×−− 

Es decir:

=−×× )1( *1 i N C  a × ( 1 - i*)

*

* )1(1

i

in−−

×  

Simplificando obtenemos:

1 N C × = a *

* )1(1

i

in−−

× 

Si ponemos la expresión anterior en función del tipo de interés vencidoi en lugar del tanto de interés anticipado i* tenemos que:

1 N C × = ai

iia

i

i

i

in

n−+−

+=

+

+−−

×)1(1

)1(

1

)1

1(1

= aän⎤ i  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

36

La anualidad constante será según acabamos de señalar:

  En función del tanto de interés anticipado i * 

  En función del tanto de interés i

inä

 N C a

¬

×= 1  

2.  Cálculo de los títulos amortizados

Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año kcualquiera tenemos que:

k k  M C  N iC a ×+××= +1*  

Podemos calcular el número de términos amortizados en cada períodode la siguiente manera:

  Títulos amortizados en el último período:

El término amortizativo para el último período será igual a:

n M C a ×=  

Despejando tenemos que:

a M n =  

  Títulos amortizados en el resto de períodos: 

Siendo conocidos y constantes los términos amortizativos de dosperíodos “k” y “k+1” consecutivos cualesquiera, veamos si existealguna relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.

Período k k k  M C  N iC a ×+××= +1*

 

Período k+1 12*

++ ×+××= k k  M C  N iC a  

)()( 121*

+++ −+−××=− k k k k  M  M C  N  N iC aa  

ni

i N C a

)1(1 *

*

1−−

××=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

37

El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual alos títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulosque se amortizaron en dicho período. Siendo:

112 +++ −= k k k  M  N  N    211 +++ −= k k k  N  N  M   

Por tanto:

)()( 121*

+++ −+−××=− k k k k  M  M C  N  N iC aa  

Será igual a: 

)(0 11*

++ −+××= k k k  M  M C  M iC    k k  M C i M C  ×=−×× + )1( *1  

Simplificando nos queda:

)1( *1 i M  M  k k  −×= +

 Si ponemos Mk en función del último término tendremos:

k nnk  i M  M 

−−×= )1( *

 

3.  Cálculo del total de títulos amortizados

Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período kde cualquiera de las dos formas siguientes:

  Como la suma de los títulos amortizados durante los k primerosaños:

mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk 

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk = N1 – Nk+1 

4.  Cálculo del número de títulos vivos

Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos enel capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el k-ésimo término amortizativo.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

39

Es decir los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio delperíodo k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulosamortizados en los k primeros períodos.

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de lostítulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,k+2, k+3, …, n.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn 

5.  Cálculo de los intereses a pagar en el momento k

Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses quepagamos en el período k serán:

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Cupón anual prepagable: 100 €  Plazo de amortización (n): 5 años  Término amortizativo anual y constante (a)

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo

1º Cálculo del término amortizativo:

 €81,942.441.2)10,01(1

10,0000.10000.1

5=

−−××=a  

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

nn M C a ×=   55 000.1 M a ×=  

5000.181,942.441.2 M ×=   94281,441.25 = M   

k nnk  i M  M 

−−×= )1( *  

74853,197.2)10,01(94281,441.24 =−×= M   

Ik = C × i*× Nk+1

ni

i N C a

)1(1 *

*

1 −−××=

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

40

97368,977.1)10,01(94281,441.2 23 =−×= M   

17631,780.1)10,01(94281,441.2 32 =−×= M   

15868,602.1)10,01(94281,441.2 41 =−×= M   

602.11 = M  M1=1.602

1.7802 = M  M2=1.780

1.9773 = M  M3=1.978

2.1974 = M  M4=2.198

2.4415 = M  M5=2.442

ΣMk=9.997 ΣMk=10.000

3º Cuadro de amortización:

Período Títulosamortizados

 Total títulosamortizados

Títulospend. deamortizar 

InterésCapital

amortizado Anualidad

0 10.000 1.000.000 1.000.000

1 1.602 1.602 8.398 839.800 1.602.000 2.441.800

2 1.780 3.382 6.618 661.800 1.780.000 2.441.800

3 1.978 5.360 4.640 464.000 1.978.000 2.442.000

4 2.198 7.558 2.442 244.200 2.198.000 2.442.2005 2.442 10.000 - - 2.442.000 2.442.000

 

5.2.2.2  Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativovariable.

Los empréstitos de cupón periódico prepagable presentan las siguientes

características:  Los términos amortizativos son variables.

a0 = C × i*×N1 naaaa ≠≠≠≠ ...321  

  El tanto de interés prepagable se mantiene constante a lo largo de lavida del empréstito.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

42

1.  Cálculo del término amortizativo

Como se acaba de ver la equivalencia financiera en el origen es iguala:

1 N C × = C  × i*×N1 + a1 × ( 1 - i*) + a2 × ( 1 - i*)2 + a3 × ( 1 - i*)3 + ... + an × ( 1 - i*)n 

Donde:

1 N C × - C  × i*×N1= a1 × ( 1 - i*) + a1q × ( 1 - i*)2 +a1q2 × ( 1 - i*)3 + ... + a1q

n-1 × ( 1 - i*)n 

1 N C × -C  × i*×N1= a1 × ( 1 - i*) [ 1 + q ( 1 - i*)+ q2 ( 1 - i*)2 + ... + qn-1 ( 1 - i*)n-1] 

Como [ 1 + q( 1 - i* )+ q2( 1 - i* )2 + ... + qn-1 ( 1 - i* )n-1 ] es la sumade términos de una progresión geométrica decreciente de razón q(1 -

i*)

, que como ya se vio es igual a:

r aaS  n

×−=

1

1  

Si sustituimos en la expresión los valores de nuestra progresión nosqueda:

*)1(1

*)1(*)1(1 11

iq

iqiqS 

nn

−×−

−××−×−=

−−

 

Por lo tanto y sustituyendo en la expresión de la equivalenciafinanciera obtenemos:

1 N C × × (1- i*)= a1 × ( 1 – i* ) ×*)1(1

*)1(1

iq

iq nn

−×−

−×− 

Simplificando, obtenemos:

1 N C × = a1  )1(1

)1(1

*

*

iq

iq nn

−×−

−×−

×  

Despejando:

*)1(1

*)1(1

11

iq

iq

 N C a

nn

−×−

−×−

×=

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

44

Operando nos queda:

qai M  M  k 

k k 

)1()*1(1

−×+−×= +

 

3.  Cálculo del total de títulos amortizados

Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período kde cualquiera de las dos formas siguientes:

  Como la suma de los títulos amortizados durante los k primerosaños:

mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk 

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk = N1 – Nk+1 

4.  Cálculo del número de títulos vivos

Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos enel capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el k-ésimo término amortizativo.

Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que laamortización anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos trasel pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual al valor actualde la renta formada por los términos amortizativos pendientes depago.

C x N1 C x Nk+1 

0 1 2 k k+1 k+2 nCx i*x Nk+1 ak+1 ak+2 an

Donde:

C x Nk+1 = Cx i*x Nk+1 + ak+1 (1-i*) + ak+2 (1-i*)2 + ak+3 (1-i*)3+ … +an (1-i*)n-k 

C x Nk+1 x (1-i*) = ak+1 (1-i*) (1+ q(1-i*)+ q2(1-i*)2+ … +qn-k-1 (1-i*)n-k-1)

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

51

5.  Cálculo de los intereses a pagar en el momento k

Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses quepagamos en el período k será:

Ik = C × i*× Nk+1

 

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Cupón anual prepagable: 100 €

  Plazo de amortización (n): 5 años  Término amortizativo anual variable en progresión aritmética derazón 10.000 €

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo

1º Cálculo del término amortizativo:

1 N C × = [ a1 + (a1+d) ( 1 - i* )+ (a1+2d) ( 1 - i* )2 + ... + (a1+(n-1)d( 1 - i* )n-1 ] 

000.10000.1 × = [ a1 + (a1+10.000) ( 1 – 0,10)+ (a1+2·10.000) ( 1 – 0,10  )2 

+(a1+3·10.000) ( 1 – 0,10 )3 +(a1+4·10.000) ( 1 – 0,10 )4 ]   €95,039.424.21 =a  

 €95,039.434.2000.1095,039.424.212 =+=+= d aa   €95,039.444.2000.10295,039.424.2213 =×+=+= d aa  

 €95,039.454.2000.10395,039.424.2314 =×+=+= d aa  

 €95,039.464.2000.10495,039.424.2415 =×+=+= d aa  

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

nn M C a ×=  

5000.195,039.464.2 M ×=   03995,464.25 = M   

C d i M  M  k k  −−×= + )*1(1  

63596,207.2000.1

000.10)10,01(03995,464.24 =−−×= M   

87236,976.1000.1

000.10)10,01(63596,207.23 =−−×= M   

18512,769.1000.1

000.10)10,01(87236,976.12 =−−×= M   

26661,582.1000.1

000.10)10,01(18512,769.11 =−−×= M   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

53

Su representación gráfica será:

C x N1 0 1 2 3 n

C x i*x N1 a1 a2 a3 an 

Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización delempréstito debemos realizar las siguientes operaciones:

1.  Cálculo del número de títulos amortizados

Como el número de títulos que se amortizan en cada período es elmismo, y además, la suma del total de títulos amortizados en los nperíodos de duración del empréstito ha de ser igual al número detítulos emitidos, tenemos que:

 M  M  M  M  M  n ===== ...321  

 M n M  M  M  M  N  n ×=++++= ...3211  

Despejando M nos queda:

n

 N  M  1=  

2.  Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k

Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k

de cualquiera de las dos formas siguientes:

  Como la suma de los títulos amortizados durante los k primerosaños:

mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk=k x M

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk = N1 – Nk+1 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

54

3.  Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo

Si calculamos los títulos vivos en función de los títulos amortizados,tendremos:

Nk+1 = N1 - mk=N1 – k x M

Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del períodok+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados enlos k primeros períodos.

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los títulosque quedan pendientes de amortizar en los período k+1, k+2, k+3, …, n.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn = (n-k) x M

  4.  Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1

Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses quepagamos en el período k será:

5.  Cálculo de los términos amortizativos

El término amortizativo de un año k cualquiera será igual a:

C  M  N iC a k k  ×+××= +1*  

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000

  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Cupón anual prepagable: 100 €  Se amortiza igual número de títulos cada año  Plazo de amortización (n): 5 años

1º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

000.25

000.101 ===n

 N  M  títulos 

Ik = C × i*× Nk+1

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

55

2º Cuadro de amortización:

Período Anualidad

Títulos

amortizad.

Total títulos

amortizados

Títulospendientes

deamortizar

Interés

Capital

amortizado

0 1.000.000 10.000 1.000.0001 2.800.000 2.000 2.000 8.000 800.000 2.000.0002 2.600.000 2.000 4.000 6.000 600.000 2.000.0003 2.400.000 2.000 6.000 4.000 400.000 2.000.0004 2.200.000 2.000 8.000 2.000 200.000 2.000.0005 2.000.000 2.000 10.000 - - 2.000.000

5.2.3 Empréstitos con cupón periódico fraccionado

Los empréstitos con cupón periódico fraccionado son aquellos en los que laperiodicidad en el pago de cupones es mayor que la existente para el pagopor amortización de títulos; es decir, se fracciona el cupón pero no la cuotade amortización.

La representación gráfica de este tipo de empréstitos será:

0 1 2

0 1 2 m 1+m 2+m 2m

C × im × N1 C × im × N1 C × im × N1 C × im × N2 C × im × N2 C × im × N2 + +

C × M1 C × M2 

Para que podamos plantear la equivalencia financiera en el momento inicialtenemos que hallar el cupón fraccionado equivalente expresado en la mismaunidad que se amortizan los títulos; obteniendo así un término amortizativoequivalente ak, al que se llegará capitalizando los cupones fraccionados a untipo de interés im, al momento m, en el que se produce el pago de los títulosque se amortizan.

Gráficamente será:

0 1

0 1 2 mC × im × N1 C × im × N1 C × im × N1 

+C × M1 

ak 

×××= mk k  i N C a Sm ┐ k m CM i +

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

58

3º Cuadro de amortización:

Período Títulosamortizados Total títulosamortizados 

Títulos pend.

de amortizar Interés Capitalamortizado Términoamortizativo

1 1 10.000 250.000 250.000

1 2 10.000 250.000 250.000

1 3 10.000 250.000 250.000

1 4 1.626 1.626 10.000 250.000 1.626.000 1.876.000

2 1 1.626 8.374 209.350 209.350

2 2 1.626 8.374 209.350 209.350

2 3 1.626 8.374 209.350 209.3502 4 1.794 3.420 8.374 209.350 1.794.000 2.003.350

3 1 3.420 6.580 164.500 164.500

3 2 3.420 6.580 164.500 164.500

3 3 3.420 6.580 164.500 164.500

3 4 1.981 5.401 6.580 164.500 1.981.000 2.145.500

4 1 5.401 4.599 114.975 114.975

4 2 5.401 4.599 114.975 114.975

4 3 5.401 4.599 114.975 114.975

4 4 2.186 7.587 4.599 114.975 2.186.000 2.300.975

5 1 7.587 2.413 60.325 60.325

5 2 7.587 2.413 60.325 60.325

5 3 7.587 2.413 60.325 60.325

5 4 2.413 10.000 2.413 60.325 2.413.000 2.473.325

5.2.4 Empréstitos de cupón acumulado

Los empréstitos de cupón acumulado, también denominados empréstitoscupón cero, se caracterizan porque los intereses se pagan acumuladamenteen el momento en que se amortiza el título. En estos empréstitos no sepagan cupones hasta el momento de la amortización de los títulos, en el quese recibe el valor nominal más los intereses acumulados.Los intereses que remuneran la inversión pueden acumularse en régimen decapitalización simple o en régimen de capitalización compuesta.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

61

  Títulos amortizados en el resto de períodos:

Siendo conocidos y constantes los términos amortizativos de dos

períodos consecutivos “k” y “k+1” cualesquiera, veamos si existealguna relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.

Período k k k   M iC a ×+×= )1(  

Período k+1 11)1( +

+ ×+×= k k   M iC a  

11)1(

)1(

++ ×+×

×+×=

k k 

k k 

 M iC 

 M iC 

a

Simplificando nos queda:

)1(1

1 i M 

 M 

+×=

+

 i

 M  M  k 

k  +=+

11  

lo cual significa que cada término es igual al anterior multiplicado

pori+1

1, por tanto tendremos:

Período 1º 1 M   

Período 2ºi

 M  M +

×=1

112  

Período 3º2123

)1(

1

1

1

i M 

i M  M 

+×=

+×=  

Período k+1k k k 

i

 M 

i

 M  M 

)1(

1

1

111

+

×=

+

×=+  

Período n111

)1(

1

1

1−−

+×=

+×=

nnni

 M i

 M  M   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

65

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes deamortizar  

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de lostítulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,k+2, k+3, …, n.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn

 

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  No se produce abono de cupones acumulándose hasta el momento del sorteo

al 10%.  Plazo de amortización (n): 5 años  Término amortizativo anual y constante (a)

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo

1º Cálculo del término amortizativo:

=× 1 N C  a an ┐i

=× 000.10000.1 a a5 ┐0,10

 €81,974.637.2

 0,10

10),(1-1

000.10000.15-

=a  

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

1)1( M iC a ×+×=  

110,1000.181,974.637.2 M ××=  

158918,398.21 = M   

k k i

 M  M 

)1(

1

+=  

144471,180.210,1

158918,398.22 == M   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

66

949519,981.110,1

158918,398.223 == M   

77229,801.110,1158918,398.2

34 == M   

974809,637.110,1

158918,398.245 == M   

398.21 = M  M1=2.398180.22 = M  M2=2.180

1.9813 = M  M3=1.982

801.14 = M  M4=1.802

637.15 = M  M5=1.638

ΣMk=9.997 ΣMk=10.000

3º Cuadro de amortización:

PeríodoTítulos

amortizadosTotal títulosamortizados

Títulospend. deamortizar 

Nominaltítulos

amortizados

Anualidad(Nominal+Int.acumulados)

Interesespagados

1 2.398 2.398 10.000 2.398.000,00 2.637.800,00 239.800,002 2.180 4.578 7.602 2.180.000,00 2.637.800,00 457.800,00

3 1.982 6.560 5.422 1.982.000,00 2.638.042,00 656.042,00

4 1.802 8.362 3.440 1.802.000,00 2.638.308,20 836.308,20

5 1.638 10.000 1.638 1.638.000,00 2.638.015,38 1.000.015,38

5.2.4.2  Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativovariable

Estos empréstitos presentan las siguientes características:

  Los intereses se pagan de manera acumulada.  Sus términos amortizativos varían de un período a otro

na aaaa ≠≠≠≠ ...31    El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos

niiii ==== ...321  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

68

Siendo el importe de la anualidad de un año k cualquiera igual a:

11

−×= k k  qaa

 

  qi =+ )1(  

En cuyo caso el cálculo del término amortizativo será:

111 )1(

−+××=× ina N C   

n

)1(11

i N C a

+××=  

2.  Cálculo de los títulos amortizados

Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k

cualquiera tenemos que:

k k 

k  M iC a ×+×= )1(  

Podemos calcular el número de títulos amortizados en cada período dela siguiente manera:

  Títulos amortizados en el primer período:

El término amortizativo para el primer período será igual a:

11

1 )1( M iC a ×+×=  

En primer lugar calculamos el importe del término amortizativo delprimer período. Al ser el resto de variables conocidas, calcularemos M1 despejando en la expresión anterior:

11 )1( M iC a ×+×=  )1(

11

iC 

a M 

+×=  

q -i)(1

i)(1q -1 n-n

11

+

+

×=

N C a  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

69

  Títulos amortizados el resto de períodos:

Una vez conocido el importe del primer término amortizativo podremos

calcular el resto como1

1−

×=k 

k  qaa .Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodosconsecutivos cualesquiera “k” y “k+1”, veamos si existe alguna relaciónentre los títulos amortizados en esos dos períodos.

Período k k k 

k  M iC a ×+×= )1(  

Período k+1 11

1 )1( ++

+ ×+×= k k 

k  M iC a  

11

1 )1(

)1(

++

+ ×+×

×+×=

k k 

k k 

 M iC 

 M iC 

a

Como qaa k k  ×=+1 sustituyendo y simplificando en la ecuación anteriorse obtiene:

)1(

1

1 i M 

 M 

q k 

+×=

+

 

Despejando M k+1 nos queda:

)1(1 i

q M  M 

k k  +×=

3.  Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k

Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k decualquiera de las dos formas siguientes:

  Como la suma de los títulos amortizados durante los k primerosaños:

mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk 

  Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:

mk = N1 – Nk+1 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

70

4.  Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo

  Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos 

Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán loscomprendidos en el capital pendiente de amortizar después dehaberse pagado el k-ésimo término amortizativo.

Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:

C x N1 C x (1+i)k x Nk+1 

0 1 2 k k+1 k+2 na1 a2 ak ak+1 ak+2 an

Tomando como punto de equivalencia financiera el momento kpodemos calcular los títulos vivos a partir de los términosamortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través delos términos amortizativos futuros (método prospectivo).

o  Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo

Para el momento k se tiene que cumplir que la amortizaciónanticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras elpago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual a loque recibió la entidad emisora en el momento de emisión delempréstito menos lo ya pagado por ésta.

Su representación gráfica será:

C x (1+i)k x Nk+1 

0 1 2 k nC x N1 a1 a2 ak 

Siendo:

C x Nk+1 x (1+i)k

= C x N1 x (1+i)k

– S(a1,q) k ┐i 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

71

Despejando obtenemos el valor de Nk+1:

ik k 

k iC 

qaS i N C  N 

)1(

),()1( 111

¬−+××=+

 

o  Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo

Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir quela amortización anticipada de todos los títulos que aún quedanvivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser

igual al valor actual de la renta formada por los términosamortizativos pendientes de pago.

Su representación gráfica será:

C x N1 C x (1+i)k x Nk+1 

0 1 2 k k+1 k+2 nak+1 ak+2 an

Donde:

C x Nk+1 x (1+i)k = A(ak+1,q) n-k ┐i 

Despejando:

ik nk k 

iC 

qa A N 

)1(

),( 11

¬= −+

+  

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados 

Si para su cálculo tenemos en cuenta los títulos que ya han sidoamortizados, tendremos:

Nk+1 = N1 - mk

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

72

Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del períodok+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizadosen los k primeros períodos.

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendiente deamortizar  

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de lostítulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,k+2, k+3, …, n.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn

 

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo que aumenta anualmente un 5%  Plazo de amortización (n): 5 años

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo

1º Cálculo del término amortizativo:

=× 1 N C  A(a1,q)n ┐i

=× 000.10000.1 A(a1,1,05)5 ┐0,10

 €29,295.409.2

 (1,05)-(1,10)

10),(1(1,05)-1

000.10000.15-51 =

×=a  

1

1

−×= k 

k qaa  

 €05,760.529.205,195,295.409.22 =×=a  

 €06,248.656.2)05,1(95,295.409.2 23 =×=a  

 €46,060.789.2)05,1(95,295.409.2 34 =×=a  

 €48,513.928.2)05,1(95,295.409.2 45 =×=a  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

73

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

11 )1( M iC a k +×=  

1)10,1(000.129,295.409.2 M ××=   268445,190.21 = M   

)1(1

i

q M  M  k k  +

×=+

 

710788,090.2

10,1

05,1268445,1090.22 =×= M   

67848,995.110,1

05,1710788,090.23 =×= M   

965822,904.110,1

05,167848,995.14 =×= M   

376466,818.110,1

05,1965822,904.15 =×= M   

190.21 = M  M1=2.190090.22 = M  M2=2.091

995.13 = M  M3=1.996

904.14 = M  M4=1.905

818.15 = M  M5=1.818

ΣMk=9.997 ΣMk=10.000

3º Cuadro de amortización:

PeríodoTítulos

amortizadosTotal títulosamortizados

Títulospend. deamortizar 

Nominaltítulos

amortizados

Anualidad(Nominal+Int.acumulados)

Interesespagados

1 2.190 2.190 10.000 2.190.000,00 2.409.000,00 219.000,00

2 2.091 4.281 7.810 2.091.000,00 2.530.110,00 439.110,00

3 1.996 6.277 5.719 1.996.000,00 2.656.676,00 660.676,00

4 1.905 8.182 3.723 1.905.000,00 2.789.110,50 884.110,50

5 1.818 10.000 1.818 1.818.000,00 2.927.907,18 1.109.907,18

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

74

5.2.4.2.2  Empréstitos de cupón acumulado constante y términoamortizativo variable en progresión aritmética

Los empréstitos de cupón acumulado constante, con términos amortizativos

variables en progresión aritmética presentan las siguientes características:

  Los intereses se pagan de manera acumulada en el momento en quese produce la amortización del título.

  Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresiónaritmética de razón d. Siendo:

d k aak  )1(1 −+=    El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos

niiii ==== ...321  

Su representación gráfica será:

0 1 2 3 n

C x N1 a1 a1 + d a1 + 2d a1 +(n-1)d

Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización delempréstito debemos realizar las siguientes operaciones:

1.  Cálculo del término amortizativo

Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendoen cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a lacontraprestación (valor actual de la renta formada por los términosamortizativos) tenemos que:

=× 1 N C  A(a1,d)n ┐i

)( 11 nd i

d a N C  ++=× an ┐i -

i

nd  

Despejando obtendremos el valor de a1 

Como las anualidades varían en progresión aritmética el importe de laanualidad de un año k cualquiera será igual a:

d k aak 

×−+= )1(1

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

77

Su representación gráfica será:

C x (1+i)k x Nk+1

0 1 2 k nC x N1 a1 a2 ak 

Donde:

C x Nk+1 x (1+i)k = C x N1 x (1+i)k – S(a1,d) k ┐i 

Despejando obtenemos el valor de Nk+1:

ik k 

k iC 

d aS i N C  N 

)1(

),()1( 111

¬−+××=+  

o Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo

Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir quela amortización anticipada de todos los títulos que aúnquedan vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativoha de ser igual al valor actual de la renta formada por lostérminos amortizativos pendientes de pago.

Su representación gráfica será:

C x N1 C x (1+i)k x Nk+1

0 1 2 k k+1 k+2 nak+1 ak+2 an

Donde:

C x Nk+1 x (1+i)k = A(ak+1,d) n-k ┐i 

Despejando:

ik nk k 

iC 

d a A N 

)1(

),( 11

¬= −+

+

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

78

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados 

Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulosque ya han sido amortizados, tendremos:

Nk+1 = N1 - mk

 Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del períodok+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizadosen los k primeros períodos.

  Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes deamortizar  

Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los

títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,k+2, k+3, …, n.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn

 

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo que aumenta anualmente en 10.000 €  Plazo de amortización (n): 5 años

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo.

1º Cálculo del término amortizativo:

=× 1 N C  A(a1,d)n ┐i

=× 000.10000.1 A(a1,10.000)5 ┐0,10

)( 11 nd i

d a N C  ++=× an ┐i -

i

nd  

)000.10510,0

000.10(000.10000.1 1 ×++=× a a5 ┐0,10 -

10,0

000.105× 

 €55,873.619.21 =a 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

79

d aak  += 1   €55,873.629.2000.1055,873.619.22 =+=a  

 €55,873.639.2000.10255,873.619.23 =×+=a  

 €55,873.649.2000.10355,873.619.24 =×+=a   €55,873.659.2000.10455,873.619.25 =×+=a  

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

11 )1( M iC a k  ×+×=  

1)10,1(000.155,873.619.2 M ××=   70323,381.21 = M   

11)1()1( ++

+×+

+=

k k 

ic

i

 M  M   

44921,173.210,1000.1

000.1010,1703235,381.2

22 =×

+= M   

37607,983.110,1000.1

000.10

10,1

44921,173.233 =

×+= M 

 

89929,809.110,1000.1

000.10

10,1

37607,983.144 =

×+= M 

 

5722,651.110,1000.1

000.01

10,1

89929,809.155 =

×+= M   

381.21 = M  M1=2.382173.22 = M  M2=2.173

983.13 = M  M3=1.983

809.14 = M  M4=1.810

651.15 = M  M5=1.652

ΣMk=9.997 ΣMk=10.000

3º Cuadro de amortización:

PeríodoTítulos

amortizadosTotal títulosamortizados

Títulospend. deamortizar 

Nominaltítulos

amortizados

Anualidad(Nominal+Int.acumulados)

Interesespagados

1 2.382 2.382 10.000 2.382.000,00 2.620.200,00 238.200,002 2.173 4.555 7.618 2.173.000,00 2.629.330,00 456.330,003 1.983 6.538 5.445 1.983.000,00 2.639.373,00 656.373,004 1.810 8.348 3.462 1.810.000,00 2.650.021,00 840.021,005 1.652 10.000 1.652 1.652.000,00 2.660.562,52 1.008.562,52

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

84

o  Lote: 

Es una cantidad que el ente emisor establece que se entregue aalgunos títulos en el momento de su amortización.

Cuando existe lote el término amortizativo o anualidad de unmomento k cualquiera será:

 Lc M ic N a k k k  ++= ···  

o   Amortización seca: 

La amortización seca consiste en la pérdida para los títulos que seamortizan del último cupón.

Cuando existe amortización seca o pérdida del último cupón eltérmino amortizativo o anualidad de un momento k cualquiera será:

ic M c M ic N a k k k k  ····· −+=  

o  Gastos de administración: 

Los gastos de administración son gastos soportados por el enteemisor debido a la gestión del empréstito. El obligacionista tambiénpuede soportar gastos de administración: las comisiones demantenimiento de un título.

Cuando existen gastos de administración el término amortizativo oanualidad de un momento k cualquiera será:

[ ] [ ]c M ic N gc M ic N a k k k k k  ······ +++=  

o  Impuestos: 

Los impuestos afectan tanto al ente emisor como a losobligacionistas. Los impuestos que corren a cargo del ente emisor alponer en circulación los títulos, al amortizarlos, en el levantamiento

de las garantías. Los obligacionistas también soportan cargasfiscales debido a los rendimientos que perciben.

Los empréstitos con características comerciales se resuelven de la siguienteforma:

Partimos del término amortizativo del empréstito que estemos estudiando yoperamos matemáticamente hasta llegar al término amortizativo del empréstitonormal.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

85

Supongamos un empréstito de cupón periódico constante y pospagable, términoamortizativo constante que presenta las siguientes características comerciales:

  Número de títulos emitidos: N1 

  Valor nominal de los títulos: c  Prima de amortización de los títulos: P  Pago de un lote de cuantía L en cada sorteo  Los títulos que se amortizan en cada sorteo pierden el derecho al cobro

del último cupón  Gastos de administración: g (porcentaje sobre los pagos)

•  Término amortizativo del empréstito con características comerciales:

[ ] [ ] L M icPcg L M icPca k k  +−++++−++= )··( N·i·c·)··( N·i·c k k   

Si sacamos factor común a los elementos del corchete nos queda:

[ ] )1·()··( N·i·c k  g L M icPca k  ++−++=  

Pasamos dividiendo al otro lado de la expresión (1+g)

[ ] L M icPcg

ak  +−++=

+)··( N·i·c

)1(k   

Pasamos restando al otro lado de la expresión L

k  M icPc Lg

a)··( N·i·c

)1(k  −++=−

Dividimos por icPc ·−+ toda la expresión

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−++

−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡−

+ icPc

 M icPc

icPcicPc L

g

a k 

·

)··(

·

 N·i·c

·

)1(

 

Multiplicamos por c toda la expresión

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡−

+c M 

icPc

c

icPc

c L

g

ak ·

·

· N·i·c

··

)1(

k   

Siendo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡−

+=

icPc

c L

g

aa

··

)1(´  

icPc

i

·

i·c´

−+

=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

87

  Cálculo de los títulos vivos

Nk+1 =c

a´a n-k ┐i´ 

Nk+1 = N1 - mk 

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn 

  Cálculo de los intereses

Ik+1 = C · i · Nk+1

Para el cálculo de los intereses empleamos el tanto de interés delempréstito y no el tanto de interés normalizado.

Acabamos de ver cómo se operaría para los empréstitos de cupónperiódico constante y término amortizativo constante concaracterísticas comerciales. La operatoria para la resolución de otrostipos de empréstitos se desarrollará a través de la realización de lossiguientes ejemplos.

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (c): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo constante  Plazo de amortización (n): 5 años  Características comerciales:

o  Prima de amortización : 50 €o  Lote: 250.000 €o  Pérdida del derecho al cobro del último cupón

Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo

1º Cálculo del término amortizativo:

El término amortizativo estará compuesto por una parte destinada al pago de interesesde los títulos vivos, teniendo en cuenta que los títulos que se amortizan en el períodopierden el derecho al cobro del cupón, otra por el reembolso de los títuloscorrespondientes por su valor nominal más la prima de amortización y otra destinada alpago del lote.

La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:

 LPc M ic M  N a k k k  +++−= )·(··)·(  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

88

Ahora vamos a normalizar la estructura del término amortizativo:

  1º Pasamos L al otro miembro de la ecuación:

)··(·· icPc M ic N  La k k  −++=−  

  2º Dividimos por icPc ×−+ toda la expresión

k k   M 

icPc

 N ic

icPc

 La+

−+=

−+

·

··

· 

  3º Multiplicamos por c toda la expresión

c M  N icPc

icc

icPc

c La k k  ··

·

··

·)·( +

−+=

−+−  

Donde:

icPc

c Laa

·)·(´

−+−=  

icPc

ici

·

·´

−+=

 

Siendo el término amortizativo normalizado igual a:

C  M  N iC a k k  ·´··´ +=  

Vamos ahora a calcular los valores de i´ y a´:

105263157,010050000.1

10,0000.1

·

·´ =

−+×

=−+

=iC PC 

iC i  

Si planteamos la equivalencia en el momento 0 nos queda que:

=× 1 N c a´ an ┐i´

 €52,537.673.2

10526315,0

)10526315,1(1

000.1000.10

´

´)1(1´

5

1 =−

×=

+−

×=

−−

i

i

c N a

Una vez que conocemos el valor de a´ obtendremos el valor de a sustituyendo en elcambio de variable:

icPc

c Laa

·)(´

−+×−=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

89

10050000.1

000.1)000.250(52,537.673.2

−+×−= a €64,860.789.2=a  

2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:

 Lic M P M c M ic N a +−++= ······· 1111  

000.250)10050000.1(000.1010,0000.164,860.789.2 1 +−+×+××= M   

36841.620,91591 = M   

También podremos realizar el cálculo de los títulos amortizados en el primer períodoutilizando el término amortizativo y el tanto de interés normalizados.

c M ic N a ·´··´ 11 +=  

000.1000.10105263157,0000.152,537.673.2 1 ×+××= M   

91593684,620.11 = M   

)1(1 ´)1( −+×= k 

k  i M  M   

65581.791,5386)105263157,1(91593684,620.12 =×= M   

1216814,980.1)105263157,1(91593684,620.1 23 =×= M   

55554082,188.2)105263157,1(91593684,620.1 34 =×= M   

92980631,418.2)105263157,1(91593684,620.1 45 =×= M   

620.11 = M  M1=1.621

1.7912 = M  M2=1.791

980.13 = M  M3=1.980

2.1884 = M  M4=2.189

418.25 = M  M5=2.419

ΣMk=9.997 ΣMk=10.000

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

90

3º Cuadro de amortización:

PeríodoTítulos

amortizadTotal títulosamortizados

Títulospendientesde

amortizar 

Interés

(1)

Capitalamortizado

(2)

Prima

(3)

Lote

(4)

Anualidadpráctica

(*)

1 1.621 1.621 10.000 837.900 1.621.000 81.050 250.000 2.789.950

2 1.791 3.412 8.379 658.800 1.791.000 89.550 250.000 2.789.350

3 1.980 5.392 6.588 460.800 1.980.000 99.000 250.000 2.789.800

4 2.189 7.581 4.608 241.900 2.189.000 109.450 250.000 2.790.350

5 2.419 10.000 2.419 - 2.419.000 120.950 250.000 2.789.950

(*)=(1)+(2)+(3)+(4)

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (c): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Amortizándose igual número de títulos cada año  Plazo de amortización (n): 10 años  Características comerciales:

o  Prima de amortización : 100 €o  Lote: 30.000 €o  Pérdida del derecho al cobro del último cupóno  Gastos de administración: 1 por 1000 de las cantidades pagadas

•  Cuadro de amortización:

La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:

[ ] )1()·(·)·( g L pc M ic M  N a k k  +×+++−=  

En los empréstitos en los que se amortiza el mismo número de títulos en cada sorteo noes necesario realizar la normalización en el caso de que existan característicascomerciales. Las características comerciales afectarán al cálculo del términoamortizativo y a la ley de recurrencia que éstos siguen.

Una vez conocida la estructura del término amortizativo calculamos el número de títulosque se amortizan en cada período.

000.110

000.10

...321 ====== n M  M  M  M   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

91

PeríodoTítulos

pendientes

de amortizar

Títulosamortizad

Total títulosamortizados Interés

(1)

Capitalamortizado

(2)

Lote

(3)

Gastos deAdmón.

(4)

Anualidadpráctica

(*)

1 10.000 1.000 1.000 900.000 1.100.000 30.000 2.030 2.032.030

2 9.000 1.000 2.000 800.000 1.100.000 30.000 1.930 1.931.930

3 8.000 1.000 3.000 700.000 1.100.000 30.000 1.830 1.831.830

4 7.000 1.000 4.000 600.000 1.100.000 30.000 1.730 1.731.730

5 6.000 1.000 5.000 500.000 1.100.000 30.000 1.630 1.631.630

6 5.000 1.000 6.000 400.000 1.100.000 30.000 1.530 1.531.530

7 4.000 1.000 7.000 300.000 1.100.000 30.000 1.430 1.431.430

8 3.000 1.000 8.000 200.000 1.100.000 30.000 1.330 1.331.330

9 2.000 1.000 9.000 100.000 1.100.000 30.000 1.230 1.231.230

10 1.000 1.000 10.000 - 1.100.000 30.000 1.130 1.131.130 (*)=(1)+(2)+(3)+(4)

Ejemplo:

Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000

  Valor nominal de cada título (c): 1.000 €  Tipo de interés (i): 11% anual  Término amortizativo variable en progresión geométrica de razón 1,04  Plazo de amortización (n): 15 años  Características comerciales:

o  Prima de amortización : 100 €o  Lote: 10.000 €, aumentando anualmente en 5.000 €

Calcular:

1º El término amortizativo o anualidad del primer año2º Títulos pendientes de amortizar después del 4º sorteo

1º Cálculo del término amortizativo o anualidad del primer período:

El término amortizativo estará compuesto por una parte destinada al pago de interesesde los títulos vivos, otra al reembolso de los títulos que resulten amortizados en elperíodo por su valor nominal más la prima de amortización y otra parte destinada alpago del lote.

La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:

k k k k  LPc M ic N a +++= )·(···  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

92

Ahora vamos a normalizar la estructura del término amortizativo:

  1º Pasamos restando al otro lado de la expresión L

k k k  M Pc La )·( N·i·c k  ++=−  

  2º Dividimos por Pc + toda la expresión

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−Pc

 M Pc

PcPc La k 

k k 

)·( N·i·c1· k   

  3º Multiplicamos por c toda la expresión

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+− c M Pc

c

Pc

c La k k k  ·

· N·i·c· k 

 

Siendo:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=Pc

c Laa k k k  ·´  

10,0100.1

11,0000.1i·c´ =

×=

+=

Pci  

Por tanto el término amortizativo normalizado será:

k k k  M c N ica ·´··´ +=  

Para calcular el valor del término amortizativo vamos a realizar las siguientesoperaciones:

  Planteamos la equivalencia financiera en el momento inicial de la renta entre el nominal del empréstito y los términos amortizativos teóricos

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=Pc

c Laa k k k  ·´  

=× 1 N c ∑=

= +

nK 

k k 

i

a

1 ´)1(

´ 

Cuando existan características comerciales, y los términos amortizativos o loslotes, varíen en progresión geométrica o en progresión aritmética, se va a operarcon sumatorios en lugar de con rentas, ya que es posible que estas no siganningún tipo de ley de recurrencia.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

93

  El siguiente paso es sustituir el valor a´ por el valor obtenido en el proceso denormalización.

=× 1 N c ∑=

= +

+−nK 

k k 

k k 

i

Pc

c La

1 ´)1(

)()·( 

   Ahora sacamos del sumatorio)( pc

c

+al tratarse de una constante.

=× 1 N c ∑=

= +

+

nK 

k k 

k k 

i

 La

Pc

c

1 ´)1(

)(

)( 

  Seguidamente se descompondrá el sumatorio en dos partes, por un lado quedaránlos términos amortizativos que varían en progresión geométrica y por el otro los

lotes que varían en progresión aritmética.

=× 1 N c⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∑=

=∑=

= +−

++

nk 

nk 

k  k i

k  L

k iPc

c k a

1 1 ´)1(´)1()( 

i´interésdetantoaly valoradaq razónde

geométric progresiónenvariablesn términosderentaunadeactualvalor aliguales´)1(1

∑=

= +

nK 

k k 

i

a

 

i´interés detantoaly valorada 5.000€razónde

aritmética progresiónenvariablesn términosderentaunadeactualvalor aliguales´)1(1

∑=

= +

nK 

k k 

i

 L

 

Si sustituimos en la expresión anterior los sumatorios por el valor actual de lasrentas, obtenemos:

[ ]´1´11),();(·

)( inin

d  L Aqa A pc

c N c ¬−¬

+=×  

Si ahora sustituimos en las ecuaciones obtenidas los valores de nuestro ejemplo,no queda:

[ ]10,01510,0151 )·000.5,000.10()04,1;(·100.1

000.1000.10000.1 ¬−¬=× a Aa A  

 €395.189.11 =a  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

94

2º Títulos pendientes de amortizar después del 4º sorteo:

 €424.391.105,1395.189.1

44

15 =×=×= qaa  

[ ]´5´55 ),(),( ik nik n d  L Aqa A pc

c N c ¬−¬

+=× −−  

[ ]10,01110,0115 )000.5,000.30()04,1,424.391.1(100.1

000.1000.1 ¬−¬=× A A N   

76,409.95 = N  títulos ≈ 9.410 títulos 

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 5.000  Valor nominal de cada título (c): 1.000 €  No se produce abono anual de cupones, acumulándose al momento del

sorteo al 5% anual  Plazo de amortización (n): 10 años  Término amortizativo constante  Características comerciales:

o  Gastos de administración : 2 por 1000 de las cantidades pagadaso  Lote: 40.000 €

Calcular:1º El término amortizativo o anualidad2º El número de títulos pendientes de amortizar después del 4º sorteo3º El total de títulos amortizados después de 7 sorteos

1º Cálculo del término amortizativo:

La estructura del término amortizativo para un año k cualquiera será:

[ ] )1·()1·(· g Lic M a k k  +++=  

Ahora vamos a normalizar la estructura del término amortizativo:

  1º Pasamos dividiendo al otro lado de la expresión (1+g)

[ ] Lic M g

a k k  ++=

+)1·(·

)1( 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

95

  2º Pasamos restando al otro lado de la expresión L

k k  ic M  L

g

a)1·(·

)1(

+=−

+

 

Donde:

 Lg

aa −

+=

1´  

Siendo el término amortizativo normalizado igual a:

k k  ic M a )1·(·´ +=  

Vamos ahora a calcular el valor de a´:

=× 1 N c a´ an ┐i

 €87,522.647

05,0

)05,1(1

000.1000.5

)1(1´

10

1 =−

×=

+−

×=

−−

i

i

c N a

Una vez que conocemos el valor de a´ obtendremos el valor de a sustituyendo en elcambio de variable:

 Lg

aa −+

=1

´   000.40002,1

87,522.647 −= a    €34,273.701=a  

2º Cálculo de los títulos vivos después del 4º sorteo:

415 m N  N  −=  

08,296.205,0

)05,1(1

000.1

000.40002,1

34,273.701

´ 4

44 =−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=¬=−

iac

am  

títulos704.292,703.208,296.2000.5415 ≈=−=−= m N  N   

3º Cálculo del total de títulos amortizados después del 7º sorteo:

títulos3.74781,746.305,0

)05,1(1

000.1

000.40002,1

34,273.701

´7

77 ≈=−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=¬=−

iac

am  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

96

5.4  VIDA MEDIA, VIDA MEDIANA O PROBABLE Y VIDAMATEMÁTICA DE LOS TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DEL K-ÉSIMOSORTEO

  La vida media:

La vida media de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo es lamedia aritmética ponderada de lo que les falta por vivir a dichostítulos.

  La vida mediana o probable: 

La vida mediana o probable de los títulos vivos después del k-ésimosorteo es el tiempo que debe transcurrir para que el número de títulospendientes de amortizar sea la mitad.

  La vida matemática: 

La vida matemática es el momento t en que debería producirse el pagoúnico por todos los títulos pendientes de amortizar, para que seaequivalente a los pagos anuales que amortizan el empréstito.

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual.  Plazo de amortización (n): 10 años  Término amortizativo anual y constante (a)

Calcular:

La vida media, mediana y matemática de los títulos vivos después del 5ºsorteo, utilizando para la valoración el tanto del 8%.

N1 N6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lo primero que debemos calcular es el término amortizativo o anualidad queamortiza el empréstito.

=× 1 N C  a an ┐i

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

97

=× 000.10000.1 a a10 ┐0,10

 €95,453.627.1

 0,10

10),(1-1

000.10000.110- =

×=a  

Una vez calculada la anualidad debemos calcular el número de títulos vivosdespués del 5º sorteo

S  M  N  N k  111 −=+ k ┐i

S  M  N  N  116 −= 5 ┐0,10

Debemos calcular en primer lugar  1 M  :

11 M C  N iC a ×+××=  

1000.1000.1010,0000.195,453.627.1 M ×+××=  

453949,6271 = M   

S  N  453949,627000.106 −= 5 ┐0,10= 6.169,33

1º Cálculo de la vida media de los títulos vivos después del 5º sorteo:

La vida media de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo es la mediaaritmética ponderada de lo que les falta por vivir a dichos títulos; es decir, lostítulos que se amortizan cada año por el número de años que les quedan por vivirdividido entre el número de títulos vivos después del k-ésimo sorteo.

La vida media para los títulos amortizados después del 5º sorteo será:

6

1098765

)5()4()3()2()1(

 N 

 M  M  M  M  M V 

×+×+×+×+×=

 

Donde:

añodécimoelenamortizansequetítuloslosson

añoséptimoelenamortizansequetítuloslossonM

añosextoelenamortizansequetítuloslosson

10

7

6

 M 

 M 

M

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

98

Después de pagar la 5ª anualidad tenemos que:

añoscinco por vivir quedanlesañodécimoelenamortizar avansequetítuloslosA

añosdos por vivir quedanlesaño7ºelenamortizar avansequetítuloslosA

añoun por vivir quedalesaño6ºelenamortizar avansequetítuloslosA

En los empréstitos que se amortizan mediante términos amortizativos constantesel número de títulos amortizados en cada sorteo será:

11 )1(

−+×= k k  i M  M   

Luego los títulos amortizados cada año serán:

Para el año 6º:

52086,010.1)10,1(453949,627)10,1( 5516 =×=×= M  M  siendo su vida de un año.

Para el año 7º:

57295,111.1)10,1(453949,627)10,1( 6617 =×=×= M  M  siendo su vida de dos años.

Para el año 8º:

73024,222.1)10,1(453949,627)10,1( 7718 =×=×= M  M  siendo su vida de tres años.

Para el año 9º:

00326,345.1)10,1(453949,627)10,1(88

19 =×=×= M  M  siendo su vida de cuatro años.

Para el año 10º:

50359,479.1)10,1(453949,627)10,1(99

110 =×=×= M  M  siendo su vida de cinco años.

días.8ymeses2años3mismo,loesqueloosorteo,5ºdel

despuéaños189874,333,169.6

)550,479.1()400,345.1()373,222.1()257,11.1()152,010.1(5 =

×+×+×+×+×=V 

 

Sabiendo que los títulos que se amortizan cada año son igual a los amortizados el

año anterior multiplicados por (1+i), es decir, )1(1 i M  M  k k  +×=+ podríamos haberexpresado la vida media, como:

1

11

2111 )()1(...3)1(2)1(1

+

−−++++ −×+×++×+×+×+×+×

=k 

k nk k k k 

k  N 

k ni M i M i M  M V   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

99

1

121 )()1(...3)1(2)1(1

+

−−+ −×+++×++×++×

=k 

k nk 

k  N 

k niii M V 

 

ik k 

k nk 

k S  M 

iiik n M V  ¬

++×++×+++×−×=

+

−−+

1

211 1)1(2)1(3...)1()(

 

La expresión incluida en el paréntesis es el valor final de una renta variable enprogresión aritmética de razón –1, y cuyo primer término será (n-k).

Si sustituimos en la ecuación anterior la expresión del corchete por el valor de unarenta variable en progresión aritmética y simplificamos el valor de 1+k  M  nosqueda:

iS ik nS i

k n

ik nS 

i

k n

ik nS 

V ik nik nik n

ik n

111)(

)(1)(

)(1)(

−⎥⎦

⎤⎢⎣

¬×+−=¬×

−+−−=¬

−+⎥

⎤⎢

⎡−−¬

=−−−

 

sorteo.5ºdeldespuésaños189874,310,0

1

10,0

115

10,05

5 =−⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

¬×+=

S V   

2º Cálculo de la vida mediana de los títulos vivos después del 5º sorteo:

La vida mediana o probable de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo es eltiempo que debe transcurrir para que el número de títulos pendientes de amortizarsea la mitad.

Por tanto, debemos calcular el tiempo que debe transcurrir para amortizar

títulos3.084,672

6.169,3309

2

6 == N 

 

Si amortizamos 3.084,67 títulos aún nos quedarán por amortizar otros 3.084,67títulos.

95,453.627.167,084.3000.1 =× a x ┐0,10

Donde:

10,0)10,1(195,453.627.167,084.3000.1

 x−

−×=×  

)8104607,0log()10,1log( −=− x  

3.084,6últimosloseamortizarsentardaránquetiempoelseráaños20493,2)10,1log(

)8104607,0log(== x

 

Luego tardaremos en amortizar los primeros 3.084,67 títulos:

t −= 520493,2   795068,220493,25 =−=t  años de vida mediana, o lo quees igual a 2 años 9 meses y 16 días después del 5º sorteo.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

100

3º Cálculo de la vida matemática:

La vida matemática es el momento t en que debería producirse el pago único portodos los títulos pendientes de amortizar, para que sea equivalente a los pagosanuales que amortizan el empréstito.

Si planteamos la ecuación después del 5º sorteo, tenemos:

5

10

4

9

3

8

2

7

1

66 )08,1()08,1()08,1()08,1()08,1()08,1( −−−−−− ×+×+×+×+×=× M  M  M  M  M  N t   

días.10ymes1años3mismo,loesqueloosorteo,5ºdeldespuésaños1134,35

)08,1(50,479.1

4)08,1(00,345.1

3)08,1(73,222.1

2)08,1(57,111.1

1)08,1(52,010.1)08,1(33,169.6

=−×

+−×+−×+−×+−×=−× t 

 

También podríamos haber planteado la ecuación como:

1)(1

231

21

111

)1(´)1( 

...)1(´)1()1(´)1(´)1(´)1(

−−−−+

−+

−+

−+

−+

+×+×

+++×+×++×+×++×=+×k nk n

k k k t 

ii M 

ii M ii M i M i N  

1)(2321

11 )1(´)1(...)1(´)1()1(´)1(´)1(´)1( −−−−−−−+

−+ +×++++×+++×+++×=+× k nk n

k  iiiiiii M i N   

La expresión de dentro del paréntesis representa el valor actual de una progresióngeométrica de razón (1+i).

Si sustituimos en la ecuación anterior la expresión de dentro del corchete por elvalor actual de una renta variable en progresión geométrica de razón (1+i)valorada al tanto de interés i´ nos queda:

( ))1(,´)1( 11 i M  Ai N  k t 

k  +=+× +−

+  n-k ┐i´)1(´)1(

)1(´)1(1 )(

1ii

ii M 

k nk n

k  +−+

++−=

−−−

+  

Si ahora calculamos el momento t o vida matemática de los títulos vivos despuésdel 5º sorteo a un tanto de valoración i´del 8%, nos queda:

( ))10,1(,52,010.1´)08,1(33,169.6 At  =× −  5 ┐0,08)10,1()08,1(

)10,1()08,1(152,010.1

55

−=

 

t 08,185,854.4

33,169.6=   sorteo.5ºdeldespuésaños1134,3

)08,1log(

85,854.4

33,169.6log

=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

=t   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

101

5.5  VALOR, USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD

Cada una de las obligaciones que forman el empréstito confieren a su titular elderecho al cobro de los intereses periódicos y al reembolso del nominal cuando le

corresponda por sorteo.Por tanto el valor del título será igual al valor actual de los intereses y del valorde reembolso.

  El usufructo de un título (Uk ): valor actual de los intereses. Sivaloramos el título en el momento k, el usufructo del título (Uk), será elresultado de actualizar los intereses futuros del título a un tipo deinterés i*, que será el tanto de interés de mercado.

  La nuda propiedad de un título (Nk ): valor actual del capital, sin losintereses. Si valoramos el título en el momento k, la nuda propiedad

del título (Nk), será el resultado de actualizar el valor de reembolso deltítulo al tipo de interés i*.  El valor de un título (Vk): suma del usufructo y de la nuda propiedad.

Vamos a realizar el cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad para lossiguientes tipos de empréstitos:

1.  Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, amortizablesmediante términos amortizativos constantes y sin característicascomerciales.

2.  Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, amortizables

mediante términos amortizativos variables y sin característicascomerciales.3.  Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, con

características comerciales.

1.  Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, términoamortizativo constante y sin características comerciales.

La estructura del término amortizativo para este tipo de empréstitosserá para un año k cualquiera igual a:

k k  M C  N iC a ×+××=  

El término amortizativo incorpora por una parte el pago de cuponespor los títulos en circulación, y por otra la cuantía destinada a laamortización de los títulos en el período.

Para el cálculo del valor, la nuda propiedad y el usufructo de un títulopodemos encontrarnos ante dos situaciones distintas:

  Que conozcamos el momento en que se va a amortizar dicho título. 

Que desconozcamos el momento de amortización del título.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

102

En el primero de los casos tendremos en cuenta únicamente el títuloque vayamos a valorar, mientras que en el segundo de los supuestos

se valorará el empréstito vivo, es decir, la totalidad de títulos vivos enel momento que se efectúa la valoración. Así para obtener el valor,usufructo y nuda propiedad para un título, bastará con dividir losvalores globales obtenidos entre el número de títulos vivos en dichomomento.

  Cálculo del valor o plena propiedad de un título:

a)  Si conocemos el momento de amortización del título

El valor de un título en el momento (k) cuya amortización seproducirá en el momento (k+t) será igual al valor actual de loscupones que recibirá hasta el momento (k+t) más el valor dereembolso actualizado. Gráficamente se representará como:

Nk+1 

k k+1 k+2 k+t nci ci c+ci

××= iC V k  at ┐i* + t i

*)1( + 

b)  Si no conocemos el momento de amortización del título

Para obtener el valor o plena propiedad de un título deberemosobtener el valor para la totalidad del empréstito vivo en el

momento k, valorado al tipo de interés de mercado i* y luegodividir dicho valor entre el número de títulos vivos en esemomento (Nk+1).Para calcular el valor o plena propiedad para el total delempréstito vivo, debemos calcular el valor actual de todos lostérminos amortizativos o anualidades pendientes de pago.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

103

El valor o plena propiedad en el momento k para el empréstitovivo )( G

k V  , valorado al tanto de interés i* será:

Nk+1 

k k+1 k+2 na a a

ai

a

i

a

i

a

i

aV 

k n

Gk  =

+++

++

++

+=

−*)1(...

*)1(*)1(*)1( 32an-k ┐i* 

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el

valor global que acabamos de obtener entre el número detítulos vivos en el momento k (Nk+1 ).

1

*k -na

+

¬=

ik 

 N 

aV 

 

  Cálculo del usufructo:

a)  Si conocemos el momento de amortización del título

El valor del usufructo en el momento (k) para un título cuya

amortización se producirá en el momento (k+t) será igual a:Nk+1 

k k+1 k+2 k+t nci ci ci

××= iC U k  at ┐i*

b)  Si no conocemos el momento de amortización del título

El valor del usufructo en el momento k para el conjunto detítulos vivos )( G

k U  , valorado al tanto de interés i* será:

Nk+1 

k k+1 k+2 nciNk+1 ciNk+2 ciNn 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

104

k n

nk k k Gk 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC U 

−+++

+

××++

+

××+

+

××+

+

××=

*)1(...

*)1(*)1(*)1( 3

3

2

21  

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir elvalor global que acabamos de obtener entre el número detítulos vivos en el momento k (Nk+1 ).

1

3

3

2

21

*)1(...

*)1(*)1(*)1(

+

−+++

+

××++

+

××+

+

××+

+

××

=k 

k n

nk k k 

k  N 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC 

U   

  Cálculo de la nuda propiedad

a)  Si conocemos el momento de amortización del títuloEl valor de la nuda propiedad en el momento (k) para un títulocuya amortización se producirá en el momento (k+t) será iguala:

Nk+1 

k k+1 k+2 k+t nc

t k i

C  N 

*)1( +=  

b)  Si no conocemos el momento de amortización del título

El valor de la nuda en el momento k para el conjunto de títulosvivos )( G

k  N  , valorado al tanto de interés i* será:

Nk+1 

k k+1 k+2 ncMk+1 cMk+2 cMn 

k n

nk k k Gk 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C  N 

+++

+

×++

+

×+

+

×+

+

×=

*)1(

...

*)1(*)1(*)1( 3

3

2

21  

Page 275: Matematicas financieras AEAT

7/29/2019 Matematicas financieras AEAT

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

105

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir elvalor global que acabamos de obtener entre el número detítulos vivos en el momento k (Nk+1).

1

3

3

2

21

*)1(...

*)1(*)1(*)1(

+

−+++

+

×++

+

×+

+

×+

+

×

=k 

k n

nk k k 

k  N 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C 

 

  Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad a partir de laecuación de Achard:

Otro método más sencillo para obtener el valor, la nuda propiedad

y el usufructo es la utilizando del siguiente sistema de ecuaciones:

k k k  N U V  +=  

)(*

k k  N C i

iU  −=  

Este sistema de ecuaciones puede ser utilizado siempre y cuando:o i*≠ io  El cupón se mantenga constante desde el momento del estudio

hasta el final del empréstito.

Para la aplicación de este sistema es necesario el cálculo de una delas tres incógnitas, que para este tipo de empréstitos será el valoro plena propiedad del título k V  , cuyo cálculo ya se ha explicado.

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual.  Plazo de amortización (n): 5 años  Término amortizativo anual y constante: (a)

Calcular:1.  El cuadro de amortización del empréstito2.  El valor, usufructo y nuda propiedad medios de un título en el origen

siendo el tanto de interés de mercado del 14%.

Page 276: Matematicas financieras AEAT

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

106

1º Cuadro de amortización del empréstito:

=× 1 N C  a an ┐i

=× 000.10000.1 a a5 ┐0,10

 €81,974.637.2

 0,10

10),(1-1

000.10000.15-

=a  

11 M C  N iC a ×+××=  

1000.1000.1010,0000.181,974.637.2 M ×+××=  

97481,637.11 = M   

11 )1( −+×= k 

k  i M  M   

1801,77229)10,1(974808,637.1)10,1(12 =×=×= M  M   

1981,94952)10,1(974808,637.1)10,1( 2213 =×=×= M  M   

72.180,1444)10,1(974808,637.1)10,1( 3314 =×=×= M  M   

22.398,1589)10,1(974808,637.1)10,1( 4415 =×=×= M  M   

637.11 = M  M1=1.638

18012 = M  M2=1.802

19813 = M  M3=1.982

2.1804 = M  M4=2.180

2.3985 = M  M5=2.398

ΣMk=9.997 ΣMk=10.000

PeríodoTítulos

amortizadosTotal títulosamortizados

Títulos pend.de amortizar 

Interés Capitalamortizado

Anualidad

1 1.638 1.638 10.000 1.000.000 1.638.000 2.638.0002 1.802 3.440 8.362 836.200 1.802.000 2.638.200

3 1.982 5.422 6.560 656.000 1.982.000 2.638.000

4 2.180 7.602 4.578 457.800 2.180.000 2.637.800

5 2.398 10.000 2.398 239.800 2.398.000 2.637.800

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

107

2º Valor, usufructo y nuda propiedad medios en el origen para un título.

  Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y valor parael conjunto de obligaciones.

o  Usufruto: Valor actual de los intereses. 

 €90,235000.10

14,1

800.239

14,1

800.457

14,1

000.656

14,1

200.836

14,1

000.000.15432

0 =

++++

=U   

o  Nuda propiedad: Valor del capital actualizado 

 €74,669000.10

14,1

000.398.2

14,1

000.180.2

14,1

000.982.1

14,1

000.802.1

14,1

000.638.15432

0 =

++++

= N   

o  Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad 

 €64,905000 =+= N U V   

  Si utilizamos el sistema de ecuaciones.

000 N U V  +=  

)(*

00 N C i

iU  −=  

=0V   1 N 

aa5 ┐0,14

000.10

81,974.637.2= a5 ┐0,14  €64,905=  

)000.1(14,010,0 00 N U  −=  

00 )000.1(14,0

10,064,905 N  N  +−=    €74,6690 = N   

 €90,235)74,669000.1(14,0

10,00 =−=U 

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

108

2.  Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, términoamortizativo variable y sin características comerciales.

  Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad de un títuloutilizando las definiciones generales:

o  Cálculo del valor o plena propiedad:

Para obtener el valor o plena propiedad de un título deberemosobtener el valor para la totalidad del empréstito vivo en unmomento k, valorado al tipo de interés de mercado i* y luegodividir dicho valor entre el número de títulos vivos en esemomento (Nk+1).Para calcular el valor o plena propiedad para el total del

empréstito vivo en el momento k, debemos calcular el valoractual de todos los términos amortizativos o anualidadespendientes de pago.

Nk+1 

k k+1 k+2 nak+1 ak+2 an

El valor en el momento k para el empréstito vivo )( Gk V  ,

valorado al tanto de interés i* será:

  Si el término amortizativo varía en progresión aritmética:

),(*)1(

...*)1(*)1(*)1(

13

3

2

21 d a Ai

a

i

a

i

a

i

aV  k k n

nk k k Gk  +−

+++ =+

+++

++

++

= n-k ┐i*

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir elvalor global que acabamos de obtener entre el número detítulos vivos en el momento k (Nk+1 ). 

1

3

3

2

21

*)1(...

*)1(*)1(*)1(

+

−+++

+++

++

++

+=

k n

nk k k 

k  N 

i

a

i

a

i

a

i

a

V   

Si el término amortizativo varía en progresión geométrica:

),(*)1(

...*)1(*)1(*)1(

13

3

2

21 qa Ai

a

i

a

i

a

i

aV  k k n

nk k k Gk  +−

+++ =+

+++

++

++

= n-k ┐i* 

Page 279: Matematicas financieras AEAT

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

109

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir elvalor global que acabamos de obtener entre el número detítulos vivos en el momento k (Nk+1 ). 

o  Cálculo del usufructo:

El valor del usufructo en el momento k para el conjunto detítulos vivos )( G

k U  , valorado al tanto de interés i* será: 

Nk+1 

k k+1 k+2 nciNk+1 ciNk+2 ciNn 

k n

nk k k Gk 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC U 

−+++

+

××++

+

××+

+

××+

+

××=

*)1(...

*)1(*)1(*)1( 3

3

2

21  

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir elvalor global que acabamos de obtener entre el número detítulos vivos en el momento k (Nk+1 ).

1

3 32 21*)1(...*)1(*)1(*)1(

+

−+++

+

××+++

××++

××++

××

=k 

k n nk k k 

k  N 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC 

i

 N iC 

U   

o  Cálculo de la nuda propiedad:

El valor de la nuda propiedad en el momento k para el conjuntode títulos vivos )( G

k  N  , valorado al tanto de interés i* será:

Nk+1 

k k+1 k+2 ncMk+1 cMk+2 cMn 

k n

nk k k Gk 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C  N 

−+++

+

×++

+

×+

+

×+

+

×=

*)1(...

*)1(*)1(*)1( 3

3

2

21  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

110

Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el valorglobal que acabamos de obtener entre el número de títulos vivos enel momento k (Nk+1 ).

1

3

3

2

21

*)1(...

*)1(*)1(*)1(

+

−+++

+

×++

+

×+

+

×+

+

×

=k 

k n

nk k k 

k  N 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C 

i

 M C 

 

  Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad a partir de laecuación de Achard:

k k k  N U V  +=  

)(*

k k  N C i

iU  −=  

En este caso calcularemos en primer lugar la variable valor o plenapropiedad de la siguiente manera:

o  Para los empréstitos variables en progresión aritmética

),( 1 d a A k + n-k ┐i*

Vk = 

Nk+1

o  Para los empréstitos variables en progresión geométrica

),( 1 qa A k + n-k ┐i*

Vk = 

Nk+1

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo que aumenta anual y acumulativamente un

5%  Plazo de amortización (n): 5 años

Calcular:1.  El cuadro de amortización del empréstito2.  El valor, usufructo y nuda propiedad medios de un título en el origen

siendo el tanto de interés de mercado del 14%.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

111

1º Cálculo del cuadro de amortización:

=× 1 N C  A(a1,q)n ┐i

=× 000.10000.1 A(a1,1,05)5 ┐0,1

 €29,295.409.2

 (1,05)-(1,10)

10),(1(1,05)-1

000.10000.15-51 =

×=a  

11

−×= k k  qaa  

 €05,760.529.205,195,295.409.22 =×=a  

 €06,248.656.2)05,1(95,295.409.2 2

3=×=a  

 €46,060.789.2)05,1(95,295.409.2 34 =×=a  

 €48,513.928.2)05,1(95,295.409.2 45 =×=a  

111 M C  N iC a ×+××=  

1000.1000.1010,0000.129,295.409.2 M ×+××=  

1409,295291 = M   

)1()1(1 qC 

ai M  M  k 

k k  −×−+×=+  

81.670,6895)05,0(000.1

29,295.409.2)10,1(29529,409.12 =×−×= M   

24654,964.1)05,0(000.1

05,760.529.2)10,1(68958,670.13 =×−×= M   

4836,293.2)05,0(000.1

06,248.656.2)10,1(24654,964.14 =×−×= M 

28498,662.2)05,0(000.1

46,060.789.2)10,1(4836,293.25 =×−×= M   

409.11 = M  M1=1.409

1.6702 = M  M2=1.671

964.13 = M  M3=1.964

2.2934 = M  M4=2.294

662.25 = M  M5=2.662

ΣMk=9.998 ΣMk=10.000

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

112

Período Títulosamortizad.

Total títulosamortizados

Títulospendientes

de amortizar 

Interés Capitalamortizado

Anualidadpráctica

1 1.409 1.409 10.000 1.000.000 1.409.000 2.409.0002 1.671 3.080 8.591 859.100 1.671.000 2.530.100

3 1.964 5.044 6.920 692.000 1.964.000 2.656.000

4 2.294 7.338 4.956 495.600 2.294.000 2.789.600

5 2.662 10.000 2.662 266.200 2.662.000 2.928.200

2º Valor, usufructo y nuda propiedad medios en el origen para un título.

  Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad yvalor para el conjunto de obligaciones.

o  Usufruto: Valor actual de los intereses. 

 €70,243000.10

14,1

200.266

14,1

600.495

14,1

000.692

14,1

100.859

14,1

000.000.15432

0 =

++++

=U   

o  Nuda propiedad: Valor actual del capital 

 €82,658

000.10

514,1

000.662.2

414,1

000.294.2

314,1

000.964.1

214,1

000.671.1

14,1

000.409.1

0 =

++++

= N   

o  Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad 

 €52,902000.10

14,1

200.928.2

14,1

600.789.2

14,1

000.656.2

14,1

100.530.2

14,1

000.409.25432

0 =

++++

=V   

 €52,90282,65870,243000 =+=+= N U V   

  Si utilizamos el sistema de ecuaciones.

000 N U V  +=  

)(*

00 N C i

iU  −=  

=0V   1

1 ),(

 N 

qa A5 ┐0,14   €52,902

000.10

05,114,1

14,105,1129,295.409.2

55

=−

×−

=

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

113

)000.1(14,0

10,000 N U  −=

 

00 )000.1(14,0

10,0

52,902 N  N  +−=    €82,6580 = N   

 €70,243)82,658000.1(14,0

10,00 =−=U   

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 11% anual  Término amortizativo que aumenta anualmente en 100.000 €  Plazo de amortización (n): 10 años

Calcular:1º El cuadro de amortización del empréstito2º El valor, usufructo y nuda propiedad medios de uno de los títulostranscurrido cinco años desde su emisión, siendo el tanto de interés de

mercado del 9%.

1º Cálculo del cuadro de amortización:

=× 1 N C  A(a1,d)n ┐i

=× 000.10000.1 A(a1,100.000)10 ┐0,11

,110

10000.10010000.100

11,0

000.100000.000.10 11,0101

×−¬⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×++= aa    €70,572.332.11 =a  

d k aak  )1(1 −+=  

111 M C  N iC a ×+××=  

1000.1000.1011,0000.170,572.132.1 M ×+××=  

572699,3221 = M   

d i M  M  k k  ++×=+ )1(1  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

114

155696,583000.1

000.100)11,1(572699,2322 =+×= M 

 

552823,497000.1

000.100)11,1(155696,358

3

=+×= M 

 

283633,652000.1

000.100)11,1(552823,4974 =+×= M 

 

034833,824000.1

000.100)11,1(283633,6525 =+×= M 

 

67866,014.1000.1

000.100)11,1(034833,8246 =+×= M   

29332,226.1000.1

000.100

)11,1(67866,014.17 =+×= M   

18558,461.1000.1

000.100)11,1(29332,226.18 =+×= M   

916,721.1000.1

000.100)11,1(18558,461.19 =+×= M   

32676,011.2000.1

000.100)11,1(916,721.110 =+×= M   

2321 = M    2331 = M   

3582 = M    3582 = M   

4973 = M    4983 = M   

6524 = M    6524 = M   

2485 = M    2485 = M   

014.16 = M    015.16 = M   

226.17 = M    226.17 = M   

461.18 = M    461.18 = M   

721.19 = M    722.19 = M   

011.210 = M    011.210 = M   

ΣMk=9.996 ΣMk=10.000

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

115

Títulosamortizad.

Total títulosamortizados

Títulospendientes

deamortizar Interés

Capitalamortizado

Anualidadpráctica

Período

1 233 233 10.000 1.100.000 233.000 1.333.000

2 358 591 9.767 1.074.370 358.000 1.432.370

3 498 1.089 9.409 1.034.990 498.000 1.532.990

4 652 1.741 8.911 980.210 652.000 1.632.210

5 824 2.565 8.259 908.490 824.000 1.732.490

6 1.015 3.580 7.435 817.850 1.015.000 1.832.850

7 1.226 4.806 6.420 706.200 1.226.000 1.932.200

8 1.461 6.267 5.194 571.340 1.461.000 2.032.340

9 1.722 7.989 3.733 410.630 1.722.000 2.132.630

10 2.011 10.000 2.011 221.210 2.011.000 2.232.210

 2º Valor, usufructo y nuda propiedad medios para un título transcurridos 5 añosdesde su emisión.

  Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y valorpara el conjunto de obligaciones.

o  Usufruto: Valor actual de los intereses. 

 €66,298435.7

09,1

210.221

09,1

630.410

09,1

340.571

09,1

200.706

09,1

850.8175432

5

=

++++

=U   

o  Nuda propiedad: Valor actual del capital 

 €64,755435.7

09,1

000.011.2

09,1

000.722.1

09,1

000.461.1

09,1

000.226.1

09,1

000.015.15432

5 =

++++

= N  

o  Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad 

 €30,054.1435.7

09,1

210.232.2

09,1

630.132.2

09,1

340.032.2

09,1

200.932.1

09,1

850.832.1

5432

5 =

++++

=V   

 €30,054.164,75566,298555 =+=+= N U V   

  Si utilizamos el sistema de ecuaciones.

555 N U V  +=  

)(* 55

N C i

iU  −=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

116

=5V   6

6 ),(

 N 

qa A5 ┐0,09 

V5  €30,054.1435.7

09,05000.100)5000.100

09,0000.100850.832.1( 09,05

=

×−¬×++=

a

 

)000.1(09,0

11,055 N U  −=  

55 )000.1(09,0

11,030,054.1 N  N  +−=    €64,7555 = N   

 €66,298)64,755000.1(09,011,05 =−=U   

3.  Empréstito de cupón periódico constante pospagable concaracterísticas comerciales.

Las características comerciales pueden afectar a la hora de calcular losvalores del usufructo, de la nuda propiedad y de la propiedad total.

En el siguiente cuadro se muestran algunas de las características quepuede presentar el empréstito, y en qué casos éstas afectan al cálculodel usufructo, nuda propiedad y propiedad total.

Uk Nk Vk Prima de amortización No Si SiGastos de administración No No NoLotes No No SiAmortización seca Si No Si

Para el cálculo del usufructo, nuda propiedad y valor del títulodebemos tener en cuenta el modo en que las característicascomerciales afectan al cálculo de dichos valores.

Si utilizamos la ecuación de Achard para el cálculo del valor, usufructoy nuda propiedad el sistema de ecuaciones se verá afectado de distintamanera dependiendo de cuál o cuáles sean las características que leafectan. En la tabla que se muestra a continuación aparece cómoquedará el sistema de ecuaciones cuando les afecte cada una de lassiguientes características.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

117

Sistema de ecuaciones 

Prima de amortizaciónk k k  N U V  +=  

(*

k k  N i

iC 

i

iU  −=  

Gastos de administración k k k  N U V  +=  

)(*

k k  N C i

iU  −=  

Lotesk k k  N U V  += + VL (*)

(*

k k  N i

iC 

i

iU  −=  

Amortización secak k k  N U V  +=  

(*

k k  N i

iC 

i

iU  −=  

(*) Valor de Lotes Futuros (VL)=1

1 *)1(

+

+=−∑

+

n

k sk s

 N 

i

os Lotesfutur 

 

Siendo i´ el tipo normalizado del empréstito

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo constante  Plazo de amortización (n): 5 años  Todos los años se amortiza igual número de títulos  Características comerciales:

o  Gastos de administración del 2 por mil de las cantidades pagadaso  Lote: 250.000 €

Calcular:1. El cuadro de amortización de dicho empréstito2. El valor, usufructo y nuda propiedad medios de un título en el origen siendo eltanto de interés de mercado del 14%

1º Cálculo del cuadro de amortización:

La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:

)1()( g L M C  N iC a k  +×+×+××=  

000.25

000.10...M 321 ======= M  M  M  M  n

 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

118

Período Títulosamortizad Total títulosamortizados

Títulos

pendientesdeamortizar 

Interés

(1)

Capitalamortizado

(2)

Lote

(3)

Gastosadmon

(4)

Anualidadpráctica

(*)

1 2.000 2.000 10.000 1.000.000 2.000.000 250.000 6.500 3.256.500

2 2.000 4.000 8.000 800.000 2.000.000 250.000 6.100 3.056.100

3 2.000 6.000 6.000 600.000 2.000.000 250.000 5.700 2.855.700

4 2.000 8.000 4.000 400.000 2.000.000 250.000 5.300 2.655.300

5 2.000 10.000 2.000 200.000 2.000.000 250.000 4.900 2.454.900

(*)=(1)+(2)+(3)+(4)

2º Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad en el origen:

  Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y valor para elconjunto de obligaciones.

o  Usufruto: Valor actual de los intereses. 

 €85,223

000.10

14,1

000.200

14,1

000.400

14,1

000.600

14,1

000.800

14,1

000.000.15432

0 =

++++

=U   

o  Nuda propiedad: Valor actual del capital 

 €62,686000.10

14,1

000.000.2

14,1

000.000.2

14,1

000.000.2

14,1

000.000.2

14,1

000.000.25432

0 =

++++

= N   

o  Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad 

 €29,996000.10

14,1

000.450.2

14,1

000.650.2

14,1

000.850.2

14,1

000.050.3

14,1

000.250.35432

0 =

++++

=V   

 LV  N U V  ++= 000  

 €83,8562,68685,23329,996000 =−−=−−= N U V V  L  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

119

  Si utilizamos el sistema de ecuaciones dadas para el cálculo del usufructo, nudapropiedad y valor para el conjunto de obligaciones.

 L

V  N U V  ++=000

 

)(*

00 N C i

iU  −=  

=0 N 1 N 

aa5 ┐0,14

000.10

000.000.2= a5 ┐0,14  €62,686=  

 €85,223)62,686000.1(14,0

10,00 =−=U   

 €83,8514,1

000.250

14,1

000.250

14,1

000.250

14,1

000.25014,1000.250

5432=++++= LV   

 €29,99683,8585,22362,6860 =++=V   

5.6  TANTOS EFECTIVOS

Los tantos efectivos son aquellos que hacen que lo realmente entregado seaigual a lo realmente recibido tanto para la entidad emisora del empréstito comopara los suscriptores de las obligaciones.

Cuando en el empréstito existen características comerciales ya no se cumple laequivalencia financiera por la que la prestación o importe del empréstito es iguala la contraprestación o importe de los términos amortizativos pagados por lossuscriptores de las obligaciones, al tipo de interés pactado en la emisión.

Por tanto y para el caso en el que existan características comerciales aparecenotros pagos y cobros que pueden afectar tanto a la prestación como a la

contraprestación, no cumpliéndose la equivalencia financiera para el tipo deinterés pactado. En este caso debemos calcular los nuevos tipos (efectivos) quehagan que lo realmente recibido por una de las partes sea igual a lo entregadopor la otra.

Veamos cómo se efectúa el cálculo de los tantos efectivos tanto para la entidademisora, como para los suscriptores del empréstito, a través de un ejemplo.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

120

Ejemplo:

Dado el siguiente empréstito:

  Número de títulos emitidos (N1): 10.000  Valor nominal de cada título (C): 1.000 €  Tipo de interés (i): 10% anual  Término amortizativo constante (a)  Plazo de amortización (n): 5 años  Precio de emisión (Pe): 96%  Prima de reembolso (P): 10%  Gastos iniciales (G): 6.000 € a cargo del emisor  Gastos de administración (g): 1 por 1.000 sobre las cantidades

pagadas anualmente a los obligacionistasCalcular:

1.  El tanto efectivo para el emisor2.  El tanto efectivo para el obligacionista3.  La rentabilidad de un título que se amortiza en el 4º sorteo

1º Cálculo de la anualidad que amortiza el empréstito:

La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:

[ ])1())( g M PC  N iC a

k k +××++××=  

k k  M c N c pc

ic

 pc

c

g

a×+××

+

×=

+ )()()1( 

)()1(´

 pc

c

g

aa

+=  

090909091,0100000.1

10,0000.1

)(´ =

+

×=

+

×=

 pc

ici  

k k  M c N ica ×+××= ´´  

´1 a N c =× an ┐i´ ´000.10000.1 a=× a5 ┐0,0909091  €71,991.576.2´=a  

100.1

000.1

001,171,991.576.2 ×=

a   €57,525.837.2=a  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 5. EMPRÉSTITOS

121

2º Cálculo del tanto efectivo para el emisor:

La cantidad que recibe el emisor (valor de emisión del empréstito) tiene que serigual a lo realmente pagado por el (anualidades teóricas y gastos de emisión)

aG N Pe +=× 1 an ┐ei 

57,525.837.2000.6000.10960 +=× a5 ┐ei 

%64,14=ei  

3º Cálculo del tanto efectivo para los obligacionista:

La cantidad que recibe el obligacionista (anualidades teóricas sin gastos deadministración) tiene que ser igual a lo realmente pagado por estos (valor deemisión del empréstito)

g

a N Pe

+=×

11 an ┐

oi 

001,1

57,525.837.2000.10960 =× a5 ┐

oi 

%57,14=oi  

3º Cálculo de la rentabilidad de un título que se amortiza el tercer año:

La cantidad pagada por una obligación (valor de emisión) tiene que ser igual a lorecibido por esta (los cupones que le correspondan más el valor de amortización)

icPe ×= ak ┐r +k 

 pc

)1( +

=960   10,0000.1 × a3 ┐r+ 3)1(

100.1

r + 

%63,14=r   

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Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras

2ª parte: Matemáticas Financieras 

Capítulo 6. VALORESMOBILIARIOS

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

2

Índice de contenidos 

Página CAPÍTULO 6  VALORES MOBILIARIOS 3 

6.1.  CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN 3 6.1.1. Concepto 36.1.2. Clasificación 3 

6.2.  LA DEUDA PÚBLICA 4 6.2.1. Las Letras del Tesoro 76.2.2. Los bonos y obligaciones del Estado 9 

6.3.  AMPLIACIONES DE CAPITAL 10 6.3.1. Concepto 106.3.2. Los derechos de suscripción preferente 11

6.3.2.1 Valoración de los derechos de suscripción preferente 11 

6.4.  COMPRA-VENTA DE VALORES 21 

6.4.1. Compra-venta de valores al contado 216.4.2. Compra-venta de valores a crédito 25 

6.5.  CRÉDITOS CON GARANTÍA DE VALORES 33 6.5.1. Pignoración de una clase de valores mobiliarios 336.5.2. Pignoración de varias clases de valores mobiliarios 366.5.3. Pignoraciones sucesivas de valores mobiliarios 38

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

3

Capítulo 6 VALORES MOBILIARIOS

6.1.  CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN

6.1.1.  CONCEPTO

Son valores mobiliarios aquellos emitidos en forma masiva y librementenegociables que confieren a sus titulares derechos crediticios, nominales opatrimoniales, o los de participación en el capital o patrimonio del emisor.

Los valores mobiliarios pueden ser representados por anotaciones en cuenta opor títulos. Constituyen una fuente de financiación para las empresas o para la

Administración, y una forma de inversión para los ahorradores.

6.1.2.  CLASIFICACIÓN

Los valores mobiliarios se pueden clasificar atendiendo a:

1.  Su naturaleza o forma de retribución:

  Valores de renta fija: Su retribución se recibe a un interés fijopactado en el momento de la emisión.

  Valores de renta variable: La remuneración de estos valores esvariable dependiendo de los resultados económicos de la misma ydel acuerdo de distribución de estos.

2.  La naturaleza de la entidad emisora:

  Valores públicos: Son los emitidos por Entidades Públicas.

  Valores privados: Son los emitidos por las entidades privadas.

3.  Los derechos que confiere su posesión:

  Valores que representan capital: Son los que confieren a su titular lacondición de socio de la entidad emisora.

  Valores que representan un préstamo: Son los que otorgan al titularla condición de acreedor de la entidad emisora, como consecuenciadel préstamo concedido a ésta.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

4

4.  Al plazo o duración de la inversión:

  Valores a corto plazo.

  Valores a medio plazo.

  Valores a largo plazo.

5.  Al titular de los valores:

  Valores al portador : Su titularidad se confiere mediante la posesióndel título.

  Valores nominativos: El titular será la persona a cuyo nombreaparezca el título. La transmisión de dichos títulos debe ser

comunicada a la entidad emisora.

PagarésCorto

Letras del TesoroMedio BonosDeuda PúblicaLargo Obligaciones

Pagarés de empresaCortoLetras

Medio Bonos

Renta fija

Valoresmercantiles

Largo ObligacionesAcciones

Valoresmobiliarios

Rentavariable

Valoresmercantiles

Derechos desuscripción

6.2.  LA DEUDA PÚBLICA

La Deuda Pública es el conjunto de valores emitidos por el Estado. Su emisión

debe ser autorizada por ley.

En la Ley de Presupuestos Generales de cada ejercicio se establecen los criteriosgenerales a los que se ajustará la emisión de Deuda Pública a lo largo del añocorrespondiente y se fijan los límites máximos de su emisión. El Gobierno, y pordelegación el Ministerio de Economía y Hacienda, podrá elegir los instrumentosde Deuda Pública a emitir, las características de éstos y su procedimiento decolocación.

El Tesoro Público es el emisor en España de los valores de Deuda Pública. Lagestión del Tesoro Público le corresponde al Ministerio de Economía y Hacienda,

quien la ejerce a través de la Dirección General del Tesoro y Política Financiera.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

5

Las adquisiciones de los valores del Tesoro pueden realizarse en:

  El mercado primario Las adquisiciones de valores realizadas en el mercado primario sonaquéllas en las que los títulos se adquieren en el momento de suemisión. El sistema que emplea el Tesoro en la emisión de sus valoreses el de la subasta competitiva, pudiendo solicitar cualquier personafísica o jurídica la suscripción de los mismos, a través de una EntidadGestora.

  El mercado secundario 

Los valores del Tesoro pueden venderse antes de su vencimiento en elmercado secundario, mediante orden de venta dada por el inversor a laentidad a través de la cual adquirió dichos valores.

La negociación en el mercado secundario se realiza a través de tressistemas:

o  El llamado mercado ciego, al que sólo pueden acceder losmiembros del mercado, negociantes de Deuda pública. Lanegociación tiene lugar electrónicamente sin conocer lacontrapartida. El mercado ciego constituye el núcleo del mercado de

Deuda Pública, pudiéndose operar en él sólo a vencimiento, ya seaal contado o a plazo, no permitiéndose la realización deoperaciones dobles. La liquidación de pérdidas y ganancias serealiza diariamente a precios de mercado del día, y al vencimientode la operación se efectúan los ajustes pertinentes.

o  El sistema de negociación bilateral, directa o a través de broker, enel cual se desarrolla el resto de la negociación entre Titulares deCuenta. En éste se puede operar a vencimiento (al contado o aplazo) y en operaciones dobles (simultáneas o repos). Lasoperaciones se pueden realizar entre las entidades directamente o

bien a través de un intermediario.o  El tercer sistema de negociación comprende las transacciones entre

las Entidades Gestoras y sus clientes.

Las operaciones desarrolladas en el mercado secundario las podemosclasificar en los siguientes tipos:

-  Operaciones simples:

Las operaciones simples son aquéllas en las que la transacción serealiza en una sola operación. Al vender los valores, se transmiten

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

6

todos los derechos que incorporan: cupones, valores de reembolso,etc. El nuevo poseedor puede negociar la Deuda libremente en elmercado secundario, ya que ésta se considera transmitida avencimiento.

Las operaciones simples a su vez pueden ser:•  Operaciones al contado: la liquidación se acuerda dentro de los

cinco días hábiles siguientes a la fecha en que se contrató laoperación.

•  Operaciones a plazo: la liquidación tiene lugar en alguna fechaposterior al quinto día hábil desde que se contrató la operación.

-  Operaciones dobles:

En una operación doble las partes contratantes realizan de formasimultánea dos operaciones simples, una de compra y otra de venta,pudiendo ser, la primera al contado y la segunda a plazo o bien las dosa plazo.

Se trata de operaciones en firme, en las cuales se pacta el precio deventa y la fecha de la primera operación o fecha de valor, y el precio dela segunda operación y la fecha de vencimiento. El derecho al cobro delos cupones corresponderá al poseedor del activo cuando se produzcael vencimiento de dicho cupón.

Las operaciones dobles se pueden dividir en:

•  Operaciones simultáneas: las dos operaciones (de compra y deventa) se refieren al mismo tipo de activo y por el mismo importenominal. El comprador tiene plena disponibilidad sobre los valoresadquiridos.

•  Repos: En ellos no existe plena disponibilidad de los valores y sólose pueden realizar transacciones en "repo" hasta antes de la fechapactada para la retrocesión de los activos. El comprador de unbono en repo tiene derecho a cobrar los cupones devengadosdurante el plazo de la cesión.

-  Operaciones de segregación y reconstitución:

La segregación consiste en la transformación de un activo derendimiento explícito en otro de rendimiento implícito. Se realiza dandode baja en la Central de Anotaciones un bono segregable,sustituyéndolo por nuevos valores de rendimiento implícito,procedentes de los flujos de caja correspondientes a los cupones y alprincipal de dicho bono.

La reconstitución es la operación inversa a la segregación, en virtud dela cual se dan de baja en la Central de Anotaciones todos los valorescon rendimiento implícito vivos procedentes de cada uno de los flujosde caja de un bono segregable, dándose de alta, en contrapartida, el

citado bono.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

7

Son instrumentos de Deuda Pública:

o  Las Letras del Tesoro

o  Los bonos y obligaciones del Estadoo  La deuda en divisas

6.2.1.  LAS LETRAS DEL TESORO

Las Letras del Tesoro son valores públicos emitidos por el Ministerio de Economíay Hacienda, a través de la Dirección General del Tesoro, por un plazo de hasta 18meses.

Las Letras del Tesoro se representan exclusivamente mediante anotaciones en

cuenta.

Características de las Letras del Tesoro: 

  Se emiten al descuento, pagando el suscriptor el valor efectivo queserá inferior al valor de reembolso o nominal. La diferencia entre elvalor nominal y el precio de emisión será el rendimiento generado porla Letra.

  Se emiten mediante subastas competitivas, siendo el importe mínimode cada petición 1.000 €. Si se realizan peticiones por importesuperior, éste ha de ser múltiplo de 1.000.

 Se emiten de acuerdo con un calendario que el Tesoro publica alcomienzo de cada año natural.

  El valor nominal de las Letras es de 1.000 €.  La inversión mínima a realizar es de una Letra.  Plazo de amortización: En la actualidad, el Tesoro emite Letras con

vencimiento a 6, 12 y 18 meses.  Las Letras del Tesoro se pueden adquirir en el mercado primario,

participando en las subastas, o en el mercado secundario.  Régimen fiscal: Los rendimientos de las Letras del Tesoro

(determinados por la diferencia entre el importe de compra y de ventao amortización del título) se integrarán en la parte general de la base

imponible como rendimientos del capital mobiliario en el año en que seproduce la transmisión o la venta, y no están sometidos a retención.

Rentabilidad de las Letras del Tesoro 

Las Letras del Tesoro se emiten al descuento, pagando el suscriptor en elmomento de la adquisición del título el efectivo )( E  , y cuando se amortice ovenda la Letra obtendrá el importe nominal )( N  en el primero de los casos, o elprecio de venta )( P  en el segundo. La diferencia entre el valor nominal o preciode venta y el precio de emisión será el rendimiento generado por la Letra.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

8

Según cual sea el plazo de amortización (6, 12 ó 18 meses) utilizaremos elrégimen de capitalización simple o el régimen de capitalización compuesta.

Si el plazo de amortización es igual o inferior a 12 meses, hallaremos la

rentabilidad de la Letra aplicando el régimen de capitalización simple, según elcual:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×=

3601

ni E  N   

O si la letra se vende antes de su vencimiento:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×=

3601

ni E  P   

: N  Valor nominal: P  Precio de venta: E  Valor efectivo o precio de compra:n Número de días que ha mantenido el inversor la Letra en su poder

Si el plazo de amortización es superior a 12 meses, hallaremos la rentabilidad dela Letra aplicando el régimen de capitalización compuesta:

360)1(

n

i E  N  +×=  

O si la letra se vende antes de su vencimiento:

360)1(

n

i E  P  +×=  

Ejemplo:

El día 15 de marzo se suscribe una Letra del Tesoro para cuyo vencimiento faltan364 días. El precio de adquisición de dicha Letra fue de 850 €. Calcular surentabilidad al vencimiento. 

Solución:

•  Cálculo de la rentabilidad: 

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×=

360

3641850000.1 i   %45,17=i  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

9

Ejemplo: 

Se suscribe el día 15 de marzo una Letra del Tesoro, cuya emisión responde a lasiguiente información: 

•  Valor nominal 1.000 €•  Plazo de amortización 18 meses•  Valor efectivo de la compra 827 €

Calcular la rentabilidad de dicha Letra a su vencimiento. 

Solución: 

•  Cálculo de la rentabilidad: 

5,1)1(827000.1 i+×=   %5,13=i  

6.2.2.  Los bonos y las obligaciones del Estado

Los bonos del Estado son valores emitidos por un plazo entre dos y cinco años y

las obligaciones del Estado se emiten por un plazo superior a cinco años.

Características de los bonos y obligaciones del Estado:

  Los bonos y obligaciones se emiten mediante subasta competitiva,siendo el importe mínimo de cada petición 1.000 €, y si se realizanpeticiones por importe superior, éste ha de ser múltiplo de 1.000.

  El valor nominal mínimo que puede solicitarse de bonos y obligacioneses de 1.000 €.

  Plazo de amortización: En la actualidad, el Tesoro emite bonos convencimiento a tres y cinco años, y obligaciones con vencimiento a diez,

quince y treinta años.  Los bonos y las obligaciones se pueden adquirir en el mercadoprimario, participando en las subastas, o en el mercado secundario.

  Régimen fiscal: El interés periódico o cupón se considera en el IRPFcomo un rendimiento del capital mobiliario sujeto a un tipo deretención del 15%. El rendimiento obtenido en la transmisión,amortización o reembolso, canje o conversión es consideradorendimiento del capital mobiliario, pero no está sujeto a retención.Cuando este rendimiento tenga un período de generación superior ados años, sólo se integrará en la declaración el 60% del mismo.

  Los intereses producidos se abonan periódicamente, en las fechas que

se establezcan para cada emisión.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

10

Rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado

Si representamos gráficamente una operación de compra y posterior venta oamortización de una obligación o bono, tendremos:

Fecha de compra Fecha de venta0 n1 n2 n3 n días

Pc  C C C  C+Pv

La rentabilidad de los bonos y obligaciones se obtendrá despejando i en lasiguiente igualdad:

365365365365365 )1(...)1()1()1()1(321 nnnnn

vc

iC iC iC iC i P  P 

−−−−−

+×+++×++×++×++×=  

Donde:

:v P  Es el precio de venta

:c P  Es el precio de compra

:n Número de días que van entre la fecha de compra y la de venta oamortización

:,, 321 nnn Días entre la fecha de compra y el vencimiento de cada cupón

:C  Importe bruto del cupón

6.3.  AMPLIACIONES DE CAPITAL

6.3.1.  Concepto

Las ampliaciones de capital consisten en el aumento del capital social de lassociedades, mediante la emisión de nuevas acciones o bien mediante la elevacióndel valor nominal de las existentes. En ambos casos el contravalor del aumentode capital puede consistir tanto en nuevas aportaciones dinerarias o nodinerarias al patrimonio de la sociedad, incluida la compensación de créditoscontra la sociedad, como en la transformación de reservas o beneficios.

Las razones que motivan una ampliación de capital pueden ser múltiples, entreellas:

  La necesidad de adecuar el valor del capital social al patrimonio neto.  La necesidad de financiación: las ampliaciones de capital son una fuente

de financiación de la empresa, mediante la que obtienen nuevos recursoseconómicos.

  La ampliación de capital es el medio para la conversión de las obligaciones

en acciones.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

11

6.3.2.  Los derechos de suscripción preferente

Los derechos de suscripción son aquellos derechos de los que goza el titular deuna acción para suscribir nuevas acciones, en número proporcional a las ya

poseídas.

Según establece el artículo 158 de la Ley de Sociedades Anónimas cuando seproduzca un aumento de capital social con emisión de nuevas acciones,ordinarias o privilegiadas, los antiguos accionistas y los titulares de obligacionesconvertibles podrán ejercitar el derecho a suscribir un número de accionesproporcional al valor nominal de las acciones que posean o de las que lescorresponderían a los titulares de las obligaciones convertibles de ejercitar enese momento la facultad de conversión. Los derechos de suscripción preferentesvan a ser transmisibles en las mismas condiciones que las acciones de las queprovienen.

En el caso de que el aumento de capital se efectúe con cargo a reservas, elderecho de asignación gratuita de las nuevas acciones también será transmisibleen las mismas condiciones que las acciones de que se deriven.

El accionista antiguo puede por tanto optar por acudir o no acudir a la ampliaciónde capital. En este último caso, podrá vender los derechos de suscripciónpreferente o los derechos de asignación gratuita, y con el importe obtenido en laventa, compensará la pérdida de valor que experimenten las acciones, ya queteóricamente el valor de cotización de la acción después de efectuada laampliación descenderá en un importe igual al de importe del derecho de

suscripción.

6.3.2.1 Valoración de los derechos de suscripción preferente

El valor teórico del derecho de suscripción es el valor que teóricamente debentener los derechos de las acciones antiguas cuando los vende el accionistaque no decide acudir a la ampliación. Este valor depende de la proporciónentre el número de acciones antiguas y nuevas, del valor de cotización de lasacciones antiguas y del precio de emisión de las acciones nuevas.

Cuando una sociedad amplía capital nos podemos encontrar ante lassiguientes situaciones:

  Que el accionista compre todas las acciones nuevas que lecorresponden.

  Que el accionista no decida ejercer los derechos y los venda a otraspersonas.

  Que el accionista acuda a la ampliación ejercitando sólo una parte delos derechos que le correspondan, vendiendo el resto. 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

12

  Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción

Las sociedades pueden realizar ampliaciones de capital simples (serealiza una única ampliación de capital) o múltiples (se realizan varias

ampliaciones de capital, pudiendo ser simultáneas o sucesivas).Puede también ocurrir que las acciones nuevas y antiguas no tenganlos mismos derechos económicos. Estos dos hechos afectan al cálculodel valor teórico del derecho de suscripción.

o  Cuando se produce una única ampliación de capital y no existendiferencias económicas entre las acciones antiguas y las nuevas.

A la hora de calcular el valor del derecho de suscripción suponemosque teóricamente la cotización de las acciones después de la

ampliación va a descender en un importe igual al valor del derechode suscripción.

D: Valor teórico del derecho de suscripciónm: Número de acciones antiguasC: Valor de la acción antigua al inicio de la ampliación (cotizaciónex-ante)n: Número de acciones nuevasE: Precio de emisión

Si “m” es el número de acciones antiguas poseídas antes de la

ampliación y “n” es el número de acciones que se reciben debido ala ampliación, tendremos que, el valor total después de laampliación será igual al valor de las acciones antiguas poseídasmás lo pagado por las recibidas.

Valor de las acciones antes de la ampliación........... C m×  Importe pagado por las nuevas acciones................  E n×  Valor después de la ampliación.............................  E nC m ×+×  

El número de acciones poseídas después de la ampliación será:nm +  

Siendo el valor de una de las acciones después de la ampliación ocotización expost:

nm

 E nC mC 

+

×+×=´  

Como ya se ha señalado anteriormente, teóricamente el valor de lasacciones después de la ampliación descenderá en el importe delderecho de suscripción, es decir:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

13

nm

 E C n

nm

 E nC mC C C  D

+

−×=

+

×+×−=−=

)(´  

Puede suceder que el valor de emisión de las acciones sea igual acero debido, por ejemplo, a que la ampliación de capital se hagacon cargo a reservas. En este caso aparece el derecho de asignacióngratuita.

Si sustituimos en la expresión anterior 0= E  , resulta:

nm

C n

nm

C n D

+

×=

+

−×=

)0( 

Ejemplo:

Una sociedad amplía capital en la proporción de 3 acciones nuevas porcada 10 antiguas. La emisión se realiza al 110%, siendo el nominal de lasacciones de 50 €, y su cotización el día antes de la ampliación, del 450%.Se pide: Calcular el valor teórico del derecho de suscripción. Solución:

•  Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción: 

10 acciones antiguas valen 100

4505010 ×× ...............  €250.2  

3 acciones nuevas valen100

110503 ×× .....................  €165  

13 títulos después de la ampliación valen..............  €415.2  

Siendo:

el valor de una acción antes de la ampliación:  €22510

250.2==C   

el valor de una acción después de la ampliación:  €77,18513

415.2´ ==C   

El valor del derecho será la diferencia entre el valor de la acción antes de laampliación y después de ésta, ya que teóricamente el valor de las acciones despuésde la ampliación descenderá en el importe del derecho de suscripción, es decir:

 €23,3977,185225´ =−=−= C C  D  

También podríamos haber calculado el valor teórico del derecho de suscripción de lasiguiente forma:

 €23,3913

)55225(3)(=

−×=

+

−×=

nm

 E C n D  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

14

o  Cuando se producen dos ampliaciones simultáneas en las que lasacciones antiguas y nuevas tienen los mismos derechos económicos

En este supuesto la sociedad realiza de forma simultánea dosampliaciones de capital. Proporcionando a cada una de las accionesantiguas dos derechos de suscripción, con los que se acude a cadaampliación de manera independiente, suscribiendo las accionesnuevas que corresponda en cada una de las ampliaciones.

Como hemos señalado, teóricamente el valor de la acción despuésde la ampliación descenderá en el importe de los derechos desuscripción, es decir: ´C C  D −=  

Siendo D igual al valor de los dos derechos de suscripción ),( 21 d d  .

21 d d  D +=  

Para determinar el valor de cada derecho debemos tener en cuentaque para cada derecho:

Cotización ex-post = Precio de emisión + Valor teórico de losderechos entregados

Ejemplo:

Una sociedad realiza dos ampliaciones simultáneas de capital; una a la par,en la proporción de una acción nueva por cada tres antiguas, y otra,gratuita, en la proporción de una acción nueva por cada diez antiguas. Sesabe que el nominal de las acciones es de 30 € y la cotización antes de ladoble ampliación es del 120%.Se pide: Calcular el valor teórico del derecho de suscripción.

Solución:

•  Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción: 

Como las proporciones de las ampliaciones son diferentes tenemos que buscar la

proporción de la suscripción en base al mismo número de acciones antiguas, esdecir, buscar aquel número de acciones que permita concurrir exactamente a lasdos ampliaciones. Para ello hallaremos el mínimo común múltiplo.

10

1 ; 

3

1  30)10:3.(.. =mcm  

30

3 ;

30

10 

30 acciones antiguas valen 3630× .......................  €080.1  Importe pagado por:

- 10 nuevos títulos 3010× ................................  €300  - 3 nuevos títulos 03× ....................................  €0  

43 títulos después de la ampliación valen..............  €380.1  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

15

Siendo:

el valor de una acción antes de la ampliación:  €3630

080.1

==C   

el valor de una acción después de la ampliación:  €09,3243

380.1´ ==C   

El valor de los dos derechos será la diferencia entre el valor de la acción antes de laampliación y después de ésta, es decir:

 €91,309,3236´ =−=−= C C  D  

Para determinar el valor de cada derecho debemos tener en cuenta que se cumplepara cada derecho que:

Cotización ex-post = Precio de emisión + Valor teórico de los derechos entregados

S  D33009,32 +=    €70,0= s D  

 A D1009,32 =    €21,310

09,32== A D  

o  Cuando se produce una única ampliación en la que las acciones

antiguas y nuevas tienen distintos derechos económicos

Cuando se produce una ampliación de capital puede ocurrir que lasnuevas acciones no participen de los mismos derechos que lasantiguas.

Esto sucede cuando a las acciones nuevas les corresponde en elmomento del reparto de dividendos un porcentaje inferior al que lescorresponde a las antiguas, o bien no les corresponde dividendoalguno.

La cotización de las acciones antiguas y nuevas no será igual hastael momento en que se perciba por las acciones antiguas eldividendo que las corresponda.

En este caso debemos incluir en la ecuación de equivalencia decotizaciones la diferencia que existe en la cotización entre lasacciones nuevas y las antiguas. Si “m” es el número de accionesantiguas poseídas antes de la ampliación, “n” el número de accionesque se reciben debido a la ampliación y “d” la diferencia dederechos, tendremos que:

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

16

Valor de las acciones antes de la ampliación....... )( d C m −×  Importe pagado por las nuevas acciones............  E n×  

Valor después de la ampliación...........................  E nd C m ×+−× )(  

:)( d C − Valor de cotización de una acción antigua menos ladiferencia de derechos, llamado cotización seca.

El número de acciones poseídas después de la ampliación será:nm +  

El valor de una acción nueva después de la ampliación será:

nm

 E nd C m

C  +

×+−×

=

)(

´  

El valor del derecho de suscrición será:

nm

d  E C n

nm

 E nd C md C C d C  D

+

−−×=

+

×+−×−−=−−=

)()()(´)(  

Puede suceder que el valor de emisión de las acciones sea igual acero debido, por ejemplo, a que la ampliación de capital se hace concargo a reservas. Aparece entonces el derecho de asignación

gratuita. Si sustituimos en la expresión anterior 0= E  , resulta:

nm

d C n

nm

d C n D

+

−×=

+

−−×=

)()0( 

Ejemplo:

Una sociedad amplía capital en la proporción de 3 acciones nuevas porcada 10 antiguas. La emisión se realiza al 110%, siendo el nominal de lasacciones de 50 €, y su cotización el día antes de la ampliación, del 450%.

Se pide: Calcular la cotización después de la ampliación de las accionesnuevas y de las antiguas y el valor teórico del derecho de suscripciónsabiendo que la sociedad reparte un dividendo de 5 € a las accionesantiguas.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

17

Solución:

•  Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción: 

10 acciones antiguas valen ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−×× 5)

100

45050(10 .....

200.2  

3 acciones nuevas valen100

110503 ×× ...................  €165  

13 títulos después de la ampliación valen............  €365.2  

o  Valor de una acción antes de la ampliación:  €22510

45050 =×=C   

o  Valor de una acción nueva después de la ampliación:  €92,18113

365.2´ ==C   

o  Valor de una acción antigua después de la ampliación: €92,186592,181´ =+=+d C   

El valor del derecho será:

 €08,3892,181)5225(´)( =−−=−−= C d C  D  

También podemos calcular el valor de una acción antigua antes y después de laampliación como:

 €08,38)592,181(225)´( =+−=+−= d C C  D  

o  Cuando se producen dos ampliaciones simultáneas con distintosderechos económicos

En este supuesto la sociedad realiza de forma simultánea dosampliaciones de capital, proporcionando a cada una de las accionesantiguas dos derechos de suscripción, con los que se acude a cadaampliación de manera independiente, suscribiendo las accionesnuevas que corresponda en cada una de las ampliaciones. Además,en un principio las nuevas acciones y las antiguas no participan delos mismos derechos.

Ejemplo:

Una sociedad realiza dos ampliaciones simultáneas de capital; una al130%, en la proporción de una acción nueva por cada dos antiguas, y otra,gratuita, en la proporción de una acción nueva por cada tres antiguas. Elnominal de las acciones es de 50 € y la cotización antes de la dobleampliación es del 300%.

Se pide: Calcular el valor teórico del derecho de suscripción sabiendo quelas acciones antiguas tienen derecho a percibir un dividendo del 2% sobreel valor nominal, que se repartirá a los 15 días de la ampliación del capital.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

18

Solución:

•  Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción: 

Como las proporciones de las ampliaciones son diferentes, tenemos quebuscar la proporción de la suscripción en base al mismo número de accionesantiguas, es decir, buscando aquel número de acciones que permita concurrirexactamente a las dos ampliaciones. Para ello hallamos el mínimo comúnmúltiplo.

3

1 ; 

2

1  6)3:2.(.. =mcm  

6

2 ;

6

6 acciones antiguas valen ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ −⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  ×× 1

100300506 ..........  €894  

Importe pagado por:

- 3 nuevos títulos100

130503 ×× ...........................  €195  

- 2 nuevos títulos 02× ....................................  €0  11 títulos después de la ampliación valen..............  €089.1  

o  Valor de una acción antes de la ampliación:  €150100

30050 =×=C   

o  Valor de una acción nueva después de la ampliación:  €99

11

089.1´ ==C   

o  Valor de una acción antigua después de la ampliación:  €100199´ =+=+d C   

El valor del derecho será:

 €5099)1150(´)( =−−=−−= C d C  D  

Para determinar el valor de cada derecho debemos tener en cuenta que para cadaderecho:

Cotización ex-post = Precio de emisión + Valor teórico de los derechos entregados

S  D26599 +=    €17= s D  

 A D399 =    €333

99== A D  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

19

  Suscripción de acciones con desembolso nulo

Se denomina ampliación mixta compensada o ampliación blanca aaquélla en la que el accionista acude a la ampliación solo en parte ysuscribe un número de acciones que no le supongan realizardesembolso alguno. Esto supone que el dinero invertido en lasuscripción de acciones nuevas ha de corresponderse con el obtenidoen la venta de los derechos sobrantes.

El número de acciones compradas y el de derechos vendidos han de sernecesariamente números enteros y además deben ser múltiplosexactos en función de la proporción de la ampliación.

Debido a estas dos restricciones, es muy difícil que se consiga en estetipo de operaciones un desembolso nulo, por lo que el problema seresolverá redondeando por exceso el número de derechos a vender, detal forma que quede un excedente de tesorería mínimo.

Si un individuo posee “m” acciones, y por ende “m” derechos, venderáun número “x” de éstos, al precio de mercado del derecho (pd) yadquirirá con los restantes derechos (m-x) un número de accionesnuevas, que vendrá determinado por la proporción de la ampliación. Esdecir, podrá suscribir, nuevas acciones, por lasque pagará emisión.dePrecioampliaciónlade%)( ××− xm  

Para conseguir un desembolso nulo, se tiene que cumplir que elimporte obtenido con la venta de los derechos sea igual a cantidad apagar por la compra de las nuevas acciones:

emisióndePrecioampliaciónlade%)( ××−=× xm p x d   

Si en la expresión anterior despejamos x obtenemos el número dederechos que se han de vender para que el desembolso a realizar porla suscripción de las nuevas acciones sea nulo. Si x es un número noentero redondearemos a la unidad superior, para evitar así que se

tenga que producir desembolso alguno por el accionista.

Una vez conocido el número de derechos a vender calcularemos elnúmero de acciones a suscribir, en función del número de derechospendientes de ejercer (m-x) y de la proporción de la ampliación.

El número de acciones a suscribir será: ampliaciónlade%)( ×− xm .

ampliaciónlade%)( ×− xm

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

20

Ejemplo:

Una sociedad tiene un capital social formado por 100.000 acciones de 50 €nominales. Amplía capital emitiendo 30.000 acciones nuevas de 50 €nominales. La emisión se realiza al 110% de su valor nominal. Lasacciones antiguas cotizan a 225 €.Un accionista que posee 100 acciones antiguas, acude a la ampliación conel propósito de adquirir acciones nuevas, vendiendo los derechos que noutilice en la ampliación a su valor teórico y sin realizar desembolso alguno.

Se pide: Calcular el número de acciones nuevas que suscribirá dichoaccionista.

Solución:

•  Cálculo del número de acciones nuevas que suscribirá el accionista:

En primer lugar se calculará el valor teórico del derecho de suscripción preferente.

El porcentaje de la ampliación será:

10

3

000.100

000.30= , es decir, 3 acciones nuevas por cada 10 antiguas.

10 acciones antiguas valen 22510× ...............  €250.2  

3 acciones nuevas valen100

110503 ×× .....................

 €165  

13 títulos después de la ampliación valen..............  €415.2  

o  Valor de una acción antes de la ampliación: €225

10

250.2==C 

 

o  Valor de una acción después de la ampliación: €77,185

13

415.2´ ==C 

 

El valor del derecho será la diferencia entre el valor de la acción antes de laampliación y después de ésta, ya que teóricamente el valor de las acciones despuésde la ampliación descenderá en el importe del derecho de suscripción, es decir:

 €23,3977,185225´ =−=−= C C  D  

Si el accionista posee 100 acciones, y por ende 100 derechos, venderá un número xde estos, al precio de mercado del derecho (pd=39,23 €) y adquirirá con losrestantes derechos (100-x) un número de acciones nuevas, que vendrádeterminado por la proporción de la ampliación. Es decir, podrá suscribir,

10

3)100( ×− x nuevas acciones, por las que pagará, 55€.

10

3)100( ××− x  

Para conseguir un desembolso nulo, se tiene que cumplir que el importe obtenidocon la venta de los derechos sea igual a cantidad a pagar por la compra de lasnuevas acciones:

5510

3)100(23,39 ××−=× x x   derechos61,29= x  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

21

Despejando x obtenemos el número de derechos que se han de vender para que eldesembolso a realizar por la suscripción de las nuevas acciones sea nulo.

Como x es un número no entero redondearemos a la unidad superior, para evitarasí, que se tenga que producir desembolso alguno por el accionista.

derechos30= x  

Una vez conocido el número de derechos a vender calcularemos el número deacciones a suscribir:

acciones2110

3)30100( =×−  

El excedente monetario que recibirá el inversor, será:

Importe obtenido por la venta de los derechos:  €90,176.123,3930 =×  

Importe pagado por la compra de las acciones:  €00,155.100,5521 =×  

Excedente monetario:  €90,21  

6.4.  COMPRA-VENTA DE VALORES

6.4.1.  Compra-venta de valores al contado

Los precios de compra y de venta de los valores mobiliarios se fijan a través desu cotización en las Bolsas de Valores. Vendrán expresados en función delcambio (porcentaje sobre el valor nominal).

Dando lugar a la aparición del efectivo por razón del cambio.

El efectivo por razón del cambio será igual:

100

C  N  E ca

×=  

N: Valor nominal

C>100 sobre la parC: Cambio de cotización C=100 a la parC<100 bajo la par

  Precio de compra de los valores mobiliarios

Si no hubiese ningún tipo de intermediario financiero se pagaríaexclusivamente el valor efectivo de los títulos o efectivo bursátil ( b E  ):

×= cab E  E  número de títulos adquiridos ××=100

C  N  número de títulos

adquiridos

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

22

Si existen intermediarios financieros, el efectivo bursátil se ve

modificado debido a las comisiones que cobran los intermediariosfinancieros. Éstas son:

o  Los cánones por la gestión bursátil cobrados por la Bolsa. El RealDecreto 949/1989, de 28 de julio, en su artículo 4º, hace referenciaa la repercusión de costes y recargos por las Sociedades y Agenciasde Valores derivados de la prestación de servicios por lasSociedades Rectoras de las Bolsas, por el servicio de liquidación ycompensación de valores.

o  Las comisiones de las Sociedades o Agencias de Valores: Lasretribuciones que perciban los miembros de un mercado secundario

oficial por su participación en la negociación de valores serán libres.No obstante, el Gobierno podrá establecer retribuciones máximaspara las operaciones cuya cuantía no exceda de una determinadacantidad y para aquellas que se hagan en ejecución de resoluciones judiciales. Las Sociedades o Agencias de Valores deberán establecertarifas para todas las operaciones que la entidad realicehabitualmente, pudiendo excluir las derivadas de serviciosfinancieros de carácter singular, en los supuestos que la ComisiónNacional del Mercado de Valores determine. Las tarifas deberánincluirse en un folleto, cuyo contenido determinará el Ministro deEconomía y Hacienda y cuyos modelos serán elaborados por la

Comisión Nacional del Mercado de Valores y por el Banco deEspaña, en el caso del Mercado de Deuda Pública en anotaciones.Las entidades no podrán cargar a los clientes comisiones o gastossuperiores a los contenidos en los folletos comunicados a laComisión Nacional del Mercado de Valores o al Banco de España.(RD 629/1993 de 3 mayo)

o  Las comisiones bancarias: Si la operación se realiza a través de unaentidad financiera ésta cobrará comisiones que suelen ser idénticasa las cobradas por las Sociedades o Agencias de Valores.

Si al efectivo bursátil le sumamos las comisiones obtendremos elimporte de la compra o líquido ( c E  ).

××=100

(C 

 N  E c número de títulos adquiridos) + Cánones de gestión

bursátil + Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores +Comisiones bancarias

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

23

  Precio de venta de los valores mobiliarios 

Si no hubiese ningún tipo de intermediario financiero se cobraríaexclusivamente el valor efectivo de los títulos o efectivo bursátil ( b E  ):

×= cab E  E  número de títulos vendidos= ××100C  N  número de títulos vendidos

Si existen intermediarios financieros, el efectivo bursátil se vemodificado por las comisiones que cobran:

o  Cánones por la gestión bursátil cobrados por la Bolsa: Los costes yrecargos cobrados por las Sociedades y Agencias de Valoresderivados de la prestación de servicios por las Sociedades Rectorasde las Bolsas por el servicio de liquidación y compensación devalores.

o  Las comisiones de las Sociedades o Agencias de Valores.o  Las comisiones bancarias.

Si al efectivo bursátil le restamos las siguientes comisionesobtendremos el importe de venta o líquido de la venta ( v E  ):

××=100

(C 

 N  E v número de títulos vendidos)- Cánones de gestión bursátil –

Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores – Comisiones bancarias

  Rentabilidad 

Para el cálculo de la rentabilidad de las operaciones de compra-ventade valores hemos de tener en cuenta la duración de la operación.

Si la inversión se ha mantenido por un período igual o inferior al año elrégimen para el cálculo de la rentabilidad será el de capitalizaciónsimple. Si por el contrario, la duración es superior a un año el cálculose realizará en régimen de capitalización compuesta. Normalmente, elcálculo de la rentabilidad de este tipo de operaciones se realizará enrégimen de capitalización compuesta.

La rentabilidad la podemos medir como:

o  El rendimiento de cada unidad monetaria de capital invertido orédito. La rentabilidad en este caso se calcula como:

1001100100..

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=×

−=×=

c

v

c

cv

c E 

 E 

 E 

 E  E 

 E 

 I  A Br   

r: RentabilidadB.A.I: Beneficio antes de Impuestos cv E  E  I  A B −=..  

c E  : Efectivo de la compra

v

 E  : Efectivo de la venta

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

24

o  El rendimiento de cada unidad monetaria de capital invertido porunidad de tiempo o tanto de rentabilidad.

1.  En régimen de capitalización simple:

)360

1(n

i E  E  cv ×+×=  

2.  En régimen de capitalización compuesta:

ncv i E  E  −+×= )1(

Ejemplo:

El día 1 de septiembre de 20X0 se compran 1.000 acciones de la sociedadX de valor nominal 50 € al 90%. La comisión cobrada por la sociedad devalores es del 4 por 1.000 con un mínimo de 6,01 €, siendo idéntica a lacomisión cobrada por la entidad bancaria.El día 30 de diciembre se venden las 1.000 acciones, en el momento de laventa las acciones cotizan al 95%. Por la venta la sociedad de valorescobra una comisión del 4 por 1000 con un mínimo de 6,01 €, siendoidéntica a la comisión cobrada por la entidad bancaria.Calcular:

•  El valor efectivo de compra•  El valor efectivo de venta•  La rentabilidad obtenida en la operación de compra-venta

• La rentabilidad obtenida en la operación de compra-venta, si lasociedad x hubiese repartido el día 30 de septiembre un dividendo de2 € por acción

Solución:

1º Cálculo del valor efectivo de compra:

××=100

(C 

 N  E c número de títulos adquiridos) + Cánones de gestión bursátil +

Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores + Comisiones bancarias

 €360.45180180)000.11009050( =++××=c E   

2º Cálculo del efectivo obtenido en la venta:

××=100

(C 

 N  E v número de títulos vendidos)- Cánones de gestión bursátil –

Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores – Comisiones bancarias

 €120.47190190)000.1

100

9550( =−−××=v E   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

25

3º Cálculo de la rentabilidad obtenida en la operación de compra-venta:

•  Rentabilidad en término de rédito:

%88,3100360.45

)360.45120.47(1001100100

..=×

−=×⎥

⎤⎢⎣

⎡−=×

−=×=

c

v

c

cv

c E 

 E 

 E 

 E  E 

 E 

 I  A Br   

•  Rentabilidad en términos de tanto:

)360

1(n

i E  E  cv ×+×=   )360

1201(360.45120.47 ×+×= i   %64,11=i  

4º Cálculo de la rentabilidad si se produce el pago de dividendos:

•  Si realizamos la equivalencia entre lo recibido y lo entregado al día 30 dediciembre

)360

1201(360.45)

360

911(000.2120.47 ×+×=×+×+ ii   %73,25=i  

6.4.2.  Compra-venta de valores a crédito

Las compras y ventas a crédito son operaciones diseñadas conforme a la OrdenMinisterial del Ministerio de Economía y Hacienda de 25 de marzo de 1991 sobreSistemas de Crédito en Operaciones Bursátiles de Contado.

La Orden 23 de diciembre de 1998 sobre la Unidad de Cuenta en las Obligacionesde Información de los Organismos Rectores de los Mercados de Valores y de lasInstituciones de Inversión Colectiva y sobre la expresión en euros dedeterminados requisitos relativos al Sistema de Crédito en OperacionesBursátiles de Contado y a las Operaciones Bursátiles Especiales, ha modificadoparcialmente a la Orden Ministerial de 25 de marzo de 1991.

El sistema de crédito en operaciones bursátiles al contado es una modalidad depréstamo de valores. Sin embargo esta modalidad de préstamo no es la únicaque se contempla en nuestro ordenamiento jurídico, existiendo reguladas otrasmodalidades como:

  El préstamo al Servicio de Compensación y Liquidación con el fin deaseguramiento de la entrega de los valores en la fecha de liquidaciónregulado por el artículo 57 del Real Decreto 116/1992 sobrerepresentación de valores por medio de anotaciones en cuenta y compensación y liquidación de operaciones bursátiles;

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

26

  Los contratos de préstamo de valores admitidos a negociación en unmercado secundario regulados en el artículo 36.7 de la Ley del Mercadode Valores (al que dio una nueva redacción la Ley 37/1998), modalidadque ha sido objeto de desarrollo por la Orden 74/2004 que regula

determinados aspectos de los préstamos de valores a que se refiere el artículo 36.7 de la Ley 24/1988 del Mercado de Valores.

Por otra parte y al amparo del artículo 1753 del Código Civil se pueden realizarotros préstamos de valores no sujetos a una regulación financiera ni fiscalespecífica.

Las operaciones a crédito se caracterizan porque una determinada entidadpresta dinero, en el caso de las compras a crédito, o títulos, en el caso de lasventas, para que la operación se pueda realizar finalmente como operación alcontado. Cuando el inversor tenga expectativas alcistas, la compra a crédito le

permitirá multiplicar sus ganancias; en cambio, cuando las expectativas seanbajistas, la venta a crédito le permite aprovechar la caída del valor.

  MARCO LEGAL

Las operaciones de compra-venta de valores a crédito se encuentranreguladas fundamentalmente en la Orden Ministerial del Ministerio deEconomía y Hacienda de 25 de marzo de 1991 que regula el Sistemade Crédito en Operaciones Bursátiles de Contado modificada por laOrden del Ministerio de Economía y Hacienda de 23 de septiembre de

1998. Dicha norma regula, entre otros, los siguientes aspectos:

o  Entidades que pueden otorgar créditos. 

Podrán otorgar créditos de valores y de efectivo directamenterelacionados con operaciones de compra o venta de valoresadmitidos a negociación en las bolsas de valores, las sociedades devalores cuya declaración de actividades prevea dicha posibilidadexpresamente, así como también las entidades oficiales de crédito,los bancos y cajas de ahorro, incluidas la confederación española decajas de ahorros y la caja postal de ahorros, y las cooperativas decrédito.

o  Valores sobre los que se puede operar a crédito. 

Se puede operar sobre los valores que determine la sociedadrectora de cada Bolsa, de entre los admitidos a negociación en ellao, en su caso, la Sociedad de Bolsas. Tales valores deben ser entodo caso valores incluidos en el sistema de compensación yliquidación.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

27

o  Importe mínimo del crédito. 

Las órdenes de compra o de venta deben ascender como mínimo a1.200 €.

o  Vencimiento de los créditos. 

El vencimiento del crédito será el último día hábil del mes corrientepara las operaciones contratadas en la primera quincena del mismoy el último día hábil del mes próximo para las contratadas en lasegunda quincena.

Sin perjuicio de ello, las operaciones de crédito podrán cancelarse avoluntad del acreditado antes del vencimiento, con tal de que así lomanifieste con dos días de antelación a la fecha de cancelación.Vencido, en su caso anticipadamente, el crédito, se procederá por

las entidades acreedoras a su cancelación y liquidación, de acuerdocon el calendario que fije la sociedad rectora de cada Bolsa o, en sucaso, la Sociedad de Bolsas, calendario que deberá ser publicado enlos boletines de cotización con dos días hábiles, al menos, deantelación al inicio de su aplicación.

En la liquidación que siga a la cancelación del crédito, losacreditados entregarán a la entidad acreedora el efectivo o losvalores adeudados.

o  Prórroga de los créditos. 

Salvo manifestación en contrario antes del vencimiento, seentenderá que los compradores o vendedores en régimen de créditosolicitan de la entidad acreedora la prórroga de sus posiciones porun mes. La misma regla será aplicable al vencimiento de la prórrogaconcedida, si bien no podrán otorgarse más de dos prórrogas deuna misma posición.

o  Garantías exigibles. 

Tanto en las operaciones de compra, como en las de venta, los

acreditados deberán aportar las garantías que establezca lasociedad rectora de cada Bolsa de Valores o, en su caso, laSociedad de Bolsas, que no podrán ser inferiores a las fijadas concarácter general por la Comisión Nacional del Mercado de Valores.

Los acreditados deberán aportar complementos de las garantíasrespecto de las posiciones de compra o venta que se hallasenpendientes y tuvieran por objeto valores cuya cotización hubieravariado en más de un 10 % en contra de la posición a que lasgarantías se refieren. Para el cálculo de los complementos exigiblesse tendrá en cuenta el importe de los derechos económicos

devengados durante la vigencia de las posiciones.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

28

o  Depósito del objeto de la operación. 

Los valores adquiridos previa concesión de un crédito quedarándepositados en la entidad depositaria hasta que se produzca laliquidación del crédito.

Los derechos económicos devengados por los valorescomplementarán las garantías prestadas por el comprador a crédito,aplicándoseles el régimen propio de las mismas.

El importe de las ventas efectuadas con préstamo de valorestambién deberá ser depositado, y de existir, incrementará lasgarantías.

o  Publicación y límites de las condiciones generales. 

Las entidades que pretendan otorgar créditos de valores y deefectivo deberán fijar, con una periodicidad no inferior a la semanal,las condiciones que aplicarán a dichas operaciones, incluyendo lasrelativas a garantías o coberturas. Cada operación se regirá por lascondiciones vigentes a la fecha de su celebración o, en su caso, desu prórroga.

La Comisión Nacional del Mercado de Valores podrá fijar límites

generales al volumen de operaciones de crédito que pueden otorgarlas entidades.

o  Registro de las operaciones. 

Las entidades que otorguen crédito deberán llevar un registro detales operaciones en el que constarán:

•  Las operaciones de compra, especificando los valorescomprados, el precio, el nombre del comprador y la fecha delvencimiento.

•  Las operaciones de venta, especificando los valores vendidos, elprecio, el nombre del vendedor y la fecha de vencimiento.•  Los contratos de préstamo de valores, especificando los que

sean objeto del contrato, el nombre del prestamista, la comisióndel préstamo y la fecha de vencimiento del contrato.

•  Las garantías constituidas, separando la garantía inicial y lascomplementarias, y especificando la fecha de constitución decada una.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

29

o  Suspensión de las operaciones a crédito. 

Cuando se produzcan determinadas situaciones, como que elconjunto de posiciones en régimen de crédito sea excepcional por

su cuantía, o cuando se anuncien operaciones financieras que porsu características pueden dificultar el desarrollo de determinadosvalores, las sociedades rectoras de las Bolsas de Valores o, en sucaso, la Sociedad de Bolsas, previa comunicación a la ComisiónNacional del Mercado de Valores, podrán suspender las operacionesen régimen de crédito en relación con los valores afectados.

Credibolsa es un sistema de crédito diseñado por RBC Dexia Investor Servicesque permite realizar operaciones de compra y de venta de valores en el mercadobursátil. Dicha entidad otorga créditos de valores y de efectivo directamenterelacionados con operaciones de compra y venta de valores admitidos a

negociación en las bolsas de valores con arreglo al sistema regulado en la Orden25 de marzo de 1991 y con la normativa establecida por la Sociedades rectorasde las Bolsas de Madrid, Barcelona y Valencia. El procedimiento seguido en lasoperaciones de compra y venta de valores realizadas por esta entidad será:

•  Operaciones de compra a crédito 

Si el inversor tiene expectativas alcista, realizará una operación decompra a crédito. La operación se realizará mediante la firma de uncontrato marco entre el inversor, el intermediario financiero y RBCDexia Investor Services, España.

•  Características de la operación:

-  Para la liquidación de la operación RBC Dexia InvestorServices, España concede un crédito, cuya cuantíaascenderá al 75% del efectivo, aportando el inversor unagarantía inicial del 25%.

-  El inversor debe abonar los intereses devengados por elcrédito, en la fecha de vencimiento, y en caso de que seproduzcan prorrogas, a la finalización de la primera y de lasegunda o bien cuando se produzca la cancelación de laoperación. El tipo de interés que se aplicará a la operaciónserá el tipo de interés vigente en el momento de lacontratación sobre el crédito concedido. Si existen prórrogasse aplicará el tipo de interés vigente en el momento de laconcesión de éstas.

-  Cuando se produzca un descenso en la cotización de lostítulos comprados mayor del 10% el inversor deberá aportargarantía complementaria. Las garantías deben cubrir el25% del valor efectivo del total de los títulos a precios de

mercado más la pérdida producida por la diferencia de

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

30

cotización con respecto al precio inicial. Los derechoseconómicos devengados en la operación se tendrán en cuentaa efecto del cálculo del importe de la garantíacomplementaria. Si la cotización sube más del 10% con

respecto al último cálculo que se haya efectuado de lasgarantías, se procederá a la devolución de las garantíascomplementarias.

Las garantías complementarias se remuneran alcorrespondiente tipo de interés, en el momento de sucancelación, devolución, al vencimiento de la operación, y enel caso de que se produzcan prorrogas al término de estas.

-  El importe líquido de los dividendos incrementa las garantíascomplementarias, remunerándose a igual tipo de interés queéstas. El abono de los dividendos se produce cuando existe

una diferencia mayor al 10% con respecto al último cálculode garantías o bien a la finalización de la operación.

•  Operaciones de venta a crédito 

Si el inversor tiene expectativas bajistas, realizará una operación deventa a crédito. La operación se realizará mediante la firma de uncontrato marco entre el inversor, el intermediario financiero y RBCDexia Investor Services, España.

•  Características de la operación:

-  Para la liquidación de la operación RBC Dexia InvestorServices, España presta la totalidad de los valores necesarios para la operación, aportando el inversor unagarantía inicial del 25% sobre el valor efectivo de la venta.

-  Cuando se produzca un incremento del valor de los títulosvendidos mayor del 10% el inversor deberá aportar garantíacomplementaria. Las garantías deben cubrir el 25% del

valor efectivo del total de los títulos a precios de mercadomás la pérdida producida por la diferencia de cotización conrespecto al precio inicial. Los derechos económicosdevengados en la operación se tendrán en cuenta a efectosdel cálculo del importe de la garantía complementaria. Si lacotización baja más del 10% con respecto al último cálculoque se haya efectuado de las garantías, se procederá a ladevolución de las garantías complementarias.

Las garantías complementarias se remuneran alcorrespondiente tipo de interés, en el momento de sucancelación, devolución, al vencimiento de la operación, y en

el caso de que se produzcan prórrogas al término de estas.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

31

-  En el momento del devengo de los dividendos el vendedorabona al prestamista, igual cantidad al importe bruto de losderechos económicos generados por los títulos.

Ejemplo:

El día 4 de mayo un inversor compra a crédito 1.000 acciones de la sociedad x. Elprecio de compra de dichas acciones es de 15 €. El tipo de interés aplicado a laoperación es del 10%. En la operación se aplican las siguientes comisiones ycánones: comisión del intermediario 0,10%, comisión de liquidación 0,10% ycánones bursátiles 7 €.A día 31 de mayo, se produce la prórroga automática de la operación, ya que elinversor no ha realizado manifestación en contra de dicha prórroga antes delvencimiento de la operación.El día 30 de junio el inversor acepta una segunda prórroga.El día 24 de julio la cotización de las acciones es de 16 €, por lo que decidecancelar su posición dando orden de venta de los títulos comprados.Calcular:

•  El resultado y la rentabilidad obtenida en la operación

Solución:

• Cálculo del resultado de la operación:

Fase Concepto Fecha ImporteAportación inicial Garantía Inicial )25,015000.1( ××   04-05 (3.750)

Comisión del intermediario %)10,015000.1( ××   (15)

Comisión de la liquidación %)10,015000.1( ××   (15)Liquidación de la compraa créditoCánones bursátiles

04-05

(7)Final del 1º vencimiento1ª Prorroga. Inicio Liquidación de intereses )

360

27%10%7515000.1( ××××   31-05 (84,38)

1ª Prorroga. Final2ª Prorroga. Inicio Liquidación de intereses )

360

30%10%7515000.1( ××××   30-06 (93,75)

Efectivo venta )16000.1( ×   16.000

Comisión intermediario %)10,016000.1( ××   (16)

Comisión liquidación %)10,016000.1( ××   (16)

Cánones bursátiles (7)

Liquidación de intereses )

360

24%10%7515000.1( ××××   (75)

Devolución garantía 3.750

Cancelación

Cancelación compra )15000.1( ×  

24-07

(15.000)

Resultado 670,87

(*) Al efectuarse la compra en la primera quincena del mes el vencimiento delcrédito será el último día hábil del mes corriente.

• Cálculo de la rentabilidad obtenida en la operación:

%72,17)71515750.3(

87,670

invertidoCapital

obtenidoResultadoRe =

+++==ntabilidad   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

32

Ejemplo:

El día 20 de marzo un inversor vende a crédito 1.000 acciones de lasociedad x. El precio de venta de dichas acciones es de 15 €. El tipo deinterés de remuneración de las garantías es del 1%. En la operación seaplican las siguientes comisiones y cánones: comisión del intermediario0,10%, comisión de liquidación cobrado 0,10% y cánones bursátiles 7 €.A día 30 de abril, se produce la prórroga automática de la operación, ya queel inversor no ha realizado manifestación en contra de dicha prorroga antesdel vencimiento de la operación.El día 31 de mayo el inversor acepta una segunda prórroga.El día 24 de junio la cotización de las acciones es de 14 €, por lo que decidecancelar su posición dando orden de compra a su intermediario de lostítulos vendidos inicialmente.Calcular:

•  El resultado y la rentabilidad obtenida en la operación

Solución:

• Cálculo del resultado de la operación:

Fase Concepto Fecha ImporteAportación inicial Garantía Inicial %)2515000.1( ××   20-03 (3.750)

Comisión del intermediario %)10,015000.1( ××   (15)

Comisión de la liquidación %)10,015000.1( ××   (15)Liquidación de la venta acrédito

Cánones bursátiles

20-03

(7)

Final del 1º vencimiento1ª Prorroga. Inicio Remuneración garantía )360

41%1%2515000.1( ××××   30-04 4,27

1ª Prorroga. Final2ª Prorroga. Inicio Remuneración garantía )

360

31%1%2515000.1( ××××   31-05 3,23

Efectivo compra )14000.1( ×   (14.000)

Comisión intermediario %)10,014000.1( ××   (14)

Comisión liquidación %)10,014000.1( ××   (14)

Cánones bursátiles (7)

Remuneración garantía )360

24%1%2515000.1( ××××   2,5

Devolución garantía 3.750

Cancelación

Cancelación venta )15000.1( ×  

24-06

15.000

Resultado 938

(*) Al efectuarse la compra en la segunda quincena del mes el vencimiento delcrédito será el último día hábil del mes siguiente.

•  Cálculo de la rentabilidad obtenida en la operación:

%77,24)71515750.3(

938

invertidoCapital

obtenidoResultadoRe =

+++==ntabilidad   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

33

6.5.  CRÉDITOS CON GARANTÍA DE VALORES

Mediante la entrega en garantía o pignoración de valores mobiliarios se puedeobtener un crédito cuyo importe máximo será el resultado de aplicar un

coeficiente al valor efectivo de aquéllos.

Para la obtención del crédito podemos pignorar una sola clase de valores o variasclases de valores. También se puede obtener un crédito pignorando valores y conel importe de este crédito adquirir nuevos valores, que serán pignorados a su vezpara la obtención de otro nuevo crédito y así sucesivamente.

6.5.1.  Pignoración de una clase de valores mobiliarios

El importe máximo del crédito obtenido por la pignoración de valores mobiliariosserá el resultado de aplicar un coeficiente de reducción, al que llamamos cambiode pignoración )(  pc , sobre el valor efectivo de dichos valores.

El valor efectivo de los títulos pignorados por razón del cambio )( c E  será elresultado de multiplicar el nominal pignorado (N = Nominal de los títulos x elnúmero de títulos pignorados) por el cambio de cotización )(c .

100

c N  E c

×=  

Si al valor efectivo le aplicamos el cambio de pignoración, obtendremos elimporte máximo del crédito )(  p E  que puede ser concedido.

100100100 ×

××=

×=

p pc

 p

cc N c E  E   

El efectivo que recibe el acreditado será inferior al importe del crédito concedido.Esto se debe a que en la operación se producen gastos, que habrán de deducirsedel importe del crédito concedido. Asimismo se deducirá el importe de losintereses de la operación, debido a que normalmente se cobran por adelantado.

El cambio de garantía )(  g c , será aquél al que deben de cotizar los títulos para

que el crédito concedido sea el máximo. Si el importe que se obtiene en lapignoración es igual al límite máximo, (c) será el cambio de garantía. Si elimporte que se obtiene en la pignoración es inferior al límite máximo, deberemoscalcular aquel cambio al que tendrían que haber cotizado los valores para que elimporte del crédito obtenido hubiese sido el máximo.

 p

 p

 g c N 

 E c

×

××=

100100 

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

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El importe máximo del crédito por pignoración de valores mobiliarios depende delcambio de pignoración, del valor nominal pignorado, y del cambio de cotizaciónde estos.

El cambio de cotización es variable y puede suceder que vaya a la baja, en cuyo

caso, y si el descenso del cambio de cotización es superior al importe fijado en elcontrato de pignoración (con carácter general el 10%), el acreditado deberáreducir el importe del crédito o aumentar la garantía.

El cambio de reposición es el límite al que puede bajar la cotización de losvalores en garantía, para que el contrato de pignoración siga estando en vigor yel acreditado no deba aumentar la garantía o reducir el crédito.

Si se supera el límite al que puede bajar la cotización de los valores en garantíapara que el contrato siga estando vigente, el acreditado puede optar por una delas dos alternativas siguientes:

  Aumentar la garantía:

Si el límite al que puede bajar la cotización es el 10% tendremos queaumentar el importe de la garantía cuando la cotización descienda a

c×10

9, siendo el importe del aumento de la garantía, es decir, el

número de títulos a aportar para poder seguir con el mismo importe decrédito ´)( N  , aquél que haga que se iguale el importe del créditoconcedido )(  p E  , con el importe máximo de crédito a conceder )´(  p E  al

nuevo cambio de cotización.

100100×

××=

p

 p

cc N  E  y

10010

9´´

p

 p

cc N  E  ××=  

Igualando ambas expresiones:

10010

100100

 p p cc N 

cc N ××=

×

×× 

Resulta:

´10

9 N  N =    N  N 

9

10´=    N  N  N 

9

1´ +=  

Debiéndose aumentar la garantía en una novena parte.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

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  Reducir el crédito:

Si el límite al que puede bajar la cotización es el 10% tendremos que

minorar el importe del crédito cuando la cotización descienda a c×10

9,

siendo el importe de la reducción del préstamo la diferencia existenteentre el importe del crédito concedido inicialmente )(  p E  , y el importe

máximo del préstamo a conceder en el momento actual )´(  p E  .

Por tanto:

100100×

××=

p

 p

cc N  E  y  p

 p

 p E 

cc N 

 E 10

9

100100

10

9

´ =×

××=  

El importe de la reducción será:

 p p E  E 10

1

10

9E p =−  

Ejemplo:

La sociedad X obtiene un préstamo por la pignoración de 1.000 accionesde la sociedad Y, cuya cotización es de 30 €. Si el cambio de pignoraciónes del 90%. Calcular:

1º La cuantía máxima que se puede obtener como préstamo.2º El líquido que se obtendrá en la operación, si los gastos de

formalización son de 100 €, y se cobran por adelantado losintereses (sabiendo que la operación se ha concertado a 6 meses ya un tipo de interés anual del 10%).

3º El importe de la reducción del préstamo, si el cambio desciendehasta el cambio de reposición y no se decide aumentar la garantía.

Solución:

1º Cálculo de la cuantía máxima del préstamo:

 €000.27100

9030000.1

100=

××=

×=

pc

 p

c E  E   

2º Cálculo del importe recibido por el acreditado:

 €550.25)10,012

6(27.000-100-27.000Intereses-Comisiones =××=−= pl  E  E   

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

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3º Cálculo del importe de la reducción del préstamo:

Como el límite al que puede bajar la cotización es del 10%, la nueva cotización

será  €273010

9

10

9

=×=× c .El importe de la reducción del préstamo será la diferencia existente entre elimporte del crédito concedido inicialmente )(  p E  , y el importe máximo del

préstamo a conceder en el momento actual )´(  p E  .

Por tanto:

 €000.27= p E  y  €300.24100

9027000.1´ =

××= p E   

El importe de la reducción será:

 €700.2300.24000.27´E p =−=− p E   

6.5.2.  Pignoración de varias clases de valores mobiliarios

Sean A, B y C los valores pignorados, cuyos nominales son ,,, C  B A N  N  N  suscotizaciones son ,,, C  B A ccc y sus cambios de pignoración ,,,  PC  PB PA ccc y sea C el

importe del préstamo solicitado. La operatoria a seguir para el cálculo de losefectivos máximos que se pueden conceder para cada clase de valores, delcambio de garantía y del cambio de reposición será:

1º Cálculo de los efectivos máximos que se pueden conceder para cada clase devalores:

100100×

××= PA A A

 A

cc N  E   

100100×

××= PB B B

 B

cc N  E   

100100×

××= PC cC 

cc N  E   

2º Ahora debemos determinar que parte del crédito queda garantizada con cadaclase de valores, mediante un reparto proporcional del crédito solicitado a losefectivos máximos.

 B

 B

 A

 A

C  B A E 

 E 

 E 

 E  E  E 

C ++=

++ 

Donde:

C  B A

 A A

 E  E  E 

C  E C 

++

×=  

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MATEMÁTICAS FINANCIERASCapítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 

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C  B A

 B B

 E  E  E 

C  E C 

++

×=  

C  B A

C   E  E  E 

C  E 

C  ++

×

=  

3º Determinación de los cambios de garantía y de reposición para cada clase devalores.

 PA A

 A gA

c N 

C c

×

××=

100100 

 PB B

 B gB

c N 

C c

×

××=

100100 

 PC C 

C  gC 

c N 

C c

×

××=

100100 

 gArA C C  ×= 9,0    gBrB C C  ×= 9,0    gC rC  C C  ×= 9,0  

Ejemplo:

La sociedad X obtiene un préstamo por la pignoración de los siguientesvalores:

Nominal Títulos Número CotizaciónCambio de

pignoración50 Acciones 3.000 67 50

1.000 Bonos 300 999 52

Calcular:

1º La cuantía máxima que se puede obtener como préstamo.2º El líquido que se obtendrá en la operación, si los gastos del

préstamo son del 3 por 1.000

Solución:

1º Cálculo de la cuantía máxima del préstamo:

Acciones:  €500.100100

50000.367

100100=

××=

×

××= PA A A

 A

cc N  E   

Bonos:  €844.155100

52300999

100100=

××=

×

××= PB B B

 B

cc N  E   

Préstamo:  €344.256844.155500.100 =+=+ B A E  E   

2º Cálculo del importe recibido por el acreditado:

 €255.574,97769,03-256.344Comisiones ==−= pl  E  E