1UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA Gua DIDCTICA MATEMTICAPARA SEGUNDO AO DEBACHILLERATO ENFSICO MATEMTICA Lic. Silvana Castro Tamay Dr. Arturo Armijos cabrera Loja Ecuador 2 INTRODUCCIN Paraquetodoprocesodeenseanzaaprendizajecumplaconsusobjetivos,es necesario dotarle a los estudiantes de instrumentos que faciliten la asimilacin de los contenidos y, a la vez, le permitan transferir ese conocimiento ms all del aula, de suertequeaprendaarelacionarlosconlasrealidadespropiasdesumedio ydesu tiempo . Frenteaesteretodeunirteoraypraxiselaprender-haciendosegnlos postuladosdeladidcticamodernasehadiseadoLapresenteGUADE TRABAJOACADMICOqueconstadevariasunidadesenlacual,apartirdel conocimientoadquirido,concreto,seafiancelacalidaddelmismomedianteel trabajoactivo,evitandolasimpletranscripcindenombresydatosquepuedan degenerar en tediosa repeticin. En un primer momento trabajarn con Teora de los Exponentes y Radicales en la cual se ha incrementado al trmino exponencial,los enteros y fracciones, y, en base aun plan queles presentamos convariasalternativaspara queseexpreseconsu capacidadcreativa,Tringulosoblicungulos,temticaqueconsiderosedebe tratar una vez que en el ao anterior desarrollaron los tringulos rectngulos, luego veremosIdentidades y Ecuaciones trigonomtricas y que estn relacionadas con latemticaanterior(Trigonometra).Losnmeroscomplejoscomopartedelos reales,Loslogaritmos,Matricesydeterminantestemticaquenosayudaa resolversistemasdeecuacionesyporltimoGeometraAnalticacomopartedel lgebra que nos permite describir o analizar figuras geomtricas. OBJETIVOS GENERALES Cimentar y potenciar a los alumnos para que puedan comprender conocimientos de matemtica cada vez ms complejos. Describir los contenidos programticos bsicos a ser tratados con los estudiantes y los procesos metodolgicos para ese tratamiento. Propenderaquesuejecucinpermitaeldesarrollodepotencialidadesenlos alumnos para enfrentar con xito problemas concretos de la vida diaria o de estudios posteriores. DESTREZAS Lograrenlosestudianteselorden,laresponsabilidad,ladisciplinayhonestidad en la ejecucin de las actividades intra y extractase, as comode exposiciones. a travs del trabajo activo y solidario.

Desarrollar el pensamiento lgico para la comprensin y dominio de teoras conceptuales para que potencien sus destrezasy confronten conlasdemsramas del saber 3Conseguir que los alumnos apliquen los conocimientos en la resolucin de problemas inherente a las operaciones con radicales aplicando sus respectivas leyes.

CONTENIDOS ACTITUDINALES ES MEJOR CONFIAR EN UNO MISMO Mara era una joven muy tmida y dbil al momento de tomar sus propias decisiones. Cursaba el octavo ao; por su carcter y personalidad tena pocas amigas. Su fuerte eran las Ciencias Naturales, le gustaban mucho las ilustraciones de animales y todo lorelacionadoconlosorganismosvivos.Encambiotenaseriosproblemasen matemticas.Nohabapracticadolosuficienteparapasarlaevaluacinfinalyde recuperacin,parapasaranovenoao.Latardepreviasehabareunidoconsus compaerasAliciayRebeca,quienesdominabanlapotenciacinyporellose dedicaronaverlaTV,escucharmsicayjugarenlacomputadora,muyconfiadas desusconocimientos,apesardetenerfalenciasenlaradicacin;encambioel problema de Mara era la potenciacin. Practic y realiz las tareas de refuerzo una yotravez,ypocoapocofueganandodestrezapararesolverlosproblemasy ejercicios planteados. El da lleg, al mirar el cuestionario no le pareci tan difcily empezaresolverlosincontratiempos.Elltimoejercicioeradepotenciacin: Resuelve= a+2b+(a+3b-4)0- (a+b) Marialoresolviyencontrquelarespuestaerab+1.AliciayRebecaporhaber dicho en voz alta a toda la clase que la respuesta del ltimo ejercicio era 1-b fueron suspendidas. Mara al escuchar esta respuesta resolvi una y otra vez el problema y siempre daba el mismo resultado, sin embargo no confi en sus propios conocimientos y cambi el resultado por 1- b. Una vez afuera se dio cuenta de que ella lo haba resuelto bien, sin embargo, por su faltadeconfianzaensmismaperdilaoportunidaddesacarunanota sobresaliente. Mara aprendi 2 cosas ese da: CUESTIONARIO RESPECTO DE LOS CONTENIDOS ACTITUDINALES 1. Haga un comentario a cerca de esta lectura .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 2.Asucriterioenquconsistelahonestidadycmopodemospotenciarla misma en el curso.? ..............................................................................................................................................................................................................................................................3.Escriba dos ejemplos de la vida realde honestidad .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 4.Considera Usted que los integrantes de su curso practican lahonestidad?Por qu? ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4DESARROLLO DE CONTENIDOS FUNCION REAL Concepto ue funcion Dados dos conjuntos A y B, llamamos funcin a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.Funcin real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de nmeros reales, llamado dominio, otro nmero real. f : D x f(x) = yEl subconjunto en el que se define la funcin se llama dominio o campo existencia de la funcin. Se designa por D. El nmero x perteneciente al dominio de la funcin recibe el nombre de variable independiente. Al nmero, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x)Se denomina recorrido de una funcin al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). x Conjunto inicial Conjunto finalDominio Conjunto imagen o recorrido5El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x/f (x)} El recorrido es el conjunto de elementos que son imgenes. R = {f (x) / xD}Bominio ue una funcion El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x/f (x)} Conjunto inicial Conjunto finalDominio Conjunto imagen o recorridoEstuuio uel uominio ue una funcion Dominio de la funcin polinmica entera El dominio es R, cualquier nmero real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6 D=R Dominio de la funcin racionalEl dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un nmero cuyo denominador sea cero). 6Dominio de la funcin irracional de ndice impar El dominio es R. Dominio de la funcin irrracional de ndice par El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. 7Dominio de la funcin logartmica El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero. Dominio de la funcin exponencialEl dominio es R. Dominio de la funcin senoEl dominio es R. Dominio de la funcin cosenoEl dominio es R. Dominio de la funcin tangente Dominio de la funcin cotangente Dominio de la funcin secante Dominio de la funcin cosecante 8 Dominio de operaciones con funciones Si relizamos operaciones con funciones, el dominio de la funcin resultante ser: uifica ue funciones Si f es una funcin real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la funcin f le corresponde en el plano cartesiano un nico punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definicin de la funcin. Como el conjunto de puntos pertenecientes a la funcin es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la funcin. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la grfica. Uniendo estos puntos con lnea continua se obtiene la representacin grfica de la funcin. x12345 f(x) 246810 9 Grafo de una funcin Grafo de una funcin es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imgenes correspondientes. G(f) = {x, f(x) /xD(f)}Sistema de coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas. Se puede representar una funcin en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen. Composicion ue funciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2 est incluido en el recorrido de la 1, se puede definir una nueva funcin que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 10(g o f) (1) = 6 1 + 1 = 7Bominio D(g o f) = {xDf / f(x)Dg}Piopieuaues Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h No es conmutativa. f o g g o f El elemento neutro es la funcin identidad, i(x) = x. f o i = i o f = f Sean las funciones: 11 Funcion inveisa o iecipioca Se llama funcin inversa o reciproca de f a otra funcin f1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f1(b) = a. Podemos observar que: El dominio de f1 es el recorrido de f. El recorrido de f1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una funcin tenemos que hallar el dominio de su funcin inversa. Si dos funciones son inversas su composicin es la funcin identidad. 12f o f -1 = f -1 o f = x Las grficas de f y f -1 son simtricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Hay que distinguir entre la funcin inversa, f1(x), y la inversa de una funcin,. Clculo de la funcin inversa 1Se escribe la ecuacin de la funcin con x e y. 2Se despeja la variable x en funcin de la variable y. 3Se intercambian las variables. Calcular la funcin inversa de: Vamos a comprobar el resultado para x = 2 13 Estuuio ue una funcion En este tema para realizar el estudio de una funcin analizaremos los siguientes puntos: Crecimiento y decrecimiento. Cotas. Mximos y mnimos absolutos y relativos. Simetra. Periodicidad. En otro tema veremos estos puntos bajo otra ptica y otros puntos como: Puntos de corte con los ejes. Asntotas. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos o locales. Puntos de inflexin. 14Concavidad y convexidad. Ciecimiento y ueciecimientoTasa ue vaiiacion El incremento de una funcin se llama tasa de variacin, y mide el cambio de la funcin al pasar de un punto a otro. t.v.= f(x+h) - f(x) Funcion estiictamente cieciente f es estrictamente creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple: 15 La tasa de variacin es positiva.Funcion cieciente

f es creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple: La tasa de variacin es positiva o igual a cero.Funcion estiictamente uecieciente 16f es estrictamente decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple: La tasa de variacin es negativa.Funcion uecieciente f es decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple: La tasa de variacin es negativa o igual a cero.Funciones acotauas Funcin acotada superiormente Una funcin f est acotada superiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k.El nmero k se llama cota superior. 17 k=0.135 Funcin acotada inferiormente Una funcin f est acotada inferiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k.El nmero k se llama cota inferior. k = 2 Funcin acotada Una funcin esta acotada si lo est a superior e inferiormente. k f(x) k k = k = - NximMxiUna fucualqua = 0 MnimUna fucualqub = 0 MxiUna fuprximUna fuprximmos y minimo absoluuncin tieneuier otro pumo absoluuncin tiene uier otro punimo y mniuncin f tienmos al puntouncin f tienmos al puntonimos absouto e su mximunto del domto su mnimo anto del dominimo relativne un mximo a.ne un mnimoo b.olutos y ieo absoluto eminio de la fabsoluto en nio de la funvo mo relativo eno relativo enelativos en el x = a sfuncin. el x = b si lancin. n el punto a, n el punto b, i la ordenada ordenada esi f(a) es masi f(b) es meda es mayors menor o igayor o igual enor o igual r o igual quegual que en que los punque los punt18e en ntos tos 19 a = 3.08 b = -3.08 Funciones simtiicas Simetra respecto del eje de ordenadas. Funcin par Una funcin f es simtrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f(x) = f(x)Las funciones simtricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares. Simetra respecto al origen. Funcin impar 20Una funcin f es simtrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f(x) = f(x)Las funciones simtricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares. Funciones peiiouicasUna funcin f(x) es peridica, de perodo T, si para todo nmero entero z, se verifica: f(x) = f(x + zT) La funcin f(x) = sen x es peridica de periodo 2, ya que cumple que: sen (x + 2) = sen x La funcin f(x) = tg x es peridica de periodo , ya que cumple que: tg (x + ) = tg x21 La funcin mantisa, f(x) = x - E(x), es peridica de periodo 1. Si tenemos una funcin peridica f(x) de periodo T, la funcin g(x) = f(kx) tiene de periodo: Hallar el periodo de las funciones: 1f(x) = sen 2x 2f(x) = tg (1/2)x 3f(x) = E (1/2)x Tipos ue funciones 22 Clasificacion ue funciones Funciones algebiaicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explicitas Si se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin. f(x) = 5x 2 Funciones implicitas Si no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x y 2 = 0 Funciones polinmicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x + a2x + + anxn Su dominio es, es decir, cualquier nmero real tiene imagen. Funciones constantes El criterio viene dado por un nmero real. 23f(x)= kLa grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinomica ue piimei giauof(x) = mx +n Su grfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la funcin.Funcin afn. Funcin lineal. Funcin identidad. Funciones cuauiticas f(x) = ax + bx +cSon funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola.Funciones a tiozos Son funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Funcin parte entera de x. Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una funcin irracional de ndice impar es R. El dominio de una funcin irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. 24Funciones tiascenuentes La variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra. Funcin exponencial Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.Funciones logartmicas La funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a. Funciones trigonomtricas Funcion seno f(x) = sen x Funcion coseno f(x) = cos x Funcion tangente f(x) = tg x Funcion cosecante f(x) = cosec x Funcion secante f(x) = sec x Funcion cotangente f(x) = cotg x 25Funcion seno f(x) = sen x Dominio: Recorrido: [1, 1] Perodo: Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Mximos: Mnimos: Impar: sen(x) = sen xCortes con el eje OX: Funcion coseno f(x) = cos x Dominio: Recorrido: [1, 1] Perodo: Continuidad: Continua en 26Creciente en: Decreciente en: Mximos: Mnimos: Par: cos(x) = cos xCortes con el eje OX:Funcin tangentef(x) = tg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Perodo: Creciente en: Mximos: No tiene.Mnimos: No tiene 27Impar: tg(x) = tg xCortes con el eje OX:Funcin cotangentef(x) = cotg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Perodo: Decreciente en: Mximos: No tiene.Mnimos: No tiene.Impar: cotg(x) = cotg x Cortes con el eje OX:28Funcion secantef(x) = sec x Dominio: Recorrido: ( , 1][1, ) Perodo: Continuidad: Continua en Creciente en:Decreciente en: Mximos: Mnimos: Par: sec(x) = sec xCortes con el eje OX:No cortaFuncin cosecante29f(x) = cosec x Dominio: Recorrido: ( , 1][1, )Perodo: Continuidad: Continua enCreciente en:Decreciente en: Mximos: Mnimos: Impar: cosec(x) = cosec xCortes con el eje OX:No cortaFunciones constantes La funcin constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un nmero real. 30La pendiente es 0. La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imgenes y para que sea funcin slo puede tener una. Son del tipo: x = K Funcion linealLa funcin lineal es del tipo: y = mx Su grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x 31x01234 y = 2x02468 Pendiente m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la funcin es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Si m < 0 la funcin es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso. 32Funcion iuentiuau f(x) = x Su grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Funcion afin La funcin afn es del tipo: y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. 33n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. Ejemplos ue funciones afines Representa las funciones: 1 y = 2x - 1xy = 2x-10-1 11 2y = -x - 1xy = -x-1 0-1 344-4 Funcion cuauitica Son funciones polinmicas de segundo grado, siendo su grfica una parbola.f(x) = ax + bx +cRepiesentacion gifica ue la paibola Podemos construir una parbola a partir de estos puntos: 1. Vrtice Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola.La ecuacin del eje de simetra es: 2. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax + bx +c = 0 Resolviendo la ecuacin podemos obtener:Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0Un punto de corte: (x1, 0) si b 4ac = 035Ningn punto de corte si b 4ac < 03. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0 + b 0 + c = c(0,c) Representar la funcin f(x) = x 4x + 3. 1. vitice x v = (4) / 2 = 2 y v = 2 4 2 + 3 = 1 V(2, 1) 2. Puntos ue coite con el eje 0X x 4x + 3 = 0

(3, 0)(1, 0) S. Punto ue coite con el eje 0Y (0, 3) 36Tiaslaciones ue paibolas Constiuccion ue paibolas a paitii ue y = x` Partimos de y = x xy = x -24 -11 00 11 24 1. Traslacin vertical y = x + kSi k > 0, y = x se desplaza hacia arriba k unidades.Si k < 0, y = x se desplaza hacia abajo k unidades. El vrtice de la parbola es: (0, k).El eje de simetra x = 0.37 y = x +2 y = x 2 2. Traslacin horizontaly = (x + h)Si h > 0, y = x se desplaza hacia la izquierda h unidades.Si h < 0, y = x se desplaza hacia la derecha h unidades. El vrtice de la parbola es: (h, 0).El eje de simetra es x = h. y = (x + 2)y = (x 2) 383. Traslacin oblicua y = (x + h) + k El vrtice de la parbola es: (h, k). El eje de simetra es x = h. y = (x 2) + 2 y = (x + 2) 2Bilataciones y contiacciones ue funcionesContiaccion ue una funcion Una funcin f(kx) se contrae si K > 1. 39 Bilatacion ue una funcion Una funcin f(kx) se dilata si 0 < K < 1. 40 Funciones iacionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuacin: .41 Sus grficas son hiprbolas. Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones. Tiaslaciones ue hipibolasLas hiprbolasson las ms sencillas de representar. Sus astontas son los ejes.El centro de la hiprbola, que es el punto donde se cortan las asntotas, es el origen. 42 A partir de estas hiprbolas se obtienen otras por traslacin.1. Traslacin vertical El centro de la hiprbola es: (0, a).Si a>0,se desplaza hacia arriba a unidades. 43El centro de la hiprbola es: (0, 3)Si a 0,se desplaza a la izquierda b unidades. 44 El centro de la hiprbola es: (-3, 0)Si b1.eciente si a 1lafuncinexponencialaescreciente,esdecirlasordenadas crecen,alcrecerlasabscisas,porelcontrariosi0