Matematicas Resueltos (Soluciones) La Recta en El Plano Nivel I 1º Bachillerato

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1.-DETERMINACIÓN LINEAL DE UNA RECTA.

A la recta que pasa por un punto A y lleva la dirección del vector no nulo u se la representa:

R ( A, u ) y se llama determinación lineal de la recta r.

El punto A se llama punto base de la recta r.

El vector u se llama vector director de la recta r. ¿Es posible que dos determinaciones lineales distintas puedan representar la misma recta?

Si es posible. Vamos a demostrarlo:

Representando las rectas r( A, u ) con A ( 1, 5 ) y u = (2,1 )

r’ (A’, u’ ) con A’ ( 3, 6 ) y u = ( 8, 4 ) sobre el eje de

coordenadas, vemos que se superponen, son coincidentes.

* RESUMIENDO:

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A).-Determinación lineal de la recta r que pasa por un punto A, es la recta que pasa por el

punto A y lleva la dirección del vector”no nulo” r ( A, u ).

B).- Dos determinaciones lineales distintas pueden representar la misma recta.

2.- ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

La recta r queda perfectamente determinada mediante un punto A y una dirección dada por un

vector “ no nulo” u.

Vamos a considerar un sistema de referencia R = ( 0, i, j ) y sea r la recta que pasa

por A y lleva la dirección u.

Sea X un punto cualquiera de la recta r. El vector AX es proporcional al vector u por estar

en la misma dirección.

Establecemos: AX = t u siendo t un número real cualquiera.

Siendo a y x los vectores de posición de los puntos a y X, obtenemos:

R ( A , u )

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Si damos valores a t, en la ecuación vectorial de la recta, se obtiene un conjunto de vectores de

posición que pertenecen a la recta r.

Ejemplos:

¿Cómo será la ecuación vectorial de la recta r ( representada en el gráfico que a continuación se

expone) que pasa por el punto A (2,5 ) y lleva la dirección u = ( -3, 1 )

Recordatorio:

Con la ecuación vectorial de la recta obtenemos un conjunto de vectores de posición de puntos que

pertenecen a la recta.

3.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.

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En el ejemplo anterior, hemos visto que la ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto

A ( 2,5 ) y lleva la dirección del vector u = ( -3, 1 ) es :

igualando las componentes de ambos vectores, obtenemos :

x = 2 – 3t

con t R. Esta es la ecuación paramétrica

y = 5 + t

- De forma general vemos estas ecuaciones:

Siendo (x,y) las coordenadas del vector x

Siendo (x1,y1) las coordenadas del vector a

Siendo ( a,b ) las coordenadas del vector u

Sustituimos estos valores en la ecuación vectorial:

Ahora igualamos las componentes de ambos vectores, y obtenemos:

con t R. Ecuación paramétrica de la recta

Para cada valor de t se obtiene un punto de la recta.

A las coordenadas ( a,b ) del vector dirección u se les llama coeficientes directores de la recta

r.

Ello es debido a que todo par ( a, b ) define siempre una dirección, salvo si se trata del “vector

nulo”.

Recordatorio:

Con la ecuación paramétrica de la recta obtenemos un conjunto de puntos de la recta.

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4.-ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTÍNUA.

- Hemos visto que las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(x1, y1) y lleva

la dirección u = ( a, b ) son :

x = x1 + t a

con t є R

y = y1 + t b

- Siendo a ≠0 y b ≠ 0, despejamos t en ambas ecuaciones:

Igualando:

Es la fórmula de la ecuación de la recta en forma continua.

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Si a = 0 y b ≠0 las ecuaciones paramétricas son:

x = x1

y = y1 + t b

En este caso y puede tomar cualquier valor y quedar la ecuación reducida a: x = x1.

Es la ecuación de la recta paralela al eje OY.

Si b= 0 y a ≠0 las ecuaciones paramétricas son:

x =x1 + t a

y = y1

Como x puede tomar cualquier valor, estas dos ecuaciones se reducen a: y = y1

Es la ecuación de la recta paralela al eje OX.

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5.-ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA GENERAL

Tenemos que partir de la ecuación de la recta en forma continua que pasa por el punto

A (x1, y1) y lleva la dirección u = (a, b )

Hacemos A = b B = -a y C = ay1 - bx1 obtenemos:

Ax + By + C = 0 Ecuación general de la recta

También se llama Ecuación de la recta en Forma Implícita.

Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta en el plano, determinada por:

Punto base: Cualquier punto cuyas coordenadas ( x1, y1 ) verifiquen la ecuación dada.

Vector direccional (coeficiente director de la recta): u = ( -B , A )

Ya que a = - B y b = A

Casos particulares:

- Ecuación de la recta en forma general: Ax + By + C = 0

- Es la ecuación de la recta paralela al eje OX

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Ecuación de la recta en forma general: Ax + By + C = 0

Ecuación de la recta paralela al eje OY.

*****OJO**** A y B no pueden ser nulos al mismo tiempo, ya que al ser a = b y b = - a, el

vector direccional ( coeficiente director de la recta ) u = ( a, b ) sería el vector nulo.

- Y hemos dicho, anteriormente, que el vector nulo “no” determina ninguna dirección.

Caso practico importante.

Vamos a resolver el caso, en el que nos dan la recta en forma general y nos preguntan si sabemos

calcular un punto por el que pasa y la dirección que lleva,

Ax + By + C = 0

Ejemplo: 3x - 2y + 6 = 0

1º Vamos a calcular un punto cualquiera de la recta.

Para ello hacemos por ejemplo y = 0

3x + 6 = 0 x = - 6/3 = -2 Hemos obtenido x = -2 y = 0

El punto será ( x, y ) ( -2, 0 )

2º El vector director de la recta dada es:

A -B

u = ( -B, A ) = ( 2, 3 ) porque: 3 x - 2 y + 6 = 0

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Resumiendo:

Cuando nos facilitan una recta a través de una ecuación en forma general, SIEMPRE, podemos

calcular:

a.- Un punto cualquiera de la recta.

b.- La dirección que lleva la recta.

6.-ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

- Ya sabemos que por dos puntos distintos del plano pasa una sola recta.

A la recta r que pasa por los puntos A y B la designamos mediante la determinación lineal:

r( A, AB )

Siendo A (x1, y1) y B ( x2, y2), AB ( x2-x1, y2-y1)

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior, tenemos:

Ecuación vectorial:

Ecuación paramétrica:

Forma continua:

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7.-ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA RECTA.

Sea una recta r que corta los ejes de coordenadas en los puntos A (a,0 ) y B ( 0, b ), la

igualdad:

recibe le nombre de ecuación de la recta en forma segmentaria.

Ello es debido a que se obtiene en función de los segmentos orientados a y b.

12.-ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA PUNTO PENDIENTE.

Consideremos la recta r que pasa por el punto A (x1, y1) y lleva la dirección u (a, b ), la

ecuación en la forma continua de la recta es:

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Hacemos a = 0, y sustituimos en la ecuación anterior ( forma continua ):

Al número se le llama pendiente de la recta y se representa por la letra m.

Ahora sustituimos m en la expresión anteriormente obtenida y nos queda:

Esta expresión es la ecuación de la recta en forma punto pendiente.

Caso particular: Si a = 0 la recta no tiene pendiente. Es paralela al eje OY.

12.-ECUACIÓN EXPLICITA DE LA RECTA.

Si en la ecuación general de la recta:

Ax + By + C = 0

esta expresión obtenida, se suele escribir:

y = m x + n Esta expresión es la ecuación de la recta en forma explícita.

m representa la pendiente de la recta.

n representa la ordenada en el origen.

12.-SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE LA PENDIENTE.

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La recta que pasa por A y lleva la dirección u = ( a, b ), tiene de pendiente m= b/a.

Con la recta r ( A, u ) es paralela al vector director, se deduce que:

La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de

abcisas con la recta.

¿Es única la pendiente de una recta?

La respuesta es “ no “. Cualquier recta puede tener pendientes iguales.

La recta que lleva la dirección (2, 3) tiene como pendiente m.

Vamos a calcular dicha pendiente:

¿Qué ocurre con la pendiente, si en lugar de tomar el vector director (2,3) tomamos otro distinto

que represente la misma dirección?

- Si representa la misma dirección, el nuevo vector “obligatoriamente” tiene que ser proporcional

al vector dado.

- Sea por ejemplo el vector (6,9)

La pendiente de la recta será:

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* Por tanto las pendientes son iguales.

Conclusión:

La pendiente de una recta no depende del vector director elegido para definirla.

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1.- Calcular la ecuación de la recta r que pasa por el punto A (3,5) y lleva la dirección del vector

u = (2, -4)

a) Vamos a expresarla en forma vectorial:

A

b) En forma paramétrica:

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c) En forma continua:

d) En forma general:

Partimos de la ecuación en forma continua;

Y hacemos operaciones:

Simplificando:

e) En forma explicita:

Y = - 2x + 11

2.-Dada la recta de ecuación vectorial x = (3,2) + t (9, -1), hallas las otras formas distintas

de la ecuación de la recta.

( 3, 2 ) u ( 9, -1 )

x1,y1 a , b

a) En forma paramétrica:

b) En forma continua:

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c) En forma general:

Partimos de la ecuación en forma continua y hacemos operaciones:

Ax + By + C = 0

-1 ( x-3) = 9 ( y -2 ) -x+3 – 9y -18 x + 9y - 21 = 0

d) En forma implícita:

3.- Dada la recta de ecuaciones paramétricas x = - 3 + t , y = 2 – 5 t hallar las otras formas

distintas de la ecuación de la recta.

a) En forma vectorial:

A ( -3, 2 ) u ( 1, -5 )

x1,y1 a, b

x = ( x, y ) = ( -3, 2 ) + t ( 1, -5 )

b) En forma continua:

c) En forma general:

- Partimos como siempre de la ecuación en forma continua, y efectuamos operaciones,

Ax +By+C =0

-5x -15 = y – 2 -5x – y – 13 = 0

d) En forma explícita:

4.- Dada la recta de ecuación en forma continua:

calcular las otras formas distintas de la ecuación de esta recta.

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a) Forma general:

b) Forma explícita:

c) En forma vectorial:

Necesitamos conocer el vector director y un punto de la recta.

De la ecuación en forma general obtenemos:

4x + y – 3 = 0

u = ( - B , A ) u = ( -1, 4 )

a, b

Puntos de la recta:

x y

0 3

1 -1 A ( 2, - 5 )

2 -5 x1 , y1

x = ( x, y ) = ( 2, - 5 ) + t ( -1, 4 )

d) En forma paramétrica:

5.- Dada la recta de ecuación en forma general 5x – 7y – 2 = 0, halla las otras formas distintas

de la ecuación de esa recta.

a) En forma Explícita:

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b) En forma vectorial:



5x – 7y – 2 = 0

u = ( - B , A ) u = ( 7, 5 )

a, b

Puntos de la recta:

x y

-1 -1

0 2/7 A ( -1, - 1 )

1 -3/7 x1 , y1

x = ( x, y ) = ( -1, - 1 ) + t ( 7, 5 )

c) En forma paramétrica:

d) En forma continua:

6.- Dada la recta de ecuación en forma explicita y = 2x – 6 , calcular las otras formas distintas

de la ecuación de esta recta.

a) En forma general:

Ax + By + C = 0 Ax + By + C = 0

y = 2x -6 -2x + y + 6 = 0 2x – y -6 = 0

Trasponemos todos los términos al 1º miembro.

b) En forma vectorial:



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2x - y - 6 = 0

u = ( - B , A ) u = ( 1, 2 )

a, b

Puntos de la recta:

x y

3 0

4 2 A ( 4, 2 )

5 4 x1 , y1


d) En forma paramétrica:

7.- Calcular la pendiente de la recta cuya ecuación general es 4x + 6y – 5 = 0

* Lo podemos resolver de dos formas:

a) Pasamos la ecuación general a forma explícita:

5y = 5 – 4x

b) A través del vector director:

u = ( - B , A ) u = ( - 6, 4 )

a, b

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8.-Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3,1) y B ( 5, -2)

A ( x1, y1 ) B ( x2, y2 )

A ( 3, 1 ) b ( 5, -2 )

Aplicamos la fórmula de la ecuación que pasa por dos puntos:

La ecuación es:

Ahora ya estamos en condiciones de calcular la pendiente, y para ello podremos utilizar dos

procedimientos:

a) Partiendo de la ecuación en forma explícita:

y = m x + n ordenada en el origen

pendiente

b) Partiendo del vector director:

u = ( - B, A ) u = ( 2, - 3 )

9.- Pasa a forma explícita las siguientes rectas y calcula sus pendientes:

a)

Haciendo operaciones obtenemos:

-x +3 = 2y + 10 - x – 2y – 7 = 0 -2y = 7 + x

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La ecuación en forma explicita, obtenida le expresamos:


pendiente

Vamos a calcularla a través del vector director u.

b) 5x + 3y + 6 = 0

Lo primero que haremos será pasar al ecuación a la forma explícita:


pendiente

Vamos a calcularla a través del vector director u.

c) x = 2 + t

y = 5 – 3 t

A ( 2, 5 ) u = ( 1, - 3 ) m = b/a m = -3

x1,y1

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Hacemos operaciones para obtener la ecuación de la recta en forma explicita

-3x – y + 11 = 0 y = -3x + 11


pendiente

m = - 3

111000...--- CCCaaalllcccuuulllaaa lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa rrreeeccctttaaa qqquuueee pppaaasssaaa pppooorrr lllooosss pppuuunnntttooosss AAA (((333,,, 222 ))) yyy BBB ((( 111,,, ---444 ))) dddeee tttooodddaaasss lllaaasss

fffooorrrmmmaaasss pppooosssiiibbbllleeesss,,, aaasssííí cccooommmooo sssuuu pppeeennndddiiieeennnttteee...

x1,y1 x2,y2

A ( 3, 2 ) B ( 1, -4 )

u = (-2, -6)

a) En forma vectorial:

b) En forma paramétrica:

x1 x2

y1 y2


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d) En forma general:

Para ello partimos de la ecuación obtenida en forma continua, y hacemos operaciones:

A continuación ordenamos y pasamos todo al 1º miembro:

Ax + By + C = 0

- 6x + 2y + 14 = 0

e) En forma explícita:

f) En forma punto pendiente:

m ha sido lo que habíamos calculado al principio del ejercicio.

111111...--- CCCaaalllcccuuulllaaa lllaaa pppeeennndddiiieeennnttteee yyy lllaaa ooorrrdddeeennnaaadddaaa eeennn eeelll ooorrriiigggeeennn dddeee lllaaa rrreeeccctttaaa 333xxx +++ 222yyy --- 444 === 000

Para calcular la pendiente, tenemos posibilidad de hacerlo de dos maneras distintas:


2y = 4 – 3 x


pendiente

La ordenada en el origen será:

La pendiente será el coeficiente de la x en la ecuación en forma explicita, es decir:

b) Partiendo del vector director de la pendiente:

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12.-Determinar si los puntos A (3,1) B ( 5,2 ) y C ( 1,0 ) están alineados.

Para estar alineados tienen que obligatoriamente pertenecer a la misma recta.

Tomamos dos puntos cualesquiera de los dados y obtendremos una ecuación de la recta que pasa

por ellos.

A ( 3, 1 ) B ( 5, 2 )

x1,y1 x2,y2

Vamos a calcular la ecuación de la recta, que pasa por estos dos puntos que hemos elegido:

Haciendo operaciones nos queda: 3-3 = 2y – 2 Ordenando obtenemos: x -2y -1 = 0

Vamos a establecer una tabla de valores, para ver puntos pertenecen a la recta, para ellos vamos

a ir dando distintos valores a x, para ver que valores de y obtenemos:

x y

3 1 ( 3, 1 )

5 2 ( 5, 2 )

1 0 ( 1, 0 )

Por tanto los puntos están alineados.

13.-Calcular tres puntos que pertenezcan a la recta de ecuación 2x + 3y – 4 = 0

Para ello simplemente confeccionamos un tabla de valores, y a cada valor que vayamos dando a x

se corresponderán con los valores de y, obteniendo una serie de puntos pertenecientes a la recta.

x y

2 0 Un punto será: A (2,0)

-2 2 Otro será: B (-2,2)

5 -2 Otro será: C (5,-2)

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14.-Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 1, -2) y tiene la misma pendiente

que la recta –x + y + 3 = 0

A ( 1, -2 ) Calculamos la pendiente u ( - B, A ) u = ( -1, -1 )

Ecuación de la recta en forma punto pendiente que pasa por A y tiene pendiente(m) = 1

Y – y1 = m ( x – x1 ) y +2 = 1 ( x + 1 )

15.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( -2, 1/3 ) y tiene la misma

pendiente que la recta que pasa por los puntos P ( 2, 1 ) y Q ( 3, 4 ).

Lo primero que haremos será calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q para

calcular la pendiente que tiene la recta.

A continuación usaremos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto pendiente.

P ( 2, 1 ) Q ( 3, 4 )

x1, y1 x2, y2

hacemos operaciones

3( x-2) = 1 ( y-1) 3x -6 = y -1 Ordenando: 3x –y – 5 = 0

Ahora comprobamos, que se cumplan las condiciones puestas en el enunciado:

a).- Calculo de la pendiente: u = ( -B,A ) u = (1,3)

- De otra forma:

m = coeficiente de x m = 3

Por tanto la ecuación de la recta que tiene de pendiente(m=3) y para por A ( 2, -1/3) es:

x1, y1

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16.- Calcular la pendiente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por los puntos

A( 3, 1 ) y B ( 2, 4 )

A ( 3, 1 ) B ( 2, 4 )

x1, y1 x2,y2

Hacemos operaciones: 3 ( x -3 ) = -1 ( y – 1 ) 3x -9 = -y + 1

Ax + By + C = 0

Ordenando y transponiendo términos, obtenemos: 3x + y – 10 = 0


y = 10 – 3 x


pendiente

La ordenada en el origen será:

La pendiente será el coeficiente de la x en la ecuación en forma explicita, es decir:

17.- Calcular las ecuaciones de los lados y de las diagonales del cuadrilátero de vértices A (3,1)

B ( 1, 7 ) C ( -1, 5 ) y D ( -1, -3 )

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a) Ecuación del lado AB: recta del lado BA

r ( A, B )

B ( 1, 7 ) A ( 3, 1 )

x1,y1 x2,y2

-6 ( x -1 ) = 2 ( y – 7 ) -6x + 6 = 2y -14 r ( A,B ) -6x – 2y + 20 = 0

b) Ecuación del lado CB: recta del lado BC

r ( C, B )

C ( -1, 5 ) B ( 1, 7 )

x1,y1 x2,y2

2( x+1) = 2 ( y – 5 ) Simplificando por 2 : x+1 = y –

5 r (B,C ) x – y + 6 = 0

c) Ecuación del lado DC: recta del lado CD

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r ( D, C )

D ( -1, -3 ) C ( -1, 5 )

x1,y1 x2,y2

8x + 8 = 0 x = - 1 r ( C, D ) x = - 1 paralela al eje OY.

d) Ecuación del lado DA: recta del lado AD

r ( D, A )

A ( 3, 1 ) D ( -1, -3 )

x1,y1 x2,y2

- 4 ( x -3 ) = - 4 ( y -1 ) Simplificamos por 4 y nos queda x-3 = y - 1

Ecuación del lado AD r ( A, D ) x – y – 2 = 0

Ahora vamos a calcular las ecuaciones de las diagonales del cuadrilátero:

1º) Ecuación de la diagonal BD. Recta que pasa por los puntos B y D

r ( B, D )

B ( 1, 7 ) D ( -1, -3 )

x1,y1 x2,y2

-10 ( x-1) = - 2 ( y – 7 ) Simplificamos por 2 y multiplicamos ambos miembros por -1:

5 ( x -1 ) = y – y 5x – 5 = y – 7 5x – y + 2 = 0

Ecuación diagonal BD, r ( B , D ) 5x – y + 2 = 0

2º.-Ecuación de la diagonal AC. Recta que pasa por los puntos A y C.

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r ( A, C )

A ( 3, 1 ) C ( -1, 5 )

x1,y1 x2,y2

4 ( x – 3 ) = - 4 ( y – 1 ) Simplificamos por 4 : x -3 = - y + 1 x + y – 4 = 0

Ecuación de la diagonal AC, r ( A, C ) x + y – 4 = 0

18.- Calcular las ecuaciones de los lados y de las medianas de un triángulo de vértices A (3,1 )

B( 0, 2 ) y C ( 1, -2) .

* Las medianas son los segmentos que unen los puntos medios de un lado de un triángulo con los

vértices opuestos a los mismos.

1º Vamos a calcular las ecuaciones de los lados del triángulo:

a) Ecuación del lado AB. Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B

r ( A, B )

B ( 0, 2 ) A ( 3, 1 )

x1,y1 x2,y2

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-1( x-0) = 3 ( y -2 ) - x = 3y – 6 -x – 3y + 6 = 0

Ecuación de la recta del lado AB r ( A, B ) - x – 3y + 6 = 0

b) Ecuación del lado BC. Ecuación de la recta que pasa por los puntos B y C.

r ( B, C )

B ( 0, 2 ) C ( 1, -2 )

x1,y1 x2,y2

- 4 ( x – 0 ) = 1 ( y – 2 ) - 4x = 1 ( y – 2 ) - 4x = y – 2 -4x – y + 2 = 0

Ecuación de la recta del lado BC r ( B, C ) -4x – y + 2 = 0

c) Ecuación del lado AC. Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y C.

r (A, C )

A ( 3, 1 ) C ( 1, -2 )

x1,y1 x2,y2

- 3 ( x – 3 ) = - 2 ( y -1 ) -3x + 9 = - 2y + 2 - 3x + 2y + 7 = 0

Ecuación de la recta del lado AC r ( A, C ) -3x + 2y + 7 = 0

2º.- Vamos a calcular las medianas del triángulo. Para ello necesitamos calcular los puntos medios

de cada lado.

B ( 0, 2 ) C ( 1, -2 )

x1,y1 x2,y2

31

A ( 3, 1 ) C ( 1, -2 )

x1,y1 x2,y2

A ( 3, 1 ) B ( 0, 2 )

x1,y1 x2,y2

a) Ecuación de la mediana que pasa por el vértice A (3,1 ) y determina en el lado opuesto las

coordenadas xa (1/2, 0).

2 ( -x+3) = -5y + 5 -2x + 6 = - 5y + 5 - 2x + 5y + 1 = 0

Ecuación de la mediana Xa r ( ½, 0 ) - 2x + 5y + 1 = 0

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b) Ecuación de la mediana que pasa por el vértice B (0,2 ) y determina en el lado opuesto las

coordenadas xb (2, -1/2).

Ecuación de la mediana Xb r ( 2,-½ ) - 5x – 4y + 8 = 0

c) Ecuación de la mediana que pasa por el vértice C ( 1, - 2 ) y determina en el lado opuesto las

coordenadas xc (3/2, 3/2)

Simplificamos por 2, con lo cual suprimimos los denominadores de ambas fracciones:

7x – 7 = y +2 7x - y - 9 = 0

Ecuación de la mediana Xc r ( 3/2,-3/2) 7x - y -9 = 0

19.- Calcular la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes de coordenadas

son A ( -5, 0 ) y B ( 0, 3 )

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20.- Calcular dos determinaciones lineales distintas de la reta de ecuación 3x + 2y + 6 = 0

u = ( -B, A ) u ( -2, 3 ) x y

u’ ( -4, 6 ) 4 -9

u’’ ( -8, 12 ) 6 -12

A ( 4, -9 ) u´ = ( -4, 6 )

6 ( x – 4 ) = - 4 ( y + 9 ) 6x -24 = -4y - 36 6x + 4y + 12 = 0

B ( 6, -12 ) u´´ = ( -8, 12 )

multiplicamos por 2

12 ( x -6 ) = - 8 ( y + 12 ) 12x – 72 = - 8y – 96 12 x + 8y + 24 = 0

21.- Sea el cuadrilátero de vértices A (2,1) B ( 4, 3 ) C ( 3, 7 ) y D ( -1, 2 ). Calcular las

ecuaciones de los lados.

1º.- Calculamos la ecuación del lado AB. Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B

A ( 2,1 ) B ( 4, 3 )

x1,y1 x2,y2

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2 ( x -2 ) = 2 ( y 1 ) 2x – 4 = 2y -2 2x – 2y – 2 = 0 x – y -1 = 0

2º.-Ecuación del lado BC. Ecuación de la recta que pasa por los puntos B y C

B ( 4,3 ) C ( 3, 7 )

x1,y1 x2,y2

4 ( x – 4 ) = - 1 ( y – 3 ) 4x – 16 = - y + 3 4x + y – 19 = 0

3º.- Ecuación del lado CD. Ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D

C ( 3,7 ) D (-1 , 2 )

x1,y1 x2, y2

- 5 ( x-3) = - 4 ( y – 7 ) -5x + 15 = - 4y + 28 -5x + 4y – 13 = 0

4º.- Ecuación del lado DA. Ecuación de la recta que pasa por los puntos D y A

D ( -1,2 ) A ( 2, 1 )

x1,y1 x2,y2

-(x+1) = 3 ( y-2) -x – 1 = 3y – 6 -x – 3y + 5 = 0

35

22.- Calcula las ecuaciones de las diagonales del cuadrilátero de vértices A( 2,1) B (4,3) C (3,7 )

y D ( -1,2)

1º.-Ecuación de la diagonal AC. Segmento que une el punto A con el punto C. Ecuación de la

recta que pasa por estos puntos.

A ( 2,1 ) C ( 3, 7 )

x1,y1 x2,y2

6 ( x -2 ) = y – 1 6x – 12 = y - 1 6x – y - 11 = 0

2º.-Ecuación de la diagonal BD. Segmento que une el punto B con el punto D. Ecuación de la

recta que pasa por estos puntos.

B ( 4,3 ) D ( -1, 2 )

x1,y1 x2,y2

- ( x – 4 ) = - 5 ( y – 3 - x + 4 = - 5y + 15 -x+ 5y -11 = 0

36

23.-Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,1) y forma un ángulo de 120º con

la parte positiva del eje x.

Ecuación de la recta de forma punto pendiente:

m = tg α A (2,1 ) m =

x1,y1

La ecuación pedida es: y -1 = ( x -2)

24.-Dada la recta 5x -3y + 7 = 0 calcula la longitud de los segmentos que determina sobre los

ejes.

25.-¿ Cuánto tiene que valer el parámetro h para que el punto ( h, 3 ) pertenezca a la recta de

ecuación 2x + 3y – 7 = 0

A ( h, 3 ) Vamos a sustituir y por su valor: y = 3

2h + 3. 3 – 7 = 0 2h + 9 – 7 = 0 2h + 2 = 0 h = - 1

El punto pedido A ( -1, 3 )

Matematicas Resueltos (Soluciones) La Recta en El Plano Nivel I 1º Bachillerato

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