Matematicas Resueltos (Soluciones) Límites de Funciones y Continuidad 1º Bachillerato Opción A

8/8/2019 Matematicas Resueltos (Soluciones) Lmites de Funciones y Continuidad 1 Bachillerato Opcin A

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Aproximaciones sucesivas Comprueba que:

f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999);

A la vista de los resultados anteriores, te parece razonable afirmar que,cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x ) se aproxima a 7? Lo expresamosas: f (x ) = 7

Si f ( x ) = , entonces:

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995

f ( x ) = 7

Calcula, anlogamente, .

f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995

f ( x ) = 6

1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o ms puntos donde no es conti-nua. Indica cules son esos puntos y qu tipo de discontinuidad presenta:

a) y = b) y = c) y = d) y =

a) Rama infinita en x = 3 (asntota vertical).

b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).

c) Rama infinita en x = 0 (asntota vertical).

d) Salto en x = 4.

3 si x ? 41 si x = 4

x 2 3x

x 2 3 x x

x + 2x 3

lm x 8 3

x 2 + 6x 272x 6

lm x 8 3

lm x 8 5

x 2 + 4 x 452 x 10

lm x 8 5

1


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2. Explica por qu son continuas las siguientes funciones y determina el interva-lo en el que estn definidas:

a) y = x 2 5 b) y =

c) y = d) y =

a) Est definida y es continua en todo .

b) Est definida y es continua en ( @, 5].

Las funciones dadas mediante una expresin analtica sencilla (las que conocemos)son continuas donde estn definidas.

c) Est definida en todo . Es continua, tambin, en todo . El nico punto enque se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:

3 3 4 = 9 4 = 5 3 + 2 = 5Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La funcin es tambin conti-nua en x = 3.

d) Tambin las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la funcin es con-tinua en el intervalo en el que est definida: [0, 5).

1. Calcula el valor de los siguientes lmites:

a) b) ( cos x 1)

a) b) 0

2. Calcula estos lmites:a) b) log 10 x

a) b) 1

3. Calcula k para que la funcin y = f (x ) sea continua en :

f (x ) =

( x 3 2 x + k ) = 21 + k 21 + k = 7 8 k = 14

f (3) = 7

lm x 8 3

x 3 2 x + k , x ? 37, x = 3

3

lm x 8 0,1

x 2 3 x + 5lm x 8 2

32

lm x 8 03

x 2lm x 8 0

x , 0 x < 22, 2 x < 5

3x 4, x < 3x + 2, x 3

5 x

2


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4. Calcula los lmites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.Donde convenga, especifica el valor del lmite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa grficamente los resultados:

a) f (x ) = en 2, 0 y 2 b) f (x ) = en 2, 0 y 3

c) f (x ) = en 1 y 3 d) f (x ) = en 0 y 3

a) f ( x ) =

f ( x ) = @

f ( x ) = +@

f ( x ) = 0

f ( x ) = @

f ( x ) = +@

b) f ( x ) =

f ( x ) = @

f ( x ) = 3

f ( x ) = 0

c) f ( x ) =

f ( x ) = 0

f ( x ) = +@

f ( x ) = @lm x 8 3+

lm x 8 3

lm x 8 1

( x 1)2( x 1) ( x + 3)

lm x 8 3

lm x 8 0

lm x 8 2

4 ( x 3)( x 2)2

lm x 8 2+

lm x 8 2

lm x 8 0

lm x 8 2+

lm x 8 2

x 3

( x + 2) ( x 2)

x 4

x 3 + 3x 2x 2 2 x + 1x 2 + 2x 3

4x 12(x 2) 2

x 3

x 2 4

No existe f ( x ).lm x 8 2



2 2 3

3

2 3

3 1

3


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d) f ( x ) =

f ( x ) = 0

f ( x ) = @

f ( x ) = +@

1. Di el lmite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones dadas por sus grfi-cas:

f 1( x ) = @ f 2( x ) = 3

f 3( x ) = +@ f 4( x ) no existe.

1. Di el valor del lmite cuando x 8 +@ de las siguientes funciones:a) f (x ) = x 2 + 3x + 5 b) f (x ) = 5 x 3 + 7x

c) f (x ) = x 3 x 4 d) f (x ) =

e) f (x ) = f ) f (x ) =

a) @ b) +@ c) @

d) 0 e) 0 f ) @

x 3 1 5

1x 2

13x

lm x 8 +@

lm x 8 +@

lm x 8 +@

lm x 8 +@

y = f 3( x ) y = f 4( x )

y = f 1( x )

y = f 2( x )

lm x 8 3+

lm x 8 3

lm x 8 0

x 4

x 2 ( x + 3)


3

4


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2. Calcula f (x ) y representa sus ramas:

a) f (x ) = b) f (x ) =

c) f (x ) = d) f (x ) = 3 x 5

3. Calcula f (x ) y representa sus ramas:

a) f (x ) = b) f (x ) =

c) f (x ) = d) f (x ) =

1. Halla las asntotas verticales y sita la curva respecto a ellas:

a) y =

b) y = x 2 + 3x x + 1

x 2 + 3x + 11x + 1

a) @ b) 0

c) +@ d ) 1

1

1 x 31 + x 3

x 3x 2 3

x 2 3x 3

x 3 1 5

lm x 8 +@

a) 0

c) 0

b) 0

d) +

1x 2

3x

13x

lm x 8 +@

5


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a) f ( x ) = @

f ( x ) = +@

b) f ( x ) = +@

f ( x ) = @

2. Halla las asntotas verticales y sita la curva respecto a ellas:

a) y =

b) y =

a) f ( x ) = +@

f ( x ) = @

f ( x ) = @

f ( x ) = +@

b) f ( x ) = +@

f ( x ) = +@

3. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sita la curva respectoa su asntota:

a) y =

b) y = x 3

1 + x 2

x 1 + x 2

lm x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 2+

lm x 8 2

lm x 8 0+

lm x 8 0

x 2 + 2x 2 2 x + 1

x 2

+ 2x 2 2 x

lm x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 1+

lm x 8 1

x = 1 es asntota vertical.


1

1




2

1

6


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a) f ( x ) = 0 8 y = 0 es asntota horizontal.

b) y = x + 8 y = x es asntota oblicua.

4. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sita la curva respecto a susasntotas, si las hay:

a) y =

b) y =


b) grado de P grado de Q 2

f ( x ) = +@ 8 rama parablica hacia arriba.

1. Halla f (x ) y representa la rama correspondiente:

f (x ) = 2 x 3 + 7x 4 3

f ( x ) = 7 x 4 = +@lm x 8 @

lm x 8 @

lm x 8 @

1

lm x 8 +@

lm x 8 +@

2x 3 3 x 2 + 7x

x 2 + 2x 2 2 x

x 1 + x 2

lm x 8 +@

1

1

7


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2. Halla f (x ) y traza las ramas correspondientes:

a) f (x ) = ( x 2 + 3)/( x 3)

b) f (x ) = x 3/( x 2 + 3)

a) f ( x ) = = = 0

b) f ( x ) = = x = +@

3. Halla las ramas infinitas, x 8 @, de estas funciones, y sita la curva respec-to a las asntotas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =


b) f ( x ) = 0 8 y = 0 es asntota horizontal.

c) f ( x ) = 1 8 y = 1 es asntota horizontal.

d) y = x + 8 y = x es asntota oblicua.

1

1

1 x

1 + x 2

lm x 8 @

lm x 8 @

lm x 8 @

x 3

1 + x 2x 2

1 + x 2

x 1 + x 2

1x 2 + 1

lm x 8 @

x 3

x 2lm

x 8 @lm

x 8 @

1 x lm x 8 @

x 2

x 3lm

x 8 @lm

x 8 @

lm x 8 @

8


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4. Halla las ramas infinitas, cuando x 8 @, y si tienen asntotas, sita la curva respecto a ellas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) grado P grado Q 2

f ( x ) = +@ 8 rama parablica.

b) f ( x ) = 1 8 y = 1 es asntota horizontal.

c) y = x + 2 + 8 y = x + 2 es asntota oblicua.

d) f ( x ) = (2 x 2 3 x ) = +@

2

2

1

lm x 8 @

lm x 8 @

2 x + 1

lm x 8 @

lm x 8 @

2x 3 3 x 2x

x 2 + 3x x + 1

x 2 + 2x 2 2 x

x 4

x 2 + 1

9


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Discontinuidades y continuidad1 a) Cul de las siguientes grficas corresponde a una funcin continua?

b) Seala, en cada una de las otras cinco, la razn de su discontinuidad.

a) Solo la a).

b) b) Rama infinita en x = 1 (asntota vertical).c) Rama infinita en x = 0 (asntota vertical).

d) Salto en x = 2.

e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; f ( x ) = 2.

f ) No est definida en x = 2.

2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:

a) y = x 2

+ x 6 b) y =

c) y = d) y =

e) y = f ) y =

a) Continua. b) 2

c) d) Continua.

e) 0 y 5 f ) Continua.

12

1x 2 + 2

25x x 2

1x 2 + 2x + 3

x 12x + 1

x (x 2) 2

lm x 8 1

a) b) c)

d) e) f)

2

2

2 2

2

2

4

2 2

2

2 2 2

22

2

4

4 2 2

2

4

4 2

10


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3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = 2:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) No es continua ni en x = 0 ni en x = 2.

b) S es continua en x = 0, no en x = 2.

c) No es continua en x = 0, s en x = 2.

d) Continua en x = 0 y en x = 2.

4 Indica para qu valores de son continuas las siguientes funciones:

a) y = 5 b) y =

c) y = d) y =

e) y = f) y = x 2 x

a) b) [3, +@) c) {0}

d) ( @, 0] e) @, f)

5 Comprueba que las grficas de estas funciones corresponden a la expresin analtica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1.

a) f (x ) =

b) f (x ) =

c) f (x ) =

a) Continua.

b) Discontinua.

c) Discontinua.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x 2 si x 1 1 si x = 1

x + 2 si x < 13 si x > 1

1 x 2 si x 1x 1 si x > 1

]52(

5 2 x

3x 1x

x 3x 2

7 2 x x 2 4

x x 2 4

1x

11


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6 Comprueba si la funcin f (x ) = es continua en x = 0.

Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que:

f (x ) = f (0 )

f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = 1 = f (0)

Es continua en x = 0.

7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que seindican:

a) f (x ) = en x = 1

b ) f (x ) = en x = 2

c) f (x ) = en x = 1

a) No, pues no existe f (1).

b) f ( x ) = f ( x ) = f (2) = 2. S es continua en x = 2.

c) f ( x ) = 3 ? f ( x ) = 4. No es continua en x = 1.

Visin grfica del lmite8

Estas son, respectivamente, las grficas de las funciones:

f 1 (x ) = y f 2 (x ) =

Cul es el lmite de cada una de estas funciones cuando x 8 2? Observa la funcin cuando x 8 2 por la izquierda y por la derecha.

1x + 2

1(x + 2) 2

f 1( x )

2

f 2( x )

2

lm x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 2+

lm x 8 2

3x si x 1x + 3 si x > 1

2 x 2 si x < 2(x /2) 3 si x 2

(3 x )/2 si x < 12x + 4 si x > 1

lm x 8 0

lm x 8 0+

lm x 8 0

lm x 8 0

x 2 1 si x < 0x 1 si x 0

12


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f 1( x ) = +@

f 1( x ) = +@

f 2( x ) = +@

f 2( x ) = @

9 Sobre la grfica de la funcin f (x ), halla:

a) f (x ) b) f (x ) c) f (x ) d) f (x )

e) f (x ) f ) f (x ) g) f (x ) h) f (x )

a) +@ b) @ c) 2 d) 0

e) 0 f ) 3 g) +@ h) 0

Lmite en un punto10 Calcula los siguientes lmites:

a) 5 b) ( x 3 x )

c) d) 2 x

e) f) log 2 x

g) h) e x

a) 5 b) 0 c) 2 d)

e) 2 f ) 2 g) 0 h) e 2

2

lm x 8 2

3x 2lm x 8 0

lm x 8 4

10 + x x 2lm x 8 2

lm x 8 0,5

1 x x 2

lm x 8 3

lm x 8 1)x 2(lm x 8 0

3 2

lm x 8 2

lm x 8 +@

lm x 8 2+

lm x 8 2

lm x 8 @

lm x 8 0

lm x 8 3+

lm x 8 3

lm x 8 2+

lm x 8 2

lm x 8 2+

lm x 8 2

f 1( x ) = +@lm x 8 2

No existe f 2( x ).lm x 8 2

13


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11 Dada la funcin f (x ) = , halla:

a) f (x ) b) f (x ) c) f (x )

Para que exista lmite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los lmiteslaterales.

a) 5

b) 4

c) f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = 1

12 Calcula los siguientes lmites:

a) b)

c) d)

Saca factor comn y simplifica cada fraccin.

a) = = 2

b) = 2 x + 3 = 3

c) = h (3h 2) = 0

d) = =

13 Resuelve los siguientes lmites:

a) b)

c) d)

e) f )

a) = 2

b) = = = 33 1( x + 1) ( x 2 x + 1)

x ( x + 1)lm x 8 1 x 3 + 1 x 2 + x

lm x 8 1

( x + 1) ( x 1)( x 1)lm x 8 1

x 4 1x 2 1

lm x 8 1

x + 3x 2 + 4x + 3

lm x 8 3

x 2 x 2x 2

lm x 8 2

x + 2x 2 4

lm x 8 2

x 3 + 1x 2 + x

lm x 8 1

x 2 1x 1

lm x 8 1

74

h 74lmh 8 0

h (h 7)4hlmh 8 0

lmh 8 0

h2(3h 2)h

lmh 8 0

lm x 8 0

x (2 x + 3) x

lm x 8 0

4 x 2lm x 8 0

4 x x ( x 2)lm x 8 0

h 2 7 h4h

lm h 8 0

3h 3 2 h 2h

lm h 8 0

2x 2 + 3x x

lm x 8 0

4x x 2 2 x

lm x 8 0

lm x 8 0

lm x 8 0+

lm x 8 0

lm x 8 0

lm x 8 3

lm x 8 2

x 2 + 1 si x < 0x + 1 si x 0

14


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16/35

17 Comprueba, dando valores grandes a x , que las siguientes funciones tienden a 0 cuando x 8 +@.

a) f (x ) = b) f (x ) =

c) f (x ) = d) f (x ) =

a) f (100) = 0,0001 b)f (100) = 0,003

f ( x ) = 0 f ( x ) = 0

c) f (10 000) = 0,07 d)f (100) = 0,000002

f ( x ) = 0 f ( x ) = 0

18 Calcula el lmite cuando x 8 +@ y cuando x 8 @ de cada una de las si-guientes funciones. Representa los resultados que obtengas.

a) f (x ) = x 3 10 x

b) f (x ) =

c) f (x ) =

d) f (x ) =

Cuando x 8 +@:

a) f ( x ) = +@ b) f ( x ) = +@

c) f ( x ) = @ d) f ( x ) = @

Cuando x 8 @:

a) f ( x ) = @ b) f ( x ) = +@

c) f ( x ) = +@ d) f ( x ) = @lm x 8 @

lm x 8 @

lm x 8 @

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 +@

lm x 8 +@

lm x 8 +@

x 2 2 x 3

3 x 2

x 2 4

lm x 8 +@lm x 8 +@

lm x 8 +@

lm x 8 +@

210 x 2 x 3

7x

100

3x 2

1

x 2 10

16


17/35

19 Calcula los siguientes lmites y representa las ramas que obtengas:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

20 Calcula el lmite de todas las funciones del ejercicio anterior cuandox 8 @.

Resolucin de los ejercicios 19 y 20:

a) = 0; = 0

b) = + @; = @

c) = 0; = 0

d) = 0; = 0

e) = 2; = 22 x 1 x + 2lm x 8 @

2 x 1 x + 2lm x 8 +@

1(2 x )3

lm x 8 @

1(2 x )3

lm x 8 +@

1 x 2 1

lm x 8 @

1 x 2 1

lm x 8 +@

2 x 23 x lm x 8 @

2 x 23 x lm x 8 +@

3( x 1)2

lm x 8 @

3( x 1)2

lm x 8 +@

3 2 x 5 2 x

lm x 8 +@

2 3 x x + 3

lm x 8 +@

x 2 + 51 x

lm x 8 +@

2x 1x + 2

lm x 8 +@

1(2 x )3

lm x 8 +@

1x 2 1

lm x 8 +@

2x 23 x lm x 8 +@

3(x 1) 2lm x 8 +@

2

Y

X 4 2

2

4

4

24

2

Y

X 4 2

2

4

4

24

2

Y

X 4 2

2

4

4

24

17


18/35

f) = @; = +@

g) = 3; = 3

h) = 1; = 1

21 Resuelve los siguientes lmites:

a) b) 1 ( x 2) 2

c) d)

a) 3 b) @ c) 0 d) + @

22 Calcula el lmite cuando x 8 +@ y cuando x 8 @ de las siguientes fun-ciones y representa las ramas que obtengas:

a) f (x ) = b) f (x ) = 10 x x 3

c) f (x ) = d) f (x ) =

a) f ( x ) = 0; f ( x ) = 0

b) f ( x ) = @; f ( x ) = +@

c) f ( x ) = +@; f ( x ) = @

d) f ( x ) = 4; f ( x ) = 4lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 @lm x 8 +@

1 12 x 2

3x 2x 2

x 1

1x 2

x 3 + 15x

lm x 8 @

1 x (2 x + 1) 2

lm x 8 +@

lm x 8 @

3x 2

(x 1) 2lm

x 8 +@

3 2 x 5 2 x lm x 8 @

3 2 x 5 2 x lm x 8 +@

2 3 x x + 3lm x 8 @

2 3 x x + 3lm x 8 +@

x 2 + 51 x lm x 8 @

x 2 + 51 x lm x 8 +@

2

Y

X 4 2

2

4

4

24

2

Y

X 4 2

2

4

4

24

4

18


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Asntotas23 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto a cada

una de ellas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) Asntotas: b) Asntotas:

x = 3; y = 2 x = 3; y = 1

c) Asntotas: d) Asntotas:

x = 4; y = 2 x = 1; y = 0

24 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto a ellas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) Asntota: y = 1 b) Asntota: y = 0

Y

X

Y

X

1

x 4

x 12x 2 1

x 2

3x 2 + 1

x 2

x 2 + 4

Y

X 1

Y

X

2

4

Y

X

1

3

Y

X 3

2

21 x

2x + 34 x

x 1x + 3

2x x 3

19


20/35

c) Asntotas: x = 0; y = 2 d) Asntota: x = 1

25 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto a ellas:

a) f (x ) = b) f (x ) = c) f (x ) =

d) f (x ) = e) f (x ) = f) f (x ) =

a) Asntota vertical: x =

Asntota horizontal: y = 2

b) Asntota vertical: x =

Asntota horizontal: y =

c) Asntota vertical: x = 2 Asntota horizontal: y = 0

d) Asntota vertical: y = 0

No tiene ms asntotas.

2

2

2

2

332

52

32

1(x + 2) 2

3x x 2 1

1x 2 + 9

12 x

3x 2x 5

4x + 12x 3

Y

X 1

Y

X

2

20


21/35

e) Asntota vertical: x = 1, x = 1


f ) Asntota vertical: x = 2


26 Cada una de las siguientes funciones tiene una asntota oblicua. Hllala y es-tudia la posicin de la curva respecto a ella:

a) f (x ) = b) f (x ) = c) f (x ) =

d) f (x ) = e) f (x ) = f) f (x ) =

a) = 3 x 3 +

Asntota oblicua: y = 3 x 3

b) = x + 1 +

Asntota oblicua: y = x + 1

c) = 2 x

Asntota oblicua: y = 2 x

d) = x + 4 +

Asntota oblicua: y = x + 4

1

3

11

1

1

4

4

10 x 3

x 2 + x 2 x 3

32 x

4 x 2 32 x

3 x

3 + x x 2 x

3 x + 1

3 x 2 x + 1

2x 2 + 32x 2

2x 3 3x 2 2

x 2 + x 2x 3

4x 2 32x

3 + x x 2x

3x 2x + 1

1 1

2

21


22/35

e) = 2 x +

Asntota oblicua: y = 2 x

f ) = x 1 +

Asntota oblicua: y = x 1

27 Calcula los lmites de las siguientes funciones en los puntos que anulan sudenominador:

a) f (x ) = b) f (x ) =

c) f (x ) = d) f (t ) =

a) f ( x ) = +@; f ( x ) = @

b) f ( x ) =

f ( x ) = @; f ( x ) = +@; f ( x ) = @; f ( x ) = +@

c) f ( x ) =

f ( x ) = = ; f ( x ) = +@; f ( x ) = @

d) f (t ) = ; f (t ) = 2

28 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto a cada una de ellas:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f) y = 3x 2

x 2 + 2x 2

x 2 4x 2

x 2 + x + 1

x + 2x 2 1

5x 22x 7

3 x 2x + 1

lmt 8 0

t 2(t 2)t 2

lm x 8 2+

lm x 8 2

12

24lm x 8 2

x ( x 2)( x 2) ( x + 2)

lm x 8 2+

lm x 8 2

lm x 8 0+

lm x 8 0

x 1 x ( x 2)

lm x 8 2+

lm x 8 2

t 3 2 t 2

t 2x 2 2 x x 2 4

x 1x 2 2 x

3x 2x + 4

11

1

1

12 x 2

2 x 2 + 32 x 2

4 x 3 x 2 2

2 x 3 3 x 2 2

22


23/35

a) Asntotas: x = ; y =

b) Asntotas: y = ; x =

c) Asntotas: y = 0; x = 1

d) Asntota: y = 1

e) Asntotas: y = 1; x = 2, x = 2

f ) Asntotas: x = 2; y = 3 x 6

72

52

12

12

1/2

1/2

7/2

1

1

1

2 2

2 2

1

5/2

23


24/35

29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asntotas, sita la curva:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f) y =

a) f ( x ) = +@; f ( x ) = +@

Asntota vertical: x = 0

b) Asntota vertical: x = 1 Asntota horizontal: y = 1

c) Asntotas verticales: x = 3, x = 3


d) Asntota horizontal: y =

e) Asntota vertical: x = 3

Asntota oblicua: y = 2 x 6

f ) f ( x ) = +@; f ( x ) = +@


lm x 8 @

lm x 8 +@

12

lm x 8 @

lm x 8 +@

x 3

2x 52x 2

x + 3x 2 1

2x 2 + 1

1

9 x 2

(x + 3) 2(x + 1) 2

x 4 1

x 2

3 3

1

1 2

5 2

1

3 3 6

24


25/35

30 Prueba que la funcin f (x ) = solo tiene una asntota vertical y otra

horizontal.

Al hallar f (x ) vers que no es @.

f ( x ) = 2; f ( x ) = @; f ( x ) = +@; f ( x ) = 1



31Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:a)

b)

a) = =

b) = =

Calculamos los lmites laterales:

= +@; = @

32 Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:

a)

b)

c)

d) 2x 2 8

x 2 4 x + 4lm

x 8 2

x 4 1x 1

lm x 8 1

x 3 + x 2

x 2 + 2x + 1lm

x 8 1

x 2 2 x x 3 + x 2

lm x 8 0

x 2 x 1lm x 8 1+

x 2 x 1lm x 8 1

x 2 x 1lm x 8 1

( x 2) ( x 1)( x 1)2lm x 8 1

x 2 3 x + 2 x 2 2 x + 1

lm x 8 1

53

( x 3) ( x + 2) x ( x 3)lm x 8 3

x 2 x 6 x 2 3 x

lm x 8 3

x 2 3 x + 2x 2 2 x + 1

lm x 8 1

x 2 x 6x 2 3 x

lm x 8 3

lm x 8 @

lm x 8 0+

lm x 8 0

lm x 8 2

lm x 8 2

x 2 4

x 2 2 x

1

1 2 3123

25


26/35

a) = =


= +@; = @

b) = =


= @; = +@

c) = = 4

d) = =


= @; = +@

33 Halla las asntotas de estas funciones:

a) y = b) y = x 2 +

c) y = d) y =

e) y = x + f ) y = x + 1 +

a) y = x + b) Asntota vertical: x = 0

Asntotas verticales: x = 1, x = 1

Asntota oblicua: y = x

c) Asntota horizontal: y = 2 d) Asntota horizontal: y = 0

Asntotas verticales: x = 1

e) Asntota vertical: x = 5 f ) Asntota vertical: x = 0

Asntota oblicua: y = x Asntota oblicua: y = x + 1

x ( x 1) ( x + 1)

5x

4x 5

x 2 + 1(x 2 1) 2

2x 2 + 5x 2 4 x + 5

1x

x 3

x 2 1

2 ( x + 2) x 2lm x 8 2+

2 ( x + 2) x 2lm x 8 2

2 ( x + 2) x 2lm x 8 2

2 ( x 2) ( x + 2)( x 2)2lm x 8 2

2 x 2 8 x 2 4 x + 4

lm x 8 2

( x 1) ( x 3 + x 2 + x + 1) x 1lm x 8 1

x 4 1 x 1lm x 8 1

x 2

x + 1lm x 8 1+ x 2

x + 1lm x 8 1

x 2

x + 1lm x 8 1 x 2( x + 1)

( x + 1)2lm

x 8 1 x 3 + x 2

x 2 + 2 x + 1lm

x 8 1

x 2 x ( x + 1)lm x 8 0+

x 2 x ( x + 1)lm x 8 0

x 2 x ( x + 1)lm x 8 0

x ( x 2) x 2( x + 1)lm x 8 0

x 2 2 x x 3 + x 2

lm x 8 0

1

2

1

4

26


27/35

34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en algunode sus puntos:

a) f (x ) =

b) f (x ) =

c) f (x ) =

a) Discontinua en x = 3.

b) Funcin continua.

c) Discontinua en x = 2.

35 a) Calcula el lmite de las funciones del ejercicio anterior en x = 3 y x = 5.

b) Halla, en cada una de ellas, el lmite cuando x 8 +@ y cuando x 8 @.

a) f ( x ) = 7; f ( x ) = 0; f ( x ) = @; f ( x ) = @

b) f ( x ) = 1; f ( x ) = 26; f ( x ) = +@; f ( x ) = 1

c) f ( x ) = 7; f ( x ) = 5; f ( x ) = +@; f ( x ) = +@lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 5

lm x 8 3

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 5

lm x 8 3

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 5

lm x 8 3

2

1 12 3 4 5

2

4

Y

X

2 2 4 4 6 8

2

4

6

8

Y

X

21 2 3 4 5

2

4

Y

X 6

x 2 2 si x < 2x si x > 2

1 si x 0x 2 + 1 si x > 0

2x 1 si x < 3

5 x si x

3

27


28/35

36 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la funcin f (x ) sea continua en todo .

a) f (x ) = b) f (x ) =

c) f (x ) =

a) f ( x ) = 5 = f (3)

f ( x ) = 3 + k

b) f ( x ) = 5

f ( x ) = 4 + 2k = f (2)

c) f ( x ) = = 1 8 k = 1

37 Estudia la continuidad de estas funciones:

a) f (x ) =

b) f (x ) =

c) f (x ) =

a) f ( x ) = f ( x ) = f (1) = 1 8 Continua en x = 1.

x ? 1 8 Continua.

Es continua en

.b) f ( x ) = f ( x ) = f (1) = 0 8 Continua en x = 1.

f ( x ) = f ( x ) = f (1) = 0 8 Continua en x = 1.

x ? 1 y x ? 1 8 Continua.

Es continua en .

c) f ( x ) = 1 ? f ( x ) = 2 8 Discontinua en x = 0.

Si x ? 0, es continua.

lm x 8 0+

lm x 8 0

lm x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 1+

lm x 8 1

1 x 2 si x 02x + 1 si x > 0

x 1 si 1 x 1 x 2 si 1 < x < 1x 1 si x 1

2 x si x < 11/ x si x 1

x ( x + 1) x

lm x 8 0

lm x 8 0

lm x 8 2+

lm x 8 2

lm x 8 3+

lm x 8 3

(x 2 + x )/ x si x ? 0k si x = 0

6 ( x /2) si x < 2x 2 + kx si x 2

x 2 4 si x 3

x + k si x > 3

5 = 3 + k 8 k = 2

5 = 4 + 2k 8 k = 1/2

28


29/35

38 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1:

a) f (x ) = b) f (x ) =

a) f ( x ) = 2 = f (1)

f ( x ) = 4 a

b) f ( x ) = = 2

f (1) = a

39 En una empresa se hacen montajes en cadena. El nmero de montajes rea-lizados por un trabajador sin experiencia depende de los das de entrena-

miento segn la funcin M (t ) = ( t en das).

a) Cuntos montajes realiza el primer da? Y el dcimo?

b) Representa la funcin sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes.

c) Qu ocurrira con el nmero de montajes si el entrenamiento fuera mu-cho ms largo?

a) M (1) = 6 montajes el primer da.

M (10) = 21,43 8 21 montajes el dcimo da.

b)

c) Se aproxima a 30 (pues = 30).40 Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos, x . As:

g (x ) =

donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.

a) Representa g (x ) y di si es funcin continua.

b) Calcula el lmite de g (x ) cuando x 8 +@ y explica su significado.

0,6 x + 200 si 0 x 10001000 x /( x + 250)si x > 1000

30t t + 4lmt 8 +@

5

10

5 10

15

20

25

15 20 25 30D AS

MONTAJES

30 t t + 4

( x 1) ( x + 1)( x 1)lm x 8 1

lm x 8 1

lm x 8 1+

lm x 8 1

(x 2 1)/( x 1) si x ? 1a si x = 1

x + 1 si x 14 ax 2 si x > 1

2 = 4 a 8 a = 2

a = 2

29


30/35

a)

Es continua.

b) g ( x ) = 1000.

Como mximo gasta 1000 al mes.

41 Se puede calcular el lmite de una funcin en un punto en el que la funcin no est definida? Puede ser la funcin continua en ese punto?

S se puede calcular, pero no puede ser continua.

42 Puede tener una funcin ms de dos asntotas verticales? Y ms de dosasntotas horizontales? Pon ejemplos.

S. Por ejemplo, f ( x ) = tiene x = 0, x = 1 y x = 2 como asn-

totas verticales.

No puede tener ms de dos asntotas horizontales, una hacia + @ y otra hacia @,como en esta grfica:

43 El denominador de una funcin f (x ) se anula en x = a . Podemos asegu-rar que tiene una asntota vertical en x = a ? Pon ejemplos.

No. Por ejemplo, f ( x ) = en x = 0; puesto que:

f ( x ) = = 1 x (3 x + 1) x

lm x 8 0

lm x 8 0

3 x 2 + x x

1 x ( x 1)( x 2)

lm x 8 +@

200

400

1000

600

800

1000GASTOS ( )

INGRESOS ( )2000 3000 4000

30


31/35

44 Representa una funcin que cumpla estas condiciones:

f (x ) = + @, f (x ) = 2, f (x ) = 0

Es discontinua en algn punto?

S, es discontinua al menos en x = 3.

45 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:

a) y = 2 x + 3 b) y = 0,75 x

c) y = 2 + e x d) y = e x

a) f ( x ) = +@; f ( x ) = 0

Asntota horizontal cuando x 8 @: y = 0

b) f ( x ) = 0; f ( x ) = +@

Asntota horizontal cuando x 8 +@: y = 0

c) f ( x ) = +@; f ( x ) = 2


d) f ( x ) = 0; f ( x ) = +@


46 Puesto que ( x 2 3x ) = + @ halla un valor de x para el cual x 2 3x

sea mayor que 5000.

Por ejemplo, para x = 100, f ( x ) = 9 700.

47 Halla un valor de x para el cual f (x ) = sea menor que 0,001.

Por ejemplo, para x = 1000, f ( x ) = 0,00033.

13x 5

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 +@

3

2

lm x 8 +@

lm x 8 @

lm x 8 3

31


32/35

48 Cul es la asntota vertical de estas funciones logartmicas? Halla su lmitecuando x 8 +@:

a) y = log 2 (x 3) b) y = ln (x + 2)

a) Asntota vertical: x = 3 f ( x ) = +@

b) Asntota vertical: x = 2

f ( x ) = +@

AUTOEVALUACIN

1. Calcula los lmites de la funcin f (x ) = en x = 0, x = 3 y x = 5.

Explica si la funcin es continua en x = 3.

f ( x ) = (2 x 5) = 5

f ( x ) = (2 x 5) = 1

f ( x ) = ( x 2 x 7) = 1

No existe el lmite de f ( x ) cuando x tiende a 3.

f ( x ) = ( x 2 x 7) = 13

La funcin no es continua en x = 3, porque no existe el lmite de la funcin enese punto.

2. Halla los siguientes lmites:

a) 2 x 1 b) c)

a) 2 x 1 = 2 1 = b) = =

c) = +@

(Si x 8 4+ o si x 8 4 , los valores de la funcin son positivos.)

x ( x 4)2lm x 8 4

13

19

1 x + 4

lm x 8 5

12lm x 8 0

x (x 4) 2

lm x 8 4

1x + 4

lm x 8 5

lm x 8 0

lm x 8 5

lm x 8 5

lm x 8 3+

lm x 8 3+

lm x 8 3

lm x 8 3

lm x 8 0

lm x 8 0

2x 5, x 3x 2 x 7, x > 3

lm x 8 +@

lm x 8 +@

32


33/35

3.

Sobre la grfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes l-mites:

f (x ); f (x ); f (x ); f (x )

a) f ( x ) No tiene lmite en x = 3.

f ( x ) = 1

f ( x ) = 0

f ( x ) = +@

b) f ( x ) = 0

f ( x ) No tiene lmite en x = 2.

f ( x ) = @

f ( x ) = 3

4. Calcula el valor que debe tomar a para que la funcin f (x ) =sea continua en x = 1. Puede ser discontinua en otro punto?

Para que f ( x ) sea continua en x = 1, debe cumplir que: f ( x ) = f (1)

Veamos:

f ( x ) = (3 x 5) = 2

f ( x ) = (4 x a ) = 4 a

Como deben coincidir:

2 = 4 a 8 a = 6

lm x 8 1+

lm x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 1

lm x 8 1

3x 5, x < 14x a , x 1

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm f ( x ) = 3 x 8 2

lm f ( x ) = 1 x 8 2+lm

x 8 2

lm x 8 3

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 2

lm f ( x ) = +@ x 8 3

lm f ( x ) = @ x 8 3+

lm x 8 3

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 2

lm x 8 3

Y

X

a) Y

X

b)

33


34/35

Por tanto, f ( x ) =

No puede ser discontinua en ningn otro punto, por estar definida mediante funcio-nes polinmicas.

5. Justifica qu valor debe tomar a para que la funcin sea continua en :

f (x ) =

f ( x ) =

La funcin es continua para valores de x menores que 1 y mayores que 1, porqueambos tramos son rectas.

Para que sea continua en x = 1, debe cumplirse: f ( x ) = f (1)

f (1) = a 2

f ( x )

Para que exista el lmite, debe ser:

a 2 = 4 2a 8 3a = 6 8 a = 2

6. Halla las asntotas de la funcin y = y estudia la posicin de la curva respecto a ellas.

Asntota vertical:

f ( x ) = +@

f ( x ) = @

As, x = 4 es una asntota vertical.

Asntota horizontal:

f ( x ) = 2 8 y = 2

Si x 8 +@, f ( x ) < 0 8 la curva est por debajo dela asntota.

Si x 8 @, f ( x ) > 0 8 la curva est por encima dela asntota.

No tiene asntotas oblicuas.

X

Y

1

2

4

lm x 8 @

lm x 8 4+

lm x 8 4

2x + 14 x

lm f ( x ) = a 2 x 8 1

lm f ( x ) = 4 2a x 8 1+

lm x 8 1

lm x 8 1

ax 2 si x 14 x 2a si x > 1

ax 2 si x 14x 2 a si x > 1

3 x 5, si x < 14 x 6, si x 1

34


35/35

7. Representa una funcin que cumpla las siguientes condiciones: f (x ) = @ f (x ) = + @ f (x ) = 0 f (x ) = 2

8. Estudia las ramas infinitas de la funcin y = y representa la informacin

que obtengas.= +@

= +@

= +@

= @

9. Cul de las siguientes funciones tiene una asntota oblicua? Hllala y sita la curva respecto a ella:

a) y = b) y = c) y =

La nica que tiene asntota oblicua es la funcin b) y = .

x 3 + 2 x 2

x 3 x 2

y = = x +

La asntota es y = x . Como > 0, la curva est por encima de la asntota.2

x 2

2 x 2

x 3 + 2 x 2

x 3 + 2 x 2

x 2

(x 2) 2x 3 + 2

x 2x

x 2 + 1

x 3

x + 3lm x 8 3+

x 3

x + 3lm x 8 3

x 3

x + 3lm x 8 @

x 3

x + 3lm x 8 +@

x 3

x + 3

X

Y

2

2

lm x 8 @

lm x 8 +@

lm x 8 2+

lm x 8 2

X

Y

1 3

Matematicas Resueltos (Soluciones) Límites de Funciones y Continuidad 1º Bachillerato Opción A

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