Matemáticas y Ciencias versión 2.2 - Unamer34's Weblog · motivados en la medida que ven estas...

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Abierta

Vicerrectorado Académico Área de Educación – Mención Matemática

Matemáticas y Ciencias (Cod. 532)

Julio Mosquera

Caracas, 2008

Índice Introducción ........................................................................................... i

Módulo I ................................................................................................ 7

Unidad 1 ........................................................................................... 8

Lección 1 ..................................................................................... 9

Unidad 2 ........................................................................................... 28

Lección 2 ..................................................................................... 29

Unidad 3 ........................................................................................... 35

Lección 3 ..................................................................................... 36

Lección 4 ..................................................................................... 42

Módulo II ............................................................................................... 48

Unidad 4 ........................................................................................... 49

Lección 5 ..................................................................................... 50

Lección 6 ..................................................................................... 57

Unidad 5 ........................................................................................... 66

Lección 7 ..................................................................................... 67

Lección 8 ..................................................................................... 71

Unidad 6 ........................................................................................... 75

Lección 9 ..................................................................................... 76

Lección 10 ................................................................................... 83

Unidad 7 ........................................................................................... 84

Lección 11 ................................................................................... 85

Lección 12 ................................................................................... 88

Introducción El propósito de esta asignatura es estudiar aplicaciones de las matemáticas a otras disciplinas, así como los usos de estas aplicaciones en la enseñanza de la matemática. Es oportuno aclarar que éste no es un curso de aplicaciones de las matemáticas para matemáticos, se trata de un curso para futuros profesores de matemáticas. Por tanto, se le dará importancia a la discusión de asuntos pedagógicos en torno al uso de las matemáticas para resolver problemas reales en diversos campos.

Parte de la riqueza de las matemáticas se encuentra en el apoyo que le brinda a otras disciplinas para su desarrollo. Hay ciencias como las físicas que son impensables hoy en día sin las matemáticas, para las matemáticas son más que una mera herramienta. Por otro lado, hay situaciones en las cuales sólo es posible experimentar mediante el uso de las matemáticas. Tal es el caso del uso de las matemáticas en la investigación de problemas sobre la dinámica de las epidemias.

Consideramos que estudiar conceptos y procedimientos matemáticos en contextos reales podría contribuir a que los estudiantes le den un significado diferente al que promueve la clase tradicional de matemáticas. En especial tenemos en mente al estudiante de III Etapa de Educación Básica y el de Media Diversificada y Profesional, por ser estos los niveles donde laborará el egresado de nuestro programa de Licenciatura en Educación mención Matemática. Las aplicaciones pueden ser un medio para estimular la creatividad de los futuros docentes, de tal manera que puedan darle un enfoque innovador a sus clases de matemáticas. Así mismo es importante estudiar los problemas de enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas asociados al uso de aplicaciones de la matemática.

El perfil del egresado de la Carrera de Educación Mención Matemática se conforma a partir de habilidades, actitudes y conocimientos que aluden a la acción docente en general. Esta unidad curricular permitirá, a los futuros egresados, el desarrollo de los siguientes rasgos del conocer, del hacer y del ser: Establecer interrelaciones significativas entre las diferentes ramas de las matemáticas y otros ámbitos del saber humano.

El contenido del curso está organizado en dos módulos, siete unidades y doce lecciones como se indica a continuación. Se estima que cada lección se realiza en una semana.

Unidad 1 Lección 1 Unidad 2 Lección 2

Lección 3

Módulo I

Unidad 3 Lección 4 Lección 5 Unidad 4 Lección 6 Lección 7 Unidad 5 Lección 8 Lección 9 Unidad 6 Lección 10 Lección 11

Módulo II

Unidad 7 Lección 12

Para estudiar el contenidos de este curso el estudiante recibirá un paquete instruccional compuesto por: a) El plan de curso y b) Texto UNA.

Universidad Nacional Abierta

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Módulo 1 Matemáticas y ciencias en la educación secundaria

Objetivo: Valorar las diferentes relaciones de las matemáticas con las ciencias naturales y sociales en el contexto de la educación en matemáticas.

Unidad 1 Integración en el Área de Matemática y Ciencias

Objetivo: Describir las diferentes formas de integración de los contenidos de matemáticas y otras disciplinas en la escuela.

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Lección 1

En esta lección estudiaremos diferentes formas de integración de los contenidos de Matemáticas y Ciencias en la Tercera Etapa de Educación Básica y en la Educación Media Diversificada y Profesional. El contenido de esta lección está organizado en dos partes principales. En la primera parte discutiremos algunos asuntos relacionados con la integración del currículo en general y con las ideas de multidisciplinariedad, interdisciplinariedad y transdisciplinariedad. La segunda parte está dedicada enteramente al problema concreto de la integración en el Área de Matemáticas y Ciencias.

Integración y Currículo

El debate en torno a la integración del currículo no es nada nuevo. A principio de los años de 1900, cuando aparecen las primeras propuestas sobre el uso del método de proyectos en la enseñanza de las ciencias en la escuela en los Estados Unidos, ya se debatía sobre la conveniencia de enseñar las asignaturas de manera integrada en torno a un proyecto. En nuestro país, se introduce la integración oficialmente en los programas de estudio a partir de la reforma educativa que implantó, a mediados de los años 1980, la Educación Básica de nueve grados. Recientemente, con la introducción del sistema educativo bolivariano, se ha reanimado la discusión en torno a este tema.

No existe una única manera de integrar los contenidos estipulados en los programas de estudio. En la sección siguiente estudiaremos diferentes niveles o formas de integración. Tampoco existe una definición única de currículo integrado. Veamos a continuación varias de estas definiciones. Dressel (1958) nos habla del currículo integrado como una forma de comprender el mundo, para él

En el currículo integrador, las experiencias de aprendizaje planificadas no sólo proveen al estudiante de una visión unificada de conocimiento sostenido comúnmente (por el aprendizaje de los modelos, sistemas y estructuras de la cultura) sino también motiva y desarrolla el poder de los estudiantes para percibir nuevas relaciones y entonces crear nuevos modelos, sistemas y estructuras. (p. 3) (Traducción del autor)

Humphreys (en Humphreys, Post y Ellis, 1981) señala que

Un estudio integrado es aquel en el cual los niños exploran ampliamente el conocimiento en varias asignaturas relacionado con ciertos aspectos de su ambiente. (p. 11) (Traducción del autor)

Para Shoemaker (1989) un currículo integrado es aquel en que la educación

… es organizada de manera tal que atraviesa las líneas de las materias (disciplinas), juntando varios aspectos del currículum en una asociación significativa centrada en amplias áreas de estudio. Ésta ve el aprendizaje y la enseñanza de una manera holística y refleja en mundo real, el cual es interactivo. (p. 5) (Traducción del autor)

¿Qué elementos tienen en común estas definiciones?

Lake (2001) resalta que, en términos generales, las definiciones de currículo integrado incluyen los elementos siguientes:

Una combinación de asignaturas (disciplinas).


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Un énfasis en proyectos.

Fuentes de información que van más allá que los libros de texto.

Relaciones entre conceptos.

Unidades temáticas como principios organizadores.

Horarios flexibles.

Agrupamiento flexible de los estudiantes. (p. 2) (Traducción del autor)

Actividad 1.1

a) Lea el Anexo A.

b) ¿Son estas concepciones del currículo coherentes con la actual propuesta curricular para el Liceo Bolivariano?

c) ¿Cuáles de los elementos distinguidos por Lake (2000) se incorporan a la propuesta curricular para el Liceo Bolivariano?

d) Identifique la concepción de currículo integrado propuesta en el documento del Liceo Bolivariano.

Nota: Ver en el Anexo A un extracto del documento donde se trata lo relacionado con la integración curricular. El documento completo puede ser consultado en la dirección electrónica:

http://www.portaleducativo.edu.ve/documentos/liceo_bolivariano.pdf

Y el documento oficial de las Escuelas Robinsonianas lo encontrará en la dirección: http://www.portaleducativo.edu.ve/documentos/escuelas_tecnicas.pdf

Hemos visto que existen diferentes definiciones de currículo integrado, que entre ellas tienen una serie de elementos comunes, y se le pidió que examinara si esas concepciones eran coherentes con la propuesta curricular para el Liceo Bolivariano y cuáles de esos elementos se incorporaban a dicha propuesta. Pasaremos ahora a revisar diversas maneras de integrar los contenidos en la enseñanza.

Niveles de integración

Como ya mencionamos anteriormente, hay varias maneras de integrar los contenidos. Forgarty (1991) plantea el tema de la integración en términos de niveles que van desde el modelo fragmentado hasta el modelo en red. A continuación presentamos una tabla con cada uno de los modelos, donde se incluyen una breve descripción, ventajas y desventajas de cada modelo.

Tabla 1. Diez niveles de integración del currículo Modelo Descripción Ventajas Desventajas

Fragmentado

Disciplinas distintas y separadas.

Punto de vista claro y discreto de una disciplina.

Las conexiones no se hacen con claridad para los estudiantes; menos transferencia de conocimiento.

Conectado

Temas dentro de una disciplina son conectados.

Los conceptos clave son conectados, conduciendo a la revisión, reconceptualización y asimilación de ideas dentro de una disciplina.

Las disciplinas no son relacionadas; la atención del contenido permanece dentro de la disciplina.

Matemáticas y Ciencias

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Tabla 1. (Cont.)

Modelo Descripción Ventajas Desventajas Anidado

Habilidades de pensamiento, sociales y contenido son tratados en un área de contenido.

Presta atención a varias áreas a la vez, lleva a un aprendizaje aumentado y enriquecido.

Los estudiantes podrían confundirse y perder la visión de los conceptos principales de la actividad o lección.

Secuenciado

Ideas similares son enseñadas concertadamente, aunque las asignaturas están separadas.

Facilita la transferencia del aprendizaje a través de las áreas de contenido.

Requiere colaboración permanente y flexibilidad, en la medida que los profesores tiene menos libertad de establecer la secuencia del currículo.

Compartido

Planificación y/o enseñanza en equipo que envuelve dos asignaturas se centra en conceptos, habilidades y actitudes compartidas.

Comparte experiencias instruccionales; con dos profesores en un equipó es menos difícil de colaborar.

Requiere de tiempo, flexibilidad, compromiso y dedicación.

Entretejido

Enseñanza temática, usando un tema como una base par ala instrucción en muchas disciplinas.

Motivante para los estudiantes, les ayuda a ver conexiones entre ideas.

Tiene que ser cuidadosamente y bien pensado seleccionado para que sea significativo, con contenido relevante y rigurosos.

Enhebrado

Habilidades de pensamiento, habilidades sociales, inteligencias múltiples y habilidades de estudio son “enhebradas” a lo largo de las disciplinas.

Los estudiantes aprenden acerca de cómo están aprendiendo, facilitando la transferencia futura de aprendizaje.

Las disciplinas se mantienen separadas.

Integrado

Prioridades que solapan varias disciplinas son examinadas para habilidades, conceptos y actitudes comunes.

Estimula a los estudiantes a ver las conexiones e interrelaciones entre disciplinas, los estudiantes son motivados en la medida que ven estas conexiones.

Requiere de equipos interdepartamentales con planificación y tiempos de enseñanza comunes.

Sumergido

El estudiante integra viendo todo el aprendizaje por medio de la perspectiva de una área de interés.

La integración toma lugar dentro del estudiante.

Podría estrechar la visión de los estudiantes.


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Tabla 1. (Cont.) Modelo Descripción Ventajas Desventajas

En red

El estudiante dirige el proceso de integración por medio de la selección de una red de expertos y recursos.

Proactivo, con un estudiante estimulado por nueva información, habilidades y conceptos.

Los estudiantes podrían extenderse sin profundizar en el estudio, los esfuerzos podrían ser poco efectivos.

Fuente: Forgarty, R. (1991). Traducción y adaptación de Julio Mosquera

Para mejorar la comprensión de los modelos de integración le presentamos a continuación una serie de ejemplos que sirven para ilustrar cada uno de ellos. En los ejemplos se incluyen contenidos de todas las disciplinas, porque la integración no tiene porque limitarse sólo a las matemáticas y las ciencias naturales. Por ejemplo, en la Unidad 7 del Curso Introductoria de la UNA se presentan ejemplos de integración de las matemáticas con la literatura y el arte.

Tabla 2. Ejemplos de Cada Nivel de Integración

Modelo Ejemplo

Fragmentado Relación ocasional, intencional de tópicos de matemáticas y ciencias dentro de intervalos de tiempo distintos para cada asignatura.

Conectado Las conexiones entre conceptos son identificados (por ejemplo, las fracciones son relacionadas con los decimales).

Anidado Una unidad sobre la fotosíntesis se enfoca en la búsqueda de consenso (habilidad social), secuenciación (habilidad de pensamiento) y vida de las plantas (habilidad de contenido).

Secuenciado Los estudiantes leen una obra literaria de un cierto período en Castellano y Literatura y estudian el mismo período en Historia Universal o Historia de Venezuela.

Compartido La recolección de datos (ciencia) y la elaboración de tablas y gráficos (matemáticas) son introducidos juntos (podían ser enseñado por un equipo de profesores).

Entretejido Un tópico (la oración) o tema conceptual (conflicto) se trata en todas las áreas de contenido.

Enhebrado La predicción es tratada en todas las asignaturas—prediga el próximo evento en una lectura, prediga el próximo número en una sucesión y proyecto eventos actuales en estudios sociales.


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Tabla 2. (cont.) Modelo Ejemplo

Integrado Habilidades de lectura, escritura, literatura y verbal en un programa holístico basado en la literatura.

Sumergido Un estudiante altamente motivado, interesado en los insectos los colecciona, estudia acerca de ellos, escribe un ensayo sobre los insectos y los dibuja.

En red Un estudiante interesado en el estudio de los pueblos originarios de América participa en un viaje a alguna zona del país donde vivan algunos de estos grupos, hace contacto con antropólogos, arqueólogos, escritores, etc. interesados en el tema.

Fuente: Lynne E. HOUTZ y Julie A. THOMAS (1997). Traducción y adaptación de Julio Mosquera.

¿Cómo se concibe la integración en algunos documentos oficiales? En el Anexo A puede leer la propuesta de integración del Ministerio de Poder popular para la Educación para los liceos bolivarianos. Basándose en ese documento, el Centro Nacional para el Mejoramiento de la Ciencia (CENAMEC) apunta que:

Con la integración de las áreas se busca una perspectiva que agrupe los distintos enfoques del conocimiento científico y del conocimiento cotidiano, en su afán por comprender la realidad. Superar la fragmentación curricular, supone adoptar una perspectiva de integración, asumiendo que la ciencia es un medio para comprender los problemas de la sociedad, y nunca un fin en sí mismo. Las áreas permiten la integración de disciplinas y de conocimientos, organizados de acuerdo con unos principios de interdisciplinariedad, transversalidad e interculturalidad, posibilitando que el estudiante se prepare para los niveles superiores del proceso educativo, y para la vinculación con la sociedad y el trabajo. (CENAMEC, s.f.)

Actividad 1.2

a) ¿Cuáles de los modelos de integración se usan actualmente en Venezuela? De ejemplos.

b) ¿Cuántos niveles de integración describe Forgarty? Escriba una lista de los modelos o niveles de integración sin ver el texto.

c) Haga una tabla como la tabla 1, copie los términos de la primera columna de la izquierda y complete cada una de las casillas correspondientes a cada modelo con sus propias palabras.

Otro aspecto del currículo integrado tiene que ver con la organización del trabajo del docente. Aquí también podemos identificar unos modelos o niveles que van desde la situación en la que dos docentes enseñan el mismo tópico en clases separadas hasta el diseño en equipo de unidades temáticas en el contexto de un currículo totalmente integrado. La organización del trabajo del docente, su condición laboral, no debe ser ignorado a la hora de diseñar un currículo integrado.


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Algunos autores usan las expresiones currículo integrado y currículo interdisciplinario como sinónimos (Lake, 2000). Dada la importancia y el énfasis que se pone en la interdisplinariedad en los documentos educativos oficiales recientes, le dedicamos una sección aparte a este tema.

Multi, intra, inter y transdisciplinariedad

La discusión en torno a la interdisciplinariedad, y los otros términos arriba mencionados no es nada nuevo. A finales del Siglo XVII, de Fontenelle, entonces Secretario de la Academie des Sciences de Paris, hizo un llamado de atención acerca de la necesidad de considerar la multidisciplinariedad. En 1967, el filosofo francés Louis Althusser advertía sobre el carácter ideológico de la propuesta de la interdisciplinariedad. También surgió la discusión en torno a esta idea, a comienzos de los años de 1900 en los Estados Unidos en el contexto de la propuesta de enseñanza mediante el método de proyecto.

Por otro lado tenemos que la discusión sobre la interdisciplinariedad, así como de la multi, intra o trans en educación está llena de argumentos sustentados en la mera opinión y las preferencias políticas más que en argumentados académicos. Podríamos decir que en algunos casos rayan en la propaganda. Para algunos autores la interdisciplinariedad es la panacea, la solución a todos los problemas educativos.

Multidisciplinariedad. La organización actual de la escuela se basa en la existencia de materias o asignaturas separadas que se corresponden en su mayoría con diversas disciplinas académicas, por ejemplo: Matemática, Física, Historia del Arte, Castellano y Literatura las cuales se corresponden con disciplinas o campos académicos. En términos curriculares es precisamente a esa organización que se refiere el término multidisiciplinariedad. Este enfoque es criticado duramente por algunos educadores. Por ejemplo, Bernard (1976) sostiene que éste lleva a que las matemáticas se reduzcan a una especie de ghetto, el estudio de cada disciplina en si misma como científica y rigurosa. Señala además que la multidisiciplinariedad es reforzada por las condiciones objetivas de la división social del trabajo de las cuales la escuela sería reflejo e instrumento, lo cual lleva a justificar la explotación de la fuerza de trabajo.

El Ministerio de Educación y Deporte (2004) elabora su crítica a la multidisciplinariedad de la manera siguiente:

La escuela ha propiciado un tipo de saber enciclopédico, disciplinar y memorístico, alejado tanto de la mentalidad de adolescentes y jóvenes como de los problemas de la realidad. Este conocimiento científico, basado en una perspectiva racionalista, se articula a través de dos características básicas: la especialización y la abstracción. Este conocimiento especializado es disciplinar, al delimitar una parcela de la realidad y abstracto, al eliminar las relaciones que establecía con otros aspectos de la misma.

De la Rua (2002) resume las críticas a la multidisciplinariedad en la enseñanza en los siguientes puntos:

El fin originario (comprensión del mundo, capacitación para la vida) queda desdibujado.

Inflexibilidad en la organización del tiempo, el espacio y los recursos humanos.

Favorecen la inhibición de la función pedagógica de los profesores a causa de la desmembración en asignaturas.

Limitan la autonomía y el poder de decisión de los profesores con respecto al currículo.


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Generan jerarquización, desarticulación y rivalidad entre disciplinas y asignaturas.

A los alumnos no les es fácil captar las conexiones entre las distintas disciplinas.

El mismo de la Rua reconoce el sesgo en estas críticas. Los proponentes de otros enfoques tratan de simplificar el enfoque multidisciplinar y culparlo de todos los males de la educación. Aunque seguramente que los críticos de este enfoque fueron educados en escuelas donde se enseñaban las disciplinas por separado y adquirieron en ellas la sólida formación que ostentan.

La multidisciplinariedad es atacada duramente por los defensores de los otros enfoques que veremos a continuación.

Intradisciplinariedad. Se trata de correlaciones al interior de una misma disciplina. Se ocupa de la correlación entre los diferentes sectores o ramas de las matemáticas, por ejemplo: entre álgebra y geometría, aritmética y álgebra, etc.

Interdisciplinariedad. Rene (1976) distingue dos niveles de interdisciplinariedad: (a) centrípeta y (b) centrífuga. En la primera se trata de ir de las otras disciplinas a las matemáticas. Ilustramos ésta con un ejemplo tomado de Rene (1976). A partir de la estadística descriptiva y de los sondeos como centro de interés, hacer intervenir una serie de disciplinas. En Historia nos propondríamos estudiar la historia de los sondeos y sus técnicas, su evolución, sus intereses; la clase de Educación Física nos proveería de datos cuantitativos (como por ejemplo: desempeño de los estudiantes en una carrera de 100 m planos); en Lengua y Literatura se discutiría sobre la elaboración de informes, la redacción de textos escritos, etc.; en Psicología se pueden aplicar ciertos tipos de encuestas y estudiar su interpretación; etc. En esta perspectiva se incluyen todas las reflexiones acerca del papel de la estadística en particular y de las matemáticas en general y su función en la sociedad. Se incluyen consideraciones acerca de los problemas sociales, políticos, económicos e ideológicos relacionados con el uso de las matemáticas. Según Rene (1976), en este primer enfoque se produce un desmontaje prometedor de las disciplinas, que induce un trastrocamiento de los métodos, los contenidos y los programas. Lo anterior obliga a repensar la escuela.

En la segunda, se trata de ir de las matemáticas a las otras disciplinas. En el caso anterior el intercambio es incompleto porque todo gira en torno a las matemáticas (Rene, 1976). Se trata en este caso de una interdisciplinariedad más elaborada. Desde esta perspectiva se trata de la adopción de una visión de las matemáticas como resolución de problemas. La situación problemática es una situación de implicación total y se prolonga en una multitud de direcciones y abre otras posibilidades de la personalidad del estudiante (Rene, 1976). La resolución de problemas involucra varios modos de expresión: matemático, música, artes plásticas y gráficas, escritura, poesía y otras. La heurística deviene en la piedra angular de todas las actividades en la escuela (Rene, 1976).

Para otros autores, el término interdisciplinariedad no hace referencia a la conjunción de varias disciplinas sino más bien a la interconexión de varios tipos de metodologías, por ejemplo investigación básica, aplicada y de desarrollo (Breznik y Močnik, 2005). Desde esta perspectiva la interdisciplinariedad se refiere tipo de investigación.

Transdisciplinariedad. En las categorías anteriores se habló del movimiento didáctico de las matemáticas a otras disciplinas y de estas a las matemáticas. Para Rene (1976) el problema planteado de esta manera resulta artificial. Desde estas perspectivas el punto de partida es ofrecido por una de las disciplinas y tiene que ser reducido o simplificado para que pueda ser tratado entre los límites


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de la escuela. Este proceso se puede representar de esta manera: una actividad problemática, en el sentido de las matemáticas, motiva y exige el concurso de otras disciplinas o bien suscita su aparición y se prolonga en ellas (Rene, 1976, p. 39). En este movimiento de ir y venir aparecen según el caso y la necesidad una multiplicidad de modos de expresión, de sectores del saber y de la actividad. De la idea de que en toda actividad en la que nos vemos involucrados puede devenir en un lugar de intercambios y de interés, rico en todas las prolongaciones y de todos los tipos de actividad; ocasión de investigación y de creación; centro de motivaciones y de enriquecimientos multidimensionales (Rene, 1976). En un juego de alternancia de la práctica y de la teoría, de la investigación, de la expresión y se organiza una circulación entre todos los tipos y niveles de la actividad (Rene, 1976). Esto es exactamente lo que Rene (1976) entiende por transdisciplinariedad, la cual, en sentido estricto, supone que uno se coloca más allá y por encima de la (multi) disciplinariedad (Rene, 1976, p. 39).

Ya no son más las matemáticas ni ninguna otra disciplina el centro de atención, ni el punto de partida ni el punto de llegada sino que nos asiste en una “excentración transdisciplinaria” hacia una situación, fenómeno, u objeto del mundo en las múltiple facetas son correlativos de un poli-centrismo de las disciplinas al servicio del conocimiento, de la acción y de la expresión (Rene, 1976). Tiene esta propuesta muchos elementos comunes con la Escuela Nueva que surgió en los Estados Unidos a partir de los trabajos de John Dewey, también conocida como enseñanza por proyectos.

Otros autores también han tratado el asunto de las relaciones entre las disciplinas a diversos niveles y de las posibles formas de integración. En la tabla siguiente mostramos varios ejemplos de ello.

Tabla 3. Diferentes clasificaciones de interdisciplinariedad Autor Clasificación

Jean Piaget (1979)

Multidisciplinariedad: La interacción no modifica ni enriquece las disciplinas.

Interdisciplinariedad: Se producen intercambios recíprocos y enriquecimientos mutuos.

Transdisciplinariedad: Sistema total que desdibuja las fronteras disciplinares

Miguel Boisot (1979)

Interdisciplinariedad lineal: Se utilizan leyes o categorías de una ciencia para explicar los fenómenos de otra.

Interdisciplinariedad estructural: De la interacción de dos o más disciplinas se estructura una nueva. Ejemplo Bio-medicina.

Interdisciplinariedad restrictiva: De acuerdo a los objetivos específicos se acota el campo de aplicación de cada disciplina.

Interdisciplinariedad heterogénea: Se produce la suma de información procedente de varias disciplinas.


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Tabla 3. (Continuación) Autor Clasificación

Cesare Scurati y Damiano E. (1977)

Pseudointerdisciplinariedad: Estructura de unión que se aplica para trabajar con disciplinas muy diferentes entre sí.

Interdisciplinariedad auxiliar: En una disciplina se recurre al empleo de metodologías de otra disciplina.

Interdisciplinariedad compuesta: Análisis en conjunto de todos los aspectos de un fenómeno.

Interdisciplinariedad complementaria: Superposición de trabajo y especialidades que coinciden en un mismo objeto de estudio.

Interdisciplinariedad unificadora: Auténtica integración que tiene como resultado un nuevo marco teórico o metodológico.

George Vaideanu (1983)

Multidisciplinariedad: Simple yuxtaposición simultánea de disciplinas, con mínima comunicación entre ellas.

Pluridisciplinariedad: Mejoramiento de las relaciones entre disciplinas pero sin modificación de las bases teóricas de cada una.

Disciplinariedad cruzada: Una disciplina domina en su relación con otras y subordina a ella sus contenidos y metodologías

Interdisciplinariedad: Implica la voluntad de colaborar en un marco teórico más general donde existe un equilibrio en las relaciones entre disciplinas.

Transdisciplinariedad: Nivel superior de coordinación donde desaparecen los límites de las disciplinas.

Bohórquez González A. (1997)

Intradisciplina: Se establece entre especialidades de un área común

Mono disciplina: Trabajo al interior de una sola disciplina

Multidisciplinariedad: Yuxtaposición de diversas disciplinas, sin articulación pensada. Se defienden metodologías generales pero cada especialidad mantiene separada su área de estudio.

Interdisciplinariedad compuesta o normativa: Diversas disciplinas que basan su relación en ciertas normas de desempeño.

Interdisciplinariedad suplementaria: Dos o más disciplinas que participan en el mismo objeto y se retroalimentan pero no se fusionan.

Interdisciplinariedad isomórfica: Fecundación entre las disciplinas participantes que les permite desarrollarse, en ocasiones puede llegar a dar origen a una nueva disciplina

Interdisciplinariedad estructural: Cuando dos o más disciplinas isomórficas interactúan, este tipo de relación puede formar nuevas áreas, teorías o paradigmas.

Transdisciplinariedad: Su objetivo general es construir una teoría general que recoja diversas disciplinas, rompiendo los límites y barreras entre ellas.


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Tabla 3. (Continuación) Autor Clasificación

Borreo A.S (1984)

Multidisciplinariedad: Relación entre disciplinas, en igualdad de condiciones pero sin intenciones de cooperación explícitas.

Pluridisciplinariedad: Es igual que en la multidisciplinariedad pero la relación no es igualitaria, existe una disciplina priorizada y por tanto privilegiada.

Transdisciplinariedad: Es una relación en la que intervienen diversas disciplinas, rompiendo los límites y barreras entre ellas.

Interdisciplinariedad compuesta: Relaciones entre disciplinas en igualdad de condiciones, pero con normas explícitas de comportamiento en relación con el objeto de estudio.

Interdisciplinariedad auxiliar: Relación entre disciplinas donde una disciplina rectora es apoyada por el trabajo del resto.

Interdisciplinariedad suplementaria: Relación en que la disciplina subordinada tiende a integrarse con la disciplina rectora.

Interdisciplinariedad isomórfica: Relación en igualdad de condiciones entre disciplinas que generalmente genera un nuevo campo de estudio.

Fuente: de la Rua (2000)

Presentarle la tabla anterior no busca intimidarle. Nuestra intención más bien es llamar su atención sobre la complejidad del tema de la integración de los contenidos en el currículo. Ser consciente de esta complejidad evitaría caer en un tratamiento simplista y poco serio del asunto.

Actividad 1.3

1. Compare y contraste las definiciones de interdisciplinariedad propuestas por los diversos autores incluidos en la Tabla 3.

2. Señale cuáles de las definiciones de interdisciplinariedad en la Tabla 3 son excluyentes o complementarias.

3. Compare los distintos tipos de interdisciplinariead propuestos por Cesare Scurati y Damiano E. (1977) con los niveles de interdisciplinariead identificados por Rene (1976).

4. Considere todos los tipos de interdisciplinariedad distinguidos por los autores en la Tabla 3, señale cuáles son complementarios, cuáles son equivalentes y cuáles son excluyentes. ¿Considera usted necesario distinguir entre tantos tipos de interdisciplinariead?

Una vez discutidos asuntos relacionados con diversos enfoques sobre la integración del currículo y con las ideas de multi, intra, inter. Y transdisciplinariedad, pasaremos ahora a considerar con ejemplos concretos el tema de la integración en el Área de Ciencias y Matemáticas.

Integración en el Área de Ciencias y Matemática

Uno de los retos que enfrenta el profesor de Ciencias naturales y Matemática en el Liceo Bolivariano es precisamente la integración de las diferentes disciplinas en el contexto de un proyecto o de cualquier otra actividad en la escuela. En esta sección ofrecemos una manera de acercarnos a este problema.

Una primera tarea es identificar los componentes de las ciencias naturales. Según Aldridge (1993), los componentes de las ciencias naturales incluyen los procesos usados y los resultados obtenidos como productos de esos procesos.


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En la tabla siguiente se presenta una lista de esos procesos y productos que son comunes a todas las ciencias naturales.

Procesos Productos Observar Clasificar Medir Interpretar datos Inferir Comunicar Elaborar hipótesis Desarrollar modelos y teorías

Términos Resultados Conceptos Principios Leyes empíricas Teorías Aplicaciones

Esta lista no agota todos los procesos y productos. Por ejemplo a estos últimos podemos agregar los instrumentos y las herramientas de la ciencia.

Una segunda tarea, tomando en consideración la propuesta de Área de Ciencias Naturales y Matemática para el Liceo Bolivariano, es la de distinguir aquellos procesos y productos que son comunes a todas las ciencias naturales. La identificación de estos procesos y productos comunes serviría de ayuda para la organización de la actividad pedagógica en la escuela.

Como señala Aldridge (1993), los productos de las ciencias naturales con frecuencia son identificados con un campo o disciplina en particular. Entonces, para que un producto dado sea considerado como un componente básico de todas las ciencias naturales es necesario que transcienda una asignatura o disciplina particular. Nos interesa identificar aquellos componentes fundamentales en las áreas de física, química, biología y ciencias de la tierra, siguiendo la propuesta de Aldridge (1993), incluimos además las ciencias del espacio.

Términos básicos comunes a todas las ciencias naturales. ¿Qué son los términos? Términos son los nombres de las entidades, objetos, eventos específicos, períodos específicos de tiempo, categorías de clasificación, organismos o partes de un organismo (Aldridge, 1993). Dado su carácter específico, los términos son prácticamente únicos para cada ciencia y hay muy pocos que son comunes a todas las ciencias. Los términos son usados básicamente como herramientas de comunicación y los aprendemos en la medida que los necesitamos para estudiar ciencias o comunicarnos (Aldridge, 1993, p. 25).

Resultados básicos comunes a todas las ciencias naturales. Los resultados básicos comunes a todas las ciencias naturales son usualmente definiciones operacionales, medidas u observaciones las cuales pueden ser replicadas (Aldridge, 1993, p. 25). No se busca que estos resultados sean memorizados intencionalmente. Se espera que a través del uso inteligente de estos resultados los estudiantes lleguen a recordar muchos de ellos cuando los necesiten. Nos interesa que los profesores comprendan los conceptos subyacentes a cada resultado y que sepan donde buscar esos resultados.

Conceptos básicos comunes a todas las ciencias naturales. ¿Qué es un concepto básico en ciencias naturales? Para los efectos de esta propuesta asumiremos la definición siguiente, un concepto científico es:

Un fenómeno natural que ocurre regularmente, una propiedad o característica de la materia la cual es observable o detectable en muchos contextos diferentes, y la cual es representada por una palabra o palabras y frecuentemente con símbolos matemáticos.


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La mayoría de los conceptos de la ciencia son derivados de otros (por ejemplo, la rapidez es derivada de los conceptos de distancia y tiempo). Cuando un concepto científico derivado es expresado en la forma de una ecuación, ésta es su definición matemática, no una relación natural (por ejemplo, densidad de masa). (Aldridge, 1993, p. 27)

A diferencia de los términos, hay muchos conceptos básicos de las ciencias naturales que transcienden los limites de las disciplinas particulares. Muchos de estos conceptos básicos provienen de la física y de la química. Estas dos disciplinas son fundamentales para comprender las ciencias de la vida, y estas tres son a su vez fundamentales par ala comprensión de las ciencias de la Tierra y del espacio (Aldridge, 1993).

Leyes empíricas básicas comunes a todas las ciencias naturales. Podemos identificar un conjunto de leyes empíricas comunes a todas las ciencias naturales. Consideraremos como leyes empíricas a:

Una generalización de una relación que ha sido establecida entres dos o más conceptos por medio de la observación o la medición, pero que no se apoya en ninguna teoría o modelo para su expresión o comprensión (por ejemplo, la presión de un gas como una función del volumen, manteniendo la temperatura y el número de moles constantes). (Aldridge, 1993, p. 29)

Es el fenómeno, la conducta o el proceso observado que caracteriza el aspecto empírico de la ley. Explicar la ley es precisamente el papel de las teorías. Por ejemplo, durante la interacción de dos cuerpos se tiene que el producto m.a, para uno de los cuerpos tiene la misma magnitud que el producto m.a para el otro cuerpo. Esa es precisamente una ley empírica y es la tarea de las teorías explicarla (Aldridge, 1993).

Teorías y modelos comunes a todas las ciencias naturales.

Las teorías son usadas para explicar hechos, fenómenos, observaciones y leyes empíricas. Las teorías por lo general incorporan varios conceptos que han sido cuantificados y que están representados simbólicamente. Estas teorías son con frecuencia matemáticas. Para una mejor comprensión de las teorías el estudiante necesita tener experiencias con los procesos por medio de los cuales teorías anteriores fueron creadas, las hipótesis derivadas de estas teorías ya probadas y la evolución de tales teorías en el tiempo. Es muy importante enfatizar que las teorías son tentativas, y que aún las más recientes, están meramente en una etapa de proceso continuo. También es importante hacer que los estudiantes comprendan que las teorías, a diferencia de los hechos, observaciones y leyes empíricas (las cuales resumen datos, medidas u observaciones), son construcciones creativas las cuales no necesariamente se corresponden unívocamente con la realidad. Diversas teorías alternativas podrían explicar el mismo conjunto de fenómenos. Decimos que las teorías son elaboraciones de los seres humanos y no son necesariamente un reflejo de la realidad (Aldridge, 1993).

En el Anexo B, al final de esta lección, presentamos una lista completa de términos, leyes empíricas, teorías y modelos comunes a todas las ciencias. Estos resultados básicos los presentamos agrupados en tres grupos. Esta agrupación no se corresponde con un grupo de grados o de nivel de escolaridad determinado del sistema educativo venezolano. Esa agrupación indica el nivel de complejidad y de abstracción de dichos resultados.


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Referencias

Aldridge, B. G. (1993). Basic components of the natural sciences. En The National Science Teachers Association. The content core, Vol. 1. (pp. 25-40). Washington : El Autor.

De la Rua, C. M. (2000). Interdisciplinariedad en el currículo de las Ciencias sociales. Disponible en: http://teleformacion.cujae.edu.cu/proyecto_pedagogico/BVP/materiales/Tema3/Art07/index.htm

Forgarty, R. (1991). The Mindful School: How to Integrate the Curricula. Palatine, IL: Skylight.

Fundación Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia (CENAMEC, s.f.). La ciencia en el Liceo. Disponible en: http://www.cenamec.org.ve/html/programas/p2/p203.htm.

Houtz, L. E. y Thomas, J. A. (1997). Interdisciplinary math and science: A hands-on consideration of integrated reform. Disponible en: http://www.ed.psu.edu/CI/journals/96pap24.htm.

Ministerio de Educación y Deporte (2004). Liceo Bolivariano. Adolescencia y juventud para el desarrollo endógeno y soberano . Caracas: El Autor.

Rene, B. (1976). Vers une transdisciplinarité. Cahiers Pedagogiques, No. 147, pp. 13-16. En C. Castonguay y R. Pallascio (1978). Vers un apprentissage par projects (pp. 34-42). Quebec: Telé-Université.

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Anexo A Liceo Bolivariano*

3.3. Integración de áreas del conocimiento

La formación de un (a) nuevo (a) republicano (a) bolivariano(a) requiere la incorporación de un nuevo tipo de contenido curricular, particularmente referido al desarrollo de competencias y valores que reclaman el desempeño productivo y el desempeño ciudadano. Las nue vas competencias (capacidad de trabajar en equipo, de resolver problemas, de experimentar, de interactuar con el diferente, entre otras) y los valores propios de la formación ciudadana (solidaridad, tolerancia, respeto a los derechos humanos) no se enseñan necesariamente a través de contenidos de una disciplina sino a través de modalidades transversales que exigen también una modificación profunda en la organización curricular y en las modalidades de trabajo de los (as) profesores (as). (Tedesco y López, 2002). La dimensión cultural ha de tener un mayor significado en la formación de adolescentes y jóvenes. Esta dimensión no pasa sólo por los aspectos cognitivos, sino por una articulación entre lo cognitivo, lo emocional, lo estético y lo social, que involucra no sólo a los (as) estudiantes sino también a los (as) profesores(as). Así mismo, la transformación del concepto de democracia, de lo representativo a lo participativo y protagónico implica nuevos temas y contenidos.

La escuela ha propiciado un tipo de saber enciclopédico, disciplinar y memorístico, alejado tanto de la mentalidad de adolescentes y jóvenes como de los problemas de la realidad. Este conocimiento científico, basado en una perspectiva racionalista, se articula a través de dos características básicas: la especialización y la abstracción. Este conocimiento especializado es disciplinar, al delimitar una parcela de la realidad y abstracto, al eliminar las relaciones que establecía con otros aspectos de la misma.

La concepción dogmática y absolutista de la ciencia propugnó el paradigma de la simplicidad, caracterizado por la compartimentación del conocimiento científico en multitud de disciplinas y de campos del saber haciendo irreconciliable el conocimiento científico-técnico con el campo de las ciencias sociales y las humanidades. El enfoque simplificador parte de una concepción sesgada y diferenciadora que asigna estructuras conceptuales propias a cada disciplina y, por tanto, formas específicas de resolución de los problemas que le atañen. Una de las respuestas proviene del denominado paradigma de la complejidad que revisa y actualiza la visión sistémica del mundo a través de la formulación del principio de complejidad frente al de simplicidad para aportar una nueva perspectiva indagadora de la realidad: la complementariedad frente a las antinomias y dicotomías, y la apuesta por una concepción interdisciplinaria, transdisciplinaria o metadisciplinaria, en contradicción con otra disciplinar y selectiva de cada una de las ciencias.

El enfoque conceptual o disciplinar, propone una definición parcelada de los conceptos básicos de cada ciencia, el enfoque interdisciplinar, por áreas, propugna la integración de disciplinas sintetizando los conceptos más característicos de las ciencias. Con la integración de áreas se busca una perspectiva integrada que aglutine los distintos enfoques del conocimiento científico y del conocimiento cotidiano en su afán por comprender la realidad. Superar la fragmentación curricular supone adoptar una perspectiva de integración, asumiendo que la ciencia es un medio para comprender los

* Tomado Ministerio de Educación y Deportes (2004). Liceo Bolivariano: Adolescencia y juventud para el desarrollo endógeno y soberano. Caracas: El Autor. Disponible en: http://www.portaleducativo.edu.ve/documentos/liceo_bolivariano.pdf


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problemas de la sociedad y nunca un fin en sí mismo y, por otra, que los objetos de estudios no tienen porqué ser los problemas científicos sino los problemas de la sociedad (Travé, G.). Las áreas permiten la integración de disciplinas y saberes, organizadas de acuerdo con unos principios de interdisciplinariedad, transversalidad e interculturalidad, posibilitando que el (la) educando (a) se prepare para los niveles superiores del proceso educativo y para su vinculación con la sociedad y el trabajo.

Se hace imperativo ir de unas estructuras curriculares fragmentadas y homogéneas hacia otras más unificadas y heterogéneas. Es necesario disminuir tanto número de asignaturas como de docentes a los cuales se enfrenta semanalmente el/la adolescente y el/la joven. Pero también hay necesidad de disminuir el número de adolescentes y jóvenes que semanalmente debe atender el docente. Es decir, adolescentes y jóvenes atendidos por menos docentes, y docentes que atienden menos adolescentes y jóvenes. Esto conduciría a posibilitar una mayor relación, integración, comunicación e identidad entre el docente y los adolescentes y jóvenes, para el fortalecimiento del proceso formativo. En esta misma dirección se impone superar los horarios mosaicos o disgregados como mecanismo que ayude a minimizar la fragmentación de la administración del currículo.

El currículo por disciplina privilegia el estudio de los problemas que interesan a la ciencia, en cambio, el currículo integrado por área, sin desconocer a la disciplina, privilegia el análisis de los problemas de la sociedad a partir de las diversas aportaciones del conocimiento. El currículo integrado por áreas favorece las opciones didácticas que posibilitan la aproximación del (la) adolescente y joven a un pensamiento crítico, al objeto de poder intervenir en la realidad social.

En el Liceo Bolivariano las áreas del conocimiento se integran a través de un proyecto educativo-productivo de manera que las disciplinas apoyen y le den explicación desde su especialidad a todas las acciones planteadas en los mismos. Por ejemplo, el área de sociales con sus categorías tiempo y espacio se relaciona con el área de ciencias para realizar diagnósticos y con el área de lenguaje, cultura y comunicación ayude a entender los saberes locales, sus diferentes expresiones humanas manifestadas en las tradiciones y costumbres y con la educación en y para el trabajo liberador que impulsa el aprender-haciendo, descubriendo las potencialidades de la comunidad en función del desarrollo sustentable.

En este sentido, es fundamental considerar el conocimiento como una forma de organizar, relacionar y contextualizar la información, ya que esta última constituye parcelas de saberes dispersos, cuestión que ha caracterizado nuestro sistema educativo.

Se hará énfasis en desarrollar en los y las adolescentes y jóvenes una aptitud para plantear y analizar problemas y principios organizadores que les permita vincular los saberes con la realidad.

El currículo del Liceo Bolivariano se organiza en cinco áreas que integran las distintas asignaturas y contenidos necesarios para la formación del y la adolescente y joven que requiere nuestro país:

a) Matemática y ciencias naturales. Está integrada por matemática, física, química y ciencias de la tierra, las cuales obedecen a leyes y procesos específicos que se dan independientemente del ser humano y que le permiten transformar la realidad fortaleciendo la calidad de vida.

b) Ciencias sociales, ciudadanía e identidad. Integrada por geografía, historia, ciudadanía e identidad. Esta área considera el comportamiento social del ser


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humano en el devenir histórico en tiempo y espacio determinado para entenderse como sujeto de transformación.

c) Lengua, cultura, comunicación e idiomas. Integrada por castellano, literatura, inglés, idiomas propios, cultura y comunicación. Esta área concibe la lengua oral y escrita como expresión cultural que integra lo científico y lo humanístico reconociendo la diversidad multiétnica y pluricultural a diferentes escalas, haciendo énfasis en la comprensión y producción de la comunicación humana.

d) Educación física, deporte, ambiente y recreación. Es un área que aparece como necesidad para fortalecer el desarrollo físico-mental del ser humano en armonía con su entorno para garantizar calidad de vida individual y colectiva y para las generaciones futuras.

e) Educación en y para el trabajo liberador para el desarrollo endógeno soberano. Educación y trabajo como síntesis del proceso de formación que se expresa en lo organizativo y productivo y se concreta en la comunidad para alcanzar el modelo de desarrollo endógeno. (Ministerio de Educación y Deportes, 2004, pp. 52-56)

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Anexo B

Anteriormente señalamos que la ciencias naturales estaban constituidas por procesos y productos de la aplicación de esos procesos. Distinguimos de manera particular cinco productos de las ciencias naturales. Dado el carácter de integración que se postula para la enseñanza de las ciencias naturales y matemática en el Liceo Bolivariano, nos interesa identificar aquellos resultados que son comunes a todas las ciencias naturales. A continuación presentamos una lista de estos resultados tomada de Aldridge (1993). Esta no es una lista de conceptos, términos, leyes, teorías para que sean aprendidas de memoria por los estudiantes y los profesores. Nuestra intención es que esta lista de resultados comunes a todas las ciencias le sirva de referencia al profesor tanto para su estudio de las ciencias como para su enseñanza.

Términos básicos comunes a todas las ciencias naturales Múltiplos asociados con los prefijos nano, micro, mili, kilo, mega, giga Nombres de las unidades de tiempo, masa, longitud, área y volumen

Nombres de unidades derivadas SI para la fuerza, carga eléctrica, presión, campo magnético, trabajo, energía y potencia

Resultados básicos comunes a todas las ciencias naturales

Grupo 1 La velocidad de la luz en el vacío Valor el cero absoluto en la escala de temperatura Celsius La densidad del agua líquida Punto de ebullición del agua (2 cifras significativas)

Punto de congelación del agua (2 cifras significativas) Velocidad del sonido en el aire (2 cifras significativas) Velocidad del sonido en el agua (2 cifras significativas)

Definiciones de minuto, día, hora y año Nombres de ácidos y bases comunes Nombres de elementos comunes que son aislantes eléctricos Nombres de elementos comunes que conducen la electricidad

Grupo 2 Longitud de onda en manómetros de colores visibles de luz (2 cifras significativas) Rango aproximado de longitud de onda en nanómetros de radiación ultravioleta e infrarrojo (2 cifras significativas) Índice de refracción para el vidrio y para el agua (2 cifras significativas) Componentes de moléculas simples, biatómica de gases comunes y componentes comunes, en términos de números de átomos y masa molecular

Valor numérico de 1 mol Volumen de 1 mol de gas en STP Números atómicos y masas atómicas en gramos por mol de unos pocos elementos: oxigeno, nitrógeno, carbón e hidrógeno Dimensiones aproximadas de moléculas inorgánicas Componentes de átomos e isótopos comunes en términos de protones y neutrones en el núcleo y electrones que rodena el núcleo

Valor de calorías en joules Capacidad de calor del agua Calor latente de vaporización del agua Calor latente de fusión del agua Valor de la aceleración debida a la gravedad en la Tierra (2 cifras significativas) Presión atmosférica sobre la Tierra (2 cifras significativas) Radio aproximado de la Tierra, la Luna y el Sol

Grupo 3 Definición de un electrón-voltio en Joules Definición de estructuras de cristal simple, centrada en una cara y centrada en el cuerpo “Permittivity” y permeabilidad del espacio libre Vida-promedio del carbono 14

Las cargas de iones de elementos libres comunes, en unidades de carga en un electrón Valor de la constante de Planck La constante, k, en la ley de Coulomb de fuerza para cargas eléctricas Valor de la constante, G, en la ley de gravitación universal

Valor de la constante de gas ideal, R Radio aproximado de un átomo y de un núcleo atómico Constante de Bolzano Masa de, y carga sobre, el electrón, protón y neutrón Valor de equivalencia masa-energía


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Conceptos básicos comunes a todas las ciencias naturales

Grupo 1 Escalar (un número y una unidad) Precisión (y cifras significativas) Exactitud (y calibración contra un estándar) Exponente Potencias de diez y orden de magnitud Continuidad y discontinuidad Longitud, área, volumen, masa, carga eléctrica y tiempo Área de superficie Densidad de masa Tasa de cambio del tiempo con distancia (rapidez) Tasa de cambio del tiempo con rapidez (aceleración)

Tasa de cambio del tiempo en general Velocidad (rapidez y dirección) Fuerza Presión Ebullición Trabajo Energía Potencia Energía cinética (translacional y rotacional) Energía potencia (gravitacional, eléctrica y nuclear) Pulso Onda (mocromática) Longitud de onda Amplitud Superposición de ondas Difracción Interferencia Espectro

Reflexión Refracción Dispersión Período Movimiento periódico Movimiento armónico simple Equilibrio térmico Temperatura Calor Energía térmica Punto de congelación Punto de ebullición Conductividad Concentración Mezcla Homogéneo Elemento Compuesto Solvente y soluto Ácido Base Cristal Gas

Grupo 2 Vector (un número, una unidad u una dirección) Potencia Átomo Volumen molar Molécula Número atómico Mol Masa atómica Nucleo Cpacidad calórica Isotermal

Catálisis Coloide Corriente (masa, cambio o volumen por unidad de tiempo) Tasa de cambio de distancia (contornos y gradientes) Evolución Centrípeta Gravedad Invarianza

Longitud de onda Momento (lineal y angular) Osmosis pH Radioactividad Resonancia Campo eléctrico Onda transversal Onda electromagnética Intensidad

Grupo 3 Desplazamiento (distancia y dirección) Intensidad Vector aceleración Velocidad de onda Polarización de ondas Coherencia (temporal y espacial) Ion Densidad de carga Torque Dipolo eléctrico Adiabático

Energia interna Entalpía Entropía Concepto general de densidad como función de distribución Calor latente de fusión Calor latente de vaporización Energía potencial química (como caso especial de la eléctrica)

Energía potencial elástica (como caso especial de la eléctrica) Fisión Fusión Vida-media Isótopo Fotón Plasma Simultaneidad Relatividad

Leyes empíricas básicas comunes a todas las ciencias naturales

Grupo 1 Ley de Pascal Ley de Boyle Ley de Charle Ley de Guy-Lussac

Ley de la reflexión especular Ley de la conservación de la energía

Evolución (patrones observados de cambio en el tiempo)


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Grupo 2 Ley de los factores limitantes Fotosíntesis (como un proceso) Ley de Graham Leyes de proporciones definidas y múltiples Tres leyes del movimiento de Newton

Variación observada de la resistencia con cambios lineales de dimensión Ley del cuadrado inverso Ley de Ampere Ley de Coulomb Ley de Faraday Ley de Gauss

Ley de la refracción de Snell El efecto Doppler Variación observada de la masa con cambios lineales de dimensión Variación observada de la superficie con cambios lineales de dimensión

Grupo 3 El principio de Le Chatelier La ley de Hess Ley de Dalton de la presión parcial Ley de la gravitación universal

Ley de conservación del momento Variación observada del calor a través de una superficie con cambio lineal de dimensión

Ley del desplazamiento de Wien Cuarta ley del poder de la radiación Efecto fotoeléctrico

Teorías y modelos comunes a todas las ciencias naturales

Grupo 1

Teoría de onda de la luz (cuando la luz se comporta como onda)

Grupo 2 Teoría de los lazos químicos (desde las primeras teorías de los átomos y moléculas como resultado de las leyes de proporciones definidas y múltiples hasta teorías asociadas con varios tipos de enlaces químicos)

Teoría de las leyes de escala (área de superficie, volumen y masa) Teoría atómica (de la secuencia modelos de Thomson, Rutherford y Bohr)

Grupo 3 Teoría electromagnética (como síntesis de las leyes empíricas de Ampere, Faraday y Gauss, con nueva predicción sobre la velocidad de ondas, con conexión con la luz y confirmada por Hertz) Teoría de las leyes de escala periodicidad, transferencia de calor a través de superficies y resistencia) Teoría cinético-molecular (como explicación para las relaciones de temperatura y energía cinética de las moléculas) Teoría de partícula (fotón) de la luz (cuando la luz se comporta como partícula)

Teoría cuántica (atómica y nuclear, incluyendo orbitales, números cuánticos) La Tabla Periódica moderna (desde la teoría, incluyendo el principio de exclusión de Pauli) La teoría moderna de los sólidos (incluyendo elementos del estado físico sólido que se aplica a cristales, metales y semiconductores) Cosmología y teorías de la evolución (explicaciones de cambio evolucionario general)

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Unidad 2 Aplicaciones de las matemáticas en la escuela

Objetivo: Discutir diversas tendencias o maneras de usar las aplicaciones de las matemáticas en la enseñanza.


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Lección 2 La preocupación por introducir en la enseñanza de las matemáticas aplicaciones de estas en la resolución de problemas reales no es tan nueva como puede parecer. Por ejemplo, en los Programas Provisionales de Educación Secundaria de 1955, se resalta el “valor instrumental de las Matemáticas” y se señala que:

(…) las Matemáticas tienen un extraordinario valor como instrumento de investigación en casi todas las ciencias aplicadas. Los nuevos programas destacan este otro aspecto, señalando en diversas partes aplicaciones a la Física, a la Química, etc. (p. 17)

Introducir aplicaciones de las matemáticas a situaciones reales, o pseudo-reales, es más fácil decirlo que hacerlo. Reconociendo esta situación nos proponemos en esta lección ofrecerle diversos enfoques en el uso de las aplicaciones de las matemáticas en su enseñanza. No pretendemos ser exhaustivos. Esperamos cubrir al menos las propuestas más comunes o relevantes. La manera más sencilla de introducir de alguna manera aplicaciones de las matemáticas en su enseñanza es mediante la proposición de problemas en contexto real, semi-real o ficticio. Esta tendencia predomina en los libros escolares de Matemática en nuestro país. Por ejemplo, en un libro de Octavo Grado se propone el problema siguiente:

Un envase tiene forma cúbica y contiene un volumen igual a 125 cm3. Con la finalidad de diminuir costos, la empresa desea reducir el taño del envase restando n unidades (con n < 5) a la arista del cubo original. ¡Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase? (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p. 163)

Más adelante, en una unidad dedicada a la probabilidad y la estadística proponen este problema:

Midiendo el tamaño de un grupo de insectos, un entomólogo obtuvo los siguientes datos:

Longitud (mm) Número de insectos 0 – 2 8 2 – 4 12 4 – 6 21 6 – 8 24 8 - 10 22

Determina la clase modal y los valores aproximados de la mediana y la media aritmética. (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p. 207)

En otros libros las aplicaciones son introducidas de manera más limitada, sólo en aquellos temas en que es prácticamente imposible evitarlas. Tal es el caso de los temas de estadística. Un ejemplo de este tipo de tratamiento de las aplicaciones es el libro de Brett C. (2006) para el Segundo Año de EMDP. Los únicos problemas planteados en el contexto de situaciones reales aparecen al final del libro en los tres últimos capítulos dedicados a la teoría combinatoria, las


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probabilidades y la estadística. Como ya dijimos, es prácticamente imposible enseñar estos temas sin recurrir a las aplicaciones. Veamos uno de los problemas propuesto por Brett C. (2003),

Para determinar la cantidad de calcio en un grupo de ciudadanos, se ha tomado la muestra de sangre a 25 de ellos, habiéndose obtenido los siguientes resultados: 9,7; 9,3; 10,1; 9,2; 9,1; 9,3; 9,4; 8,7; 8,8; 8,7; 9,2; 8,3; 10,1; 9,5; 9,6; 9,7; 9,2; 9,3; 8,8; 9,5; 9,8; 9,1; 9,2; 9,6; 8,4. Calcular el rango, la varianza y la desviación típica. (p. 340)

Actividad 2.1. 1. Resuelva los tres problemas presentados en los párrafos anteriores. 2. ¿Considera usted que estos problemas son reales o ficticios? Explique. 3. ¿Encuentra usted que estos problemas sean interesantes o retadores?

Explique Al tipo de enfoque presentado hasta ahora lo consideraremos como el primer nivel en el uso de aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. Este enfoque es sumamente limitado y en general se recurre a problemas poco retadores y ficticios. Dentro de este enfoque el contenido matemático es introducido primero de manera “abstracta”, en especial las técnicas de cálculo y de manipulación algebraica, y los problemas de aplicaciones son presentados al final de cada tema. Un segundo enfoque es el uso de las aplicaciones como motivación para introducir un tema. Este enfoque es muy popular entre autores de libros escolares de matemáticas. Por ejemplo, todas las unidades en el libro de Suárez Bracho y Durán Cepeda (2002) comienzan con una fotografía, una breve descripción de una situación problemática y un conjunto de preguntas o problemas relacionados con esa situación. La información ofrecida en esa primera página de cada unidad es muy breve y busca motivar a los estudiantes. Una vez hecha esa introducción, lo autores pasan a presentar el contenido de la unidad sin mayores referencias a las aplicaciones. Veamos a continuación un ejemplo tomado de dicho libro. La Unidad 15, titulada “División de polinomios y fracciones racionales”, tiene en la página inicial una foto de una sabana, con una laguna en el centro. En la columna de la derecha aparece un escrito titulado “El planeta en que vivimos” con el texto siguiente:

La Tierra, nuestro planeta, está envuelta por una capa de gases que forman el aire. El más importante de estos gases para la vida es el oxígeno (21%), pero el más abundante es el nitrógeno (78%). Si imaginamos la superficie terrestre dividida en 25 partes iguales, 18 de esas partes están ocupadas por los mares y los océanos y las otras 7 partes serían de tierra firme. De las 7 partes de tierra firme 3 son útiles para el ganado o para el cultivo y 4 no son útiles ni para el ganado ni para el cultivo. (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p. 181)

En la parte inferior de esta misma página, bajo el título “Calcula y responde”, se proponen unas preguntas y problemas. Estos son los siguientes:


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¿Qué fracción de la superficie terrestre está ocupada por los océanos y los mares? ¿Y por la tierra firme?

Suma la parte de la superficie terrestre que es útil y la que no es útil. ¿Qué representa la fracción que has obtenido?

La superficie total de la Tierra es de 510 100 000 km2. ¿Qué superficie ocupan los océanos y mares aproximadamente?

¿Cuántos kilómetros cuadrados ocupa la parte que no es útil ni para el ganado ni para el cultivo? ¿Y la parte que es útil para el ganado o el cultivo? (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p. 181)

Con estas termina la página de presentación. Como dijimos anteriormente, de allí se pasa a la presentación del contenido d ela unidad donde se hace poca o ninguna referencia a las aplicaciones. Actividad 2.2 1. Verifique los datos dados por Suárez Bracho y Durán Cepeda (2002) en la

introducción al tema. Son estos ciertos o ficticios. 2. ¿Qué relación tiene esta situación problemática con el tema matemático

tratado en la unidad? 3. ¿Cree usted que esta situación “real” es adecuada para la introducción del

tema de División de polinomios y fracciones racionales? Explique. 4. En caso de que su respuesta a la pregunta anterior sea negativa escoja usted

una situación problemática adecuada par ala introducción de este tema. En este segundo enfoque se hace un uso muy limitado de las aplicaciones, sólo juegan un papel de motivación y no forman parte integral de la enseñanza del tema. Los estudiantes podrían formarse la idea que las aplicaciones son una cuestión accesoria y no forman una parte importante de las matemáticas. Con todas sus limitaciones, este enfoque lo consideramos como un segundo paso en la introducción de las aplicaciones en la clase de matemáticas. Un tercer enfoque es el de presentar un aplicación desde el comienzo como punto de partida para estudiar un tópico de matemáticas en particular. Este enfoque es característico, aunque no exclusivo, de la llamada matemática “realista” desarrollada por la escuela holandesa de didáctica de las matemáticas, en particular bajo la influencia de Hans Freudenthal. Uno de los primero libros escolares, para la educación secundaria, en adoptar este enfoque fue el de los italianos Castelnovo, Gori Giorgi y Valenti (1986). Incluso estos libros tiene el subtítulo: “La matemática en la realidad”. Todas las partes principales de este libro comienzan con una introducción extensa, de entre tres y cinco páginas, a cada tema combinando historia y aplicaciones. La presentación del contenido casi siempre comienza con aplicaciones reales, las cuales forman una parte integral de la enseñanza de dicho tema. Describiremos a continuación la parte dedicada al tema de la función exponencial y logarítmica. En la introducción al tema, Castelnuovo y otros (1986) comienzan resaltando el significado del adjetivo “exponencial”, lo cual significa que la ley depende del “exponente”. Luego entran a narrar el desarrollo histórico de ambas funciones, o leyes, en especial su relación con las progresiones. Es oportuno señalar que estos autores rechazan, en la práctica, el enfoque eurocéntrico en la historia de las matemáticas. En su relato incluyen a los griegos, chinos, árabes, etc. sin exagerar las contribuciones de una nacionalidad o grupo étnico en particular. Retomemos nuestro tema principal. Luego, comienzan la enseñanza del contenido con una sección titulada “La ley exponencial en la naturaleza”. En esta


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sección se introducen fenómenos naturales diversos (la reproducción por división, la fisión y el decaimiento radioactivo) donde aparece dicha ley. La segunda sección se titula “El logaritmo en la naturaleza”. En ambas secciones se inicia la enseñanza del tema correspondiente en el contexto de unas aplicaciones de éste a problemas reales. También introducen en esta parte el uso de calculadoras. Un problema que tratan Castelnuovo y otros (1986) es el del decaimiento del carbono 14 (C14) y su uso para determinar la edad de un fósil. Veamos una parte del texto de estos autores.

Todo organismo viviente contiene una cantidad de C14, la cual permanece constante mientras que el organismo vive, porque el carbono presente en el cuerpo se renueva constantemente. A penas el organismo muere, se detiene el recambio y se inicia el decaimiento del C14, que disminuye cada 6 000 años. Si un organismo contiene mientras está vivo 1mg de C14, después del momento de la muerte la masa M de C14 comienza a disminuir con el paso del tiempo según la ley

M = (1/2)t

Esta ley nos permite resolver el problema de la previsión y de la determinación de la edad.

A) Problema de la previsión

Si un organismo muere hoy y queremos saber cuánto C14 contendrá dentro de 18 000 años. Nótese que dado el tiempo t (18 000 años, es 3 veces el tiempo de decaimiento) se puede determinar la masa M, la cual está dada por

M = (1/2)3 = 0,125 mg

B) Problema de determinación de la edad

Si se tiene un organismo, el cual contiene cuando está vivo contiene 1mg de C14; en cuyo fósil se encuentra una masa de igual a

M = 0,0625 mg

Se desea saber cuándo murió el organismo.

Conocemos el valor de masa M y se desea determinar el tiempo t transcurrido. Para resolver este problema se deberá expresar la masa M en la forma de una potencia de base ½, o sea se deberá determinar el exponente t de modo que resulte

(1/2)t = 0,0625

En este caso particular resulta fácil hallar el resultado, dado que resulta

(1/2)4 = 0,0625

Se tiene que t = 4, entonces han transcurrido 4 tiempos de decaimiento, este es 24 000 años. Hemos así determinado la edad del fósil.

La ley establecida

M = (1/2)t

Puede ser considerada desde dos puntos de vista.

A) Previsión: dado el tiempo t se desea hallar la masa M.


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B) Determinación de la edad: dada la masa M se desea hallar el tiempo transcurrido t.

Es muy fácil distinguir los dos casos, siguiendo una convención de uso: se indica con x la variable que se conoce y con y la variable que se desea hallar, de este modo la ley

M = (1/2)t

Se escribirá

y = (1/2)x , cuando t = x es dado y se desea hallar M = y.

x = (1/2)y , cuando M = x es dado y se busca t = y.

Se nota ahora una diferencia entre las dos formulas escritas de esta forma: en la primera es fácil calcular y, cuando e dada a x; en la segunda, por el contrario, no conocemos un método para calcular el valor de y a partir de la x.

Se puede describir este segundo problema, decimos que se debe expresar la masa x en la forma de una potencia de con base ½, este es, se debe determinar el exponente y que asignado a la base ½ en

modo de la potencia (1/2)Y de cómo resultado x.

Esta larga oración escrita arriba se sintetiza en el término logaritmo. Esta “extraña” palabra, introducida a finales de 1500 por el matemático ingles John Napier (conocido con el nombre latinizado de Nepero o Neper), viene del griego logos-arytmòs y significa “número de proporción”, como ya dijimos en la introducción histórica (pag. 205).

Así, en lugar de decir “y es el exponente que asignado a la base ½ en modo de potencia da como resultado x”, se dice “y es el logaritmo de base ½ del número x”. Y, en lugar de escribir

x = (1/2)y

Se escribe

Y = log1/2

x,

Lo cual se lee, “y es igual el logaritmo de base ½ de x”

(…) [continúa la exposición] (traducción libre de Julio Mosquera) (Castelnuovo y otros, 1986, pp. 213-215)

Para más información sobre el carbono 14 y su uso para estimar la edad de la Tierra puedes visitar la página web educativa venezolana: http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/cienciasTierra/Tema19.html. Allí encontrarás un artículo muy interesante sobre le tiempo geológico. En el sitio web Red Escolar Nacional encontrará mucha más información que le puede servir de fuente de situaciones problemáticas reales. Resaltamos que en el caso anterior se tiene que la aplicación es presentada como parte integral de la enseñanza del tema de la función exponencial. Este tercer enfoque se diferencia pues de los dos primeros en los cuales las aplicaciones


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aparecen generalmente al final, en forma de ejercicios, y de manera limitada, y como motivación para introducir el tema respectivamente. Actividad 2.3 1. Escoja un libro escolar cualquiera de Matemática para la educación secundaria

(Tercera Etapa de Ecuación Básica y Ecuación Media Diversificad y Profesional). Revise dicho libro e identifique cuál de los enfoques anteriores se adopta en ese libro.

2. Elija un tema cualquiera de Matemática de Primer Año de Educación Media Diversificada y Profesional y haga una lista de posibles campos, o situaciones problemáticas, en los que se aplique ese tema. ¿Cuál de esos temas escogería para introducir el tema escogido? Explique.

Otros autores propone el enfoque de la investigación en la enseñanza de las matemática, por ejemplo Skovsmose (2001). Este enfoque es similar al tercero de los antes expuestos. En el curso de Didáctica de la Geometría, específicamente en las unidades 3 y 4, usted tuvo la oportunidad de estudiar algunas aplicaciones del álgebra y de la trigonometría respectivamente. Allí introdujimos las ideas de Skovsmose (2001) sobre el enfoque de la “investigación” en la enseñanza de las matemáticas. Le invitamos a que lea otra vez esas unidades para refrescar las ideas presentadas en ellas. En esta lección estudiamos tres enfoques o maneras de introducir las aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. El primer enfoque se caracteriza por la proposición de problemas de aplicación, la mayoría de las veces limitados y de contextos ficticios, después de terminada la presentación del contenido. En el segundo enfoque las aplicaciones son introducidas al principio de cada tema con fines de motivar a los estudiantes, pero estas no forman una parte integral de la enseñanza del contenido. Por último, en el tercer enfoque, las aplicaciones juegan un papel integral en la enseñanza del contenido, son más que algo accesorio o con fines de motivación. Este último enfoque resulta ser muy exigente para el profesor, sin embargo, al final de este curso esperamos que usted esté mejor preparado o preparada para asumirlo y maneje información sobre fuentes documentales que le pueden ser de ayuda para su adopción y puesta en practica en el aula.

Referencias Brett C., E. (2006). Actividades de Matemática II Cs. C.D. Caracas: El Autor. Castelnuovo, E., Gori Giorgi, C. y Valenti, D. (1986). La scienza. La matematica

nella realidad 3. Scandicci, Italia: La Nuova Italia. Suárez Bracho, E. y Durán Cepeda, D. (2002). Matemática 8. Caracas:

Santillana.

35

Unidad 3 Ciclo de aplicación de las matemáticas

Objetivo: Explicar el ciclo de la aplicación de las matemáticas.

36

Lección 3 Esta Unidad está dividida en dos lecciones. En esta primera lección estudiaremos algunos ejemplos de cómo se modela matemáticamente una situación determinada. Los ejemplos en cuestión fueron escogidos por su sencillez y sólo pretendemos que le sirvan para comprender el proceso de modelaje. En la siguiente lección entraremos a considerar diversas maneras de caracterizar el ciclo de la aplicación de las matemáticas o ciclo de modelaje. Como señalamos arriba, recurrimos a dos ejemplos sencillos para ilustrar el proceso de modelaje matemático. El primer ejemplo lo tomamos de la agricultura. Supongamos que estamos interesados en sembrar tomates en un huerto familiar. Contamos para tal fin con un terreno plano de la forma y dimensiones como se indica en la Figura 3.1.

Figura 3.1

En primera instancia, tenemos que el dibujo en la Figura 3.1 es un modelo de la realidad, porque no tenemos el terreno frente a nosotros sino una representación geométrica (matemática) del mismo. Nuestra situación de partida ya es una representación matemática de la realidad, un modelo de nuestro terreno. A partir de esta situación plantearemos una solución al problema propuesto. Producto de la experiencia y la investigación sobre la siembra de tomates se ha logrado establecer un conjunto de datos que nos permiten sembrar dichas plantas de manera que mejore su producción. En la Tabla 3.1 se muestran esos datos. Esta información es válida sólo para el caso específico de los tomates. Hasta ahora tenemos dos tipos de información: a) las magnitudes y la forma del terreno y b) un conjunto de datos sobre la siembra de plantas de tomate. La información del primer tipo podríamos llamarla parámetros, porque estos se mantienen fijos para el caso particular del terreno considerado. Mientras que la información del segundo tipo son constantes, porque estas se mantienen fijas para el caso de las plantas de tomate independientemente de las magnitudes y forma del terreno donde se sembren.

5 m

4 m

6 m

5,5 m


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Como veremos en lecciones siguientes, la identificación de las constantes y los parámetros en una situación determinada es muy importante para la construcción de un modelo matemático.

Distancia entre plantas: 50 cm. Distancia entre líneas: 100 cm.

Profundidad de Siembra: 1,5 cm Número de semillas por gramo: 400

Metros de surco sugeridos para una familia de 4 o 5 personas: 15 m

Tiempo para cosechar: 80 a 100 días Fuente: Adaptado de Huerta y jardinero. Semillas y siembra (2006)

Tabla 3.1 Considerando toda la información dada anteriormente, realice la Actividad 3.1. Actividad 3.1 1. ¿Es posible sembrar en el terreno dado el número de plantas de tomate

suficiente para proveer a 20 personas? 2. ¿Cuál es el número máximo de personas que se podrían beneficiar

aprovechando eficientemente el terreno dado? 3. Dibuje tres maneras diferentes en las que se podrían sembrar las plantas de

tomate en el terreno dado. 4. Invente una pregunta o problema sobre la situación planteada. Revisemos aquello que hemos hecho hasta ahora. Partimos de una situación real representada geométricamente y de un conjunto de datos dados previamente conocidos sobre la situación de nuestro interés. Distinguimos ente constantes y parámetros, paso muy importante en el proceso de aplicación de las matemáticas. Una vez comprendida la situación y las preguntas propuestas procedimos a responder estas últimas. La situación considerada anteriormente es, en cierta forma, estática. En ella no tenemos cosas en movimiento o procesos. A continuación estudiaremos un caso donde nos encontramos con magnitudes variables. Este ejemplo es tomado de Edwards y Mason (1989). Primero describiremos la situación problemática. ¿Cuántos carros pasan a través de un conjunto de semáforos cuando la luz cambia a verde por un período de 15 segundos? Supongamos que una fila de carros están esperando están esperando para cruzar la intersección y las luces están en rojo. Con frecuencia la cola es tan larga que un conductor a cierta distancia del frente de la cola ve la luz pasar a verde y regresar a rojo antes de avanzar, mucho menos cruzar la intersección. El comportamiento del tráfico en los semáforos puede ser muy complicado, dependiendo de cosas como “filtros giro a la derecha”, “no cruzar a la izquierda” y así sucesivamente. También, cuando la densidad del tráfico disminuye, con frecuencia no se forman colas, y el número de caros que atraviesan la intersección dependerá de cuantos hay en la vecindad de los semáforos en primer lugar. Aquí nos ocuparemos del caso de la saturación donde ya se ha formado una larga cola de carros en la luz roja esperando para arrancar. Podemos hacer un número de suposiciones desde el comienzo.

(a) La intersección no está bloqueada de manera alguna.


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(b) Todos los carros intentan cruzar directamente a través de la intersección. (c) Todos los vehículos son carros del mismo tamaño, 5m de largo, e

inicialmente en reposo. (d) Hay un espacio de 2m entre carro y carro parado.

El objetivo es calcular cuántos carros pasan por la intersección en un ciclo de duración de la luz verde. Como mencionamos anteriormente, esta situación es dinámica, a diferencia de la primera. En este caso tomamos en consideración el caso de unos objetos que se encuentran en reposo por un tiempo determinado y luego se ponen en movimiento, ambos estados de los objetos son regulados por un semáforo el cual también cambia en el tiempo. Sin embargo, al igual que en la primera situación, partimos de unos supuestos, de una simplificación de la situación. Pasemos ahora a resolver el problema. Primero nos preguntamos: ¿cómo arranca un carro? Asumimos que éste acelerará uniformemente hasta la velocidad máxima permitida en vías urbanas, asumamos que es 13,4 m/s. De manera razonable podríamos asumir que la velocidad final sería 15 m/s. Ahora, tenemos que avaluar la aceleración de un carro en condiciones urbanas. En los manuales de algunos carros se afirma que aceleran de “0 a 26,8 m/s en 10 s”. Basados en esa información podemos afirmar que la aceleración es de

2,68 m/s2. Asumimos conservadoramente una aceleración de 2,0 m/s

2.

Basándonos en que, una vez que el carro ha alcanzado la velocidad final, esta velocidad e mantiene constante, podemos dibujar el gráfico velocidad-tiempo (ver la Figura 3.2). Tenemos que después de 7,5 segundos el carro alcanza la velocidad final de 15 m/s. La descripción del movimiento de un carro no es suficiente para lograr el objetivo del modelo, nos falta considerar el movimiento del resto de la cola.

Figura 3.2

Supongamos que hay un retardo de 1s en tiempo de reacción antes de que el conductor del carro siguiente reaccione y arranque. Este movimiento es fácilmente incorporado al mismo gráfico velocidad-tiempo, de manera tal que


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todos los carros restantes pueden ser representados en dicho gráfico (ver Figura 3.3)

Figura 3.3

La distancia recorrida por cada carro puede ser hallada usando el gráfico velocidad-tiempo calculando el área bajo la gráfica. Entonces, después de 4s tenemos: El carro 1 ha recorrido 16 m

El carro 2 ha recorrido 9 m



El carro 5 no llega a moverse Nos preguntamos: ¿Dónde está esos carros parados en relación con la raya blanca en el semáforo? Medido desde el parachoques delantero de cada carro, elaboramos una tabla de las posiciones de los carros, al comienzo y después de 4s. Tabla 3.1 Carro Tiempo en

movimiento (s) Distancia

recorrida (m) Posición inicial referida a la

“línea blanca” (m)

Posición neta referida a la


1 4,0 16,0 0,0 16,0 2 3,0 9,0 -7,0 2,0 3 2,0 4,0 -14,0 -10,0 4 1,0 1,0 -21,0 -20,0 5 0,0 0,0 -28,0 -28,0

Ahora después de 7,5 s la situación cambia dado que algunos carros han alcanzado la velocidad máxima de 15 m/s. ¿Puede usted hallar una fórmula general para la distancia en metros que cada carro ha recorrido después, digamos de T segundos? Una formula sugerida es:


40

T2, T 7,5

S = 7,52 + 15(T – 7,5), T 7,5

Supongamos ahora que la luz verde se mantiene encendida 15 s; ¿Puede usted calcular cuántos carros pasarán por la intersección? La situación con T = 15 s se muestra en la Tabla 3.2. Tabla 3.2 Carro Tiempo en

movimiento (s) Distancia

recorrida (m) Posición inicial referida a la


Posición neta referida a la


1 15 168,75 0,0 168,75 2 14 153,75 -7,0 146,75 3 13 138,75 -14,0 4 12 123,75 -21,0 5 11 108,75 -28,0 6 10 93,75 -35,0 7 9 78,75 -42,0 8 8 63,75 -49,0 9 7 49,00 -56,0 10 6 36,00 -63,0 11 5 25,00 -70,0 12 4 16,00 -77,0 13 3 9,00 -84,0 14 2 4,00 -91,0 15 1 1,00 -98,0 16 0 0,00 -105,0 -105,0

Usted puede usar esta tabla para calcular cuántos carros pasan pro la intersección antes de que la luz cambie a rojo otra vez. Para más investigación (a) ¿Puede usted modelar cómo los carros llegan al estado de reposo cuando el

semáforo cambia a la luz roja? Esto depende del “tiempo de frenado”, datos sobre ese asunto pueden encontrarse en internet.

¿Cuál es la relación entre velocidad y distancia total expresada como una fórmula matemática? ¿Puede ser ésta incorporada al modelo.

(b) En una cola muy larga de espera en un semáforo , habrá una secuencia considerable de paradas y arranques en la medida que el movimiento de la cola avanza. ¿Es posible modelas ese efecto de “onda” en el transcurso del tiempo? Velocidad (millas

por hora) Distancia de

reacción (pies) Distancia de

frenado (pies) Distancia total

(pies) 20 20 20 40 30 30 45 75 40 40 80 120 50 50 125 175


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Hasta aquí llegamos con el problema tomado de Edwards y Mason (1989). Ahora nos interesa pasar revista a los pasos seguidos en el estudio de ese problema. Primero, comprendimos la situación y asumimos unos supuestos. Esto significa producir una versión simplificada del problema, en la cual se han identificado variables, parámetros y constantes, y posibles relaciones entre ellas. Segundo, expresamos esas elementos y sus relaciones en términos matemáticos, por ejemplo, elaboramos una gráfica velocidad- tiempo. Tercero, realizamos cálculos para responder a las preguntas o problemas planteados. Consideramos si dichas respuestas son o no razonables. Es oportuno señalar que en el proceso de resolución del problema, o de elaboración del modelo matemático, se elaboró primero un modelo más sencillo que tuviera sentido, es decir, con un solo carro. Este paso tiene similitudes con la heurística de Polea para la resolución de problemas, donde se recomienda considerar primero un problema más sencillo similar al problema original. Volvamos con nuestro proceso de modelaje. Por último, ua vez resuelto el problema original nos planteamos algunas preguntas nuevas que nos permiten extender el problema inicial y hacer nuevas investigaciones partir de la introducción de nuevas consideraciones sobre la situación inicial, tal es el caso de considerar el “tiempo de frenado”. También es oportuno mencionar que en ambos problemas estamos considerando contenidos de otras asignaturas o de otros campos de conocimientos. De esta manera mostramos dos ejemplos de cómo se puede hacer integración de contenidos en la enseñanza de las matemáticas en la escuela. Para más información sobre fórmulas básicas útiles para resolver problemas relacionados con accidentes de tránsito, visitar el sitio web: http://accidentesdetransitoencolombia.blogspot.com/2006_12_01_archive.html El uso de las simulaciones y las fórmulas, y la discusión de este tema podrían ayudar a los estudiantes a tomar conciencia de la importancia de tomar precauciones para prevenir accidentes de tránsito. En esta lección estudiamos dos ejemplos de aplicación de las matemáticas para comprender mejor una situación real y resolver problemas en el contexto esa situación dada. Como dijimos anteriormente, el estudio de estos ejemplos nos introduce en el tema del ciclo del modelaje o de los pasos que se siguen, en términos generales, para aplicar las matemáticas a una problemática real dada. En la lección siguiente pasaremos a estudiar este ciclo en general y diferentes maneras de concebirlo.

Bibliografía

Edwards, D. y Mason, M. (1989). Guide to mathematical modelling. Boca Ratón, Florida: CRC.

Huerta y jardinero. Semillas y siembra. (2006). Disponible en: http://usuarios.lycos.es/dserra/huertayjardineria/siembra.htm#Melón

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Lección 4

En la lección anterior vimos dos ejemplos del proceso de modelaje o de aplicación de las matemáticas. En esta lección pasaremos revista a varias caracterizaciones de este ciclo. Es decir, reconocemos que este ciclo es concebido de diversas maneras, las cuales tienen elementos comunes. Una vez estudiadas varias de esas caracterizaciones identificaremos esos elementos comunes.

Primero, pasaremos revista a varias formas de caracterizar el ciclo de modelaje o de aplicación de las matemáticas. Nos interesa estudiar cada uno de ellos en si mismos. Segundo, una vez estudiado cada propuesta, nos ocuparemos de identificar diferencias y semejanzas entre ellos.

Conocidas diversas caracterizaciones del proceso de modelaje, usted estará mejor preparado o preparada para describir dicho proceso, reconocer la diversidad de propuestas, señalar diferencias y semejanzas entre ellas y explicar dicho proceso a sus estudiantes.

Shannon (1975) identifica once etapas en el proceso de de simulación, las cuales son:

1. Definición del sistema. Determinar las fronteras, restricciones y medidas de efectividad que serán usadas en la definición del sistema estudiado.

2. Formulación del modelo. Reducción o abstracción del sistema real a la lógica del diagrama de flujo.

3. Preparación de datos. Identificación de los datos que el modelo necesita y su reducción a la forma apropiada.

4. Traducción del modelo. Descripción del modelo en un lenguaje aceptable a la computadora que será utilizada.

5. Validación. Incrementar a un nivel aceptable la confianza en que una inferencia hecha a partir del modelo acerca del sistema real será correcta.

6. Planificación estratégica. Diseño de un experimento que produzca la información deseada.

7. Planificación táctica. Determinación de cómo cada una de las pruebas especificadas en el diseño del experimento será ejecutada.

8. Experimentación. Ejecución de una simulación para generar los datos deseados y ejecutar un análisis de sensibilidad.

9. Interpretación. Sacar conclusiones de los datos generados por la simulación.

10. Implementación. Poner el modelo y/o los resultados en uso.

11. Documentación. Registrar las actividades del proyecto y los resultados asi como documentar el modelo y su uso.

(Shannon, 1975, p. 23)

Actividad 4.1.

1. Consulte en un diccionario la definición de la palabra “simulación”.

2. ¿Cómo se relacionaría el modelaje con la simulación?


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Para Shannon (1975), todo modelo o representación de una cosa o fenómeno puede ser considerada como una simulación. Define la simulación como sigue:

La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y conducir experimentos con este modelo con el propósito de comprender la conducta del sistema o de evaluar varias estrategias (dentro de los límites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operación de un sistema. (Shannon, 1975, p. 2)

Desde este punto de vista, el proceso de simulación considera tanto la elaboración del modelo como el uso de ese modelo para la comprensión y resolución de un problema.

Este autor distingue varios tipos de modelos (este tema lo trataremos en detalle en la Unidad 4). Ubica estos tipo en un espectro continuo, desde lo más exacto (según su parecido a la realidad modelada) a lo más abstracto. Dichos tipos de modelos quedarían ubicados de la manera siguiente:

Exactitud Abstracción

Modelos físicos

Modelos a escala

Modelos análogos

Juegos de gestión

Simulaciones por

computadora

Modelos matemáticos

Como vemos en la escala anterior, los modelos matemáticos se encuentran en el extremo máximo de la abstracción. No nos interesa en este momento explicar en que consiste cada uno de estos tipos de modelos. Recordemos que nuestro interés es pasar revista a diferentes formas de caracterizar el ciclo del modelaje. Pasemos entonces a considerar la primera de estas caracterizaciones (ver Figura 4.1.).

Figura 4.1. Ciclo de la aplicación de las matemáticas. Esta caracterización del proceso de modelaje está formada pro cuatro fases. El punto de partida es un problema del mundo, un problema real. Una vez comprendido el problema e identificados los datos importantes, se pasa a la segunda fase que es la construcción del modelo. Con el modelo ya elaborado se recolectan datos relevantes para la solución de el problema. Con estos datos se pasa a realizar los cálculos que nos permitan obtener la repuesta o respuestas al problema planteado. Pero no todavía no lo hemos resuelto completamente, nos toca interpretar los resultados obtenidos a partir del modelo para evaluar cuán

Problema del mundo

real Construcción del modelo

Recolección de datos

Calcular la solución

Interpretar los resultados


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bien resuelven el problema. Esta última fase nos obliga a reconsiderar el problema original y evaluar si el modelo ha sido adecuado para resolverlo. A continuación presentamos una segunda caracterización del proceso de modelaje (ver Figura 4.2.). En ésta encontramos seis fases que componen ese proceso. La primera fase consiste en identificar el problema que nos preocupa y que queremos resolver. Una vez identificado dicho problema y comprendido pasamos a la segunda fase: la formulación de un modelo matemático. En esta fase encontramos el núcleo del proceso de modelaje. Una vez formulado el modelo lo usamos para producir soluciones al problema planteado en la primera fase. Esas soluciones producidas por el modelo deben ser sometidas a un proceso de interpretación. Las soluciones matemáticas son evaluadas para ver si responden o no adecuadamente a las preguntas formuladas en el problema. Eso es precisamente lo que tenemos que hacer en la quinta fase. Por último, es preciso reportar los resultados obtenidos así como todo el proceso seguido para hallarlos. Entonces, tenemos una sexta fase en la que nos dedicamos a elaborar un informe detallado de la manera en que nos planteamos el problema, el proceso de formulación del modelo y presentar el modelo mismo, reportar los resultados, la evolución de los mismos y su interpretación a la luz del problema que queríamos resolver. Adicionalmente podemos prepara una presentación de todo el proceso.

Figura 4.2. (Edwards y Mason, 1989, p. 44) (Traducción del autor) Actividad 4.1. Identifique las diferencias y semejanzas entre las dos caracterizaciones del proceso de modelaje presentadas arriba. Ahora le presentamos una tercera caracterización del proceso de modelaje o de aplicación de las matemáticas para resolver problemas reales (ver Figura 4.3.).

1 Identificar el problema

2 Formular un modelo matemático

3 Obtener una solución matemática del modelo

4 Interpretar la solución matemática

5 Comparar con la realidad

6 Escribir un informe y/o presentar los resultados


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Figura 4.3. Proceso de matematización. (Université de Québec, 1976, p. 130)

(Traducción del autor). La primera fase en el proceso de matematización, representado en la Figura 4.3., es una situación. La situación está asociada a un conflicto, a una insatisfacción, a algo que nos parece problemático y que queremos explicar o resolver. Las

3 Elementos

significativos y sus relaciones

4 Formalización y

modelo matemático

5 Manipulación

interna en el modelo

6 Resultados

8 Conflicto

1 Situación

7 Retorno a la

situación

Traducción en términos observables

2 Observación

9 Perfeccionamiento

del modelo


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fases siguientes son prácticamente descritas por su denominación. En esta propuesta de la Université de Québec (1976) lo más interesante son las competencias o habilidades asociadas a esas fases. Tenemos así que a las dos primeras fases se asocia la competencia de la crítica o del pensamiento crítico, el cual sería necesario para reconocer el conflicto o la situación problemática que se desea comprender y resolver. A la fase 3 se asocian la habilidad para formular hipótesis y la idealización. En la fase 4 se requiere que el estudiante defina un concepto, haga representaciones y use una teoría matemática y de otras disciplinas, según sea el caso. Para pasar de la fase 5 a la 6, los estudiantes deben ser capaces de predecir, descubrir, resolver y decidir sobre la base de los resultados obtenidos de la aplicación del modelo. La consideración de estas competencias o habilidades es muy importante para el profesor interesado en introducir las aplicaciones de las matemáticas en su clase. Además, nos presenta esta caracterización elementos complementarios a las caracterizaciones anteriores. Actividad 4.2.

Compare y contraste las tres caracterizaciones del proceso de matematización estudiadas hasta ahora. A continuación le presentamos la última caracterización del proceso de modelaje que consideraremos en esta lección. Esta caracterización fue elaborada por Kerr (1979), como parte de una propuesta para la inclusión de las aplicaciones de las matemáticas en su enseñanza en la escuela secundaria.

Figura 4.4. Construcción de modelos matemáticos en el aula (Kerr, 1979, p. 3).

(Traducción del autor)


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Al igual que en las caracterizaciones anteriores, Kerr (1979) parte del mundo real, o de una situación real. Esa situación real tiene que ser simplificada para producir un modelo real de la situación. Una vez que tenemos ese modelo, versión simplificada de la situación real se nos presentan dos alternativas, claro está en el contexto de la educación: a) elaborar un modelo para el aula y b) pasar directamente a la elaboración de un modelo matemático. La primera de estas opciones, como se señala en la Figura 4.4., es específica al caso del uso de las aplicaciones de las matemáticas en su enseñanza. Este paso lo estudiaremos en detalle en la Lección 12, Unidad 7. Una vez elaborado el modelo matemático lo aplicamos y sacamos conclusiones a partir de los resultados obtenidos. Volvemos a considerar la situación en el mundo real y el modelo real correspondiente y procedemos a la revisión de este último a la luz de los resultados y las interpretaciones de los mismos. Actividad 4.3.

1. Compare y contraste los cuatro tipos de representaciones del proceso de matematización presentados en esta lección.

2. ¿Cuál de esos modelos considera usted que es el más completo? Explique.

3. Elabore una nueva representación del proceso de modelaje que incluye todos los elementos y/o procesos que aparecen identificados en las cuatro caracterizaciones presentadas arriba.

En esta lección estudiamos cuatro caracterizaciones del proceso de aplicación de las matemáticas o de matematización. Estas cuatro versiones no agota el universo de caracterizaciones de este proceso. Vimos como en todos esos modelos aparecen unos elementos comunes y algunas diferencias. Entre los elementos comunes encontramos: (a) la identificación y formulación de un problema, (b) la elaboración de un modelo matemático, (c) la realización de cálculos con el modelo, (d) la verificación de los resultados y (e) el proceso de modelaje es concebido como un proceso circular, no lineal. Y entre las diferencias tenemos que en algunas de esas caracterizaciones se considera la revisión del modelo y la elaboración de un reporte o presentación de los resultados, es notable la última caracterización, la cual es específica a la situación del uso de la modelización en la clase de matemáticas.

Las caracterizaciones estudiadas en esta lección, así como los ejemplos presentados en la lección anterior, nos permiten formarnos una visión general del proceso de modelaje. Esto nos prepara para entrar en la materia específica del estudio y construcción de modelos matemáticos para resolver problemas reales. Ese es precisamente el tema principal de las lecciones que siguen.

Bibliografía

Edwards, D. y Masón, M. (1989). Guide to mathematical modelling. Boca Ratón, Florida: CRC.

Kerr, D. R. (1979). Mathematical models to provide applications in the classroom. En S. Sharron y R. E. Reys (Comps.) Applications in school mathematics. 1979 Yearbook (pp. 1-19). Reston, Estados Unidos: National Council of Teacher of Mathematics.

Shannon, R. E. (1975). Systems simulation: The art and science. Englewood Cliffs, Estados Unidos: Prentice Hall.

Université de Québec (1976). Mdèles mathematiques et realite. Quebec, Canada: El Autor.

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Módulo 2 Matemáticas y Ciencias como apoyo para mejorar

nuestra comprensión de la realidad

Objetivos: Planear el uso de las matemáticas como herramienta para mejorar nuestra comprensión de la realidad en otras áreas.

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Unidad 4 Modelos matemáticos

Objetivo: Identificar los tipos de modelos: determinístico y probabilístico.

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Lección 5 Las dos lecciones que forman esta unidad están dedicadas al estudio de modelos determinísticos y probabilísticos. En esta lección le presentaremos el primer tipo de modelos y en la siguiente el segundo tipo. Estos modelos no son necesariamente excluyentes, y pueden ser vistos como complementarios en algunos casos. Además, una misma situación podría ser modelada por uno u otro de estos tipos de modelos. Incluso, dentro de un mismo modelo algunas características son deterministas y otras aleatorias (Edwards y Mason, 1989). En lecciones posteriores retomaremos este asunto. Por ahora, en esta Unidad nuestro interés se centra en que usted identifique y distinga estos dos tipos de modelos. La clasificación de los modelos en determinísticos y probabilísticas se basa en la distinción de las relaciones entre las variables que actúan en la situación que se desea modelar (Treilibs, 1979). La expresión modelo determinístico es “(…) usada en aquellos casos en los que los resultados son una consecuencia directa de las condiciones iniciales del problema. Esta relación directa no es afectada por factores externos arbitrarios o, en particular, factores aleatorios. (…)” (Edwards y Mason, 1989). Todos los ejemplos de modelos matemáticos que hemos visto hasta ahora son determinísticos. Este tipo de modelos a su vez pueden clasificarse en dos grupos: a) algebraicos y b) ecuaciones diferenciales (Treilibs, 1979). Esta última categorización tiene que ver con el tipo de ecuación que expresa la relación entre las variables en el problema. En este curso nos ocuparemos principalmente del primer tipo de modelos deteriminísticos porque son los que se pueden tratar en la ecuación secundaria. Los modelos con ecuaciones diferenciales ya usted tuvo oportunidad de estudiarlos en el curso de Ecuaciones Diferenciales (Cod. 755). También podemos decir que los modelos determinísticos describen conductas sobre la base de algunas leyes físicas. Por ejemplo, los planetas se mueven alrededor del Sol según las leyes de Newton y su posición puede ser predicha con gran exactitud en el futuro. En la práctica, una relación totalmente determinística es posible debido a factores impredecibles — por ejemplo, un cometa previamente desconocido que se mueva por el sistema solar podría perturbar el movimiento de alguno de los planetas (Fuente: http://www.futuretoolkit.com/detstoch.htm) A continuación presentaremos dos ejemplos de modelos determinísticos. El primer ejemplo fue tomado de McGraw, Romero y Krueger (2006). Consideraremos un problema que surge en el contexto de las gradas de un stadium de béisbol. Un corte transversal de las gradas se muestra en la Figura 5.1. Supongamos que en las gradas de este stadium tienen 16 filas de asientos. Para esta situación se proponen las preguntas siguientes: 1. Si usted estuviera sentado o sentada en la primera fila de las gradas del

staium, ¿cuán alto sobre el nivel del campo estaría usted?

2. Si usted se siente en la quinta fila de las gradas, ¿a qué altura del campo se encontraría?

3. ¿Puede usted hallar una ecuación que le permita determinar cuán alto se encuentra una persona sobre el nivel del estadium dada cualquier fila de las gradas?


51

¿Qué datos necesitaría usted recolectar para responder estas preguntas? A continuación, en la Figura 5.2, mostramos unos datos ficticios sobre un stadium imaginario. Lo más recomendable sería pedirle a los estudiantes que visiten un stadium de su localidad y que usen datos reales para esta investigación.

Figura 5.1

Lo primero que se puede hacer es representar la situación planteada en un gráfico, preferiblemente sobre papel cuadriculado. Antes de hacer el gráfico es necesario escoger los datos relevantes para resolver el problema. Recordemos que nos interesa hallar la altura respecto al campo en que se encuentra un espectador sentado en una fila cualquiera. Para hallar ese dato la información sobre la distancia horizontal entre las sillas es irrelevante.

Figura 5.2

Nos interesa saber a que altura respecto al campo de encontrará un espectador en una fila dada, escogemos un sistema de coordenadas rectangulares y representamos el número de fila en el eje horizontal (ver la Figura 5.3.). Es muy sencillo determinar la altura a la que se encontrará un espectador en la primera fila, esto es a 2,00 m. Hay que tomar en cuenta que cada silla está a una altura de 0,10 m del piso. Representaremos la altura respecto al campo en el eje vertical (ver Figura 5.4.).


52

Figura 5.3.

Figura 5.4.

Una vez que hemos determinado la altura a la que se encuentra del campo un espectador en la primera fila, pereciera sencillo hallar la altura a la que se encontraría un espectador en cualquier otra fila. Tomando en cuenta la altura de


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la silla en la primera fila respecto al piso y la distancia de cada silla al piso de cada escalón, tenemos la distancia vertical entre espectador y espectador en filas inmediatas es de 0,35 m. Datos para varias de las filas se muestran en la Figura 5.5. A primera vista el arreglo de los puntos representando las alturas de los espectadores respecto al campo nos sugiere que podemos modelar la situación mediante la ecuación de una recta. Nos faltaría hallar los parámetros para escribir dicha ecuación.

Figura 5.5.

Volviendo a la Figura 5.2, tomamos como altura inicial de referencia 1,65 m. Para hallar la altura del espectador en la primera fila le sumamos 0,35 m a esa altura inicial. Luego asumimos cada altura siguiente e hallaría sumando esa misma altura. De esa manera obtenemos la ecuación de la recta:

a = 1,65 + 0,35*g, donde a es la altura respecto al campo y g el número de la grada. Con esta ecuación podemos responder a todas las preguntas planteadas al principio. Como mencionamos al comienzo de esta lección, la relación entre las variables a y g es consecuencia directa de las condiciones iniciales del problema y en ella no influyen hechos externos fortuitos. El segundo ejemplo que le presentamos a continuación se refiere al uso de la programación lineal para resolver problemas ambientales (Vest, 1991). El ejemplo trata la situación de una planta de producción de cemento. La Compañía de Cemento EMCA tiene una vieja planta que desea mantener productiva en el caso de desarrollos políticos y económicos. Para que la planta opere económicamente, la producción total anual de cemento debe ser por lo


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menos de 2 500 000 barriles. Para satisfacer los controles gubernamentales en materia ambiental, las emisiones totales de polvo de las chimeneas no debe superar las 800 000 libras por año. La planta tiene dos tipos de colectores electrostáticos, dispositivo A y el dispositivo B. Por cada barrial de cemento producido, el dispositivo A permite 0,5 libras de emisiones por barril de cemento. El dispositivo B permite 0,2 libras de escape por barril. El costo del control de emisión con el dispositivo A es de $ 0,20 por cada barril de cemento producido. El dispositivo B cuesta $ 0,25 por barril. Determine la cantidad de cemento que debería producirse por cada dispositivo de control de emisión para minimizar el costo del control. Primer paso: Identificar las variables. Sea x = la cantidad anual de cemento producido con el dispositivo A (en barriles) Sea y = la cantidad anual de cemento producido con el dispositivo B (en barriles) Segundo paso: Hacer una tabla para resumir la información acerca de la planta.

Número anual de barriles producidos

Emisiones (libra/barril)

Costo/barril

Dispositivo A X 0,5 $ 0,20 Dispositivo B y 0,2 $ 0,25 Seguido, traducimos las restricciones a un sitema de desigualdades. Cantidades negativas no son usadas, por tanto x 0 y y 0. Las emisiones tiene que se controladas, así tenemos

0,5x + 0,2y 800.000 Un producción anual mínima tiene que mantenerse, así tenemos

X + y 2.500.000 Tercer paso: Graficar el sistema de desigualdades para determinar el conjunto convexo factible y hallar los vértices (ver la Figura 5.6.) El conjunto factible es la región convexa sombreada QRS. Los vétices puede hallarse resolviendo tres sistemas de igualdades: X = 0 y 0,5x + 0,2y = 800.000 nos da Q(0, 4.000.000) X = 0 y x + y = 2.500.000 nos da S(0, 2.500.000); y 0,5x + 0,2y = 800.000 y x + y = 2.500.000 nos da R(1.000.000, 1.500.000) Cuarto paso: Determinar la función objetivo expresando la variable a ser minimizada. Sea C = el costo total anual del control de emisión para el dispositivo A y para el dispositivo B.

C = 0,20x + 0,25y


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Figura 5.6.

Quinto paso: Aplicar el siguiente teorema de la programación lineal. Teorema de la programación lineal. Si la región de factibilidad en un problema de programación lineal es convexa y acotada, entonces la cantidad máxima o mínima para la función lineal objetivo es determinada en uno (o más) de los vértices de la región. Substituyendo las coordenadas de cada vértice en la función objetivo tenemos: Para Q(0, 4.000.000), C = $1.000.000 Para S(0, 2.500.000), C = $625.000 Para R(1.000.000, 1.500.000), C = $575.000 Sexto paso: Interpretar los resultados. El costo mínimo del control de la emisión es $575.00, el cual ocurre en el vértice R(1.000.000, 1.500.000). Si se desea que la planta mantenga las restricciones requeridas sobre la producción y control de la contaminación, y minimizar el costo del control, de3bería producirse un millón de barriles con el dispositivo A y 1,5 millones de barriles con el dispositivo B. Hasta aquí el ejemplo tomado de Vest (1991). Actividad 5.2.

1. ¿Los dos ejemplos qué tipo de modelo detérministico son?

2. ¿Cuáles contenidos de Matemática de la Educación Secundaria se necesitan conocer para comprender los modelos antes expuestos?

En el ejemplo anterior, podemos identificar con facilidad en este ejemplo algunos de los pasos del ciclo de la matematización o del modelaje. Tenemos además,


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como el primer ejemplo, una situación en las que las relaciones entre las variables no es afectada por factores externos fortuitos. En otras palabras, lo resultados que se obtiene son consecuencia directa de las condiciones iniciales del problema. Tal es la condición para que un modelo matemático sea considerado como determinístico.

Referencias


McGraw, R., Romero, D. y Krueger, R. (2006). How far up am I? The mathematics of stadium seating. The Mathematics Teacher, 100(4), 248-253.

Treilibs, V. (1979). Formulation processes in mathematical modelling. Shell Center for Matematical Education. University of Nottingham, Reino Unido.

Vest, F. (1991). Eco.-powered programs: Using linear programming in environmental issues. The HiMap Pull-out section. COMAP, Estados Unidos.

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Lección 6 En la lección anterior estudiamos algunos modelos determinísticos, en esta lección nos ocuparemos de los modelos probabilísticas o estocásticos. Como vimos en la Lección 4, los modelos se ubican en continuo que va de lo concreto a lo más abstracto. En este último nivel encontramos los modelos matemáticos. Un aspecto interesante de los modelos probabiliísticos en que en ellos se pueden combinar aspectos de diferentes niveles de abstracción. La expresión modelo estocástico se utiliza para referirse a aquellas situaciones donde un efecto aleatorio juega un papel central en la situación que nos interesa modelar (Edwards y Mason, 1989). Cuando la influencia de varios factores desconocidos es manejable, la predicción exacta no es posible, pero podría ser posible predecir dentro de un cierto intervalo de confianza o predecir la probabilidad que un valor particular será observado en un tiempo dado. En estos casos hablamos de procesos estocásticos o probabilísticas (Fuente: http://www.futuretoolkit.com/detstoch.htm). Muchos de los modelos de este tipo son modelos “siguiente-evento” con frecuencia en situaciones de colas (filas) y servicios (Edwards y Mason, 1989). El estudio y uso de modelos probabilísticas requiere del dominio de conceptos básicos de probabilidades. Por tanto, en general, podemos decir que los problemas asociados con la comprensión de este tipo de modelos se ve afectada por la comprensión de conceptos de probabilidad y estadística. Uno de esos conceptos es de número aleatorio. ¿Qué son los números aleatorios? Un número aleatorio puede definirse de manera muy simple como: “Cualquiera de los números dentro de cierto rango en el que todos tienen la misma oportunidad de ocurrir” (Fuente: http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/r/randomnumber.htm). ¿Cómo generar números aleatorios? Hay disponibles tablas de números aleatorios en el intervalo (0, 1). Una manera muy sencilla de generar números aleatorios entre 1 y 6 es lanzando un dado. Hay otras maneras de generar este tipo de números. Las calculadoras científicas en general tienen una función (o tecla) que permite generar números aleatorios. Por ejemplo, la calculadora Casio Fx 9850Ga posee la función Ran# genera números aleatoriamente entre 0 y 0,999… Podemos usar esta función para generar número aleatorios en cualquier rango. Supongamos que queremos generar un conjunto de 5 números aleatorios entre 1 y 200. Escribimos en la calculadora la instrucción Int 200*Ran# + 1. Al multiplicar Ran# por 200 obtenemos números entre 0 y 199,99…. Al aplicarle la función Int a la expresión 200*Ran# eliminamos la parte decimal y generamos números entre 0 y 199. Finalmente le sumamos 1 a la expresión Int 200*Ran# lo cual nos genera números aleatorios entre 1 y 200, incluyendo a ambos. Repetimos esta operación 5 veces y obtenemos la lista de números aleatorios buscada. Las hojas de cálculo también tienen una función que permite generar números aleatorios. Por ejemplo, la hoja de cálculo Excel de Microsoft tiene la función


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“Aleatorio”. Una vez que usted ha ingresado a Excel, posicione el curso en una celda cualquiera y escoja el menú Insertar.

En ese menú seleccione función y aparecerá la ventana siguiente.

Para más detalles sobre cómo usar esta función Aleatorio, usted puede hacer clic sobre el enlace “Ayuda sobre esta función”. Veamos como se usa esa función según las indicaciones que aparecen en el menú de ayuda del propio Excel.

ALEATORIO

Devuelve un número aleatorio mayor o igual que 0 y menor que 1, distribuido uniformemente. Cada vez que se calcula la hoja de cálculo, se devuelve un número aleatorio nuevo.


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Sintaxis

ALEATORIO( )

Observaciones

Para generar un número real aleatorio entre a y b, use:

ALEATORIO()*(b-a)+a

Si desea usar ALEATORIO para generar un número aleatorio pero no desea que los números cambien cada vez que se calcule la celda, puede escribir =ALEATORIO() en la barra de fórmulas y después presionar la tecla F9 para cambiar la fórmula a un número aleatorio.

Hasta aquí la explicación que aparece en el menú de ayuda de Excel. Mostraremos a continuación una lista de números aleatorios generados usando esta función. Supongamos que queremos simular los resultados de lanzar 20 veces el lanzamiento de un dado normal usando la función aleatorio. Como se señala en la ayuda de arriba si queremos generar aleatoriamente números entre 1 y 6, usamos la fórmula =aleatorio()*(6-1)+1. Introducimos esa fórmula en la primera celda de una hoja y obtenemos:

Pero el problema que nos ocupa, lanzamiento de un dado, requiere sólo de números naturales entre 1 y 6. Esto es, sólo los números en las caras del dado. Entonces tenemos que restringir a 0 dígitos en la parte decimal. Pare ello vamos al menú Formato y luego Celdas.

Una vez escogido el menú Celdas aparece la ventana siguiente:


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Y en la casilla “Posiciones decimales” escogemos 0. Una vez hecho este cambio obtenemos el siguiente resultado.

Ahora ya estamos listos para generar los 20 lanzamientos. Primero seleccionamos la columna A las celdas desde la 1 hasta la 20. Luego en el menú de Edición escogemos la función Rellenar y entre las opciones seleccionamos Hacia abajo, lo cual produce el resultado siguiente:


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De esta manera hemos generado una serie de números aleatorios que simulan el lanzamiento de un dado. Actividad 5.1.

1. Escriba una expresión para la calculadora Casio Fx 9850Ga que le permita generar una lista de 10 números aleatorios entre 1 y 1 000.

2. Escriba una fórmula en Excel para generar 15 lanzamientos de una moneda con dos caras diferentes.

Le hemos dedicado un tiempo considerable a la generación de números aleatorios porque la elaboración de simulaciones para modelar situaciones probabilísticas requerirá con frecuencia dicha generación. A continuación le presentamos dos ejemplos de modelos estocásticos. Consideremos la siguiente situación hipotética, tomada de Santulli (2006): Para ayudar a resolver un problema de superpoblación nacional, el gobierno de un país establece que toda familia tiene que dejar de tener niños tan pronto como tengan el primer varón. Después de un cierto tiempo, algunas familias tendrán sólo un varón, algunas tendrán una hembra y un varón, otras tendrán dos hembras y un varón, mientras que otras tendrían tres hembras y un varón, y así sucesivamente. También, tenemos que algunas familias tendrán sólo hembras porque dejarían de tratar de tener un varón después de tener varias hembras. ¿Habrá más mujeres que hombres en ese país? Pareciera lógico


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suponer que habrá más mujeres, quizás muchas más. ¿Cuál cree usted que será la razón de hombres a mujeres? ¿Hay una respuesta definitiva? Podríamos simular este problema usando un dado. Tomemos un dado y asumamos que 1, 2 o 3 representan el nacimiento de un varón y que 4, 5 y 6 representan el nacimiento de una niña. Lanzamos los dados para simular la composición de nacimientos (varones o hembras) para diez familias. Los resultados obtenidos los reportamos en la Tabla 6.1, donde V es un varón y H una hembra. Tabla 6.1.

Familias Nacimientos 1 V 2 HHV 3 HV 4 V 5 V 6 HHHV 7 HV 8 V 9 HHHHV

10 V Es conveniente repetir esta simulación para varios grupos de diez familias. Una vez hechos varios intentos registramos todos los resultados. Encontramos que es contraintuitivo, porque podríamos llegar a encontrar que hay tantos varones como hembras. Es oportuno resaltar que en esta actividad no sólo usamos las probabilidades sino que la actividad misma podría servir para profundizar en la comprensión del concepto de probabilidad. En particular cuando se encuentran resultados que van en contra de la intuición inicial. Seguimos explorando la situación planteada y nos preguntamos cuál es la probabilidad de que una familia tenga 0, 1, 2, 3, … hembras. A continuación mostramos los resultados. La probabilidad de que una familia tenga 0 hembras es ½. La probabilidad de que una familia tenga 1 hembra es 1/4. La probabilidad de que una familia tenga 2 hembras es 1/8. La probabilidad de que una familia tenga 3 hembras es 1/16. El patrón continúa para 4, 5, 6, … hembras. Estos resultados pueden ser probados experimentalmente si se realiza un número suficiente de ensayos y se lleva un registro adecuado de los mismos. Actividad 6.1.

Use una calculadora científica o una hoja de cálculo para generar la composición (hembras y varones) de 100 familias. Pasamos ahora a considerar el segundo ejemplo, el cual tomamos de Edwards y Mason (1989). Comenzamos por una descripción del problema. Un problema común en la operación de un ferry (o chalana) es posicionar los vehículos en la plataforma del ferry de manera tal que se pueda cargar con seguridad el máximo


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número de vehículos. Supongamos el caso de un ferry en que no conocemos de antemano el número de carros y camiones que se embarcará. Esto significa que los operadores del ferry en el río no se molesten en demarcar de antemano en la plataforma zonas para carros y camiones. Estos cargan el ferry de la manera “el primero en llegar, el primero en ser servido”. Usando los datos que se dan a continuación queremos explorar como funciona esta situación en la realidad. 1. La plataforma del ferry mide 32 m de largo y tiene capacidad para estacionar

dos filas de vehículos lado a lado. 2. Los vehículos llegan aleatoriamente y forman una sola fila mientras esperan

por las instrucciones de embarque. 3. En promedio, el 40% de los vehículos son carros, 55% son camiones y el 5%

son motos. 4. La longitud de los carros varía entre 3,5 m y 5,5 m, mientras que un camión

varía entre 8,0 m y 10,0 m. El problema es determinar cuántos vehículos se pueden cargar, si son carros o camiones y cuánto espacio se queda sin uso. Hay los elementos de aleatoriedad y de filas en la situación bajo investigación, estos son comunes en muchos problemas de modelaje. Para resolver este problema debemos generar números aleatorios. Una vez establecidos los supuestos de la situación pasamos ahora a construí una solución. Lo que necesitamos es una serie de números aleatorios y mucho papel. Hay que tomar decisiones como las siguientes: 1. ¿Es el próximo vehículo por embarcar un carro o un camión? 2. ¿Cuál es la longitud del vehículo? 3. ¿En cuál de las dos filas se ingresará el vehículo? 4. ¿Importa si se trata de una moto? Para responder a estas preguntas necesitamos generar números aleatorios. Como dijimos al comienzo estos números están disponibles en tablas o pueden ser generados con tecnologías. También dijimos que si se quiere generar números aleatorios en un intervalo (a, b) dado se recurre a la fórmula:

a + (b – a) RND Donde RND es obtenido de la una tabla o en una calculadora. Para este caso asumimos que las longitudes de los carros y de los camiones están distribuidas uniformemente entre los rangos dados. Si las longitudes de los carros tuvieran una probabilidad de estar más cercanas a un cierto promedio, entonces necesitaríamos de una distribución estadística más sofisticada. La situación planteada requiere que generemos dos series de números aleatorios: a) una para decidir que tipo de vehículo embarcamos y b) otra para decidir la longitud de cada vehículo. Para decidir si el vehículo que entrará al ferry es un carro o un camión, es conveniente usar la escala que se muestra en la Figura 6.1. Esta muestra el porcentaje dado de carros, camiones y motos señaladas.


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Figura 6.1.

La longitud de los vehículos es determinada mediante las formulas: Longitud de un carro = 3,5 + 2,0 * RND Longitud de un camión = 8,0 + 2,0 * RND Entonces, hallar las dos series de datos permitirá hallar los datos de carga y representar la longitud típica de una fila típica del ferry. Por razones de simplicidad, calcularemos sólo una fila de vehículos estacionados. La situación obtenida se muestra en la Tabla 6.2. Tabla 6.2.

RND 0,10 0,28 0,61 0,34 0,77 0,57 0,02 0,88

Vehículo Camión Camión Carro Camión Carro Carro Camión Carro

RND 0,59 0,48 0,10 0,56 0,30 0,90 0,81 0,66

Longitud vehículo (m) 9,44 8,96 3,70 9,12 4,10 5,30 9,62 4,82

Longitud columna (m) 9,44 18,4 22,1 31,22 35,32 40,62 50,24 55,06

¿Qué pasó con las motos? Pareciera que no fueron consideradas. Sin embargo, en un cruce de río que sea corto podemos asumir que cualquier moto puede acomodarse entre los otros vehículos de manera que no ocupan espacio en las filas. Hay una limitación en la investigación que hemos hecho hasta ahora. El problema propuesto al inicio requería hallar cuántos carros se podían cargar y cuánto espacio de desperdiciaba. Los datos en la Tabla 6.2 nos provee de unos resultados pero están basados en la aleatoriedad descrita de la llegada de vehículos y sus longitudes. En otras palabras, para diferentes series de números aleatorios, habrá resultados diferentes. LO que se requiere realmente de esta investigación (para que sea de utilidad para los operadores del ferry) es la respuesta a tales preguntas como “¿En promedio cuánto espacio se desperdicia cuando los vehículos son abordados al ferry sobre la base de la formal primero en llegar, el primero en ser servido?” Podemos responder esa pregunta con un poco de trabajo, sin embargo la palabra clave es “en promedio”. Para obtener ese valor promedio tenemos que repetir los cálculos anteriores varias veces. Para ello sería de mucha utilidad usar una hoja de cálculo. Para más investigación 1. Trate ahora de calcular las dos columnas de vehículos como se planteó

inicialmente, segregado o mixto. 2. Compare el espacio inutilizado en que se incurre en ambas estrategias: carga

segregada y carga no segregada.


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3. Considere el factor costo basado en el número de pasajeros que pagan – probablemente viajen varias personas en un carro , pero sólo el conductor en un camión.

Hasta aquí llegamos con el ejemplo tomado de Edwards y Mason (1989). Esperamos que estos dos ejemplos le sirvan para formarse una concepción adecuada de los modelos estocásticos o probabilísticos. En lecciones siguientes nos encontraremos otra vez con este tipo de modelos. Actividad 6.2.

1. Explique cómo se elaboró la Tabla 6.2.

2. Identifique los pasos seguidos en la solución del problema de transporte de vehículos en un ferry.

3. Señale que elementos tienen en común esta solución y la del primer problema.

En esta lección señalamos las principales características de los modelos aleatorios, definimos números aleatorios y vimos maneras de generarlos. Le presentamos dos ejemplos de modelos probabilísticas que ilustran bastante bien este tipo de modelos, incluyendo simulaciones. Una vez que usted ha estudiado el contenido de esta Unidad y de la anterior estará mejor preparado para señalar las principales características de los modelos deteminísticos y probabilísticos respectivamente y a distinguir entre ellos.

Referencias


Santulli, T. V. (2006): Uisng simulations in the mathematics class. The Mathematics Teacher, 100(4), 258-263.

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Unidad 5 Aplicación de modelos matemáticos

Objetivo: Escoger entre unos modelos dados el más adecuado para modelar una situación determinada.

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Lección 7 Como hemos visto en ejemplos anteriores, al estudiar una situación real tratamos de determinar relaciones entre variables. Según el tipo de relaciones entre las variables caracterizamos, en las lecciones 5 y 6, los modelos como determinísticos y probabilísticos. Otro aspecto del modelaje es la representación de las relaciones entre las variables relevantes. Estas relaciones se pueden representar mediante un gráfico, una expresión algebraica, una tabla o en lenguaje escrito. Una competencia básica en el modelaje matemático es traducir entre este tipo de representaciones. Representar gráficamente un conjunto de datos o una formula en particular puede ser relativamente sencillo, sin embargo, hallar y una expresión algebraica que se ajuste a un conjunto de datos puede no resultar tan sencillo. La representación gráfica resulta muy conveniente. Se suele usar con mucha frecuencia un eje de coordenadas rectangulares para este tipo de representación. En este caso marcamos los valores de una de las variables en el eje horizontal y la otra en el eje vertical. Por convención, solemos marcar la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. Consideraremos en estas dos lecciones una colección de tipos simples de conductas usadas comúnmente en la elaboración de modelos. Algunas de ellas se aplican directamente a algunas situaciones, mientras que otras requieren de mayor elaboración. Podemos usar estas formas simples combinadas para modelar conductas más complejas. Las conductas que veremos en esta lección son: a) lineal, b) crecimiento sin límite, c) incremento hasta un límite y d) decaimiento hasta un límite. Lineal

y = y0 + at

Cuando t = 0, y = y0 En la Figura 7.1. se presenta la representación gráfica de esta relación. Hemos visto en lecciones anteriores situaciones reales en las cuales la relación entre las variables se puede representar con una ecuación de la forma lineal. Esta forma de representación tal vez sea demasiado común y corremos el riesgo de utilizarla aún cuando no es la más conveniente. Debemos ser muy cuidadosos en particular cuando tratamos las aplicaciones de las matemáticas en el aula. Consideramos que no es necesario mostrar más ejemplos para ilustrar el uso de este modelo. Actividad 7.1.

Supongamos que una guacal o cesta de naranjas vacía pesa unos 2 kg. Una naranja pesa en promedio 0,2 kg. Halle un modelo para calcular el peso de una caja que contiene una cantidad n de naranjas.


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Figura 7.1.

Crecimiento sin límite

y = y0 exp(at) y de incrementa con t para todo t. Cuando t = 0, y = y0 La representación gráfica de esta relación se muestra en la Figura 7.2.

Figura 7.2.

Consideremos la situación siguiente. Un cultivo de bacteria crece rápidamente. Si su tamaño actual es de 100 organismos y la población se duplica en número


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cada 5 min, ¿cuál expresión podríamos usar para representar la relación entre el tamaño de la población y el tiempo t? Podemos asumir que estamos ante una situación de crecimiento sin límite, por tanto tomamos y = y0 exp(at). En t = 0 tenemos que y = y0 = 100. En t = 5, y = 200 = 100 exp(5a). Por lo tanto, a = 1/5ln2 0,139. Entonces un modelo posible para nuestra situación particular es y = 100exp(0,139t). Asumimos que se trataba de una conducta de crecimiento sin límite, sin embargo, en la práctica tenemos limitaciones de espacio así como de suministro de alimentación. Estas limitaciones restringen el crecimiento por lo tanto debemos introducir restricciones en el dominio de validez de nuestro modelo para limitarlo a algún intervalo finito de tiempo (Edwards y Mason, 1989, p. 80). Incremento hasta un límite

y = y (1 – exp(-at)).

Cuando t = 0, y = 0. Para t grandes, y se acerca a y (porque exp(-at) se hace muy pequeño) En la Figura 7.3. mostramos la representación gráfica de esta relación.

Figura 7.3.

Decaimiento hasta un límite

y = y0 exp(-at) + b Cuando t = 0, y = y0 + b. y decrece para todo t. para t muy grandes, y se acerca a b. La representación gráfica de esta función aparece en la Figura 7.4.


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Figura 7.4.

Actividad 7.2

1. Un colegio universitario tiene capacidad para recibir 800 nuevos estudiantes en el primer semestre. En años anteriores un promedio de 2/5 de todos los aceptados se presenta a las inscripciones. ¿Cuántas solicitudes de ingreso debería aceptar este colegio para cubrir completamente los cupos disponibles? (adaptado de Bushaw y otros, 1980, p. 79)

2. Un hombre beso que pesa actualmente 154 kg inició un programa de disminución de peso que le garantiza rebajar tanto como 2,5 kg por semana.

a. ¿Cuánto pesará después de w semanas?

b. ¿Cuál es el menor tiempo que le tomaría a ese hombre llevar su peso a 110 kg? (adaptado de Bushaw y otros, 1980, p. 83)

3. ¿Qué gráfico modelaría la conducta de las variables en la situación siguiente? La temperatura del agua en una olla sobre una hornilla de una cocina desde el momento en que esta fue encendida hasta que quede agua en la olla. (adaptado de Bushaw y otros, 1980, p. 134)

Referencias

Bushaw, D., Bell, M., Pollack, H. O., Thompson, M. y Usiskin, Z. (1980). A sourcebook of applications of school mathematics. Reston, Estados Unidos: National Council of Teachers of Mathematics.


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Lección 8 Esta lección es continuación de la lección anterior. Aquí consideraremos cuatro conductas más, para completar las ocho que introducimos en esta unidad. Las conductas que presentamos en esta lección son: a) máximo simple, b) máximo, c) oscilatorio y d) oscilaciones en decaimiento. Máximo simple

y = at – bt2

y = 0 cuando t = 0 y cuando t = a/b. y tiene un máximo local en t = a/2b. En la Figura 8.1. presentamos la representación gráfica de esta relación.

Figura 8.1.

Máximo

y = at exp(-bt) y = 0 cuando t = 0. y se hace 0 para t muy grandes. y tiene un máximo local en t = 1/b. La representación gráfica de esta conducta se muestra en la Figura 8.2.


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Figura 8.2.

Oscilatorio

y = a sen(wt) y = 0 cuando t = 0 y en t = n/w, donde n = 1, 2, 3, … el período es 2 En la Figura 8.3. mostramos la representación gráfica de este tipo de funciones.

Figura 8.3.

Supongamos que nos interesa modelar el número promedio de horas con luz solar en una localidad particular. Si comenzamos a medir desde el momento mínimo de invierno cuando el promedio diario de horas de luz solar es y

min y sea t


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el tiempo en días desde ese punto, entonces un modelo conveniente para esta situación sería:

y = ymin

+ bsen(wt)

¿Qué valores toman b y w? El período es aproximadamente de 365 días = 2W; así w = 2/365 0,0172. Si y

max es el valor del pico en verano, éste ocurre cuando wt = /2, esto es, cuando

y = y

max = y

min + b. Así b = y

max – y

min, y el modelo es

y = y

min + (y

max - y

min)sen(0,0172t).

Este ejemplo fue tomado de Edwards y Mason (1989, pp. 80-81) Actividad 8.1 Represente gráficamente el modelo elaborado en el ejemplo anterior. Oscilaciones en decaimiento

y = a exp(-bt) sen(xt) y = 0 cuando t = 0 y en t = n/w cuando el período es 2/w. La amplitud decrece en la medida que t se incrementa. La razón de amplitudes sucesivas es: exp(-2b/w). La representación gráfica correspondiente a esta conducta se incluye en la Figura 8.4.

Figura 8.4.

En estas dos lecciones estudiamos ocho conductas básicas de relaciones entre variables. Mostramos la representación gráfica y la expresión algebraica más


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simple correspondiente a cada una de esas conductas. Mostramos algunos ejemplos de uso de esos modelos aplicados a situaciones particulares. Actividad 8.2

1. ¿Qué gráfico modelaría la conducta de las variables en la situación siguiente? La altura respecto al piso de su cabeza mientras usted está montado en una “vuelta a la luna”, en un parque de atracciones, respecto al tiempo. (adaptado de Bushaw y otros, 1980, p. 133)

2. ¿Qué gráfico modelaría la conducta de las variables en la situación siguiente? La temperatura en un horno en función del tiempo desde el momento en que fue encendido. Considere el caso en el que el horno tiene un termostato y en el caso de que no lo tenga.

Referencias

Bushaw, D., Bell, M., Pollack, H. O., Thompson, M. y Usiskin, Z. (1980). A sourcebook of applications of school mathematics. Reston, Estados Unidos: National Council of Teachers of Mathematics.


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Unidad 6 Construcción de modelos matemáticos

Objetivo: Construir un modelo matemático para modelar una situación determinada.

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Lección 9 En las dos lecciones anteriores le presentamos ocho modelos típicos simples que sirven para modelar conductas que se encuentran frecuentemente en las relaciones entre variables en situaciones reales. En esas lecciones se trataba de identificar el modelo adecuado para una situación dada. Ahora asumiremos una tarea un poco más compleja, complementaria a la anterior. Partimos de una situación problemática e intentaremos construir un modelo para estudiar esa situación y resolver algunos problemas relacionados con ellas. En la Lección 4 introdujimos varias caracterizaciones del proceso de matematización. Para los efectos de esta lección trabajaremos con la caracterización propuesta por Edwards y Mason (1989). Situación problemática La situación que presentamos a continuación es una adaptación de un problema propuesto por Edwards y Mason (1989). Esta por comenzar a llover y usted tiene que ir a pie del lugar donde se encuentra a otro ubicado a 1 km de distancia. Usted está muy apurada y sale rápidamente sin percatarse que no tomó ni una chaqueta ni un paraguas. Tal es su apuro que no se puede devolver y decide seguir su camino. Podría ser que dejar de llover, piensa usted. Pero no es así. Comienza a llover más fuerte, ¿cuánto se mojará usted de seguir su rumbo bajo la lluvia? A primera vista pareciera que la mejor solución es salirse de la lluvia lo antes posible, pero si tomamos en cuenta las variaciones en la dirección de la lluvia tal vez no sea este el caso. Esto es, pude ser que la estrategia de correr tan rápido como pueda no sea la mejor estrategia. Paso 1: Identificar el problema real Dadas condiciones particulares de lluvia, ¿podemos diseñar una estrategia para que la cantidad que le caiga a usted encima sea minimizada? El modelo sería “determinístico” dado que dependería completamente de los factores de entrada como los siguientes: a) ¿Cuán rápida es la lluvia? b) ¿Cuál es la dirección del viento? c) ¿Cuán largo es el recorrido y cuán rápido puede usted correr? Tenemos que desarrollar una formula para la cantidad de agua recolectada que depende de esas condiciones o factores. Supongamos que lo datos disponibles son los siguientes: Velocidad de caminata = 2 m/s Velocidad de carrera = 6 m/s distancia recorrida = 1 km = 1 000 m velocidad de la lluvia = 4 m/s intensidad de la lluvia = 2 cm/h


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Estos datos son típicos de la conducta promedio pero podrían ser alterados para considerar caos extremos. Paso 2: Formular un modelo matemático El primer objetivo es elaborar el modelo más sencillo posible. Supongamos que usted recorre el kilómetro completo a 6 m/s. Entonces, Tiempo bajo la lluvia = 1 000/6 s 167 s = 2 min 47 s. Ignoremos la dirección de la lluvia, y consideremos solamente la lluvia recolectada según los dato dados de 2 cm/h, esto es: 2/3 600 cm/s. Entonces, durante todo el recorrido de 167s, Cantidad de agua recolectada = (2 x 167)/3 600 cm = (2 x 167 x 0,01)/3 600 m Ahora es necesario obtener algunos datos acerca de la superficie del cuerpo sobre el que cae la lluvia. Supongamos por razones de simplicidad que la estructura del cuerpo humano tiene la forma de un bloque rectangular de 1,5 m de altura, 0,5 m de ancho y 0,2 m de profundidad. Entonces, Superficie frontal y posterior = 1,5 x 0,5 x 2

= 1,5 m2

áreas de superficies laterales = 1,5 x 0,2 x 2

= 0,6 m2

área de la superficie superior = 0,5 x 0,2

= 0,1 m2

Superficie total = 2, 2 m2

Suponiendo que todas las superficies se mojan, entonces

Volumen recolectado = [2 x 167 x 0,01 x 2,2]/3 600 m3

2,041 x 103 m

3

= 2,041 l Esto es equivalente a que le derramaran encima una botella de refresco de dos litros.


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Dijimos al comienzo de este paso 2 que primero trataríamos de elaborar el modelo matemático más sencillo. Ya hemos logrado ese primer objetivo. Sin embargo, intentaremos ahora construir un modelo más elaborado. Supuestos Supusimos anteriormente que el cuerpo humano podía ser representado por un bloque rectangular. Un diagrama puede resultar de mucha ayuda para comprender la situación que queremos modelar (ver la Figura 9.1). Otros supuestos adicionales son que la velocidad de la lluvia es constante a lo largo del trayecto y y que usted se mueve a través de la lluvia a una rapidez constante.

Figura 9.1.

Lista de factores Descripción Símbolo Unidades Tiempo del recorrido bajo la lluvia t s Velocidad de la lluvia r m/s Ángulo de la lluvia (debido al viento) grad Su velocidad V m/s Dimensiones personales Altura h m Ancho w m Profundidad d m Agua recolectada en la ropa C l Factor de intensidad de la lluvia I -- Distancia recorrida D m

Algunas de estas cantidades no son variables pero tienen valores numéricos de los datos proveídos. Es conveniente mantener los símbolos mientras desarrollamos el modelo. En efecto, r, , v, t y C son variables mientras que las otras son “parámetros” en el sentido que no varían durante la situación en particular. Es necesario distinguir entre la velocidad de la lluvia y la recolección de lluvia. Si la lluvia fuera un flujo continuo de agua (como un río), entonces la velocidad de la lluvia nos daría la rata de recolección de agua sobre cierta área. Sin embargo, esto es claramente incorrecto porque la lluvia es una cadena de gotas la cual da la idea de intensidad de la lluvia. Un factor I de intensidad de la lluvia es introducido para considerar esta situación. De los datos dados arriba, la velocidad de la lluvia es 4 m/s y la recolección de agua es de 32 cm/h. Sin embargo,


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Velocidad de la lluvia = 4 m/s = 400 x 3 600 cm/h

= 1,44 x 106 cm/h (9.0)

comparado con la rata de recolección de 2 cm/h, esto es, la razón es 7,2 x 105.

Esta discrepancia es permitida por la introducción de I como la medida de la

intensidad de la lluvia. Para estos datos, I = 1/(7,2 x 105). Entonces en general.

Si I = 0, ha dejado de llover, mientras que un I creciente nos da una lluvia más fuerte. Por último, I = 1,0 se correspondería con un flujo continuo como el de un río. Ya estamos casi listos para elaborar las ecuaciones que relacionan las variables enumeradas arriba. No hay asuntos relacionados con las leyes del movimiento, efectos de las probabilidades, etc. De que preocuparnos, sólo no queda evaluar la capacidad de recolección de agua. Con la velocidad asumida como constante, entonces Tiempo expuesto a la lluvia = D/v s El factor clave a ser considerado en la evolución cuánto usted se moja es la dirección relativa de la lluvia con respecto a su dirección de viaje. Estos efectos relativos se muestran convenientemente en la Figura 9.2.

Figura 9.2

Ahora, como la lluvia cae en un cierto ángulo, podemos ver que en cualquier situación sólo su frente y su parte superior se mojaran. Esto lo sabemos por experiencia. Paso 3: Obtener una solución matemática La cantidad de lluvia que cae sobre usted la calcularemos en dos casos. Primero consideraremos el área de su superficie superior, para la cual

Área superior sobre la que llueve = wd (m2)

y componente de la lluvia = r cos (ver Figura 9.2) Entonces,


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Rata de recolección de lluvia = intensidad x área x velocidad de la lluvia

= Iwdr cos (m3/s)

En el tiempo D/v,

Cantidad de agua recolectada = (Iwdr cos)/v (m3) (9.1)

Ahora consideraremos su área frontal, para la cual

Área frontal sobre la que llueva = wh (m2),

y componente de la lluvia = r sen + v (ver Figura 9.2) Entonces, Rata de lluvia recolectada = intensidad x área x velocidad de la lluvia

= Iwh(r sen + v) (m3/s)

En el tiempo D/v

Cantidad de agua recolectada = [Iwh(r sen + v)]/v (m3). (9.2)

Sumando las ecuaciones (9.1) y (9.2), tenemos que la cantidad total C de agua recolectada es

C = (IwD/v)[dr cos + h(r sen + v)] (m3). (9.3)

Es ahora cuestión de extraer de la ecuación (9.3) la información que queremos para saber cuán mojado será nuestro recorrido. Primero, ls valores de algunas de las cantidades usadas pueden ser sustituidos. De los datos dados antes, tenemos que h = 1,5, w = 0,5 y d = 0,2; también tenemos que r = 4 y D = 1 000,0. También sustituimos el valor de I de la ecuación (9.0), entonces

C = [0,8cos + 6sen + 1,5v]/(1,44x 103v) (m

3). (9.4)

Las variables retenidas son v y , dado que podemos elegir v y es la dirección de la lluvia, la cual queremos que varíe en la investigación de la solución matemática. Entonces, dado una , ¿qué v debemos escoger para que C se minimice? Paso 4: Interpretar la solución matemática Ahora pasamos a examinar las ecuaciones (9.3) y (9.4). Primero, notemos que si la intensidad de la lluvia I es cero, entonces C = 0 lo cual significa que usted permanecerá seca. Segundo, el valor de determinará si la lluvia le cae de frente o si le ventea por detrás. Evaluaremos la ecuación (9.4) para mostrar que pasa en casos particulares.


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Caso 1: = 0º En este caso, como = 0º, la lluvia cae recto. De la ecuación (9.4),

C = [0,8 + 1,5v]/(1,44x 103v) (m

3).

Esta expression es menor para el mayor valor posible de v, esto es v = 6 en este caso. Sustituyendo v = 6 obtenemos

C = 9,8/(]/(1,44x 103x 6) (m

3)

1,131 Actividad 9.1 1. Haga los cálculos para el caso = 30º. 2. Haga lso cálculos para el caso en que sea negativo. Paso 5: Comparar con la realidad Los resultados parecen razonables y de acuerdo con lo que esperábamos. ¡De qué manera es este modelo mejor que el más sencillo que hicimos primero? Aquí tomamos en cuenta la dirección del viento y consideramos varios casos (no presentamos los detalles para todos). Todos los resultados obtenidos están por debajo de los 2 litros que arrojó el primer modelo. Los ordenes de magnitud están dentro de lo esperado. Es muy difícil validar los resultados numéricos obtenidos con el modelo, la idea de “moverse en la lluvia” puede ser experimentada, asumiendo que no le importa mojarse en la lluvia. Las conclusiones generales que sacamos del modelo son: a) Si la lluvia cae hacia usted, entonces la estrategia sería correr tan rápido

como sea posible. b) Si la lluvia cae por detrás de usted, entonces usted debería mantenerse el

ritmo de la lluvia, lo cual quiere decir que usted debería moverse con una velocidad igual a la de la lluvia.

Resaltamos que las conclusiones están expresadas en términos cotidianos, los cuales pueden ser comprendidos fácilmente. No resultaría muy iluminador reportar, sobre todo si el lector no es matemático, que la solución es correr a rsen (m/s). Paso 6: Escribir el informe. Este paso no lo realizaremos aquí. Sin embargo, no podemos ignorar su importancia. Es muy importante que usted elabore un informe del trabajo realizado, después usted deberá enfatizar esta actividad con sus estudiantes. En el informe se debe documentar detalladamente el proceso seguido para construir el modelo siguiendo los pasos sugeridos. Se puede complementar el informe con un cartel. Éste podría ser utilizado para una feria escolar de ciencias y matemáticas.


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Como señalamos al principio, este ejemplo fue adaptado de Edwards y Mason (1989). Para la resolución de este problema seguimos las fases del proceso de matematización propuestos por estos mismos autores. Incluimos algunas consideraciones de tipo pedagógico en la discusión del problema. Recordemos que el propósito principal que nos anima es el de introducir el modelaje, el uso de aplicaciones de las matemáticas, en la enseñanza de esta ciencia en la escuela.

Referencias


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Lección 10 Una vez estudiadas todas las unidades anteriores, en especial las tres últimas usted estará mejor preparado o preparada para asumir la elaboración de un modelo matemático para una situación dada. Esa es precisamente la única actividad de esta lección. Actividad 10 Usted fue contratado o contratada por una cooperativa de producción. Una parte de la producción requiere cortar discos circulares de una lámina de acero de 1m x 1m. Actualmente la máquina que corta los discos esta ajustada para cortar 16 discos de 0,25m de diámetro por cada lámina de acero. Los socios de la cooperativa quieren que usted le diga si es posible ajustar las cabezas cortadoras de la máquina de manera tal que se pueda minibar el desperdicio de material. Además, recibieron recientemente un pedido de discos de acero de 0,1m de diámetro, los cuales cortarían sobre las mismas láminas. ¿Cuál sería la mejor posición de las cabezas cortadoras para minimizar el desperdicio de material? ¿Será posible hallar una fórmula matemática para determinar el máximo número de discos de radio r que se pueden cortar de una lámina de dimensiones dadas? Planteamiento del problema Dados el tamaño de los discos y las dimensiones de la lámina de acero, hallar el patrón de corte más eficiente y el máximo número de discos que se pueden cortar en una lámina. (Adaptado de Edwards y Mason, 1989, p. 222)

Referencias


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Unidad 7 Educación en matemática centrada en la

investigación

Objetivo: Planificar la introducción de aplicaciones de las matemáticas a las ciencias y otras disciplinas en la enseñanza de las matemáticas en estas disciplinas.

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Lección 11 El recorrido por todas las lecciones anteriores nos ha permitido pasearnos por diferentes aspectos, técnicos y pedagógicos, del modelaje matemático y su uso en la enseñanza, aprendizaje y evaluación en matemáticas. En las dos lecciones que componen esta unidad nos dedicaremos a la planificación del uso de las aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. En esta primera lección consideraremos algunos aspectos generales de la planificación. En la segunda lección pasaremos a la planificación en si misma. Al planificar el trabajo pedagógico debemos tomar en cuenta una serie de aspectos los cuales trataremos a continuación. Estos aspectos no son exclusivos del caso de la introducción de las aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. Estos deberían ser tomados en cuenta al momento de planificar y ejecutar cualquier innovación en el aula. Estos aspectos son: a) justicia social, b) historia del tópico o tópicos a tratar, c) uso de tecnologías, d) relevancia para el contexto y e) conexión con otras disciplinas. El tema de la justicia social, incluyendo la equidad, lo hemos tratado en el curso de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría (Código 547, Unidad 1) y en el de Evaluación de los Aprendizajes en Matemática (Código 551, ver Unidad 3). En el caso concreto de la justicia social en el uso de aplicaciones de las matemáticas en su enseñanza tiene dos vertientes. Por un lado, se trata de tomar en consideración si este enfoque favorece a todos los estudiantes. En otras palabras, es vital que el profesor o profesora tome en cuenta si las estrategias que usa en el aula refuerzan desigualdades existentes entre sus estudiantes y/o si introducen nuevas formas de segregación. El uso de las aplicaciones de las matemáticas debería servir para potenciar el aprendizaje de esta asignatura para todos los estudiantes y no sólo para un grupo de privilegiados. Esta consideración obliga a diseñar e implementar cuidadosamente este uso, los problemas, técnicas y conocimientos deben ser seleccionados de manera tal que no produzcan frustración y fracaso entre los estudiantes. De ser posible, se asignarían tareas de diferentes niveles de dificultad para garantizar la participación exitosa de todos. Sin embargo, las asignaciones deben ser suficientemente retadoras como para promover el aprendizaje en todos los estudiantes. Por otro lado, la justicia social nos lleva a que tratemos temas que conduzcan a una comprensión de la realidad y a su transformación. En esta vertiente se trata de introducir problemas que lleven a un análisis crítico de la realidad. Por ejemplo, en una unidad dedicada a tópicos de probabilidad y estadística se recomienda considerar datos sobre aspecto problemáticos de la realidad nacional. Retomaremos este tema en la lección siguiente. Actividad 11.1 Identifique una situación de la vida real problemática y genere unos problemas que puedan resolverse con herramientas matemáticas que se enseñan en el bachillerato.


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El asunto del uso de la historia en la enseñanza de las matemáticas también ha sido tratado en cursos anteriores. Usted debería estar familiarizado con el asunto. Sin embargo, nos interesa resaltar su importancia una vez más aunque podríamos pecar de redundantes. Las matemáticas suelen ser vistas como un conjunto de conocimientos eternos e incuestionables, nada más alejado de la realidad. La introducción de temas de historia de las matemáticas en su enseñanza ayuda a combatir esa visión y esperemos que ha superarla. En este caso se trataría de ilustrar como la aparición de nuevos problemas ha llevado a la creación de nuevos contenidos matemáticos. Un ejemplo reciente es el de la geometría fractal. Las tecnologías, en especial las calculadoras graficadoras, han tenido una enorme influencia en los cambios curriculares que se han producido en la última década a nivel internacional. En Venezuela no hemos experimentado ese impacto. Nuestros profesores de matemáticas en general son reacios al uso de calculadoras en las clases de matemáticas y mucho menos en las evaluaciones. Tampoco hemos experimentado un impacto importante en el uso de las computadoras. Si bien se ha avanzado bastante en la dotación de las escuelas con computadoras, estamos muy lejos de un uso intensivo de las mismas en el aprendizaje en general y de las matemáticas en particular. Este panorama no debe llevarnos al desaliento. Además, en caso de las aplicaciones de las matemáticas para la resolución de problemas reales hoy en día es prácticamente impensable sin el uso de tecnologías. En este curso en particular hemos hecho un uso limitado de las mismas, en parte por tener cuidado con atender asunto de justicia social. No podemos permitir que las tecnologías se conviertan en nuevo elemento de discriminación. Actividad 11.2 1. Escriba un ensayo breve donde exprese su punto de vista acerca del uso de

calculadoras en la enseñanza de las matemáticas, y en particular de aplicaciones.

2. Seleccione, adapte o invente un problema el cual sólo pueda resolverse mediante el uso de tecnologías.

Aclaremos que queremos decir por “relevancia para el contexto”. Algunos educadores proponen que la enseñanza de las matemáticas debe limitarse a los intereses de los estudiantes y de sus intereses inmediatos. Esta visión nos parece reduccionista y limitante, además: ¿quién puede saber cuál será el futuro del os estudiantes? Sería contrario a la justicia social, limitar la enseñanza de las matemáticas a la situación particular en que se encuentran los estudiantes. Veamos que queremos decir con esto. Sería injusto que en un pueblo de los llanos limitáramos la enseñanza de las matemáticas a las exigencias de los oficios u ocupaciones más comunes propios de la actividad económica de esa región. De esa manera limitaríamos la enseñanza de las matemáticas, y de sus aplicaciones, a un conjunto muy limitado y elemental de temas. Hay que evitar esa perspectiva en la enseñanza de las matemáticas. Por otro lado, tampoco se puede enseñar las matemáticas de manera significativa ignorando el contexto en que se da esa enseñanza, tomando en cuenta que no debe limitarse al mismo. Un estudiante de los andes puede estar interesado en estudiar los barcos aunque tenga un acceso limitado al mar o a ríos caudalosos. Otro asunto a considerar es que incluimos en el contexto aspectos imaginarios o de la ficción. Por ejemplo, para un grupo de jóvenes puede ser significativo, pertenecer a su contexto, las historias de espantos y aparecidos como la de El Silbón.


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Al igual que con lo temas anteriores, en curso anteriores hemos insistido en la importancia de enseñar cada tópico de matemáticas en conexión con otros tópicos de las matemáticas mismas y de otras disciplinas. De lo contrario, corremos el riesgo de enseñar tópicos de matemáticas de manera aislada, como conocimientos desconectados de otros conocimientos. Por ejemplo, es usual en la mayoría de los libros de texto enseñar cada tema como un ente aislado sin conexión con otros temas. Así se enseñan los números complejos, por ejemplo, sin conexión alguna con temas como el de las matrices. De esta manera se forma en los estudiantes la idea de que una vez estudiado un cierto tema de matemáticas éste se puede echar al olvido, ya que no será tratado en otros problemas o en la enseñanza de los temas siguientes. Esta manera de enseñar las matemáticas es contraproducente y atenta contra las matemáticas mismas como ciencias. Por tanto, es muy importante introducir las conexiones de cada tema que se enseña tanto con otros temas de matemáticas como con temas de otras disciplinas. De esta manera los estudiantes pueden tomar conciencia de que las matemáticas tiene que ver o se aplican tanto a si mismas como en otros ámbitos de la realidad. Actividad 11.3 Escoja un tema cualquiera de matemáticas de Segundo Año de EMDP, o Quinto Año de secundaria, y señale todas sus posibles conexiones con otros temas de matemáticas del mismo año y de años anteriores, y con temas de otras materias del mismo año. En esta lección tratamos cinco asuntos generales que recomendamos tomar en cuenta en le momento de la planificación de la introducción de las aplicaciones de las matemáticas en su enseñanza. Recordemos que estos asuntos son: a) justicia social, b) historia del tópico o tópicos a tratar, c) uso de tecnologías, d) relevancia para el contexto y e) conexión con otras disciplinas. Recordamos que la mayoría de ellos ya han sido tratados en cursos anteriores, por ejemplo, el tema de la justicia social, incluida la equidad, fue estudiado en los cursos de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría y en el de Evaluación de los Aprendizajes. En la lección siguiente nos dedicaremos a asuntos particulares de la planificación de la introducción de aplicaciones de las ciencias matemáticas en su enseñanza.

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Lección 12 La introducción de aplicaciones de las ciencias matemáticas en su enseñanza requiere de una planificación cuidadosa, es decir, ésta no puede hacerse de manera improvisada. El propio profesor o profesora debe haber experimentado con la elaboración de modelos matemáticos, el tipo de experiencias ofrecidas en este curso le da una preparación adecuada par asumir ese reto.

En esta lección consideraremos algunos asuntos que usted debe tomar en cuenta al momento de planificar el uso del modelaje matemático en su clase de matemáticas. Lo primero, y más importante, usted debe estar familiarizado con los fines de la enseñanza de las matemáticas en el nivel o subsistema en que hará uso de las aplicaciones y tener bien claro las conexiones entre los diversos temas de matemáticas incluidos en el currículo así como con tópicos de otras asignaturas. Usted debe asumir una actitud de investigador(a) y explorar esas conexiones. Aquí le será muy útil retomar las ideas presentadas en la Lección 1. Una vez alcanzada esa comprensión de los fines y las conexiones entre contenidos, se pasa a la planificación propiamente dicha de la introducción del proceso de matematización en la clase de matemáticas.

Le sugerimos considerar los aspectos siguientes:

1. Disponibilidad y uso de tecnologías,

2. Consideraciones sobre la historia de la situación problemática y de las matemáticas relacionadas,

3. Inclusión de asuntos relacionados con la justicia social, económica y política, y

4. Formas de evaluación.

Estos puntos no agotan todo los asuntos que deberían considerarse, seguro usted ya habrá notado alguno que no hemos incluido. Sin embargo, creemos que estos nos ofrecen un buen punto de partida para planificar el uso de las aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas.

Disponibilidad y uso de tecnologías

Vimos en algunas de las lecciones anteriores la importancia del uso de tecnologías, básicamente calculadoras o computadoras, en la elaboración de modelos y en su uso. En especial, cuando se trata de construir modelos a partir de grandes cantidades de datos reales, como es el caso de los datos de población, es indispensable el uso de tecnologías para procesar esos datos. Incluso hay aplicaciones, tanto para calculadoras como para computadoras, que nos permiten generar automáticamente modelos matemáticos para un conjunto dado de datos.

Por tanto, al planear una actividad de matematización debe revisarse cuidadosamente las tecnologías (equipos y programas) que se pueden requerir para lograrla. En especial, se debe tener cuidado que todos los estudiantes tengan acceso a la tecnología necesaria. De esa manera evitaríamos que la introducción de la tecnología sirva para la profundización de la iniquidad en la escuela.

Para muchos de modelos sencillos puede ser suficiente unas calculadoras o una sola computadora utilizada como estación de trabajo en el aula. El punto es no descuidar este aspecto, de manera tal que se pueda lograr el objetivo de la actividad planeada.


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Actividad 12.1.

Haga una lista de herramientas (equipos y programas) a su disposición, tanto personales como en el plantel donde usted trabaja o en un o cercano en su localidad, que puedan ser utilizados en actividades de modelaje.

Consideraciones sobre la historia de la situación problemática y de las matemáticas relacionadas

Una recomendación de la comunidad de educadores matemáticos es la introducción de la historia de los diversos tópicos de matemáticas que se enseñan en la escuela. El caso de la enseñanza del modelaje matemático no es excepción. En este caso encontramos dos vertientes en esta recomendación.

Por un lado tendríamos las consideraciones acerca de la historia del concepto o herramienta matemática particular que estaremos utilizando para resolver un determinado problema real. Por ejemplo, si nos interesa aplicar funciones periódicas para modelar la conducta de la relación entre unas variables determinadas, podríamos introducir el tema comenzando por presentar algunos aspectos de la historia de esas funciones.

Por el otro lado tenemos las consideraciones acerca de la historia de las aplicaciones de ese tópico específico de matemáticas para la resolución de problemas reales. Por ejemplo, los números complejos surgieron en el contexto de la resolución de ecuaciones, en particular de la ecuación cúbica. Los matemáticos se tomaron uno cuantos años en reconocer estos números como tales. Muchos años después de su creación es que se llegaron a usar en la resolución de problemas reales, por ejemplo en el estudio de circuitos eléctricos.

Actividad 12.2.

Escoja un tema cualquiera de Matemáticas de la Tercera Etapa de EB o de EMDP (Educación Secundaria) e investigue acerca de desarrollo histórico y de sus aplicaciones.

Inclusión de asuntos relacionados con la justicia social, económica y política

En la consideración de este asunto se incluyen aspectos como la enseñanza en valores, el papel educativo de las matemáticas y el papel de la escuela en la formación de ciudadanos y ciudadanas que funciones inteligentemente en una sociedad democrática y que se preocupen por la justicia social, económica y política. Este asunto de la consideración de problemas que tocan este último asunto han sido promovidos por los proponente de la educación matemática crítica, entre los que se destacan Skovmose (ver el material instruccional del curso Didáctica del Álgebra y la Trigonometría) y Frankenstein (1994).

Para Garii (s.f.), enseñar para la justicia social tanto en ciencias como en matemáticas nos obliga a confrontar nuestras suposiciones acerca de la “verdad” y el “conocimiento”. Confrontación de suma importancia en el caso de uso de modelos matemáticos para comprender situaciones problemáticas reales. Desde esta perspectiva se resalta que la información no tiene sentido a manos que sea localizada, o sumergida, en una comprensión contextual apropiada. La descontextualización de la información es una estrategia comúnmente usadas por quienes desean ocultar la verda, en particular cuando se trata de situaciones injustas. Plantea Frankenstein (1994) que la habilidad para formularse preguntas estadísticas básicas es relevante para profundizar nuestra apreciación de asuntos particulares, como por ejemplo el desempleo y la manera en que se define estadísticamente. Para esta autora, las descripciones estadísticas supuestamente neutras de nuestro mundo buscan ocultar las opciones y las


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luchas políticas. En una hojeada a la prensa nacional podemos encontrar muchos ejemplo de esta situación, uno de ellos es la discusión acerca de cómo se mide la inflación. Otro aspecto que resalta Frankenstein del enfoque crítico es que busca que los estudiantes comprendan las limitaciones del conocimiento que elaboramos a partir del análisis matemático del mundo, en otras palabras, del uso de las matemáticas como herramienta para comprender mejor la realidad y transformarla.

Queremos resaltar aquí, que la consideración de asuntos relacionados con la justicia social, económica y política no se debe limitar al análisis de estadísticas. Estos asuntos también surgen, por ejemplo, en el estudio de modelos matemáticos para tratar situaciones de crecimiento.

Osler (2006) enumera algunas de las ventajes de la introducción de estos asuntos en la enseñanza de las matemáticas, en particular, los estudiantes pueden:

Reconocer el poder de las matemáticas como una herramienta analítica esencial para comprender y potencialmente cambiar la realidad, en lugar de considerar meramente a las matemáticas como una colección de reglas desconectadas que tiene que ser memorizadas y repetidas;

Profundizar en su comprensión de asuntos sociales y comunitarios;

Involucrarse en un nivel avanzado de pensamiento acerca de “grandes ideas matemáticas”;

Motivarse para aprender matemáticas;

Participar en proyectos comunitarios reales (no sólo teóricos o ficticios) y

Encontrar respuesta a la pregunta: ¿Para qué me sirve aprender este tema de matemáticas? (p. 2)

A continuación le ofrecemos una lista de algunos temas que podrían ser tratados en la clase de matemáticas donde se incluyan aplicaciones y el profesor sea sensible sobre asuntos de justicia social. Esta lista es adaptada de Osler (2006).

Prisiones, composición socio-económica de la población privada de su libertad, tipos de penas;

Inseguridad, número de muertes por causas violentas, zonas geográfias donde ocurren los crímenes, grupos sociales más afectados por la delincuencia;

Pobreza, salario mínimo, costo de la cesta básica, desempleo;

Salud, propagación de enfermedades, surgimiento de enfermedades nuevas y reaparición de erradicadas, costo de los servicios de salud privada, acceso a servicios de salud pública, grupos sociales afectados por ciertas enfermedades;

Acceso a la educación y equidad.

La lista de temas es prácticamente interminable. Los asuntos seleccionados deben conducir al estudio de ideas matemáticas importantes, hay que ser cuidadosos en no escoger asuntos que conduzcan sólo a un uso trivial de éstas.

En conclusión, incluir asuntos de justicia social, económica y política en la enseñanza de aplicaciones de las matemáticas en la escuela nos permite explorar esas situaciones de injusticia en el contexto de las matemáticas, comprender las causas y efectos de esas situaciones, desarrollar soluciones matemáticamente razonables, realistas y justas, mejorar las habilidades de comprensión y


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resolución y proposición de problemas en todos los estudiantes (Osler, 2006). Resaltamos, apoyándonos en Osler, que este enfoque nos permite plantearnos de manera significativa la pregunta: ¿Cómo puedo usar las matemáticas para comprender y resolver problemas en mi comunidad? Agregamos, que tan relevante como eso es que los estudiantes lleguen a formular correctamente los problemas y a desentrañar aquello que se oculta detrás de los datos.

Actividad 12.3

1. Haga una lista de asuntos de justicia social, económica o política relevantes al comunidad donde vive que pudieran ser tratados en la clase de matemáticas.

2. Escoja un asunto de su lista que pueda ser tratado matemáticamente que no se limite a temas de estadística.

Formas de evaluación

En el curso de Evaluación de los Aprendizajes en Matemática (Cod. 551) usted tuvo la oportunidad de estudiar las rúbricas. Dado el carácter abierto de las actividades de modelaje, pensamos que las rúbricas son unas de las herramientas más útiles para evaluar el trabajo de los estudiantes. Recordemos que en el último paso del proceso de modelaje consideramos la elaboración del informe y de una presentación, los cuales pueden ser evaluados con la ayuda de esta herramienta. Por ello le proponemos a continuación una rúbrica para este fin. Esta rúbrica es del tipo analítica-genérica. Los rasgos principales a considerar son: a) simplificación, b) matematización, c) transformación, d) interpretación y e) validación.

Simplificación Nivel Descripción 1 El estudiante muestra que no comprende la situación problemática del

mundo real y falla en construir una versión simplificada de la situación. 2 El estudiante muestra alguna comprensión de la situación problemática

del mundo real, aunque falla en considerar la influencia de uno más componentes esenciales.

3 El estudiante muestra comprensión de la situación problemática del mundo real y considerar adecuadamente todos los componentes esenciales del problema.

4 El estudiante considera características que indican una comprensión completa y extensiva de la situación problemática.

Matematización Nivel Descripción 1 El estudiante falla en construir una representación matemática de la

versión simplificada del problema 2 El estudiante construye una representación matemática de la versión

simplificada del problema, pero esta representación no conduce a una comprensión del problema subyacente.

3 El estudiante construye una representación matemática de la versión simplificada del problema que puede conducir a una comprensión del problema subyacente.

4 La representación matemática del estudiante lleva a una comprensión extensiva de las relaciones entre los componentes clave de la situación problemática subyacente.


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Transformación Nivel Descripción 1 El estudiante falla en el uso del modelo de una manera apropiada y falla

en resolver la versión matematizada del problema. 2 El estudiante opera con el modelo de una manera matemáticamente

válida, aunque falla en descubrir una solución a versión matematizada del problema.

3 El estudiante opera con el modelo de una manera matemáticamente válida y descubre una solución a versión matematizada del problema.

4 El estudiante usa el modelo para resolver la versión matematizada del problema y extiende y generaliza su solución.

Interpretación Nivel Descripción 1 El estudiante falla en interpretar la solución generada por el modelo en

términos de la versión simplificada del problema. 2 El estudiante intenta interpretar la solución generada por el modelo en

términos de la versión simplificada del problema, aunque la interpretación es (de alguna manera) incorrecta.

3 El estudiante interpreta la solución generada por el modelo en términos de la versión simplificada del problema.

4 El estudiante interpreta la solución generada por el modelo en términos de la versión simplificada del problema, provee alguna explicación sobre por qué la solución tiene sentido y explora la posibilidad de otras soluciones o intentos de solución.

Validación Nivel Descripción 1 El estudiante falla en validar que la solución de la versión simplificada

del problema es también una solución de la situación problema inicial. 2 El estudiante intenta validar que la solución de la versión simplificada

del problema, aunque llega a conclusiones inapropiadas o falla en establecer la conexión entre la versión simplificada del problema y la situación problema subyacente.

3 El estudiante establece el hecho que la solución de la versión simplificada del problema es una solución de la situación problema subyacente.

4 El estudiante valida que la solución de la versión simplificada del problema, reflexiona sobre los insights ganados acerca de la situación problema subyacente y ofrece extensiones o preguntas adicionales que han surgido en la investigación.

(Hobson, 1995, traducción y adaptación del autor)

Actividad 12.4.

Elabore una rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes basada en las fase del proceso de matematización propuesta por Edwards y Mason (1989). Ver la Lección 4.

Hasta aquí hemos pasado revista a los principales aspectos que sugerimos considerar a la hora de planificar la introducción del proceso de matematización en la enseñanza de las matemáticas.

Actividad 12.5.

Escoja un tema de matemáticas de Educación Secundaria y planifique, tomando en cuenta los asuntos antes resaltados, el uso de aplicaciones en su enseñanza.


93

Con esta lección culmina el curso Matemáticas y Ciencias (Cod. 532). Una vez estudiadas todas las lecciones que lo conforman usted estará mejor preparado o preparada para introducir las aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. Así usted podrá contribuir, desde ya si es profesor de aula y en un futuro si todavía no trabaja, al mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas en nuestro país.

Referencias

Frankenstein, M. (1994). Understanding the politics of mathematical knowledge as an integral part of becoming critically numerate. Trabajo presentado en la Primera Conferencia de la Association of Mathematical Education for South Africa (AMESA), del 4 al 7 de julio, Johannesburgo.

Garii, B. (s.f.). Sciencia, mathematics, and teaching for social justice. Disponible en: http://www.oswego.edu/~prusso1/430_530_SciMathTchgSJ.doc.

Hogson, T. (1995). Secondary mathematics modeling: Issues and challenges. School Sciences and Mathematics. Disponible en: http://findarticles.com/p/articles/mi_qa3667/is_199511?pnum=10&opg=n8717546.

Osler, J. (2006). A guide for integrating issues of social, political, and economic justice into mathematics curriculum. Disponible en: http://www.radicalmath.org/docs/SJMathGuide.pdf.

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