Matemática Primer año - · PDF fileEscuela de Enseñanza Media Prof....

2009

Báscolo, María Rosa

Magnago, Genoveva

Maidana, Emanuel W. H.

Escuela de Enseñanza Media

Prof. Susana A. Maglione

N° 385

Matemática Primer año

Escuela de Enseñanza Media Prof. Susana A. Maglione N° 385

Índice ¿Se puede jugar con la matemática?

Entrénate para pensar mejor

Algunos juegos con números

¿Quién invento la matemática?

OPERACIONES ................................

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS OPERACION

MULTIPLOS Y DIVISORES

Criterios De Divisibilidad

Números primos y compuestos

DIVISOR COMÚN MAXIMO. MÚLTIPLO COMÚN MENOR

Fracción…………………………

Fracción Equivalente

Número Decimal ................................

GEOMETRÍA ................................

Mediatriz ................................

Clasificación de los ángulos

Operaciones en el sistema sexagesimal

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS Y

TRIÁNGULOS: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN

Escuela de Enseñanza Media Prof. Susana A. Maglione N° 385

¿Se puede jugar con la matemática? .............................................................................................

Entrénate para pensar mejor ................................................................................................

Algunos juegos con números ................................................................................................

emática? ................................................................................................

................................................................................................................................

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ................................

DIVISORES ................................................................................................

Criterios De Divisibilidad ................................................................................................

Números primos y compuestos ................................................................................................

DIVISOR COMÚN MAXIMO. MÚLTIPLO COMÚN MENOR ................................

…………………………………………………………………

Equivalente……………………………………………………………

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

Clasificación de los ángulos ................................................................................................

Operaciones en el sistema sexagesimal ................................................................

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE ................................

TRIÁNGULOS: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN ..............................................................

Página 2

............................. 3

...................................... 3

.................................. 4

...................................... 5

.................................. 6

........................................................ 7

.............................................. 11

.......................................... 11

................................... 11

............................................. 13

…………………14

…………………15

................................ 16

........................................ 19

........................................... 20

.................................. 22

................................................... 23

.................................. 23

.............................. 24

Escuela de Enseñanza Media Prof. Susana A. Maglione N° 385 Página 3

¿Se puede jugar con la matemática?

Quizá resulte extraño que un cuadernillo de matemáticas comience con esta pregunta

y más extraña aún la respuesta: sí, se puede…

Muchos estudiantes están convencidos de que la matemática es aburrida y se

preguntan para qué sirve, suponiendo que no sirve para nada. ¿Tienen razón?. Los profesores

que nos hemos dedicado a ella no la vemos de ese modo y queremos trasmitirles a ustedes,

nuestros alumnos, los sentimientos que nos inspira; este cuadernillo intenta lograrlo.

Las actividades te situarán frente a problemas propios de la matemática y de otras

disciplinas, en las que esta ciencia es un instrumento irreemplazable. Es tu derecho poner en

juego estrategias personales, profundizarlas, formular otras y hasta…equivocarte.

El resolver problemas es una cuestión de habilidad práctica como ser, por ejemplo, el

nadar. La habilidad práctica se adquiere mediante la imitación y la práctica.

Recuerda: “un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de

todo problema es la meta especifica de la inteligencia e inteligencia es el don especifico de los

seres hu8manos. Resolver problemas es la actividad humana por excelencia”

1. Entrénate para pensar mejor a) Un hombre que pesa 100 kg y dos hijos suyos, que pesan 50 kg cada uno,

desean cruzar un rio. Si tienen solamente un bote que apenas transporta con

seguridad 100 kg, ¿Cómo pueden cruzar todos el rio?

b) ¿Cómo medirías 3 litros de agua, si estás junto a una fuente y dispones

exclusivamente de un cántaro de 9 litros y de otro de 5 litros?

c) Se han tomado 2 fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de las

cuatro caras. Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista

pueden obtenerse los siguientes resultados: 36 41 50 55

Observa la figura y averigua los números que quedan ocultos 25 30

d) Carmen tenía anteayer 13 años y sin embargo el año que viene cumplirá 16

años. ¿Cómo es eso posible?

e) Paula, Ana, Lorena y Paloma van al baile con 4 amigos: Rubén, Héctor, Juan y

Álvaro. Cada chica baila un ritmo diferente con cada chico (rock, salsa, rumba y

cumbia). De vuelta a casa las amigas comentan:

Paula: “Rubén baila salsa fatal, pero a Juan se le da muy bien el rock”

Ana: “Pues a Juan también se le da bien la rumba”

Lorena: “He bailado un rock con Héctor”

Paloma: “Se me ha torcido un pié bailando con Álvaro”

¿Cómo se emparejaron para bailar cumbia?


2. Algunos juegos con números a) Ubica los números del 1 al 9, sin repetirlos, para que los vértices de cada

región sumen lo que en el centro de la región se indica.

20 17

15

17 14

11 12

b) Intercala los signos +, - o y los paréntesis necesarios para que se verifiquen las

igualdades.

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 0

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 1

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 2

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 3

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 4

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 5

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 6

1 ……… 2 ……… 3……… 4 = 9

c) Ubicar los números 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los casilleros de esta cuadrícula de

modo que: el 9 ocupe el centro , lo números de la primera fila sean todos

impares y la suma de los números de cada fila y cada columna sea a misma.


¿Quién invento la matemática?

No hay un único “inventor”, desde sus más remotos orígenes los seres humanos la

crearon para resolver problemas de orden práctico y también por razones estéticas y

espirituales.

En la prehistoria, al comenzar el período Neolítico, el hombre se hizo sedentario. En

esa época se originó el concepto de número natural, debido a la necesidad de contar las

pertenencias y los animales, que por entonces comenzaban a domesticarse.

Hoy al conjunto formado por los números naturales lo simbolizamos con N.

N = { 0; 1; 2; ….; 15;……..; 39;………...; 14.958;…………..}

Nuestro sistema de numeración no fue el primero históricamente desarrollado, los sistemas

que antecedieron al nuestro, no tenían un numeral que designara al número 0. Por muy

simple que nos parezca escribir cien con el símbolo 100, debemos tener en cuenta que se

necesitaron muchos siglos para admitir el o como número. Con el cero indicaban lo ausencia

de un valor.

Los símbolos de nuestro sistema de numeración son 10: 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 y se

llaman dígitos. Son diez, igual que los datos de la mano.

3. Nombren tres situaciones de la vida real donde se usen los números naturales.

4. Juan Manuel tiene $ 42 con lo que piensa comprar juegos para la computadora.

En la casa de juegos electrónicos encontró algunos con estos precios; $ 12, $ 18, $ 20, $ 16 y $

8. ¿Qué pudo haber comprado Juan si le dieron $ 2 de vuelto?

5. Representa en la recta numérica los siguientes números naturales: 1; 3; 7; 8.

A partir de la representación en la recta, se puede decir que un número es mayor que

cualquier número que se encuentra a su izquierda y menor que cualquier otro que se

encuentra a su derecha.

>: Mayor <: Menor =: Igual ≥: Mayor o igual ≤: Menor o igual

6. Cuatro lugares A, B, C y D tienen en cierto momento las temperaturas a, b, c y d,

respectivamente. Si en A y C la temperatura es la misma y en B es menor que en C. ¿Qué

relación se puede expresar entre a y d si la temperatura de B es mayor que la de D?

7. Sabiendo que x es un número natural, escriban todos los valores de x que verifican las

condiciones dadas en cada caso:

< < ≤ < ≤ <≤ ≤ < < ≤ <

) 2 4 ) 2 3 ) 0 3

) 3 9 ) 5 10 ) 4 ) 4

a x b x c x

d x e x f x g x


8. Completa con las operaciones convenientemente (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación) para que el resultado sea 6. a) 2………2………2 = 6 b) 3………3………3 = 6 c) 4………4………4 = 6 d) 5………5………5 = 6 e) 6………6………6 = 6 f) 7………7………7 = 6 g) 8………8………8 = 6 h) 9………9………9 = 6 9. “La importancia del paréntesis” Observen el aviso clasificado que lee una y otra vez un joven:

IMPORTANTE EMPRESA

Solicita empleado (inútil) presentarse sin experiencia.

Se trata, en realidad de un error involuntario del diario, pues colocaron erróneamente los

paréntesis. ¿Puedes corregir este aviso?

10. Pablo copió la tarea en su cuaderno, pero olvidó los paréntesis. ¿Dónde debe ubicarlos,

para obtener el resultado indicado?

a) 140 + 1 + 9 : 3 – 2 = 48 b) 3 . 8 + 2: 2 – 1 = 12

c) 40 + 4 – 7 – 2 = 35 d) 3 . 8 + 2: 2 – 1 = 24

e) 40 + 4 – 7 – 2 = 39 e) 3 . 8 + 2: 2 – 1 = 14

OPERACIONES


11. calcula el minuendo sabiendo que el sustraendo es 15 y la diferencia 58.

12. Calcula el dividendo sabiendo que el divisor es 17, el cociente es 12 y el resto 9.

13. El producto de dos números es 56. Si uno de los factores es 2. ¿Cuál es el otro factor?

14. Calcula el divisor de una división entera sabiendo que el dividendo, cociente y resto son

respectivamente: 426, 13 y 10.

15. ¿Cuál es la base si sabes que el exponente es 5 y la potencia 32?

16. ¿Cómo harían los siguientes cálculos de manera más fácil?

a) 799 + 5999 = b) 11 + 7 + 3 = c) 2 + 7 + 8 + 3 = d 75 . 99= e) 43 . 101 = f) 1002 . 6 = g) 41 . 19 = h) 86 . 49 = i) 52 . 21 =

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES PROPIEDAD CONMUTATIVA: (CONMUTAR: Cambiar) si se cambia el orden de los términos, el resultado no cambia. PROPIEDAD ASOCIATIVA: (ASOCIAR: agrupar) Esta propiedad nos permite agrupar los números para que los cálculos resulten más fáciles.- ADICIÓN – MULTIPLICACIÓN –

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: (DISTRIBUIR: Repartir) La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

4 . ( 9 + 7) = 4. 9 + ………=…………..+ ………..= (9 + 7) . 4 = 9 . 4 + ………=…………..+ ………..=

4. 16 = 64 16 . 4 = 64


La división no es distributiva: Si el numero que pretendemos repartir está: a la izquierda del paréntesis:

24 : (2 + 6) = 24 : 8 = 3, en cambio

24 : (2 + 6) = 24 : 2 + ………….. = …………….. +………..= 000

• En cambio si es distributiva a la derecha

(8 + 2 – 6) : 2 = 4 : 2 = 2

(8 + 2 – 6) : 2 = 8 : 2 + 2 : 2 – ……… = ………..+ …… -…….=2022

16. Recuerden y utilicen la regla práctica para resolver los siguientes cálculos. a) 75 . 100 = b) 430 . 1000 = c) 1894 . 10 = d) 3000 : 10= e) 45000000 : 1000 = f) 80 : 10 = 17. Para realizarlo mentalmente: a) Multiplicar un número por 11: 478 . 11= escribe la cifra de las unidades (8) y luego realiza las sumas: 8 + 7 = 15. escribe el 5 y al 1 súmalo junto a 7 y 4. Anota el 2 y al 1 súmalo a 4. 36 . 11 = 328 . 11 = 1236 . 11 = 16 . 11= 729 . 11 = 4729 . 11 = b) Multiplicar un número por un dígito seguido de ceros. 46 . 700 = (46 . 7) . 100 = 125 . 60 = (125 . 6 ) . 10 = 78 . 900 = 143 . 200 = 712 . 600 = 86 . 4000 = c) Dividir un número por 4: (76 : 4 ) = 76 : 2 : 2 = 38 : 2 = 19 108 : 4 = 2460 : 4 = d) Multiplicar por 25: 84 . 25 = (84 . 100 ) : 4 = 8400 : 4 = 2100 46 . 25 = 230 . 25 = e) Dividir por 5: 90 : 5 = ( 90 : 10 ) . 2 = 9 . 2 = 18 130 : 5 = 80 : 5 =


f) Obtener cuadrados de números terminados en 5. “Todos terminan en 25 y las cifras que preceden a 25, son el producto de la cifra de la base que precede a 5 por el siguiente.”

( )2 2

2 2

2

35 3. 4 .25 1225 45

25 ____ . 25 105

15 _____

= = =

= =

= 295 =

18) Calculen cuando sea posible:

4 3

) 3 . 8 - 10 ) 53 3. 2 - 10 : 5 ) 7 - 9

) 9 : 4 5 ) 2 ) 5

a b c

d e f

g

= + = =+ = = =

03) 27 ) 64 ) 3

) 10 : 1 ) 1 : 10

h i

j k

= = == =

0

) 1. 9

) 9.1 ) 0 : 4 ) 4 : 0

) 0.0 ) 0

l

m n ñ

o p

== = =

= =53

) 1000

) 36 ) 8 ) 22

q

i j t

=

= = = 19. Resuelven las siguientes operaciones combinadas

( ) ( )( ) ( ) ( )) 10 - 5 : 5 + 4 . 3 + 2= b) 120 + 14 - 18 : 9 : 12 =

c) 8 - 4 : 2 : 3 = d) 100 : 10 + 8 . 9 : 2 + 9 + 1 .

a

( ) ( ) ( )( )

2 =

e) 4. 3 - 2 + 5 . 6 . 3 - 10 = f) 180 : 2 + 10 : 25 + 6 =

g) 14 - 10 : 2+ 1= h) 3. 7- 1 + 3. 8 - 5 .3 =

20. Escriban el cálculo correspondiente y resuélvanlo. a) La suma entre 25 y 18; b) La diferencia entre 30 y 14; c) El producto de 3 y 8. d) El cociente entre 45 y 9. e) El doble de 10, más la mitad de 40. f) La diferencia entre el triple de 24 y la tercera parte de 45; g) la suma entre el doble de 5 y el triple de 8; h) La diferencia entre el triple de 16 y 4; i) El cociente entre 48 y la suma de 4 y 2. 21. Resuelvan éstos cálculos y expréselos en lenguaje coloquial.

( ) ( )) 35 9 ) 81. 3 ) 2 . 4 - 4 : 2

) 8 . 3 24 : 3 ) 24 - 4 : 5 ) 3 . 10 2

a b c

d e f

+ = = =+ = = +

( )( )

25

2 2

) 32 5 ) 32 - 1 ) 3 2

) 10 - 8 ) 10 : 100

g h i

j k

=

+ = = + =

= =


22. Investiguen si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades.

( ) ( )22 2 2 2 2) 2 . 3 2 . 3 ) 8 - 3 8 - 3

) 100 64 100 64 ) 25.4 25. 4

) 64 : 4 64 : 4

a b

c d

e

= =

− = − =

=

( ) ( )2 2 2 2 2 2

) 16 : 9 16 : 9

) 5 1 5 1 ) 10 : 5 10 : 5

f

g h

=

+ = + =

La potenciación y la radicación son distributivas con respecto a la multiplicación y a la división. 23. Resuelvan

( ) ( )

4 3 5 4 2 9 7

43 2

2 6 5 2

)2 .2 : 2 )3 : 3 . 3 ) 4 : 4 . 4

) 2 ) 2 : 2 : 4

a b c

d e

= = =

= =

( )( ) ( )

05 2

23 2 2

) 16 : 16

) 3 : 3 . 3

f

g

=

= - Para multiplicar dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. - Para dividir dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los exponentes. - Para calcular una potencia de otra potencia, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. 24. Resuelvan los siguientes cálculos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 5 0 1

38 6 2 2

) 16 8 : 2 . 2 - 5 ) 5 - 10 : 2 1 . 2 . 31 41

) 10 : 10 . 3 5. 8 - 100 : 10 ) 3 5 : 2 3 - 2 : 2 . 100

) 4 - 9

a b

c d

e

+ = + + =

+ = + + =

+( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22

30 3 3

25 - 16 ) 2.3 - 5.2 2. 3 - 2 . 2 : 2

) 3.2 3 -2.4 3 ) 2 4 5 . 4 : 2

) 7 - 5 3 . 10 8 1

f

g h

i

= + =

+ + = + =

− + + = ( )032 ) 45 : 9. 2 - 99 : 11j =

25. Si se cuentan los libros de la biblioteca del aula de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco, de seis en seis, siempre sobra uno. ¿Cuál es el menor número de libros que puede tener la biblioteca si además se sabe que al contarlos de siete en siete no sobra ninguno?


MULTIPLOS Y DIVISORES Un numero “a” es divisible por otro “b” cuando la división a : b es exacta. Se dice que “a es múltiplo de b” y “b es divisor de a” Ejemplo : a) 8 es divisible por 4; 8 es múltiplo de 4 8: 4 = 2 resto 0 “ 4 es divisor de 8” b) 15: 3 = 5, resto 0. “15 es divisible por 3”; “15 es múltiplo de 3”; “3 es divisor de 15”

Criterios De Divisibilidad

Un número es divisible por

Cuando

2 El número termina en cero o cifra par

3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

4 El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4.

5 La última cifra es 0 ó 5.

6 El número es divisible por 2 y por 3.

7 Al producto de la unidad por 5, se le suma las decenas. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. 875, 5.5 = 25 25 +87 = 112 (2.5 + 11 = 10 + 11 = 21)

8 El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.

9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.

10 La cifra de las unidades es 0

11 La diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las que ocupan un lugar impar es 0 o múltiplo de 11.

Números primos y compuestos

� Un número es primo cuando tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. � Un número es compuesto cuando tiene mas de dos divisores. �

26. En un terreno rectangular que mide 65 metros por 91 metros se quiere colocar árboles en sus esquinas y luego plantar otros en su contorno, de modo que la distancia entre dos consecutivos sea siempre la misma y la mayor posible. a) ¿Cuál será la distancia entre dos árboles consecutivos? b) ¿Cuántos árboles colocará en total el jardinero? 27. Un canasto contiene más de 7 docenas, pero menos de 100 flores. Escriban el posible número se flores que puede haber en el canasto de acuerdo con cada condición.

a. Es múltiplo de 4 y 6 b. Es divisible por 10 c. Es múltiplo de 7, pero no de 2

d. Es divisible por 11 y 2 e. Es divisible por 31 f. Es múltiplo de 9, pero no de 2


28. a) Escriban todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 300 y 350. b) Escriban todos los múltiplos de 23 mayores que 700 y menores que 900. c) Escriban los divisores de los siguientes números: I) 5 II) 70 III) 12 IV) 30 V) 44 29. Simplifiquen cada expresión cuando sea posible:

a. 10.9

5 b.

2 45

4

+ c.

( )9 2 1

3

+

d. 48

8 e.

7 14

7

−

f.

( )9 : 2 1

3

+

g. ( )6 4 : 5

5

+

30. Factoricen los siguientes números: a) 120 b) 210 c) 297 31. Completen las siguientes factorizaciones por diagrama de árbol a) 5

90

2

b)

1925

5

32. Expresen el número 180 como producto: a) de dos números distintos de 1. b) de tres números distintos de 1. c) de cuatro números distintos de 1. d) del máximo número de factores distintos de 1 (puede repetirse un mismo factor). e) ¿Cuántas soluciones distintas existen para el caso a)? f) ¿Cuántas soluciones distintas existen para el caso d)? 33. Dos campanas suenan juntas a las 8, una de ellas vuelve a sonar cada 12 minutos y la otra cada 16 minutos. ¿A qué hora volverán a sonar juntas? 34. Se tienen 96 litros de aceite de maíz y 120 litros de girasol: sin mezclarlos se los quiere envasar en el menor número posible de recipientes de manera que todos contengan la misma cantidad. ¿Cuántos litros deberá contener cada envase y cuántos envases para cada clase de aceite se emplearan?


DIVISOR COMÚN MAXIMO. MÚLTIPLO COMÚN MENOR � El divisor común máximo (dcm) es el mayor de los divisores que tienen en común esos

números. � El múltiplo común menor (mcm) es el menor de los múltiplos que tienen en común

esos números. Regla práctica para calcularlos:

a) Se factorizan los números 45 3 30 2

15 3 45 = 3�. 5 15 3 30 = 2.3.5 5 5 5 5 1 1

b) Para el dcm se multiplican los factores comunes con su menor exponente

d�� = 3.5 = 15 Para el mcm se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. �� = 2. 3�. 5 = 90

35. En una escuela hay 18 alumnos en el curso A, 27 alumnos en el curso B y 45 en el curso C. Para realizar una competencia de matemática, se deben formar grupos con igual número de alumnos que pertenezcan al mismo curso.

a) ¿Cuántos grupos diferentes con igual número de alumnos se pueden formar en cada curso?

b) Si todos los grupos tienen que formarse con el mismo número de integrantes ¿Cuál es el mayor número de alumnos que debe tener cada uno?

36. En un maxiquiosco, el proveedor de gaseosas entrega los pedidos cada 2 días, el proveedor de galletitas lo hace cada 4 días y el de golosinas cada 3 días. El día 1 de abril coincidieron las entregas de los 3 proveedores ¿en qué otros días de ese mes volverá a pasar lo mismo? 37. El perro de Marta está enfermo y tiene que tomar una cucharada de jarabe cada 8 horas y vitaminas cada 6 horas. Para comenzar el tratamiento; Marta le da el jarabe junto con las vitaminas ¿Cada cuántas horas podrá volver a hacerlo? 38. Se desea cubrir con baldosas cuadrados, lo más grandes que sea posible, el suelo de una habitación de 2.80 m por 3.20 m. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de las baldosas y cuántas se necesitan? 39. La suma de dos números consecutivos es 35 ¿Cuáles son esos números? Una ecuación es una igualdad en la que aparece, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita. A la incógnita se la representa mediante una letra que generalmente es la x.

� + 5 = 25 Primer Miembro Segundo Miembro

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad que hacen verdadera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. Cuando en una ecuación se aplica la propiedad uniforme, se obtiene como resultado otra ecuación que es equivalente.


40. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen la solución:

a) 4� + 3 = 39 b) � + 10: 5 + 7 = 20 c) �: 7 + 10 = 20 d) 6. (� + 5) = 54 e) 2. �� + 1 = 17 f) √3� − 5 = 4

g) √4� + 1 = 3 h) (� − 4)� = 1 i) 2� + 4 = � + 12 j) 3� + 5 − 1 = 2� + 6

41. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan la ecuación: a) El doble de un número más la mitad de 6 es igual a 9 ¿Cuál es el número? b) La mitad de un número más el doble de 1 es igual al doble de 2 ¿Cuál es el número? c) La raíz cuadrada del siguiente de un número es igual a 7 ¿Cuál es el número? 42. En el terreno que compró el club estudiantil para instalar el campo de deportes, van a construir una cancha de futbol y una pileta de natación. La cancha medirá de largo las tres cuartas partes del largo del terreno y de ancho dos quintas partes del ancho del mismo. La comisión de deportes pidió a los asociados que propongan la ubicación de la cancha mediante gráficas.

a) Representar el terreno y dibujen en él la cancha. b) ¿Qué parte del campo ocupará la canchita? c) Si la pileta debe ocupar un área igual a la tercera parte del área de la cancha ¿Qué

parte del terreno se debe destinar para la misma? d) ¿Qué parte del terreno quedará disponible?

Fracción

@ ≠ B

43. ¿Cuáles son las fracciones representadas en cada caso? Si es posible escribirla como número mixto.

a) b) c) d)

44. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones: 1

2;5 3 5 10 15

; ; ; ;4 4 2 3 8

.

� + 8 = 20 � + 8 − 8 = 20 − 8 � = 12

3. � = 15 3. � ∶ 3 = 15 ∶ 3

� = 5

�� = 125

D��E= √125E

� = 5

F@

Numerador

Denominador

Indica división


45. Escribí la fracción que representa la parte pintada

46. Indica qué fracción del cuadrado representa lo pintado. Después escribí cada

fracción como número decimal.

Fracción Equivalente

Resulta de multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número natural distinto de 0. A veces se puede obtener dividiendo

(simplificación) y llegar a la fracción irreducible.

Mayor y Menor

Recordemos que, todo número (fracción) que se encuentra a la derecha de otro, en la recta numérica, es mayor.

¿Las fracciones representan la

misma parte del cuadrado?

a)

b)


Número Decimal

Se obtiene de dividir el numerador por el denominador de la fracción.

47. Escriban >,< o = según corresponda

a) 3 4

........4 5

b) 3

0,12........25

c) 4

........0,795

d)35 21

........2 4

= 16 24........

2 3 e)

1 351 ........

4 28 f)

1 1........

5 4

48. Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones.

a) 1

4= b)

10

3 = c)

3

5 = d)

12

3 = e)

21

4 = f)

35

2=

49. Convierte a fracción: a) 0,25 b)1,50 c)23,45 e)0,125 f)2,4

50. Resuelvan las siguientes sumas y restas:

a) 1 11

3 3+ = b)

5 11

9 3+ − = c)

3 3 11

5 4 4+ − =

d) 1 5 1

12 6 4+ − = e) 0, 25 2 1,75+ − = f) 3 1, 25− =

g) 2,40 1,20+ = h) 7,40 5− = i)2 1

15 2

+ − =

j)3

45

+ = k)2

13

+ = l) 4

83

− =

m) 2 3

27 2

− + = n) 7 5

2 2− = ñ)

7 21

6 3− + =

o) 2,95 1,70 0,5+ + =

51. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a)1128

4• = b)

3400

2• = c)

42 25

35 18• =

d)4 0,25• = e)2,20 3• = f)3,25 1,1• =


g)4,1 0,3• = h)13 0,14

• = i)50,3 2

6• • =

j) 35 8

64 7• = k)

65 13:

4 8= l)45 : 0,3 =

m) 3,42 : 4 = n)10 7 14

:9 5 6

• = ñ)1 6 3

:12 5 2

• =

o) 45,8: 2,1 = p)1

0,3 :100

= q)4 2: 15 15

=

52. Calculen las siguientes potencias y raíces:

a)2

2

7 =

b)3

5

2 =

c)0

1

4 =

d)3

1

2 =

e)2

1

3 =

f) ( )30,2 = g) ( )2

1,1 = h) 1

16=

i) 31

8= j)

100

9= k)

49

25= l) 0, 49 =

m) 3 0,027 = n) 4 0,0016 =

54. Separen en términos y resuelvan:

a)1 1 4

22 3 5

+ • − =

b)2 1 5

:3 4 6

+ =

c)1 8 1

2 3 6• + = d)

3 51 2 : 5

4 8 − • + =

e)3 1

25 2

+ • = f)1 3 2 4

5 10 3 3 + • + =

g)7 1 3

:12 10 10

− = h)5 1 9 10

:3 10 5 9

− + =

55. Resuelvan los siguientes cálculos. Expresen el resultado como fracción

irreducible.

a)2

1 20 21 1

4 7 40 2 + • − =

b)12 45 5 1

5 20 81 9• • − =


c)2

3 1 21 21:

4 4 70 140 − + =

d)25 1 9 10

:3 10 5 9

− − =

e)7 1 3

:12 100 10

− = f)1

10 5 1 1: 2

15 9 6 6 − + + =

g) 01 14 2

20 4• + + = h)

2

31 1

12 8

− + =

i)2

1 9 10,4 : 0, 2

3 2 2 • − + =

j)1 1

3 0,54 5

+ • − =

k) 01 13 3

2 2 − • + =

l)1 1 10

: 29 2 3

• + =

56. Resuelvan los siguientes problemas.

a) En un espectáculo había presentes 360 personas, de las cuales 4

5 eran adultos y

1

5 eran niños.

I) ¿Cuántas personas adultas había? II) ¿Cuántos niños había?

b) Una pileta contiene 35000 litros de agua que representan 7

10 de su capacidad.

¿Cuántos litros puede contener en? 57. Resuelvan las siguientes ecuaciones:

a)1 1 1

8 4 4x+ = b)

1 2 2

3 15 5x + = c)

1 35

2 4x x+ = d)

13 1, 25

4x + =

e)1 1

2 14 2

x x+ = + f)1

3 92

x − =

g)1

: 2 14

x − =

h)1

1 32

x + − =

58. Planteen la ecuación correspondiente a cada situación y resuélvanla:

a. Sergio decidió organizar sus vacaciones de la siguiente forma: la cuarta parte de los días estará en la quinta, la tercera parte, en el campo y 10 días los pasará en la playa. ¿Cuántos días tiene de vacaciones y cuánto tiempo pasará en la quinta?

b. En una colección de monedas, la cuarta parte son de oro, dos tercios son de plata y 200 monedas son de cobre ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

c. Se pintó el frente de un edificio en 3 etapas. En la primera etapa se pintó la quinta parte de su altura; en la segunda etapa, la mitad y en la tercera etapa se pintaron los últimos 12 metros. Encuentren la altura del edificio.


GEOMETRÍA

RECTAS – ÁNGULOS – TRIÁNGULOS

Los tres elementos geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano

Con los tres elementos anteriores se pueden determinar:

La palabra geometría deriva de “geo” (tierra) y “metrón” (medida) y “significa medida de la tierra”.

Los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicar la naturaleza nacieron en forma práctica a orillas del rio Nilo, en el antiguo Egipto.

Cuando las aguas de este rio crecían, se producían inundaciones que borraban los límites de los terrenos y eran necesario volver a marcarlos, medirlos y crear diques paralelos para encauzar las

aguas.

Los egipcios habían desarrollado una gran habilidad en “el arte de medir la tierra”, ya que inventaron técnicas que se fueron transmitiendo de generación en generación.


Trazado de la mediatriz

59. Dibuja un segmento GH y traza la mediatriz.

60. Calcula la longitud de GH

Se desliza la escuadra sobre la regla hasta donde se quiere trazar la recta paralela

Se apoya uno de los catetos de la escuadra sobre la recta y se traza la recta perpendicular

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo que pasa por su punto medio. Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento

Se apoya el compás en uno de los extremos del segmento, con una abertura mayor a la mitad del segmento. y se traza una circunferencia. Se repite el procedimiento con el otro extremo del segmento. Se dibuja la recta que determinan los dos puntos de intersección de las dos circunferencias.

GI = 2� + 1��

IH = � + 4��

M es mediatriz de GH


61. a) Dibuja una recta S paralela a R que pase por el punto m

b) Dibuja una recta T perpendicular a r que pase por el punto n.

c) Dibuja una recta U perpendicular a r que pase por el punto m.

62. a) Mide con el transportador los siguientes ángulos y clasifícalos en cóncavos y convexos. b) A los convexos, clasifícalos en: agudo, recto, obtuso y llano. c) Busca ángulos complementarios y suplementarios.

Clasificación de los ángulos

Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un vértice y un lado en común.

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas.

Dos ángulos son complementarios cuando la suma es igual a 1 recto.

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma es igual a 2 rectos.

Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.


Operaciones en el sistema sexagesimal

63. Calculen el valor del ángulo en cada caso.

a) J y K son suplementarios. Si K = 53º 23M 35′′ , entonces ∝=……………………….

b) P y Q son complementarios. Si Q = 37º 43M 21′′, entonces P =……………………….

64. Calculen la medida de cada ángulo y justifique su respuesta.

a) b) c)

K = 23º 54M 36MM K = 63º 12M J = 88°

K = Q

65. Relacionen cada frase con la medida correspondiente:

a) La cuarta parte de un ángulo llano. 1)22° 30′ b) La tercera parte de un ángulo llano. 2)45° c) La cuarta parte de un ángulo recto. 3)30°

d) La mitad del suplemento de un ángulo recto. 4)60°

e) La tercera parte del complemento de un ángulo nulo.

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos ángulos congruentes. Para trazar la bisectriz de un ángulo, deben tomar el compás, apoyarlo en el vértice del ángulo y trazar un arco que corte a ambos lados, por ejemplo, en los puntos a y b. Luego, apoyen el compás en a y tracen un arco. Con la misma abertura, apoyen en b y tracen otro arco que corte al anterior en c. La semirrecta que tiene origen en o y pasa

por c es la bisectriz de GSHT .


ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE � Ángulos correspondientes: son los pares de ángulos no adyacentes que están

en el mismo semiplano respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo.

� Ángulos alternos internos: son los pares de ángulos internos no adyacentes que están en distintos semiplanos respecto de la transversal.

� Ángulos alternos externos: son los pares de ángulos externos no adyacentes que están en distintos semiplanos respecto de la transversal.

� Ángulos conjugados internos: son los pares de ángulos internos que están en el mismo semiplano respecto de la transversal.

� Ángulos conjugados externos: son los pares de ángulos externos que están en el mismo semiplano respecto de la transversal.

Si las rectas son paralelas, los pares de ángulos cumplen las siguientes propiedades: � Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes. � Los ángulos alternos entre paralelas son congruentes. � Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios.

66. Calculen el valor de J y K. Expliquen la respuesta.

a) b)

c) d)


TRIÁNGULOS: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN

Elementos de un triángulo: Vértices: a, b, c

Lados: GH, H�, �G Ángulos interiores: GU, HV, �. Ángulos exteriores: ∝,X KY ,ZU

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados en:

• Escaleno: ningún lado congruente.

• Isósceles: al menos dos lados congruentes.

• Equilátero: tres lados congruentes.

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados en:

• Acutángulo: tres ángulos agudos.

• Rectángulo: un ángulo recto.

• Obtusángulo: un ángulo obtuso.

67. Lean la información y clasifiquen los triángulos de acuerdo con sus lados y

ángulos.

a) b) c)

d) e) f)

Clasificación Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Escaleno Isósceles Equilátero

En un triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.


67. Escriban Verdadero (V) o Falso (F).

a) Todo triángulo equilátero es isósceles. b) Todo triángulo isósceles es equilátero. c) Ningún triángulo acutángulo es escaleno. d) Existen triángulos rectángulos que son isósceles. e) Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero. fJ Todo triángulo isósceles es acutángulo.

68. Observen el dibujo y completen la tabla con las medidas de los ángulos.

�IY[ �[YI [�\ GHV\ \GUH H\G \[Y� G\[ \[YG


69. Planteen una ecuación, calculen el valor de x y escriban la medida de cada

ángulo marcado en color.

70. Resuelvan

a. calculen el valor de GU, HV ] � .

b. calculen el valor de �X, U ] � .

72. Escriban Verdadero (V) o Falso (F).

a) En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos suman 90°. b) En un triángulo isósceles, si los dos ángulos congruentes suman 140°, entonces el tercer ángulo mide 50°. c) En un triángulo equilátero, cada ángulo interior siempre mide 60°. d) En un triángulo, rectángulo isósceles cada ángulo agudo mide 45°. e) En un triángulo obtusángulo isósceles, si uno de los ángulos agudos mide 30°, entonces el ángulo obtuso mide 130.


73. Lean atentamente las dos soluciones del ejercicio y digan dónde está el error. Expliquen cada respuesta. Enunciado: calculen los ángulos interiores del triángulo � − 45

abc△ Isósceles

X

G

H

�

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