Matemáticas 1º Bachillerato. CIENCIAS Y...

Matemáticas 1º Bachillerato. CIENCIAS Y TECNOLOGÍA ACTIVIDADES RESUELTAS

1

NÚMEROS REALES

1. Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales:

a) 5

6 b) 6,345345… c) √121 d) 7,23041… e) 3,141

RESOLUCIÓN:

esunafracción.Portantoesracionalyaquenúmeroracionaleselquepuedeexpresarsecomofracción.

6,345345…esperiódicopuroypuedeexpresarsecomo: yportantoesracional

√121 11,queesunnúmeroenteroy,portanto,racional.

7,23041…nomuestraunareglade formaciónde lascifrasdecimales; se suponequeno lahayycontieneinfinitascifrasdecimalessinperiodicidad.Portanto,esirracional.

3,141esdecimalexactoquepuedeexpresarse: ,portantoesracional.

2. Representa gráficamente √10.

RESOLUCIÓN:

AplicaremoselteoremadePitágoras.Asíquebuscamosuntriángulo rectángulo cuyos catetos elevados al cuadradosumen10.Así,sib 3yc 1,a √10

3. Encuentra, si es posible, dos números racionales entre 3

5 y

4

5.

RESOLUCIÓN:

Manejaremoselconceptodemediaaritmética:eselnúmeroqueestáenmedio.Por tanto,

es un número racional comprendido entre los que nos dan. Ahora podemos

volveraseguirelmismoprocedimientocon y .

Otro método consiste en expresar las fracciones dadas de manera equivalente con undenominador más grande. Así, , y . De manera que , y sonracionalesquecumplenloquenospiden

4. ¿Qué números reales cumplen x+7 0’5?

RESOLUCIÓN:x 70,5x 770,57x6,5x6,5x 6,5,

5. Se verifica que a + b > 3 y a b < 3. Entonces, ¿cuál de los dos es mayor, a o b?

RESOLUCIÓN:

Nopuedeafirmarsenadaalrespecto: a 3;b 1;a b a b 4 3 ab 2 3

a 1;b 3;a b a b 4 3 ab 2 3

6. ¿Qué números reales distan 5 unidades de 2/5?

RESOLUCIÓN: 5 ⟺5 ⟺ 5 ⟺

5⟺ 5 ⟺

7. Calcula √2 con dos decimales. Acota el error absoluto y el relativo.

RESOLUCIÓN:

Lacalculadoranosproporciona:√2 1,4142….Sitomamosdosdecimales:√21,41.


2

ElerrorabsolutoesE |1,4142…1,41| 0,0042…. 0,0043 0,005 5 103.

Elerrorrelativo √

,

,0,0030,3%

8. Expresa los siguientes radicales de manera que tengan el mismo índice: √2; √3; √5

RESOLUCIÓN:

m.c.m. 2, 3, 5 30. Colocamos este valor como nuevo índice de las raíces, y comoexponentedelradicando,elnúmeroqueresultadedividirloentreelíndiceantiguo: √2 √2 √32768 √3 √3 √59049 √5 √5 √15625

9. ¿Qué podemos decir de la expresión √8 √4?

RESOLUCIÓN:

Hayquetenerencuentaque√8sólotieneelvalorreal2.Mientrasque√4tienedosvaloresreales2.Portantolaigualdadnoesdeltodocierta.

10. Expresa en forma de potencia los siguientes radicales: a) √ ; b) √ ; c) √81

RESOLUCIÓN:a √ b √ c √81 81 9 9

11. Expresa en forma de radicales: a) b) 625 c) 3

RESOLUCIÓN: a √ b 625 5 5 c 3 √3

12. Simplificar los siguientes radicales: a) √8 b) √125 c) √27

RESOLUCIÓN: a √8 2 2 b √125 5 5 5 √5

c √27 3 3 3 3 3 3 √3

13. Reduce las siguientes expresiones a la forma más simple equivalente:

a) 2√50 3 18 3 √2 b) √ √

RESOLUCIÓN:

a 2√50 3 18 3 √2 2√2 5 3 2 3 3 √2 2 5 x √2 3 3 y2 √2 –3x√2 10x√2 9y2√2 –3x√2 7x 9y2 √2

b √ √

√ √

√ √ √ √

√ √

√ √

√ √ √ √√5 √2

14. Halla el valor de x que hace cierta la igualdad √3 √2 √6

RESOLUCIÓN:

√3 √2 √3 √ √2 √ √3 √2 √ √6 ⟺ √√

√ √

√ √ √

√ √ √ √

√ √ √

√ √

√ √ √ ⟺ √ √6 √3 √2 ⟺ 6 √3 √2 6 5 2√6

15. Dos ciclistas salen simultáneamente del punto A con la misma velocidad. El primero recorre la circunferencia y el segundo el diámetro. ¿Se encontrarán alguna vez?

RESOLUCIÓN: Suponemos que uno recorre n veces el diámetro y elotro m veces la semicircunferencia antes de encontrarse. Entonces:n 10 m 5n/m 5/10 /2.Peron,m n/mℚ,ysinembargo/2esirracional.¡Absurdo!LuegoNOESPOSIBLEQUESEENCUENTRENNUNCA.


3

16. Si x < y, indica cuales de las siguientes desigualdades son ciertas:

a) 7 x < 7 y b) 3y < 3x c) 1

x <

1

y.

RESOLUCIÓN:

x yx y sumando7acadamiembro 7x 7y Asípues,esFALSA

x y multiplicandoambosmiembrospor3 3x 3y Asípues,esFALSA

x y yaquedividimos1porunnºmáspequeño x Asípues,esFALSA

17. Calcula los siguientes logaritmos: a) log1; b) log100; c) log0,001; d) log√10; e) log216; f) log3243; g) log5625; h) log7343

RESOLUCIÓN:

a log1 x10 1x 0.Portantolog1 0

b log100 x10 100x 2.Portantolog100 2

c log0,001 x10 0,001x 3log0,001 3

d log√10 x10 10 x log√10 ½

e log216 x2x 16 24x 4log216 4

f log3243 x3x 243 35x 5log3243 5

g log5625 x5x 625 54x 4log5625 4

h log7343 x7x 343 73x 3log7343 3

18. ¿En qué base el logaritmo de 16 es ½?

RESOLUCIÓN: log 16 ⟺ 16 ⟺√ ⟺ ⟺

19. ¿Qué número tiene por logaritmo en base cuatro a ½?

RESOLUCIÓN: log ⟺ 4√

¡positivo!

20. Sin calculadora, sabiendo que log2 = 0,30103 y log3 = 0,47712, calcula log√405

, log40,5 y log3,3.

RESOLUCIÓN:

log√40 log40 log 22 10 log22 log10 2log2 log10 2 0,30103 1 0,320412

log40,5 log log81 log2 log34 log2 4log3 log2 4 0,47712 0,30103 1,60745

log3, 3 log log10log3 10,47712 0,52288

21. Resuelve: a) 23x1= 11 b) 4log + log = 2 logx c) logxlogy=1

2xy=2

RESOLUCIÓN:

a 2 11 3x1 log2 log113x1 x 1 x 1,486477…


4

b 4log log 2 logx log log log log log

⟺ ⟺ ⟺ 100 ⟺ 100 ⟺ 10 no vale 10porquexesargumentodeunlogaritmoynopuedesernegativo

c 12 2

; 2 2xy 1y x1.

Sustituimosenla1ªecuación:logxlog x1 1 log 1 ⟺ 10

x 10x109x 10x .Yahoravolvemosay x1y

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

22. Efectúa las siguientes divisiones: a) 8x3 : 2x5 b) √2·x7 : 2√2·x7 c) x4

2:

-3x3

4

RESOLUCIÓN:

a 8x3:2x5 Operamosseparadamenteconloscoeficientesylaparteliteral 8:2 x3:x5 4x3–5 4 .

b √2 x7:2√2 x7 Análogamente √2:2√2 x7:x7 ½ 1 ½.

c : Recordandoladivisióndefracciones

23. Realiza las siguientes divisiones exactas: a) (x+ 3) : (7x + 21) b) (x2 2x + 1) : (x 1) c) (x4 4x2) : (x + 2)

RESOLUCIÓN:

a x 3 : 7x 21 x 3 : 7 x 3 1/7

b x22x 1 : x1 x1 2: x1 x1

c x44x2 : x 2 x2 x24 : x 2 x2 x 2 x2 : x 2 x2 x2

24. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:

a)(x4 – 2x3 + 1) : (x2 – 3x + 2) b) ( x3 x2 x + 1) : (x2 + )

RESOLUCIÓN: Completamos los monomios que faltan en el orden decreciente de laspotenciasdexponiendocoeficiente0.

a Colocamoslospolinomioscomoenladivisióndenúmeros.

Tratamoscadamonomiocomosifueraunacifradel número. Se divide el primer monomio deldividendoporelprimerodeldivisor.

Se multiplica ahora este cociente parcial porcadaunodelosmonomiosdeldivisoryserestaaldividendo.Ahora se considera este resto parcial comonuevodividendoyrepetimoselproceso.

Nuevo resto parcial que pasa a ser el nuevodividendo


5

COCIENTE:x2 x 1RESTO:x–1

b

Previamente multiplicamos por 4 dividendo ydivisor, con lo que trabajamos con coeficientesenteros.Siguiendoelprocesoantesdescrito:

COCIENTE:

RESTO: 3 recuérdese que hemosmultiplicado por 4 dividendo y divisor; ahorahayquedividir elresto

25. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones, utilizando la regla de Ruffini: a) (x4 2x3 + x2 + 1) : (x 2) b) (x5 + 1) : (x + 1)

RESOLUCIÓN: La regla de Ruffini utiliza sólo los coeficientes del polinomio dividendo‘completo’.Únicamenteseaplicacondivisoresdelaformax–a.

a Coeficientesdelpolinomiodividendo

NúmeroqueselerestaaxeneldivisorElprimercoeficientedeldividendobajaalcocientedirectamente

Se multiplica el 2 por el primer elemento del cociente, y secolocabajoelsegundotérminodeldividendo.

Se van sumando los números de la misma columna y se varepitiendoelproceso.

Esteúltimonúmero sombreado eselrestodeladivisiónLosdemásnúmerossonloscoeficientesdelpolinomiocociente,queseráungradoinferiorqueeldividendo.Portanto:COCIENTE:x3 x 2yRESTO:5

b Comoseaplicaelprocesoparadivisoresdelaformax a,ahoraa 1

RESTO 0 DivisiónexactaCOCIENTE:x4 x3 x2 x 1

26. Calcula el resto sin hacer la división: a) (x4 2x2 + x + 1) : (x + 2) b) (√2x4 √2) : (x √2)

RESOLUCIÓN: a P x x42x2 x 1;P 2 2 42 2 2 2 1 7. Porelteoremadelresto,RESTO 7 b P x √2x4√2;P √2 √2 √2 4√2 3√2. Porelteoremadelresto,RESTO 3√2


6

27. Averigua si 1 es un cero de x6 x5 x4 x3 x2 x 1.

RESOLUCIÓN:

P x x6x5x4x3x2x1.Podemosresolverdedosmaneras: I P 1 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1NoesuncerodeP x II AplicandolaregladeRuffiniparadividirP x : x 1 ,seobservaqueelrestoda10.

28. Factoriza los siguientes polinomios: a) 2x3 3x2 8x + 12 b) x4 2x3 +2x 1 c) x4 5x2 + 4 d) x5 5x4 + 5x3 + 5x2 6x

RESOLUCIÓN: Aplicamos sucesivamente la regla de Ruffini para buscar los ceros de cadapolinomio. Si hay raíces enteras, éstas deben ser divisores del término independiente; lasraíces fraccionarias deben tener numerador divisor del término independiente y eldenominadordivisordelcoeficientelíder.

a 2x33x28x 12Lasposiblesraícesenterassonlosdivisoresde12:1;2;3;4;6;12.Vamosprobando:

Restodistintode0: 1noesraíz. 01noesraíz

2esraíz. Proseguimos investigando sin tener en cuenta las

candidatasyadesechadas.

2esotraraíz,yelúltimofactores2x3

Portanto:2x33x28x 12 2x3 x2 x 2

b x42x3 2x1.Posiblesraícesenteras divisoresde1 :1.Vamosprobando:

Portanto:x42x3 2x1 x 1 x 1 3

c x4 5x2 4.Posiblesraíces:1;2;4

x4 5x2 4 x1 x 1 x2 x 2


7

d x55x4 5x3 5x26xComoeltérminoindependientees0,unfactoresx:x55x4 5x3 5x26x x x45x3 5x2 5x6 Lasrestantesraíces lasbuscamosentre losdivisoresde6:1;2;3;6.Obtenemosentonces:x55x4 5x3 5x26x x x1 x 1 x 2 x 3

29. Calcula el m.c.d. y m.c.m. de los polinomios: a) x4 x2 y x3 2x2 + x b) 2x3 3x2 8x + 12 y x4 8x2 + 16

RESOLUCIÓN:Recordemosque,unavez factorizados lospolinomios,elm.c.d.se formaconlos factores comunes afectados con elmenor exponente y elm.c.m. con los comunes y nocomunesafectadosdelmayorexponente igualqueconlosnúmeros . a x4x2 x2 x21 x2 x 1 x1 x32x2 x x x22x 1 x x–1 2 m.c.d. x x1 m.c.m. x2 x 1 x1 2 b 2x33x28x 12 x2 x 2 2x3 x48x2 16 x 2 2 x2 2 m.c.d. x2 x 2 m.c.m. x2 2 x 2 2 2x–3

30. Dadas las fracciones algebraicas A = x

x21; B =

x 2

x2 x y C =

x2+4x+4

x2+x, calcula

A B

C

RESOLUCIÓN: Procedemos como con las fracciones ordinarias. Para sumar fraccionesdebemosreducirlasa comúndenominador.Este comúndenominadorseráelm.c.m.de losdenominadoresdelossumandos:

A B x

x21x2x2x

x x2 x 1 x2

:

31. Se sabe que el polinomio p(x) = x4 2x3 11x2 + 12x + 36 tiene raíz cuadrada exacta. Hállala.

RESOLUCIÓN:Porserp x unpolinomiodegrado4,suraízcuadradahabrádeserdegrado2,ycomoelcoeficientelíderdep x es1,eldesuraízcuadradatambién.Seaq x dicharaízcuadrada:q x x2 ax b.Debeser q x 2 p x :

q x 2 x2 ax b 2 x4 2ax3 a2 2b x2 2abx b2 x42x311x2 12x 36 p x .

Identificamoscoeficientes:Coeficientesdex3:2a 2a 1;Coeficientesdex:2ab 122b 12 b 6.Veamossi conestosvalores tambiénsecumple la igualdadde losotros coeficientes: coeficientes de x2: a2 2b 1 2 2 6 11 SI ; términosindependientes:b2 6 2 36 SI .

Portanto:q x x2–x6eslaraízcuadradaexactadep x .

32. Descompón la fracción x2x+2

x33x2+2x en suma de tres fracciones con denominadores de primer

grado.

RESOLUCIÓN: factorizamoseldenominador .

Cadaunodeestosfactoresseránlosdenominadoresdecadasumando:

Sumamosestasfracciones

.


8

Identificamos coeficientes de los numeradores de las fracciones primera y última de esta

cadena de igualdades:1

3 2 12 2

. Resolvemos este sistema de tres ecuaciones con

tresincógnitasyobtenemos:A 1;B 2;C 2.Portanto:

ECUACIONES E INECUACIONES

33. Resuelve las ecuaciones: a) 4x2 2 = 0 b) x2 + 1 = 0 c) x2 + 9 = 0 d) x2 3x = 0

e) x2 = 3

4x f) x2 3x + 2 = 0 g) 4x2 + 12x – 7 = 0 h) x2 + x + 1 = 0

RESOLUCIÓN:

a 4x22 0.Ecuaciónincompleta.Sedespejax2:4x2 2x2 ½x √

b x2 1 0.Análogaalaanterior:x2 1.Aquínosencontramosconuncasoespecial.Estaecuaciónnotienesoluciónreal,yaqueunnúmeroalcuadradonopuedesernegativo.Para‘forzar’ lasolución,despejamosxcomohabitualmenteharíamos:x √ 1.Estenúmerosellama unidad imaginaria, y lo representamos por . De modo que la ecuación tiene porsoluciones .

c x2 9 0.Demaneraanálogaalcasoanterior:x √ 9 9 1 √9 √ 1 3

d x23x 0.Ecuaciónincompletasintérminoindependiente.Sacamosfactorcomúndex:x x3 0.Yahoraobservamosqueelproductodedoscantidadessólopuedesercerosi

alguna de ellas es cero: 03 0 ⟺ 3

. Este tipo de ecuaciones siempre tiene una

solucióncero.

e x2 x.Sipasamos‘todo’alprimermiembrodelaecuación,resultaunaecuaciónsimilara

ladelcasoanterior.Tambiénpodemosrazonardiciendoquesix0,podemosdividirambosmiembrosporx,resultandox ¾.Asípuesyatenemoslasdossoluciones:x 0yx ¾.

f x23x 2 0.Ecuacióncompleta.Utilizamoslafórmuladeresolución:√

,

dondea 1,b 3yc 2.

Sustituimosestosvaloresenlafórmula: √ 21.

g 4x2 12x – 7 0. Actuamos de manera análoga al caso anterior:√

√

h x2 x 1 0. √ √ √ . La raíz cuadrada de un número

negativonoexisteenel conjuntode losnúmerosreales.Peroyahemosdadosalidaaestacuestiónutilizandolaunidadimaginaria,demaneraquelasdossolucionescomplejasdeesta

ecuaciónson: √.Osea:x1 √ yx2 √

34. Resuelve las ecuaciones: a) b) 2

RESOLUCIÓN:

a Para obtener otra ecuación equivalente sin denominadores, multiplicamos todo por el

m.c.m. 4,2 4: 4 4 4 4 ⇔x212 x 1 2 x 3 4x


9

x212x2 2x 64xx2 9x1 3yx2 3

b Multiplicamostodalaecuaciónpor4:4 2 4 4 4

8x22 x2 x 1 14x Realizamos lasoperacionesypasamos todoalprimer

miembro 6x2 6x3 0 Dividimostodopor3 2x2 2x–1 0x √

35. Sin necesidad de resolver las siguientes ecuaciones, indica el número de soluciones reales que tienen: a) 4x2 4x + 1 = 0; b) x2 + x + 2 = 0; c) x2 + √2x √3 = 0

RESOLUCIÓN:

a b24ac 4 24 4 1 1616 0UnasoluciónREALdoble

b b24ac 124 1 2 18 7 0NOhaysoluciónREAL DossolucionesCOMPLEJAS

c b24ac √2 24 1 √3 2 4√3 0DossolucionesREALESdistintas.

36. Sabiendo que la ecuación 25x2 + kx + 4 = 0 tiene una raíz doble, averigua el valor de k

RESOLUCIÓN:Eldiscriminantehadesernulo:

b24ac k24 25 4 k2400 0k2 400k 20

37. Escribe una ecuación de 2º grado que tenga por soluciones: a) 2 y 3 b) 2 y 3 c) 2 y 3 d) 2 y 3.

RESOLUCIÓN: a S 2 3 5;P 2 3 6x2Sx P 0x25x 6 0 b S 2 3 1;P 2 3 6x2Sx P 0x2x 6 0x2x6 0 c S 2 3 1;P 2 3 6x2Sx P 0x2 1 x 6 0x2 1x6 0 d S 2 3 5;P 2 3 6x2Sx P 0x2 5 x 6 0x2 5x 6 0

38. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x4 10x2 + 9 = 0 b) 2x4 5x2 + 3 = 0

RESOLUCIÓN: a Ecuaciónbicuadrada.Hacemoslasustituciónx2 tx4 t2,conloquelaecuaciónsetransformaent210t 9 0queyapuederesolverseconlafórmulahabitualde2ºgrado,obteniéndose:t1 1;t2 9.Ahoraprocedemosadeshacerelcambio:x √ :

Sit 1x √1 1;ysit 9x √9 3.Portantocuatrosoluciones.

b Ecuaciónbicuadrada2t25t 3 0t1 1yt2 ;x √ x 1yx

39. Encuentra las soluciones de las ecuaciones: a) x3 6x2 + 11x 6 = 0 b) 2x5 5x4 + x3 + 5x2 3x = 0

RESOLUCIÓN: a Ecuación de grado superior a 2 y no bicuadrada o similar.UtilizaremoslaregladeRuffiniparabuscarlasraíces.Sitieneraícesenterasestaránen 1,2,3,6 . Vemosentoncesquelasraícessonx1 1;x2 2yx3 3

b Sacamos factor común de x:x 2x4 5x3 x2 5x 3 0. Ahora aplicamos elmismoprocedimientoanteriorparabuscarlasraícesde2x45x3 x2 5x3.Elúltimofactorquehemosobtenido,desegundogrado,puedefactorizarseyaconlafórmula:2x25x 3 0x 1yx .

LasCINCOsolucionesson:x1 0;x2 x3 1;x4 1;x5 .


10

40. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) b) c)

RESOLUCIÓN: a Siemprequetenemosunaigualdadentredosfracciones,podemosutilizarlapropiedadfundamental de las proporciones: producto de extremos producto de medios:

⟺ x 1 x–4 x–2 2x23x4 x24x 4x 8.Resultóserunaecuacióndeprimergradoconsuúnicasoluciónreal. b Eliminamoslosdenominadoresmultiplicandoporsum.c.m.quees x 1 x1 x 2 : 9 x1 x 2 x 1 x 2 8 x 1 x1

9x2 9x18 x2 3x 2 8x286x 12x 2.Tambiénestavezteníamosunaecuaciónequivalenteaunadeprimergradoconsusoluciónúnica. c Procedemosdemaneraanáloga.Multiplicamosporelm.c.m. x24;

x2 x 2 12x 1x ½.

41. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales (radicales):

a) x = 7 √x1 b) x+1

x7=3 c) √x3+√x+2=5 d) √9x=√6x+ x

2

RESOLUCIÓN: a Sóloapareceunaraíz.Hacemosqueestaraízquedeaisladaenunodelosmiembrosdelaecuación:x 7√ 1√ 1 7x.Ahoraelevamosalcuadradocadamiembroparahacerquedesaparezcalaraíz.Ahorabien,hemosdetenerencuentaquelanuevaecuaciónqueobtengamosNOesequivalentealaanterior:Contienelassolucionesdelaanterior,perotambién puede tener alguna solución que no lo sea de la ecuación original. Esto habrá decomprobarsedespués: √ 1 2 7x 2x1 4914x x2x215x 50 0x1 5 y x2 10. Para ver cuál de estas soluciones lo es también de la ecuación original,sustituimosenéstaxporcadaunodeestosvalores: Sustituimosenel2ºmiembroxpor5:7√5 1 72 5.Severificalaigualdad;portantox 5essolución. Sustituimos en el 2ºmiembro x por 10: 7√10 1 7 3 4 10. No se verifica laigualdad.Portantox 10NOessolución.

b Igualqueenelcasoanterior,elevamosalcuadradocadamiembrodelaecuación: 9

x 1 9x63 8x 64 x 8que, comopuedecomprobarse,es soluciónde laecuaciónoriginal.

c Aparecendosraíces.Esconvenienteaislarunadeellas cualquiera enunmiembro.Luegoelevamosalcuadrado: √ 3 √ 2 5√ 3 5 √ 2x3 25 x 210√ 2 Aislamosdenuevolaraíz,paradespuésvolveraelevaralcuadrado 30 10√ 23 √ 2 x 2 9 x 7 Soluciónúnica. d Haytresraíces.Comoyahayunaaisladaenunodelosmiembros,elevamosalcuadrado:

√9 √6 9 x 6 x 2 3 2

multiplicamostodopor2 x6 4 .Volvemosaelevaralcuadrado:

x6 2 16 x212x 36 48x8x29x260x 36 03x220x 12 0quetienesolucionesx1 6yx2 2/3.Comprobamos,sustituyendoenlaecuaciónoriginal

quévalor ‐es nosvale:Sustituimosc 6enel2ºmiembro:√6 6 √3x 6es


11

solución.Veamosahoraconx 2/3: 6⁄

√ √ √Tambiénx

2/3essolución.

42. Resuelve las inecuaciones:

a) x 1+x

2<

1

4 b) x 1

42x

5 c)

x

2x5<0 d)

x+2

x1>4

RESOLUCIÓN:

a x Multiplicamostodopor4 4x2 1 x 14x22x 1

2x2 12x 3x x ,

b x1 Multiplicamostodopor5 5x5 42x 5x54 2x

3x1x x ,

c Al ser un cociente, hemos de tener en cuenta que el resultado será negativo cuandonumeradorydenominadorseansimultáneamentedesignosopuestos:Six 0,habrádeser2x5 0x ,esdecir:x 0, , 0, .Porotraparte,six 0,habrádeser

2x5 0x ,esdecir:x , ,0 .Luegolasoluciónes 0,5/2 .

Laresoluciónpuededisponerseenformadetabladedobleentrada.Primerovemosdondeseanulan numerador y denominador para definir los intervalos que debemos estudiar. Elnumeradorseanulaenx 0yeldenominadorenx 2,5.Portantotenemosdefinidostresintervalos: , 0 ; 0, 2,5 y 2,5; . Estudiaremos qué signo toman numerador ydenominadorencadaintervalo,asícomosucociente:

,0 0;2,5 2,5; x

2x–5 x/ 2x–5

Lasoluciónladeterminalaceldaqueverificalacondición 0delainecuación: 0;2,5

d 4 ⟺ 4 0 ⟺ 0 Razonamos demanera análoga al caso anterior.Elnumeradorseanulaenx 2yeldenominadorenx 1.Portantoquedandefinidoslosintervalos: ,1 ; 1,2 y 2, :

,1 1,2 2, 6–3x x–1

Portanto,lasoluciónes:x 1,2

43. Resuelve las siguientes inecuaciones con dos incógnitas: a) x 2y 5 b) 3x + y + 2 0

RESOLUCIÓN:

a Representamosgráficamentelarectax 2y 5tabla con dos valores . Observamos que sisustituimos 0,0 enelmiembrodelaizquierdadeladesigualdad,nosecumple.Portanto,lospuntosquebuscamossonprecisamentelosqueestánenelladoopuestodelarecta,respectodel 0,0 Lasolucióneslazonasombreada.


12

b Cumple la desigualdad el semiplano quecontieneel 0,0 ,yaqueéstetambiénlacumple

44. Resuelve las inecuaciones de 2º grado: a) x2 – 3x + 2 0 b) x2 4x + 4 0 c) x2 + x + 1 > 0

RESOLUCIÓN:

a Resolvemoslaecuaciónde2ºgradox2–3x 2 0x1 1;x2 2.Loscambiosdesignoseproducenenlasraícesdelaecuación.Esdecir,elpolinomiop x x2–3x 2mantieneelmismosigno,alaizquierdade1,entre1y2,yaladerechade2.Paraverquésignotieneencadaunodeestos intervalos,bastadarunvalorencadaunodeellos:A la izquierdade1,podemostomar,p.e.el0:p 0 2 0.Luegop x 0x ,1 .Análogamente,p 1,5 0,25 0;luegop x 0x 1,2 .Yporúltimo,p 3 2 0x 2, .Portantolasoluciónes ,1 2, . Una segunda opción consiste en factorizar el polinomio: x2 – 3x 2 x – 1 x – 2 yconstruirunatablacomoenlasinecuacionesracionales:

,1 1,2 2, x–1 x–2

x–1 x– 2 La solución queda determinada por las celdas en las que esté el signo acorde con ladesigualdad.Comoenestecaso,ademásseadmitelaigualdad,hayqueponercorchetesjuntoa1y2:x ,1 2, . Porúltimo,untercerprocedimientoconsisteenelanálisisgráfico:Setratadeunpolinomiode 2º grado con coeficiente líder positivo. Por tanto, la zona de la parábola que está pordebajo del eje OX es la correspondiente al intervalo en que x x1, x2 , es decir, será nonegativoenelresto:x ,1 2, .

b Resolvemos la ecuación: x2 4x 4 0 x1 2 x2. Esto equivale, siguiendo elrazonamiento anterior gráfica , a afirmar que el polinomio no se hace nunca negativo,puestoqueentre2y2nohaymásvalores.Asípues,lasoluciónesx 2.

c Estaecuaciónnotienesolucionesreales,esdecir,laparábolanotienecortesconlosejesvaloresenqueelpolinomiosehacecero ,ycomoelcoeficiente líderespositivo,significaque la parábola está siempre sobre OX, es decir, p x es estrictamente positivo paracualquiervalordex.Luego,lasoluciónes .

45. Resuelve las inecuaciones: a) x25x+6

x25x+4>0 b)

x2x6x2 x+5

0.

RESOLUCIÓN:

a Elaboramos la tabla dedoble entrada, una vezencontradas las raíces denumeradorydenominadorydeterminadoslosintervalos.

,1 1,2 2,3 3,4 4, x2 – 5x 6 x2 – 5x 4

4x5x

6x5x2

2

Portanto,lasoluciónesx ,1 2,3 4,


13

b Esprocedimientode resoluciónpuedehacersemás exhaustivamentedetallado si no sedomina suficientemente el tratamiento de los polinomios de segundo grado. Para ellopodemos factorizar numerador y denominador. Así, buscando previamente las raíces,observamosquex2–x–6 x 2 x–3 yx2–6x 5 x–1 x–5 .Elaboramosunatabladedobleentradaparaestudiarlossignosdecadafactor:

,2 2,1 1,3 3,5 5, x 2 x–3 x–1 x–5

x2x6x26x 5

Como podemos observar, en la última fila, el signo es positivo si el número de signosnegativosespar.Hayquetenerencuentaquelosdenominadoresnuncapuedensernulos,porloquelasraícesdeldenominadornohandetenerseencuenta,mientrasque,comoenestecasoelsignodeladesigualdades‘’,hayqueincluirtambiénlasraícesdelnumerador,ypondremoscorchetesjuntoaellas:x 2,1 3,5

46. La capacidad de un depósito cilíndrico aumenta un 4,04% si aumentamos su radio en cinco centímetros. Calcula la longitud del radio del depósito.

RESOLUCIÓN:ElvolumendelcilindrosecalculamedianteV r2h.Portanto,ladiferenciaentre losvolúmeneses r 5 2hr2h r2 10r 25 hr2h 10r 25 hyestacantidad ha de ser el 4,04% del volumen inicial. O sea: 10r 25 h 0,0404 r2hdividiendo todo por h 10r 25 0,0404r2. Ecuación de segundo grado que esequivalente a 404r2105r 25 104 0 cuyas soluciones son: r1 250 y r2 250/101.Comoesobvio,nosinteresasóloelvalorpositivo.Portanto,larespuestaes250cm.

47. Una motora hace un recorrido de ida y vuelta a lo largo de un río con una velocidad media de 11,25 km/h. ¿Qué valor (constante) ha marcado el velocímetro de la lancha, sabiendo que la velocidad de la corriente es de 3 km/h?

RESOLUCIÓN:Enunmovimientouniforme,espacio velocidadtiempotiempo .Comonoconocemoselespaciorecorrido,nilavelocidaddelalancha,usaremoslarelaciónentreéstos.Demaneraque: tiempodeida ; tiempodevuelta ; tiempototal 2

,

Además: tiempo de ida tiempo de vuelta tiempo total. Esto nos proporciona laecuación:

, Dividiendopore

,.

Eliminamos denominadores multiplicando por el m.c.m. que es 11,25 v 3 v 3 ,quedando:11,25 v3 11,25 v 3 2 v3 v 3 multiplicandopor4paraevitarlosdecimales 4v245v36 0v1 12yv2 0,75 novale . Portanto,lasoluciónesv 12km/h


14

SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

48. Resuelve los sistemas: a) 1

2 2 12 5 0

b) 2

2 3 22 3 0

c) 60

2 3 1

RESOLUCIÓN:

a 1

2 2 12 5 0

MÉTODODESUSTITUCIÓN:Despejamosunadelasincógnitasen

unadelasecuacionesylasustituimosencadaunadelasotras.Porejemplo,despejamosyen

I : y 1 x z * 2 1 2 1

2 1 5 0

3 23 2 .

Volvemosaaplicarelmétododesustituciónaestenuevosistema.Despejamoszen IV :z 3x2 ** ,ysustituimosen V :x 3 3x2 28x6 28x 4x ½.Ahorahemosdeirsustituyendoen ** y * paraobtenerlosvaloresdezey:z 3 ½ 2½;y 1½ ½ 1.Así,lasolucióndelsistemaes x,y,z ½,1,½ .

b 2

2 3 22 3 0

Aplicaremos ahora el método de igualación: Despejamos la misma

incógnita en las tres ecuaciones y las igualamos dos a dos. Por ejemplo, despejamos y:2

Deigualar I y II setiene:3 x 2 2x23x 6 2x2x 8.

Enestecasoconcreto,conocemosyaelvalordeunadelasincógnitas,ysustituyendo,p.e.enI obtenemosy 8 2 6.Ahorasustituimosestevalordeyen III :2 6 3z 0z 4.Así,lasolucióndelsistemaserá: x,y,z 8,6,4

c 60

2 3 1 MÉTODODEREDUCCIÓN:Consisteenhacerlastransformaciones

necesariasencadaecuación,demaneraquealsumarlas restarlas seeliminenincógnitas.Así,observamosquesisumamos I y II ,seeliminanlasincógnitasy,z.Portanto, I II 2x 6 x 3. Sustituyendo este valor en II y III , se obtiene el nuevo sistema:

33 5 .Sumamosahora IV V 4y 8y 2.Ahorayapodemos

obtenerzdecualquieradelasecuaciones.Porejemplo,de IV 2z 3z 32 1.Portanto,solución: x,y,z 3,2,1

49. Utiliza el método de Gauss para resolver: a)

2 3 52 2

3 3 22 4

b) 4

2 1

RESOLUCIÓN: El método de Gauss consiste en triangularizar el sistema multiplicandoecuacionesporunnúmeroysumandoalasdemásdeformaqueencadaecuaciónhayaunaincógnitamenos:

a

2 3 52 2

3 3 22 4

Cambiamos de orden las ecuaciones para conseguir que el

primer coeficiente sea 1

2 22 3 53 3 2

2 4

. Esto facilitará los cálculos, como

veremos. Ahora, hacemos: V II 2 I ; VI III – 3 I y VII IV I ,


15

obteniéndoseelsistema:

2 2 3 1 7 6 84 2 6

.Seguimoselprocesodetriangularización:

Dejamos I y V inalteradas. Para conseguir ceros en la segunda columna, obtenemos

VIII 7 V VI y IX 4 V VII :

2 2 3 1

15 1510 10

. El proceso de

triangularización está concluido. Observamos que las ecuaciones VIII y IX sonequivalentes proporcionales así quepodemos ‘eliminar’ cualquierade ellas, por ejemploVIII . Ahora vamos despejando incógnitas desde ‘abajo’ y sustituyendo hacia ‘arriba’: DeIX seobtienequez 1.Sustituimosen V y 3 1y 2.Yahorasustituimosen I : x 41 2x 1Portanto,lasoluciónes x,yz 1,2,1

b 4

2 1 Sustituimos II por III 2 I II :4

3 7

Como no disponemos demás ecuaciones, no podemos seguir triangularizandomás. En laúltima ecuación nos quedan dos incógnitas, lo que significa que se trata de un sistemaindeterminado.Hemosdeconsiderarunadelasincógnitascomoparámetro,porejemplo z t, y entonces, pasando el parámetro al segundo miembro, el nuevo sistema es

4 7 3 enelque layyaestádespejada,ysustituyendoen laprimeraecuación:

x 4 t 7 – 3t 3 2t. Por tanto: x, y, z 32t, 73t, t . Hay infinitassoluciones:unaporcadavalorquedemosalparámetrot.

50. Estudia la compatibilidad de los sistemas: a) 2 1

2 3 22 2

b) 3 4

2 2 45 4

RESOLUCIÓN:UnbuenamaneradeestudiarlacompatibilidadesutilizarelmétododeGauss.

a 2 1

2 3 22 2

II 2 I II ; III 1 I III

2 1 03 3 1

′′ III ’3 II ’ III ’

2 1 00 1

′′′Observamosen

laecuación III ”,unaincongruenciayaque01SISTEMAINCOMPATIBLE.

b 3 4

2 2 45 4

II 2 I II ; III 1 I III

3 4 4 42 8 8

′′ III ’2 II ’ III ’

3 4 4 40 0

′′′

La identidad de la ecuación III ” nos indica que estamos ante un S. COMPATIBLEINDETERMINADO

51. Resuelve los sistemas de ecuaciones no lineales: a) 17169

b) 28

20

RESOLUCIÓN: a Enestetipodesistemas,elmétodomáshabitualeseldesustitución.Despejamosyenlaprimeraecuaciónysustituimosenla2ª:y 17xx2 17x 2 1692x234x 120 0x217x 60 0x1 5yx2 12dedondesacamosquey1 12yy2 5.Portanto,lassolucionesson x1,y1 5,12 y x2,y2 12,5 b Restandoalaprimeraecuaciónlasegunda,xy 8 * y 8/x. Sustituimos ahora en la 2ª: x2 8/x 2 20 x2 64/x2 20 x4 20x2 64 0


16

bicuadrada t2 20t 64 0 t1 4y t2 16 x1 2, x2 2, x3 4, x4 4.Sustituyendoahoraen * :y1 4,y2 4,y3 2,y4 2.

52. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) 2

1 b)

1 c)

2 1 02 1 0 d)

1

RESOLUCIÓN: a Resolvemos por separado las dos inecuaciones. Luego tomamos la intersección de lassoluciones: I 2x–43 x 2 x–43x 6102xx5x ,5 II x 1x 1, .Portanto,lasoluciónesx ,5 1, b Multiplicamospor4la1ªinecuación:24x43xx2x ,2 Dela2ª,multiplicandopor4:4x–62x–12x5x x . .Portanto,la

solucióndelsistemaserá:x ,2 . ,2

Paralosapartadosc yd representamosgráficamentelasrectasqueseobtienendesustituirlasdesigualdadespor igualdades.Resolvemosporseparadocada inecuación engeneral lasoluciónesunsemiplano yluegotomamoscomosolucióndelsistemalainterseccióndelassolucionesdecadaunadelasinecuaciones partecomún .

53. Suena una sirena en una fábrica y a los 25 segundos suena la de otra fábrica situada a 11 Km y 700 m de la primera. Sabiendo que Elena se encuentra entre ambas fábricas y oye las sirenas a la vez, calcula la distancia a la que se encuentra de cada una de ellas. (Velocidad del sonido en el aire: 340 m/s)

RESOLUCIÓN: SuponemosqueElenaestáaxmetrosdelaprimerafábricaeymetrosdelasegunda.Estosignificaquex y 11700.Porotrolado,eltiempoquetardaelsonidodelasirenadelaprimerafábricaenllegaraElenaest1 e/v x/340,yeldelasegundasirenat2 y/340.Como además, la segunda sirena suena 25 segundos más tarde: t1 t2 25. Es decir,

tenemos el sistema:11700

25 ⟺117008500 . Resolvemos por reducción: 2x

20200 x 10100metros. Es decir, Elena se encuentra a 10100metros de la primerafábricay1600metrosdelasegunda.

54. En un número de tres cifras, la de las unidades es el doble de la suma de las otras dos. Si se intercambian las dos últimas cifras, el número aumenta en 18 unidades. Y si invertimos el orden de las cifras, el número que se obtiene es tres unidades inferior que el doble del número inicial. Hállalo.

RESOLUCIÓN: Sillamamosx,y,zalascifrasdelnúmero xcentenas,ydecenas,zunidades ,dichonúmeropuedeescribirseensuformapolinómica:n 100x 10y z.Yelnúmeroqueresultadeinvertirelordendesuscifrasserá100z 10y x.Traducimosalenguajealgebraico:


17

‘Lacifradelasunidadeseseldobledelasumadelasotrasdos’ z 2 x y 2x 2yz 0 I ‘Siseintercambianlasdosúltimas,aumentaen18unidades’ 100x 10z y 100x 10y z 18y z 2 II ‘Siinvertimoselordendelascifrasseobtieneotrotresunidadesinferiorqueeldobledelinicial’ 100z 10y x 2 100x 10y z 3199x 10y98z 3 III Hemos obtenido entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:2 2 0 2

199 10 98 3 que una vez resuelto por el método apropiado nos

proporcionalasolución: x,y,z 1,0,2 .Portanto,elnúmeroesel102.

55. Una tienda de material deportivo vende dos calidades de pantalones en diferentes colores. El precio de coste por unidad de cada uno es de 30 € y 20 € respectivamente. El beneficio que se obtiene en la venta de cada uno de los modelos es de 4 € y 3 €. El dueño del establecimiento sólo tiene 1800 € para la inversión; y además, en su pequeño almacén no le caben más de 80 pantalones. ¿Cuál es la cantidad más conveniente de unidades de cada calidad para que el beneficio obtenido en la venta sea el máximo posible?

RESOLUCIÓN: Si llamamosxalnúmerodeunidadesdelaprimeracalidadeyalde lasegunda,tenemosquex y80yaquenocabenmásde80enelalmacén.Porotrolado,debidoalalimitacióndelpresupuesto,30x 20y1800.Yevidentemente,x0,y0.ElbeneficiototalvendrádadoporB x,y 4x 3y.Tenemos,entoncesunsistemadeinecuaciones:

80

30 20 18000; 0

.

Estas situaciones dan lugar a los llamados problemas dePROGRAMACIÓNLINEAL.Elsistemadeinecuacionesdelimitaunrecintopoligonal verfigura .Losextremosdela funciónB x,y sealcanzanenlosvérticesdedichopolígono.Así,esevidentequeen 0,0 sealcanzaelmínimo:B 0,0 0.Enelvértice 0,80 :B 0, 80 240 €. En el vértice 60, 0 : B 60, 0 240 €. Porúltimo en 20, 60 :B 20, 60 4 20 3 60 260€que es elbeneficiomáximo. Por tanto, la cantidadmás conveniente es 20pantalonesdelaprimeracalidady60delasegunda.

NÚMEROS COMPLEJOS

56. Dados los números complejos z1 = 1 + i, y z2 = 2 3i, calcula z1 + z2, z1 z2, z1 · z2, z1/z2,

RESOLUCIÓN: z1 z2 1 i 23i 1 2 1 3 i 32i. z1z2 1 i 23i 12 1 3 i 1 4i. z1z2 1 i 23i 12 1 3i i2 i 3i 23i 2i3i2 2i3 1 5i. Para dividir dos números complejos, se multiplica numerador y denominador por el

conjugadodeldenominador:

Parasumaryrestarnúmeroscomplejoshadeutilizarsenecesariamentelaformabinómica.Peroparaelproductoydivisión,puedesermáscómodousarlaformapolar.Así,z1enformapolarsería:|z1| √1 1 √2;yelargumento:1 arctg 1/1 45°z1 √2 °. Igual,paraz2: |z2| 2 3 √13,y2 arctg 3/2 56°39’z2 √13 ° Paramultiplicarnúmeroscomplejosenformapolar,semultiplicanlosmódulosysesumanlosargumentos: z1z2 √2 °√13 ° √2 √13 ° ° √2 √13 °


18

Para dividir números complejos en forma polar, se dividen los módulos y se restan los

argumentos: √ °

√ °

√

√ ° °

√

°

57. Idem tomando z1 = 1 + √2 i, y z2 = 1 √3 i.

RESOLUCIÓN: z1 z2 1 √2i 1√3i 2 √2 √3 i z1z2 1 √2i 1√2i √2 √3 i. z1z2 1 √2i 1√3i 11 1 √3i √2i1 √2i √3i 1 √6 √2√3 i.

√

√

√ √

√ √

√ √ √

√

√ √ √ √ √ √

Enformapolar:|z1| √3;1 arctg √2 54°44’;|z2| 2;2 artg √3 60°

z1z2 √3 54°44’ 2 60° 2√3 5°16’ z1/z2 √3 54°44’ /2 60° √°

58. Calcula las potencias 9, 12, 2037, (3 2 )5.

RESOLUCIÓN: i0 1;i1 i;i2 1;i3 1 i i;i4 i2 2 1 2 1.Losresultadosserepetiránconperiodicidad4enelexponente.Portanto,habráquereduciramódulo4,cadaunodelosexponentes: 9 42 1i9 i42 1 i42 i1 i4 2 i1 12 i i. Enrealidad,sólohayquetenerencuentaelrestodedividirelexponentepor4:9divididopor4daresto1.Poresoi9 i1 i. 12 34Elrestodeladivisiónpor4es0i12 i0 1 2037 5094 1Elrestodeladivisiónpor4es1i2037 i1 i 32i 5 32i 32i 32i 32i 32i 597122i.Estaoperaciónsepuedesimplificardemaneraimportanteutilizandolaformapolar: |32i| √13;arg 32i arctg 2/3 33°41’.Paraefectuarunapotenciaenformapolar,seelevaelmóduloalexponenteysemultiplicaporésteelargumento.Así:

32i 5 √13 33°41’ 5 √13 5 5 33°41’ √13 ° 169√13 °

59. Calcula de dos formas distintas √3 4

RESOLUCIÓN:

FORMA1ª:√3 4 a bi elevamosalcuadrado 34i a bi 2 a2b2 2abi.Identificamos ahora las partes reales de estas expresiones: 3 a2 b2 I , y las partesimaginarias:4 2ab II .Entonces,tenemosunsistemadeecuacionescondosincógnitas:ayb.De II se tienequeb 2/a.Sustituimosen I : a2 2/a 2 3 a43a24 0.Ecuaciónbicuadrada,queseresuelve t23t4 0 proporcionándonoslassolucionesa1 2,a2 2,a3 i,ya4 i.Comoadebeserunnúmeroreal,lasdosúltimassolucionesnonosvalen.Sustituyendoahoraen II :b1 1yb2 1. Portantolasdosraícescuadradasde34ison2 iy2i.

FORMA2ª:Enformapolar34i 5 53º8’ .Parahallarlaraízn‐simadeunnúmerocomplejoenformapolar,seextraelaraízn‐simadelmóduloysetomacomoargumentosdelasraíceslosvalores k360º /n,dondekpuedetomarlosvalores0,1,2,……,n1.Ennuestrocaso,n 2.Portanto,tomaremos 53º8’,conk 0yk 1. 1ªraíz:√5 ° ° √5 ° 2ªraíz:√5 ° ° √5 °

60. ¿Qué ecuación de 3er grado, con coeficientes reales, tiene soluciones z1 = 1 y z2 = 2 3i?

RESOLUCIÓN: Todaecuaciónconcoeficientesreales,sitieneunasolucióncompleja,hadetenertambiénsuconjugada.Por tanto, las tressolucionesdebenserx1 1;x2 23i;x3 2 3i.Portanto,laecuaciónes xx1 xx2 xx3 0;esdecir: x1 x2 2 3i 2 0 x1 x24x 4 9 x1 x24x 13 x35x2 17x13 0


19

61. Representa gráficamente los datos y resultados del ejercicio 56.

RESOLUCIÓN: Todonúmerocomplejoa bi,puedeescribirseenformade par a, b , que a su vez puede representarsegráficamenteenelplanomedianteunpunto coordenadascartesianas o mediante el vector de posición de dichopuntoqueno esmásque el vector conorigen en 0, 0 yextremoen a,b .Deestaforma, larepresentacióngráficaescomovemosenlafigura:

62. Los puntos A(2, 0), B(0, 4), C(2, 0) y D(0, 4) constituyen las coordenadas de los vértices de un rombo. ¿Qué coordenadas tendrán los vértices del rombo que se obtiene de girar el anterior 90º alrededor de su centro?

RESOLUCIÓN: Comoalmultiplicarnúmeroscomplejos,sesumanlosargumentos,siqueremosproducirungirode90°,setratadeañadir90°alargumentodelosnúmeroscomplejoscuyosafijossonlosvértices,oloqueesequivalente,multiplicarcadaunodeellosporiyaqueestenúmerotienemódulo1 locualnoalteraelmódulodelotrofactoralmultiplicar yargumento90°loqueproduceelefectodeseadodegirar90° .Así,buscamoslosnúmeroscorrespondientesacadavértice: A 2,0 2 0i 2 2 0° .Multiplicadoporinosda:2 0° 1 90° 2 90° A’ 0,2 B 0,4 0 4i 4i 4 90° .Multiplicamos:4 90° 1 90° 4 180° B’ 4,0 C 2,0 2 0i2 2 180° .Producto:2 180° 1 90° 2 270° C’ 0,2 D 0,4 0

4i 4i 4 270° .Almultiplicar:4 270° 1 90° 4 360° 4 0° D’ 4,0 Losvérticesdelrombotraselgirode90°sonA’ 0,2 ,B’ 4,0 ,C’ 0,2 yD’ 4,0

63. El número complejo z es tal que sumado a su inverso da la unidad. Calcula z.

RESOLUCIÓN: 1 multiplicamos todo por z z2 1 z z2 z 1 0 De donde

obtenemos,conlafórmulahabitual,lasdossoluciones: √

TRIGONOMETRÍA

64. Calcula las razones trigonométricas del ángulo formado por el eje OX y la recta que une el origen de coordenadas con el punto (5, 12)

RESOLUCIÓN: Según podemos ver en la figura, la hipotenusa del triángulo rectángulomide 5 12 13.Así,esfácilestablecerque:

sen 0’9231 cos 0’3846 tg 2’4 Ydeestosvalores,obtenemossusinversos: cosec 1’0833 sec 2’6 cot 0’4167

65. Calcula todas las razones trigonométricas de un ángulo del tercer cuadrante cuya secante vale 2.

RESOLUCIÓN: cos sen 1 √ .

Comoestáeneltercercuadrante,elsenohadesernegativosen √

tg ⁄

√ ⁄ √

√ Portanto:cot √3ycosec √


20

66. Obtén de manera razonada las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°

RESOLUCIÓN:

ÁNGULO DE 30°: Observando la figura del triángulo equilátero de

lado la unidad, se tiene que: sen30° ½; cos30° √ ; tg 30°

sen30°/cos30° √

√

ÁNGULO DE 60°: A partir de la misma figura, se observa que:

sen60° √ cos60° ½ tg60° sen60°/cos60° √3 ÁNGULODE45°:A partir de un triángulo isósceles rectángulo de hipotenusa 1, tenemosque los ángulos agudosmiden45° cadauno, y si cada catetomide x, segúnel teoremade

Pitágoras:x2 x2 12x2 1x √ .Portanto,tenemosque:sen45° cos45° √ .Yentoncestg45° 1.

67. Calcula las razones trigonométricas de 30° y 1260° (sin calculadora)

RESOLUCIÓN:

sen 30° sen 30° ;cos 30° cos 30° √ ; tg 30° °

°√

Dividiendo1260°entre360°seobtieneque1260° 360°3 180°.Cada360°demásnocaracterizaalángulo: sen 1260° sen 180° 0 cos 1260° cos 180° 1 tg 1260° tg 180° 0

68. Simplifica la expresión:

RESOLUCIÓN:

69. Demuestra que: a) 1 + sec 2x = tg2x

tgx b) tg

x

2=

senx

1+cosx c) sec2 x

2=

2secx

1+secx

RESOLUCIÓN a Partimos del miembro de la derecha de la igualdad y vamos desarrollando según

expresionesequivalentes:

1 1 2

b

c

70. Resuelve las ecuaciones trigonométricas: a) cos2x + senx = 1 b) 5secx 4cosx = 8 c) 4cos2x + 3cosx = 1

RESOLUCIÓN:Engeneral,esconvenienteseguirlassiguientesetapas: I Reduciraunúnicoargumento II Reduciraunaúnicarazóntrigonométrica III Sustituirlarazónporunasolaletra IV Resolverlaecuaciónalgebraicaresultante V Interpretarelresultadoparax. a cos2x senx 1 I cos2xsen2x senx 1 II 1sen2xsen2x senx 1

III 1s2s2 s 1s2s2 0s 12s 0 IV 0

. Ahoraviene V ,

lainterpretacióndelosresultados:Sis 0senx 0x 0 k ,k enradianes .


21

Porotraparte,sis ½senx ½x /6 2k,ox 5/6 2k,k b 5secx4cosx 8 II 5/cosx4cosx 8 III 5/c4c 854c2 8c 4c2 8c –5 0 IV c1 ½ y c2 5/2. Esta segunda solución no tienesentidoyaque1cosx1.Portanto,c ½ V cosx ½x 2kox

2k,k c 4cos2x 3cosx 1 I 4cos2x4sen2x 3cosx 1 II 4cos2x4 1cos2x 3cosx 1 III 8c2 3c5 0 IV c1 1yc2 5/8 V cosx1x 2k 1 ,k ;cosx 5/8x 0’8957 2ko0’8957 2 k 1 ,k .Por

tanto,lassolucionesson:x 2k 1 ,x 0’8957 2k,0’8957 2 k 1 ,k .

71. Resuelve el sistema 21

RESOLUCIÓN: Es más complicado dar una regla generalizada para la resolución de lossistemas trigonométricos.Enestecasopareceevidentequedebemosutilizarelmétododereducción,yaquesirestamosalasegundaecuaciónlaprimera,seeliminala‘y’ynosquedaunaexpresiónconocida:cos2xsen2x 1cos2x 12x 2k 1 ,k .Portantolassolucionesparaxson:x ,k .Dedondepodemosobtener,sustituyendoen la

primeraosegundaecuación,elvalordey:y 1cos2x 1cos2 1y 1

72. Construye una fórmula que nos facilite el sen3 en función de sen

RESOLUCIÓN: sen3x sen 2x x sen2x cosx senx cos2x 2senx cosx cosx senx cos2xsen2x 2senx cos2x senx cos2xsen3x 3senxcos2xsen3x 3senx 1–sen2x sen3x

3senx3sen3xsen3x 3senx4sen3x.Portanto:sen3x 3senx4sen3x

73. Resuelve el triángulo rectángulo del que se conocen: I) B = 60°, C= 30°, b = 3 cm; II) c = 4 cm y b = 3 cm III) B = 27°, a = 5 cm

RESOLUCIÓN: Cuando el triángulo es rectángulo, siempre que no se advierta lo contrario,supondremosqueA 90°.Eneste tipodeproblemas, lasherramientassonmuysencillas:Definiciones de seno cateto opuesto/hipotenusa , coseno cateto contiguo/hipotenusa ytangente catetoopuesto/catetocontiguo ,yelteoremadePitágoras. I Hemosdeencontrara hipotenusa yc:senB sen60° a

°3,464cm.

Para obtener c: a Tª Pitágoras: c √ 3,464 3 1,732 cm. O bien, másconveniente, en el sentido de que sólo se utilizan datos del enunciado no afectados deerror :b tgC c b tgC 3 tg30°1,732cm II Hemosdeaveriguara,ByC.LosángulosByCpodemosaveriguarlossinnecesidaddeutilizar lahipotenusa a conloqueevitamoserroresdecálculo‐redondeo.tgB B

arctg arctg 0,75 36°52’; de manera análoga, se tiene tgC C arctg

arctg 1,3333 53°8’ OsencillamenteC 90°B 90°36°52’ 53°8’ .Yahora,elvalordea,loobtenemosdelteoremadePitágoras:a2 b2 c2 32 42 25a 5cm III C 90°B 90°27° 63°.PorotroladosenB sen27° b 5 sen27°

2,27cm.YsenC sen63° c 5 sen63°4,46cm.

74. A una distancia de 20 metros del pie de un poste, se ve a éste bajo un ángulo de 60°. ¿Qué altura tiene el poste?

RESOLUCIÓN: Tenemosun triángulo rectángulo formadopor elposte, la líneadel suelohorizontal, y lavisualhastalacúspidedelposte.Pordefinición:tg60° h 20 tg60° 34,64m.


22

75. Halla la altura de la muralla de la figura, para lo cual se ha tomado medidas de los ángulos

indicados:

RESOLUCIÓN: Podemossimplificarlasituaciónenelesquema: Demaneraquepodemosobservardostriángulosrectángulosenlosquepodemosconcretarla definición de las tangentes de los ángulos conocidos: tg60° y tg45° . De estaforma,tenemosunsistemadedosecuacionescondosincógnitas hyx . Comotg45° 1,h x 40x h40.Sustituimosenlaotraecuación: h x tg60° h40 tg60°h

°

°96,64m

Si,enlugardeutilizarlosdatosconcretosdelproblema,utilizamosletras,podemosobteneruna fórmula que resuelva de manera genérica este tipo de cálculos de alturas de pieinaccesible.Así,enlugarde60°,escribiremos,enlugarde45°,tomaremos,enlugarde40m,marcaremosd.Elsistemadeecuacionesseráahora:tg ;tg . Resolviendoelsistemaporigualación despejandoenambasecuacionesx ,seobtieneun

valordeh

76. Resuelve un triángulo del que se conocen: I) a = 3 cm, b = 6 cm y c = 4 cm II) a = 10 cm, c = 4 cm y B = 45° III) a = 8 m, b = 4 m y A = 60° IV) a = 3 m, b = 6 m y A = 30° V) a = 3 m, b = 4 m y A = 30° VI) a = 3 m, b = 8 m y A = 30° VII) a = 3 m, B = 27°, C = 35°

RESOLUCIÓN:

I Seconocenlostreslados:Resolucióndeltriángulocuyosladosmiden:a 3cm,b 6cmy c 4 cm. Calculamos el ángulo opuesto al ladomayor aplicando el teorema del coseno

TC : ≅ 0,4583 ⟹ ≅ 117°17′Triángulo obtusángulo. Aunqueahorapodríamosseguiraplicandoelteoremadelseno,convieneutilizarlosvaloresquenossuministraelenunciadodelproblemaparanohacercrecerelvalordeloserrores

Análogamente: ≅ 0,8958 ⟹ ≅ 26°23′

Yporúltimo:C 180° A B 36°20’

II Conocidosdosladosyelángulocomprendido:a 10cm,c 4cmyelánguloB 45° Poraplicaciónde TC : √ 2 ≅ 7,71

Seguimoscon TC : ≅ 0,3983 ⟹ ≅ 113°28′

Y,porúltimo:C 180° A B 21°32’

Encambio,siseutiliza TS paracalcularA: ≅ 0,9171 ⟹ ≅ 66°32′113°28′

Elprimervalor66°32’eselsuministradoporlacalculadora,ynocorrespondealasolucióncorrecta.NoobstantepuedeproseguirseconelteoremadelsenoeligiendolosvaloresdeAyCtalesqueA B C 180°. III Dadosdosladosyelánguloopuestoaunodeellos:a 8m,b 4myA 60°.

Apartirde TS : ≅ 0,4330 ⟹ ≅ 25°40′154°20

Rechazamos el valor 154°20’

porqueA B 180°.PortantoC 180° A B 94°20’.Elvalordecseobtienede: ≅ 9,21 .Obiensegún TC : √ 2 ≅ 9,21 . EspuesuncasodeSOLUCIÓNÚNICA.


24

PerocomoD 180°B,ycosD cos 180°B cosB,seobtienelaigualdad: 52 722 5 7 cosB 42 622 4 6 cosD7470cosB 52 48cosB 118cosB 22B arccos 22/118 79°15’D180°79°15’ 100°45’ Siahoratomamoscomoreferencialaotradiagonalyaplicamoselteoremadelcosenoenlosdostriángulosquedetermina: |BD|2 52 622 5 6 cosC EneltriánguloBCD ;|BD|2 42 722 4 7 cosA EnDAB . Igualamosambasexpresiones:6160cosC 6556cosA.YcomoA 180°C, 6160cosC 65 56cosC4 116cosCCarccos 4/116 91°59’. PortantoA180°91°59’ 88°1’ Evidentemente,eldibujoessóloorientativo,notieneporquécorresponderseentamañosrelativosconlosdatos.

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

79. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 1). Calcula la pendiente y la ordenada en el origen. Expresa la ecuación en las formas paramétrica, continua, general, explícita, y canónica.

RESOLUCIÓN:Tomamoscomovectordirectorde la rectael vector 3 1, 1 22, 3 . Considerando cualquiera de los dos puntos conocidos de la recta, la FORMA

PARAMÉTRICAvienedadapor: ⇒ 1 22 3 .

Eliminandoelparámetro,obtenemoslaFORMACONTINUA: ⟹

Teniendoencuentaqueproductodeextremos productodemedios:3 x1 2 y2 .Efectuando operaciones y pasando todo a unmiembro, se obtiene la FORMA GENERAL oIMPLÍCITA:3x 2y7 0.Ysidespejamoslay:y queeslaFORMA

EXPLÍCITA. En esta forma, el coeficiente de la x es la pendiente: m y el término

independienteeslaordenadaenelorigen:n .

LaFORMACANÓNICAes 1.Paraobtenerla,podemospartirdelaformageneral:

3x 2y7 03x 2y 7 dividimostodopor7 1 1.

Estaformadelaecuacióndelarectaindicaquecortaalosejesen ,0 y 0,

80. Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas, indicando el punto de intersección en caso de ser secantes: a) r: 3x + 6y 9 = 0; s: x + 2y 7 = 0 b) r: x + y 2 = 0; s: 3x 4y = 0 c) r: 2x y + 6 = 0; s: 2x + 2y + 4 = 0

RESOLUCIÓN:Laposiciónrelativadedosrectaspuedeaveriguarsecomparandosusvectorescaracterísticos,formadosporloscoeficientesdexeyenlaformageneral: Ax By C 0v A,B . a r:3x 6y9 0v 3,6 s:x 2y7 0w 1,2 Observamosquev 3wtienenlamismadirecciónlasrectassonPARALELAS:r//s b r:x y2 0v 1,1 s:3x4y 0w 3,4 ∄ /v w.Portantovywnotienen la misma dirección: las rectas son SECANTES. Para averiguar el punto en que se

cortan,seresuelveelsistemaformadoporlasdosecuacionesdelasdosrectas:2

3 4 0

delqueseobtienelasolución x,y 8/7,6/7 c r:2xy 6 0v 2,1 s: 2x 2y 4 0 w 2, 2 . Al igual que en el caso

anterior,sonSECANTES.Resolvemoselsistema2 6

2 4 x,y 8/3,2/3

81. Calcula la distancia entre los puntos: a) A(1, 2) y B(3, 1) b) C(1, 1) y D(2, 3)

RESOLUCIÓN:La fórmulaquenosda ladistanciaentredospuntosA x1,y1 yB x2, y2 es:d A,B


25

a d A,B 3 1 1 2 √133’6u. b d A,B 2 1 3 1 √25 5u.

82. Calcula el ángulo que forman entre sí los siguientes pares de rectas: a) r: 3x 2y + 8 = 0; s: 2x + 5y 7 = 0 b) r: 2x 3y + 4 = 0; s: 3x + 2y + 6 = 0 c) r: x + y = 1; s: x y + 2 = 0 d) r: y = 0; s: x y = 0

RESOLUCIÓN: Para hallar el ángulo entre dos rectas que vienen dadas en forma general,calculamoselánguloqueformansusrespectivosvectorescaracterísticos:

cos ,| | | |

a r:3x2y 8 0v 3,2 s:2x 5y7 0w 2,5

Portanto: arccos√

arccos√ √

101°53’

b r:2x3y 4 0v 2,‐3 s:3x 2y 6 0w 3,2

Portanto: arccos√

arccos0 90°.Obsérvesequev w 0

c r:x y 1v 1,1 s:xy 2 0w 1,1 . v w 0rs ángulo90° d r:y 0Ejedeabscisass:xy 0y xbisectrizdel1er‐3ercuadrantes.Enestecasonohace faltahacercálculosdeningúntipo:elánguloqueformanmide45°

83. Los puntos A(3, 0) y B(0, 4) son dos vértices de un rombo cuyas diagonales se cortan en el origen de coordenadas. Calcula su perímetro, su área y los ángulos interiores.

RESOLUCIÓN:EsevidentequelosotrosdosvérticessonC 3,0 yD 0,4 .d A,B 5u.Portanto,elperímetroes4 5 20u. Elromboquedadivididoporsusdiagonalesencuatrotriángulosrectángulos,cadaunodeloscualestieneunáreaiguala½ 4 3 6u2.Portanto,eláreadelrombomide4 6 24u2. LarectaqueuneAyBtienedeecuación enformacanónica : 1y x 4.Es

decir,lapendientemide yporconsiguiente,elánguloqueformaconelejedeabscisases

arctg 126°52’’.AsíqueelánguloentreAByDAseráA 2 180°126°52’ 106°16’. Y como los ángulos consecutivos de un rombo son suplementarios, obtenemos elánguloB 180°106°16’ 73°44’

84. Calcula el área de un hexágono regular centrado en el origen del que se conocen dos de

sus vértices consecutivos: A(0, 1) y B(√ , ).

RESOLUCIÓN: Primerocalculamoslalongituddeunlado:d A,B 1.Portanto,elperímetromide6. HallamoslaecuacióndelarectarquepasaporAyB:

√x √3y√3 0.

Apotema distanciadelorigenaestarecta d O,r | |

√

√ √

√√3.

Áreadeunpolígonoregular í

3√3u2 unidadesdesuperficie

85. Calcula la distancia entre las rectas r: x + y = 5 y s: x + y = 3.

RESOLUCIÓN:Sólotienesentidoelejerciciosilasdosrectasdadassonparalelas,comoeselcaso.Calculamosladistanciadelorigenacadaunadelasrectas:d1 d O,r

√;d2 d O,

s √.Ladistanciaentrelasdosrectasserád r,s d2d1

√4√2u.

Otra formade resolución consiste en tomarun puntode r y calcular su distancia a s. Por

ejemplo,six 0,y 5:d 0,5 ,s | |

√ √4√2 .


26

86. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 4) y es perpendicular a la de ecuación x + 2y 4 = 0.

RESOLUCIÓN:

1ªFORMA:Porserperpendicular,suvectorcaracterísticov 1,2 debeserparaleloalarectadada.Así,conocidounvectordirectordelarectayunpuntodelamisma,utilizamoslaformacontinua:

2ªFORMA:Conocidoelvectorcaracterísticodelarectadada,v 1,2 ,podemosobtenerotroperpendicularaélsinmásquecambiardeordensuscomponentesyunadelasdosdesigno:w 2,1 queseráelvectorcaracterísticodelarectabuscada,demaneraquesuecuaciónseobtiene:A xx1 B yy1 02 x2 1 y4 02xy 0

87. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 4) y es paralela a la recta de ecuación x + 2y 4 = 0.

RESOLUCIÓN:Porserparalelas,debentenerelmismovectorcaracterístico,asíquelarectabuscadadebetenerunaecuacióndelaformax 2y C 0.ObligamosahoraaquepaseporelpuntoP:2 2 4 C 0C 10.Asípues,laecuaciónrequeridaes:x 2y10 0.

88. Encuentra el punto C que divide el segmento AB de manera que una de las dos partes mide el doble que la otra, siendo C más próximo a A(2, 0) y el otro B(4, 6).

RESOLUCIÓN:Consideramoselvector 2,6 .Yapartirdeél, 2, 6 , 2

ElpuntoCseobtieneportraslacióndeAmedianteelvector :C 2,0 , 2 , 2

89. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas: r: 4x + 3y = 0 y s: 5x 12y = 7.

RESOLUCIÓN:Unabisectriz, ademásdedividir el ángulo endospartes iguales, es el lugargeométricodelospuntosqueestánaigualdistanciadelasdosrectas.Portanto,expresamosestaigualdadconunpuntogenéricoX x,y :

d X,r d X,s | |

√

| |

√⇔

| | | |

Estaigualdadentrevaloresabsolutosseinterpretacomounadobleigualdad: Obien: 1 13 4x 3y 5 5x12y7 obien: 2 13 4x 3y 5 5x12y7 De 1 setienelaecuacióndeunadelasbisectrices: 27x 99y 35 0 Yde 2 ladelaotra:77x21y35 0.Evidentemente,ambassonperpendiculares.

ANÁLISIS: FUNCIONES

90. Representa gráficamente la función y = ax + b, indicando su dominio y recorrido, en los siguientes casos: a) a = 0; b = 4 b) a = 3; b = 0 c) a = 3; b = 4

RESOLUCIÓN:


27

91. Representa gráficamente la función y = ax2 + bx + c, (indicando su dominio y recorrido), en los casos: a) a = 1, b = 4, c = 0; b) a = 1, b = 0, c = 4; c) a = 1, b = 4, c = 4; d) a = 2, b = 5, c = 3

RESOLUCIÓN:Entodosloscasosesconvenienteseguirlossiguientespasos:1 averiguarlospuntosdecorteconelejeOX ax2 bx c 0yresolverlaec.de2°grado 2 localizarelvérticeV , y 3 ajustarconalgúnvalor pasapor 0,c

a y x2 4x x x– 4CortaalejeOXen 0,0 y 4,0 .Elvérticeestáen 2,4 .Corta al eje OY en 0, 0 términoindependiente.

b

b y x2 4 0NocortaalejeOX.CortaalOYenelpunto 0,4 .Elvérticeestáenelpunto 0,4

c y x2 4x 4x2 4x 4 0 x1 x2 2.Por tanto losdospuntosde cortecoinciden ademásconelvérticeenelpunto 2,0d y 2x2 5x 32x2 5x 3 0 x1 1;x2

CortesconOX: 1,0 y ,0 .

ConOYen 0,3 .Vérticeen ,

92. Indica el dominio de la función f(x) = 1 01 0 22 2

; represéntala gráficamente y

expresa su recorrido.

RESOLUCIÓN:Lafunciónestádefinidaparax 0,0 x 2y x 2, y cada una de las definiciones son polinomiosqueestándefinidosentodo .Portantosólofaltanlosvaloresx 0yx 2.LuegoDf 0,2 Para versurecorridonecesitamossaber: f 0 1;f 2 1yf 2 2.ConestosdatosRf 1,1 2, .

93. Considera las siguientes funciones:

a) y = 3 2x x2 b) y = 1

x c) y = +√x d) y = |x| e) y = E(x) f) y = x E(x) g) y = x3.

Estudia en cada una de ellas, si son inyectivas y/o sobreyectivas, pares o impares, periódicas, acotadas, si tienen extremos relativos y/o absolutos. Expresa los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

RESOLUCIÓN:

a Funcióncuadrática.Df .CortessonOX: 3,0 y 1,0 .V 1,4 ycon elcoeficientelídernegativo:Rf ,4 .Noesinyectivaporqueunmismovalordeypuedecorresponderadosdex.Noessobreyectivaporquenosealcanzantodoslosvaloresreales.Noesniparni imparyaquef x f x f x .Noesperiódica tiene dos ramas infinitas . Acotada superiormenteconunmáximoabsoluto yrelativo en 1,4 .Creceen ,1 .Decreceen 1, .Noesacotadainferiormente.


28

b Función ‘inversa’ hipérbola . Df 0 ya que no sepuededividirpor0.Comoesunafraccióndenumerador1,esfácil ver que Rf 0 no corta el eje OX . Conformeaumentax,laydisminuye:DECRECIENTEentodosudominio.Observamos que f x f x es IMPARgráficasimétricarespectodelorigen.Noesperiódica tiene4ramasinfinitas ynoesacotadanisuperiorni inferiormente.Notieneextremos.Esinyectiva ynosobreyectiva. c y √ .Porpropiadefinición,esunafunciónsiemprenonegativa.Asípues,Df Rf 0, .Conformemayorseax,mayoressuraíz,yportanto,esunafunciónsiempreCRECIENTE.No esperiódica. Por lapropia estructuradeldominio no puede ser par ni impar. No está acotadasuperiormente,perosíinferiormentepor0.Luegotieneunmínimoabsolutoen 0,0 .Esinyectivanosobreyectiva.

d Por propia definición es una función siempre positiva.Df ¸Rf 0, .Esunafunciónpar,yaquef x |x| |x| f x .Portanto,sugráficaessimétricarespectodel ejeOY. Convalores positivos, conformemayor sea x,mayorseráy.Luego,escrecienteen 0, ydecrecienteen ,0 .Tieneunmínimoabsoluto yrelativo en 0,0 .No está acotada superiormente y no es periódica. No esinyectivani sobreyectiva.

e Función llamada ‘parte entera’. Df ¸ Rf . No esinyectiva, ni sobreyectiva. Es una función escalonada: notieneintervalosdecrecimiento,sinoquecreceasaltos.Noestá acotada ni superior ni inferiormente. No tieneextremos.Porsuestructuranopuedeserparni impar,niperiódica.

f Funcióndenominadapartedecimal.EsobvioqueDf yRf 0,1 .Comolapartedecimalsevarepitiendoentrecada dos enteros, se trata de una función periódica deperíodop 1.Noesinyectivanisobreyectiva.Essiemprecreciente. Está acotada inferiormente 0 ysuperiormente 1 .Tieneinfinitosmínimosabsolutosenk,0 ,k ,peronotienemáximos.Niesparniimpar.

g Funciónpolinómica.Portanto,Df Rf.Comof x x 3 x3 f x se trata de una función impar: su

gráficaessimétricarespectodelorigendecordenadas.Esinyectiva valoresdistintosdeyparavaloresdistintosdex y sobreyectiva para cualquier y siempre hay unvalor de x tal que f x y . Es siempre creciente ya quemientras mayor sea x, mayor será x3. Luego ni tienemáximos ni mínimos ya que no está acotada. Comocualquierfunciónpolinómicanoesperiódica.

94. Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = x + 2, halla: a) f + g; b) f·g; c) f/g; d) f◦g; e) g◦f

RESOLUCIÓN: a f g x f x g x x2 x 2 b f g x f x g x x2 x 2 x3 2x2

c x


29

d f◦g x f g x f x 2 x 2 2 x2 4x 4 e g◦f x g f x g x2 x2 2

95. Halla la correspondencia inversa de las siguientes funciones indicando si son o no

funciones: a) f(x) = 2x+4

3 b) f(x) =

3x22x+3

c) f(x) = x2 – 3x + 2

RESOLUCIÓN: a y 3y 2x 42x 3y4x f1 x :SÍesfunción.

b y y 2x 3 3x22xy 3y 3x23y 2 3x2xy

3y 2 x 32y x f1 x :SÍesfunción.

c y x23x 2x23x 2y 0x f1 x √ NOesfunciónporqueparacadavalordexhaydosvaloresdey.

96. Comprueba con el apartado b) del ejercicio anterior que f◦f1 = f1◦f = i (función identidad)

RESOLUCIÓN:Lafunciónidentidadesi x x

f◦f1 x f f1 x f

f1◦f x f1 f x f1

97. Estudia y representa la función f(x) = |x2 3x 4|

RESOLUCIÓN:Tomamos la funcióng x x23x4,queyaconocemos,queesunafuncióncuadrática:Df Rf.No es inyectiva ni sobreyectiva. Corta al eje OX donde severificax23x4 0,esdecir,en 1,0 y 4,0 .CortaalejeOYen 0,4 .Poseevérticeen 3/2,25/4 .Lagráficaes,comosabemos,unaparábola. La función f x |x23x4|,convierteenpositivos losvalores negativos de la función g, que son los valorescorrespondientes al intervalo 1, 4 yaque el coeficientelíder espositivo.Por tanto,para representar gráficamentef x nohaymásquetomar lapartepositivadegyreflejarsimétricamente,respectodelejeOX,lapartenegativadeg.


30

98. Estudia las funciones: a) y = 2x b) y = (½)x c) y = 10x d) y = ex

RESOLUCIÓN:a Df . El resultado de calcular laexponencial potencia de exponente real essiempreunn°positivo.PortantoRf 0, .Siempre creciente. Cuando x, y0asíntota .Pasapor 0,1 .b Ladiferenciaconlaanterioresúnicamenteque ahora la base es menor que 1 y ½ x 1/2x. Por tanto, será una función decrecienteque también pasa por 0, 1 , y que cuandox ,y0 asíntota .c Sólosediferenciadelcasoa enquealserlabase 10 2, la función crece másrápidamente, por lo que su gráfica se ‘ajusta’másalosejes.d Estecasoesanálogoalosa yc .Elnúmero

e lim → 1 ≅ 2,7182818284590…

estácomprendidoentre2y10,por loqueestagráficaestarácomprendidaentralasde2x y10x.

NOTA: Presión atmosférica: Es función

exponencial de la altura: p h p 0 ,dondehsedaenkilómetros,a 8Km.Desintegracióndelamateria:R t R0ekt

99. Estudia las funciones: a) y = log2x b) y = log ½ x c) y = log x d) y = Lnx.

RESOLUCIÓN: Estasfuncionessonlasinversasdelasdelejercicioanterior, por tanto, sus dominios y recorridos seintercambian:Df 0, ;Rf ;y lasgráficasson las simétricas de las anteriores respecto de labisectriz del 1°‐3° cuadrantes. Todas pasan por elpunto 1,0 ysoncrecienteslasa,cydydecrecientelab. NOTA:EscaladeRichter 1900‐1985 : M logA C A Amplituddelasondassuperficiales. C 3,3 1,66 logDlogT T períododelasondasregistradasenelsismógrafo. D distancia engrados desdeelsismógrafoalepicentro.

100. Dada la función f(x) = log2(x 3), halla su dominio, su función inversa, y calcula g◦f siendo g(x) = 2x.

RESOLUCIÓN: Df 3, puestoquecualquierlogaritmosóloestádefinidoparavalorespositivos. y log2 x3 2y x3x 2y 3f1 x 2x 3 g◦f x g f x g log2 x3 2 x3


31

101. Estudia las funciones a) y = sen2x b) y = 2 + senx c) y = senx

2

RESOLUCIÓN:Partimosdey senx.Esimpar,periódicadeperiodicidad2;Df ;Rf 1,1

a Multiplicar el argumento por 2 haceque el intervalo de periodicidad sereduzcaa,yestoproduceunefectoenlagráficade‘compresión’.b Sumar 2 produce un desplazamientode la gráfica de senx 2 unidades haciaarriba,conloqueahoraRf 1,3 c Dividirpor2elargumentoproduceelefecto contrario que en el apartado a ,portanto,un‘estiramiento’

102. Escribe el dominio de la función y = 1

sen2x

RESOLUCIÓN:Estudiamosparaquévaloresseanulaeldenominador:sen2x 02x k,k x , ∈ . Como la función seno está definida para todos los valores reales,

resultaráqueDf , ∈

103. Calcula la función compuesta g◦f, donde f(x) = arcsenx y a) g(x) = senx b) g(x) = cosx.

RESOLUCIÓN: a g◦f x g f x g arcsenx sen arcsenx x b g◦f x g f x g arcsenx cos arcsenx 1 √1

LÍMITES DE FUNCIONES

104. Calcula el límite de f(x) = x2 + 3 en x = 1.

RESOLUCIÓN:Conformevayamostomandovaloresdexcercanosa1porlaizquierda x 1 yporladerecha x 1 ,iremosviendoaquevalordeynosvamosaproximando,yéstevalorseráellímite. f 0,9 3’81 f 0,99 3,9801 f 0,999 3,998001 f 1,01 4,0201 f 1,001 4,002001 f 1,0001 4,00020001 Parece obvio que el límite buscado es 4. No siempre debe caerse en la tentación de,simplemente,sustituirlaxporelnúmeroalquetiendeycalcularelcorrespondientevalordelafunción.Comoveremosenotrosejercicios,éstenotieneporquéserelcorrectovalordellímite.

105. Calcula el límite de g(x) = x21 si x<2

1 si x=2x+3 si x>2

en x = 2

RESOLUCIÓN: Siesunvalormuypróximoa2porlaizquierda 2 ,g 213 Siesunvalormuypróximoa2porladerecha 2 ,g 35 Losresultadosanterioresnosindican: ‐Nobastatomarvalorespróximospordefecto límiteporlaizquierda:ℓ . ‐Nobastatomarvalorespróximosporexceso límiteporladerecha:ℓ ‐Notienenporquécoincidirestosvalores ℓ ℓ Noexisteellímite ‐Notieneporquécoincidirellímiteoloslímiteslateralescong 2 1


32

106. Dada la función f(x) = x2–3 si x<2

4x–7 si x≥2, halla f(2) y sus límites laterales en ese punto.

RESOLUCIÓN: f 2 4 27 87 1 ℓ 1f 2 ℓ 1f 2 ℓ ℓ ℓ 1 f 2 fescontinuaenx 2

107. Halla razonadamente el dominio de continuidad de las funciones del ejercicio 93.

RESOLUCIÓN:Resolvemoselejercicioatendiendoalasgráficas,queyasehanobtenido: a Setratadeunafunciónpolinómicaquesiempreescontinuaen b Elvalorx 0estáexcluidodeDfporqueenélnoestádefinidalafuncióneldominiodecontinuidades 0 discontinuidaddesaltoinfinito c Esunafuncióncontinuaentodosudominio: 0, gráficadetrazocontinuo d Gráficadetrazocontinuo:dossemirrectasconelmismoorigen:continuaentodo e Funciónescalonada:discontinuidadesdesaltofinitoDominiodecontinuidad: . f HayunsaltoencadavalorenteroDominiodecontinuidad: . g Nuevamente,setratadeunafunciónpolinómica trazocontinuo continuaen

108. Determina el valor de k para que f(x) = x3+5x si x≥03x+k si x<0

sea continua en x = 0

RESOLUCIÓN:Vemossisecumplenlascondicionesdecontinuidadenx 0: 1°.f 0 0.Esdecir:0Df 2°ℓ k;ℓ 0.Luegoparaquesecumplala2ªcondicióndequeexistaellímitecuandox2,debeverificarsequeℓ ℓ k 0. 3°lim → 0 f 0 Portanto,lafunciónserácontinuaenx 0sik 0

109. Calcula los siguientes límites: a) lim → b) lim →

c) lim → d) lim → e) lim → √ 3 √ 2

f) lim → √ g) lim → √

RESOLUCIÓN:

a ℓ lim→

INDETERMINACIÓN que puede resolverse dividiendo

numeradorydenominadorporx2 mayorpotenciadex :ℓ lim→

.Lostérminosdel

numeradorqueestándivididosporxoporx2tenderánacero,porloqueℓ 2.Comoregla

general,podemosdeducirquelim →

b ℓ lim→

INDETERMINACIÓN que también puede resolverse dividiendo

numeradorydenominadorporx3 mayorpotenciadex :ℓ lim→

Lostérminosdel

numeradorqueestándivididosporx,x2,x3tenderánacero,porloqueℓ 0.Comoregla

general,sin m:lim → 0

c ℓ lim → INDETERMINACIÓN que también puede resolverse

dividiendo numerador y denominador por x5 mayor potencia de x :ℓ lim→

Lostérminosdelnumeradorqueestándivididosporxn,n 0,tenderánacero,porloque

ℓ .Engeneral,sin m:lim → ∞

d ℓ lim → sustituyendo x por 1 . INDETERMINACIÓN. Este tipo de indeterminaciones se resuelve factorizando numerador y denominador. El


33

hechodequeambosseanulenparax 1garantiza teoremadelresto quetenganunfactor

común x–1 : .Portanto:ℓ lim →

e ℓ lim → √ 3 √ 2 INDETERMINACIÓN que se resuelvemultiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión:

ℓ lim →√ √ √ √

√ √lim→

√ √

√ √lim→ √ √

0

f ℓ lim → √ racionalizando lim → √ 2 0. Pero el límite por la

izquierdanoexisteyaquelaraízsóloestádefinidaparavaloresnonegativos.Portantosetieneque∄ℓ ;ℓ 0∄ℓ.

g ℓ lim → √ efectuando la resta lim →

√ Cada vez que

tengamosuna raíz estaremos enuna circunstancia análoga al casoanterior:∄ℓ porque laraízsóloestádefinidaparavaloresnonegativos.ℓ .Porconsiguiente,∄ℓ.

110. Comprueba que y = x

senx tiende a 1 cuando x tiende a cero.

RESOLUCIÓN:Seaxunángulodelprimercuadrante pequeño Observando la figura, tenemos que: senx AB; cosx OA; tgx CD, y AD OC 1.Además: ÁreatriánguloOAB ÁreasectorcircularOCB ÁreatriánguloOCD ½ |OA| |AB| ½x ½ |OC| |CD| Áreadelsector ½ ánguloenradianes radio cosx senx x tgxcosx senx x senx/cosx Dividiendotodoporsenxqueesunacantidadpositivaporserxunángulodelprimercuadrante cosx x/senx 1/cosx.Yahoratomemoslímitecuandox0: lim → lim → lim → en el límite,

elsigno setransformaen ,conloquesetieneque1lim → 1,locualnodejamás

opciónquelim → 1

DERIVADAS

111. Obtener, a partir de la definición, las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = 3, para x = 1; b) f(x) = x + 2 para x = 3 c) f(x) = x2 para x = 3

RESOLUCIÓN:Recordemosque lim →

a 1 lim → lim → 0f’ 1 0

b 3 lim → lim → 1f’ 3 1

c 3 lim → lim → lim → 6 6f‘ 3 6

112. Obtener, a partir de la definición, las funciones derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 3 b) f(x) = √ 1 c) f(x) = senx

RESOLUCIÓN:

a lim → lim → lim → lim → 2

f‘ x 2x

b lim → lim →√ √ Para eliminar la indeterminación

queseproduce,multiplicamosnumeradorydenominadorporelconjugadodelnumerador

lim →√ √ √ √

√ √lim → √ √

lim → √ √

f‘ x √

c lim → lim → lim →

lim → lim → lim → . *


34

El términolim → produce una indeterminación 0/0 que se resuelve como es

habitual:lim → lim → lim → lim →

lim → lim → 1 0 0.Y,porotro lado,sabemosquelim → 1.Portanto,sustituyendoen * setienequef‘ x cosx

113. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = x3 + √ 1 b) y = x2senx c) y = tgx d) y = cos2x e) y = Ln(sen√ )

RESOLUCIÓN: a Regladelasuma: fg ’ x f‘ x g’ x y‘ 3x2

√

b Regladelproducto: f g ’ x f‘ x g x f x g’ x y’ 2x senx x2 cosx y‘ x 2senx xcosx

c Regladelcociente: ’ x .Comoy tgx

y ‘ expresión que puede simplificarse de tres

formasdistintasyequivalentesyqueconvienerecordar:y‘ sec2x 1 tg2x d Conlaregladelproducto:y cos2x cosx cosx y‘ senx cosx cosx senx 2senxcosx sen 2x Obienlaregladelacadena: f◦g ’ x f‘ g x g’ x y‘ 2 cosx senx e Nuevamente,laregladelacadena,aquímáspropiamentepuestoquehayqueencadenarsuusodosveces:siv √ , v’

√yu senv, u‘ cosv v’ :

y Lnuy‘ ′ sustituyendosucesivamente cosv v‘ √cos√

√

√

√

114. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = x2 3x 4 en el punto cuya abscisa es x = 1.

RESOLUCIÓN: Conocidalapendientemdeunarectayunpunto a,b porelquepasa, laecuacióndelamismaseobtienemediante:y m xa b.Laderivadadeunafunciónenunpuntonosdalapendientedelarectatangentealamismaendichopunto. Ennuestroejemploa 1;b y 1 123 14 6.y‘ 2x3m y‘ 1 2 131.Portanto,laecuacióndelarectaserá:y 1 x1 6y x5x y 5 0


35

COMBINATORIA

115. Marta, Ana, Alicia, Antonio, Blas, Juan y Carlos son amigos aficionados al baile de salón. ¿De cuántas formas pueden emparejarse para practicar?

RESOLUCIÓN: Este es un caso típico de laregla de la multiplicación. Sihay 4 chicos y 3 chicas, cadauna de las chicas puedeemparejarsecon4chicos;portanto,elnúmerodeparejasposiblees43 12PAREJAS. Estosevebienenelesquemaadjuntodelproductocartesianochicoschicas.

116. Se dispone de los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse? ¿Cuántos acaban en 7? ¿Cuántos comienzan por 3? ¿Cuántos están comprendidos entre 500 y 800? Calcula la suma de todos los que pueden formarse.

RESOLUCIÓN: Dos números serán distintos si contienen diferentes dígitos o, conteniendo los mismos,están colocados en distinto orden. Es decir, en estas formaciones influye ORDEN yELEMENTOS.Por tantoestamosanteuncasodeVARIACIONES.Como lascifrashandeserdistintas,seránSINREPETICIÓN: 5 4 3 60 números, de los que acabarán por 7tantoscomoacabenpor1,por3,por5opor9.Asípues60/5 12númerosacabaránpor7.Porlamismarazón,12númerosempezaránpor3. Comprendidosentre500y800serántodoslosquecomiencenpor5y7.Osea,24números. Pararealizarlasuma,losimaginadoscolocadosunossobreotros enladisposiciónhabitualde la suma y veremos que al sumar las cifras de las unidades, tendremos que sumar 12unos,12treses,12cincos,12sietesy12nueves.Luegolasumadelasunidadesserá:12 1 12 3 12 5 12 7 12 9 12 1 3 5 7 9 12 25 300.Conlascifrasdelasdecenas se repetirá otra vez la misma situación quizá en distinto orden pero ahorasumamosdecenas,esdecir,elvalordecadadígitohayquemultiplicarlopor10.Portanto,lasdecenas sumarán 300 10 3000. Y análogamente ocurrirá con las centenas: 300 100 30000.Conloquelasumadetodoslos60númeroses:33300.

117. Con los mismos dígitos del ejercicio anterior, ¿cuántos números de tres cifras, repetidas o no, pueden formarse?

RESOLUCIÓN:Siahorasepuedenrepetir lascifras,setratarádecalcularlasVARIACIONESCONREPETICIÓNde5elementostomadosde3en3: 53 5 5 5 125números.

118. Cuatro atletas participan en una carrera. ¿cuántas clasificaciones distintas pueden darse?

RESOLUCIÓN: Se trata de ver cuántas ordenaciones posibles pueden hacerse con 4 elementos. Siempreintervienenlosmismoselementos,sólohayquetenerencuentaelORDEN. PortantoestamosenuncasodePERMUTACIONES:P4 4! 24clasificacionesdistintas.

119. ¿De cuantas maneras pueden sentarse alrededor de una mesa circular seis comensales?

RESOLUCIÓN: Mencionar ‘mesacircular’quierehacerdestacarquehayquetomarunode loselementoscomoreferencia,yaquealgirar,puedequenosealterelaposiciónrelativadeloselementosy no distinguirse una nueva permutación. Este tipo de ordenaciones se llamaPERMUTACIONESCIRCULARESyPCn n1 ! 61 ! 5! 120maneras

120. Cambiando el orden de las letras de la palabra CARRETERA, ¿cuántas palabras pueden formarse?


36

RESOLUCIÓN: El propio enunciado establece que se trata de ordenaciones diferentes de los mismoselementos, sólo que ahora, hay elementos que se repiten y la permutación entre ellos nointroduce una nueva ordenación. Estamos ante un caso de PERMUTACIONES CONREPETICIÓN.Elnúmerototaldeelementoses9,deloscualeslaAserepite2veces,laR,3vecesylaEotras2veces: , ,

!

! ! ! 15120palabrasdistintas.

121. De un grupo de 20 chicas se quiere formar un equipo de baloncesto (5 jugadoras). ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección?

RESOLUCIÓN: Suponemos que no distinguimos en que puesto juega cada jugadora. En tal caso, dosequipos sólo se diferenciarán en las chicas que entren a formar parte de él, y NO en elORDEN.Estoquieredecirqueestamosanteun casodeCOMBINACIONES siempreque se

tratedeformarsubconjuntosdeunconjuntodado :Asípues: 205

15504maneras

dehacerlaselección ¡comoparaquesiemprejueguenlasmismas!

122. Lanzamos tres dados indistinguibles. ¿cuántos resultados posibles podemos obtener?

RESOLUCIÓN: Observamosque,alserindistinguibleslosdados,paranosotros,elresultado112,121o211sonenrealidadelmismo,esdecir,nointervieneelordenenqueaparecenlaspuntuacionesdecadadado.Cuandonointervieneelorden,estamosenuncasodeCOMBINACIONES,perocomo pueden repetirse los elementos, estamos en un caso de COMBINACIONES CON

REPETICIÓN: 83

56resultadosposibles.

Algunos autores prefieren NO hablar de combinaciones con repetición. En realidad,podemoshacer los cálculoseludiendoeste concepto:Si se repite lapuntuaciónen los tresdados,tenemos6resultadosposibles.Siserepiteendosdadoslapuntuación 112,113,114,115,116,221,223,…. tenemos5 6 30resultadosposibles.Ysinoserepitelapuntuaciónenningunodelostresdados,losresultadosserían 20.Demaneraquesumando:6 3020 56resultados

123. Existen cuatro clases de nucleótidos caracterizados cada uno por su base orgánica: adenina, guanina, citosina y timina (ADN) o uracilo (ARN). Cada cadena de nucleótidos produce un ácido nucleico y las mismas bases dispuestas en diferente orden producen ácidos nucleicos o polinucleótidos diferentes. ¿Cuántos polinucleótidos pueden formarse con seis nucleótidos de modo que en ellos figuren las cuatro bases?

RESOLUCIÓN: Como tienenque intervenir las cuatrobases,de los seisnucleótidos,habránde repetirsealgunosdeellos.Sólocabendosposibilidades;ounoserepitetresveces,odosdeellosserepitendosveces.Enelprimercaso,estamosanteunesquemadeltipoAAABCD,ysetratarádeestablecerelnúmerodeordenacionesposiblesdeesteesquema,esdecir, , , , 120ordenaciones por cada una de las letras que pueden repetirse, por tanto, 1204 480polinucleótidos del primer tipo. En el segundo caso, el esquema es AABBCD, es decir,

, , , 180ordenacionesporcadaunadelaseleccionesposiblesdelasdosletrasqueserepiten,esdecir 6;portanto,1806 1080polinucleótidosdelsegundotipo.Luegoentotal,serán480 1080 1560polinucleótidos.

124. Calcula (3 + 2x)5. (Fórmula del binomio de Newton)

RESOLUCIÓN: 3 2 ∑ 6 3 2 60

36 2 0 61

36 1 2 1

62

36 2 2 2 63

36 3 2 3 64

36 4 2 4 65

36 5 2 5 66

36 6 2 6

1 36 2x 0 6 35 2x 1 6 34 2x 2 6 33 2x 3 6 32 2x 4 6 31 2x 5 6 30 2x 6 729 2916x 4860x2 4320x3 2160x4 192x5 64x6


37

125. ¿Cuál es el término del desarrollo de (2x 3x3)7 en el que aparece x15.

RESOLUCIÓN:

Eltérminogeneraldeldesarrolloesdelaforma 7 2 3

7 2 3 7 2 3 * .

Portantox7 2h x157 2h 15h 4.Sustituimosahoraen * :

742 3 35 23 34 x15 22680x15.

ESTADÍSTICA

126. Parece natural plantearse si el número de suspensos tiene que ver con el número de horas al día que dedicamos al estudio. Con intención de respaldar, o refutar, de manera seria las ideas previas que tenemos al respecto se ha realizado una encuesta con los siguientes resultados:

Horas de estudio 4 2 2 2 3 3 1 2 4 2 0 4 4 3 1 3 Suspensos 2 0 4 5 1 1 6 2 1 0 6 1 0 0 4 3

Considera cada pareja de valores como las coordenadas de un punto en el plano y haz una representación de la nube de puntos. A simple vista, ¿parece que haya relación? Dispón los datos en una tabla de distribución y calcula los estadísticos necesarios para ver la regresión y la correlación.

RESOLUCIÓN:

xi,yi xi yi xi yi ̅4,2 4 2 8 16 4 2,25 0,06252,0 2 0 0 4 0 0,25 5,06252,4 2 4 8 4 16 0,25 3,06252,5 2 5 10 4 25 0,25 7,56253,1 3 1 3 9 1 0,25 1,56253,1 3 1 3 9 1 0,25 1,56251,6 1 6 6 1 36 2,25 14,06252,2 2 2 4 4 4 0,25 0,06254,1 4 1 4 16 1 2,25 1,56252,0 2 0 0 4 0 0,25 5,06250,6 0 6 0 0 36 6,25 14,06254,1 4 1 4 16 1 2,25 1,56254,0 4 0 0 16 0 2,25 5,06253,0 3 0 0 9 0 0,25 5,06251,4 1 4 4 1 16 2,25 3,06253,3 3 3 9 9 9 0,25 0,5625 40 36 63 122 150 22,00 69,000

Observamosenelgráficoquelanubedepuntosnoestáexcesivamentedispersa,sinoquesealarga de manera oblicua que parece ajustarse a la dirección de una recta de pendientenegativa.Hemos dispuesto en la tabla los datos ordenados demanera que nos faciliten elcálculode losparámetroscorrespondientes.Laúltima fila sombreada nos indica lasumade los valores de cada columna, de manera que, entonces: ̅ 2,5 y : 2,25,valoresquehemosutilizadoenlaformacióndelasdosúltimascolumnas. Pasamosahoraacalcularelrestodelosparámetrosnecesarios: ∑ ̅

penúltima columna 1,375x 1,17.De lamisma forma: ∑

últimacolumna 4,3125y2,08.

Y,porúltimo: ∑ ̅ 2,5 2,25 1,68751,69. Hallamosahoralasecuacionesdelasrectasderegresión:


38

Deysobrex:y2,25 ,

,x2,5 y 1,23x 5,32

Dexsobrey:x2,5 ,

, y2,25 x 0,39y 3,38

Obsérvesequelaspendientesdelasrectasderegresiónsonnegativas,comoapuntábamosal principio. Esto quiere decir que la posible relación existente entre ambas variables esinversa a más horas de estudio, menos suspensos . Veamos, por fin, el coeficiente de

correlación: r 0,69 colocamos el signo negativo cuando las dos

pendientes de las rectas de regresión son negativas . Este valor es razonablemente alto,suficientementepróximoa1 comoparaafirmarqueexisteunarelaciónfuerteentrelasdosvariables.

127. Lanzamos dos dados y anotamos la suma de los puntos de las caras superiores. Construir el espacio muestral del experimento. Forma los sucesos siguientes y calcula su probabilidad: a) Obtener suma igual a 8; b) Obtener suma menor o igual a 4.

RESOLUCIÓN: E 1 1,1 2,2 1,1 3,3 1,1 4,4 1,1 5,5 1,1 6,6 1,2 2,2 3,3 2,2 4,4 2,2 5,5 2,2 6,6 2,3 3,3 4,4 3,3 5,5 3,3 6,6 3,4 4,4 5,5 4,4 6,6 4,5 5,5 6,6 5,6 6 .Card E 36 a A 2 6,6 2,3 5,5 3,4 4 .Card A 5.Portantop A 5/360,139 b B 1 1,1 2,2 1,2 2,1 3,3 1 .Card B 6.Portantop B 6/36 1/60,167

128. Halla la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtenga al menos una cara.

RESOLUCIÓN: E CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX .Card E 8. EsevidentequenoesnecesarioformarelconjuntoEparasaberquecard E 8:Setratadelasvariacionesconrepeticiónde2elementostomadosde3en3:23 8 . Cuando se nos pide el suceso ‘al menos una’ suele ser más fácil utilizar el sucesocomplementario:SiA ‘Salir almenosunacara’, entonces, el complementarioesÂ ‘Nosalganingunacara’.Esobvioquep Â 0,125.Portanto,p A 1 0,875.

129. Lanzamos un dado al aire. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) que salga un número primo; b) que salga un número par, c) que salga un número primo o par, d) que salga un número impar y primo.

RESOLUCIÓN: E 1,2,3,4,5,6 a ’Salirunnúmeroprimo’ A 2,3,5 .Portanto,p A 0,5

b ‘Salirnúmeropar’ B 2,4,6 .Portanto,p B 0,5

c p AB p A p B p AB , ya quep AB puesto que elúnicoprimoparesel2. d p AB ,puestoqueAB 3,5

130. De una bolsa que contiene nueve bolas rojas y cinco negras se extraen sucesivamente dos bolas. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) que la primera sea roja y la segunda negra; b) que sea una roja y otra negra.

RESOLUCIÓN:Esteesunejemplodeproblemadeprobabilidadcondicionada. a p 1ªR2ªN p 1ªR p 2ªN/1ªR 0,25 b Definimoslossiguientessucesos:A:La1ªbolasearoja;B:La1ªbolaseanegra;C:La2ªbolasearoja;D:la2ªbolaseanegra.Entonces,loquetenemosquecalculares: p AD BC p AD p BC p A p D/A p B p C/B 0,495


39

131. Debido a un defecto de fabricación, una máquina detectora de billetes falsos los detecta en un 90% de los casos, pero determina como falsos un 1% de los billetes auténticos. Un falsificador ha intercalado 5 billetes falsos de 20 € con otros 95 billetes auténticos. Tomamos al azar un billete de este fajo de 100. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina lo detecte como falso?

RESOLUCIÓN:Esteesuncasodeaplicacióndelteoremadelaprobabilidadtotal Seanlossiguientessucesos: S Serunbilletefalsop S 5/100 0,05 N Noserbilletefalsop N 95/100 0,95 F Serdetectadocomofalsop F/S 0,9yp F/N 0,01 Así:p F p S p F/S p N P F/N 0’05 0’9 0’95 0’01 0’045 0’0095 0’0545

132. En un cajón hay 12 caramelos de menta y 8 de fresa. Si tomamos un caramelo y sin mirarlo lo guardamos, y tomamos un segundo y es de menta, ¿cuál es la probabilidad de que el primero que guardamos fuese de menta?

RESOLUCIÓN:

EstamosanteuncasotípicodeaplicacióndelafórmuladeBayes: ⁄ ⁄

∑ ⁄

SeaA1 Caramelo1°seadementa;A2 Caramelo1°seadefresa;B Caramelo2°seade

menta.Entonces: ⁄ ⁄

⁄ ⁄≅ 0,58

133. Debido a las irregularidades naturales de la materia, de cada 100 botones de nácar que se fabrican en una industria, 5 resultan inservibles. Se envasan en retráctiles de 10 botones. Calcular la probabilidad de que al elegir un envase al azar, a) no haya ningún botón defectuoso; b) haya más de 6; c) sean todos defectuosos.

RESOLUCIÓN: Se trata de una distribución binomial puesto que solo se presentan dos resultados: serdefectuosoonoserlo.Losparámetrossonn 10 unidadesdecadaenvase ,p 0,05:

a p x 0 100

0,050 0,95100,5987

b p x 6 p x 7 p x 8 p x 9 p x 10

107

0,057 0,953 108

0,058 0,952 109

0,059 0,951 1010

0,0510 0,950

Elresultadodeestasoperacionesdaunnúmeroconlaprimeracifrasignificativaenellugardelasmilmillonésimas;portanto,laprobabilidadesprácticamentenula.

c p x 10 1010

0,0510 0,9500

134. Calcula la media y desviación típica de las siguientes distribuciones binomiales:

B(4; 1

10) B(9; 0,4) B(100;

9

10)

RESOLUCIÓN: EnunadistribuciónB n,p , lamediaes np,y ladesviacióntípicaes 1 .

Portanto, B 4; 4 0,1 0,4 √4 0,1 0,9 0,6

B 9;0,4 9 0,4 3,6 √9 0,4 0,6 1’47 B 100; 100 0,9 90 √100 0,9 0,1 3


40

135. En una distribución N(0; 1), calcula: p(x 1,53); p(x < 2,17); p(x 0,77); p(x 1,16); p(x 0,68); p(x < 1,33); p(0,63 x 1,71); p(2,14 x 0,86); p(1,2 x 0,67)

RESOLUCIÓN: p x1,53 tablafila1,5,columna3 0,9370 p x 2,17 tablafila2,1,columna7 0,9850 p x0,77 1p x 0,77 10,7794 0,2206 p x1,16 tablafila1,1,columna6 0,8770 p x0,68 1p x0,68 10,7517 0,2483 p x 1,33 1p x 1,33 10,9082 0,0918 p 0,63x1,71 p x1,71 p x0,63 0,95640,7357 0,2207 p 2,14x0,86 p x2,14 p x0,86 0,98380,8051 p 1,2x0,67 p x 0,67 1p x1,2 p x 0,67 p x1,2 1 0,7486 0,88491 0,6380

136. Una empresa produce lámparas con una duración en horas que sigue una N(100; 20). ¿Qué porcentaje de lámparas es de esperar que tengan una vida superior a las 80 horas?. ¿Cuál será la duración mínima del 90% de las lámparas?

RESOLUCIÓN: p x 80 tipificación p p z 1 p z 1 0,841384,13%delámparasconvidasuperiora80horas. p x t 0,90,9 p z t’ p z t’ 0,9t’ 1,28 1,28t74,4horas

137. Una empresa tiene 1000 empleados. La probabilidad de que un empleado no asista un día es 0,02. Calcula la probabilidad de que un día falten más de cuatro.

RESOLUCIÓN: Setratadeunadistribuciónbinomialconn 1000yp 0,02.Comonesmuyelevadoynp20 5,estamosencondicionesdeaproximarporunaN np; 1 N 20;4,42 :

p x 4 correccióndeYates p x4,5 p z ,,

p z3,51 10,99980,0002

138. Las encuestas señalan que sólo un 25% de los habitantes de una ciudad leen la prensa. Calcula la probabilidad de que al preguntarle a siete personas por lo menos tres de ellas lean la prensa.

RESOLUCIÓN: Setratadeunadistribuciónbinomialconn 7,p 0,251–p 0,75 p x3 1p x 3 1p x 0 p x 1 p x 2 tablas 10,13350,31150,3115 0,2435

Matemáticas 1º Bachillerato. CIENCIAS Y...

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