GUIA 07

DOCENTE GRUPO FECHA DE

ENTREGA

E-MAIL

Alix Paola Vargas 1001-1002-

1003

matematicasprofealix@gmail.com

OBJETIVO: Repasar y reforzar los contenidos vistos en segundo periodo INDICADOR: Determina la medida de ángulos y calcula distancias de forma precisa en diferentes clases de triángulos.

TEMAS

- Teorema de Pitágoras - Razones trigonométricas - Circunferencia unitaria y razones - Teorema del seno y el coseno

AREAS - ASIGNATURAS INVOLUCRADAS:

Matemáticas

PRODUCTO PARA ENTREGAR: Guía resuelta con procesos y justificaciones.

TEOREMA DE PITAGORAS

La figura 1 muestra un triángulo rectángulo ABC, el lado opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa (c) y los otros dos lados se denominan catetos (a y b).

El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

c²=a²+b²

Figura 1 Para apoyar el tema puede ver el vídeo que se encuentra en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=2yfkEAt2ew0

Tomado de; Min educación, 2017, matemática 10 “vamos a aprender”, Colombia, Equipo editorial SM, S.A

MATEMÁTICAS 10° DECIMO | + GRADO

RAZONES TRIGONOMETRICAS

Recuerda que: en un triángulo rectángulo con θ como uno de sus ángulos agudos, las razones trigonométricas se definen como se muestra en la figura 2.

Figura 2

Tomado de; Stewar James, Watson Saleem, 2012, precálculo. Matemáticas para el cálculo sexta edición, México, Cengage Learning Editores, S.A

Para apoyar el tema puede ver el vídeo que se encuentra en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=CRg5jQRj1Hg Ejemplo 1: Para calcular las razones trigonométricas del ángulo α en el triángulo rectángulo ABC de la figura 2 se calculan aplicando las relaciones anteriores.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos, es posible resolver un triángulo rectángulo en los siguientes casos: 1. Cuando se conocen las medidas de un lado y de un ángulo agudo. 2. Cuando se conocen las medidas de dos lados.

Para apoyar el tema puede ver los vídeos que se encuentran en los siguientes links: https://www.youtube.com/watch?v=CRg5jQRj1Hg https://www.youtube.com/watch?v=yVTQ0oJBGag&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1&index=10

Ejemplo 2:

Un agrimensor observa que un punto S ubicado al nivel del suelo, se encuentra a una distancia de 15 m de la base del asta de una bandera, como se muestra en la imagen. Para hallar la medida h que es la altura del asta, se puede utilizar una razón trigonométrica de 30°. En este caso resulta conveniente emplear tan 30°, pues h corresponde a la longitud del cateto opuesto y el cateto adyacente mide 15 m.

Entonces la longitud del asta es de 5√3 𝑚.

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

En una competencia de tiro al blanco, el competidor A logra impactar el tableo en el punto (4,3) y el competidor B en el punto (-5,2). Si gana quien este a menor distancia del centro del tablero. ¿qué competidor ganó?

Para determinar quién ganó la competencia se pueden interpretar las distancias entre los puntos y el centro como radios de dos circunferencias. Al trazar las circunferencias y comparar los radios se observa que r1 ˂ r2. De acuerdo a lo anterior, se concluye que el competidor A ganó la competencia.

La interpretación de la distancia de un punto P(x,y) al centro del plano cartesiano, relaciona el radio r de una circunferencia con la hipotenusa de un triángulo rectángulo y los catetos x y y de la siguiente manera:

Si el radio de la circunferencia mide una unidad se obtiene:

𝑥²+𝑦²=1 El conjunto de puntos a una distancia 1 del origen es una circunferencia de radio 1, con centro en el origen en el plano x y. Las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la circunferencia unitaria, satisfacen la ecuación 𝑥²+𝑦²=1

Al utilizar la ecuación de la circunferencia, es posible, verificar si el punto (√3

2,

1

2) pertenece a la circunferencia

unitaria

El punto (√3

2,

1

2) pertenece a la circunferencia unitaria porque cumple la ecuación 𝑥²+𝑦²=1

Ángulos en posición normal:

El ángulo α es un ángulo en posición normal, si su vértice c oincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial esta sobre semieje positivo de las abcisas. Las figuras muestran ángulos en posición normal, el primero es positivo, el segundo es negativo.

Según la medida de un ángulo en posición normal, este se considera ubicado en uno de los cuatro cuadrantes en los que se divide el plano cartesiano.

Suponga que t es un número real. Marquemos una distancia t a lo largo de la circunferencia unitaria, empezando en el punto (1, 0) y moviéndonos en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj si t es positiva y en el sentido de las manecillas si t es negativa. Tomado de; Stewar James, Watson Saleem, 2012, precálculo. Matemáticas para

el cálculo sexta edición, México, Cengage Learning Editores, S.A

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA

La figura, muestra un ángulo α en una circunferencia unitaria, si determinamos las razones rigonómetricas para dicho ángulo, tenemos que:

Tomado de; Stewar James, Watson Saleem, 2012, precálculo. Matemáticas para el cálculo sexta edición, México, Cengage Learning Editores, S.A

TEOREMA DEL SENO

El teorema del seno permite resolver un triángulo cualquiera si se conoce un lao y otros dos elementos del triángulo (al menos un ángulo). Este teorema inica que dado un triángulo ABC cualquiera se verifica que:

El terorema del seno se usa en dos situaciones específicas de triángulos:

Cuando se conocen dos ángulos y un lado

Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Para apoyar el tema puede ver el vídeo que se encuentra en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=hN7xWwdoKL8 Ejemplo: Un avión entre dos ciudades A y B con ángulos de elevación de 31° y 45°, respectivamente. La distancia entre las ciudades es de 1500 km. Hallar la distancia del avión a cada una de las ciudades.

Nos dan dos ángulos y un lado. Rápidamente podemos conocer el tercer ángulo: 180−45−31=104 Tenemos

𝛼=31° ,𝛽=45° ,𝜑=104° Ahora para encontrar las distancias utilizamos el teorema del seno.

El Teorema de seno y el coseno son de mucha utilidad en los cálculos, ya que no todos los problemas permiten hacer triangulaciones con un ángulo recto.

TEOREMA DEL COSENO

El terema del coseno permite resolver triángulos de los cuales se conocen:

Los tres lados del triángulo.

Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Este terorema indica que dado cualquier triángulo ABC, se cumple que:

Para apoyar el tema puede ver el vídeo que se encuentra en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=Y285KwXAuuY Ejemplo:

Tomado de; Min educación, 2017, matemática 10 “vamos a aprender”, Colombia, Equipo editorial SM, S.A

HOJAS DE TRABAJO

MATEMÁTICAS GRADO 10°

DESARROLLA AQUÍ LAS ACTIVIDADES DE LA GUÍA 07

ACTIVIDAD 1. Calcule la

medida del lado que hace falta en cada triángulo.

a)

b)

2. Halle las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente, del ángulo α en cada uno de los siguientes triángulos.

a) b)

c) d)

3. a) Halla la altura del

árbol y la distancia a la que se encuentra de la estaca.

b) Un saltamontes se encuentra a 20 m del pie de una palmera y observa la copa de ésta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de la palmera?

a) b)

Nombre del Estudiante Curso Sede Jornada

Correo electrónico: Nombre Director de Curso:

4. a) Halle la medida del

ángulo formado entre la escalera y el edificio.

b) Un hombre se encuentra a 50 m de la base C del faro, observa el punto B en el extremo superior del faro el cual tiene 20 m de altura. ¿cuál es el ángulo que forma la recta AB con la horizontal? ¿cuál es la distancia entre los puntos A y B?

a) b)

5. Determina si cada punto está en la circunferencia unitaria o no:

6. Halla en cada caso el valor de las seis funciones trigonométricas a partir de P (x,y)

7. Dibuja cada triángulo y halla los ángulos y los lados que se desconocen

8. a. Determina la longitud del puente, si la distancia del punto X al Y es de 95 m. b. Plantea una situación que tenga los siguientes datos, y resuélvela:

a) b)