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Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos)

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Matemáticas 4º ESO

(Objetivos mínimos)

Colegio Santa María del Carmen Alicante

Profesora: Victoria Alfosea


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Índice de contenidos

Introducción .........................................................................................................................3 Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ..............................................................4 Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción A .......................................................5 Competencias básicas.........................................................................................................6 Metodología .........................................................................................................................8 Índice de unidades y temporalización..................................................................................9 Criterios de calificación......................................................................................................10 Unidad 1: Enteros y racionales ..........................................................................................11 Unidad 2: Reales ...............................................................................................................31 Unidad 3: Potencias y raíces .............................................................................................47 Unidad 4: Polinomios.........................................................................................................69 Unidad 5: Ecuaciones........................................................................................................83 Unidad 6: Geometría básica ............................................................................................103 Unidad 7: Trigonometría básica.......................................................................................123 Unidad 8: Vectores ..........................................................................................................135 Unidad 9: Estudio de funciones .......................................................................................151 Unidad 10: Estadística.....................................................................................................177 Unidad 11: Técnicas de recuento ....................................................................................203 Unidad 12: Cálculo de probabilidades .............................................................................223

Introducción

El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te pro-pondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te lle-gue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tan-to como la queremos nosotros. Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Orgánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO, BOE, 1631/2006, de 29 de diciembre, en el DECRETO 112/2007. DOGV, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se consideran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didácticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora comienzas. Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futu-ras versiones.

Profesores de 4º de ESO


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Objetivos generales de Matemáticas para la ESO

La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de ar-gumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situa-ciones de la vida diaria. 3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemá-ticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados. 4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálcu-los, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos ma-temáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan. 7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenado-res, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseveran-cia en la búsqueda de soluciones. 9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identifica-ción y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado. 10. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxi-to y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que les permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las Matemáticas.


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11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adqui-riendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. 12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un pun-to de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales co-mo la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.

Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción A

1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias diversas y útiles para la re-solución de problemas. 2. Expresar verbalmente, con precisión, razonamientos, relaciones cuantitativas e infor-maciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático. 3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria. 4. Calcular el valor de expresiones numéricas sencillas de números racionales (basadas en las cuatro operaciones elementales y las potencias de exponente entero que conten-gan, como máximo, tres operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamen-te las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y paréntesis. 5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos raí-ces cuadradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las operaciones con números expresados en forma decimal o en notación científica. 6. Aplicar porcentajes y tasas a la resolución de problemas cotidianos y financieros. 7. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y reso-lución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 8. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas indirectas en situaciones reales. 9. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica pla-na para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas. 10. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas.


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11. Analizar tablas y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situa-ciones reales para obtener información sobre ellas. 12. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes, lineales, afines o cuadráticas por medio de sus elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola). 13. Determinar e interpretar las características básicas (puntos de corte con los ejes, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y pe-riodicidad) que permitan evaluar el comportamiento de una gráfica sencilla. 14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadís-ticos más usuales, correspondientes a distribuciones discretas y continuas, y valorar cuali-tativamente la representatividad de las muestras utilizadas. 15. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.

Competencias básicas

En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas: 1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal. Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pen-samiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamen-te, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lengua-je matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento ma-temático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incerti-dumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene señalar que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.


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La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comporta-miento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y es-crita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de ense-ñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos reali-zados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir con-jeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo cono-cimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geo-metría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para des-cribir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonom-ía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomen-tar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los proce-sos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la ad-quisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las matemáticas para describir fenómenos sociales. Las matemáticas, fundamental-mente a través del análisis funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios como formas alternativas de abordar una situación.


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Metodología

En la primera sesión de cada unidad didáctica, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la que se trate, evaluando los conocimientos previos me-diante preguntas orales, ejemplos, curiosidades... En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos o de repaso del tema en la pizarra. La realización de ejercicios para afianzar lo aprendido se hace preferiblemente en clase (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que el alumno pueda practicar. Según la naturaleza de los ejercicios, se pueden corregir en la pizarra (por los alumnos o por el profesor), se pueden dirán en voz alta las soluciones para que el alumno los corrija y exponga sus dudas, etc. Al final de cada unidad se dará el esquema de la unidad para fijar conceptos y aclarar ideas. El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase. En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad:

− los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno debe realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno.

− se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimien-tos del tema o de temas anteriores.

− es habitual la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes anteriores (con muy buena acogida por parte de los alumnos).

− siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simularos” de exámenes que no tie-nen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir.

Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá con-tar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, video proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor. Las preguntas que realizan los alumnos son muy valoradas por parte de los profesores, así como el esfuerzo, el interés, trabajo en este dossier...


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Índice de unidades y temporalización

Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre):

Unidad 1: Enteros y racionales ...........................................(16 sesiones) Unidad 2: Reales ................................................................(10 sesiones) Unidad 3: Potencia y raíces ................................................(10 sesiones) Unidad 4: Polinomios ..........................................................(10 sesiones) Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo):

Unidad 5: Ecuaciones .........................................................(10 sesiones) Unidad 6: Geometría básica ...............................................(10 sesiones) Unidad 7: Trigonometría básica..........................................(8 sesiones) Unidad 8: Vectores .............................................................(6 sesiones) Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo):

Unidad 9: Estudio de funciones ..........................................(8 sesiones) Unidad 10: Estadística ........................................................(8 sesiones) Unidad 11: Técnicas de recuento .......................................(8 sesiones) Unidad 12: Cálculo de probabilidades ................................(5 sesiones) El número de sesiones es un dato aproximado, ya que depende de numerosos factores. En cada evaluación hay más sesiones de las programadas aquí. Se pretenderá comenzar las unidades de la segunda y tercera evaluación antes de su comienzo oficial, así conse-guiremos avanzar materia a la vez que evitaremos la coincidencia de exámenes al final de las evaluaciones.


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Criterios de calificación

Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la eva-luación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno presente. Evaluación inicial Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. Una calificación de Apto en esta prueba permitirá superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior. Evaluaciones trimestrales:

− -Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del trabajo diario (mirar este dossier con los ejercicios completados) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la materia. ( ± 5 %)

− Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, exposición de trabajos, corrección de actividades, etc.: 10 %

− Pruebas escritas tras cada unidad didáctica: 90 % − Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto).

Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evalua-ción final a través de una prueba escrita. Evaluación final: Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno,a recuperará los exámenes suspendidos, pero, en todo momento, los profesores favoreceremos el avance progresivo del alumno o alumna. Cada alumno o alumna podrá subir la calificación final, si la global está aprobada a la nota inmediatamente superior, siempre y cuando la califica-ción numérica de la global tenga las décimas superiores a 5. Si el alumno,a no consigue el Apto, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en la convocatoria de sep-tiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano.

Recuperar la materia pendiente: El alumno,a dispone de dos oportunidades durante el curso para superar la materia si la tuviera pendiente de 3º de ESO:

1. Aprobando la prueba inicial (con contenidos de 3º de ESO) que se realiza en du-rante las primeras sesiones de curso.

2. Aprobando, las tres evaluaciones en el presente curso. El alumno,a deberá tener siempre presente que no podrá examinarse en la prueba final de junio de 4º de ESO si no tiene previamente aprobada la asignatura correspondiente del año anterior. Si se diera esta situación, el alumno,a deberá superar el(los) examen(es) del curso(s) anterior(es) antes de poderse examinar del curso actual. Esto será válido para las convocatorias de junio y septiembre.

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 1: Enteros y racionales

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La imaginación es más importante que los conocimientos. Albert Einstein (físico estadounidense de origen alemán, 1879-1955)

Unidad 1: Enteros y racionales


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Juego CALCULUM, como el Scrabble, pero con números en lugar de letras, y con ope-raciones matemáticas en lugar de palabras. http://perso.wanadoo.es/e/yomis1/Calculum115b.zip

En el menú opciones, opciones de juego... antes de empezar una partida (porque durante la misma el programa no permite modificar nada) recomendamos activar la casilla de los cálculos en diagonal y las cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Y en la opción de configuración, dentro del mismo menú, recomendamos desactivar las cuatro opciones marcadas para que no pregunte tantas cosas. Si quieres saber:

- Dónde están los comodines, para qué sirven y cuándo es mejor usarlos - Dónde está la operación de deshacer - Como conseguimos renovar todas las fichas o si preferimos quedarnos con al-

guna para colocar después... ... déjanos tu comentario en blogdemates.wordpress.com

¡Suerte!


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Índice de la unidad

Unidad 1: Números........................................................................................................15

1.1 Clasificación.........................................................................................................15 1.2 Jerarquía de las operaciones...............................................................................16 1.3 Números enteros .................................................................................................16

1.3.1 Operaciones ..................................................................................................16 1.3.2 Descomposición en árbol ..............................................................................17

1.4 Números racionales .............................................................................................18 1.4.1 Representación en la recta racional ..............................................................18 1.4.2 Simplificación de fracciones ..........................................................................21 1.4.3 Operaciones ..................................................................................................23 1.4.4 Tipos de decimales........................................................................................24 1.4.5 Paso de decimal a fracción y viceversa.........................................................24

1.5 Ejercicios de las pruebas de acceso a los CFGM................................................27 1.6 Divertimentos matemáticos..................................................................................29

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Reconocer y clasificar cualquier número

− Descomponer números utilizando la técnica del árbol

− Realizar operaciones con enteros y fracciones

− Representar fracciones en la recta racional

− Convertir una fracción en decimal y algunos decimales en fracciones

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Describir y analizar con el vocabulario y la nomenclatura adecuados situacio-nes de la vida real que pueden expresarse con números enteros y racionales (C1, C2 y C3).

− Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y pro-blemas sobre números enteros y racionales (C2, C7 y C8).

− Clasificar los números en su conjunto más pequeño posible, ampliar el conoci-miento sobre los distintos conjuntos numéricos, y utilizarlos para desenvolverse adecuadamente con autonomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C3, C7 y C8).


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Criterios de evaluación

− Utiliza correctamente la regla de los signos y la jerarquía de las operaciones en el cálculo con números enteros y racionales

− Dibuja e identificar los números fraccionarios en la recta racional

− Expresa en forma decimal periódica cualquier número racional y expresa en forma fraccionaria cualquier número decimal (racional)

− Clasifica cualquier número dentro del conjunto más pequeño al que pertenezca

Contenidos conceptuales

− Conjunto de números, tipos.

− Prioridad (jerarquía) en las operaciones.

− Número entero frente a otros conjuntos de números, operaciones, regla de los signos

− Número racional, operaciones

− Fracciones propias e impropias

− Representación de fracciones en al recta racional

− Decimales exactos, decimales periódicos (puros y mixtos)

− Expresión fraccionaria de los números decimales periódicos y exactos, con fórmula y con forma razonada

Contenidos procedimentales

− Clasificación de los números reales en enteros, racionales e irracionales

− Aplicación de la jerarquía de las operaciones

− Operar con números enteros y racionales

− Comparación de fracciones

− Operaciones con fracciones

− Expresión racional de decimales y expresión decimal de números racionales. Conver-sión de un tipo en otro.

− Representación de números en la recta racional


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Unidad 1: Números

Es esta unidad repasaremos las operaciones con los números en-teros y racionales (los reales los veremos en la unidad siguiente) que ya conoces. Se trata de los “ladrillos” sobre los que se susten-ta toda las Matemáticas, por lo resulta muy conveniente que los conozcas muy bien y sepas operar con ellos.

1.1 Clasificación

Ejercicio 1 Clasifica los siguientes números:

3− 36 8'1− 2π 4− 9

3− 25π 981 ...83'1−

(naturales)

(enteros)

(racionales)

(reales)


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Ejercicio 2 Escribe un número que sea:

a) Real, pero no racional: b) Real, pero no irracional:

c) Racional, pero no entero: d) Irracional, pero no real:

e) Racional y entero: f) Natural y entero:

1.2 Jerarquía de las operaciones Cuando en un ejercicio intervengan varias operaciones, debes seguir el siguiente orden:

1. Se efectúan las operaciones entre paréntesis (corchetes, llaves...), del más interno al más externo. 2. Se calculan las potencias y raíces. 3. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4. Se efectúan las sumas y las restas.

Recuerda que las calculadoras electrónicas a diferencia de las científicas y gráficas, no respetan esta prioridad.

1.3 Números enteros A la hora de operar con números enteros (es decir, números tanto positivos como ne-gativos) debes tener en cuenta las reglas de signos.

1.3.1 Operaciones Ejercicio 3 Resuelve:

( ) =+−+⋅− 625:9243)a

( ) ( )22) 2 3 7 2 4b − + − ⋅ − + =

2 2 3) 6 10 : 5 3 2c + − ⋅ =

( ) ( )2 3 3) 5 6 8 : 2 3d − + − − − =


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(Continuación)

2 3 2) 2 6 : 3 6e − − =

( ) ( )2 3 2) 2 6 : 3 6f − − =

( )2 3 2) 2 6 : 3 6g − − =

1.3.2 Descomposición en árbol Es una técnica muy sencilla para obtener la descomposición factorial de ciertos núme-ros “más o menos redondos”. Se trata de buscar divisiones sencillas y lógicas del número de dos en dos, de tres en tres... y repetir el proceso con cada número obtenido hasta encontrar los factores que sean primos.

Ejercicio resuelto

Descompón el número 9900 utilizando la técnica del árbol:

Descomposición factorial de 2 2 29900 2 3 5 11= ⋅ ⋅ ⋅

Ejercicio 4 Descompón los siguientes números siguiendo la técnica del árbol:

) 1000; ) 77000; ) 2500a b c (Hazlo en una hoja aparte)

9900

99

100

10

10

2

2

5

5

9

11

3

3


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1.4 Números racionales

1.4.1 Representación en la recta racional Se trata, con este apartado, de que sepas colocar cualquier fracción en una recta gra-duada. Este proceso te permitirá, por ejemplo, comparar dos o más fracciones. Es un método geométrico (necesitarás una regla, y, quizá, un compás) Como ya sabes, existen dos tipos de fracciones: propias e impropias. Recuerda: una fracción se llama propia, si el numerador es menor que el denominador, y el valor decimal (resultado de hacer la división) esta comprendido entre 0 y 1 si la fracción es positiva y entre 0 y -1 si es negativa.

Ejercicio resuelto

Representa en la recta racional el número: 56

Como el numerador es menor que el denominador (es una fracción propia), el resultado está comprendido entre 0 y 1. Debemos dividir la unidad en 6 partes (denominador) y tomamos 5 (numerador) con-tando desde el cero. 1. Se dibuja un segmento horizontal. Se señala el extremo izquierdo con el número 0 y el derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad. 2. Se traza desde el 0 una semirrecta cualquiera que no sea horizontal. 3. Con una regla o con el compás, se marca en esa semirrecta, desde el cero, seis me-didas iguales (el número que haya en el denominador). 4. Con la regla se traza el segmento que une la última marca con el punto 1. 5. Se traza paralelas a ese segmento que pasen por las otras cinco marcas del compás.


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Ejercicio 5


Ejercicio 6



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¿Y si la fracción es impropia?

Ejercicio resuelto


Es una fracción impropia (el resultado es mayor que 1). Ya lo hemos pasado a la forma de suma de un número entero más una fracción propia. Por tanto, deberemos seguir los mismos pasos que para representar las propias pero no entre el 0 y el 1,sino entre el 3 y el 4.

Ejercicio 7


7 215 5= +


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Ejercicio 8 Dibuja en la misma recta racional, los siguientes números:

3 54 4

y −

1.4.2 Simplificación de fracciones Es un apartado muy importante. Cualquier ejercicio (durante todo el curso) no estará correcto si no se da la solución simplificada. Simplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente pero con el nu-merador y denominador más pequeños. Para simplificar una fracción debe existir un número entre el que podamos dividir el numerador y el denominador de manera exac-ta (sin decimales). Otra manera de simplificar es descomponer el numerador y el denominador en sus fac-tores primos y luego tachar los que son iguales. Por ejemplo:

3 3 2

2

3000 2 3 5 2 3 5 606550 2 5 131 131 131

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Pero la descomposición es un proceso largo y, en muchas ocasiones, improductivo. Ejercicio 9

Simplifica 3000539

=

3000

539

12 415 5

: 3

: 3


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Ten en cuenta, que a partir de ahora, ya no habrá ejercicios exclusivos para simplificar fracciones, sino que la simplificación sólo será una parte de un ejercicio; necesitamos, por tanto, otros procedimientos. Existen unos criterios o reglas de divisibilidad (que podríamos llamar “trucos”) que nos pueden ayudar mucho a la hora de simplificar: permiten averiguar con rapidez si un número es divisible por otro. Por desgracia no existen para todos los números.

- Un número es divisible entre 2 si acaba en número par ó 0. - Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. - Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras son 00 ó forman un múltiplo de 4. - Un número es divisible entre 5 cuando acaba en 0 ó 5. - Un número es divisible entre 10 si acaba en 0. - Un número es divisible entre 11 cuando al sumar las cifras de posición par menos la suma de las cifras de posición impar se obtiene como resultado 0 ó múltiplo de 11.

Ejercicio 10 ¿Es divisible 1234567 entre 3? ¿y entre 11? ¿Qué divisores tendrá 123000? ¿Es divisible 82709 entre 11? ¿y 4675? Ejercicio 11

Supón que esa fracción es el resultado de un ejercicio, y debes intentar sim-plificarla, ¿qué divisor debes buscar en el numerador?

¿Qué conclusión sacas? Ejercicio 12 Simplifica utilizando los criterios de divisibilidad :

=500125)a =

6003720)b

=333555)c =

6003300)d

123427


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1.4.3 Operaciones Ya conoces cómo se suman, restan, multiplican y dividen las fracciones.

a b a bc c c

++ =

a b a bc c c

−− =

a b a bc d c d

⋅⋅ =

⋅ :a b a dc d c b

⋅=

⋅

En el caso de la suma y la resta de fracciones, si los denominadores no son iguales, se reducen primero a común denominador y luego se aplica la fórmula anterior. Ejercicio 13 Resuelve:

1 7)5 5

a + = 1 7)5 2

b + =

4 1 2)7 14 7

c − + = 1 1 1)2 3 4

d + − =

4 1)7 5

e ⋅ = 1 1) :2 3

f =

1 3) :3 10

g = 7 1 5)

3 3 2h −

⋅ ⋅ =

Ejercicio 14 Resuelve:

2 3 1 3) :5 10 5 6

a − ⎡ ⎤⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

3 6 7) 4 =4 5 2

b ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

8 4 1) : 3 :7 5 6

c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


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1.4.4 Tipos de decimales Existen cuatro tipos de decimales. Completa:

Ejercicio 15 Indica qué tipo de números son:

1'35 = 1'078

7 '385 = 3'1415926535…

1'454545 =… 3'1234234234 =… 10 '01001000100001 =… 1'7 = 21'126666 =… 2'7182818284…

456 '7895 = 1'61803398…

Ejercicio 16 Pasa a forma decimal y clasifícalos en racionales e irracionales, y explica la razón:

3)5

a = ) 16b =

1)1000

c − = ) 2d =

1.4.5 Paso de decimal a fracción y viceversa El paso de fracción a decimal es extremadamente sencillo: sólo hay que hacer la divi-sión. Una fracción nos puede generar cualquiera de los tres primeros tipos de decima-les vistos antes. Ejercicio 17 Obtén el decimal correspondiente expresándolo sin redondeos y clasifícalo:

2)3

a = 16)15

b =

1)21

c = 3)25

d =


25

El paso de decimal a fracción, al contrario que el proceso anterior, sí requiere un estu-dio algo más detallado. Dependiendo del tipo de decimal que se tenga se hará de una manera u otra, por tanto lo primero que deberemos hacer es identificar de qué tipo de decimal se trata.

Ejercicio resuelto

Obtén la fracción generadora de: 1'35 = Como se trata de un decimal exacto dividimos el decimal (sin la coma) por una potencia de 10; el exponente es el número de decimales que haya:

2

135 135 27 5 271'3510 100 20 5 20

⋅= = = =

⋅ ; en este caso, hemos simplificado la fracción.

Ejercicio 18 Obtén la fracción generadora de:

) 1'2a = ) 12 '55b =

) 0 '25c = ) 0 '005d =

Para los otros tipos de decimales que estamos estudiando, es decir, los periódicos pu-ros y mixtos, utilizaremos una fórmula para obtener la fracción: Letras utilizadas:

Ejercicio resuelto

Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de 1'56 : 156 1 155

99 99N −= =

Ejercicio resuelto

Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de 1'356 : 1356 13 1343

990 990N −= =

99 9 00 0nº cifras nº cifrasperiodo anteperiodo

EAP EAN −=

… …


26

Ejercicio 19 Obtén la fracción generadora de:

) 1'45a

) 0 '5b

) 15'40c Ejercicio 20 Obtén la fracción generadora de:

) 5'12a

) 0 '113b

) 3'0012c Ejercicio 21 Obtén la fracción generadora de:

) 2 '14a = ) 12 '8b =

) 0 '315c = ) 1'234d =

Más ejercicios: http://matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Aritmetica/operaciones-combinadas-numeros.pdf


27

1.5 Ejercicios de las pruebas de acceso a los CFGM Septiembre de 1999 Una barra de hierro de 5 m de largo cuesta 1500 pta. ¿Cuánto costarán 30’5 m de la misma clase de hierro, si tenemos que añadirle un 16% de IVA? Solución: 10 614 pta. Septiembre de 1999 En un autobús viajan 40 personas. Si los 3 5 son mujeres, el 25% hombre y el resto niños, ¿cuántos niños van en el autobús? Solución: 6 niños. Septiembre de 1999 Efectuar la siguiente operación combinada:

( ) ( ) ( ) ( )2 27 3 5 3 4 2 : 4 2 1 16 6 5 :3⎡ ⎤+ − − − + − − ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ Solución: 2

Septiembre de 2000 Determinar el resultado de las operaciones que figuran a continuación:

( ) ( ) ( )225 3 2 : 6 4 4 : 2 3 6 : 7 8 : 2 3 5⎡ ⎤+ − − − + − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Solución: 35

Septiembre de 2000 Un joven va a una ferretería a comprar una taladradora. El dependiente le dice que le va a hacer un 20% de descuento sobre el precio marcado, pero que le tiene que aplicar el 16% de IVA. a) Si el pecio marcado es de 20 000 pta, ¿qué cantidad le descontará?, ¿cuánto es el recargo del IVA? Soluciones: 4000 pta y 2560 pta. b) ¿Qué es más ventajoso, que primero te hagan el descuento y luego te apliquen el IVA o al contrario? Solución: En los dos casos pagará lo mismo Septiembre de 2000 A un comerciante que dispone de una pieza de tela de 236 decímetros, se le presentan dos opciones: primera, venderla por un total de 27 000 pta; segunda, venderla a 1200 pta/m, ¿cuál le resulta más ventajosa? Solución: si la vende a 1200 pta/m cobrará 28320 pta. Junio de 2001 Un autobús realiza seis paradas a lo largo de su recorrido. En la primera suben 15 per-sonas; en la segunda, suben 3 y bajan 5; en la tercera, suben 4 y bajan 7; en la cuarta, suben 6 y bajan 2; en la quinta, suben 7 y bajan 12. Si en la sexta parada quedan 5 personas en el interior, ¿cuántas se han bajado? Solución: 4 personas Junio de 2001 Completa el valor de las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 6 22 : 11 7 4 6 5 4a − + − − + − − + ⋅ + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Solución: -330

( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 25 : 3 5 : 3 2 18 : 6 2 4b ⋅ − − − ⋅ − + − − − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Solución: -7


28

Junio de 2001 Eva reparte pizzas y ha acordado con la empresa el siguiente contrato: cobrará una cantidad mensual fija de 20 000 pta más 200 pta por cada pizza repartida. a) Calcula la cantidad de pizzas que debe entregar cada uno de los 8 días que va a tra-bajar el próximo mes para obtener un sueldo final de 60 000 pta. Solución: 25 pizzas b) El mes anterior cobró 52 000 pta. ¿cuántas pizzas entregó? Solución: 160 pizzas. Mayo de 2003 Efectúa la siguiente operación combinada:

[ ] ( ) ( ) ( ){ }4 212 6 5 : 3 7 3 5 3 4 2 : 4 2 1⎡ ⎤− ⋅ − + ⋅ − − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ Solución: -22.

Mayo de 2004 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

( ) ( )34 2) 5 2 7 3 4a ⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ =⎣ ⎦ Solución: 21 024 016.

3 3) 1005 4

de de b = Solución: 45.


29

1.6 Divertimentos matemáticos Juego SUDOKU Reglas: en cada fila deberán estar los números 1, 2, 3 ... 8 y 9 (no necesariamente en este orden); Lo mismo para cada columna y para cada grupo de 3x3. Muy fácil Fácil

Fácil Algo más difícil

En www.sudoku.com podréis encontrar el juego para bajarlo (versión shareware). En http://www.dotnet2themax.it/sodoku/default.aspx hay una versión para jugar online. En inglés: http://www.paulspages.co.uk/sudoku http://www.dailysudoku.co.uk/sudoku/index.shtml http://www.websudoku.com En español: http://foroplus.net/sudoku/sudoku.php y para el SUDOKU SAMURAI: http://www.sudoku.4thewww.com/samurai.php

http://www.sudoku.com/�

http://www.dotnet2themax.it/sodoku/default.aspx�

http://www.paulspages.co.uk/sudoku�

http://www.dailysudoku.co.uk/sudoku/index.shtml�

http://www.websudoku.com/�

http://foroplus.net/sudoku/sudoku.php�

http://www.sudoku.4thewww.com/samurai.php�


30

Juego KAKURO El kakuro es un tablero dividido en bloques de celdas. Cada bloque horizontal o vertical tiene asociado un número (en el juego que te presentamos aparece rodeado de un círculo blanco). Para resolver el crucigrama, debes poner en las celdas números del 1 al 9 de modo que sumen el total que le corresponde a su bloque. Sólo existe una restricción: dentro de un bloque no se pueden repetir los números, pero sí se permite utilizar el mismo dígito en bloques diferentes dentro de la misma fila o columna. El hecho de que no se puedan repetir números dentro de un bloque proporciona mu-chas pistas. Por ejemplo, si debemos sumar 4 con sólo dos celdas, al no ser posible la combinación 2 y 2, sólo podremos poner 1 y 3, o bien, 3 y 1; la única posibilidad de completar 10 con cuatro celdas es: 1, 2, 3 y 4, o variaciones en su orden.

¿Qué números pondrías en las celdas marcadas con una flecha? Por el bloque horizontal que debe contener cuatro dígitos que sumen 10, sabemos que debemos co-locar el 3 y el 4, pero ¿en qué orden? En la prime-ra celda del bloque que debe contener 2 dígitos que sumen 4, no podemos poner el 4, ya que de ser así, en la celda inferior se debería poner el 0,

que es dígito no permitido en el kakuro; por tanto, en la primera flecha se coloca el 3 y en la segunda, el 4. Ahora, resuelve tú: Dedica un poco de tiempo a dar con las soluciones únicas. Aquí te damos algunos ejemplos:

Num. Celdas Combin.3 2 1 y 2 4 2 1 y 3

16 2 7 y 9 17 2 8 y 9 6 3 1, 2 y 3 7 3 1, 2 y 4

24 3 7,8 y 9

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 2: Reales

31

Invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses. Benjamín Franklin (estadista y científico estadounidense, 1706 - 1790)

Unidad 2: Reales


32


33


Unidad 2: Números reales .............................................................................................35

2.1 Números irracionales ...........................................................................................35 2.1.1 Irracionales con nombre propio: ....................................................................35

2.2 Representación de irracionales en la recta real ...................................................36 2.2.1 Representación de raíces cuadradas ............................................................38

2.3 Intervalos y semirrectas .......................................................................................39 2.4 Redondeos y aproximaciones..............................................................................43 2.5 Valor absoluto ......................................................................................................44 2.6 Direcciones web para más información ...............................................................45 2.7 Curiosidad matemática: Dalí y el número de oro .................................................46


− Clasificar cualquier número (supuestamente conseguido en la unidad anterior)

− Comprender el conjunto de los números reales (idem)

− Distinguir los números irracionales

− Conocer la escritura de los intervalos y su representación

− Hacer operaciones con valor absoluto

− Representar gráficamente en la recta real números irracionales

− Hacer cálculos exactos y aproximados (redondeos)


− Describir y analizar con el vocabulario y la nomenclatura adecuados situacio-nes de la vida real que pueden expresarse con números reales (C1, C2 y C3).

− Representar correctamente los números de los distintos conjuntos numéricos, así como los intervalos y las semirrectas (curso pasado), empleando el lengua-je matemático como instrumento de representación e interpretación de la reali-dad (C1 y C2)

− Clasificar los números reales, ampliar el conocimiento sobre los distintos con-juntos numéricos, y utilizarlos para desenvolverse adecuadamente con auto-nomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C3, C7 y C8).


34


− Calcula aproximaciones decimales de números irracionales

− Hace operaciones con valor absoluto

− Representa gráficamente en la recta real algunos números irracionales, utili-zando para ello sus sucesivas aproximaciones decimales

− Representa raíces cuadradas en recta real por medio del teorema de Pitágoras

− Representa en la recta real ciertas zonas, intervalos y semirrectas que se defi-nen mediante alguna relación algebraica

− Hace operaciones con intervalos de números


− Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos, clasificación

− Número irracional: , , 2, ...eπ Φ

− Pérdida de precisión por redondeos

− Aproximaciones decimales de un número irracional: redondeo, exceso, defecto

− Recta real, dibujo de raíces por Pitágoras

− Valor absoluto de un número real, operaciones

− Intervalos y semirrectas: formas de representación


− Comparación de números reales utilizando sus aproximaciones decimales

− Aproximaciones de números reales por redondeo, exceso y defecto

− Dibujo de raíces cuadradas en la recta real

− Representación de ciertas zonas de la recta real definidas por ciertas relacio-nes algebraicas (intervalos)

− Obtención del valor absoluto de expresiones más o menos complejas

− Representación de irracionales en la recta real


35

Unidad 2: Números reales

Los números reales suponen el último conjunto, y más ampliado (a excepción de los números complejos) que vamos a estudiar.. Cualquier número que conozcas estará dentro de algún conjunto de los que ya sabes. En esta unidad aprenderemos todo sobre ellos: operarlos, representarlos, escribirlos...

2.1 Números irracionales

2.1.1 Irracionales con nombre propio: Hay tres números irracionales que podríamos denominarlos como los irracionales más famosos:

• π el número pi: muy utilizado en geometría y conocido ya por los griegos en el S. III antes de Cristo. La razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro es π . Es la inicial de la palabra griega periferia (περιφερια). Durante muchos siglos se creyó que π era igual a alguna fracción de dos enteros y hubo muchos intentos por encontrarla, pero sólo se obtuvieron aproximaciones:

o π = 22/7 = 3,1428... (Arquímedes, S. III a.C.) o π = 377/120 = 3,14166..., (Ptolomeo, S. II d.C.) o π = 355/113 = 3,141592.., (Tsu Ch'ung-Chi, S. V, d.C.)


36

Quizá el caso más llamativo sea el del inglés William Shanks, que dedicó 20 años de su vida a la obtención de decimales de π . A finales del S. XIX, dio 707 decimales de π , pero, en 1945, se descubrió que había cometido un error en el decimal 528, y a partir de ahí los demás eran incorrectos. 3'1415926535π ≅ …

− e el número e: utilizado desde el S. XVIII. 2'7182818284e ≅ …

− Φ el número (fi) o número de oro. Rectángulos de oro

1 51' 61803398...

2

+Φ = =

lado largo=

lado corto

2.2 Representación de irracionales en la recta real Para el caso de las raíces cuadradas, existe un procedimiento basado en el teorema de Pitágoras que nos permite saber situarlas en la recta real, pero para el resto de irracio-nales debemos recurrir a aproximaciones sucesivas.

Ejercicio resuelto

Representa el número 3 2 1'25992= … con 3 decimales: Primera aproximación: el número es mayor que 1 y menor que 2. Segunda aproximación: el número es mayor que 1’2 y menor que 1’3. Tercera aproximación: el número es mayor que 1’25 y menor que 1’26. Cuarta aproximación: el número es mayor que 1’259 y menor que 1’260. Este proceso se puede repetir indefinidamente... de forma conceptual, pero, al dibujar, las herramientas de dibujo sí provocan una limitación.


37

Ejercicio 1 Representa el número 3'14159π = … con 3 decimales:

Ejercicio 2

Representa el número e=2'7182818284… con 3 decimales:

Ejercicio 3 Escribe el número que corresponde a cada punto señalado en la recta:

Ejercicio 4 Representa en la recta cinco números comprendidos entre el 1 y el 3:


38

2.2.1 Representación de raíces cuadradas Observa el siguiente dibujo y recuerda el conocido teorema de Pitágoras: Generalizando el proceso, podremos dibujar cualquier raíz cuadrada:

Ejercicio 5

Representa gráficamente 3 :

Las siguientes raíces están descompuestas en cuadrados perfectos, lo que facilita enormemente su representación en la recta real:

2 25 4 1 2 1= + = + 2 28 4 4 2 2= + = + 2 210 9 1 3 1= + = +

2

20 1 2


39

Ejercicio 6 Busca tres raíces que se puedan descomponer como suma de cuadrados: Ejercicio 7

Representa gráficamente 26 :

2.3 Intervalos y semirrectas En este apartado sólo vamos a hablar de notación, es decir, de cómo se escriben o determinan unos conjuntos de números. En concreto, vamos a ver tres formas de re-presentar lo mismo. Para los tres casos utilizaremos el siguiente ejemplo: imagina que debes contar las plantas del Corte Inglés: Tiene tres sótanos por debajo de la planta inicial o planta baja, y siete plantas por encima de la inicial; en total, 11. Primera forma de representación: [ ]3, 7− El intervalo anterior se llama cerrado por usar corchetes, pero también pueden ser paréntesis o una combinación de los ambos:

[ ],a b ( ),a b ( ],a b [ ),a b Intervalo cerrado Intervalo abierto Intervalo abierto por

la izquierda Intervalo abierto por la derecha

Estos dos intervalos también se llaman semiabiertos o semicerrados


40

En todos los casos, es imprescindible que a sea menor que b, es decir, a < b; a y b se llaman extremos del intervalo. ¿Cuándo se usa corchete y cuándo paréntesis?

− Corchete: el extremo entra en el conjunto. − Paréntesis: el extremo no entra en el conjunto

Segunda forma de representación: 3 7x− ≤ ≤ El número de plantas del Corte Inglés es mayor o igual que -3 y menor o igual que 7:

< ≤ > ≥

Se lee: menor que Se lee: menor o igual que Se lee: mayor que Se lee: mayor o

igual que : 3 4; 4 1Ej < − < − : 3 4; 2 2Ej ≤ ≤ : 0 1; 2 3Ej > − > − : 3 0; 1 1Ej ≥ − ≥ −

En realidad, usaremos sólo los dos primeros símbolos.

¿Por qué?

¿Cuándo se usa < y cuándo ≤ ?

− ≤ : el extremo entra en el conjunto.

− < : el extremo no entra en el conjunto Tercera forma de representación: Se trata de la forma gráfica. En ella puede haber círculos abiertos (huecos) o círculos cerrados (tapado). También pue-de haber una combinación de ambas representaciones.

Se lee: círculo ce-

rrado o tapado Se lee: círculo

abierto o hueco ¿Cuándo se utiliza círculo abierto?

− Círculo cerrado: el extremo entra en el conjunto. − Círculo abierto: el extremo no entra en el conjunto

( ) [ ]

< ≤

Resumen: las tres formas de representación son equivalen-tes: •


41

Ejercicio resuelto

Dada una representación, obtén las otras dos:

( ]) 0, 3'5a 0 3'5x< ≤

)b

( )5, 30 5 30x< <

1) 4,2

c −⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠

142

x −− ≤ <

Ejercicio 8 Completa la siguiente tabla:

( y [ Recta Símbolos y < ≤ 3 , 0

4−⎛ ⎤

⎜ ⎥⎝ ⎦

1 3x− ≤ <

Ejercicio 9 ¿Qué números enteros pertenecen a ambos intervalos a la vez?

[ ] ( )) 1, 4 2, 4 : y a

( ) [ ]) 5, 5 1,1 : y b − −

[ ) ( ]) 7,15 6,18 : y c

[ ) [ )) 3, 1 1,1 : y d − − −

Otro tipo de intervalos son las semirrectas, situación intermedia entre segmento y recta. Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores o menores que él. Al igual que con los anteriores interva-los, el extremo puede o no entrar en el conjunto.

Utilizaremos estos dos nuevos símbolos: Se lee: desde el

menos infinito Se lee: hasta el

más infinito


42

Ejercicio resuelto

Dada una representación, obtén las otras dos:

( ]) , 3a −∞ 3x ≤

)b

( )1,− ∞ 1 x− <

En el extremo donde va situado el infinito, siempre colocaremos un paréntesis.

¿Por qué? Ejercicio 10 Escribe de tres maneras distintas el conjunto de números menores que -5, sin incluirlo: Ejercicio 11 Encuentra las zonas comunes, si las hay, en las siguientes parejas de intervalos o se-mirrectas representándolas en la recta real:

1 2) [ 2 , 3) (0 , 5)a I I= − =

) 2 5 0 3b x y x≤ < < ≤

[ ]1 2) ( 1 , 2) 1 , 2c I I= − =

) 1 2 0d x y x≤ − − ≤ <


43

2.4 Redondeos y aproximaciones Muchas personas creen que el valor de π es 3'14 . Los números irracionales y los decimales periódicos tienen infinitas cifras, por tanto, es imposible escribir su valor exacto. Se hace necesario tomar aproximaciones, conside-rando sólo un número finito de cifras decimales. Imaginemos que debemos poner el número áureo ( 1'61803398Φ = … ) con dos ci-fras decimales. Hay dos posibilidades (por exceso y por defecto) para realizar la aproximación, más otra tercera (el redondeo) que coincidirá, en la práctica, con alguna de las dos anterio-res:

− Aproximación por defecto: consiste en tomar las cifras indicadas (en nuestro ejemplo, cogeremos hasta los dos primeros decimales) e ignorar el resto

Φ =1'61

− Aproximación por exceso: consiste en tomar las cifras indicadas sumando una unidad a la cifra de la derecha:

1'62Φ =

− Redondeo del número: se tomarán las cifras indicadas y se mira la siguiente; si es 0, 1, 2, 3 ó 4 se ignora el resto del número (es una aproximación por de-fecto); si, por el contrario, la cifra es 5, 6, 7, 8 ó 9 se suma una unidad a la últi-ma cifra de las seleccionadas (es como una aproximación por exceso):

1'62Φ = Ejercicio 12 Efectúa las operaciones indicadas con las siguientes cifras:

Número de cifras decimales Por defecto Por exceso Redondeo

0 '3416789 2

40'666... 1

-12 '559804 3

99 '999... Ninguna

23'905888 2

99 '999 2


44

Ejercicio 13 Completa, con ayuda de la calculadora, la siguiente tabla con las correspondientes

aproximaciones de 7 :

Aproximación por Defecto Exceso Redondeo Aproximación Enteros

Décimas

Centésimas

Milésimas

Ejercicio 14 Completa la siguiente tabla:

Aproximación del número 1'45609... por

Defecto Exceso Redondeo

2 cifras decimales

3 cifras decimales

4 cifras decimales

5 cifras decimales

2.5 Valor absoluto El valor absoluto de un número a se designa por a y coincide con el número si es positivo ó cero, y con su opuesto si es negativo.

00

a aa

-a asisi

≥⎧= ⎨ <⎩

Dos números reales opuestos tienen el mismo valor absoluto: -1 0 1

-1 1 1= =


45

Ejercicio 15 Comprueba cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas o falsas:

) 5 5a − = − ) 0 7 7b − =

) 4 8 4 8c − = − ) 12 15 12 15d − = −

Ejercicio 16 ¿Cuántos números enteros, en valor absoluto, son menores o iguales a 2? Ejercicio 17 Escribe tres números racionales negativos cuyos valores absolutos sean mayores que 1:

2.6 Direcciones web para más información descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/Numeros2.htm


46

2.7 Curiosidad matemática: Dalí y el número de oro EL siguiente cuadro se titula:

Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.

Dalí dispuso todos los objetos siguiendo las proporciones áureas:

Los rectángulos áureos son: ABCD, ABEF, AGHF, IJHF, JHKN y MJNL

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 3: Potencias y raíces

47

El que nada duda, nada sabe. Proverbio griego

Unidad 3: Potencias y raíces


48

Direcciones web para ampliar información: descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Potencias/index.htm

descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Potencias_numeros_racionales/index.htm

descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/notacion/index.htm

descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Radicales/indice.htm

ejerciciosyexamenes.com/potencias.pdf

matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/exponen-logarit-ejercic-basic.pdf


49


Unidad 3: Potencias y raíces.........................................................................................51

3.1 Potencias de exponente y base natural, entera y fraccionaria.............................51 3.2.Propiedades.........................................................................................................53 3.3 Notación científica................................................................................................55

3.3.1. Productos y divisiones con potencias de 10.................................................56 3.3.2. Uso de la calculadora ...................................................................................57 3.3.3. Multiplicaciones y divisiones con números en notación científica ................57

3.4 Raíces..................................................................................................................58 3.4.1 Cálculo de raíces de cualquier índice............................................................58 3.4.2 Índice común .................................................................................................60 3.4.3 Introducir y extraer factores...........................................................................62 3.4.4 Uso de la calculadora ....................................................................................64 3.4.5 Más ejercicios de raíces ................................................................................64

3.5 Logaritmos ...........................................................................................................65 Hoja de trabajo 1: Potencias ......................................................................................67 Hoja de trabajo 2: Sumas y multiplicaciones con radicales........................................68


− Operar con cualquier tipo de potencia

− Utilizar la Notación Científica

− Operar con raíces

− Relacionar las operaciones de potencia y raíces

− Resolver logaritmos sencillos


− Utilizar la notación científica para abordar ejemplos en los que aparezcan con-tenidos asociados a la ciencia y al mundo físico (C2 y C3).

− Interiorizar las propiedades de potencias y radicales, y utilizarlas para desen-volverse adecuadamente con autonomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C7 y C8).


50


− Calcula y simplifica expresiones en las que intervengan potencias de exponen-te natural y entero, aplicando para ello las diversas propiedades que estas cumplen

− Expresa cantidades muy grandes o muy pequeñas en notación científica y rea-liza cálculos con dichas expresiones

− Opera (simplifica, ordena, suma, multiplica, divide...) expresiones radicales

− Calcula y simplifica expresiones en las que intervengan potencias de exponen-te fraccionario


− Potencias de exponente natural, entero y fraccionario

− Propiedades de las potencias de exponente natural, entero y fraccionario

− Notación científica

− Forma exponencial de la raíz

− Raíz enésima de un número

− Soluciones de las raíces de índice par e impar

− Operaciones con raíces: introducir y extraer factores

− Raíces equivalentes, comparación

− Logaritmo, base, exponente.


− Cálculo y aplicación de propiedades de potencias de exponente natural, entero y fraccionario

− Escritura en notación científica de un número dado en notación ordinaria

− Escritura en notación ordinaria de un número dado en notación científica

− Operaciones con números expresados en notación científica

− Simplificación de radicales

− Ordenación y comparación de radicales

− Suma de radicales extrayendo los factores que sea posible fuera del signo ra-dical

− Producto y cociente de radicales.

− Potencia y radical de un radical

− Realización de sencillos logaritmos enteros


51

Unidad 3: Potencias y raíces

Ya has tratado con potencias y raíces en cursos anteriores. Aho-ra, profundizaremos en su estudio, pero comprobarás que las propiedades son las mismas. También profundizaremos en las operaciones con números expresados en notación científica ya que, probablemente, ya los habrás visto en la asignatura de Física y Química. Recordaremos, o en su caso, aprenderemos a racio-nalizar, es decir, veremos formas para eliminar las raíces de los denominadores de las fracciones. Y como principal novedad, aprenderemos a hacer logaritmos.

3.1 Potencias de exponente y base natural, entera y fraccionaria Hasta ahora has tratado con potencias de exponente natural:

( ) ...2,54,1,2 2

323 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Vamos a extender los conceptos y propiedades que ya conoces para poder resolver otras potencias:

que como ves tienen exponentes enteros (negativos) o fraccionarios.

Si los exponentes son negativos, los puedes pasar a positivos cambiando la potencia del numerador al denominador o viceversa (mira la propiedad 3 un poco más adelante):

81

212 3

3 ==−;

44 37

37

⋅== −

Si los exponentes son fraccionarios, entonces tenemos las raíces (que veremos en el apartado 3.4). Respecto a las bases, también pueden ser naturales, enteras o fraccionarias. Si la base es natural, no deberemos realizar ninguna acción especial, resolviéndose las potencias como en cursos anteriores. Si la base es negativa, al tratarse de productos, deberemos tener en cuenta las famo-sas reglas de los signos:

Observa que no tienes que aprenderte las dos columnas puesto que las reglas para la división son las mismas que para el producto. Si los exponentes son muy elevados, estas re-glas no resultan muy eficaces.

( ) ( ) ( )+=+⋅+ ( )

( ) ( )+=++

( ) ( ) ( )−=−⋅+ ( )

( ) ( )−=−+

( ) ( ) ( )−=+⋅− ( )

( ) ( )−=+−

( ) ( ) ( )+=−⋅− ( )

( ) ( )+=−−

...2723,2 3

152

3

−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛


52

¿Cuánto es ( )102− ? Para averiguar el singo de la potencia deberíamos multiplicar el

signo 10 veces: “menos por menos es más, más por menos es menos...” y ¿ ( )632− ? Al la hora de operar nos fijaremos en si el exponente es par o impar, y actuar como sigue:

Exponente par: resultado positivo ( ) 1010 22 =−

Exponente impar: resultado negativo ( ) 6363 22 −=−

Y, con frecuencia, restaremos importancia al resultado numérico (como en este ejerci-cio), quedándonos en la aplicación de propiedades o reglas matemáticas, que suelen ser más importantes que el mero cálculo final. Si la base es fraccionaria debes recordar que los exponentes afectan tanto al numera-dor como al denominador:

3

33

52

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.

Veamos, antes de repasar las propiedades de las potencias, a realizar dos actividades sencillas con casi todo lo que hemos dicho hasta ahora: Ejercicio 1 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente natural:

=23)a

( ) =− 24)d

=− 24)g

( ) =− 35)b

( ) =− 31)e

( ) =−− 32)h

=50)c

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

32)f

Ejercicio 2 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero (negativo):

=−32)a

( ) =− −33)d

=− −24)g

( ) =− −35)b

( ) =− −42)e

( ) =− −24)h

( ) =− −23)c

=−431)f

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−2

21)i


53

3.2.Propiedades Todos los ejercicios que acabas de hacer y los venideros, te resultarán mucho más fáciles de realizar si dominas las propiedades de las potencias y raíces.

1. …vecesm

m aaaaa ⋅⋅⋅= Caso particular: 0,10 ≠∀= aa

Ejemplo: 322222225 =⋅⋅⋅⋅= 1130 =

2. m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )0≠bcon Ejemplo:2

22

43

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3.

mm

aa 1

=− ( )0≠acon

m

m

m

mm

ab

ba

ba

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

( )0≠∧ ba

mm

aa −=

1 ( )0≠a

Ejemplo:

33

515 =−

55

5

5

55

313

31

31

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

1010

212 −=

4.

n mnm

aa = ( )0 1a n≥ ∧ >

n mn

mn mn

m

aaaa 11

=== −−

( )0 1a n≥ ∧ >

Ejemplo:

7 272

55 =

5 252

313 =

−

5.

nmnm aaa +=⋅ nmnm

ba

ba

ba +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, ( )0≠b Ejemplo:

75252 3333 ==⋅ +

11

11114747

52

52

52

52

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

6.

nmnm aaa −=: , ( )0≠a

nmn

m

aaa −= , ( )0≠a

Ejemplo:4

47373

51555:5 === −−

2353

5

11111111

== −

7. ( ) nmnm aa ⋅= Ejemplo: ( )[ ] ( ) 202054 222 =−=−

8. ( ) mmm baba ⋅=⋅ Ejemplo: ( )[ ] ( ) 44444 323232 ⋅=−⋅=−⋅

9. nnn baba ⋅=⋅ Ejemplo: 222222 55

5 235 25 3 ==⋅=⋅

10. nn

n

ba

ba= Ejemplo:

67

3649

3649

==

11. nn n baba ⋅=⋅ Ejemplo: 525220 2 =⋅=

12. mnn m aa ⋅= Ejemplo: 555 23 63 6 == ⋅


54

Ejercicio 3 Determina cuales de las siguientes expresiones son verdaderas y cuales falsas:

Nota: sólo hay tres correctas

a) nmnm aaa +=⋅ b) ( )nnn baba +=+ c) ( )nmnm aa =⋅

d) ( ) ( )mnnm aa = e) ( )nn aa −=− f) ( ) pnmpnm aaaa −⋅=⋅ :

g) nn aa1

=−

h)

nm

n

m

ba

ba −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

i) ( ) ( )mnnm abba =⋅

Ejercicio 4 Ordena de menor a mayor los números A, B y C:

( ) ( ) ( )23 112 −++−−=A

( ) ( )181 35 −+−−−=B

( ) ( ) ( )322 122 −++−−=C

Ejercicio 5

) ( ) 23 22 3a−

⋅ = )3 2

2

2 48

b ⋅=

) ( ) 35

4

3 981

c−

−

⋅=

)4

2

21 27 9 8

d ⋅=

⋅ ⋅

)3 2

4

1 84 2

e−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)45 3

4 10f

−⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

)3 41 2:

8 5g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)47 49:

5 125h ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


55

Ejercicio 6 Simplifica:

3 9 2 5

-10 16

125 3 27 9)15 25

a−⋅ ⋅ ⋅

=⋅

4 3 2 2

20 2

32 25 3 27)15 2 9

b−⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

4 1 2

2 2 3 2

10 7 3)7 2 5 6

c−

−

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

3.3 Notación científica Es un caso particular de potencias de exponente entero, y se utiliza (en cualquier mate-ria de ciencias, sobre todo en Física) para designar números muy grandes o muy pe-queños (distancias entre astros, masa de partículas atómicas...)

Notación ordinaria Notación científica Distancia Tierra-Sol km000000150= km8105'1 ⋅=

Edad del Sol años0000000005= años9105 ⋅= Año luz (longitud que recorre la luz en un año) km0000000004609= km121046'9 ⋅=

Longitud del paramecio m025000'0= m5105'2 −⋅=

Longitud de onda de la luz visible al ojo humano

mde 4000000'0 mhasta 7000000'0

mde 7104 −⋅

mhasta 7107 −⋅

Peso de una molécula de agua

0 '000 000 000 000000 000 000 029 g=

g23109'2 −⋅=

Masa de un protón kg169000000000000

000000000000000'0= kg281069'1 −⋅=


56

3.3.1. Productos y divisiones con potencias de 10 Es un requisito previo que debes recordar para trabajar bien en notación científica: Ejercicio 7 Realiza las siguientes operaciones

=⋅100074'36)a

=⋅1004'0)b

=100:34)c

=− 10:3'100)d

=10000:5'13)e

Ejercicio 8 ¿Cuándo un número está expresado en notación científica? Ejercicio 9 Pasa a notación científica:

=123000000'0)a

=230001000'0)b

=0000002301)c

=− 123'0)d

=230001'0)e

=2301)f

Ejercicio 10 Pasa a notación ordinaria:

=⋅ 7101)a

=⋅ −3102'1)b

=⋅− 51022'2)c

=⋅− −51004'1)d


57

Ejercicio 11 Escribe en notación científica y ordinaria:

=⋅ 000000125'2)a

=0001:003'0)b

=000100:215)c

=⋅ 00000000010216'0)d

3.3.2. Uso de la calculadora En general deberemos apretar la tecla EXP para introducir el exponente. Ejercicio 12 Haz esta operación con la calculadora y comprueba que obtienes la misma solución

2'1104'2105 32 =⋅⋅⋅ − Atención: la tecla EXP ya tiene incluido la base 10. No debes escribir 5 x 10 EXP 2, ya que estarás escribiendo 5000, en vez de 500. Debes teclear: 5 EXP 2 x 2’4 EXP -3 =

3.3.3. Multiplicaciones y divisiones con números en notación científica Para las multiplicaciones y divisiones de números expresados en notación científica sólo deberemos aplicar las mismas propiedades que para las potencias

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente operación usando notación científica: 2 62 '2 10 1'5 10−⋅ ⋅ ⋅ Agrupamos los decimales por un lado, y las potencias por otro, y operamos:

2 6 2 6 42 '2 10 1'5 10 2 '2 1'5 10 10 3'3 10− −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Como el resultado está expresado en notación científica hemos acabado el ejercicio.


58

Ejercicio 13 Resuelve utilizando notación científica (al final, puedes volver a hacer cada ejercicio con la calculadora y comprobar tus soluciones):

=⋅⋅⋅ − 62 105103'4)a

=⋅⋅ −67 101'8:104'3)b

( ) ( ) =⋅⋅ −24 102:105)c

( ) ( ) =⋅⋅⋅⋅ −− 245 108'4:105106'9)d

( ) ( )=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −−− 4352 108102:102'2102'1)e

=⋅⋅⋅⋅⋅ − 345 104103102)f

=⋅⋅⋅ −− 63 105'1102'2)g

3.4 Raíces

3.4.1 Cálculo de raíces de cualquier índice Observa estos ejemplos:

25 5= ± ya que ( ) 255255 22 =−= y

3 8 2= ya que 823 =

4 81 3= ± ya que ( ) 813813 44 =−= y

Número de soluciones de una raíz:


59

Las potencias de exponente fraccionario y las raíces son una misma cosa:

n mnm

aa = Esta expresión se llama forma exponencial de la raíz. Puesto que una raíz no es más que una potencia, las propiedades son las mismas. Algunas raíces podrán calcularse directamente, como en los ejemplos anteriores, y pa-ra otras, utilizaremos la forma exponencial de la raíz y las propiedades de las raíces. Ejemplos

22 1225 5 5 5 5= = = =

3

3 3 13 3125 5 5 5 5= = = =

84 8 24 4256 2 2 2 4= = = = ; Comprueba que -4 también es solución de la raíz

3

33

1 1 127 327

= =

4

4 222

10 '0001 10 10 10 0 '0110

−− −= = = = = y 01'010 2 −=− − también es solución

( ) ( )5 15 55 532 2 2 2 2− = − = − = − = −

Ejercicio 14 Calcula:

=94)a =

3625)b

=481)c =44'1)d

=3 125'0)e =3 027'0)f


60

(Continuación)

=−4 81)g 416)81

h =

5) 0 '000 01i = 6) 64j =

3) 1k − = 4) 1l − =

3 5) 27m =

3.4.2 Índice común Conseguir que dos (o más) raíces tengan el mismo índice nos permitirá compararlas y ordenarlas, multiplicarlas y dividirlas; para ello, sólo hay que aplicar la propiedad .

kn kmn m aa ⋅ ⋅= Observa: si necesitamos cambiar el índice de una raíz, multiplicaremos por un número, k, tanto el índice como el exponente del radicando.

Ejercicio resuelto

Compara estas raíces y ordénalas de mayor a menor: 3 24 7;2;3 Los índices de las raíces son diferentes; así no podemos comparar nada (ocurre algo parecido a cuando queremos comparar dos fracciones con distinto denominador). Necesitamos igualar los índices (o buscaríamos un mismo denominador si se tratase de fracciones). ¿A qué número se igualan los índices? Necesitamos un número que sea múltiplo de los tres índices:

[ ] 123,4,2... =mcm ; Dividimos el m.c.m. obtenido por el índice de cada raíz, y así obtendremos ese número k:

para la primera raíz: 62

12==k ; por tanto: 2 6 1 6 612 123 3 3 729⋅ ⋅= = =

para la segunda raíz: 34

12==k ; por tanto: 4 3 121 3 34 122 2 2 8⋅ ⋅= = =

para la tercera raíz: 43

12==k ; por tanto: 3 3 42 2 4 812 127 7 7 5 764 801⋅ ⋅= = =

Por tanto: 3 2 47 3 2> >


61

Ejercicio 15 Compara las siguientes raíces y ordénalas de ordénalas de menor a mayor:

;2;4;7) 5 353a

;5;9;3) 1025b

;2;2;2) 654c Vuelve a mirar las propiedades 9 y 11. Dos radicales pueden multiplicarse o dividirse sólo si tienen el mismo índice.

Ejercicio resuelto

Calcula las siguientes operaciones:

63 6 23 3 3 3) 2 32 64 2 2 2 4a ⋅ = = = = =

6 6 63 2 3 23) 2 15 2 15 2 15b ⋅ = ⋅ = ⋅

Ejercicio 16 Calcula los siguientes operaciones:

=⋅ 33 93)a

=⋅ 21

82)b


62

(Continuación)

=⋅ 5 32)c

=2:32)d

=3

3

981)e

=3:15)f

3 2 34) 3 3 3g ⋅ ⋅ =

4 83 2 2) 2 2 3h ⋅ ⋅ =

3.4.3 Introducir y extraer factores Mira, de nuevo, la propiedad 11. Se puede extraer factores de una raíz e introducirlos; así podremos: agrupar raíces, simplificarlas... Para extraer factores... Para introducir factores...


63

Ejercicio 17 Extrae factores:

=8)a =18)b

=32)c =50)d

=98)e =128)f

=162)g =200)h Ejercicio 18 Introduce factores:

=⋅ 22)a =⋅ 37) 2b

=⋅ 3 52)c =⋅⋅⋅ 52 7232)d

=⋅ 72 77)e =⋅⋅ 3 2510)f

ATENCIÓN: no se pueden sumar ni restar raíces: baba +≠+ , pero sí pueden agruparse:

3 2 5a a a+ = Deberemos conseguir, para ello, que los radicales sean los mismos (mismo índice y mismo radicando); y para conseguirlo, podremos introducir o extraer factores, cambiar los índices... Ejercicio 19 Opera:

=+−+ 18080455)a

=−+− 50251882)b


64

(Continuación)

=+497548)c

=+− 321828)d

=−+ 646 8427)e

=+− 7551483272)f

3.4.4 Uso de la calculadora Apunta las teclas más importantes y habituales:

3.4.5 Más ejercicios de raíces

Ejercicio 20 Simplifica: (mira la propiedad número 12)

=3 8)a

=3)b

=32)c


65

Ejercicio 21 Opera:

) 20 5 500 80a + + − =

2 18)3 75

b + =

=−2548)c

=+125

185)d

3.5 Logaritmos Se basan, de nuevo, en las propiedades de las potencias. Son mucho más sencillos de lo que los alumnos suelen creer. Podrían explicarse en otros cursos inferiores de la ESO. Los siguientes ejemplos están resueltos: intenta averiguar cuál es la operación que se realiza:

2) log 8 3a = Se lee “el logaritmo en base dos de ocho es tres”

5) log 125 3b = 7) log 49 2c = 4

10) log 10 000 log 10 4d = = 3) log 81 4e =

Inventa tú seis logaritmos con su solución:


66

Observa el ejemplo d), cuando la base es 10, no podremos nada (igual que obviamos el índice 2 en las raíces cuadradas). Ejercicio 22 Resuelve:

) log 100a = ) log 100 000b =

) log 0'1c = ) log 0'000 001d = 27) log 10e − = 2) log 10f =

6) log 36g = 8) log 8h π = 11

3) log 3i = 2) log 0'5j = Para resolver u logaritmo sólo hay que contestar a una pregunta:

¿A qué número tengo que elevar la base para obtener el número? Fíjate en el ejemplo a) de los primeros logaritmos: ¿a qué número, x, tengo que elevar el 2 para obtener 8?

Dicho de otra forma: 2 8x = , ¿cuánto vale x? Es decir, Esta forma de expresar el logaritmo nos lleva a una definición importante:

log xa N x a N= ⇔ =

Fórmula que nos permitirá resolver logaritmos no tan sencillos como los anteriores. Ejercicio 23 Resuelve:

4) log 2a =

) log 10b =

2) log 8c =

un logaritmo sólo es un exponente


67

Hoja de trabajo 1: Potencias Nombre: ______________________________________ Núm: ______ Curso: ______

Opera y simplifica


68

Hoja de trabajo 2: Sumas y multiplicaciones con radicales Nombre: _______________________________________ Núm: _____ Curso: ______ 1. Extrae factores y suma los siguientes radicales

a) 75 192 3 3+ + (Solución=16 3 ) b) 2 125 3 75 4 180+ − (Solución=34 5 15 3+ )

c) 1 4 925 45 20+ − (Solución= 4 1

3 5− )

2. Realiza las siguientes multiplicaciones. Simplifica la raíz resultante y extrae factores.

a) 3 63 4 72 2 2⋅ ⋅ (Pasando a raíces de igual índice y operando) (Solución= 63 52 2⋅ ) b) 3 63 4 72 2 2⋅ ⋅ (Pasando a potencias de exponente fraccionario y operando) c) 6 834 125 25 5⋅ ⋅ (Pasando a raíces de igual índice y operando) (Solución= 2 125 2⋅ ) d) 6 834 125 25 5⋅ ⋅ (Pasando a potencias de exponente fraccionario y operando) 3. Convierte a potencias de igual base y opera. Expresa el resultado en forma de raíz

a) ( )22 327 3 3⋅ ⋅ (Solución= 83 3 )

b) 4 3 12 22⋅ ⋅ (Solución= 4 2 )

c) 3 23 15 5 12525

⋅ ⋅ ⋅ (Solución= 7 35 5⋅ )

d) 2

3 3 14 8 216⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(Solución= 32 2⋅ )

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 4: Polinomios

69

Dejamos de temer aquello que se ha aprendido a entender. Marie Curie (química francesa de origen polaco, 1867-1955)

Unidad 4: Polinomios


70

En la siguiente dirección podrás encontrar ejercicios on-line para practicar la regla de Ruffini, procedimiento que se explica en

este tema:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/polinomios/ruffini/ ruffiniteoria.htm

Imagen extraída de la siguiente dirección web: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/notables.htm


71


Unidad 4: Polinomios.....................................................................................................73

4.1 Introducción .........................................................................................................73 4.2 Valor numérico de una expresión algebraica .......................................................73 4.3 Operaciones con polinomios................................................................................74 4.4 Regla de Ruffini ...................................................................................................77 4.5 Factor común .......................................................................................................79 4.6 Identidades notables ............................................................................................80 4.7 Divertimento matemático: salto del caballo..........................................................82


− Calcular el valor numérico de cualquier expresión algebraica

− Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con expresiones algebraicas

− Extraer factor común de una expresión algebraica

− Dividir polinomios por la regla de Ruffini

− Utilizar las identidades notables


− Calcular el valor numérico de una expresión algebraica en problemas y ejem-plos en los que aparezcan contenidos asociados a la ciencia y al mundo físico (C2 y C3).

− Sintetizar los contenidos de la unidad, y elaborar guiones y resúmenes para aumentar la creatividad, y desarrollar la iniciativa personal, el sentido de la res-ponsabilidad y el sentido crítico (C2, C7 y C8).


72


− Halla el valor numérico de una expresión algebraica, monomio o polinomio

− Realiza sumas y diferencias, productos, divisiones de monomios y polinomios

− Divide polinomios con divisor de la forma x-a utilizando Ruffini

− Extrae factor común de expresiones algebraicas

− Desarrolla el cuadrado de un binomio y la suma por diferencia de dos mono-mios y realiza la operación contraria


− Valor numérico de una expresión algebraica

− Operaciones con monomios y polinomios: suma y diferencia, producto y divi-sión

− Procedimiento de Ruffini

− Factor común de expresiones algebraicas

− Identidades notables: cuadrado de un binomio, suma por diferencia


− Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica

− Reconocimiento de expresiones algebraicas que aparecen en otras materias

− Cálculo del grado de un monomio entero

− Suma y diferencia de monomios y de polinomios

− Producto y división de monomios y de polinomios

− Desarrollo de identidades notables en ambos sentidos


73

Unidad 4: Polinomios

Ya conoces el Álgebra de cursos anteriores. Con este tema se pretende que adquieras una buena base para la próxima unidad, donde resolveremos varios tipos de ecuaciones.

4.1 Introducción En esta unidad manejaremos con soltura todo tipo de expresiones algebraicas: conjun-to de letras, llamadas variables, y de números unidos mediante operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). La Geometría, por ejemplo, está llena de expresiones algebraicas: perímetro de una circunferencia, área de un triángulo, volumen de una pirámide, área de la corona circu-lar...

2P rπ= ; 2bhA = ;

13

V Bh= ; 2 2A R rπ π= − ... En general, no pondremos el signo de la multiplicación entre letras, ni entre letras y números.

4.2 Valor numérico de una expresión algebraica Es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión algebraica por núme-ros determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión. Ejercicio 1 Halla el valor numérico de la siguiente expresión algebraica:

2 4) 1; 2; 32

, para b b aca x a b ca

− ± −= = = − = −

)b El mismo pero con 3c = :

)c El mismo pero con 1c = :


74

Ejercicio 2 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

( ) 2 2 3 1) , 5 3 2 2 4 22 2

, para e a P x y x y xy xy x y x y= + − + − + = = −

( ) ( )( )( )2

3 2) , 1 2

2 2 3, para e

x yb Q x y x y

x x y−

= = − =− + −

( ) ( )2 23 3 2 3 4) , , 1 2

5 2 2 3 para y a b b a a bc R a b a b

a b a b a b− − −

= + − = − =+ + +

( )22

) , , 2; 2xy y

d S x y x yxy

−= = =

− para

Ejercicio 3 Halla el valor numérico de la siguiente expresión que proporcional el área de la corona circular, sabiendo que el radio menor es cmr 3= y el radio mayor es cmR 7= :

( )22 rRA −= π

4.3 Operaciones con polinomios Tal y como hemos indicado, varios apartados de esta unidad son un repaso de los con-tenidos vistos el año pasado. Haremos ejercicios para recordar las operaciones de su-ma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios.


75

Ejercicio 4 Realiza las siguientes operaciones:

2 2) 3 2 5 3a x x x x+ + − =

2 2 2 2 2) 5 4 3 2b x y x xy x y xy+ + − − =

3 2 3 21 2 1 2)3 3 6 3

c xy x y xy x y+ − + =

2 2 2 2) 2d ax by x by− + + =

) 5 23be b b+ − =

5)

11f zy zy+ =

Ejercicio 5 Efectúa los productos y simplifica cuando sea posible:

( )( )3 2) 7 5 2 2 5 1a x x x x− + + − =

( )( )( )) 2 2 3b x x x− + − =

( )( )3 2 2) 4 2 1 3c x x x x− + − + =

( )( )4 3 2 2) 2 3 2 3 1d x x x x x x− + + − + − =

( )( )4 3 2) 3 3 4 2 2 5e x x x x x− + − + − =


76

Ejercicio 6 Resuelve las siguientes divisiones:

( ) ( )3 2 3) 3 : 12a abc ab c =

3 2

2

25)5

x yzbxy z

=

( ) ( )2 2) :c mn m n =

( )2 25) :2xd x z⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 3

4

3)6b aeba

=

)3

2 3

155

x yfxy z

=

)3 5 4

2 2

147

x y zgx y z

=

Ejercicio 7 Dividir los siguientes polinomios:

)2 3 4 28 4 2

2a bc a b c abca

ab− +

=

) ( )3 212 9 3 :3b x x x x− + =

Ejercicio 8 Haz las siguientes divisiones:

) 4 2 22 7 5 2 2 1a x x x x x− + − + −

(Sigue → )


77

Ejercicio 9 (Continuación) ) 4 3 23 5 2 3 3 2b x x x x x+ − + − + ) 3 24 6 4c x x x+ + −

) 4 3 2 26 5 7 3 2 2 3 1d x x x x x x+ − + + + −

4.4 Regla de Ruffini

Paolo Ruffini (1765-1822), matemático y médico italiano. En realidad, se trata de otra operación sobre polinomios; en concreto, se trata de divi-siones especiales, pero, dada su importancia (sobre todo para el tema que viene), hemos decidido dedicarle un apartado exclusivo. Para poder hacer estas divisiones por este procedimiento o por la regla de Ruffini (en adelante, sólo diremos “por Ruffini”), el divisor debe tener, obligatoriamente, esta forma: ±x a


78

Ejercicio resuelto

Realiza esta división por el método de Ruffini: ( ) ( )3 25 3 : 2x x x+ − − Paso 1: se monta la estructura de Ruf-fini. Se coloca como divisor, -a, y los coeficientes del dividendo.

Paso 2: se baja el coeficiente del término principal y se multiplica por “-a”. El resultado se suma con el coeficiente de 1 grado menor

Paso 3: se repite el proceso hasta obte-ner el resto

Ejercicio 10 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

( ) ( )4 3) 5 3 8 : 2a x x x x− + + −

( ) ( )4 3 2) 6 7 4 : 5b x x x x+ + − +

(Sigue → )


79

(Continuación)

( ) ( )3) 5 25 : 1c x x x+ + −

( ) ( )6 5 4 3 2) 2 6 4 14 11 16 3 : 3d x x x x x x x− − + − + − −

( ) ( )4 2) 5 3 : 1e x x x x+ + +

4.5 Factor común Ya sabes que es una operación muy habitual en Matemáticas: se usa en ecuaciones, en simplificación de expresiones, en funciones... Una forma de entender qué hace esta operación es que buscamos productos donde sólo hay sumas y restas. Ejercicio 11 Extrae factor común:

5 2 3 4 2 3 3) 2 4 6a a bc a b c a bc− + =

2 2 2 2)b ax b x ay b y− + − =

2 2) 15 20c x y x z− =

3 2) 8 6d xy xy xy+ − =

(Sigue → )


80

(Continuación)

2 2 2) 6 10 2 2 4e z yz z z y z+ − + − =

4 3 5 2 2 2 3) 12 6 18 6f x y x y x y y x− + − =

2 2 2 3) 3 6 9g x y xy x y+ − =

5 3)2 5 7a ah a+ − =

1)

2 3abci ab ab− + − =

) 8 10 6j a b c+ − =

3 2) 2 7k ab b ba+ − =

( ) ( ) ( )2) 7 2 5 2 3 2l x x x x x+ − + − + =

4.6 Identidades notables Todo lo que nos ahorre trabajo, es bueno. Para unas cuantas expresiones algebraicas (por desgracia, no muchas), existen unas fórmulas que nos permiten economizar es-fuerzos a la vez que evitan los frecuentes errores que se producen en el cálculo alge-braico.

Cuadrado de la suma de dos monomios ( )2 2 22a b a ab b+ = + +

Cuadrado de la diferencia de dos monomios ( )2 2 22a b a ab b− = − +

Suma por diferencia de dos monomios ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

Cuidado: un error muy frecuente es aplicar mal una propiedad de las potencias. Ten en cuenta que:

( )2 2 2a b a b+ ≠ +

El siguiente enlace puede ayudarte a “visualizar” estas fórmulas: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/notables.htm


81

Ejercicio 12 Desarrolla las siguientes identidades notables:

( )( )) 4 3 4 3a x y x y− + =

( )22) 2 5b x y+ =

( )2) 3c x y− =

( )2)d y x− =

)2 2x xe y y⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2

21) 24

f x y⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )2 2) 2 2g a x y a x y− + =

( )2) 1+ =h a

( )2) 2 3+ =i a

( )2) 2− =j x y

( )2) 3 3+ =k

Ejercicio 13 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, o bien como producto de una suma por una diferencia:

=++ 2510) 2 xxa =+− 12) 2 xxb

=−116) 2xc 2) 9 25d x − =

2) 4 12 9e x x− + = 2) 4 4f x x+ + =

2 2) 9 12 4g x xy y− + = 4 1)

4h x − =

4 2 1)4

i x x+ + = 4 3 2) 2j x x x− + =


82

4.7 Divertimento matemático: salto del caballo En este cuadrado, todas las líneas horizontales y verticales suman 260. Ve averiguando los valores de las letras que aparecen: x, y, t, u... Cuando conozcas todos (o algunos) de los números, si empiezas en la casilla donde esté el 1, los siguientes naturales, hasta el 64 irán apareciendo si sigues los movimientos del caballo en el juego del ajedrez.

Más información:

descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/index.htm

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 5: Ecuaciones

83

No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela. Albert Einstein (físico estadounidense de origen alemán, 1879-1955)

Unidad 5: Ecuaciones


84


85


Unidad 5: Ecuaciones....................................................................................................87

5.1 Ecuaciones de primer grado ................................................................................87 5.2 Ecuaciones de segundo grado: tipos ...................................................................90

5.2.1 Completas .....................................................................................................90 5.2.2 Incompletas: sin término de primer grado .....................................................92 5.2.3 Incompletas: sin término independiente ........................................................93

5.3 Ecuaciones factorizadas ......................................................................................94 5.4 Ecuaciones bicuadradas ......................................................................................94 5.5 Ecuaciones con raíces .........................................................................................96 5.6 Divertimento matemático: Frutas .......................................................................100 Hoja de trabajo: Ecuaciones de primer, segundo grado y bicuadradas ...................101


− Resolver ecuaciones de primer y segundo grado (repaso)

− Resolver ecuaciones polinómicas (por factorización)

− Resolver ecuaciones bicuadradas

− Resolver ecuaciones con raíces


− Asociar la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones con situaciones que contemplen contenidos propios del ámbito de las ciencias experimentales (C2 y C3).

− Sintetizar los contenidos de la unidad para resolver actividades que posterior-mente puedan ser expuestas al resto de los alumnos para desarrollar el sentido crítico, el sentido de la responsabilidad y las habilidades sociales (C2, C7 y C8).


86


− Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, completas e incompletas

− Resuelve ecuaciones bicuadradas, ecuaciones irracionales y ecuaciones senci-llas de grado superior a 2


− Ecuación, incógnitas, grado

− Solución o raíz de una ecuación

− Ecuación de primer y segundo grado

− Discriminante

− Ecuación de segundo grado incompleta

− Ecuaciones bicuadradas

− Ecuaciones radicales

− Ecuaciones factorizadas


− Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado

− Resolución de ecuaciones de tercer grado que carecen de término indepen-diente

− Resolución de ecuaciones bicuadradas

− Resolución de ecuaciones con raíces

− Resolución de ecuaciones sencillas por factorización


87

Unidad 5: Ecuaciones

Un objetivo muy importante para 4º de ESO es que sepas resolver cualquier ecuación de primer y segundo grado. Aquí tienes una nueva oportunidad para aprenderlas o repasarlas. Además apren-deremos otros tipos de ecuaciones que no presentan demasiadas dificultades, ya que sólo es necesario seguir los pasos que te ire-mos indicando.

5.1 Ecuaciones de primer grado En la resolución de ecuaciones conviene seguir un orden: facilita la tarea, y evita que cometamos errores. Pasos para resolver ecuaciones de 1er grado:

1. Quitar denominadores 2. Quitar paréntesis 3. Agrupar y simplificar los términos del mismo grado 4. Pasar a un miembro los términos en x y al otro los números 5. Despejar la x 6. Comprobar la solución

Toda ecuación de 1er grado tiene siempre una única (o ninguna) solución

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: ( )( )

4421

336 2xxxx

=+−

+−

1. Quitar denominadores: [ ] 124,4,3... =mcm IMPORTANTE: NO DEBEMOS APLICAR EL M.C.M. COMO SI FUERA UNA SUMA O RESTA DE FRACCIONES. AHORA HAY UNA ECUACIÓN, Y DE-BEMOS MULTIPLICARLA, A AMBOS LADOS, POR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO QUE ACABAMOS DE CALCULAR.

( ) ( )( ) ;4

124

2133612

2xxxx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

( ) ( )( ) ;3

42112

33612 2xxxx

=+−

+−

( ) ( )( ) ;3213364 2xxxx =+−+− Así conseguimos eliminar los denominadores.

2. Quitar paréntesis: ( ) ;32231224 22 xxxxx =−−++−

;36331224 22 xxxx =−++− 3. Agrupar y simplificar los términos del mismo grado

;33918 22 xxx =+− ;0918 =− x 4. Pasar a un miembro los términos en x y al otro los números: ;918 x=

5. Despejar la x: 18 ; 29

x x= = (Sigue → )


88

6. Comprobar la solución: ( )( )

42

42212

3236 2

=+−

+⋅−

; 44

441

30

=⋅

+ 110 =+

La solución 2x = sí es correcta.

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de 1er grado:

( ) ( ) 62312) +=−−+ xxxa COMPROBACIÓN:

421

232) xxb +=

−; (una forma muy sencilla de eliminar los denominadores cuando

sólo tengamos dos fracciones es aplicar el proceso de “multiplicar en cruz”) COMPROBACIÓN:

563

325) xxc +

=+

COMPROBACIÓN:

( )[ ] ( ) ( )[ ]5237261253) +=++− xxxd COMPROBACIÓN:

(Sigue → )


89

(Continuación)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− xxxe 2

34

31

94

61

2352)

COMPROBACIÓN:

( )[ ] ( ) ( )5295362434) +=−−+ xxxf COMPROBACIÓN:

( )4

131

312

223) +

−=−

−+ xxxg

COMPROBACIÓN:

231263

35

235) xxxxh −

−=+−+

++

−

COMPROBACIÓN:


90

5.2 Ecuaciones de segundo grado: tipos

5.2.1 Completas Si los tres coeficientes son distintos de cero, tendremos la ecuación completa, y se re-suelve, como sabes, mediante la siguiente fórmula:

aacbbx

242 −±−

=

Para poder aplicar esta fórmula, es imprescindible que la ecuación esté igualada a ce-ro. Si no lo estuviera, deberás provocarlo tú, pasando a un lado de la ecuación todo lo que sea necesario. Ejemplos:

432 =− xx 0432 =−− xx

223 xx −=+− 0322 =−+ xx

Recomendaciones para usar esta fórmula sin que te equivoques: − Debes interpretar el signo negativo de la primera b como “se le cambia el signo

a lo que valga b”. Ejemplo: si b = 5, tendrás que poner -5; si b = -3 deberás po-ner 3.

− El doble signo ± que hay delante de la raíz está para que no se te olvide que una raíz cuadrada tiene siempre dos soluciones. Por ejemplo

525 ±= . − Fíjate que el coeficiente b que está dentro de la raíz − El coeficiente a aparece dos veces en la fórmula. Es muy conveniente que sea

positivo, y eso siempre lo puedes conseguir.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación completa: 0322 =−+ xx ; Al tratarse de una ecuación completa, aplicamos la fórmula:

( )2

422

1622

124212

31442 ±−=

±−=

+±−=

⋅−⋅⋅−±−

=x ;

las soluciones son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=−−

=

==+−

=

326

242

122

242

2

1

x

x1

2

1

3

x

x

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩

COMPROBACIÓN:

Para 11 =x 032131212 =−+=−⋅+

Para 31 −=x ( ) ( ) 03693323 2 =−−=−−+− Las soluciones son correctas.


91

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

0149) 2 =+− xxa

034) 2 =++ xxb

02062) 2 =++ xxc

0168) 2 =+− xxd

0106) 2 =+− xxe

096) 2 =++ xxf

02510) 2 =+− xxg

( ) 032) 2 =−xh

xxi 352) 2 =+−

054) 2 =+− xxj


92

5.2.2 Incompletas: sin término de primer grado

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación incompleta:

0492 =−x ; vemos que 0=b ; se trata de una ecuación de 2º grado incompleta, le falta el término en x. Despejamos x, para ello, la dejamos sola en un lado de la ecuación y luego aplicamos raíces en ambos miembros:

492 =x ; 492 =x ; 7x = ± La comprobación es inmediata.


025) 2 =−xa

722) 2 =xb

0182) 2 =−xc

0182) 2 =+xd

065) 2 =−xe

0483) 2 =+− xf


93

5.2.3 Incompletas: sin término independiente

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación incompleta: 082 =− xx ; Sacamos factor común: ( ) 08 =−xx ; Si un producto da como resultado cero, es porque uno de los factores

debe ser cero.

Es decir, ⎩⎨⎧

=−=

08:0:

xceroesfactorsegundoeloxceroesfactorprimerelo

, y de ahí obtenemos las dos solu-

ciones de la ecuación:

⎩⎨⎧

=−=

080

xsixsi

⎩⎨⎧

==

80

2

1

xx

La comprobación, de nuevo, resulta inmediata.


0217) 2 =− xxa

( ) 045) =+xxb

027) 2 =− xxc

22 264) xxxd =−

05) 2 =+ xxe

05

3)2

=− xxf


94

5.3 Ecuaciones factorizadas La siguiente ecuación está factorizada: ( )( )( ) 0231 =−+− xxx Ejercicio 5 ¿Qué soluciones tiene esa ecuación? ¿Qué números consiguen que los paréntesis se-an cero? Ejercicio 6 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( )( ) 0532) =−+− xxxa

( ) ( ) 02121) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⋅+⋅ xxxxb

( )( ) 05232) =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + xxxc

5.4 Ecuaciones bicuadradas Corresponden con este tipo de ecuación: 024 =++ cbxax Ejercicio 7 Fíjate bien en la ecuación tipo y escribe sus características principales. ¿Qué elemen-tos pueden faltar y cuáles no? Para resolver estas ecuaciones aprenderemos aquí una nueva técnica: el cambio de variable. El procedimiento es como sigue:

1. Se hace un cambio de variable, x2 = z; lógicamente, x4 será sustituido por ______

2. Con este cambio se transforma la ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado normal, que se resuelve por los procedimientos que ya cono-cemos.


95

3. Esta operación nos dará (en general) dos soluciones, pero soluciones de z,

no de x que era nuestra variable original; por tanto, hay que deshacer el cambio de variable hecho en el paso 1.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada: 03613 24 =+− xx

1. Hacemos el cambio: zx =2 y lo aplicamos: 036132 =+− zz 2. Tenemos una ecuación de 2º grado completa que resolvemos con la fórmula general:

2513

22513

1236416913 ±

=±

=⋅

⋅−±=z cuyas soluciones son: 4;9 21 == zz

3. Deshacemos el cambio: zx =2 Si 9=z y zx =2 , entonces ;92 =x con lo que ;9=x 3±=x Si 4=z y zx =2 , entonces ;42 =x con lo que ;4=x 2±=x

Soluciones: 1 2 3 43 ; 3 ; 2 ; 2x x x x= = − = = − Ejercicio 8 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

0910) 24 =+− xxa

04174) 24 =+− xxb

(Sigue → )


96

(Continuación)

0753) 24 =− xxc

209) 24 −=− xxd

09374) 24 =+− xxe

5.5 Ecuaciones con raíces Es importante distinguir qué es una ecuación con raíces y qué no lo es. Ejercicio 9 Aparentemente, estas ecuaciones son irracionales; ecuaciones con raíces. Pero hay tres intrusas. Marca con una X las ecuaciones con raíces:

21311 =+++ x xx 2216 =−+

21352 xx −=++ 21

41=−+ xx

3 341 xxx ⋅=+ xxx213 2 =−+

xx −=−+ 1352 18362 =−+ xx


97

La resolución de este tipo de ecuaciones resulta muy sencilla, ya que sólo deberemos seguir cuatro pasos: 1er paso: se aísla la raíz (si hay mas de una, comenzamos por la que presente más difi-cultad). Esto quiere decir que debemos dejarla “sola” en un miembro de la ecuación, y “pasar” al otro lado simplificando, si podemos, todo lo demás. Es muy importante que la raíz quede positiva. 2º paso: se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Como ya te imaginas, si elevamos al cuadrado una raíz, ésta desaparece. En el otro miembro tendremos una expresión elevada al cuadrado que se desarrolla. 3er paso:

- si con la operación anterior hemos conseguido eliminar la raíz (que era el pro-blema) se agrupan los términos y se resuelve la ecuación resultante;

- si por el contrario, aún queda alguna raíz en la ecuación, se vuelve a aplicar los dos pasos anteriores.

4º paso: se comprueban las soluciones. En este tipo de ecuaciones es IMPRESCINDI-BLE comprobar que las soluciones encontradas verifican la ecuación original.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación con raíces: 3223 +−= xx

1er paso: se aísla la raíz (conseguimos que quede positiva dejándola a la izquierda).

3232 −=+ xx (No hay ningún término que pueda agruparse, es decir, no se pue-de simplificar). 2º paso: se eleva a cuadrado ambos miembros de la ecuación:

( ) ( )223232 −=+ xx ; En el miembro de la izquierda desaparece la raíz. En el lado

derecho hay un binomio al cuadrado que desarrollamos:

;912432 2 +−=+ xxx ; 3er paso: ya no hay raíces; se agrupan los términos y se resuelve la ecuación resultante:

;61440 2 +−= xx Se trata de una ecuación completa de 2º grado. Dividimos por dos toda la ecuación (este paso es opcional, pero conveniente; la ecuación queda más simplificada):

;3720 2 +−= xx Al aplicar la fórmula de resolución de las ecuaciones de 2º grado

completas, obtenemos dos resultados provisionales: 1 213 ; ;2

x x= =


98

Ejercicio resuelto (continuación)

4º paso: se comprueba si cada solución verifica la ecuación original:

Comprobación para ;31 =x Comprobación para ;21

2 =x

;332323 +⋅−⋅=

;3663 +−=

;963 −= ;363 −=

;33 =

;3212

2123 +⋅−⋅=

;3113 +−=

;413 −= ;213 −= ;13 −≠

Por lo tanto, la única solución correcta de la ecuación es 1 3x =

Ejercicio 10 Resuelve las siguientes ecuaciones:

xxa =+ 2)

xxb 2216) =−+

) 6 1 1c x x+ + =

(Sigue → )


99

(Continuación)

) 1 1 13 2d x+ + + =

) 2 5 13e x x+ − = −

) 4 5 2f x x+ = +

) 7 2 4 2 3g x x x+ = + + +

2) 2 64 2h x x− + =


100

5.6 Divertimento matemático: Frutas Averigua el valor de las frutas. Pista: todos los valores de las frutas van del 1 al 9 sin repetir ninguno. Fíjate que debe ser sencillo puesto que hay 9 incógnitas pero tienes

¡¡¡12 ecuaciones para elegir!!!

Cada vez que averigües el valor de una fruta ponlo en la casilla correspondiente. Solución:

= = = =

=

= = = =

Direcciones web: - descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/inicio.htm - vitutor.com/4_eso_a.html - juntadeandalu-cia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/index.htm

http://www.vitutor.com/4_eso_a.html�


101

Hoja de trabajo: Ecuaciones de primer, segundo grado y bicuadradas Nombre: _______________________________________ Núm: _____ Curso: ______ 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado

) 3 1 4 4215 5 3x x xa − − +

+ + = Solución: 3x =

) 5 7 3 9 2 4 52 4 3

x x xb + + +− = + Solución:

6113

x =

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado

)a 23x +11x - 4 = 0 Soluciones: 1 21 , 43

x x= = −

) 22 6 0b x x− − + = Soluciones: 1 232,2

x x= − =

) 22 0c x x+ = Soluciones: 1 210,2

x x= = −

) 23 27 0d x − = Soluciones: 1 29, 9x x= = −

) 2e 3 6 0x x− = Soluciones: 1 20, 2x x= =

) 2 49 0f x − = Soluciones: 1 27, 7x x= = −

) 2g 2 32 0x − = Soluciones: 1 24, 4x x= = −


102

3. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. Recuerda comprobar las solucio-nes.

) 4 2 600 0a x x− − = Soluciones: 1 25, 5x x= = − ) 4 226 25 0b x x− + = Soluciones: 1 2 3 45, 5, 1, 1x x x x= = − = = −

) 4 224 25 0c x x− − = Soluciones: 1 25, 5x x= = −

) 4 24 37 9 0d x x− + = Soluciones: 1 2 3 431 31 4 2 4 2, , ,4 4 3 33 3

x x x x= = − = = = − = −

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 6: Geometría básica

103

Que ningún ignorante de la Geometría cruce mi puerta Platón (filósofo griego, 427 a.C. – 347 a.C.)

Unidad 6: Geometría

básica


104

Mauritis Cornelius Escher nació Leeuwarden, Holanda, en el año 1898.

Artista de gran prestigio famoso por “crear” mundos de “imposible construcción”


105


Unidad 6: Geometría básica ........................................................................................107

6.1 Fórmulas usadas en geometría plana................................................................107 6.2 Elementos básicos de geometría en el espacio.................................................108 6.3 Recordatorio del uso de unidades .....................................................................110 6.4 Cálculo de longitudes.........................................................................................110 6.5 Áreas de figuras planas .....................................................................................113 6.6 Áreas y volúmenes de figuras en el espacio......................................................119


− Aplicar el teorema de Pitágoras para medir longitudes

− Utilizar las unidades correctas según el estudio que se realice

− Utilizar fórmulas usuales para obtener longitudes, áreas y volúmenes sencillos

− Calcular perímetros, distancias, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos compuestos

− Utilizar la terminología y notación específica de los cuerpos geométricos


− Aplicar el teorema de Pitágoras a la obtención de medidas de longitudes y áre-as de figuras poligonales y circulares para resolver problemas geométricos y del medio físico (C2, C3, C7, C8).

− Reconocer y describir distintos lugares geométricos por las propiedades que verifican y apreciar la aportación de la geometría a otros ámbitos del conoci-miento humano como el arte o la arquitectura (C1, C2, C3, C6).

− Reconocer la aportación de la geometría a otros campos del conocimiento co-mo la arquitectura, el arte o la geografía. (C2, C3, C6)

− Investigar y detectar las diferentes formas geométricas en objetos cotidianos y en la naturaleza (concurso de fotografía Matemática). (C2, C7)


106


− Distingue los elementos básicos de poliedros y cuerpos redondos y clasificarlos

− Identifica las relaciones métricas en poliedros y cuerpos redondos aplicando el teorema de Pitágoras

− Obtiene el área lateral, área de las bases y área total de poliedros y cuerpos redondos

− Calcula el volumen de los cuerpos geométricos básicos o compuestos

− Resuelve situaciones problemáticas en las que intervengan poliedros y cuerpos redondos

− Calcula áreas y volúmenes de esferas y figuras esféricas


− Longitudes y áreas de figuras planas

− Poliedros regulares, prismas y pirámides.

− Áreas de poliedros, cilindros, conos...

− Volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, troncos de pirámides, conos, tron-cos de cono.

− Perímetros, áreas y volúmenes de figuras compuestas


− Identificación de los diferentes tipos de poliedros y cuerpos redondos según sus características

− Determinación de las propiedades métricas y aplicación del teorema de Pitágo-ras para relacionar los distintos elementos de los cuerpos geométricos

− Incorporación de la terminología y notación específica de cuerpos geométricos

− Determinación de perímetros, distancias, áreas y volúmenes de cuerpos ge-ométricos elementales y compuestos


107

Unidad 6: Geometría básica

Con este tema comienza el segundo bloque de la asignatura. Re-pasaremos conceptos a base de ejercicios. Calcularemos longitu-des, áreas de figuras planas, y áreas y volúmenes de figuras en el espacio.

6.1 Fórmulas usadas en geometría plana

Áreas de figuras planas poligonales


108

Áreas de figuras planas circulares

6.2 Elementos básicos de geometría en el espacio Cono: cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

( )rgrrgrA

+⋅=⋅+⋅⋅=

=+=

πππ 2

baseáreacircular sectorÁrea

hrhA

V

base ⋅⋅=⋅=

=⋅=

2

31

31

31

π

alturabaseÁrea


109

Cilindro: cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

( )rgrrgrA

+⋅=⋅+⋅⋅=

=+=

πππ 222 2

baseárea 2lateralÁrea

hr

hAV base

⋅⋅=

=⋅=⋅=2π

alturabaseÁrea

Esfera: cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

24A rπ= ⋅

3

34 rV ⋅= π

Prismas: son poliedros que tienen dos bases que son polígonos iguales y caras late-rales que son paralelogramos.

basebase AhPA

⋅+⋅==+=

2base Área2lateral Área

hAV base ⋅=⋅= alturabaseÁrea


110

Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos (lados). Paralelogramo: polígono de cuatro lados paralelos entre sí dos a dos. Poliedro: cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos (caras).

Pirámides: son poliedros que tienen una sola base que es un polígono cualquiera y ca-ras laterales que son triángulos con un vértice común.

basebase

base AaPAalA

+⋅

=+⋅

=

=+=

22lados núm.

base Árealateral ÁreahAV base ⋅=⋅=

31

31 alturabaseÁrea

6.3 Recordatorio del uso de unidades

Unidades Ejemplos Longitudes: perímetros, lados, hipotenusas, radios, alturas...

Áreas

Volúmenes

6.4 Cálculo de longitudes

Ejercicio 1 El lado de un triángulo equilátero mide 8 cm. Halla la altura:


111

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

hipotenusa 13 3 39 8

cateto 1 9 1 8 21

cateto 2 12 12 15 28

Ejercicio 3 La diagonal de un cuadrado es 15 cm. Halla el lado:

Ejercicio 4 La diagonal de un rectángulo mide 15 cm y un lado es doble que el otro. Halla los la-dos:


112

Ejercicio 5 Calcula el perímetro de la figura (radio = 10 cm): Ejercicio 6 Un punto A exterior a una circunferencia dista de ella 14 cm y la tangente trazada des-de dicho punto mide 20 cm. Halla el radio de la circunferencia:

Ejercicio 7 Los lados iguales de un trapecio isósceles miden 25 cm, y las bases 20 cm y 50 cm. Halla la altura:

20 cm

50 cm

h

x

25 cm


113

6.5 Áreas de figuras planas

Ejercicio 8 En medio de una parcela cuadrada se ha construido una casa de planta también cua-drada. Si la distancia entre la casa y el límite de la propiedad es de 3 m y el área no ocupada por la casa es de 180 m2, halla el área de la parcela:

Ejercicio 9 Halla el área de un triángulo equilátero de 6 m de altura:

Ejercicio 10 Halla el área de un triángulo isósceles de 24 m de perímetro y 6 m de lado desigual: Ejercicio 11 La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 15 dm y la hipotenusa mide 28 dm. Halla su área:

x 3 m

6 m

h


114

Ejercicio 12 Los lados de un trapecio isósceles miden 13, 5, 19 y 5 cm, respectivamente. Halla su área:

Ejercicio 13 En un trapecio rectángulo las bases miden 16 y 22 cm y el lado oblicuo, 10 cm. Halla su área:

Ejercicio 14 Calcula los valores que faltan y que están señalados con una letra:


115

Ejercicio 15 La superficie de una corona circular es de 46’38 cm2 y el radio mayor mide 11 cm. Halla la anchura de la corona: Ejercicio 16 Halla el área y el perímetro de la siguiente figura. Los diámetros están en cm:

Ejercicio 17 Sabiendo que el radio de cada círculo es un metro, halla el área sombreada:


116

Ejercicio 18 Cada círculo tiene 3 cm de radio. Halla el área de la región interior:

Ejercicio 19 Halla el área de las siguientes figuras: (radio figura c= 8 m) Ejercicio 20 Halla el área de la figura sombreada, constituida por tres semicírculos, dónde la distan-cia AB es de 15 cm y la distancia BC es 6 cm.

a)

b)


117

Ejercicio 21 Halla el área de la figura sombreada, si el lado del cuadrado es 16 cm.

Ejercicio 22 Halla el área de la figura sombreada, siendo OA = 10 cm y los radios de la corona cir-cular R = 5 cm y r = 4 cm.

Ejercicio 23 Halla el área de la figura sombreada (radio mayor: 6 cm, radio menor: 2 cm)


118

Ejercicio 24 La figura representa una finca. Sabiendo que el metro cuadrado será vendido a 1200 €, ¿qué precio tendrá la finca?:

Ejercicio 25 Calcula el área de la siguiente figura. Transfórmala previamente en otra cuya área sea más fácil de calcular.


119

Ejercicio 26 Halla el área:

6.6 Áreas y volúmenes de figuras en el espacio

Ejercicio 27 Calcula el área total y el volumen de un prisma recto de base un hexágono regular de 5 cm de lado y 4 cm de altura:


120

Ejercicio 28 Calcula el área total y el volumen de un prisma recto de base pentagonal regular de 6 cm de lado, 5’2 cm de apotema y 11’5 cm de altura: Ejercicio 29 Calcula el área total y el volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 20 cm de arista, 40cm de arista lateral:

Ejercicio 30 Calcula el área total y el volumen de una pirámide regular de base hexagonal regular de radio 12 cm y de 20 cm de altura:


121

Ejercicio 31 Separa, indicando el nombre, los siguientes cuerpos compuestos en cuerpos simples:

Ejercicio 32 Calcula el volumen del siguiente recipiente: radio grande: 20 cm radio pequeño: 10 cm altura: 1 dm


122

Ejercicio 33 Se desea fabricar un contenedor de vidrio con material plástico. El contenedor tendrá forma de cilindro de radio 1 m, rematado en su parte superior por una superficie semi-esférica. La capacidad del contenedor debe ser de 5’23 m2. ¿Qué cantidad de plástico se necesitará?

Ejercicio 34 Halla el volumen:

Dirección web para comprender de dónde salen algunas de las fórmulas usadas en Geometría recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/areas.htm Otra dirección: descar-tes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Figuras_geometricas_del_plano/Indice_de_figugeo.htm

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 7: Trigonometría básica

123

Las abejas..., en virtud de una cierta intuición geométrica..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo,

y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material. Papus de Alejandría (Matemático griego, 284-305)

Unidad 7: Trigonometría

básica


124

Direcciónes web para más información: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Indice_razones_trigonometricas.htm


125


Unidad 7: Trigonometría básica...................................................................................127

7.1 Introducción .......................................................................................................127 7.2 Medida de ángulos.............................................................................................127 7.3 Razones trigonométricas ...................................................................................128 7.4 Uso de la calculadora.........................................................................................129 7.5 Relaciones trigonométricas fundamentales .......................................................130 7.6 Ángulos notables ...............................................................................................131

7.6.1 Reglas nemotécnicas ..................................................................................132 7.7 Resolución de problemas...................................................................................132 7.8 Apéndice: alfabeto griego ..................................................................................134


− Conocer y utilizar grados y radianes en las operaciones

− Realizar cálculos trigonométricos

− Calcular distancias y ángulos en triángulos rectángulos

− Usar la terminología específica de la trigonometría

− Utilizar con soltura la calculadora con operaciones trigonométricas


− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una ar-gumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigo-nométricos (C1 y C2).

− Aprender a utilizar el lenguaje matemático en la resolución de problemas utili-zando la trigonometría y valorar su utilidad en situaciones de la vida cotidiana y otras ciencias (C1, C2 y C3).

− Desarrollar estrategias personales para decidir de forma autónoma cómo resol-ver triángulos por el criterio o teorema más apropiado para cada caso concreto (C2, C7 y C8).

− Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).

− Las técnicas de trabajo que los alumnos deben aplicar, así como su responsa-bilidad, perseverancia, creatividad y autocrítica en el momento de realizarlo, llevan a las competencias para aprender a aprender (C7), y a la autonomía e iniciativa personales (C8).


126


− Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo

− Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cual-quiera de ellas

− Conoce las relaciones fundamentales

− Aplica el cálculo de razones trigonométricas a la resolución de problemas rela-cionados con las matemáticas, las otras ciencias o la vida cotidiana


− Grados, minutos y segundos como unidades de medida angular. Radianes

− Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo

− Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo

− Ángulos notables

− Relaciones fundamentales de la Trigonometría


− Expresión de la medida de un ángulo en radianes (grados sexagesimales) cuando se conoce su medida en grados sexagesimales (radianes)

− Cálculo de las razones trigonométricas ángulos agudos de un triáng. rectángulo

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo utilizando la calculadora científica

− Cálculo del valor de un ángulo mediante la calculadora científica y conociendo una de sus razones trigonométricas

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas


127

Unidad 7: Trigonometría básica

Utilizada, básicamente, para el cálculo de distancias, la trigono-metría es un conjunto de fórmulas que nos permitirán resolver muchos problemas con aparente difícil solución (altura de una cometa, altura de las pirámides, distancias entre estrellas... ).

7.1 Introducción Como ya sabes metría es un sufijo que significa medida o medición. También conoces que tri es un prefijo que significa tres. Pero quizá no conozcas que gono significa ángulo (polígono, octógono). Así pues, la trigonometría es el estudio (medidas) de los elementos de un triángulo.

7.2 Medida de ángulos Se utilizan fundamentalmente dos unidades: el grado sexagesimal, y el radián. En este curso utilizaremos la primera, por ser más sencilla y conocida, pero ten en cuenta, en el Bachillerato se utilizarán, preferentemente, los radianes. Grado sexagesimal Es el arco que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes. Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos. Radián Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia entre su radio.

longitud 2 2

radior rad

rπ π= =

Relación entre ambas unidades Una circunferencia tiene 2 radπ , es decir:

2 360ºradπ = , o bien 180ºradπ = , o bien 90º2

radπ=

Ejemplo: ¿cuántos radianes son 200°? 10200 200 3'49

180º 9rad rad radπ π

° = ° = ≅

Ejercicio 1 Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:

) 180a ° =

) 305b ° =

) 45c ° =


128

Ejercicio 2 Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:

)a radπ =

1)2

b rad =

) 1c rad =

7.3 Razones trigonométricas Dado el triángulo rectángulo superior se definen las razones trigonométricas del ángulo α :

sen cateto opuesto ahipotenusa c

α = = cos cateto contiguo bhipotenusa c

α = =

tg cateto opuesto acateto contiguo b

α = =

Ejercicio 3

Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo β : ¿Extraes alguna conclusión?

β

α


129

Ten en cuenta que las razones trigonométricas son adimensionales: no tienen unidades. Ejercicio 4 Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos α y β ):

Mira de nuevo el triángulo del ejercicio 4. Imagina que uno de los lados del triángulo fuera desconocido, ¿cómo lo solucionarías? Existe una alterativa, que pasa por utilizar sólo las razones trigonométricas, pero, para ello, es necesario utilizar la calculadora científica.

7.4 Uso de la calculadora Es fundamental que, para todos los cálculos que realicemos durante esta unidad y la siguiente, en la pantalla de tu calculadora aparezca el acrónimo: DEG, que correspon-de con la abreviatura anglosajona de degree (grados); existen otras dos formas: RAD, para los radianes, y GRAD, para grados centesimales (en un ángulo recto hay 100º). Debes localizar las teclas sen (o sin si está en inglés), cos, y tg (o tan). En general, y con la opción Shift (o INV, o 2º operador) podrás acceder a las inversas, es decir: sen-1, cos-1 y tg-1 que sirven, como veremos después, para obtener los ángulos. Te ofrecemos unos resultados “redondos“ para que puedas comprobar tus operaciones:

sen 30º 0 '5= ; tg 45º 1= ; cos 60º 0 '5= ; sen 90º 1=

¿Y si tenemos, por ejemplo 1sen 0 '52

α = = , podremos averiguar que 30α = ° ?


130

Debes utilizar la función inversa que decíamos antes:

Si 1sen 0 '52

α = = , entonces arcsen 0 '5 30α = = ° , que se lee: “alfa es el arco

cuyo seno es 0’5” Ejercicio 5 Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:

) sen 0 '5a α α= → =

3) cos2

b β β= → =

) tg 1c γ γ= → =

2) sen2

d ω ω= → =

7.5 Relaciones trigonométricas fundamentales Vamos a ver dos de ellas. Si continúas tus estudios en alguna modalidad de Ciencias, verás algunas más, y las correspondientes demostraciones:

I. 2 2sen cos 1α α+ = II. sentgcos

ααα

=

Ejercicio 6 Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

1) sentg

a xx

⋅ =

3 2) sen sen cosb x x x+ ⋅ =

2cos)1 sen

xcx=

−

(Pista: intenta que el numerador se “parezca” al denominador)


131

Ejercicio 7 Simplifica al máximo esta expresión:

( ) ( )2 2sen cos sen cosα α α α+ + − =

7.6 Ángulos notables Se trata de unos ángulos especiales que requieren un tratamiento diferenciado. Son ángulos notables: 0 , 30º , 45º , 60 90y° ° ° Teniendo en cuenta que el seno es la ordenada y el coseno es la abscisa, se deduce fácilmente que sen 0 0° = y que cos90 0° = . Para obtener (sin calculadora) las razones de 30º , 45º 60y ° nos vamos a apoyar en una escuadra y un cartabón: Ejercicio 8

Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 30º 60y ° (sin calculadora): Ejercicio 9 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 45º (sin calculadora):


132

7.6.1 Reglas nemotécnicas A fin de recordar las razones trigonométricas de los ángulos notables podemos utilizar las siguientes reglas:

ángulo 0° 30° 45° 60° 90°

seno 02

12

22

32

42

Ejercicio 10 Completa tú las casillas vacías:

ángulo 0° 30° 45° 60° 90°

coseno 02

tangente 04

13

7.7 Resolución de problemas Ejercicio 11 Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:

Ejercicio 12 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.

15 m

27º


133

Ejercicio 13 Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.

α 74º αsen

αcos 0’94

αtg 1’28

αcosec

αsec

αcotg

Ejercicio 14 Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa:

Ejercicio 15 Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m)


134

Ejercicio 16 Obtén la distancia x (atención: el triángulo es isósceles):

Ejercicio 17 Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el sue-lo. ¿A qué altura vuela la cometa?

7.8 Apéndice: alfabeto griego

x

6 cm 38º

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 8: Vectores

135

Lo importante es no dejar de hacerse preguntas. Albert Einstein (físico estadounidense de origen alemán, 1879-1955)

Unidad 8: Vectores


136


137


Unidad 8: Vectores ......................................................................................................139

8.1 Vectores.............................................................................................................139 8.1.1 Características de un vector........................................................................139

8.2 Componentes de un vector ................................................................................141 8.3 Operaciones con vectores .................................................................................143

8.3.1 Suma de vectores........................................................................................143 8.3.2 Resta de vectores........................................................................................144 8.3.3 Producto de un escalar por un vector..........................................................144 8.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores...........................146

8.4 Direcciones web.................................................................................................149 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Conocer los vectores: partes, formas de representación

− Operar con vectores algebraica y gráficamente

− Dominar su terminología específica


− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Comprender una argumentación, y razonar y expresarse matemáticamente cuando se resuelven problemas geométricos (C1 y C2).


138


− Efectúa operaciones con vectores interpretando los resultados

− Opera con vectores dados en coordenadas

− Utiliza el producto escalar para el cálculo de módulos y ángulos de vectores

− Obtiene el ángulo que forman dos vectores


− Vector fijo en el plano: módulo, dirección y sentido. Punto de aplicación

− Vectores equipolentes

− Vector libre en el plano

− Componentes de un vector. Coordenadas cartesianas de un punto

− Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un número real por un vector

− Operaciones de forma analítica y gráfica

− Producto escalar

− Ángulo de dos vectores


− Representación gráfica de vectores

− Determinación gráfica de la suma, resta y producto por un número real de dos vectores libres

− Expresión de un vector como suma de otros dos

− Cálculo del producto escalar de dos vectores dados por sus coordenadas car-tesianas

− Cálculo del módulo y el ángulo de un vector dado por sus coordenadas carte-sianas

− Cálculo del ángulo de dos vectores mediante la fórmula del producto escalar


139

Unidad 8: Vectores

Has estudiado muchas magnitudes (altura, masa, longitud) que se determinan con un número: se llaman magnitudes escalares. Pero hay otras (fuerza, velocidad, aceleración) que, para que queden bien expresadas, no basta con dar un número. Son las llamadas magnitudes vectoriales. En este tema aprenderemos las formas de representación de los vectores y a operar con ellos.

8.1 Vectores Vector: es un segmento orientado. Lo representaremos por AB , donde A en el origen y

B es el extremo, o por v .

8.1.1 Características de un vector

Módulo: es la longitud del vector. Se representa en entre barras, v .

Dirección: es la recta que lo contiene. Sentido: es que va del origen al extremo del vector. Otro parámetro utilizado es el punto de apli-cación del vector: Todos los vectores que ves en la figura de la derecha tienen igual módulo, dirección y sen-tido, pero distinto punto de aplicación. Este tipo de vectores se denominan vectores equipolentes. Mientras no se diga lo contrario, el punto de aplicación de un vector no será determinante, es decir, podremos mover libremente cada vector si lo creemos necesario, sin importar-nos dónde empieza o acaba. Consideraremos, por tanto, en toda la unidad, que los vectores son libres.

A

B

v


140

Ejercicio 1 a) Dibuja dos vectores con distinto módu-lo, misma dirección y mismo sentido que el vector dado:

b) Dibuja dos vectores con distinto módu-lo, misma dirección y sentido contrarios que el vector dado:

c) Dibuja dos vectores con el mismo módulo y distinta dirección que el vector dado:

d) Dibuja dos vectores con el mismo módulo, mismo sentido y distinto punto de aplicación que el vector dado:

Ejercicio 2 a) ¿El módulo de un vector, puede ser un número real negativo? b) ¿Existe algún vector sin dirección ni sentido? c) ¿Cuándo dos vectores son equipolentes? d) Dos vectores de distinta dirección, ¿pueden ser opuestos? e) ¿Cuándo un vector es nulo? f) El módulo de un vector ¿siempre es un número real positivo?


141

8.2 Componentes de un vector Observa el vector de la figura y las coordenadas cartesianas de los puntos origen y ex-tremo del mismo:

Las coordenadas del origen del vector (es decir, el punto A) son: ( )2, 2− , y las del

extremo (punto B) son: ( )5, 4 . Así, a través de sus coordenadas, queda determinado inequívocamente el vector AB , aunque existe otra forma más senci-lla de manejar esto; el vector AB tiene de componentes ( )7, 2 . Puede verse como los catetos en un triángulo rectángulo donde el vector es la hipotenusa.

Gráficamente, y partiendo del origen del vector, hemos de “avanzar” 7 unidades y “su-

bir” 2 para alcanzar el extremo, por tanto: ( )7, 2v = . Si no disponemos del vector dibujado, deberemos recurrir a la expresión analítica. Es sencillo pasar de coordenadas a componentes; sólo hay que restar las coordenadas correspondientes del extremo y del origen. Ejemplo: dadas las coordenadas ( )2, 2A = − , y ( )5, 4B = , determina las componen-

tes del vector AB :

( )( ) ( )5 2 , 4 2 7, 2AB = − − − = Ejercicio 3

Conociendo los puntos ( )2, 3A = , ( )1, 1B = − y ( )2, 4C = − , calcula las compo-nentes de los vectores:

)a AB =

)b AC =

)c CA =

)d BA =

)e CB =


142

Ejercicio 4

Halla, gráfica y analíticamente, las componentes de los vectores AB y CD :

Si nos fijamos en cómo se construye fácilmente un triángulo rectángulo a partir de un vector, deduciremos, apoyándonos en el teorema de Pitágoras, cómo obtener su módulo. Ejercicio 5

Halla el módulo de los siguientes vectores: ( )1, 2a = y ( )6, 8b = − Ejercicio 6

Dado el vector ( )5,12v = , obtén el módulo del vector. ¿podríamos averiguar la dirección, es decir, el ángulo que forma el vector con la hori-zontal, es decir, con el eje X? (pista: piensa en el tema de Trigonometría)


143

Ejercicio 7

Dados los siguientes vectores: ( )3, 0u = , ( )2,1v = , ( )2, 2w = y ( )2 '5, 2x = , ¿cuál tiene mayor módulo? Ejercicio 8

Halla las componentes del vector v sabiendo que su módulo es 5 y el ángulo que for-ma con la horizontal (eje de abscisas) es 30° :

8.3 Operaciones con vectores La mayoría de las operaciones pueden realizarse de forma analítica (basándonos en las componentes de los vectores) o de forma gráfica.

8.3.1 Suma de vectores Analíticamente: sólo hay que sumar las componentes correspondientes de los vectores:

Ejemplo: dados los vectores ( )3, 4u = y ( )4, 1v = − − , obtén su suma:

Sea s el vector suma: ( ) ( )( ) ( )3 4 , 4 1 1, 3s = + − + − = − Gráficamente: trasladamos (sólo cambia el punto de aplicación, conservándose, por tanto, módulo, dirección y sentido) el segundo vector de manera que coincida su origen con el extremo del segundo.


144

La suma es el vector que tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo. Ejercicio 9 ¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo?

8.3.2 Resta de vectores Es similar a la operación anterior. Analíticamente, cambiaremos la suma por una resta, y gráficamente, obtendremos el vector opuesto (mismo módulo y dirección, y sentido contrario) del segundo sumando y realizaremos la suma con este nuevo vector de la manera ya conocida.

8.3.3 Producto de un escalar por un vector En el ámbito de los vectores, a los números reales se les denominan escalares. Analíticamente: sólo hay que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector:

Ejemplo: dado el vector ( )8, 1v = − , obtén 2v

Sea r el vector resultado: ( ) ( )2 2 8, 1 16, 2r v= = − = − Gráficamente: multiplicaremos el módulo tantas veces como indique el escalar. La di-rección se conserva. Si el escalar es positivo, conservaremos el sentido; si es negativo, pondremos el sentido contrario.


145

Ejercicio 10

Representa los vectores ( )3, 5u = , ( )1,1v = − y ( )2, 3w = − y realiza gráficamente

las siguientes operaciones: )a u v+ , )b v w+ , )c v w− , )d u w v+ − a)

b)

c)

d)

Ejercicio 11

Dados los vectores ( )1, 3u = − , ( )4, 2v = − y ( )1,1w = calcula analíticamente las componentes de los siguientes vectores:

)a u v+ = )b w v− =

)c u v w+ − = ) 2d v u− =

) 3e w u+ = ) 5f u w v+ − =


146

8.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores Primera definición El producto escalar de dos vectores u y v se designa por u v⋅ y se obtiene del si-guiente modo:

( )cos ,u v u v u v⋅ = ⋅ ⋅

El producto escalar es conmutativo. Pese a lo que parezca, el resultado de esta operación es un número real, y, por tanto, el resultado podrá ser positivo, negativo o nulo. Ejercicio 12 Atendiendo a la definición, ¿en qué casos el producto escalar de dos vectores es nulo? Ejercicio 13

Calcula el producto escalar de los vectores u y v sabiendo que 2u = , 3v = y que

forman un ángulo de 30° . Ejercicio 14 Se sabe que el producto escalar de dos vectores no nulos es cero; ¿qué se puede decir de las direcciones de los vectores? Segunda definición Si los vectores u y v vienen expresados por sus componentes, es decir, ( )1 1,u x y= e

( )2 2,v x y= , el producto escalar se define de la siguiente forma:

(¡Ojo! se parece a una suma, pero no lo es) 1 2 1 2u v x x y y⋅ = ⋅ + ⋅


147

Ejercicio resuelto

Dados los vectores ( )2, 1u = − , ( )7, 3v = y ( )2, 4w= − , halla las siguientes opera-

ciones: )a u v⋅ ; ( ))b u v w⋅ ; )c u v v w⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )) 2, 1 7, 3 2 7 1 3 14 3 11a u v⋅ = − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2, 1 7, 3 2, 4 2, 1 5, 7 10 7 3b u v w⋅ + = − + − = − ⋅ = + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )) 11 2 2 1 4 11 4 4 11 8 3c u v u w⋅ + ⋅ = + ⋅ − + − ⋅ = + − − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

Recuerda que disponemos de dos definiciones para el cálculo del producto escalar de dos vectores. Habrás de decidir tú cuál de ellas es la más adecuada, dependiendo de los datos que tengas. Ejercicio 15

Dados los vectores ( )1, 3u = , ( )1,1v = − y ( )6, 0w= , calcula los productos escalares:

)a u v⋅ =

)b u w⋅ =

)c v w⋅ =

)d v u⋅ =

)e w u⋅ =

El producto escalar cumple, entre otras, las siguientes propiedades:

Conmutativa: u v v u⋅ = ⋅

Asociativa: ( ) ( )u v w u v w⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Distributiva del producto respecto a la suma: ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

Dicho de otro modo, los vectores se comportan como los números reales cuando los multiplicamos entre ellos.


148

Gracias a las definiciones del producto escalar podemos averiguar cuál es el ángulo que forman dos vectores.

De la primera definición podemos deducir que: ( )cos , u vu vu v⋅

=⋅

; es decir, necesita-

mos el producto escalar (numerador) y los módulos de los vectores (denominador). Así conseguiremos obtener el coseno del ángulo que forman ambos vectores, y de ahí, a través de la operación inversa (que ya conoces) podremos obtener el ángulo. Respecto al denominador, podremos obtener los módulos a través del teorema de Pitágoras; y respecto al numerador, recuerda que teníamos otra definición de producto escalar que utilizaba sólo las componentes de los vectores:

1 1 2 2u v u v u v⋅ = ⋅ + ⋅ , siendo ( )1 2,u u y ( )1 2,v v las componentes de los vectores u y

v respectivamente.

Por tanto, la fórmula inicial queda así: ( ) 1 1 2 2cos , u v u vu vu v

⋅ + ⋅=

⋅

Ejercicio resuelto

Dados los vectores ( )4, 1u = − , ( )5, 2v = , obtén el ángulo que forman: En primer lugar obtenemos el numerador, es decir, el producto escalar apoyándonos en la segunda definición:

( )4 5 1 2 20 2 18u v⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = En segundo lugar, obtenemos los módulos de los vectores:

( )224 1 17u = + − = ; 2 25 2 29v = + =

En tercer lugar, obtenemos el coseno del ángulo que forman:

( ) 18 18cos ,17 29 493

u v = =⋅

; con el fin de conservar la máxima precisión en los

cálculos, conservaremos el valor del coseno en forma de fracción simplificada. Finalmente, a través de la operación inversa obtenemos el arco cuyo coseno vale el valor hallado en el paso an-terior:

18, arccos 35'84493

u v = = °

Este tipo de operaciones pueden comprobarse dibujan-do los vectores, y averiguando el ángulo con ayuda de un transportador.


149

Ejercicio 16

Halla el ángulo formado por los vectores ( )5,12u = − y ( )8, 6v = − : Ejercicio 17

Determina el ángulo que forman los vectores ( )1, 3u = y ( )2, 4v = − :

8.4 Direcciones web Aunque muy sencillos, en estos dos enlaces podrás encontrar algunos ejercicios extras y otros ejemplos que te ayudarán a reforzar los contenidos tratados en esta unidad. http://personal1.iddeo.es/romeroa/vectores/default.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/vectores/index.html http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/vectores.htm http://www.educaplus.org/modules/wfsection/viewarticles.php?category=4

http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/vectores.htm�

http://www.educaplus.org/modules/wfsection/viewarticles.php?category=4�


150

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 9: Estudio de funciones

151

Aprender sin pensar es inútil. Pensar sin aprender es peligroso. Confucio

Unidad 9: Estudio de funciones


152

Actividad hecha con el programa JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3459


153


Unidad 9: Estudio de funciones ...................................................................................155

9.1 Conceptos fundamentales en el estudio de funciones.......................................155 9.1.1 Ejercicios sobre el estudio de funciones dadas por su gráfica ....................157

9.2 Simetrías............................................................................................................161 9.2.1 Función par .................................................................................................162 9.2.2 Función impar..............................................................................................162

9.3 Funciones periódicas .........................................................................................164 9.4 Operaciones con funciones................................................................................164

9.4.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones...........................................164 9.4.2 Composición de funciones ..........................................................................166

9.5 Función recíproca ..............................................................................................168 9.6 Ejemplo de aplicación: recuento de manchas en el Sol .....................................173 9.7 Anexo I: Lectura de gráficas ..............................................................................174 9.8 Anexo II: Interpretación de gráficas ...................................................................175


− Dominar los conceptos relativos al estudio de funciones

− Realizar un estudio pormenorizado de cualquier función dada en forma gráfica o por su expresión analítica

− Realizar operaciones con funciones


− Procesar la información que aparece en los enunciados e interpretar la infor-mación aparecida en una gráfica (C1 y C2).

− Desarrollar estrategias personales para interpretar de forma crítica la informa-ción recogida a través de gráficas en los distintos medios de comunicación (C2, C7 y C8).

− Valorar la importancia de las funciones y gráficas en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana y otras áreas del conocimiento (C1, C2 y C3).


154


− Estudia los elementos fundamentales de una función, como dominio, crecimien-to, simetría, periodicidad, etc., a través de su expresión algebraica o su repre-sentación gráfica, e interpretar los resultados obtenidos en cada caso.

− Dadas dos funciones, es capaz de operar con ellas.

− Halla la función recíproca de una función dada.


− Función: elementos

− Caracterización de las funciones: dominio y recorrido; continuidad; crecimiento y decrecimiento; máximos y mínimos, absolutos y relativos; puntos de corte; simetría; periodicidad

− Funciones definidas a trozos

− Funciones simétricas: funciones pares e impares, tipos de simetría

− Funciones periódicas: período

− Funciones recíprocas, propiedades

− Función identidad

− Operaciones algebraicas con funciones

− Composición de funciones


− Cálculo del dominio y recorrido, puntos de corte... de funciones

− Reconocimiento de las propiedades de una función a través de sus expresio-nes algebraica y gráfica

− Reconocimiento de la simetría y periodicidad de funciones

− Cálculo y construcción gráfica de la función recíproca de una función

− Operaciones con funciones, también en las funciones definidas a trozos

− Cálculo de las funciones compuestas de dos dadas


155

Unidad 9: Estudio de funciones

Esta unidad en una ampliación de los conceptos aprendidos en 3º de ESO. Todo lo que aprendas aquí te será útil para tus estudios futuros, ya que se trata de un bloque de mucha importancia y al que se suele dedicar mucho tiempo y esfuerzo.

9.1 Conceptos fundamentales en el estudio de funciones Función: relación en entre dos magnitudes, de modo que a cada valor de una de ellas (x) le corresponde un único valor de la otra (y). Una función se escribe y = f(x)

La variable que se fija (x) se llama variable independiente, y la variable que se dedu-ce la anterior (y) se llama variable dependiente.

Característica de una función: Cualquier recta vertical, pase por donde pase, sólo corta a la gráfica en un punto.

No es función Sí es función Sí es función No es función Dominio: Conjunto de valores de x para los que existe la función Recorrido: Conjunto de valores que toma la y

Corte con el eje OX (eje horizontal o de abscisas): (x1,0) (x2,0)…. Corte con el eje OY (eje vertical o de ordenadas): (0,y) Gráficas anteriores a) Corte con eje OX: (-0’5,0)

b) Corte con eje OX: No tiene c) Corte con eje OX: (0,0) d) Corte con eje OX: No tiene

Corte con eje OY: (0,1) Corte con eje OY: No tiene Corte con eje OY: (0,0) Corte con eje OY: (0,1)


156

Crecimiento de la función: Intervalos (de x) donde al crecer la x también crece la y. Decrecimiento de la función: Intervalos (de x) donde al crecer la x decrece la y.

Crece: ( ) ( )6,8 14,16x∈ ∪

Decrece: ( ) ( )8,12 16,18x∈ ∪

Constante: ( )12,14x∈ NOTA: En los extremos del intervalo ni crece ni decrece Punto Máximo absoluto (mínimo absoluto): Todos los valores que toma la función son menores (mayores) que él. Punto Máximo relativo (mínimo relativo): Todos los valores que toma la función en un entorno suyo son menores (mayores) que él. Gráficas anteriores a) No hay máximo ni mínimo

b) No hay máximo ni mínimo c) Máximo absoluto: (2,5); No hay mínimo d) Máximos relativos: (-5,1) y (1,4); Máximo absoluto: (1,4); Mínimo relativo: (-3,-2) e) Máximos relativos: (8,100) y (16,80) Máximo absoluto: (8,100); No hay mínimo

Continuidad: Una función es continua cuando para cualquier pequeña variación de la variable independiente hay una pequeña variación de la variable dependiente. Es decir, una función es continua cuando no hay saltos, cuando no levanto el lápiz al dibujar su gráfica. Ejemplo de funciones discontinuas:


157

9.1.1 Ejercicios sobre el estudio de funciones dadas por su gráfica Ejercicio 1 ¿Cuál de las siguientes gráficas son funciones? ¿Por qué?

Estudia las propiedades de las siguientes funciones: a) Dominio:

Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

b) Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

c) Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:


158

(Continuación)

d) Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

e)

Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

f)


g)



159

Ejercicio 2 Dada las siguientes funciones, calcula los puntos de corte con los ejes:

( ) ( )( )( )1 2

)1

x xa f x

x− +

=+

( )3

2)−

=x

xfb

( ) ( )( )( )) 1 1 3c f x x x x= − + − Ejercicio 3 Completa:

Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

2xy =

xy 1=

5=y

3+= xy

3xy =

(Sigue → )


160

(Continuación)

Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

21−

=x

y

2−= xy

42 −= xy

xy

−=

31

0=y

2xy =

Ejercicio 4 Estudia la gráfica siguiente:

Dominio Puntos máximos y mínimos

Recorrido Continuidad

Puntos de corte con los ejes Simetrías

Crecimiento Periodicidad


161

9.2 Simetrías El curso pasado aprendimos a determinar si una función dada de forma gráfica era o no simétrica. Se trataba de un procedimiento visual y que pasaba, evidentemente, por tener la función dibujada. Pero no siempre ha de ser así. En este apartado vamos a aprender a determinar la posible simetría de una función sin necesidad de que esté expresada de forma gráfica; la fórmula, y unas cuantas opera-ciones sencillas que tienen que ver con el signo de la función, nos permitirán averiguar si la función es o no simétrica. Además, si podemos averiguar si la función es simétrica respecto de un punto o una recta, será más fácil dibujarla. Vamos a tratar dos tipos de simetría:

− simetría respecto del eje Y (eje de ordenadas o eje vertical). A las funciones que tienen este tipo de simetría se es llama funciones pares. Ejemplos:

( ) 32 +−= xxf ( )4

32 −

=x

xg

− simetría respecto del origen de coordenadas. A las funciones que tienen es-

te tipo de simetría se es llama funciones impares. Ejemplos:

( )x

xxf 32 += ( ) 3xxg =


162

9.2.1 Función par Una función es par (tiene simetría respecto del eje Y) si cumple que:

( ) ( )xfxf −= para todo x del dominio

9.2.2 Función impar Una función es impar (tiene simetría respecto del origen de coordenadas) si cumple que:

( ) ( )xfxf −=− para todo x del dominio

Ejercicio resuelto

Determina la posible simetría de la función siguiente: ( ) xxxf += 32 1. Calculamos ( )xf − . Si ( ) ( )xfxf −= (es decir, si comparamos la función que vamos a obtener con la original, y coinciden) entonces la función es PAR. ( ) ( ) ( ) xxxxxf −−=−+−=− 33 22 ; Claramente xxxx −−≠+ 33 22 , es decir,

( ) ( )xfxf −≠ ; la función f no es par, no tiene simetría con el eje de ordenadas.

Probemos con la otra simetría: 2. Calculamos ( )xf− . Si ( ) ( )xfxf −=− entonces la función es IMPAR.

( ) ( ) xxxxxf −−=+−=− 33 22 ; Resulta que, en esta ocasión, ( ) ( )xfxf −=− , es decir, la función en IMPAR; la función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Ejercicio 5 Determina la posible simetría de las siguientes funciones:

( ) 4) xxfa =

( )x

xfb 1) =

(Sigue → )


163

(Continuación)

( ) 3) xxfc =

( ) xxfd =)

( ) 24 73) xxxfe −=

( ) 1) 3 += xxff

( ) xxxfg += 42)

( ) 21)x

xfh =

( ) 3) 2 +−= xxfi

( ) 36) +=x

xfj

( ) 3 2) 3k f x x x x= − +


164

Ejercicio 6 Averigua si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):

9.3 Funciones periódicas Existen muchos fenómenos en la naturaleza que se repite con un cierto período:

− la posición de las agujas de un reloj

− las posiciones por las que pasa un péndulo

− la altura a la que se encuen-tra un vagón de una noria de feria que se mueva a veloci-dad constante

Una función ( )xf es periódica de período T si se cumple que:

( ) ( )Txfxf += Ejemplos:

9.4 Operaciones con funciones

9.4.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones Este tipo de operaciones son muy sencillas: simplemente deberemos “unir” las funcio-nes a tratar mediante la operación indicada. Ejercicio resuelto

Dadas las funciones ( )x

xxf 1+= y ( ) 2xxg = , realiza las operaciones que se indican:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 11 1)

x xx x xa f g x f x g x xx x x

+ ++ + ++ = + = + = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 11 1)

x xx x xb f g x f x g x xx x x

+ −+ − + +− = − = − = = (Sigue → )

Si el dominio de f son sólo los números positivos, entonces f no puede ser par

Cualquier función tiene que ser necesariamente par o impar

Una función puede ser creciente y decreciente a la vez

Una función puede ser a la vez periódica y simétrica

Cualquier función tiene que tener en su dominio al menos un máximo y un mínimo absolutos

Si ( ) axxf = es decreciente, entonces ( ) axxg −= es creciente


165

Ejercicio resuelto (continuación)

( ) ( ) ( ) ( )3

2 1 1) x x xc g f x g x f x xx x+ − −

− = − = − =

( )( ) ( ) ( ) ( )2 21) 1xd f g x f x g x x x x x xx+

⋅ = ⋅ = ⋅ = + = +

( ) ( ) ( )( )

22 3

11 1) :

xf x x xxe f g x xg x x x x

++ +

= = = =

( )( ) ( )( )

2 32 1) :1 1

g x x x xf g f x xxf x x xx

+= = = =

+ +

( ) 1 7 7) 7 7 x xg f xx x+ +

⋅ = ⋅ =

( )( )32 2 1 11) 2

2 2h f g + +

+ = =

( )( )0) gfi + ; El cero no pertenece al dominio de la función; no se puede calcular.

( )( )30 0) / 0 0

0 1 1j g f = = =

+

Ejercicio 7 Calcula los dominios de las funciones anteriores:

)a )e

)b )f

)c )g

)d


166

Ejercicio 8

Sean ( ) 22xxf = y ( ) 14 += xxg . Calcula:

( ) =xfa 4)

( )( ) =+ xgfb)

( )( ) =⋅ xgfc)

( ) =35) gd

( )( ) =−+ 3) gfe

9.4.2 Composición de funciones La composición sí es una operación “novedosa”. Se simboliza con un círculo pequeño y tiene una peculiaridad: se lee al revés.

( )( )xgf Se debe leer así: “ge compuesto con efe” Para realizar la composición es muy importante fijarse en los argumentos de las funcio-nes. Ejemplos:

( )xf El argumento de f es x

( )1+xg El argumento de g es 1+x

( )3−h El argumento de h es el -3

( )( )xgf El argumento de f es la función g

Si ( )xf y ( )xg , la composición de g con f , ( )( )xgf , actúa de la siguiente forma: ( )( ) ( )( )xgfxgf = , dicho de otro modo, el argumento de f es la función g .

Ejercicio resuelto

Dadas las funciones ( ) 1+= xxf y ( ) 2xxg = , obtén las composiciones que se indican:

( )( ) ( )( ) ( )2 2) 1a f g x f g x f x x= = = +

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2) 1 1b g f x g f x g x x= = + = +

( )( ) ( )( ) ( )) 1 1 1 2c f f x f f x f x x x= = + = + + = +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 4)d g g x g g x g x x x= = = =


167

Ejercicio 9 A la vista de los ejercicios anteriores ¿a qué conclusiones puedes llegar? Ejercicio 10

Dadas las funciones ( ) 12 += xxf y ( ) 3xxg = , obtén las composiciones que se indi-can:

( )( ) =xgfa)

( )( ) =xfgb)

( )( ) =xffc)

( )( ) =xggd)

( )( ) =2) gfe

( )( ) =−3) ggf


168

Ejercicio 11

Dadas las funciones ( ) 32 += xxf y ( ) xxg sen= , obtén las composiciones que se indican:

( )( ) =xgfa)

( )( ) =xfgb)

( )( ) =xffc)

( )( ) =xggd)

9.5 Función recíproca Observa estos ejemplos:

( ) xxf = ( ) 2xxg = ( ) ( ) xxxxh ===22

( ) 3 xxf = ( ) 3xxg = ( ) ( ) xxxxh ===333 3

( ) xxf ln= ( ) xexg = ( ) xeexh xx === lnln

( ) xxf 2= ( ) xxg21

= ( ) xxxxh === 221

212

( ) 52 += xxf ( )2

5−=

xxg ( ) xxxxh =−+

=+−

=2

55252

52

Ejercicio 12

¿Qué tienen de particular las funciones ( )xh anteriores? Podemos decir que cada función ( )xg anterior es la función recíproca (o inversa) de

cada función ( )xf correspondiente, y viceversa.


169

Existe una función que tiene nombre propio: ( ) xxi = ; se trata de la función identidad.

Otra forma de definir la función recíproca es: ( )xg es la función recíproca de ( )xf si ( )( ) ( )( ) ( )xixfgxgf == .

A partir de ahora, la función recíproca de ( )xf se escribirá ( )xf 1− . Forma de obtener la función recíproca de una dada:

1. Sustituir ( )xf por y 2. Intercambiar la x por la y 3. Despejar la y

Ejercicio resuelto

Obtén la función recíproca de ( ) 52 += xxf :

1. Sustituir ( )xf por y: 52 += xy 2. Intercambiar la x por la y: ;52 += yx 3. Despejar la y:

;25 yx =− ;2

5 yx=

− ( )1 5

2xf x− −

=

Ejercicio 13 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:

( ) 13) −= xxfa

( ) 5) −= xxfb


170

Ejercicio 14 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:

( ) 35) += xxfa

( ) 1) −= xxfb

( ) 22

) +=xxfc

( ) 32) −= xxfd

( ) 33) xxfe =

( )1

5)−

=x

xff


171

Ejercicio 15

Calcula la función recíproca de ( )4

5−

=x

xf y calcula los dominios de las dos funcio-

nes: Ejercicio 16 Comprueba que la función inversa de la función inversa es la propia función, es decir,

si: ( )( ) ( )xfxf =−− 11

( ) 23) xxfa =

( ) 12) −= xxfb


172

Ejercicio 17

Calcula la función recíproca de ( )524−+

=x

xxf y el dominio de ( )xf y ( )xf 1− :

Ejercicio 18

Dadas las funciones ( )1

2−

=x

xf y ( ) 2xxg = , calcula:

( ) =− xfa 1)

( ) =− xgb 1)

( )( ) =+ 1) gfc

( )( ) =xgfd )

( )( ) =2) gfe

Ejercicio 19

Sea ( ) 23xxf = . Calcula 1−f y comprueba que la composición de f con 1−f y de 1−f con f dan lugar a la función identidad:


173

9.6 Ejemplo de aplicación: recuento de manchas en el Sol El estudio de las funciones de estas dos imágenes genera varias conclusiones, ¡en-cuéntralas!


174

9.7 Anexo I: Lectura de gráficas IMPORTANTE: Cuando tengas que leer una gráfica debes tratar de buscar respuesta a los siguientes aparta-dos: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetría, periodicidad, crecimiento, continuidad y puntos máximos y mínimos.

Ejercicio resuelto


175

9.8 Anexo II: Interpretación de gráficas

Respuesta:


176

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 10: Estadística

177

Llegará el día en el que la Estadística será una condición tan necesaria para la convivencia

como la capacidad de leer y escribir. Anónimo

Unidad 10: Estadística


178

Actividad hecha con el programa JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2328


179


Unidad 10: Estadística.................................................................................................181

10.1 Introducción .....................................................................................................181 10.1.1 Población y muestra ..................................................................................181 10.1.2 Caracteres estadísticos .............................................................................182

10.2 Tablas y datos..................................................................................................183 10.2.1 Tablas de datos simples............................................................................183 10.2.2 Tablas de datos agrupados: clases y marcas de clase .............................184

10.3 Tipos de frecuencias ........................................................................................186 10.3.1 Frecuencia absoluta y relativa ( if y ih )....................................................186 10.3.2 Frecuencias acumuladas absolutas y relativas .........................................186

10.4 Representaciones gráficas...............................................................................188 10.4.1 Diagrama de barras...................................................................................188 10.4.2 Histogramas. Polígono de frecuencias ......................................................189 10.4.3 Diagrama circular (de sectores o tarta) .....................................................191 10.4.4 Pictogramas, cartogramas y pirámides de población ................................194

10.5 Parámetros de una distribución .......................................................................195 10.5.1 Parámetros de centralización ....................................................................195 10.5.2 Parámetros de dispersión..........................................................................197

10.6 Posibles errores de interpretación ...................................................................202


− Comprender conceptos básicos, métodos de tabulación y representación gráfica de caracteres cualitativos y variables discretas y continuas, con objeto de obtener la máxima información de cualquier estadística.

− Saber confeccionar tablas de frecuencias para variables estadísticas discretas. − Interpretar y elaborar tablas numéricas a partir de conjuntos de datos. − Construir gráficas a partir de tablas estadísticas, eligiendo en cada caso el tipo de de

gráfica y método de representación más adecuado. − Utilizar los parámetros estadísticos para poder sintetizar un gran número de datos en

unos pocos números que den una idea lo más aproximada de la distribución. − Acometer el estudio, cálculo e interpretación de los parámetros más usuales para dis-

tribuciones de variable estadística continua o discreta. − Analizar críticamente la información presentada, en la prensa o en otros medios de

comunicación, mediante estudios estadísticos.


− Interpretar tablas y gráficos estadísticos como forma útil de buscar, obtener, procesar y comunicar información (C2 y C4).

− Organizar la información procedente de datos estadísticos en forma de tabla, repre-sentando gráficamente dicha información y extrayendo parámetros representativos que permitan su utilización para dar respuesta a situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad (C2 y C4).


180


− Sabe utilizar correctamente el lenguaje estadístico, distingue y clasifica caracte-res y determina las variables estadísticas que se generan en cada caso

− Sabe agrupar datos en intervalos o clases eligiendo razonadamente el número y amplitud de los mismos; elabora tablas de frecuencias y gráficos estadísticos apropiados a cada tipo de tabla

− Calcula e interpreta parámetros de centralización y de dispersión con datos simples o agrupados

− Confecciona gráficos estadísticos con un conjunto dado de datos


− Población y muestra − Caracteres estadísticos: cualitativos y cuantitativos − Variables estadísticas discretas y continuas − Tablas de datos simples y agrupados. Clases de equivalencia y marca de clase − Frecuencia absoluta y relativa − Frecuencias acumuladas − Diagramas de barras − Histogramas, polígonos de frecuencias − Diagrama de sectores − Parámetros de centralización: moda, media aritmética y mediana − Parámetros de dispersión: rango, varianza y desviación típica


− Comprobación de la representatividad de una muestra − Clasificación de caracteres y variables estadísticas − Agrupación de datos en intervalos o clases − Elaboración de tablas de frecuencia − Construcción de gráficos estadísticos apropiados, a partir de la información re-

cogida en las tablas de frecuencia − Obtención de tablas de frecuencia a partir de gráficos estadísticos − Utilización de la calculadora que facilita la elaboración de cálculos − Utilización del símbolo sumatorio para simplificar la escritura de las expresiones

de cálculo de los parámetros estadísticos − Cálculo de los parámetros de centralización, con datos simples y agrupados, a

partir de tablas estadísticas y utilizando la calculadora − Cálculo de los parámetros de dispersión, con datos simples y agrupados, a par-

tir de tablas estadísticas y utilizando la calculadora en modo estadístico


181

Unidad 10: Estadística

Es, probablemente, una de las ramas de la Matemática que más aplicaciones tiene en nuestra vida cotidiana. Te será difícil no en-contrar, en cualquier periódico, alguna gráfica o información es-tadística. Aparece en áreas tan dispares como Economía, Medici-na, Política, Sociología o los deportes. En ese tema será impor-tante el uso de la calculadora científica.

10.1 Introducción En todo proceso estadístico hay tres partes:

• Recogida de datos • Análisis de resultados • Toma de decisiones

En este tema nos ocuparemos, casi exclusivamente, del segundo aspecto.

10.1.1 Población y muestra Población es el conjunto de todos los elementos objeto de estudio que cumplen una determinada característica (mujeres españolas mayores de 45 años, universitarios de Andalucía, alumnos matriculados en el Colegio Carmelitas, deportistas europeos que hayan ganado alguna medalla en los últimos 10 años…). Una muestra, es un subconjunto representativo de la población, escogido con la finalidad de obte-ner información sobre todo el conjunto de la pobla-ción. El tamaño de la muestra es el número de elementos que contiene. Ejercicio 1 Se quiere hacer un estudio sobre la lectura de un determinado periódico en una pobla-ción en la que el 55% son mujeres. Si la muestra es de 3 000 personas, ¿cuántas mu-jeres deberían figurar en la muestra? ¿y cuántos hombres?


182

10.1.2 Caracteres estadísticos De cada individuo o elemento de la población podemos destacar uno o más caracteres. Si los elementos son, por ejemplo, personas, podemos estudiar su edad, sexo, altura, profesión, gustos musicales, número de hijos, grupo sanguíneo… Si el estudio es sobre una empresa, podemos estudiar el número de trabajadores con más de cinco años de experiencia, procedencia de los mismos, ingresos, bajas… Estos caracteres permiten clasificar a los individuos de una población. Se distinguen dos tipos de caracteres estadísticos:

− Cualitativos: no se pueden expresar o medir numéricamente (estado civil, pro-fesión, color del pelo, lugar preferido de vacaciones…)

Las modalidades son las distintas situaciones o respuestas que aparecen al es-tudiar una variable cualitativa. Por ejemplo, si pretendemos estudiar estadísti-camente el color del pelo de los alumnos de una clase, deberemos ceñirnos a tres o cuatro modalidades: moreno, rubio, castaño y pelirrojo.

− Cuantitativos: se pueden medir o expresar numéricamente (número de sillas

de una clase, número de calzado, altura de las focas adultas…). Estos datos, a su vez, pueden ser de dos tipos:

o Discretos (en términos de variables diremos: variable estadística discre-ta): los valores posibles son aislados o entre dos valores consecutivos, no puede haber valores intermedios. Ejemplos: número de hermanos, núme-ro de recintos deportivos en las ciudades, ventanas o balcones de una vi-vienda…

o Continuos (en términos de variables diremos: variable estadística conti-nua): entre dos valores, pueden haber valores intermedios. Ejemplo: altu-ra de lo árboles de un país, peso de la población de Alaska, sueldo del personal de vuelo de una compañía aérea…

Resumen:

( )

CualitativosCaracteres estadísticos Discretos

Cuantitativos variables estadísticasContinuos

⎧⎪

⎧⎨⎨⎪⎩⎩

Ejercicio 2 Clasifica los siguientes caracteres estadísticos según sean cualitativos o cuantitativos, y las variables continuas o discretas:

Cuantitativo

CualitativoVariable discreta

Variable continua

Longitud de unos tornillos Gusto por las películas de ciencia ficción

(sigue → )


183

(continuación)

Cuantitativo

CualitativoVariable discreta

Variable continua

Carrera que se desea estudiar El día del mes en que han nacido tus amigos La distancia entre el Sol y los planetas Signo del zodíaco de compañeros de clase Tiempo diario dedicado al estudio Localidad donde viven los profesores Altura de los bebés de 0 a 4 meses Grupo sanguíneo Medida de las ruedas de varias bicicletas Número de hijos de 100 familias Tipo de música favorita Capacidad del depósito de gasolina de coches

10.2 Tablas y datos Ya vimos en la introducción que el primer proceso de todo estudio estadístico es la re-gida de datos. Con frecuencia, estos se presentarán como un montón desordenado de números que deberemos reorganizar para poder realizar algún estudio con ellos. De-pendiendo de la naturaleza de las variables estadísticas (discretas o continuas) utiliza-remos tablas de datos simples o agrupados. A continuación veremos las características de ambas tablas.

10.2.1 Tablas de datos simples Deberemos determinar cuál es la variable a estudiar y en qué modalidades se presen-ta. En una primera columna (o fila) dispondremos las diferentes modalidades que adop-ta la variable estadística, y en la segunda columna (o fila) el número de veces (o fre-cuencia) que esta aparece.

Ejercicio resuelto

Haz una tabla indicando la variable y la frecuencia de la distribución estadística obteni-da al preguntar a 50 alumnos sobre el número de veces que ha ido al cine durante el último mes:

1 2 0 1 1 2 3 2 1 1 0 2 2 3 0 0 2 2 0 0 1 2 0 4 1 2 3 1 0 3 0 0 2 2 0 3 2 1 1 2 1 2 3 3 4 0 1 1 0 1


184

(Continuación) Ejercicio resuelto

La variable, ix es el número de veces que un alumno ha ido al cine durante el último

mes, y sus posibles valores van del 0 al 4. Denotaremos por if el número de veces que aparece cada valor de la variable.

ix if 0 13 1 14 2 14 3 7 4 2 50

Observa el valor de la última celda. Corresponde con la suma de las frecuencias de la variable. Este dato debe coincidir siempre con la cantidad de datos original, con lo que puede servirte de comprobación.

Ejercicio 3 Los siguientes datos son las notas de la asignatura de Castellano que han sacado 40 alumnos de una clase. Haz una tabla indicando la variable y la frecuencia de aparición. 9 4 6 3 8 6 4 5 2 1 6 5 6 6 5 3 5 5 8 4 3 4 7 5 3 4 6 5 7 6 6 5 6 7 1 2 9 8 9 8

ix if

10.2.2 Tablas de datos agrupados: clases y marcas de clase Si la variable estadística es continua, o bien si hay muchos datos, los valores obtenidos se agrupan en intervalos o clases para que puedan ser tratados con mayor facilidad. Es conveniente que las clases tengan la misma amplitud. Estudia el siguiente ejemplo:


185

Ejercicio resuelto

Las estaturas de 40 chicas y chicos, medidas en centímetros, son las siguientes:

175 167 161 168 174 160 172 162 155 163 168 171 157 148 160 163 163 165 159 166 177 170 158 171 161 170 167 150 166 164 163 174 165 163 156 167 173 171 169 168

Haz una tabla indicando la variable estadística y la frecuencia. Determinamos el mayor y el menor valor de la altura, y restamos ambos números: 177 148 29− = . Este tramo no es fácil de dividir en intervalos (es, por cierto, un núme-ro primo). Ampliamos este rango en 1 cm (medio por debajo y medio por arriba) para obtener un tramo (30 cm) mucho más sencillo de dividir, por ejemplo, en 6 clases (o intervalos) de 5 cm cada uno (o en 5 clases de 6 cm, 10 clases de 3 cm, etc.).

La primera clase será [ )147 '5,152 '5 . Siempre serán intervalos de este tipo: [ ),a b , cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. El valor medio de ese intervalo es

150ix cm= . A los valores intermedios de cada clase se les llama marca de clase, y se calcula así:

2a b+

Una vez obtenidas las clases se procede a contar los elementos que pertenecen a cada intervalo, de forma similar al caso de variables discretas.

Clases Marca de clase ix if

[ )147 '5,152 '5 150 2

[ )152 '5,157 '5 155 3

[ )157 '5,162 '5 160 7

[ )162 '5,167 '5 165 13

[ )167 '5,172 '5 170 10

[ )172 '5,177 '5 175 5

40

Ejercicio 4 Un estudio sobre el número de libros leídos, en los tres últimos años, por cuarenta uni-versitarios proporciona los siguientes datos. Haz una tabla de datos, donde aparezca la frecuencia, agrupando los datos en clases. 12 10 16 5 12 4 13 17 25 24 6 18 8 8 12 10 14 7 12 14 18 10 2 24 9 10 16 4 18 18 14 10 15 20 9 8 10 15 10 10

Clases ix if


186

10.3 Tipos de frecuencias

10.3.1 Frecuencia absoluta y relativa ( if y ih ) En el apartado anterior ya hemos hablado de frecuencia: número de veces que se repi-te el valor de una determinada variable estadística. Esta frecuencia se llama absoluta. Muchas veces, la información que aporta la frecuencia absoluta es escasa si no se re-laciona con el total de individuos que compone es estudio. Por ejemplo: este año, cinco familias enviarán a estudiar a sus hijos al extranjero durante el mes de agosto. Si esta información se refiere a cinco familias de una clase de 20 alumnos se observa que el porcentaje es muy alto, pero si la información hace referencia a cinco familias de un colegio de 1000 alumnos, el porcentaje baja drásticamente. En las tablas de datos estudiadas en el apartado anterior, añadiremos una tercera co-lumna donde aparezca el cociente de la frecuencia absoluta, if , y el número total de datos, N.

: ii

ffrecuencia relativa hN

=

Al tratarse de un cociente, es muy fácil representarla en forma de porcentaje; para ello, se multiplica la frecuencia relativa por 100.

10.3.2 Frecuencias acumuladas absolutas y relativas Observa la siguiente tabla:

¿Cuántos alumnos tienen una nota menor o igual a 5? Son: 2+2+4+5+8=21 Al valor 21 lo llamamos frecuen-cia absoluta acumulada del valor 5; es la frecuencia acumulada hasta el valor 5. Designaremos por iF a la fre-cuencia absoluta acumulada.

De manera similar se define la frecuencia relativa acumulada, iH . Completa la tabla anterior con los datos que faltan. Observa los valores de las celdas unidas por las flechas: ¿extraes alguna conclusión?


187

Ejercicio 5 Se ha contabilizado el número de recintos deportivos en 20 ciudades. Construye la ta-bla de frecuencias (absolutas y relativas), y acumuladas (absolutas y relativas) de estos datos.

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

ix if iF ih iH

20 1

20

Ejercicio 6 Con los datos del ejercicio 4, construye la tabla de frecuencias (absolutas y relativas), y acumuladas (absolutas y relativas):

Clases ix if iF ih iH

Ejercicio 7 En un control de calidad de televisores se admiten tres categorías: A, aceptables; R, rechazables; D, dudosos. Escribe la tabla de frecuencias asociada. A A A R D D A A R A R R A A A A A A D A R D A R R A A D A R R A D D A A R R R D A A A R D R D A A R

Categoría if iF ih iH


188

10.4 Representaciones gráficas En general, usaremos el diagrama de barras o columnas (variables discretas) y los his-togramas y polígonos de frecuencias (variables continuas) para representar caracteres cuantitativos; los diagramas de sectores (o tarta) y los pictogramas se reservarán para los caracteres cualitativos.

10.4.1 Diagrama de barras Son gráficos, ya conocidos, formados por rectángulos de bases iguales, y cuyas alturas son tales que el área de cada rectángulo es proporcional a cada frecuencia absoluta.

Diagrama de barras adosadas

Diagrama de barras apiladas


189

Para representar los datos en un diagrama de este tipo ten en cuenta que la variable estadística se dispone en el eje X (también llamado eje de abscisas), y las frecuencias, en el eje Y (o de ordenadas). Ejercicio 8 Dada la siguiente tabla, representa los datos en un gráfico de barras: Edad (años) 12 13 14 15 16 17 18 Frecuencia 6 7 4 5 9 6 3

10.4.2 Histogramas. Polígono de frecuencias Se utilizan para variables agrupadas en intervalos. La siguiente gráfica recoge la infor-mación de las alturas de los alumnos de una clase de 27 personas.

0

2

4

6

8

10

12

14

[141, 151) [151, 161) [161, 171) [171, 181) [181, 191)


190

Ejercicio 9 Los pesos de cuarenta personas figuran en la siguiente tabla:

Peso [ )40, 48 [ )48, 56 [ )56, 64 [ )64, 72 [ )72, 80 [ )80, 88

Núm. personas 1 10 15 9 3 2 Representa los datos en un gráfico adecuado. Ejercicio 10 Completa la siguiente tabla y representa el histograma correspondiente:

Clase ix if ih iF iH

[ )0, 4 4

[ )4, 8 8

[ )8,12 13

[ )12,16 9

[ )16, 20 6 1

1


191

El polígono de frecuencias es una línea quebrada que une los puntos medios (varia-ble estadística) de las barras de un histograma (aunque también pueden aparecer en un diagrama de barras o, incluso, solas. La siguiente tabla muestra un ejemplo, y, además, es la solución del ejercicio 9).

10.4.3 Diagrama circular (de sectores o tarta) También es un tipo de gráfico conocido por todos. Un diagrama de sectores es un círculo dividido en tantos sectores circulares como mo-dalidades tiene el carácter, de forma que el área de cada sector es proporcional a las frecuencias. Para representar los datos en este diagrama debemos obtener el producto de la fre-cuencia relativa de cada valor por 360º, así, obtendremos los ángulos correspondientes a cada valor; con ayuda de un transportador de ángulos podremos ir dibujando cada sector. Se emplea, principalmente, con datos (o variables) cualitativos.


192

Ejercicio resuelto

Se ha hecho una encuesta a los alumnos de 4º de ESO sobre qué modalidad de Bachi-llerato quieren estudiar. Representa los resultados en un diagrama de sectores.

Fre-cuencia

Frecuencia relativa

Frec.rel x 360º

B. Arte 6 0,08571429 30,86º

B. Humanidades 12 0,17142857 61,71º

B. CCSS 22 0,31428571 113,14º

B. CC de la Salud 18 0,25714286 92,57º

B. Tecnológico 12 0,17142857 61,71º

70 1 360,00º


193

Ejercicio 11 Dibuja el diagrama de sectores (o tarta) correspondiente a la siguiente tabla de datos:

Opciones A B C D if 40 60 50 30

Ejercicio 12 Con los datos del ejercicio 7, referente al control de televisores, representa los datos (es decir, las frecuencias absolutas) mediante un diagrama de barras y un diagrama de sectores:


194

10.4.4 Pictogramas, cartogramas y pirámides de población Los pictogramas son gráficos con ilustraciones alusivas al carácter estadístico que se esté estudiando. Las frecuencias se pueden indicar por el número de dibujo o por su tamaño. Los pictogramas son gráficos poco rigurosos, pero proporcionan vistosidad a la infor-mación; por eso, son muy habituales en los medios de comunicación.

Se llama cartogramas a los gráficos que se realizan sobre un mapa, señalando sobre determinadas zonas con distintos colores o rayados lo que se trate de poner de mani-fiesto. Por ejemplo, se suelen utilizar estos tipos de diagramas para representar la den-sidad demográfica de una nación, la renta per cápita, las horas de sol anuales, los índi-ces de lluvia...

Las pirámides de población se utilizan para estudiar conjuntamente la variable edad y el atributo sexo. La gráfica se obtiene representando en la ordenada el grupo de edad, y en la abscisa, el sexo.


195

10.5 Parámetros de una distribución Se trata de resumir aún más la información de una tabla o de una gráfica, y de encon-trar algunos valores (los más simples posibles) que nos permitan dar (u obtener) infor-mación sobre la muestra o comparar dos muestras entre sí. Con los parámetros de centralización se buscan valores lo más representativos posible de todos los valores de la muestra; ofrecen un resumen de los datos de la distribución. Con los parámetros de dispersión se pretende, como complemento a los anteriores, dar una valoración de hasta qué punto los datos se parecen entre sí, o bien si están disper-sos. Además, cuanto menos dispersos se encuentren los datos, más representativos serán los parámetros de centralización anteriores.

10.5.1 Parámetros de centralización Vamos a estudiar tres (aunque hay alguno más, como por ejemplo los cuartiles) de es-tos parámetros: media (o media aritmética), mediana y moda. Para ilustrar el cálculo de estos parámetros utilizaremos el mismo ejemplo. Los siguientes datos corresponden con el número de hermanos (excluido él mismo) de una muestra de 13 niños de 6º de Primaria: 2, 0, 1, 0, 0, 7, 5, 3, 0, 2, 1, 4, 1. Media aritmética Es en “centro de gravedad” de la distribución. La representaremos así: x .Es un pará-metro que, tanto profesores como alumnos, utilizamos con frecuencia para conocer qué nota media (o final) se obtiene teniendo en cuenta las notas de los exámenes realzados hasta el momento. Si los datos se presentan como un montón de datos desordenados, se suman y se di-viden por el número total de datos. En el ejemplo, la suma de los datos es 26, y hay 13 datos, con lo que la media es 2. Si los datos vienen dispuestos en una tabla de datos simple, multipli-caremos cada dato por su frecuencia, se suman entre sí, y se divide por el número total de datos. Expresado esto con una fórmula es: Si se utilizan datos agrupados en clases, se utilizará, como dato, la marca de clase. Ejercicio 13 La distribución de pesos de 78 pacientes de un centro médico es:

Peso (Kg) [50-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-100) [100-110)

Núm. pacientes 12 21 24 11 7 3 Halla la media.

i ix fx

N= ∑


196

Es importante no confundir la media aritmética con la media geométrica (que es raíz enésima del producto de los N elementos). Mediana La mediana de una distribución estadística, eM , es el valor de la distribución tal que el número de valores menores que él es igual al número de valores mayores que él. Para calcular este parámetro, es necesario que los datos estén ordenados. Si el núme-ro de elementos de la distribución es impar, la mediana coincide con el valor central, y si es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. En nuestro ejemplo, ordenamos los elementos: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7. Como hay 13 datos, la mediana es el valor central: 1eM = . Si los datos están en una tabla, y la frecuencia es mayor que 1:

− 1º se calcula la mitad del número de datos: (N/2) − 2º se observa cual es el primer valor cuya frecuencia acumulada ( )iF , es ma-

yor que dicho número. Moda Es el dato que más se repite. La representaremos por ( )oM . Si los datos están orde-nados es más fácil de averiguar. En nuestro ejemplo, la moda es: 1oM = , coincide con la mediana. Si los datos se presentan en una tabla, la moda es el dato que presenta la frecuencia más alta. Puede haber más de un moda (distribución bimodal, trimodal, etc.). Es el úni-co parámetro de centralización que se puede calcular siempre, incluyendo a variables cualitativas no ordenables. Ejercicio 14 Volvemos con la actividad sobre el número de recintos deportivos en 20 ciudades (ejer-cicio 5):

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

Obtén, en esta ocasión, la media ( )x , moda ( )oM y mediana ( )eM : (No pases los datos a una tabla; trata los datos tal cual se presentan.)


197

Ejercicio 15 Ahora vuelve a realizar el mismo ejercicio pero con los datos agrupados en una tabla.

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

Ya lo hiciste en la actividad 5. Copia los resultados o calcúlalos de nuevo.

ix if iF

10.5.2 Parámetros de dispersión Podremos encontrarnos con dos o más distribuciones que tengan una media aritmética igual, y que, sin embargo, no sean distribuciones similares.

Ejemplo 1

Las siguientes tablas muestran los datos obtenidos por dos personas en un test:

Persona 1 Persona 2

57 28

56 31

59 80

60 93 Calculamos la media de ambas distribuciones:

1 157 56 59 60 ; 58

4P Px x+ + += = 2 2

28 31 80 93; 584P Px x+ + +

= =

Observamos que las medias coinciden, sin embargo, las distribuciones no son iguales: los datos de la persona 2 están más dispersos.


198

Sustituye las personas del ejemplo 1 anterior por alumnos, y sus datos por notas de un examen, dividiéndolos entre 10, de manera que el alumno 1 haya obtenido un 5’7, un 5’6, etc. Reflexiona sobre las siguientes cuestiones: ¿Consideras que ambos alumnos merecen aprobar con la misma nota, 5’8, puesto que ambos consiguen la misma nota media?, ¿se debe favorecer la constancia del alumno 1? ¿se debe penalizar el esfuerzo variable del alumno 2, por ejemplo, no permitiendo hallar la media con notas inferiores a 3?, ¿debe primar la media sobre la constancia? Necesitamos algún otro parámetro (rango y desviación típica que veremos a continua-ción) que nos permita diferenciar estos dos tipos de distribuciones. Debemos conocer la dispersión de los datos, es decir, en qué medida están agrupados (caso de los da-tos de la persona 1 o alumno 1 de los ejemplos anteriores) o no, alrededor de los valo-res centrales. Rango o recorrido El rango (r) de una distribución es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

MAX MINr x x= −

Para el ejemplo de los alumnos, el rango del alumno 1 es: 1 6 '0 5'6 0 '4r = − = , y el

rango del alumno 2 es: 2 9 '3 2 '8 6 '5r = − = . Como el rango del primer alumno es menor que el del segundo, podemos afirmar que la distribución de notas del primer alumno está más centrada o menos dispersa que la del segundo alumno. Cuanto menor es el valor del recorrido, mayor es la concentra-ción, por tanto, la representatividad de los parámetros de centralización será mayor. La ventaja de este parámetro es que es muy fácil de calcular, pero el inconveniente es que, al depender sólo de los valores extremos, si uno de estos valores está muy ale-jado de los valores centrales, obtendremos un valor alto del recorrido, aunque el resto de datos no esté muy disperso. Varianza y desviación típica (s2 y s ó σ ) Consideremos los siguientes datos: Calculamos la media:

1 3 3 2 7 2 9 3 510

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = .

¿En qué medida se separan los datos de la media? Las desviaciones respecto de la media son (sin considerar su frecuencia):

1 1 5 4x x− = − = − ; 2 3 5 2x x− = − = − ; 3 7 5 2x x− = − = ; 4 9 5 4x x− = − = ;

ix if 1 3 7 9

3 2 2 3

10


199

Las sumas de estas desviaciones (que nos daría una idea de los dispersos que están los datos) es cero, sin embargo, los datos se separan de la media. Necesitamos un parámetro que mida esta desviación sin tener en cuenta el signo. Una manera muy sencilla de obtenerlo es elevar las desviaciones al cuadrado (siempre se obtendrán re-sultados positivos) y luego hallar la media.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 5 3 3 5 2 7 5 2 9 5 3 112 11'2

10 10s

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅= = =

Se llama varianza de una variable estadística a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 1 2 22 ... i in n x x fx x f x x f x x f

sN N

− ⋅− ⋅ + − ⋅ + + − ⋅= = ∑

Desarrollando y simplificando esta fórmula se obtiene otra de más fácil aplicación:

22 22 2 21 1 2 2 ... n

i in n x fx f x f x fs x xN N

+ + += − = −∑

que permite calcular la varianza sin necesidad de hallar todas las desviaciones con respecto a la media. La desviación típica (que es en realidad en dato que más se utiliza) es la raíz cuadrada de la varianza. Se designa por s o σ (sigma minúscula)

2s sσ= = Ejercicio 16 Con los datos del ejercicio 5 referente al número de recintos deportivos de 20 ciudades, obtén la varianza y la desviación típica:

ix 2 3 4 5 6 8

if 2 2 5 6 2 3


200

Ejercicio 17 A partir de la siguiente tabla de una variable estadística, calcula la media y la desvia-ción típica:

ix 3 4 5 6 7

if 4 10 16 6 4 Ejercicio 18 Julia puede ir de su casa al trabajo por dos itinerarios: atravesando la ciudad, o por la autovía. Por el primer camino hay menos distancia pero más semáforos y límites de velocidad; por el segundo, hay más distancia, pero puede ir más rápido. Para comparar los dos itinerarios, ha medido los tiempos en 5 viajes por un lado y 5 por el otro, con los siguientes resultados expresados en minutos. Ciudad: 18, 21, 16, 25, 17 Autovía: 20, 22, 21, 19, 18 Determina la media y la desviación típica de cada distribución. ¿Qué itinerario es más aconsejable?


201

Ejercicio 19 Dada la siguiente tabla de valores, halla la varianza y la desviación típica:

Clases Frecuencia absoluta

if ix ii fx ⋅ 2ii fx ⋅

[ )40, 46

[ )46, 52

[ )52, 58

[ )58, 64

[ )64, 70

[ )70, 76

[ )76, 82

4

12

10

30

20

8

6


202

10.6 Posibles errores de interpretación A estas alturas del tema, ya habrás comprobado que la Estadística es una herramienta útil y poderosa, pero como tal, es imprescindible saber usarla. Una mala interpretación de las leyes estadísticas puede llevar a conclusiones tan ridí-culas como las siguientes:

− Las estadísticas demuestran que muy pocos accidentes ocurren en vehículos que circulen a más de 200 km/h; por tanto, el mejor método para no tener un accidente es viajar a esa velocidad.

− Las estadísticas demuestran que nunca han coincidido en un avión dos perso-nas con una bomba; por tanto, para evitar ser víctima de un atentado terrorista en un avión debo viajar con una bomba en mi maleta.

A veces los gráficos que vemos no representan con fidelidad la distribución a la que se refieren. Esto ocurre por el escaso rigor puesto en su construcción, o porque sus auto-res pretenden hacer una presentación engañosa, partidista o subjetiva de la informa-ción que trasmiten.

Diario antigubernamental

Diario progubernamental

IPC (%)

3,5

4

4,5

5

En.

Feb.

Mar

.

Abr

.

May

.

Jun.

Jul.

Ag.

Sep

.

Oct

.

Nov

.

Dic

.

IPC (%)

3,5

4

4,5

5

En.

Feb.

Mar

.

Abr.

May

.

Jun.

Jul.

Ag.

Sep.

Oct

.

Nov

.

Dic

.

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 11: Técnicas de recuento

203

Hay tres clases de matemáticos: los que saben contar, y los que no saben.

(Atribuido a Enrico Bombieri, matemático italiano, ganador de la medalla Fields en 1974)

Unidad 11: Técnicas de

recuento


204


205


Unidad 11: Técnicas de recuento.............................................................................207

11.1 Introducción .....................................................................................................207 11.2 Diagrama en árbol ...........................................................................................207 11.3 Orden, grupos y repetición...............................................................................209 11.4 Permutaciones .................................................................................................210 11.5 Variaciones ......................................................................................................212

11.5.1 Variaciones sin repetición..........................................................................212 11.5.2 Con repetición ...........................................................................................213

11.6 Combinaciones ................................................................................................214 11.7 Esquema para resolver los ejercicios...............................................................216 11.8 Ejercicios de la unidad .....................................................................................216 11.9 Apéndice: recuento de posibilidades en algunos juegos de azar.....................220


− Contar los elementos de varios conjuntos mediante diferentes técnicas

− Utilizar el diagrama en árbol.

− Adquirir métodos y herramientas para resolver problemas del cálculo de proba-bilidades

− Estudiar los diferentes casos que se pueden presentar a la hora de contar el número de elementos que intervienen en un cierto conjunto: orden en que apa-recen los elementos y posible repetición

− Utilizar el vocabulario y notación propios de la combinatoria

− Conocer las propiedades de los números combinatorios

− Conocer la fórmula general del binomio de Newton


− Desarrollar estrategias personales para decidir de forma autónoma la técnica de recuento más eficaz en función de las condiciones del problema (C2, C7 y C8).

− Utilizar las técnicas de recuento para resolver problemas en ámbitos de la vida y del conocimiento muy diversos, valorando la importancia de estas técnicas como herramienta útil para desenvolverse adecuadamente en dichos ámbitos (C2, C3 y C8).


206


− Resuelve situaciones relacionadas con el recuento de diferentes posibilidades mediante la utilización, según convenga, del diagrama en árbol, variaciones or-dinarias, variaciones con repetición, combinaciones ordinarias o permutaciones ordinarias

− Resuelve situaciones de tipo algebraico en las que intervengan los números factoriales, así como las combinaciones, variaciones y permutaciones


− Diagrama en árbol. Principio de la multiplicación

− Factorial de un número natural

− Permutaciones

− Variaciones con y sin repetición

− Combinaciones


− Construcción de diagramas en árbol para expresar los posibles resultados en situaciones de recuento

− Identificación de las diferentes situaciones de recuento

− Distinción en las situaciones de recuento en las que interviene o no el orden y la repetición de elementos

− Diferenciación entre combinaciones, variaciones y permutaciones en base al orden, grupos y posible repetición de los elementos

− Uso del vocabulario y notación propios de la combinatoria

− Cálculos algebraicos y numéricos en los que intervienen los números factoria-les, combinaciones, variaciones y permutaciones


207

Unidad 11: Técnicas de recuento

¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas en una fila de butacas de un cine?, ¿de cuántas formas puede quedar la cla-sificación final de la liga de fútbol?, ¿cuántos resultados diferentes hay si lanzamos dos dados? ¿y un dado y una moneda?, ¿entre cuántos menús podremos elegir si hay tres primeros platos, cuatro segundos y tres postres?, ¿cuántas quinielas deberemos rellenar para acertar el pleno al 15?, ¿resulta más fácil jugar a la bonolo-to? Podrás contestar a todas estas preguntas cuando acabes este tema.

11.1 Introducción A lo largo de esta unidad aprenderemos a contar el número de elementos (equipos, banderas, números, etc.) basándonos en cuatro técnicas: el diagrama en árbol (que ya conoces) y tres (una tiene una variación, por lo que podríamos decir que son cuatro) nuevas fórmulas que conocerás a continuación. Para la elección de una u otra de estas fórmulas, nos basaremos en los elementos que intervengan: si se pueden o no formar grupos, si importa o influye el orden de los elementos que escojamos y si se pueden repetir elementos dentro de un grupo.

11.2 Diagrama en árbol Es una técnica que ya hemos empleado en otras ocasiones (recuerda cómo descom-poníamos números “redondos” en sus factores primos. Ejercicio 1 Lanzamos al aire tres veces seguidas una moneda y vamos anotando los resultados. No tendiendo en cuenta la posibilidad de que la moneda caiga de canto, ¿cuántos re-sultados distintos podrá haber?: (cara: C; cruz: +) Si no necesitamos precisar los resultados, sino sólo saber el número de resultados dis-tintos, no haremos el diagrama en árbol, sino que aplicaremos el principio de multi-plicación: 2 2 2 8⋅ ⋅ = resultados.


208

Ejercicio 2 Realiza un diagrama en árbol y halla el número de “palabras” (tengan o no sentido) de 2 letras, que se puedan formar con TILA: a) Sin repetición b) Con repetición

Ejercicio 3 Utiliza un diagrama en árbol para construir “palabras” (tengan o no sentido) de 4 letras, sin que se repita ninguna, que se puedan formar a partir de la palabra LADO: a) ¿Cuántas palabras se pueden formar?

b) ¿Cuántas de ellas empiezan con la letra A?

c) ¿En cuántas están la A y la O juntas, sin importar el orden en que aparecen?


209

Ejercicio 4 Realiza un diagrama en árbol con las sumas distintas de dos cifras que se puedan efectuar con los números 2, 5, 7 y 8:

11.3 Orden, grupos y repetición La aplicación de cualquiera de las técnicas que vienen a continuación depende de si existe (o importa) el orden de los elementos, de si intervienen todos los elementos cada vez o de si hay grupos, y de la posible repetición de los elementos. Orden: deberás decidir, en base a las características del enunciado del problema, si cambiar el orden de los elemento en un grupo supone obtener un grupo distinto o no. Por ejemplo: si nos piden contar cuántas banderas de dos colores distintos puedes hacer con varios botes de pintura, ¿una bandera con una franja horizontal azul arriba y otra debajo blanca, es la misma si la franja blanca está arriba y la azul debajo? Clara-mente constituirían dos banderas diferentes, por lo que el orden (en este caso de los colores) sí importa. Debemos contestar correctamente a 4 preguntas en un examen que tiene 7 para poder aprobar; ¿influye el orden en el que elijamos las preguntas? En este caso el orden no importa. Grupos: esta es la característica que más claramente se observa en los enunciados de los problemas. A parte del número que indique la cantidad de elementos que debamos estudiar, si existen grupos, deberá existir otro número más. ¿De cuántas formas se pueden repartir 40 cartas (primer número que indica los elementos) entre 5 compañe-ros (segundo número que india que hay grupos) de mesa? ¿De cuántas maneras se pueden sentar 55 personas en un autobús de 55 plazas? Aquí sólo existe un número, y no hay grupos. En las fórmulas que verás a continuación, la letra m hará referencia al conjunto total de elementos, y la n, al número de elementos de cada grupo. Repetición: suele venir más o menos claramente indicado en el enunciado. Por ejem-plo: ¿cuántas banderas de 3 colores diferentes puedes hacer con 6 colores distintos?; ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los cinco primeros números natu-rales? (en este ejemplo no se especifica nada sobre la repetición de números, por lo que debemos suponer que sí pueden repetirse, y que, por ejemplo, el 112 es un núme-ro válido).


210

Ejercicio 5 En los siguientes experimentos, indica en cuales influye el orden en el resultado final y si se puede o no repetir un resultado individual:

Influye el orden

Se pueden repetir

Sacar el premio de la lotería nacional utilizando cinco bombos

Otorgar las medallas de oro, plata y bronce en una competición de natación en la que intervienen 8 nadadores

Formar grupos de trabajo de 5 personas en una clase de 30 alumnos

Repartir las fichas del dominó

Nombrar delegado y subdelegado en una clase de 25 alumnos

Un padre reparte (uno a uno) 12 chicles y 8 trozos de regaliz entre sus 4 hijos

Nombrar los 10 miembros de un jurado entre un grupo de 1000 personas

Formar números de dos cifras con los dígitos { }1, 2, 3, 4

Pintar una bandera con tres franjas horizontales de colores distintos

11.4 Permutaciones La fórmula que utilizaremos es:

!mP m= Que, como ves, utiliza la operación del factorial que ya hemos utilizado en alguna otra ocasión. Te recordamos que el factorial de un número se consigue multiplicando ese número por el anterior y por el anterior a este último hasta llegar a 1:

( ) ( )! 1 2 ... 3 2 1m m m m= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0! 1 ; 1! 1 ; 2! 2 1 2 ; 3! 3 2 1 6 ;

4! 4 3 2 1 24 ; 5! 120 ; 6! 720 ; 7! 5 040 ;

8! 40 320 ; 9! 362 880 ; 10! 3 628 800 ; 11! 39 916 800

= = = ⋅ = = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

= = = =


211

Como ves, es una operación que hace crecer los números muy rápidamente. A lo largo del tema, utilizaremos mucho números expresados de forma factorial, y es conveniente que aprendas a simplificar con ellos. Mira el siguiente ejemplo: Ejercicio resuelto

Obtén, sin ayuda de la calculadora, el resultado de la siguiente operación: 20!

17! 19⋅

20! 20 19 18 17! 217! 19 2 17! 19 2

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

20

10 19⋅ ⋅ 18 17!⋅ ⋅17! 19⋅ 2⋅

10 18 180= ⋅ =

Ejercicio 6 Resuelve sin operar demasiado:

200!)198! 2

a =⋅

3! 5!)6! 2!

b ⋅=

⋅

12! 7!)9! 10!

c ⋅=

⋅

Ejercicio 7 Une con flechas:

6!4!

5!6!

8!5! 3!⋅ ( )

!1 !

nn −

( )2 !!

nn+

( )

( )1 ! !

! 1 !m n

m n−−

56 16 30

nm ( )( )2 1n n+ + n


212

Utilizaremos las permutaciones que aquellos problemas donde no intervengan grupos, importando, sólo, el orden de los elementos. Ejercicio 8 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un banco de 5 plazas? Ejercicio 9 ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, sin repe-tir ninguna?

11.5 Variaciones Las variaciones pueden ser de dos tipos: variaciones ordinarias, o simplemente varia-ciones, y variaciones con repetición (cada una tiene su fórmula correspondiente). Ya se comentó en el apartado 11.3 en qué consistía la repetición o no de los elementos. Las variaciones se utilizarán en aquellos problemas donde se hagan grupos e importe el orden en la elección de los elementos.

11.5.1 Variaciones sin repetición Su fórmula es esta:

, ( 1) ( 2)...m n

n veces

V m m m= ⋅ − ⋅ − o también ,!

( )!m nmV

m n=

−

En general utilizaremos la primera de las fórmulas.

Ejercicio resuelto

Calcula las siguientes variaciones:

3456) 4,6 ⋅⋅⋅=Va 3604,6 =V

456) 3,6 ⋅⋅=Vb 1203,6 =V

56) 2,6 ⋅=Vc 302,6 =V


213

Ejercicio 10 Calcula las siguientes operaciones:

5,3

7,2

8,1

6,5

))))

a Vb Vc Vd V

=

=

=

=

Cuando veíamos las permutaciones, no había ningún problema en identificar la m que

aparece en su fórmula ( !mP m= ), puesto que al haber sólo un dato numérico en los ejercicios (por no haber grupos), ese, forzosamente, debía corresponder con la m. Sin embargo, tanto en variaciones como en combinaciones (que veremos a continua-ción), intervienen dos letras (m y n) en sus fórmulas (ya explicamos su significado en el apartado 11.3). Ejercicio 11 ¿De cuántas formas se puede nombrar al presidente, vicepresidente y secretario de una asociación que tiene 200 miembros?

11.5.2 Con repetición Su fórmula es esta:

,n

m nVR m= Como ves, se trata de una simple potencia. Ejercicio 12 Calcula las siguientes operaciones:

5,3)a VR =

7,2)b VR =

8,1)c VR =

6,5)d VR =

0,2)e VR =

3,0)f VR =


214

Ejercicio 13 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar en los que sólo intervengan el 1, el 3, el 5, el 7 ó el 9?

11.6 Combinaciones Fórmula:

( ),!

! !m n

m mCn m n n

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠

o también ,

,m n

m nn

VC

P=

Ejercicio 14 Calcula las siguientes operaciones:

5,3)a C =

7,2)b C =

8,1)c C =

8,7)d C =

Utilizaremos combinaciones cuando existan grupos, no importe el orden en el que es-cojamos los elementos y no esté permitida la repetición de elementos: Ejercicio 15 El profesor de Historia ha anunciado un examen en el que entran 7 temas, y ha dicho que pedirá que se desarrollen 3 de ellos. ¿Cuántos tipos de examen puede poner?


215

Ejercicio 16 ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 asignaturas optativas de entre 5? Para comprobar tu solución (y puesto que son pocos casos), puedes rellenar la siguien-te tabla; cada columna indica una elección posible:

Diseño y Prensa

Música

Tecnología

Cultura clásica

Plástica

Ejercicio 17 ¿Cuántas rectas se pueden formar con 10 puntos (no alineados tres o más de ellos) situados en un plano?


216

11.7 Esquema para resolver los ejercicios Te ofrecemos un resumen con todo lo visto hasta ahora, y que te servirá para saber, en cada caso, qué fórmula utilizar (en la segunda página de la unidad encontrarás otro esquema). ¿Hay

grupos? ¿Importa el

orden? ¿Se pue-

den repetir? Ejemplo

Permutaciones !mP m=

No SÍ No Ordenar 5 motos en un taller

Variaciones

( ) ( ), 1 2 ...m n

n veces

V m m m= ⋅ − ⋅ − No

Reparto del podium en una carrera con 9 corre-dores

,n

m nVR m=

SÍ SÍ

SÍ Formar números de 3 cifras con el 2, 4, 6 y 8

Combinaciones

( ),!

! !m nmC

m n n=

− ⋅ SÍ No No

Repartir las fichas del dominó

A la hora de hacer este tipo de ejercicios de combinatoria, deberás contestar a estas tres preguntas:

¿Entran todos los elementos en cada agrupación? ¿Influye el orden de colocación de los elementos? ¿Pueden repetirse los elementos?

Dos recomendaciones antes de pasar a las actividades:

− lee cada enunciado un mínimo de tres o cuatro veces para comprender bien el problema

− no olvides las unidades

11.8 Ejercicios de la unidad

Ejercicio 18 ¿De cuantos modos se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pilar, María, Alicia y Pedro, de manera que ninguno de ellos reciba dos o más premios?


217

Ejercicio 19 ¿Cuántos grupos de cuatro cartas distin-tas se pueden hacer con una baraja es-pañola? Ejercicio 20 En una vuelta ciclista participan 14 equipos, cada uno con 9 corredores. ¿De cuántas maneras puede resultar el podium final por equipos? ¿Y por corredores? Ejercicio 21

En un restaurante, la carta ofrece elegir entre seis entrantes, cuatro platos fuertes y cinco post-res. ¿Cuántos menús diferentes pueden elabo-rarse?


218

Ejercicio 22 Un entrenador de baloncesto dispone de 10 jugadores en plantilla, ¿de cuántas formas puede organizarse el equipo inicial? Ejercicio 23

Disponemos de cinco bolas de colores diferentes: azul, blanco, negro, rojo y verde, y de otras tantas cajas con los mismos colores. Se introduce al azar una bola en cada caja. ¿De cuántas formas posibles se pueden meter las bolas en las cajas?

¿En cuántos casos la bola azul estará dentro de la caja azul? Ejercicio 24 En la liga de fútbol de primera división hay 20 equipos: a) ¿Cuántas clasificaciones finales pueden darse? b) Si para la liga de campeones se clasifican los cuatro primeros equipos, ¿cuántos posibles cuartetos de equipos pueden clasificarse? c) Si para la copa de la UEFA se clasifican los equipos 5º y 6º, ¿cuántos pares de equipos pueden clasificarse? d) ¿Cuántas jornadas se disputan a lo largo de la liga?


219

Ejercicio 25 En el sistema binario de numeración (utilizado por los ordenadores), donde las únicas cifras válidas son el 0 y el 1, ¿cuántos números de 8 cifras existen? (el primer número será 0000 0000, y el último será 1111 1111; un número intermedio cualquiera puede ser: 1001 0111) Ejercicio 26 Un equipo de fútbol de primera división tiene 3 porteros, 7 defensas, 5 centrocampistas y 6 delanteros. En cada partido juegan uno, cuatro, tres y tres por cada línea, respecti-vamente. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer el entrenador si no acostumbra a cambiar a los jugadores de sus líneas habituales?


220

Ejercicio 27 Cuatro amigos juegan un torneo de ajedrez. Aquel jugador que empieza a jugar con las piezas blancas, siempre cuenta con ventaja; sin embargo, y para este ejercicio, noso-tros no lo vamos a suponer. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados? Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se realizarán?

11.9 Apéndice: recuento de posibilidades en algunos juegos de azar Ejercicio resuelto

En el juego de las quinielas, utilizamos variaciones con repetición para contar todas las quinielas diferentes que se pueden hacer.

¿Cuántas quinielas diferentes deberemos hacer para acertar los quince resultados con seguridad?, ¿cuánto nos costaría a razón de 1€ la apuesta? Con los signos 1, X, 2 podemos rellenar 15 lugares. Se trata de varia-ciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15:

153,15 3 14 348 907VR quinielas= =

Realizar ese número de apuestas nos costaría más de 14 millones de euros.


221

Ejercicio resuelto

En el caso de la bonoloto, necesitamos combinaciones para averiguar el total de boletos a rellenar.

( )49,649!

49 6 ! 6!C = =

− ⋅

49 48⋅

=47 46 45 44 43!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

43! 6⋅ 5 4⋅ ⋅ 3 2⋅ ⋅=

49 47 46 3 5 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

45

445 3

⋅⋅

=

49 47 46 3 44 13 983 816= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Realizar ese número de papeletas nos costaría casi 14 millones de euros (algo más ba-rato que realizar todas las apuestas en una quiniela). Ejercicio resuelto

Cupón de la ONCE: este caso es el más sencillo de contar ya que sólo es necesario de-terminar cuántos números son posibles.

En cada sorteo, hay 100 000 números posibles, que van desde el 00000 hasta el 99999. Si cada cupón, en un sorteo normal, cuesta 2€, nos costarían

100 000 2 € 200 000 €× = Así, asegurariamon el premio, puesto que los tendríamos todos los cupones.


222

Ejercicio resuelto

El Combo es un juego sencillo; la matriz está compuesta por 6 bolas colocadas en forma de triángulo, más una bola adicional. El juego consiste en asignar un número (del 0 al 9) a cada una de las seis bolas del triángulo, más otro número complementario (del 1 al 15) a la bola adicional.

Cada una de estas combinaciones constituye una apuesta. La forma de contar es parecida al cupón de la ONCE, pero con 6 números en vez de 5, y con la “combola” que supone elegir entre 15 números. En cada sorteo, hay 1 000 000 de posibilidades con las bolas del triángulo, y las 15 posi-bilidades de la otra bola son 15 000 000 posibilidades. Teniendo en cuenta que cada apuesta cuesta 1€, completar todos los boletos nos cos-taría: 15 millones de euros!!! Parece, a toda luces, el juego con menos probabilidad de ganar el premio en su prime-ra categoría: pleno más bola adicional) debido a sus numerosísimas posibilidades. Si quieres buscar más ejercicios o más información sobre la combinatoria y las técnicas de recuento en general, visita las siguientes direcciones: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/index.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/recuentos_bph/recuento1.htm

Matemáticas 4 ESO (objetivos mínimos) Unidad 12: Cálculo de probabilidades

223

La probabilidad es el concepto más importante de la ciencia moderna, especialmente porque nadie tiene la más ligera idea de su significado.

Bertrand Russell (filósofo inglés, 1872-1970)

Unidad 12: Cálculo de

probabilidades


224


225


Unidad 12: Cálculo de probabilidades .........................................................................227

12.1 Experimentos aleatorios vs deterministas........................................................227 12.1.1 Espacio muestral .......................................................................................228

12.2 Sucesos: tipos..................................................................................................229 12.3 Unión e intersección de sucesos .....................................................................232 12.4 Regla de Laplace .............................................................................................235 12.5 Propiedades de la probabilidad........................................................................238

12.5.1 Probabilidad de algunos sucesos ..............................................................238 12.5.2 Probabilidad de la unión y la intersección de sucesos ..............................238


− Conocer y utilizar el vocabulario básico del cálculo de probabilidades.

− Escribir el espacio muestral correspondiente a experimentos aleatorios

− Conocer los distintos tipos de sucesos, y asignarles una probabilidad mediante la regla de Laplace relacionados con los juegos de azar o con la vida cotidiana.

− Introducir el tratamiento del azar conociendo la probabilidad que tiene un suce-so de ocurrir, y así, poder llegar a predecir resultados.


− Utilizar las técnicas de probabilidad como estrategia útil para calcular riesgos y afrontar los problemas con responsabilidad (C2 y C8).

− Reconocer los fenómenos aleatorios como parte integrante del medio físico y utilizar las técnicas de probabilidad para comprender mejor dichos fenómenos dentro de los diferentes contextos en los que aparezcan (C2 y C3).


226


− Describe el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio e in-dicar los sucesos elementales que conforman un suceso compuesto

− Responde a actividades relacionadas con los tipos de sucesos

− Asigna probabilidades, mediante la regla de Laplace y con ayuda de las técni-cas de recuento, a sucesos aleatorios relacionados con actividades cotidianas

− Asigna probabilidades, utilizando las fórmulas correspondientes, a las opera-ciones con sucesos


− Experimentos aleatorios y deterministas

− Espacio muestral

− Suceso aleatorio

− Suceso elemental y suceso compuesto

− Suceso seguro y suceso imposible

− Suceso contrario

− Sucesos compatibles e incompatibles

− Sucesos dependientes e independientes

− Unión e intersección de sucesos

− Regla de Laplace

− Probabilidad de un suceso

− Probabilidad del suceso contrario

− Probabilidad de la unión de sucesos


− Clasificación de los experimentos en aleatorios y deterministas

− Obtención de los sucesos elementales que conforman un suceso compuesto

− Determinación del suceso unión e intersección de 2 sucesos y del suceso con-trario de un suceso

− Decisión sobre la compatibilidad o incompatibilidad de dos sucesos

− Asignación de probabilidades según la regla de Laplace

− Asignación de probabilidades a sucesos contrarios.

− Asignación de probabilidades a la unión de sucesos.


227

Unidad 12: Cálculo de probabilidades

Extraemos al azar una carta de una baraja española, ¿qué es más probable que salga la sota de bastos o el rey de espadas? ¿que salga un oro o una carta que no sea de oros? ¿que salga un rey o una sota? ¿que salga una figura de copas o cualquier caba-llo? Con una “probabilidad” muy alta habrás contestado muy rápido y bien a estas cuestiones (costándote, quizá, algo más la última). En este tema vamos a cuantificar esas probabilidades, es decir, les asignaremos un número que nos permita, por ejemplo, compa-rar con otras situaciones y determinar cuál es la más ventajosa.

12.1 Experimentos aleatorios vs deterministas Un experimento se considera aleatorio si no es posible predecir el resultado, por mucho que repitamos la experiencia. Cuando extraemos una carta de una baraja, no sabemos qué carta puede salir; sin embargo, si lanzamos un vaso de cristal, con fuerza, contra el suelo, podremos predecir que se hará añicos; este tipo de experimentos se llaman de-terministas. En esta unidad, sólo trataremos los experimentos aleatorios. Ejercicio 1 ¿Experimento determinista o aleatorio?

D A

Sacar una carta de la baraja y anotar cuál es

Poner un cazo con agua en el fuego de la cocina

Coger una pieza de fruta de un cesto de naranjas y anotar que fruta es

Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado

Medir el área de una sala de 5 m de largo y 2 de ancho

Lanzar un penalti y anotar el resultado

Extraer una bola de una bolsa que contiene las 15 bolas del billar americano y anotar el color

Rellenar todas las quinielas posibles y comprobar si se ha ganado un premio o no

Jugar una partida de ajedrez contra un campeón del mun-do, y anotar quien gana.


228

12.1.1 Espacio muestral Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se escriben entre paréntesis con una E delante. Ejercicio resuelto

Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Se lanza una moneda b) Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. c) Se lanza un dado de quinielas, con tres caras con un 1, dos caras con una X y

una cara con un 2. d) Se saca una tarjeta en un partido de fútbol

{ }) ,a E cara cruz=

{ }) 1, 2, 3, 4, 5, 6b E =

{ }) 1, , 2c E X=

{ }) ,d E amarilla roja=

Ejercicio 2 Determina el espacio muestral de estos experimentos: a) Lanzar dos monedas al aire y anotar los resultados (cara: c; cruz: +) b) Lanzar un dado de ocho caras c) Lanzar tres monedas d) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos e) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras (bola blanca: B; bola negra: N) f) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos (llueve: L, no llueve: N)


229

12.2 Sucesos: tipos Un suceso es cualquier parte del espacio muestral (cualquier subconjunto de E). Se representa con una letra mayúscula. Ejemplos: sacar par al lanzar un dado de parchís, conseguir cara al lanzar una moneda, obtener una figura (sota, caballo o rey) de una baraja española de 40 cartas, etc. En el experimento que consiste en lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral era { }1, 2, 3, 4, 5, 6E = , y como ejemplos de sucesos tenemos:

{ }2, 4, 6suceso A = , que es el suceso «salir número par»

{ }3, 6suceso B = , que es el suceso «salir múltiplo de 3»

{ }4suceso C = , que es el suceso «salir el número 4»

{ }suceso D = ∅ , que es el suceso «no obtener ninguno de los números que figuran en sus caras»

{ }1, 2, 3, 4, 5, 6suceso E = , que es el suceso «salir un número entre 1 y 6»

Tipos de sucesos: Suceso elemental o individual: está formado por un solo elemento (como ejemplo tenemos el suceso C anterior). Suceso compuesto: está formado por dos o más elementos (como ejemplo tenemos el suceso B anterior). Suceso seguro o cierto: es el que siempre se realiza; está formado por todos los re-sultados posibles del experimento y coincide con el espacio muestral (como ejemplo tenemos el suceso E anterior). Suceso imposible o vacío: es el que nunca se realiza; no se verifica jamás. Se repre-senta por el conjunto vacío: { }∅ (como ejemplo tenemos el suceso D anterior). Suceso contrario o complementario: dado un suceso A, se llama suceso contrario de A, y se escribirá A , al suceso que ocurre cuando no ocurre A. Sea F el suceso «salir un número mayor que 4»; el suceso F será «salir un número menor o igual que 4», es decir, { }5, 6=F y { }1, 2, 3, 4=F Sucesos compatibles: son dos o más sucesos que pueden verificarse (o darse) a la vez. Por ejemplo, los sucesos A y B anteriores: si al lanzar el dado sale un 6, se verifi-ca el suceso «salir número par» y «salir múltiplo de 3» Sucesos incompatibles: dos sucesos son incompatibles si no se pueden verificar a la vez. Por ejemplo, en el caso del dado, son incompatibles los sucesos: «salir par», y «salir impar».


230

Ejercicio 3 Dada la urna de la figura, completa las siguien-tes frases referentes al experimento de realizar una extracción al azar de una bola, y considera los siguientes sucesos:

{ }A obtener una bola blanca= ,

{ }B obtener una bola gris= ,

{ }C obtener un número par= , { }3D obtener un número menor que= ,

{ }10E obtener un número menor que= y { }10F obtener un número mayor que= . a) Los sucesos ___________ son compuestos. El suceso E es el suceso __________ , mientras que el F es un suceso _________. Además, los sucesos E y F son ________ . b) Los sucesos A y B son ___________, lo sucesos A y C son sucesos ___________ y los sucesos A y D son ____________ , pero no ____________ .

c) Los sucesos contrarios de A, B, C y D son: { }A = ,

{ }B = , { }C = y

{ }D =

Ejercicio 4 Utilizando el experimento anterior, invéntate dos sucesos compatibles y otros dos in-compatibles distintos a los indicados. ¿Cuál es el suceso contrario al suceso E? ¿Y el de F? Inventa otros sucesos que demuestren que dos sucesos contrarios son incompatibles: Inventa otros sucesos que demuestren que dos sucesos incompatibles pueden no ser contrarios:


231

Ejercicio 5 Se lanzan dos dados cúbicos, y se multiplica el resultado. a) Halla el espacio muestral: b) Determina los elementos del suceso: " 3"A salir múltiplo de= (recuerda el crite-

rio de divisibilidad del 3) y los elementos de A : c) Determina los elementos del suceso: " "B salir un número compuesto= , y B : d) Determina los elementos del suceso: " "C salir número par= , y C :

Ejercicio 6 Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso «el hijo mayor es una hembra», y B el suceso «los dos hijos pequeños son varones», ¿cuáles son los elementos de A y B? Ejercicio 7 Describe los sucesos contrarios a los que se indican:

a) En una familia de tres hermanos, la mayor es hembra (H: hembra, V: varón) b) En una familia de tres hermanos, las tres son hembras c) Sacar más de un cuatro al lanzar un dado


232

12.3 Unión e intersección de sucesos El suceso unión de dos sucesos A y B, que se representa por A B∪ , es un suceso que se da cuando se verifica A ó B. Ejemplo: si { }1, 3, 5A = y { }1, 2, 3B = , el suceso unión es: { }1, 2, 3, 5A B =∪ . Ex-presado con conjuntos:

El suceso intersección de dos sucesos A y B, que se representa por A B∩ , es un suceso que se da cuando se verifica A y B. En el ejemplo anterior, el suceso intersección es:

{ }1, 3A B =∩ . Expresado con conjuntos: Ejercicio 8 Se hace girar una ruleta como la de la figura. a) Determina los sucesos

{ }A salir un número impar= = y { }8B salir un número myor que= = b) Determina ahora los elementos del suceso unión y del suceso intersección:

A B =∪ A B =∩


233

Ejercicio 9 Se lanza un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8. Se consideran los siguientes sucesos:

" "A salir par= " "B salir impar=

" "C salir número primo= " 3"D salir múltiplo de=

" "E salir cualquier resultado= " 3"F salir menor que=

Halla los siguientes sucesos: , , , , , ,A B A C D C E D D C F A F A∩ ∪ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ Ejercicio 10 Sea el experimento consistente en el lanzamiento de un dado cúbico y los sucesos

" 3"A salir múltiplo de= , " "B salir par= y " 3"C salir menor o igual que= . Halla:

a) A B =∪ b) A B =∪

c) A B =∩ d) A B =∩

e) A C =∩ f) A C =∩ En el epígrafe 12.2 se definieron los sucesos compatibles e incompatibles (que volve-remos a utilizar en el siguiente apartado, cuando calculemos probabilidades). Ahora que conocemos más sobre la unión y la intersección de sucesos, ¿cómo redefinirías los sucesos compatibles e incompatibles?


234

Observa lo siguiente:

− Si dos sucesos son compatibles: - para hacer la unión, deberemos eliminar aquellos elementos que son co-

munes a ambos conjuntos ya que no se deben repetir elementos. { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A B =∪

- para hacer la intersección, sólo se toman en cuenta aquellos elementos que son comunes a los dos conjuntos.

{ }4, 5A B =∩ − Y si los dos sucesos son incompatibles:

- para hacer la unión, simplemente se agrupan los elemento de los dos conjuntos en uno sólo, ya que no tienen ningún elemento en común.

{ }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A B =∪ - En el caso de la intersección, siempre será el conjunto vacío.

A B =∅∩ Ejemplos de lo expresado más arriba: Unión de sucesos compatibles: sacar oros y sa-car figuras; existen elementos comunes en am-bos sucesos: la sota, el caballo y el rey de oros sólo deben aparecer una vez. Intersección de sucesos compatibles: sacar una carta que sea figura de oros; la carta pertenece al conjunto de los oros y al de las figuras. Unión de sucesos incompatibles: sacar oros o sacar espadas; no existen elementos comunes en ambos sucesos, por lo que deberemos unir todos los elementos de los dos conjuntos. Intersección de sucesos incompatibles: sacar una carta que sea de oros y de espadas a la vez; es un suceso imposible: ∅ . Toda esta información te será muy útil para el cálculo de probabilidades.


235

12.4 Regla de Laplace La probabilidad de que se dé un suceso cualquiera A es el cociente entre el número de casos favorables (son los sucesos elementales que tenga el suceso) y el número de casos posibles (que son los sucesos elementales del espacio muestral), es decir:

( ) ( )casos favorablesP A Regla de Lapacecasos posibles

=

Pierre Simón (1749 – 1827), marqués de Laplace, enunció su regla de probabilidad en 1812. Ten en cuenta lo siguiente: el número de casos favorables siempre será menor o igual al número de casos posibles, por lo que, el resultado de ese cociente será un número decimal menor o igual que 1. Más concretamente:

( )0 1P suceso≤ ≤

Es habitual multiplicar por 100% dicho resultado para obtener la probabilidad expresa-da en forma de porcentaje.

Ejemplo: ( ) 1 1100% 50%2 2

P A = = =

Ejercicio 11

Ejercicio 12 En una rifa se han hecho 1000 papeletas. Rosa ha comprado 1, y su madre 5. ¿Qué oportunidades de ganar tiene cada una?

Calcula las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de obtener 1 bola roja (BR) de una bolsa que contiene 4 bolas azules

(BN) y una roja:

b) Probabilidad de obtener 1 BR de una bolsa que contiene 3 BR y 2 BA:

c) Probabilidad de obtener 1 BR de una bolsa que contiene 5 BA:

d) Probabilidad de obtener 1 BR de una bolsa que contiene 5 BR


236

Ejercicio 13 ¿En cuál de las siguientes urnas es más probable obtener una bola roja? No lo hagas ”a ojo”, sino calculando las probabilidades:

5 rojas 3 verdes

5 rojas

4 verdes

5 rojas 2 verdes

urna 1 urna 2 urna 3 Ejercicio 14 Supón que te proponen pasar el tiempo con el siguiente juego al que pueden jugar has-ta cuatro personas: se tiene la siguiente cartulina, y se lanzan tres monedas; un jugador será “tres cruces”; otro “dos cruces y una cara” y así sucesivamente. Se tiran las tres monedas y, según lo que haya salido, el jugador correspondiente avanza una casilla. ¿Te parece un juego justo?

Tres +

Dos + y una c

Una + y dos c

Tres c

ME

TA


237

Ejercicio 15 Al lanzar dos dados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos cincos? b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 y un 6? c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un cinco? Ejercicio 16 En la lotería primitiva, ¿cuál es la probabilidad de que los seis números extraídos sean pares? Ejercicio 17 Calcula la probabilidad de acertar los seis números de la lotería primitiva realizando una sola apuesta.


238

12.5 Propiedades de la probabilidad

12.5.1 Probabilidad de algunos sucesos La probabilidad del suceso imposible es 0; es decir, ( ) 0P ∅ = (ten en cuenta que la probabilidad es un número; por tanto, no deberás poner que no existe). La probabilidad del suceso seguro es 1: ( ) 1P E = . La probabilidad del suceso contrario a un suceso, será 1 menos la probabilidad de que

ocurra dicho suceso: ( ) ( )1P A P A= − .

12.5.2 Probabilidad de la unión y la intersección de sucesos Hasta aquí, nos han preguntado sobre probabilidades de un solo suceso: sacar una espada, un rey de oros, una bola negra de una bolsa, una cruz en una moneda, más de un 4 al tirar un dado, etc. Pero también pueden preguntarnos por más de un suceso. Ejemplos: en una baraja española de 40 cartas, ¿qué probabilidad hay de que, al sacar una carta, esta sea un basto o una figura?, ¿qué probabilidad hay de sacar un as y después un dos? Ambos ejemplos los resolveremos a continuación. Sean dos sucesos A y B: Si ambos sucesos son INCOMPATIBLES: ( ) ( ) ( )P A B P A P B= +∪

Si ambos sucesos son COMPATIBLES: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + −∪ ∩ Si ambos sucesos son INDEPENDIENTES (los resultados obtenidos al ocurrir el primer suceso no influyen en el segundo): ( ) ( ) ( )P A B P A P B= ⋅∩

Si ambos sucesos son DEPENDIENTES: ( ) ( ) ( )/P A B P A P B A= ⋅∩ Ejercicio 18 Disponemos de una baraja de 40 cartas. Sea A el suceso “sacar un basto” y B el suce-so “sacar una figura”. Sacamos una carta de la baraja. Calcula la probabilidad de que la carta extraída sea basto o figura


239

Ejercicio 19 ¿Cuál es la probabilidad de no coger ningún doble al seleccionar al azar tres fichas de un dominó? (El dominó tiene 28 fichas, y de ellas, 7 son dobles) Ejercicio 20 En una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de sacar un as y después un dos: a) Reintegrando la primera carta después de la extracción:

b) Sin reintegrar la carta al mazo: Ejercicio 21 En una baraja española de 40 cartas se extraen 3 cartas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo palo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean 3 figuras? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna sea de bastos?


240

Ejercicio 22 Una urna contiene 15 bolas blancas (BB) y 12 negras (BN). Calcula: a) La probabilidad de sacar 2 BB en dos extracciones consecutivas, sin reintegrar las bolas. b) La probabilidad de sacar 2 BB, extrayendo dos bolas a la vez. Ejercicio 23 En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eli-gen tres enfermos al azar: a) Halla la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta. b) Halla la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad.


241

Ejercicio 24 Realiza el siguiente test de probabilidad y averigua lo que sabes: 1. De los siguientes experimentos di cuál no es aleatorio:

Juego de la lotería

Escoger una película al azar de entre todas las de un videoclub Escoger el libro que ocupa el lugar 340 en una biblioteca Lanzar una moneda al aire

2. En un bombo se han introducido bolas cuyos números son los 10 primeros múltiplos de dos. El espacio muestral del experimentos “sacar una bola al azar” será:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} {2, 4, 6, 8, 10} {2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20}

3. En el experimento de lanzar un dado cúbico al aire, el suceso contrario al “salir par” es:

“salir impar” “salir todos los pares” “ninguna de las dos anteriores”

4. En el experimento sacar una carta de una baraja de 40 cartas, se consideran los si-guientes sucesos: A = ”sacar una figura”, B = “sacar una copa”. El suceso BA∩ será:

“sacar el caballo de copas”

“sacar cualquier figura” “sacar el rey, el caballo o la sota de copas” “sacar el as de copas”

5. Se hace girar una ruleta con los 10 primeros números naturales consecutivos. Se consideran los sucesos A = ”obtener un número impar” y B = “sacar el 8”. El suceso

BA∪ será:

{1, 3, 5, 7, 8, 9} {1, 3, 5, 7, 9} {8}

(Sigue → )


242

(Continuación) 6. En un día de verano, la probabilidad de que haya tormenta es de 0,08. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya tormenta?

1 0’90 0’92 0’02

7. En una urna hay 5 papeletas color sepia, 3 blancas y 7 azules. ¿Cuál es la probabili-dad de sacar una papeleta sepia o azul?

4/5 7/15 5/15 1/5

8. Se saca una carta al azar de una baraja de 40 cartas. Se consideran los sucesos: A = “obtener un basto” y B = “obtener un as”. La probabilidad de BA∪ será:

7/20 7/40 13/40

9. En el juego de la Lotería Nacional, obtener un número de 5 cifras y obtener un núme-ro múltiplo de 7 son sucesos imposibles:

Verdadero Falso

10. En una partida de 100 tuercas hay 15 defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, elegida una al azar, salga no defectuosa?

0’85 0’015 15/100

Para más información accede a la siguiente dirección: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html http://descartes.cnice.mec.es/3_eso/Azar_y_probabilidad/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/4a_eso/Azar_y_probabilidad/index.htm

Matemáticas 4º ESO - · PDF fileCriterios de evaluación para Cuarto de ESO,...

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