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1 Semestre 3 Fascículo 2 Matemáticas Financieras

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Semestre 3

Fascículo

2

Matemáticas

Financieras

Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

Matemáticas financieras

Semestre 3

Tabla de contenido Página

Introducción 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascículo 2 1

Logros 2

Interés Simple e Interés Compuesto 2

Interés simple 7

Monto 7

Capital 9

Tasa de interés 10

Tiempo 11

Interés compuesto 12

Valor futuro 13

Valor presente 15

Tasa de interés (Interés compuesto) 16

Tiempo 18

Actividad de trabajo colaborativo 19

Resumen 20

Bibliografía recomendada 20

Nexo 21

Seguimiento al autoaprendizaje 23

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

Copyright©2008 FUNDACIÓÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

“Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚÚA

Tutor Programa Administración de Empresas

Sede Bogotá, D.C.

Revisión de estilo y forma;

ELIZABETH RUIZ HERRERA

Directora Nacional de Material Educativo.

DIEGO ORTÍZ MONCADA

Tutor Facultad de Universidad Abierta y a Distancia

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ

ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogotá, D.C., octubre de 2009.

Conformato:Español(alfab.internacional)

Conformato:Español(alfab.internacional)

Conformato:Español(alfab.internacional)

1

Fascículo No. 2

Semestre 3

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Interés

Simple

Generalidades

Interés

Compuesto

Operaciones financieras complejas

Con base en

y operaciones dey operaciones de

Que apoyan el Es posible resolver

Introducción

La conceptualización y desarrollo de los problemas contenidos en este

fascículo, le brindan al estudiante unos escenarios claros de aplicación de

variables financieras en las organizaciones y le proporcionan una visión

cercana de su quehacer profesional en el área financiera.

El uso correcto de los esquemas de trabajo propuestos, le permitirá al

estudiante desempeñarse con acierto en el estudio de presupuestos y

fomentará el desarrollo de una estructura mental adecuada para el

abordaje de sencillas situaciones de inversión, financiación y operación.

De igual manera, se analizará el manejo de créditos particulares y banca-

rios, así como la práctica de inversiones privadas y sus implicaciones, ya

que son temas apasionantes que se abordarán con profundidad, a partir

de una clara didáctica .

Conceptos previos

Para una mejor comprensión de las transacciones propuestas en el

fascículo, el estudiante debe consultar las tasas de captación y de

colocación del mercado financiero.

Mapa conceptual fascículo 2

2

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capa-

cidad de:

Interpretar y proponer soluciones específicas a problemas organizacio-

nales referentes a operaciones financieras de Interés Simple y Comp-

uesto.

Explicar y construir ecuaciones, tablas y diagramas para la argumen-

tación de situaciones financieras y expresar con suficiencia sus alcances.

Proponer la solución de problemas reales por medio de la incorporación

de problemas financieros concretos con cifras y tasas del mercado.

Interés Simple e Interés Compuesto Generalidades

En el fascículo 1 se hizo referencia a la Capitalización de Intereses, como

la diferencia entre el Interés Simple y el Interés Compuesto y se definieron

los símbolos a utilizar para estas dos clases de interés.

Antes de analizar cada una de las variables que intervienen en estas

operaciones, realizaremos algunas observaciones importantes para un

adecuado estudio del tema y un paralelo por medio de ejemplos, con el fin

de demostrar los efectos de la capitalización de intereses y evidenciar sus

alcances e implicaciones.

Ejemplo 1

Se realiza una inversión de $1.000.000 a una tasa de interés del 3%

mensual, durante 4 meses. Se requiere calcular los intereses generados y

la suma final acumulada (Monto o Valor Futuro), tanto a Interés Simple

como a Interés Compuesto.

Para la mejor comprensión de este ejemplo, se construirá progresivamente

una tabla donde se realizarán las observaciones del caso:

LogrosLogrosLogros

3

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

CitI

PinI

De acuerdo con la simbología indicada al final del fascículo 1.

C i t I P i n I

1 1.000.000 0,03 1 30.000 1 1.000.000 0,03 1 30.000

Interés Simple Interés Compuesto

MesCapital

Tasa de

interésTiempo Interés

Mes

Valor

presente

Tasa de

interésTiempo Interés

C i t I P i n I

1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000

2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900 0,031.000.000 0,03

Interés Simple Interés Compuesto

MesCapital

Tasa de

interésTiempo Interés

Mes

Valor

presente

Tasa de

interésTiempo Interés

Tabla 2.1 Primer período de intereses.

La operación consignada en la Tabla 2.1 fue realizada con base en la

fórmula 1.2 (fascículo 1).

Para Interés Simple:

Para Interés Compuesto:

En esta tabla (2.1) se observa que al calcular los intereses del primer

período no se presenta ninguna diferencia. Esto es así, por cuanto no se

ha iniciado la capitalización de ese interés, hallado en el interés com-

puesto.

Ahora se calculará el interés (I) para el segundo período:

Tabla 2.2 Segundo período de intereses.

En la Tabla 2.2 se observa:

4

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Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

C i t I P i n I

1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000

2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900

3 1 30.000 3 1.060.900 1 31.827

4 1 30.000 4 1.092.727 1 32.781,81

1.000.000 0,03 0,03

Valor

presente

Tasa de

interésTiempo Interés

Interés Simple Interés Compuesto

MesCapital Tiempo Interés

Tasa de

interés Mes

Respecto del Capital:

En el Interés simple, el capital (C) permanece constante en $1.000.000,

es decir, no se modifica;

En el Interés Compuesto, el capital o Valor Presente (P) se ha incremen-

tado al capitalizarse los primeros $30.000 de intereses generados el

primer período y su valor es $1.030.000.

Respecto de los intereses:

En el Interés Simple, el interés (I) del segundo período permanece cons-

tante en $30.000;

En el Interés Compuesto, el Interés (I) del segundo período se ha incre-

mentado debido al mayor valor del capital y para el segundo período es

de $30.900.

Al continuar con este procedimiento durante los meses restantes, se

obtiene el comportamiento reflejado en la siguiente tabla (2.3):

Tabla 2.3 Cálculo paralelo de intereses.

Ahora se calcula la Suma Final Acumulada (Monto o Valor Futuro). Para

ello, se toma el capital inicial y se adicionan los intereses:

Interés Simple: M = $1.000.000 + 120.000 = $1.120.000

Interés Compuesto: F = $1.000.000 + 125.508,81

= $1. 125.508,81

5

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Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

ICM IPF

En este punto se puede confirmar que el Monto (M) o Valor Futuro (F) se

expresa, de acuerdo con la fórmula 1.3 (fascículo 1), así:

Interés Simple

Interés Compuesto

Respuesta: En el interés Simple el total de intereses (I) fue de $120.000 y

el Monto (M) fue de $1.120.000. En el Interés Compuesto el total de

intereses (I) fue de $125.508,81

y el Valor Futuro (F) fue de $1.125.508,81

Albert Einstein en una de sus frases, afirmó: “El Interés Compues-

to es la fuerza más poderosa de la galaxia”. Esta afirmación se

sustenta en la capacidad que tiene el dinero para reproducirse en

forma geométrica, al aumentarse periódicamente el capital inicial,

por efectos de la capitalización de intereses. Con este fenómeno

se pretende que el dinero conserve su poder adquisitivo. Por esto,

el Interés Simple se utiliza sólo excepcionalmente, ya que, al no

capitalizar los intereses, estos pierden poder adquisitivo con el

tiempo.

Ejemplo 2

Calcular los intereses y la Suma Final Acumulada de un capital de

$100.000 invertidos a una tasa de interés del 5% mensual durante 24

meses. Representar esta transacción por medio de una gráfica y

considerar el caso de Interés Simple e Interés Compuesto.

Para establecer el comportamiento de los intereses en cada una de las dos

alternativas, se realizará un paralelo que visualmente permita verificar las

diferencias. Se aproximan las cifras a la unidad:

6

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Mon

to (P

esos

)

Tiempo (Meses)

Mes Capital

Interés

por

período

Acumulado

por períodoMes Capital

Interés

por

período

Acumulado

por período

1 100.000 5.000 105.000 1 100.000 5.000 105.000

2 100.000 5.000 110.000 2 105.000 5.250 110.250

3 100.000 5.000 115.000 3 110.250 5.513 115.763

4 100.000 5.000 120.000 4 115.763 5.788 121.551

5 100.000 5.000 125.000 5 121.551 6.078 127.628

6 100.000 5.000 130.000 6 127.628 6.381 134.010

7 100.000 5.000 135.000 7 134.010 6.700 140.710

8 100.000 5.000 140.000 8 140.710 7.036 147.746

9 100.000 5.000 145.000 9 147.746 7.387 155.133

10 100.000 5.000 150.000 10 155.133 7.757 162.889

11 100.000 5.000 155.000 11 162.889 8.144 171.034

12 100.000 5.000 160.000 12 171.034 8.552 179.586

13 100.000 5.000 165.000 13 179.586 8.979 188.565

14 100.000 5.000 170.000 14 188.565 9.428 197.993

15 100.000 5.000 175.000 15 197.993 9.900 207.893

16 100.000 5.000 180.000 16 207.893 10.395 218.287

17 100.000 5.000 185.000 17 218.287 10.914 229.202

18 100.000 5.000 190.000 18 229.202 11.460 240.662

19 100.000 5.000 195.000 19 240.662 12.033 252.695

20 100.000 5.000 200.000 20 252.695 12.635 265.330

21 100.000 5.000 205.000 21 265.330 13.266 278.596

22 100.000 5.000 210.000 22 278.596 13.930 292.526

23 100.000 5.000 215.000 23 292.526 14.626 307.152

24 100.000 5.000 220.000 24 307.152 15.358 322.510

Interés Simple Interés Compuesto

Tabla 2.4 Cálculo paralelo de Intereses y Suma Final Acumulada.

En la Tabla 2.4 se observa cómo la operación bajo el esquema de Interés

Simple presenta un comportamiento lineal, mientras que el crecimiento

bajo el esquema de Interés Compuesto se comporta de manera geo-

métrica. Esto se confirma con la siguiente gráfica (figura 2.1) que ilustra el

fenómeno:

Figura 2.1 Tendencias de Interés Simple y Compuesto.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

)1( itCM (Fórmula 2.1)

Ahora se establece el Interés (I) a partir de los resultados de la Tabla 2.4,

restando el capital inicial de la Suma Final Acumulada (Monto o Valor

Futuro), despejando I en la fórmula 2.1 (página 10), así:

Interés Simple: I = $220.000 - 100.000 = $120.000

Interés Compuesto: I = $322.510 - 100.000 = $222.510

Respuesta: A Interés Simple los intereses (I) fueron de $120.000 y el

Monto (M) fue de $220.000 y a Interés Compuesto los intereses (I) fueron

de $222.510 y el Valor Futuro (F) fue de $322.510.

2.1

Proponga 2 casos de transacciones comerciales donde sea posible

aplicar el esquema de Interés Simple y de Interés Compuesto. Realice

las tablas y gráficas de comparación entre las dos alternativas y

socialícelas con el tutor.

Interés Simple

Como se planteó anteriormente, el interés simple parte de la condición de

que los intereses generados por un capital no producen nuevos intereses.

El Capital (C) permanece invariable con el tiempo, por lo tanto los intereses

(I) se calculan siempre de la misma forma y teniendo como base los

mismos valores.

Monto

Ahora se va a establecer la fórmula abreviada de Monto (M), de acuerdo

con la combinación de las fórmulas 1.2 y 1.3 (fascículo 1), de esta manera:

Se plantea que el Monto es: M = C + I

y que el interés, es: I = Cit

Esto quiere decir que el Monto, es: M = C + Cit

y factorizando esta expresión se obtiene la fórmula de Monto a Interés

Simple:

8

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Como puede observarse, es posible determinar el Monto (M) de varias

formas: una de estas es hallar los intereses (I) en cada período para

sumarlos al Capital (C); otra forma es utilizar la fórmula abreviada para

establecer el Monto (M) partiendo de un Capital (C), una tasa de interés (i)

y un tiempo (t).

Para ilustrar el manejo de esta fórmula se resolverán los ejemplos 1 y 2 de

este fascículo de manera abreviada:

Recuerde el ejemplo 1. “Se realiza una inversión de $1.000.000 a una tasa

de interés del 3% mensual, durante 4 meses”. Se debe calcular el Monto

(M) a Interés Simple, así:

M = C (1+it)

M = 1.000.000 (1 + 0,03 * 4)

M = 1.000.000 (1,12)

M = 1.120.000

Respuesta: El Monto (M) a Interés Simple es de $1.120.000

* * *

Ahora, se resuelve el ejemplo 2. “Calcular los intereses y la Suma Final

Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de interés del

5% mensual durante 24 meses”. Para este efecto, sólo se calculará el

Monto (M) a Interés Simple, así:

M = C (1+it)

M = 100.000 (1 + 0,05 * 24)

M = 1.000.000 (2,2)

M = 220.000

Respuesta: el Monto (M) a Interés Simple es de $220.000

9

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Ejemplo 3

Se ha firmado un pagaré por $12.000.000, para ser cancelado dentro de 9

meses y se ha pactado una tasa de interés del 6,5% trimestral simple.

Determinar cuál es su valor al vencimiento.

En primer lugar, se ha de precisar que: como la tasa de interés (i) está

expresada en forma trimestral, entonces el tiempo habrá de manejarse

como 3 trimestres, con la fórmula, así:

M = C (1+it)

M = 12.000.000 (1 + 0,065 * 3)

M = 12.000.000 (1,195)

M = 14.340.000

Respuesta: el Monto (M) a Interés Simple es de $14.340.000

Capital (C)

Es frecuente que en las transacciones financieras se desee conocer el

valor del capital que requiera ser invertido, para obtener al cabo de un

tiempo cierto Monto, con el que se ha de cancelar una deuda o realizar

una inversión en el futuro.

En estos casos, se despejará el Capital (C) de la fórmula de Monto a

Interés Simple, así:

)1( it

MC

también se puede expresar:

1)1( itMC

Es importante aclarar, que estas NO son nuevas fórmulas. Simplemente

constituyen el despeje de la variable C, en la fórmula 2.1.

10

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Las tasas de interés se

consideran anuales, a

menos que expresa-mente

se indique otra unidad de

tiempo.

Ejemplo 4

Debo cancelar el saldo de un crédito bancario por valor de $8.000.000

dentro de seis meses. Tengo la oportunidad de invertir en un fondo de

inversión a una tasa de interés del 5,5% bimensual simple, (superior a la

que cobra el banco). ¿Qué cantidad se debe invertir para obtener los

$8.000.000?

Se utiliza la fórmula de Capital

)1( it

MC

y se reemplaza:

)3*055,01(

000.000.8

C =

165,1

000.000.8 = 6.866.952

79

Obsérvese que el tiempo fue expresado en bimestres (3 bimestres que

equivalen a 6 meses), debido a que la tasa de interés es bimensual.

Respuesta: se debe realizar una inversión de $6.866.95279

para obtener

$8.000.000, dentro de 6 meses a una tasa del 5,5% bimensual simple.

Tasa de Interés (i)

Entendida como el porcentaje del capital que se paga por su uso, la tasa

de interés de una transacción debe expresarse en una unidad de tiempo,

por ejemplo, 2,2% mensual, 26% anual ó 7,5% trimestral, entre otras.

Además, al momento de efectuar las operaciones correspondientes, la tasa

de interés y el tiempo deben estar en la misma unidad. Esto es: si la tasa

de interés es anual, el tiempo debe estar expresado en años; si la tasa de

interés es semestral, el tiempo debe estar expresado en semestres, etc.

En algunas ocasiones, se invierte un capital (C) y se pacta un Monto (M) a

cancelar durante un determinado tiempo (t), por lo que es necesario

establecer qué tasa de interés (i) se aplicó en esa operación. También es

posible que deba calcular a qué tasa de interés (i) se debe invertir un

capital (C) para obtener un Monto (M) en cierto tiempo (t).

11

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

En este caso, se despejará la variable Tasa de Interés (i) en la fórmula 2.1

de Monto a Interés Simple, así:

t

CMi

1

Ejemplo 5

¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron, si por tomar $4.800.000

en préstamo, tuvo que cancelar un total de $6.000.000 en 4 meses?

Se utiliza la fórmula de Tasa de interés

t

CMi

1 y se reemplaza:

t

CMi

1 =

4

1)000.800.4/000.000.6( = 0625,0

Respuesta: La tasa de interés que recaudó en la transacción fue del 6,25%

mensual simple (la tasa de interés (i) es mensual, porque el tiempo (t) ha

sido operado en meses).

Tiempo (t)

Es el lapso que transcurre entre el principio y el fin de una transacción. Si

se requiere conocer el tiempo en el que un Capital (C) debe estar invertido

para obtener determinado Monto (M), entonces se debe despejar el

Tiempo (t) de la fórmula 2.1, así:

i

CMt

1

Ejemplo 6

Se depositan $20.000.000 en un fondo que reconoce una tasa de interés

del 2,5% trimestral simple, ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para poder

retirar un total de $21.500.000?

Se utiliza la fórmula de Tiempo

i

CMt

1 y se reemplaza:

12

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

i

CMt

1 =

025,0

1)000.000.20/000.000.21( = 3

Respuesta: es necesario invertir el dinero durante 3 trimestres, es decir,

durante 9 meses.

Nótese que la respuesta inicialmente se redactó en la misma unidad en

que se operó la tasa de interés, es decir, trimestralmente.

Lo usual es presentar los resultados del tiempo en términos de años,

meses y días, en lo posible, ya que es más natural su expresión. Para ello

se deben realizar las conversiones pertinentes entre las diferentes

unidades de tiempo.

Resumen de fórmulas derivadas de la fórmula 2.1

)1( itCM (Fórmula 2.1)

Despeje de Capital: )1( it

MC

Despeje de Tasa de interés:

t

CMi

1

Despeje de Tiempo:

i

CMt

1

2.2

Consulte y explique al menos dos usos diferentes de las fórmulas de:

Capital (C), Tasa de Interés (i) y Tiempo (t) a Interés Simple.

Interés Compuesto

La mayoría de las operaciones económicas, comerciales y financieras se

desarrollan bajo esquemas matemáticos de Interés Compuesto. Ejemplos

13

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

En matemáticas financieras,

gradientes son anualidades

o series de pagos periódicos,

en los cuales cada pago es

igual al anterior más una can-

tidad; esta cantidad puede

ser constante o proporcional

al pago inmediatamente ante-

rior. El monto en que varía

cada pago determina la clase

de gradiente. (Tomado de

http://www.eumed.net/libros/

2006b/cag3/2e.htm).

VPN: Valor Presente Neto.

TIR: Tasa Interna de Retorno.

Ambos son indicadores de

evaluación financiera de pro-

yectos.

de esto son: el caso de los salarios, las cuotas de vivienda, los precios de

bienes y servicios, arrendamientos, gastos de educación, y cuentas de

ahorros, entre otros, que cada año se incrementan con base en su valor

acumulado.

En adelante, en esta asignatura se utilizará el Interés Compuesto como

base para el abordaje de todos los problemas que se irán planteando y

resolviendo. La aceptación universal de estos esquemas, ha hecho que los

programas por computador e incluso las hojas de cálculo que ejecutan

funciones financieras, lo hagan bajo conceptos de acumulación de

intereses.

Las operaciones tradicionales de anualidades, gradientes, amortizaciones

y pagos parciales; así como las operaciones complejas de evaluación

financiera de proyectos de inversión, como VPN y TIR, responden a los

principios del Interés Compuesto.

Es por esta razón que se ha decidido independizar los símbolos con el

Interés Simple, para marcar una diferencia entre los dos esquemas de

trabajo y, adecuar el estudio del Interés Compuesto a las tendencias de

nomenclatura para el desarrollo de software con aplicación y aceptación

internacional.

Valor Futuro (F)

También conocido como Monto a Interés Compuesto, consiste en la

acumulación sistemática del Interés Simple durante n períodos.

La fórmula de Monto a Interés Simple es la base para la construcción de la

fórmula de Valor Futuro, que permite ahorrar tiempo y recursos en el

fatigoso cálculo de sumas parciales por cada período.

La construcción del modelo de Interés Compuesto, tal como se desarrolló

en las Tablas 2.3 y 2.4, indica que en cada período el cálculo del Monto

14

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Compuesto parte del inmediatamente anterior. Los cálculos se realizan de

la siguiente forma:

Para el primer período: M = C(1+i)

Para el segundo período: M = C(1+i) (1+i) = C(1+i)2

Para el tercer período: M = C(1+i) (1+i)(1+i) = C(1+i)3

De esta manera, al generalizar a n períodos de tiempo, se encuentra la

fórmula de Valor Futuro a Interés Compuesto:

niPF )1( (Fórmula 2.2)

Para ilustrar el manejo de esta fórmula se resolverán los ejemplos 1 y 2 de

este fascículo, a Interés Compuesto, de manera abreviada:

El ejemplo 1 planteaba: “Se realiza una inversión de $1.000.000 a una tasa

de interés del 3% mensual, durante 4 meses”. Se debe calcular el Valor

Futuro (F) a Interés Compuesto, así:

F = P (1+i)n

F = 1.000.000 (1+0,03)4

F = 1.000.000 (1,12550881)

F = 1.125.50881

Respuesta: el Valor Futuro (F) a Interés Compuesto es de $1.125.508

81

* * *

En el ejemplo 2, se pedía “Calcular los intereses y la Suma Final

Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de interés del

5% mensual durante 24 meses”. Para este efecto, sólo se calculará el Valor

Futuro (F) a Interés Compuesto, así:

F = P (1+i)n

F = 100.000 (1+0,05)24

15

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

F = 100.000 (3,22510)

F = 322.510

Respuesta: el Valor Futuro (F) a Interés Compuesto, es de $322.510.

Ejemplo 7

Hoy consigno, $3.000.000 en una cuenta bancaria que paga intereses a la

tasa del 1,2% trimestral vencido. ¿Cuánto dinero tendré acumulado en la

cuenta dentro de quince meses?

La tasa de interés tiene capitalización trimestral, por esta razón el tiempo

se expresará en trimestres.

Los datos en este problema son:

P = $3.000.000; i = 0,012 trimestral; n = 5 trimestres

Aplicando la fórmula de Valor Futuro, se tiene:

F = P (1+i)n

F = 3.000.000 (1+0,012)5

F = 3.000.000 (1,061457384)

F = 3.184.37215

Respuesta: el Valor Futuro (F) a Interés Compuesto es de $3.184.372

15

Valor Presente (P)

También conocido como Valor Actual, es aquella cantidad que a Interés

Compuesto tendrá un valor equivalente con una o varias sumas de dinero

ubicadas en el futuro, dada una tasa de interés y un tiempo pactado. Es el

equivalente a un valor futuro, en una fecha anterior.

Para determinar la cuantía de un Valor Presente (P), conociendo el Valor

Futuro (F), la tasa de interés (i) y el Tiempo (t), se despeja la fórmula 2.2,

así:

16

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

ni

FP

)1(

también se puede expresar:

niFP )1(

Ejemplo 8

Se firmó un Pagaré con un banco por valor de $18.000.000 que vence

dentro de seis meses. Si se quiere saldar la deuda el día de hoy, qué valor

se debe cancelar, teniendo en cuenta que la tasa de interés pactada fue

del 2,3% mensual.

Los datos en este problema son:

F = $18.000.000; i = 0,023 mensual; n = 6 meses

Aplicando la fórmula de Valor Presente, se tiene:

P = F (1+i)-n

P = 18.000.000 (1+0,023)-6

P = 18.000.000 (0,872461352)

P = 15.704.30433

Respuesta: el Valor Presente (P) a Interés Compuesto es de $15.704.304

33

Tasa de Interés (i) (Interés compuesto)

Para el Interés Compuesto, la variable Tasa de Interés cobra una impor-

tancia y una complejidad significativa, teniendo en cuenta que las conver-

siones de tasas en sus diferentes períodos no se realizan directamente (2%

mensual no es equivalente a 24% anual o a 12% semestral), sino que

requieren de fórmulas matemáticas para operarlas.

Esta situación ha provocado en el mercado financiero, la distinción de

tasas denominadas: efectivas, nominales y periódicas; a pesar de que la

regla es utilizar tasas vencidas, también se encuentran escenarios donde

se requiere la aplicación de tasas anticipadas en sus diferentes deno-

minaciones.

17

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Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Estas y otras tasas y sus equivalencias, serán tratadas con detalle en el

fascículo 3, en el apartado “Tasas de Interés” donde se explicarán y apli-

carán a problemas cotidianos con el fin de analizar las tareas financieras

en las organizaciones.

En este fascículo, se analizarán los alcances de las tasas de interés en

operaciones financieras en las que entran en juego un Valor Presente (P) y

un Valor Futuro (F) , por lo que entre ellos dos, media un tiempo (n).

Al despejar esta variable en la fórmula 2.2, la Tasa de Interés se explica así:

1 n PFi .

No obstante, en pro de facilitar este tipo de cálculo se sugiere el manejo de

la siguiente fórmula:

1

/1

n

P

Fi

Ejemplo 9

Hace 12 meses se depositaron $10.000.000 en una cuenta de ahorros. El

día de hoy, se han acumulado $11.268.25030

en la cuenta ¿Qué tasa de

interés se aplicó durante el tiempo transcurrido?

Los datos en este problema son:

P = $10.000.000; F = $11.268.25030

; n = 12 meses

Aplicando la fórmula de Tasa de Interés, se tiene:

1

/1

n

P

Fi 1

000.000.10

30,250.268.1112/1

01,0

Respuesta: la tasa de Interés que se aplicó fue del 1% mensual.

18

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Fascículo No. 2

Semestre 3

Obsérvese que el resultado de la tasa de interés se ha expresado

“mensual”. Esto se debe a que el tiempo de transacción es dado en forma

mensual dentro de la ecuación. Si se expresara el tiempo en años, la

respuesta sería en otro sentido, veamos:

Los datos en este problema se plantean así:

P = $10.000.000; F = $11.268.25030

; n = 1 año.

Aplicando la fórmula de Tasa de Interés, se tiene:

1

/1

n

P

Fi 1

000.000.10

30,250.268.111/1

1268253,0

Respuesta: la Tasa de Interés que se aplicó fue del 12,68253% anual.

Ahora bien, la respuesta se expresa en forma anual, ya que el tiempo

operó en años en la ecuación.

De estos resultados se puede concluir que una tasa del 1% mensual, es

equivalente a una tasa del 12.68253% anual (y no del 12% anual como

podría pensarse). Esta situación será objeto de análisis profundo en el

fascículo 3.

Tiempo (n)

Si se conoce el Valor Futuro (F), el Valor Presente (P) y la Tasa de Interés

(i), es posible hallar el Tiempo (t) de la transacción, al despejar la variable

en la fórmula 2.2, aplicando logaritmos de la siguiente manera:

iLog

PFLogn

1

Ejemplo 10

¿En qué tiempo una inversión de $20.000.000 se convierte en

$24.686.04622

, considerando una tasa de interés del 4,3% bimensual?

Los datos en este problema son:

P = $20.000.000; F = $24.686.04622

; i = 4,3% bimensual

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Fascículo No. 2

Semestre 3

Aplicando la fórmula de Tiempo, se tiene:

iLog

PFLogn

1

043,01

000.000.2022,046.686.24

Log

Log

5n

Respuesta: El tiempo que se requiere es de 5 bimestres, es decir, 10

meses.

Nótese que la tasa de interés estaba expresada en bimestres, por lo que la

respuesta fue presentada inicialmente en la misma unidad.

Resumen de fórmulas derivadas de la fórmula 2.2

niPF )1( (Fórmula 2.2)

Despeje del Valor Presente:

niFP )1(

Despeje de Tasa de interés: 1

/1

n

P

Fi

Despeje de Tiempo:

iLog

PFLogn

1

En grupos de tres estudiantes, realicen una investigación de campo y determinen:

qué tasas de interés de captación (en cuentas de ahorro, corrientes y CDT’s) y de

colocación se manejan actualmente en al menos 5 entidades financieras (su valor

y presentación en unidades de tiempo). Socialicen los resultados con el tutor para

su retroalimentación.

20

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Fascículo No. 2

Semestre 3

La correcta combinación de las variables de una transacción financiera

donde aparecen: un Capital (C) o Valor Presente (P), una Tasa de Interés

(i) y un Tiempo (t) (n), arrojan como resultado el Interés (I). Este interés

puede ser considerado desde dos alternativas: Simple o Compuesto.

En el Interés Simple, el capital permanece constante durante el tiempo de

la transacción y los Intereses se liquidan por la misma cantidad. En el

Interés Compuesto, los intereses generados en cada período se convierten

en capital y producen nuevos intereses.

Al finalizar, el cómputo total de los intereses se suma al capital y confor-

man una nueva variable: el Monto (M) o Valor Futuro (F). Las transacciones

financieras, por regla general, se calculan bajo esquemas de Interés

Compuesto, cuya fórmula es: niPF )1(

AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 2001.

BACA CURREA, Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá

D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).

CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.

Primera edición. México: Trillas, 2004

CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:

CECSA, 1999. (Texto guía).

DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 1997.

GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia

21

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,

2000. (Texto guía).

PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:

Mc Graw Hill, 1997.

SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.

Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

En el Fascículo 3, se analizarán con profundidad los alcances de las tasas

de interés y sus equivalencias, para lograr una percepción correcta de los

efectos del costo del dinero en el tiempo. Además, se introducen en este

estudio, operaciones más complejas de valores equivalentes en el tiempo.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Matemáticas Financieras - Fascículo No. 2

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad___________________________________Semestre: _______________

Resuelva las siguientes preguntas de selección múltiple con única respuesta, con

el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:

1. El cálculo del salario mínimo en cada año responde al esquema planteado en

operaciones de:

A. Interés simple: porque la base de cálculo de cada año es la misma.

B. Interés simple: porque el incremento en pesos es constante para cada

uno de los años siguientes.

C. Interés compuesto: porque el cálculo se realiza sobre el último valor

acumulado.

D. Interés compuesto: porque la tasa de interés de incremento es anual.

2. Al invertir una suma de $100.000.000, a una tasa de interés del 2% mensual,

durante un año, se obtienen los siguientes resultados, a Interés Simple e

Interés Compuesto, respectivamente:

A. Simple = $124.000.000 Compuesto =

$122.640.00024

B. Simple = $126.400.020 Compuesto =

$124.640.00024

C. Simple = $126.400.020 Compuesto =

$126.824.17946

D. Simple = $124.000.000 Compuesto =

$126.824.17946

Resuelva las preguntas 3 y 4, con base en el siguiente planteamiento:

“En el año 2000 un total de 1.500 estudiantes en la ciudad poseían un

computador en su casa. En el año 2006 este número aumenta a 2.800. Se

requiere calcular cuántos estudiantes tendrán computador en el año 2010 si se

mantiene la tasa de crecimiento”.

3. Las fórmulas que se utilizan para resolver el problema planteado son:

A. niPF )1( y

ni

FP

)1(

24

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 2

Semestre 3

B. 1

/1

n

P

Fi y

niPF )1(

C. niPF )1( y

iLog

PFLogn

1

D. 1

/1

n

P

Fi y

niFP )1(

4. La respuesta al problema es:

a. 6.422 estudiantes

b. 2.850 estudiantes

c. 4.245 estudiantes

d. 28.000 estudiantes

5. De las siguientes tasas de interés, ¿Cuál es la que mayor rentabilidad

reporta al cabo de un año?

a. 3% mensual

b. 6% bimensual

c. 9% trimestral

d. 18% semestral