MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE ...

MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL

SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10

56 http://damasorojas.jimdo.com Dr. DÁMASO ROJAS Twitter: @DmasoRojas

COORDENADAS POLARES. CURVAS EN COORDENADAS POLARES COORDENADAS POLARES DE UN PUNTO Hay otra forma de determinar un punto del plano usando únicamente una semirecta llamada eje polar. Un punto del plano puede describirse mediante dos números: la

distancia del punto al extremo de la semirecta, llamado polo, y θ el ángulo que forma el eje polar con el segmento que une el punto con el polo, este ángulo debe medirse en sentido opuesto a las agujas del reloj.

A se le llama radio vector o distancia radial y a θ ángulo polar o argumento.

Dado que se usan ángulos es evidente que un mismo punto puede tener distintas coordenadas polares, eso sí todas ellas con el mismo radio vector y con argumentos que

difieran en múltiplos enteros de 2π (dicho de otra forma: al calcular el argumento se pueden dar unas vueltecitas). Además para el polo, y sólo para él, se da la circunstancia de que no tiene sentido hablar de argumento, ya que en este caso el segmento que une el polo consigo mismo se reduce a un punto y por tanto no hay ángulo con el eje polar, así se aceptan como coordenadas

polares del polo cualquier par (0, )θ .

PUNTOS EN COORDENADAS POLARES. Para graficar puntos en coordenadas polares usando DERIVE hay que cambiar el tipo de coordenadas que se usan. En la ventana de gráficos en dos dimensiones en que se quiera dibujar en coordenadas polares, se abre una ventana de gráfica en 2D, se activa seleccionar y luego seleccione sistemas de coordenadas:

y en ella se elige la opción Polares.




Al cambiar la opción del tipo de sistema de referencia utilizado a coordenadas polares esta opción permanece así hasta que vuelva a ser cambiada. El programa DERIVE informa sobre el tipo de coordenadas en que se hará el dibujo en la parte izquierda de la barra de estado (que si está visible aparece en la parte inferior de la pantalla), si aparece un cuadrado dibujado sobre un sistema de referencia se interpretarán las coordenadas como cartesianas, si aparecen circunferencias se interpretarán como polares.

Ejemplo. Dibujar los puntos de coordenadas polares:

32 2 2 2 6

(0, ), (0, ), (3,0), (1, ), (2, ), (2, ), (4, 2 ), (3, ).(2, )π π π π ππ π π

Para graficar una recta




De la definición de radio polar se deduce que no puede ser negativo (de hecho casi siempre es positivo, sólo al polo corresponde un radio polar nulo), ya que se ha definido como una distancia. Sin embargo, en algunas ocasiones se abusa del lenguaje y se aceptan radios polares negativos considerando que se deba añadirπ al argumento. Dicho de otra forma,

( , )ρ θ− se considera lo mismo que ( , )ρ θ π+ . Lamentablemente DERIVE acepta este

abuso que puede dar lugar a errores. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES. El paso de coordenadas cartesianas a polares es muy sencillo si se supone que el polo coincide con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y la recta polar coincide con la parte positiva del eje de abscisas (de hecho esta suposición es la que ha hecho DERIVE al dibujar anteriormente los puntos). Esta suposición no supone ninguna restricción, ya que siempre se puede hacer un cambio previo en el sistema de coordenadas cartesianas para tener esta situación.

Tal como se ha definido previamente, el radio vector es la distancia entre el punto ( , )x y

y el polo, que es el punto (0,0) , de donde se deduce que 2 2x yρ = + (también se

llega a la misma conclusión observando que el radio vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x e y respectivamente). Respecto al argumento

es obvio que la tangente del ángulo θ es y

x, por tanto ( )arctan

y

xθ =

Resumiendo ( )2 2 ; arctany

xx yρ θ= + =

Se puede implementar una función DERIVE que automáticamente transforme las coordenadas cartesianas de un punto en las correspondientes polares, de forma que dadas las coordenadas cartesianas de un punto aplique las expresiones anteriores automáticamente. Para definirla, en la ventana de algebra, se abre una ventana de diálogo.




Definición de una función, en la ventana NOMBRE DE LA FUNCIÓN Y ARGUMENTOS, se introduce el nombre que se quiera dar a la función y los argumentos que va a tener (x e y, las coordenadas cartesianas del punto), por ejemplo: CARPOL(X,Y)

Y en la ventana DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN: se escribirá [sqrt(x^2+y^2),atan(y,x)]. Después se acepta con el botón «OK» o con <ENTER> Nota: Se podría haber definido la función directamente en la barra de introducir expresiones: CARPOL(X,Y) := [SQRT(X^2+Y^2),ATAN(Y,X)]

La función atan( , )y x está definida en DERIVE y calcula el arco tangente del ángulo que

forma el radio vector del punto ( , )x y con el eje polar. Nótese que se ha de cambiar el

orden de las coordenadas.

Ejemplo: Calcular las coordenadas polares de los puntos usando la función previamente

definida. (0,0); (1,1);( 1,0); (0,1.5);( 3,1);( 2, 1);(0, 4)− − − − −




Nótese la respuesta al origen. De los ejercicios anteriores se observará que el resultado es correcto aunque la tangente del argumento no esté definida, como ocurre para los puntos sobre el eje de ordenadas (0, )y . También se observará que el argumento se toma en el

intervalo [ ],π π− . Si se prefiere que se haga en el intervalo [ ]0, 2π se puede definir una

nueva función. CARTPOL2(x,y):=[√(x^2+y^2),if(atan(y,x)>=0,atan(x,y),atan(y,x)+2pi, atan(y,x))] Ejemplo. Repetir el ejemplo anterior usando la nueva función.




CAMBIO DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Para pasar de coordenadas polares a cartesianas, que: cos ;x y senρ θ ρ θ= =

También se puede definir una función en DERIVE que haga el cambio automáticamente POLCAR(ρ,θ):=[ρcosθ,ρsinθ] Ejemplo. Encontrar las coordenadas cartesianas de los puntos de coordenadas polares

52 2 2

(0, );(0, );(2, );(2, )π π ππ

CURVAS EN POLARES Algunas curvas son muy fáciles de describir usando las coordenadas polares. La mayoría

de ellas no tienen una expresión explícita como función de sus coordenadas cartesianas.

Normalmente una curva en polares se describe dando su radio vector como función del

argumento, es decir de la forma ( )ρ ρ θ= . El argumento θ suele variar entonces en el

intervalo [ )0,∞ o bien en el intervalo [ ]0, 2π o algún otro similar.

COORDENADAS POLARES DE LAS RECTAS

Si una recta pasa por el polo y el ángulo que forma con el eje polar es 0θ la ecuación de la

recta es 0θ θ= . Nótese que en la ecuación no aparece ρ y que si sólo se admiten valores

no negativos del radio vector entonces la ecuación debe ser doble 0 0óθ θ θ θ π= = +

Si la recta no pasa por el polo para determinar su ecuación hay que trazar la perpendicular a la misma desde el polo. Si esta perpendicular corta a la recta en el punto ( , )p w (nótese

que p es la distancia del polo a la recta), entonces la ecuación de la recta es cos( )w pρ θ − =




Conociendo dos puntos 1 1 2 2( , ); ( , )p pθ θ por donde pasa la recta se obtiene la ecuación

1 1 2 2 1 2 2 1( ( ) ( )) ( )p sen p sen p p senρ θ θ θ θ θ θ− + − = −

RECTAS.

RECTAS HORIZONTALES

RECTAS VERTICALES

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN La ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r es 2 2 2x y r+ =

Se introducirá esta ecuación y se pasará a polares, con el siguiente procedimiento. Se

activa el comando SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLES, y cambiar los valores:

cos( ); sin( )x por y porρ θ ρ θ Simplificar el resultado.




Teniendo en cuenta que ρ no debe ser negativo y que r es positivo, resulta que la

ecuación de la circunferencia es muy sencilla rρ = .

Por ejemplo, para dibujar la circunferencia de radio 2, hay que introducir la expresión 2ρ = , abrir una ventana de dibujo en dos dimensiones, cambiar el sistema de

coordenadas a polares, y aceptar el rango propuesto por DERIVE

Si este es[ ]0,π , para el ángulo polar θ . El resultado es el mismo que se obtuvo al dibujar

la circunferencia en curvas definidas paramétricamente.

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL EJE POLAR TANGENTE AL EJE 2

π

Una ecuación polar de la circunferencia de radio a unidades, tangente al eje 2

π, y con su

centro en el eje polar o en su prolongación, viene expresada por la ecuación 2 cosr aρ θ= =

Si 0a > , la circunferencia está a la derecha del polo Si 0a < , la circunferencia está a la izquierda del polo




CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL EJE2

π TANGENTE AL EJE POLAR

La ecuación polar de la circunferencia de radio b unidades, con su centro sobre el eje2

πo

en su prolongación, y es tangente al eje polar tiene como ecuación: 2r bsenρ θ= =

Si 0b > , la circunferencia está por arriba del polo Si 0b < , la circunferencia se encuentra debajo del polo.

LAS ECUACIONES DE LAS CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES

La ecuación polar de una cónica es de la forma1 cos

p

eρ

θ=

−donde “e” es la

excentricidad de la cónica. Si e < 1 se trata de una elipse, si e = 1 es una parábola y si e > 1 una hipérbola. Además el polo es uno de los focos de la cónica descrita. Esta observación permite

interpretar el parámetro p como la abscisa correspondiente al polo, ya que para 2

πθ = se

tiene pρ = y por tanto la cónica pasa por el punto de coordenadas polares ( , )2

pπ

Se

observa también que la circunferencia es un caso particular de la elipse, concretamente cuando la excentricidad e es 0. DIBUJAR LAS SIGUIENTES CURVAS

LA ELIPSE. Ejemplo. 2

1 0.5cosρ

θ=

−




LA HIPÉRBOLA. 2

1 2cosρ

θ=

−

LA PARÁBOLA 2

1 cosρ

θ=

−

LA LEMNISCATA DE BERNOUILLI 2 cos2ρ θ=




LA CARDIOIDE 2(1 cos )ρ θ= +

LA ESPIRAL LOGARÍTMICA 0.5e θρ =

LA ROSA DE TRES PÉTALOS 2 (3 )senρ θ=

LA ROSA DE CUATRO PÉTALOS 3 (2 )senρ θ=

Como se habrá observado estas curvas suelen tener muchas simetrías. Si ( ) ( )ρ θ ρ θ− = se tendrá simetría respecto al eje de abscisas.




Si ( ) ( )ρ π θ ρ θ− = se tendrá simetría respecto al eje de ordenadas, y

Si ( ) ( )ρ π θ ρ θ+ = se tendrá simetría respecto al origen.

Ahora vamos a graficar algunas de esas curvas, pero tomando en cuenta las restricciones dadas.

LA ROSA DE TRES PÉTALOS cos(3 ); , 02

πρ θ θ

− = ∈

LA CARDIOIDE [ ]2(1 cos ); 0,ρ θ θ π= + ∈

LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES [ ]3 ; 0,10ρ θ θ π= ∈

LA ESPIRAL HIPERBÓLICA [ ]2; ,100ρ θ π π

θ= ∈




En general si se tiene ( ) ( )ρ π θ ρ θ+ = se tendrá que si el punto ( , )ρ θ es de la curva,

también lo son los puntos ( , )k dondek Nρ θ α+ ∈ . Esto permite dibujar la curva haciendo

rotaciones y, sobre todo, permite simplificar cálculos en los que hay que usar integrales,

como cálculos de longitudes, áreas, etc.

El siguiente ejemplo muestra cómo las simetrías y rotaciones pueden utilizarse para representar gráficamente una curva en polares. Hay que comprobar con DERIVE las afirmaciones que se harán a continuación. Considérese la curva de ecuación polar cos(3 )ρ θ= Para 0θ = se obtiene el punto de

coordenadas polares (1, 0), luego ρ va disminuyendo de valor hasta anularse para6

πθ =

Entre este ángulo y 2

πθ = no hay gráfica de la función, pues corresponderían valores

negativos del radio vector, luego volvería a hacerse positivo y se podría seguir dibujando la gráfica. Sin embargo es más fácil completar la figura una vez dibujado el primer arco si se tiene en cuenta que el coseno es una función par, es decir tal que cos( ) cos( )θ θ− = , lo

que implica que la gráfica es simétrica respecto al eje de abscisas (o semieje polar), esto permite «cerrar» el primer pétalo. Como la función coseno es periódica de periodo 2π se

tendrá que cos(3 )ρ θ= es periódica de periodo 2

3

π (es decir 120 grados), con lo cual se

obtendrá la gráfica completa girando el pétalo 2

3

πy a su vez éste otra vez.

Si se pide ahora calcular la superficie encerrada por esta curva o la longitud de la misma

bastaría con resolver el problema correspondiente a un (o a medio) pétalo y multiplicar

por 3 (o por 6).

LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CURVAS DE ECUACIÓN POLAR CONOCIDA A partir de la ecuación polar ( ); Iρ ρ θ θ= ∈ , donde I es un intervalo (cerrado, abierto,

semiabierto, acotado o no) es relativamente sencillo obtener una expresión cartesiana




paramétrica de la curva usando como parámetro el ánguloθ , Se tiene así que una

parametrización de la curva es ( ) ( ) cos , ( ) ( )x y sen Iθ ρ θ θ θ ρ θ θ θ= = ∈

A partir de aquí puede obtenerse la expresión para la pendiente de la recta tangente a la

curva en un punto. Teniendo en cuenta la expresión para la derivada a una curva a partir

de sus coordenadas paramétricas

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA EN UN PUNTO.

Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función ( )r fρ θ= = diferenciable (o derivable) dada por Para encontrar la pendiente en

forma polar, se usan las ecuaciones paramétricas: cos( ) ( ) cos( ); ( ) ( ) ( )x r x f y rsen y f senθ θ θ θ θ θ= ⇒ = = ⇒ = Mediante el uso de la

forma paramétrica de dy

dx, se obtiene

dy

dy ddxdx

d

θ

θ

= , entonces, sí f es una función

diferenciable (o derivable) deθ entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

en el punto ( , )r θ es ( ) ( ) ( ) cos( )

cos( ) ( ) ( ) ( )

dy sen f fm

dx f f sen

θ θ θ θθ θ θ θ

′ += =

′ −

Las rectas tangentes horizontales ocurren cuando se iguala a cero el numerador de m y el

denominador es diferente de cero.

Las rectas tangentes verticales ocurren cuando el denominador de m es cero y el

numerador es diferente de cero.

1. De las soluciones 0dy

dθ= se tiene una tangente horizontal, siempre que 0

dx

dθ≠

2. De las soluciones 0dx

dθ= se tiene una tangente vertical, siempre que 0

dy

dθ≠

Si y dy dx

yd dθ θ

simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto a

las rectas tangentes. Rectas tangentes en el polo Supóngase que la gráfica de ( )r fρ θ= = pasa por el polo

cuando ( ) 0y fθ α α′= ≠ Entonces la recta θ α= es tangente a la gráfica de ( )r f θ= en el

polo. Ejemplo. Determine los puntos en los que la cardioide ( ) 1 cos( )rρ θ θ= = − tiene rectas

tangentes horizontales y verticales. Dibuje la gráfica y muestre los puntos por donde

pasan sus rectas tangentes.




Colocamos en la barra de expresiones:

M ≔ (2·COS(θ)^2 - COS(θ) - 1)/(SIN(θ)·(1 - 2·COS(θ)))

Para determinar las rectas tangentes horizontales se iguala el numerador a cero

Esto nos indica los puntos de tangente horizontal que se obtienen, ahora se sustitruyen en la expresión #70 ( ) 1 cos( )rρ θ θ= = − para determinar los puntos donde la curva tiene

rectas tangentes horizontales.

Esos son los puntos donde existe RECTAS TANGENTES HORIZONTALES. Para determinar las rectas tangentes VERTICALES se iguala el denominador a cero

Los valores positivos calculados se sustitruyen la expresión #70 ( ) 1 cos( )rρ θ θ= = − para

determinar los puntos donde la curva tiene rectas tangentes verticales.(el valor negativo carece de sentido)

Por tanto, la curva tiene una RECTA TANGENTE VERTICAL en esos puntos PARA GRAFICAR:




CÁLCULO DE ÁREAS DE UNA REGIÓN POLAR El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usa como elemento básico del área sectores circulares. Sí f es continua y no negativa en el intervalo dado por ; 0 2α θ β β α π≤ ≤ < − ≤ entonces

el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de ( )r f θ= entre las rectas radiales

yθ α θ β= = está dada por: 2 21 1( ( ))

2 2A f d r d

β β

α αθ θ θ= =∫ ∫

NOTA La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo α θ β≤ ≤

Ejemplo. Determinar el área de la región de la cardioide α θ β≤ ≤

Para calcular el área, debemos activar del fichero de utilidades del programa DERIVE: INTEGRATIONAPPLICATIONS.MTH, para realizar los cálculos de áreas, y GRAPHICSFUNCTIONS.MTH, para graficar las áreas a cálcular, mediante el siguiente procedimiento: ARCHIVO, LEER, UTILIDADES y luego seleccionar esos ficheros.




Debe aparecer esta información:

Ahora copiamos la ecuación: 1cos( )ρ θ=

Definimos el comando para graficar el área entre curvas (ver guía primeros pasos con DERIVE)

Esto significa lo siguiente: AreaBetweenCurves(u,v,x,a,b): representa el área entre u(x) y v(x) desde x = a a b (a < b) Ahora sólo sustituimos, las curvas, la variable, y los límites de integración, (que representan los cortes entre las curvas)

Luego la rutina para graficar, y obtenemos:

Definimos otro comando, para cálcular el área buscada: POLAR_AREA(r, r1, r2, θ, θ1, θ2) ≔ ∫(∫(r, r, r1, r2), θ, θ1, θ2) Donde: (radio vector,curva(1), curva(2),argumento, límite inf,límite sup)

Sustituimos los valores y resolvemos




CÁLCULO DE ÁREAS DE GRÁFICAS POLARES. PUNTOS DE INTERSECCIÓN Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por ejemplo, considérense los puntos de intersección de las gráficas de 1 2cos 1r y rθ= − =

Se trata de hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se obtiene:

Ésta es una de las razones por las que es necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar. Para graficar esas curvas y ver los puntos de intersección

CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE GRÁFICAS Ejemplo: Determinar el área de la región encerrada por la cardioide 1 cosr θ= − y a la

izquierda de la recta 3

4x = − .

Se hace la conversión de la RECTA DE FORMA CARTESIANA A FORMA POLAR, definiendo este comando: RectaV(x, θ) ≔ x/COS(θ)




En caso que la recta sea horizontal se utiliza este comando:

Se determina los cortes entre las curvas:

Graficamos:

Y ahora graficamos ambos resultados




Y por último calculamos el área solicitada:

Otra forma de hacer los cáculos de áreas es programando otros comandos: POLAR_AREA2(r, α, a, b) ≔ 1/2∫(r^2, α, a, b) POLAR_ENTREAREA(r, ρ, α, a, b) ≔ 1/2·∫(r^2 - ρ^2, α, a, b)

Ejercicio propuesto: Hallar el área de la región común a las dos regiones limitadas por las curvas siguientes. 6cos 2 2cosr y rθ θ= − = − (Circunferencia, Cardioide)

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