Matemàtiques 4t A ESO Capítol 33. Així resulta 2 ⋅ 3 + 5 = 11, i es diu que el valor numèric...

LibrosMareaVerde.tk

www.apuntesmareaverde.org.es

Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez

Revisora: María Molero

Il·lustracions: Banc d’Imatges d’INTEF. commons.wikimedia

Traducció al valencià: Pedro Podadera IES Juan de Garay

Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades:

4t A ESOCapítol 3:

Polinomis. Fraccionsalgebraiques

Índex

1. INTRODUCCIÓ. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES1.1. INTRODUCCIÓ

1.2. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

2. POLINOMIS. SUMA I PRODUCTE 2.1. MONOMIS. POLINOMIS

2.2. SUMA DE POLINOMIS

2.3. PRODUCTE DE POLINOMIS

3. DIVISIÓ DE POLINOMIS3.1. INTRODUCCIÓ A LES FRACCIONS POLINÒMIQUES

3.2. DIVISIÓ DE POLINOMIS

3.3. OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGEBRAIQUES

4. DESCOMPOSICIÓ FACTORIAL D’UN POLINOMI4.1. FACTORITZACIÓ D’UN POLINOMI

4.2. ARRELS D’UN POLINOMI

4.3. REGLA DE RUFFINI

4.4. CÀLCUL DE LES ARRELS D’UN POLINOMI

4.5. FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES

4.6. PRODUCTES NOTABLES DE POLINOMIS

ResumEn Babilònia ja utilitzaven l’Àlgebra, però els egipcis i els grecs la tractaven utilitzant la Geometria. Elsàrabs van arreplegar el saber antic d’Orient i Occident i van portar l’Àlgebra a Europa. La paraula“àlgebra” en àrab significa “restaurar” i en el Quixot apareixen algebristes que restauraven els ossostrencats. Al segle XIII, Fibonacci, (Leonardo de Pisa) va viatjar i va contactar amb matemàtics àrabs ihindús. El seu llibre, Líber abaci, pot ser considerat el primer llibre d’Àlgebra europeu. Al Renaixementitalià ja va haver-hi grans algebristes que s’ocupaven, principalment, de la resolució d’equacions.

Després, el punt de vista va canviar. L’Àlgebra Moderna s’ocupa de les estructures algebraiques, que vea ser el trobar les propietats comunes que puguen tindre distints conjunts, com per exemple, trobarsimilituds entre els nombres enters, que ja coneixes, i els polinomis que treballarem en aquest capítol.

Hui els ordinadors són capaços de treballar amb expressions algebraiques.

Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades. 4t A d’ESO. Capítol 3: Polinomis Autor: Eduardo Cuchillo IbáñezLibrosMareaVerde.tk Traducció al valencià: Pedro Podadera IES Juan de Garaywww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d’Imatges d’INTEF

62 Polinomis. Fraccions algebraiques. 4t A ESO

1. INTRODUCCIÓ. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

1.1. IntroduccióNo cal imaginar situacions rebuscades per a que, a l’hora de realitzar un raonament, ens topem ambalguna de les quatre operacions matemàtiques bàsiques: suma, resta, multiplicació o divisió.

Exemples:

• Anna, Antoni i Eduard han realitzat un viatge, i a la tornada han sumat elsgastos efectuats que ascendeixen a 522 €. El gasto realitzat per cada un

ha sigut 3

522 €, és a dir, 174 €.

• Si comprarem pomes a una fruiteria en què el preud’un quilogram és de 1’3 €, resulta habitual que, segons anem col·locant lafruita a la balança, vaja indicant l’import final. Per a això realitza l’operació:1,3∙x, on x és la quantitat de quilograms que ens ha indicat la balança. Després

de cada pesada, el resultat d’aqueixa multiplicació reflectix l’import de lespomes que, en aqueix moment, conté la bossa.

• Recordes la fórmula de l'Interès: I = 100

Crt , on I és l'interès que es rep en col·locar un capital C,

amb un rèdit r, durant un nombre d’anys t.

• Suposem que tenim un contracte amb una companyia de telefonia mòbil pel que paguem 5cèntims d’euro per minut, així com 12 cèntims per establiment de telefonada. Amb aqueixatarifa, una telefonada de 3 minuts ens costarà:

27'012'015'012'0)305'0( =+=+⋅ €

Però quin és el preu d’una telefonada qualsevol? Com desconeixem laseua duració, ens trobem amb una quantitat no determinada, oindeterminada, per la qual cosa en qualsevol resposta que donem a lapregunta anterior s’apreciarà l’absència d’aqueixa dada concreta.Podem dir que el cost d’una telefonada qualsevol és

12'005'012'0)05'0( +⋅=+⋅ xx euros

on x assenyala la seua duració, en minuts.

• Per a calcular el valor del perímetre d’un rectangle de costats a i b s’utilitza l’expressió:

2 ⋅ a + 2 ⋅ b

• L'expressió algebraica que ens representa el producte dels quadrats de dos nombresqualssevol x e y es simbolitza per x2 ⋅ y2

Activitats proposades1. A finals de cada mes l’empresa de telefonia mòbil ens proporciona la factura mensual. En ella

apareix molta informació, en particular, el nombre total de telefonades realitzades (N) així com la



quantitat total de minuts de conversació (M). Amb les dades de l’anteriorexemple, justifica que l’import de les telefonades efectuades durantaqueix mes és:

NMNM ⋅+⋅=⋅+⋅ 12'005'0)12'0()05'0( €

Exemple:

• És ben coneguda la fórmula de l’àrea d’un triangle de base b i alturaassociada h:

2

hbA

⋅=

En tots aquests exemples han sorgit expressions algebraiques.

1.2. Expressions algebraiquesAnomenarem expressió algebraica a qualsevol expressió matemàtica que es construïsca amb nombresreals, lletres i les operacions matemàtiques bàsiques: suma, resta, multiplicació i/o divisió.

En una expressió algebraica pot haver-hi dades no concretades; unes vegades haurem d’obtindre elsvalors que “resolen” l’expressió, i en altres, com la fórmula de l’àrea del triangle, es verifiquen per aqualsevol valor. Segons el context, rebran el nom de variable, indeterminada, paràmetre, incògnita,entre altres.

Si en una expressió algebraica no hi ha variables, la dita expressió no és més que un nombre real.

En fixar un valor concret per a cada indeterminada d’una expressió algebraica apareix un nombre real:el valor numèric d’aqueixa expressió algebraica per a tals valors de les indeterminades.

El valor numèric d’una expressió algebraica és el que s’obté en substituir les lletres d’aqueixa expressióper determinats valors.

Exemple:

• El volum d’un cilindre ve donat per l’expressió algebraica

hr ⋅⋅ 2π

en la que r és el radi del cercle base i h és la seua altura. D’esta manera, elvolum d’un cilindre la base del qual té un radi de 10 cm i d’altura 15 cm ésigual a: 32 15001510 cmππ ⋅=⋅⋅

• El valor de l’expressió 2a + 5 per al cas concret de a igual a 3 el calculem substituint a per3. Així resulta 2 ⋅ 3 + 5 = 11, i es diu que el valor numèric de 2a + 5 para a = 3 és 11.

• Si a l’expressió z

yxx 6

27 3 −⋅++

particularitzem les tres variables amb els valors 4=x , 1−=y , 2

1=z



sorgeix el nombre real 7124272/1

6)1(4

2

47 3 −=−−+=−−⋅++

En una expressió algebraica pot no tindre sentit donar algun valor a certa indeterminada. En efecte, al’últim exemple no és possible fer 0=z .

Activitats proposades2. Escriu l’expressió algebraica que ens proporciona l’àrea d’un cercle.

3. Escriu en llenguatge algebraic els següents enunciats, referits a dosnombres qualssevol: x i y:

a) La meitat de l’oposat de la seua suma.

b) La suma dels seus cubs

c) El cub de la seua suma

d) L’invers de la seua suma

e) La suma dels seus inversos

4. Tradueix a un enunciat en llenguatge natural les següents expressions algebraiques:

a) 3x + 4 b) x/3 − x3 c) (x3 + y3 + z3)/3 d) (x2 − y2) / (x − y)2

5. Una botiga de roba anuncia en els seus aparadors que està de rebaixes i que tots els seus articlesestan rebaixats un 15 % sobre el preu imprès en cada etiqueta. Escriu el que pagarem per una peçaen funció del que apareix a la seua etiqueta.

6. L'anterior comerç, als últims dies del període de rebaixes, desitja desfer-sede les seues existències i per a això ha decidit augmentar el descompte.Manté el 15 % per a la compra d’una única peça i, a partir de la segona, eldescompte total augmenta un 5 % per cada nova peça de roba, fins a unmàxim de 20 articles. Analitza quant pagarem en realitzar una compra enfunció de la suma total de les quantitats que figuren en les etiquetes i delnombre d’articles que s’adquirisquen.

7. Calcula el valor numèric de les següents expressions algebraiques per al valor o els valors ques’indiquen:

a) x2 + 7x − 12 per a x = 0.

b) (a + b)2 − (a2 + b2) per a a = −3 i b = 4.

c) a2 − 5a + 2 per a a = −1.

8. Indica en cada cas el valor numèric de l’expressió següent: 10x + 20y + 30z

a) x = 1, y = 2, z = 1

b) x = 2, y = 0, z = 5

c) x = 0, y = 1, z = 0.



2. POLINOMIS. SUMA I PRODUCTE

2.1. Monomis. PolinomisUnes expressions algebraiques de gran utilitat són els polinomis, la versió més simple i, dels quals almateix temps, generadora d’ells són els monomis.

Un monomi ve donat pel producte de nombres reals i variables (o indeterminades). Anomenaremcoeficient d’un monomi al nombre real que multiplica a la part literal, indeterminada oindeterminades.

Exemples:

• L'expressió que ens proporciona el doble d’una quantitat, 2∙x, és un monomi amb una únicavariable, x, i coeficient 2.

• El volum d’un cilindre, hr ⋅⋅ 2π , és un monomi amb dues indeterminades, r i h , i coeficient .π

La seua part literal és hr ⋅2 .

• Altres monomis: 32

7

4yx ⋅⋅ , zyx ⋅⋅⋅⋅ 225

• L'expressió 7xy2 + 3xy + 2x està formada per tres termes, tres monomis, cada un té un coeficienti una part literal:

Al primer, 7xy2, el coeficient és 7 i la part literal x y2

Al segon, 3xy, té per coeficient 3 i part literal x∙y

I al tercer, 2x, el coeficient és 2 i la part literal x.

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal.

Per exemple:

Són monomis semblants: 7xy3 i 3xy3.

Atenent a l’exponent de la variable, o variables, adjudicarem un grau a cada monomi d’acord amb elcriteri següent:

• Quan hi haja una única indeterminada, el grau del monomi serà l’exponent de la seuaindeterminada.

• Si apareixen diverses indeterminades, el grau del monomi serà la suma dels exponentsd’aqueixes indeterminades.

Exemples:

• 3∙x és un monomi de grau 1 en la variable x.

• hr ⋅⋅ 2π és un monomi de grau 3 en les indeterminades r i h .

• 32

7

4yx ⋅⋅ és un monomi de grau 5 en x i y .

• zyx ⋅⋅⋅⋅ 225 és un monomi de grau 4 en x , y i z .

Un nombre real pot ser considerat com un monomi de grau 0.



Activitats proposades9. Indica el coeficient i la part literal de les monomis següents:

a) (3/2)x2y3 b) (1/2)a27b4c c) (2x5z9c)/2

Un polinomi és una expressió construïda a partir de la suma de monomis.

El grau d’un polinomi vindrà donat pel major grau dels seus monomis.

Exemples:

• 275

1 32 +⋅−⋅ xx és un polinomi de grau 3 a la variable x .

• xxy ⋅+⋅+⋅− 283 24 és un polinomi de grau 4 a les indeterminades x i y .

• 232 374 yyx ⋅+−⋅⋅ és un polinomi de grau 5 en x i y .

• zyx ⋅+⋅− 62 és un polinomi de grau 1 en x , y i z .

L'aspecte genèric d’un polinomi en la variable x és

012

21

1 ...... axaxaxaxa nn

nn +++++ −

−

on els coeficients ka són nombres reals.

Direm que un polinomi és mònic quan el coeficient del seu terme de major grau és igual a 1.

Un polinomi està ordenat si els seus monomis estan escrits de menor a major grau o viceversa.

Un polinomi és complet si estan els monomis de tots els graus, sense coeficients nuls.

Exemples:

• 234

18 24 ++− xx és un polinomi de grau 4 en la variable x . Està ordenat i no és complet.

• 947 3 −+ yy és un polinomi de grau 3 en la indeterminada y . Està ordenat i no és complet.

• 862 +− zz és un polinomi de grau 2 en z . A més, és un polinomi mònic, ordenat i complet.

• 25 +x és un polinomi de grau 1 en x . A més, és un polinomi ordenat i complet.

Com ocorre amb qualsevol expressió algebraica, si fixem, o triem, un valor concret per a la variable d’unpolinomi apareix un nombre real: el valor numèric del polinomi per a aqueix valor determinat de lavariable. Si hem anomenat p a un polinomi, a l’avaluació de p en, per exemple, el nombre -3 ladenotem per p(-3), i llegim “p de menys tres” o “p en menys tres”. Amb aquest criteri, si p és unpolinomi la indeterminada del qual és la variable x, podem referir-nos a ell com p o p(x)indistintament. D’aquesta manera apreciem que un polinomi pot ser entès com una manera concretad’assignar a cada nombre real un altre nombre real. En aqueix cas a y=p(x) diem que és una funciópolinòmica.



Exemples:

• Si avaluem el polinomi 25

13 24 ++−≡ xxp en 5=x ens trobem amb el nombre

186871875256253255

153)5( 24 −=+−=++⋅−=+⋅+⋅−=p

• El valor del polinomi 734)( 3 −+= yyyq per a 1−=y és

1410473)1(47)1(3)1(4)1( 3 −=−−=−−−⋅=−−⋅+−⋅=−q

• En particularitzar el polinomi 1232 +−≡ zzr en 0=z resulta el nombre 12)0( =r .

2.2. Suma de polinomisCom un polinomi és una suma de monomis, la suma de dos polinomis és un altre polinomi. A l’hora desumar dos polinomis, amb la mateixa indeterminada, procedirem a sumar els monomis de la mateixapart literal.

Exemples:

• La suma dels polinomis 25

13 24 ++− xx i 654 24 −−+− xxx és el polinomi

455

214)62(54

5

1)13(

)62(545

1)3()654(2

5

13

2424

22442424

)(

)()(

−−+−=−+−⋅++⋅−−=

=−+−++−−=−−+−+++−

xxxxxx

xxxxxxxxxx

• 66)71()43()5()74()135( 22222 −+=−++−++=−+++− xxxxxxxxxx

• 142)4()12( 3443 +++−=+−++ xxxxxx

• 11)2()9( 33 =+−++ xx

• 3xy + 5xy + 2x = 8xy + 2x

• 5abx2 + 3abx – 2abx2 – 4abx + 3abx2 = (5abx2 – 2abx2 + 3abx2) + (3abx – 4abx) = 6 abx2 – abx

Al següent exemple sumarem dos polinomis disposant-los, adequadament, un sobre un altre.

Exemple:

22523

63547

4524

345

235

2345

−−++−

−−++−+

++−++

xxxx

xxxx

xxxxx



Propietats de la suma de polinomis Propietat commutativa. Si p i q són dos polinomis, no importa l’orde en què els col·loquem a l’hora desumar-los:

pqqp +≡+

Exemple:

855)17()32()4()13()724( 23223232 +−+−=++−−+++−=+−+−++− xxxxxxxxxxxxx

855)71()23()4()724()13( 23223223 +−+−=++−−+++−=+−++−+− xxxxxxxxxxxxx

Propietat associativa. Ens assenyala com es poden sumar tres o més polinomis. Basta fer-lo agrupant-los de dos en dos:

)()( rqprqp ++≡++

Exemple:

245)6()855(

)6()13724()6()13()724(2323

232232

+−+−=−++−+−=

=−++−+−+−=−++−+−++−

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

També:

245)52()724(

)613()724()6()13()724(23232

232232

+−+−=−−+−++−=

=−++−+−++−=−++−+−++−

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

Activitats proposades10. Realitza les següents sumes de polinomis:

• )3233()243()22( 2322 −+−++−−+− xxxxxxx

• )623()564()432(2 3234 +−++−−+−++− xxxxxxx

11. Simplifica les següents expressions algebraiques:

a) 3x −4 − (3x + 2) + 4x b) 3(x2 −4x + 6) − (x2 − 6x + 5)

c) (−3)(2a + 4b) − (2b − 3a) d) 4(2a2 − 2ab + 2b2) − (3a2 −4ab)

Element neutre. Hi ha un polinomi amb una propietat particular: el resultat de sumar-lo amb qualsevolaltre sempre és aquest últim. Es tracta del polinomi donat pel nombre 0, el polinomi zero.

Exemple:

7370)737()737(0 333 ++−=+++−=++−+ xxxxxx



Element oposat. Cada polinomi té associat un altre, al que anomenarem el seu polinomi oposat, tal quela suma d’ambdós és igual al polinomi zero. Aconseguim el polinomi oposat d’un donat, simplement,canviant el signe de cada monomi.

Exemple:

• El polinomi oposat de 722 34 −++−≡ xxxp es 722 34 +−− xxx , al que denotarem com

"" p− . Ratifiquem que la seua suma és el polinomi zero:

0)77()22()()22()722()722( 33443434 =+−+−+−++−=+−−+−++− xxxxxxxxxxxx

Activitats proposades12. Escriu el polinomi oposat de cada un dels polinomis següents:

• 25264 234 −+++ xxxx

• x9

• 24 42 xx +−

13. Considera els polinomis 362 3 +−−≡ xxp , 922 2 ++≡ xxq , així com el polinomi suma qps +≡ .

Troba els valors que adopta cada un d’ells per a x=-2, és a dir, calcula )2(−p , )2(−q i )2(−s . Estudia

si hi ha alguna relació entre aqueixos tres valors.

14. Obtín el valor del polinomi 362 3 +−−≡ xxp en 3=x . Quin valor pren el polinomi oposat de p en

x=3?

2.3. Producte de polinomisUna altra operació que podem realitzar amb polinomis és la multiplicació.

El resultat del producte de polinomis sempre serà un altre polinomi. Encara que en un polinomi tenimuna indeterminada, o variable, com ella pren valors als nombres reals, a l’hora de multiplicar polinomisutilitzarem les propietats de la suma i el producte dels nombres reals, en particular la propietatdistributiva del producte respecte de la suma; així, tot queda en funció del producte de monomis,qüestió que resolem amb facilitat:

mnmn abxbxax +=⋅

Exemples:

• 64242 102)5(2)5( xxxx −=⋅⋅−=⋅− +

• 333 20)4(5)4(5 xxx −=⋅−⋅=−⋅



• 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx +−=⋅+⋅−⋅=+−⋅

• xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433 +−=−⋅−+−⋅+−⋅−=−⋅−+−

• (3x-2)·(x²-4x-5)=(3x)·(x²-4x-5)+(-2)·(x²-4x-5)=(3x³-12x²-15x)+(-2x²+8x+10)=

10714310)815()212(3 23223 +−−=++−+−−+= xxxxxxxx

• xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433 +−−=+−+−=−⋅−+⋅−=−⋅−

També podem materialitzar el producte de polinomis tal com multipliquem nombres enters:

Exemple:

41162

42

1236

42

13

42

2345

235

24

3

2

3

+−+−+−

++−−−

++−

+−×++−

xxxxx

xxx

xxx

xx

xx

xx

Recordem que el polinomi oposat d’un altre s’obté simplement canviant el signe de cada monomi.Aquesta acció es correspon de multiplicar pel nombre “-1” el polinomi original. D’aquesta manera elpolinomi oposat de p és

pp ⋅−≡− )1(

En aquest moment apareix de manera natural l’operació diferència, o resta, de polinomis. La definimamb l’ajuda del polinomi oposat d’un donat:

qpqpqp ⋅−+≡−+≡− )1()(

Exemple:

4382)62(3)35(2

)632()235()632()235(2342234

23422342

−−−−=−+−−−+−=

=−−−++−−=+++−−+−−

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

Activitats proposades15. Efectua els següents productes de polinomis:

• )4()35( 23 xxx −⋅+−

• )54()23( 4 −−⋅+ xxx

• )4()223( 223 xxxxx −⋅−+

• )3236()1( 23 +−−⋅− xxx



16. Realitza les següents diferències de polinomis:

• )2()3( 23 xxx −−+−

• )54()23( 4 −−−+ xxx

• )22()24( 232 xxxxx −+−−

17. Multiplica cada un dels següents polinomis per un nombre de tal forma que sorgisquen polinomismònics:

• xxx +− 23 23

• 524 4 −+− xx

• 622 −+− xx

18. Calcula i simplifica els productes següents:

a) 3x ⋅ (2x2 + 4x − 6) b) (3x − 4) ⋅ (4x + 6)

c) (2a2 − 5b) ⋅ (4b − 3a3) d) (3a − 6) ⋅ (8 − 2a) ⋅ (9a − 2)

Propietats del producte de polinomis Propietat commutativa. Si p i q són dos polinomis, no importa l’orde en què els col·loquem a l’hora demultiplicar-los:

pqqp ⋅≡⋅

Exemple:2342334232323 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx −+−=−++−=+−⋅−+−⋅=+−⋅−

23423342323 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx −+−=−++−=−⋅+−⋅−=−⋅+−

Propietat associativa. Ens assenyala com es poden multiplicar tres o més polinomis. Basta fer-loagrupant-los de dos en dos:

)()( rqprqp ⋅⋅≡⋅⋅

Exemple:

( )xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

266184122266441212

)()26412()()13()24(234563243546

32332

−++−−=−++−+−−==+−⋅−++−=+−⋅+−⋅−

També:

( )xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

266184122266441212

)33()24()()13()24(234563243546

324232

−++−−=−++−+−−==+−−⋅−=+−⋅+−⋅−



Activitats proposades19. Realitza els següents productes de polinomis:

• 322 3)243( xxxx ⋅+−−⋅

• )2()564()43( 2 xxxx −⋅+−−⋅−

Element neutre. Hi ha un polinomi amb una propietat particular: en multiplicar-lo per qualsevol altresempre ens dóna aquest últim. Es tracta del polinomi donat pel nombre 1, el polinomi unitat.

Exemple:

3251)325()325(1 333 +−−=⋅+−−=+−−⋅ xxxxxx

Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Quan en una multiplicació de polinomisun dels factors ve donat com la suma de dos polinomis com, per exemple,

( ))4()72()3( 32 xxxxx −++−⋅−

tenim dues opcions per a conèixer el resultat:

a) realitzar la suma i, després, multiplicar

( ) ( )xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

7271837621183

76)3()4()72()3(234524235

3232

−+−−=−+−+−==+−⋅−=−++−⋅−

b) distribuir, aplicar, la multiplicació a cada un dels sumands i, després, sumar:

( )xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

727183)4123()72216(

)4()3()72()3()4()72()3(23452435223

32232

−+−−=+−−+−++−==−⋅−++−⋅−=−++−⋅−

Comprovem que obtenim el mateix resultat.

En general, la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma ens diu que

( ) ( ) ( )rpqprqp ⋅+⋅≡+⋅

Convé comentar que l’anterior propietat distributiva llegida en sentit contrari, de dreta a esquerra, és elque comunament es denomina traure factor comú.

Exemple:2232345 2)1923(21846 xxxxxxxx ⋅+−−=+−−

Activitats proposades20. De cada un dels següents polinomis extrau algun factor que siga comú als seus monomis:

• xxx 104020 23 +−−

• 24 3060 xx −



3. DIVISIÓ DE POLINOMIS

3.1. Introducció a les fraccions polinòmiquesFins a aquest moment hem estudiat la suma i el producte de polinomis. En qualsevol dels casos elresultat sempre és un altre polinomi. Quan establim una fracció polinòmica. com, per exemple,

32

32

3

−+−xx

xx

el que tenim és una fracció algebraica, que en general, no és un polinomi. Sí que apareix un polinomi enel cas particular en què el denominador és un nombre real diferent de zero, açò és, un polinomi de grau0.

És senzill constatar que l’expressió anterior no és un polinomi: qualsevol polinomi pot ser avaluat enqualsevol nombre real. No obstant això aqueixa expressió no pot ser avaluada per a x=1, ja que ensquedaria el nombre 0 al denominador.

Podríem creure que la següent fracció polinòmica. sí que és un polinomi:

352352352 2

2323

−+−=−++−=−+−xx

x

x

x

x

x

x

x

xxx

L'expressió de la dreta sí que és un polinomi, perquè es tracta d’una suma de monomis, però la del’esquerra no ho és ja que no pot ser avaluada en x=0. No obstant això, aqueixa fracció algebraica i elpolinomi, quan són avaluats en qualsevol nombre diferent de zero, ofereixen el mateix valor. Sónexpressions equivalents quan ambdós tenen sentit.

3.2. Divisió de polinomisEncara que, com hem vist en l’apartat anterior, una fracció polinòmica., en general, no és un polinomi,anem a endinsar-nos en la divisió de polinomis perquè és una qüestió important i útil.

Analitzem amb deteniment la divisió de dos nombres enters positius. Quan dividim dos nombres, D(dividend) entre d (divisor, diferent de 0), sorgeixen altres dos, el quocient (c) i el residu (r). Ells estroben lligats per l’anomenada prova de la divisió:

rcdD +⋅=

Alternativament:

d

rc

d

D +=

A més, diem que la divisió és exacta quan 0=r .

El conegut algoritme de la divisió persegueix trobar un nombre enter, el quocient c, tal que el residu rsiga un nombre menor que el divisor d, i major o igual que zero. Fixem-nos en que, sense aquestaexigència per al residu r, podem triar arbitràriament un valor per al quocient c el qual ens subministra elseu valor associat com a residu r. En efecte, si tenim com a dividend D = 673 i com divisor d = 12, “sivolem” que el quocient siga c = 48 el seu residu associat és



975766734812673 =−=⋅−=⋅−= cdDr

i la connexió entre aquests quatre nombres és 974812673 +⋅=

Aquesta última “lectura” de la divisió de nombres enters va a guiar-nos a l’hora de dividir dospolinomis.

Donats dos polinomis )(xp i )(xq , la divisió de )(xp , polinomi dividend, entre )(xq , polinomi divisor,

ens proporcionarà altres dos polinomis, el polinomi quocient )(xc i el polinomi residu )(xr . També ací

pesarà una exigència sobre el polinomi residu: el seu grau haurà de ser menor que el grau del polinomidivisor. La relació entre els quatre serà, naturalment,

)()()()( xrxcxqxp +⋅=

També escriurem )(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp +=

encara que, en este cas, serem conscients de les cauteles assenyalades en l’apartat anterior quant a les

equivalències entre polinomis i altres expressions algebraiques.

Igual que ocorre amb l’algoritme de la divisió entera, l’algoritme de la divisió de polinomis consta de

diverses etapes, de caràcter repetitiu, en cada una de les quals apareixen uns polinomis quocient i

residu “provisionals” de manera que el grau d’aqueixos polinomis residu va descendint fins que ens

topem amb un el grau del qual és inferior al grau del polinomi divisor, la qual cosa indica que hem

conclòs. Vegem aquest procediment amb un exemple concret.

Exemple:

Dividirem el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq . Com el

polinomi divisor, )(xq , és de grau 2, hem de trobar dos polinomis, un polinomi quocient )(xc , i un

polinomi residu )(xr de grau 1 o 0, tals que )()()()( xrxcxqxp +⋅=

o, com a igualtat entre expressions algebraiques, )(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp +=

A la vista dels polinomis )(xp i )(xq , i del que s’ha dit sobre )(xr , és evident que el grau del polinomi

quocient, )(xc , ha de ser igual a 2. Anem a obtindre-lo monomi a monomi.

• Primera aproximació als polinomis quocient i residu:

Per a poder aconseguir la igualtat rcqp +⋅≡ , com el grau de )(xr serà 1 o 0, el terme de major grau de

p(x), 6x⁴ , sorgirà del producte q(x)·c(x). Així obtenim la primera aproximació de c(x) , el seu monomi de



major grau: 21 3)( xxc =

i, de manera automàtica, també un primer residu )(1 xr :

2388)936()2356(

3)32()2356()()()()(23234234

2223411

−+−=+−−−+++=

=⋅+−−−+++=⋅−=

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxcxqxpxr

Com aquest polinomi r1(x) és de grau 3, major que 2, el grau del polinomi divisor q(x), aqueix polinomiresidu no és el definitiu; hem de continuar.

• Segona aproximació als polinomis quocient i residu:

Si particularitzem la igualtat entre expressions algebraiques )(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp += al que tenim fins ara

resulta 32

23883

32

23562

232

2

234

+−−+−+=

+−−+++

xx

xxxx

xx

xxxx

Aquesta segona etapa consisteix a dividir el polinomi 2388)( 231 −+−= xxxxr , sorgit com a residu de

l’etapa anterior, entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq , el divisor inicial. És a dir, repetim el que hem fet

abans però considerant un nou polinomi dividend: el polinomi residu del pas anterior.

El nou objectiu és aconseguir la igualtat rcqr +⋅≡ 21 . Igual que abans, el grau deuria de ser 1 o 0. Com

el terme de major grau de )(1 xr , 38x , ix del producte )()( 2 xcxq ⋅ , és necessari que el polinomi

quocient continga el monomi xxc 4)(2 =

Això ens porta a un segon residu )(2 xr :

294)1248()2388(

4)32()2388()()()()(22323

223212

−−−=+−−−+−=

=⋅+−−−+−=⋅−=

xxxxxxxx

xxxxxxxcxqxrxr

Com aquest polinomi r2(x) és de grau 2, igual que el grau del polinomi divisor q(x), aqueix polinomiresidu no és el definitiu; hem de continuar.

• Tercera aproximació als polinomis quocient i residu:

Allò que s’ha realitzat a l’etapa segona ens permet avançar en l’adequada descomposició de l’expressió

algebraica que ens ocupa:

32

29443

32

23883

32

23562

22

2

232

2

234

+−−−−++=

+−−+−+=

+−−+++

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

Aquesta tercera etapa consisteix a dividir el polinomi 294)( 22 −−−= xxxr , el residu de l’etapa anterior,

entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq , el divisor inicial. De nou repetim l’algoritme però amb un altre

polinomi dividend: el polinomi residu del pas anterior.



Perseguim que rcqr +⋅≡ 32 . Com en cada pas, el grau deuria de ser 1 o 0. El terme de major grau de

)(2 xr , 24x− , sorgeix del producte )()( 3 xcxq ⋅ , per la qual cosa 2)(3 −=xc

i el tercer residu )(3 xr és

411)624()294(

)2()32()294()()()()(22

22323

+−=−+−−−−−=

=−⋅+−−−−−=⋅−=

xxxxx

xxxxxcxqxrxr

Com aquest polinomi )(3 xr és de grau 1, menor que 2, grau del polinomi divisor )(xq , aqueix polinomi

residu sí que és el definitiu. Hem conclòs:

32

411243

32

29443

32

23883

32

23562

22

22

2

232

2

234

+−+−+−+=

+−−−−++=

+−−+−+=

+−−+++

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

Si ho expressem mitjançant polinomis:

)411()243()32(2356 22234 +−+−+⋅+−=−+++ xxxxxxxxx

Conclusió: en dividir el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq

obtenim com a polinomi quocient 243)( 2 −+= xxxc i com a polinomi residu 411)( +−= xxr .

A continuació agilitzarem la divisió de polinomis:

Activitats proposades21. Comprova que els càlculs que tens a continuació reflecteixen el que es va fer en l’exemple anterior

per a dividir el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq .

• Primera etapa: 2388

3936

32|2356

23

2234

2234

−+−−+−

+−−+++

xxx

xxxx

xxxxxx

• Primera i segona etapes:

294

1248

2388

43936

32|2356

2

23

23

2234

2234

−−−−+−

−+−+−+−

+−−+++

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxx

• Les tres etapes:



411

624

294

1248

2388

243936

32|2356

2

2

23

23

2234

2234

+−+−−−−

−+−−+−

−+−+−

+−−+++

x

xx

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxx

22. Divideix els polinomis següents:

• 6223 23 +−− xxx entre 532 +− xx

• 54315 23 ++−− xxx entre 4225 23 +−− xxx

• 84776 234 −−+− xxxx entre 522 2 ++− xx

• 6437316 2345 ++++−− xxxxx entre 224 23 −++ xxx

• 237 25 ++− xx entre 42 +x

23. Troba dos polinomis tals que en dividir-los aparega 12)( 2 −+= xxxq com a polinomi quocient i

32)( 2 +−= xxr com a residu.

3.3. Operacions amb fraccions algebraiquesJa que tant els polinomis com les fraccions algebraiques obtingudes a partir de dos polinomis són, enpotència, nombres reals, operarem amb tals expressions seguint les propietats dels nombres reals.

• Suma o resta. Per a sumar o restar dues fraccions algebraiques hem d’aconseguir quetinguen el mateix denominador. Una manera segura d’aconseguir-lo, encara que pot noser la més adequada, és aquesta:

21

1221

12

12

21

21

2

2

1

1

qq

qpqp

qq

qp

qq

qp

q

p

q

p

⋅⋅+⋅≡

⋅⋅+

⋅⋅≡+

• Producte. Basta multiplicar els numeradors i denominadors entre si:

21

21

2

2

1

1

qq

pp

q

p

q

p

⋅⋅≡⋅

• Divisió. Segueix la coneguda regla de la divisió de fraccions:

21

21

2

2

1

1

pq

qp

q

pqp

⋅⋅≡



Activitats proposades24. Efectua els càlculs següents:

a)xx

x

2

5

1

232

+++

b) 2

3

3

1

+−

− xx c)

23

5

45

22 −

⋅+

−xxx

x d)

5

4:

5

42 +

−+−

x

x

xx

x

25. Realitza les següents operacions alterant, en cada apartat, només un dels denominadors, i el seurespectiu numerador:

• 23

2 14123

x

x

x

xx −+−+−

•5

6

5

12 +

−+−

xxx

x

26. Comprova, simplificant, les igualtats següents:

• baba

ba 22

24

42

8 =

• yyxxy

xyyx

2

32

2

34 2223

−=−

•4

3

126

93 22

+−=

+−

x

xx

x

xx

•4

23

82

46 2

2

23

−+=

−+

y

yy

yy

yy

•ab

aab

baab

abbaba

4

23

82

426 22

22

332

+−+=

+−+

27. Calcula els quocients següents:

a) (3x3 − 9x2 − 6x) : 3x

b) (7a3 − 70a2 −21) : 7

c) (25x4 − 10x2) : 5x2

d) (3x2y3 − 8xy2) : xy2

28. Simplifica les següents fraccions algebraiques:

a) 159

632

2

+−

x

xx b)

23

23

47

5

aa

aa

+−

c) xy

xyyx

4

3 22 + d)

abba

abba

−+

3

22 32



4. DESCOMPOSICIÓ FACTORIAL D’UN POLINOMI

4.1. Factorització d’un polinomiTal com ocorre amb la divisió entera, la divisió de polinomis també pot serexacta, és a dir, la resta pot ser el polinomi zero.

Exemple:

0

81212

81212

466

816186

42233

233|81618433

2

2

23

23

3345

22345

−+−+−

+−+−+−

−+−−+−

−+−+−+−−

xx

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxxx

En aquest cas escrivim 42233

81618433 32

2345

−+−=−+−

+−+−−xx

xx

xxxxx

i direm que 233)( 2 −+−= xxxq divideix a 81618433)( 2345 +−+−−= xxxxxxp . Si optem per una

igualtat polinòmica: )42()233(81618433 322345 −+−⋅−+−=+−+−− xxxxxxxxx

Observem que l’haver obtingut com a residu el polinomi 0 ens permet expressar el polinomi dividend,)(xp , com a producte d’altres dos polinomis, els polinomis divisor i quocient, )()( xcxq ⋅ . Hem

aconseguit una factorització del polinomi )(xp , o una descomposició en factors de )(xp .

En general, un polinomi concret pot ser factoritzat, o descompost, per mitjà de diferents grups defactors. Si continuem amb el polinomi )(xp anterior, una manera d’obtindre una descomposició

alternativa consisteix en, al seu torn, aconseguir una factorització d’algun dels polinomis )(xq o )(xc .

Constatem que el polinomi 222 −+− xx divideix a 42)( 3 −+−= xxxc :

0

442

442

222

22|42

2

2

23

23

+−−+−

++−

−+−−+−

xx

xx

xxxx

xxxx

En efecte, la divisió és exacta i això ens porta a la igualtat següent:



)2()22(42 23 +⋅−+−=−+− xxxxx

Si la traslladem a la descomposició que teníem de )(xp :

)2()22()233(81618433 222345 +⋅−+−⋅−+−=+−+−− xxxxxxxxxx

Activitats proposades29. Completa, quan siga possible, les factoritzacions següents:

• )(333 3 ⋅−=+− xxx

• )()32(656 2 ⋅−=++− xxx

• )()12(6336 234 ⋅+−=+−+− xxxxx

• )()22(6336 234 ⋅+−=+−+− xxxxx

30. Determina un polinomi de grau 4 que admeta una descomposició factorial en què participe elpolinomi 136 23 −+− xxx .

Direm que un polinomi és reductible si admet una factorització mitjançant polinomis de grau inferior alseu. En cas contrari el polinomi serà irreductible.

És clar que els polinomis de grau 1 no poden ser descompostos com a producte d’altres dos polinomisde menor grau. Són polinomis irreductibles. En el següent apartat constatarem que hi ha polinomis degrau 2 que també són irreductibles.

De les diferents factoritzacions que pot admetre un polinomi la que més informació ens proporciona ésaquella en què tots els factors que intervenen són polinomis irreductibles, ja que no és millorable.Convé advertir que, en general, no és fàcil aconseguir aqueix tipus de descomposicions. A continuacióaprofundirem en aquesta qüestió.

4.2. Arrels d’un polinomiDonat un polinomi )(xp

direm que un nombre real concret α és una arrel, o un zero, del polinomi p ,

si en avaluar p en α=x obtenim el nombre 0, açò és, si

0)( =αp

Exemple:

Considerem el polinomi 8822)( 23 −−+= xxxxs .

• El nombre 2 és una arrel de )(xs , ja que

081681681642828282222)2( 23 =−−+=−−⋅+⋅=−⋅−⋅+⋅=s



• Una altra arrel de )(xs és el nombre 1− :

0882288)1(2)1(28)1(8)1(2)1(2)1( 23 =−++−=−++⋅+−⋅=−−⋅−−⋅+−⋅=−s

• En canvi, el nombre 1 no és una arrel de )(xs :

01216488228181212)1( 23 ≠−=−=−−+=−⋅−⋅+⋅=s

• Tampoc és arrel de )(xs el nombre 0:

0880008080202)0( 23 ≠−=−−+=−⋅−⋅+⋅=s

Activitats proposades31. Estudia si els següents nombres són o no arrel dels polinomis indicats:

• 3=x de 13 23 +− xx

• 2−=x de 233 23 +++ xxx

• 1=x de 13 23 ++− xxx

• 0=x de 13 23 +− xx

• 1−=x de 33 23 +−− xxx

Al següent exercici arreplegarem algunes connexions entre les arrels d’un polinomi i les operacions desuma i producte de polinomis.

Activitats proposades32. Suposem que tenim dos polinomis, )(1 xp i )(2 xp , i un nombre real α .

• Si α és una arrel de )(1 xp , també és arrel del polinomi suma )()( 21 xpxp + ?

• Si α és una arrel de )(1 xp , també és arrel del polinomi producte )()( 21 xpxp ⋅ ?

• Hi ha alguna relació entre les arrels del polinomi )(1 xp i les del polinomi )(4 1 xp⋅ ?

El que un nombre real siga arrel d’un polinomi està fortament connectat amb la factorització del ditpolinomi:

Si un nombre real concret α és una arrel del polinomi )(xp , llavors el polinomi α−x divideix a )(xp .

Dit d’una altra manera, el polinomi )(xp admet una descomposició factorial de la manera següent:

)()()( xcxxp ⋅−= α

per a un cert polinomi )(xc , el qual pot ser conegut en dividir )(xp entre α−x .



Demostrarem l’anterior asseveració.

Si dividim )(xp entre α−x , obtindrem

)()()()( xrxcxxp +⋅−= α

Com el polinomi divisor, α−x , és de grau 1, i el polinomi residu ha de ser d’inferior grau, deduïm que

el residu anterior és un nombre real β . Escriguem β≡)(xr :

βα +⋅−= )()()( xcxxp

El polinomi de l’esquerra, )(xp ,és idèntic al de la dreta, βα +⋅− )()( xcx . Per aqueixa raó, en avaluar-

los en un cert nombre real obtindrem el mateix valor. Procedim a particularitzar-los per a α=x . Al ser

α arrel de )(xp , 0)( =αp . Açò ens porta a

βββαβαααα =+=+⋅=+⋅−== 0)(0)()()(0 ccp

i, així, el residu és 0, i )()()( xcxxp ⋅−= α

És natural que ens preguntem si és cert el recíproc del resultat anterior. La resposta és afirmativa:

Si un polinomi )(xp admet una descomposició factorial de la forma

)()()( xcxxp ⋅−= α

per a un cert polinomi )(xc i un cert nombre real α , llavors el nombre α és una arrel del polinomi

)(xp , açò és, 0)( =αp .

La seua demostració és senzilla. Basta que avaluem p en α=x :

0)(0)()()( =⋅=⋅−= ααααα ccp

Si fonem aquests dos últims resultats en un només ens trobem davant del denominat teorema delfactor:

Teorema del factor. Un número real concret α és arrel d’un polinomi )(xp si i només si el polinomi

α−x divideix a )(xp , és a dir, si i només si el polinomi )(xp admet una descomposició factorial de la

forma)()()( xcxxp ⋅−= α

Exemple:

Tornem amb el polinomi 8822)( 23 −−+= xxxxs .

• Sabem que el nombre 2 és una arrel de )(xs . Ratifiquem que 2−x divideix a )(xs :



0

84

84

126

886

46242

2|8822

2

2

223

23

+−−

+−−−

+++−

−−−+

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Podem descompondre )(xs de la manera següent:

)462()2(8822 223 ++⋅−=−−+ xxxxxx

• Vam veure que una altra arrel de )(xs és el nombre 1− . Si observem la precedent

factorització de )(xs , és evident que aquest nombre 1− no és arrel del factor 2−x ,per la

qual cosa necessàriament ha de ser-lo de l’altre factor 462)( 2 ++= xxxc :

046)1(24)1(6)1(2)1( 2 =+−+⋅=+−⋅+−⋅=−c

En haver constatat que 1− és arrel del polinomi )(xc , deduïm que 1)1( +=−− xx ens va a

ajudar a descompondre )(xc :

0

44

44

4222

1|4622

2

−−+

+−−

+++

x

x

xxx

xxx

Per tant:

)42()1(462 2 +⋅+=++ xxxx

• Si reunim allò que s’ha fet als apartats precedents d’aquest exemple:

)2()1()2(2)2(2)1()2(

)42()1()2()462()2(8822)( 223

+⋅+⋅−⋅=+⋅⋅+⋅−==+⋅+⋅−=++⋅−=−−+=

xxxxxx

xxxxxxxxxxs

S’ha descompost s(x) com a producte de tres polinomis irreductibles de grau 1. A la vista d’ells

coneixem totes les arrels de s(x), els nombres 2 , 1− i 2− .

Els resultats teòrics que hem establit ens condueixen a aquest altre:

Tot polinomi de grau n té com a màxim n arrels reals, alguna de les quals pot aparèixer repetida entreaqueixos no més de n nombres reals.

Hi ha polinomis que no admeten arrels, és a dir, que no s’anul·len mai:



Exemples:

• El polinomi t(x)=x²+1 no té arrels ja que en avaluar-ho en qualsevol número real α sempre ens

dóna un valor positiu i, per tant, diferent de 0:

01)( 2 >+= ααt

A més, aquest polinomi de grau dos, t(x)=x²+1, és un polinomi irreductible perquè, en no tindrearrels, no podem expressar-lo com a producte de polinomis de menor grau.

• Un altre polinomi sense arrels és

12)1()1()1()( 242222 ++=+⋅+=+= xxxxxxu

No obstant això, u(x)=x +2x²+1⁴ és un polinomi reductible ja que, òbviament, pot ser expressatcom a producte de dos polinomis d’inferior grau.

Encara que no siga possible demostrar-lo, per la seua dificultat, sí es pot anunciar que tot polinomi degrau imparell posseeix, almenys, una arrel real.

Activitats proposades33. Construeix un polinomi de grau 3 tal que posseïsca tres arrels distintes.

34. Determina un polinomi de grau 3 tal que tinga, almenys, una arrel repetida.

35. Construeix un polinomi de grau 3 de manera que tinga una única arrel.

36. Conjectura, i després demostra, una llei que ens permeta saber quan un polinomi qualsevol

011

1 ...... axaxaxa nn

nn ++++ −

−

admet al nombre 0 com a arrel.

37. Demostra una regla que assenyale quan un polinomi qualsevol

011

1 ...... axaxaxa nn

nn ++++ −

−


38. Demostra una norma que assenyale quan un polinomi qualsevol

011

1 ...... axaxaxa nn

nn ++++ −

−


39. Obtín totes les arrels de cada un dels polinomis següents:

• 6+x

• 4+− x

• 72 −x

• 54 −− x

• x3−



• xx 52 −

• 34 2 −− xx

• xx 43 −

• xx 43 +

4.3. Regla de RuffiniA l’apartat anterior es va provar l’equivalència entre que un nombre real α siga arrel d’un polinomi p(x)i el fet de que el polinomi mònic de grau un x-α dividisca a p(x), açò és, que existisca un altre polinomip(x) tal que siga possible una factorització de p(x) del tipus:

)()()( xcxxp ⋅−= α

A causa de la importància que té la divisió de polinomis quan el polinomi divisor és de la forma x-α, ésconvenient agilitzar tals divisions.

Exemple:

• Considerem el polinomi 343)( 23 ++−= xxxxp . Anem a dividir-lo entre 2+x . Si el

residu és 0 el nombre -2 serà una arrel de p(x); al cas contrari, si no és 0 el residu, llavors-2 no serà arrel de p(x).

39

4221

321

2010

310

2110363

2|343

2

2

223

23

−−−+

+++−

+−−−

+++−

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Ja que el residu no és zero, -2 no és una arrel de p(x).

Vegem com han sorgit tant el polinomi quocient com el residu. El que el grau del dividend siga tres i queel divisor siga de grau u imposa que el quocient tinga grau dos i que el residu siga un nombre real. Elquocient consta dels monomis 3x², -10x i 21, els quals coincideixen amb els monomis de major grau decada un dels dividends després de disminuir els seus graus en una unitat:3x² procedix de 3x³-4x²+x+3(el dividend inicial), -10x ve de -10x²+x+3 i, finalment, 21 de 21x+3. Aquest fet, coincidència en elcoeficient i disminució del grau en una unitat, es deu al fet que el divisor, x+2, és mònic i de grau u.

A continuació, tindrem en compte únicament els coeficients del dividend, per orde de grau, 3, −4, 1 i 3;quant al divisor, com és mònic i de grau u, basta considerar el seu terme independent, +2, però com elresultat de multiplicar els monomis que van conformant el quocient pel divisor hem de restar-se’l acada un dels dividends, atenent a aquest canvi de signe, en lloc del terme independent, +2, operarem



amb el seu oposat, −2, nombre que, al mateix temps, és l’arrel del divisor x+2 i sobre el qual pesa lapregunta de si és o no arrel de p(x).

• Primer pas de la divisió:

310

363

2|343

2

223

23

++−−−

+++−

xx

xxx

xxxx

|103

62

3143

|−

−−

−

Apareix en el quocient el monomi 3x² (coeficient 3 ), el qual provoca la “desaparició” de 3x³ al dividend il’aparició del monomi -6x² (coeficient -6=(-2)·3). Després d’operar (sumar) ens trobem amb -10x²(coeficient -10=(-4)+(-6)) i, al quocient, -10x.

• Segon pas. El dividend passa a ser 310 2 ++− xx .

321

2010

310

10363

2|343

2

2

223

23

++

++−−−−

+++−

x

xx

xx

xxxx

xxxx

|21103

2062

3143

|−

−−

−

La irrupció al quocient del monomi -10x (coeficient -10) provoca la “desaparició” de -10x² al dividend il’aparició del monomi 20x (coeficient 20=(-2)·(-10)). Després d’operar (sumar) ens trobem amb 21x(coeficient 21=1+20) i, al quocient, 21.

• Tercer pas. El dividend passa a ser 321 +x .

39

4221

321

2010

310

2110363

2|343

2

2

223

23

−−−+

+++−

+−−−

+++−

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

3921103

422062

3143

|

|−−

−−−

−

Tenim al quocient el terme independent 21. Aquest provoca l’eliminació de 21x al dividend i l’apariciódel terme -42=(-2)·21. Després d’operar (sumar) ens trobem amb el residu -39=3-42.

En cada un dels passos figura, a la part dreta, el mateix que s’ha realitzat a la divisió convencional, peròamb l’avantatge que tot és més àgil pel fet que només s'empren nombres reals: els coeficients delsdistints polinomis intervinents.



Estem davant de l’anomenada regla de Ruffini, un algoritme que ens proporciona tant el quocient comel residu que resulten de dividir un polinomi qualsevol entre un altre de la forma x-α.

Exemple:

• Dividim el polinomi 452)( 34 +−+−= xxxxp entre 3−x :

84311

129333

45021

|

|−−−−−

−−−−

−

El quocient és -x³-x²-3x-4 y el resto -8. Com el residu no és 0 deduïm que el nombre 3 no és arrel de

452)( 34 +−+−= xxxxp . La relació entre dividend, divisor, quocient i residu és, com sempre:

)8()43()3(452)( 2334 −+−−−−⋅−=+−+−= xxxxxxxxp

Si avaluem )(xp en 3=x no pot donar zero, però quin valor resulta?

8)8(0)8()43333()33()3( 23 −=−+=−+−⋅−−−⋅−=p

Naturalment hem obtingut el residu anterior. Aquest fet ve arreplegat en el denominat teorema delresidu.

Teorema del residu. El valor numèric que adopta un polinomi p(x) en particularitzar-lo en x=αcoincideix amb el residu que apareix en dividir )(xp entre α−x .

Activitats proposades40. Usa la regla de Ruffini per a realitzar les següents divisions de polinomis:

• 223 2 ++− xx entre 1+x

• 633 23 +−+ xxx entre 2+x

• 245 23 −− xx entre 1−x

• 283 +− xx entre 3−x

41. Empra la regla de Ruffini per a dictaminar si els següents nombres són o no arrels dels polinomisesmentats:

• 3=α de 54 23 +− xx

• 2−=β de 22 23 ++−− xxx



• 1=γ de 12 4 ++− xx

• 1−=σ de 23 22 xx +

42. Utilitza la regla de Ruffini per a conèixer el valor del polinomi 3232 23 +++− xxx en 3=x .

43. Estudia si és possible usar la regla de Ruffini, d’alguna forma, per a dividir 233 23 +++ xxx entre

62 +x .

Per a facilitar la comprensió dels conceptes i resultats d’aquest tema la majoria dels nombres que hanaparegut fins ara, coeficients, arrels, etc., han sigut nombres enters. Per descomptat que podem trobar-nos amb polinomis amb coeficients racionals, o irracionals, o amb polinomis amb arrels donades peruna fracció o un nombre irracional. També hi ha polinomis que no tenen arrels.

Exemples:

• Comprovem, mitjançant la regla de Ruffini, que 2

1=α és arrel del polinomi 132 2 +− xx :

022

112/1

132

|

|−

−

−

• Per a conèixer les arrels del polinomi 22 −x hem d’estudiar si hi ha algun nombre real α tal

que l'anul·le, és a dir, per al que es tinga

2

2

022

2

±=

=

=−

α

αα

Així, el polinomi de grau dos 22 −x té dues arrels distintes, les quals són nombres irracionals.

• Ja sabem que hi ha polinomis que no tenen arrels, com per exemple 42 +x .

Apreciem que la regla de Ruffini ens informa sobre si un nombre concret és o no arrel d’un polinomi.Naturalment, quan estem davant d’un polinomi, i ens interessa conèixer les seues arrels, no és possibleefectuar una prova amb cada nombre real per a determinar quines són arrel del polinomi. Al pròximapartat destacarem certs “nombres candidats” a ser arrel d’un polinomi.



4.4. Càlcul de les arrels d’un polinomiA l’hora de buscar les arrels enteres d’un polinomi disposem del resultat següent:

Donat un polinomi qualsevol

012

21

1 ...... axaxaxaxa nn

nn +++++ −

−

els coeficients del qual són tots nombres enters, les seues arrels enteres, si les tinguera, es trobennecessàriament entre els divisors enters del seu terme independent a0.

Procedim a la seua demostració. Suposem que un cert nombre enter α és una arrel d’aqueix polinomi.Tal nombre ha d’anul·lar-ho:

αααα

αααα

αααα

αααα

012

21

1

0122

11

012

21

1

012

21

1

......

)......(

......

0......

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

−=++++

−=++++⋅

−=++++

=+++++

−−

−

−−

−

−−

−−

A l’última igualtat, el nombre del costat esquerre és enter, perquè està expressat com una suma de

productes de nombres enters. Per això, el nombre del costat dret, α

0a− , també és enter. En ser també

enters tant -a0 com α, aconseguim que α és un divisor de a0.

Exemples:

• Determinem, d’acord amb l’anterior resultat, què nombres enters són candidats a serarrels del polinomi 61132 23 −−+ xxx :

Tals nombres enters candidats han de ser divisors de -6, el terme independent del polinomi. Peraixò, els únics nombres enters que poden ser arrel d’aqueix polinomi són:

6,3,2,1 ±±±±

Pot comprovar-se que els nombres enters 2 i -3 són arrels; els altres no ho són.

• Les úniques possibles arrels senceres del polinomi 2x³+x²+12x+6 també són:

6,3,2,1 ±±±±

En aquest cas cap d’aqueixos nombres és una arrel del polinomi.

Activitats proposades44. Para cada un dels següents polinomis assenyala, en primer lloc, què nombres enters són candidats a

ser arrels seues i, després, determina quins ho són:

• 2223 −+− xxx

• 3444 234 ++++ xxxx

• 9182 23 −−+ xxx

• xxxx 632 234 +++

Un poc més general podem afirmar sobre classes de nombres i arrels d’un polinomi:



Donat un polinomi qualsevol01

22

11 ...... axaxaxaxa n

nn

n +++++ −−

els coeficients del qual són tots nombres enters, les seues arrels racionals, si les tinguera,necessàriament tenen per numerador algun divisor del terme independent, a0, i per denominador algundivisor del coeficient del terme de major grau, an.

Exemples:

• Tornant a un dels polinomis de l’exemple anterior, 2x³+3x²-11x-6, els nombres racionalscandidats a ser arrels seues tenen per numerador a un divisor de -6 i per denominador aun divisor de 2. Per tant, els únics nombres racionals que poden ser arrel d’aqueixpolinomi són:

32

6,

2

3,1

2

2,

2

1,6,3,2,1 ±=±±±=±±±±±±

A més de 2 i -3, també és arrel 2

1− ; els altres no ho són.

• Les úniques possibles arrels racionals del polinomi 2x4+2x3-x²-3x-3 són:

2

3,

2

1,3,1

±±±±

En aquest cas cap d’aqueixos números és arrel del polinomi.

Activitats proposades

45. Completa l’exemple precedent comprovant que, en efecte, 2

1− és arrel del polinomi 2x³+3x²-11x-6.

46. Para cada un dels següents polinomis indica quins nombres racionals són candidats a ser arrelsseues i, després, determina quins ho són:

• 143 2 ++ xx

• 41292 23 −+− xxx

Al tema pròxim, dedicat a les equacions, serem capaços d’obtindre les arrels de tot polinomi de graudos, si les tinguera.

4.5. Factorització de polinomis i fraccions algebraiquesLa factorització de polinomis pot ser utilitzada per a simplificar algunes expressions en què intervenenfraccions algebraiques. Vegem-ho a través d’un parell d’exemples:

Exemple:

• Una fracció algebraica com:



6766

98235

24

−−−−−−

xxxx

xx

pot ser simplificada gràcies a què el numerador i el denominador admeten factoritzacions en què algunpolinomi està present en ambdós.

)1()2(

3

)3()1()2()1(

)3()3()1(

6766

982

2

235

24

+⋅++=

−⋅+⋅+⋅+−⋅+⋅+=

−−−−−−

xx

x

xxxx

xxx

xxxx

xx

Com ja hem apuntat altres vegades, les expressions final i inicial no són idèntiques però sí que sónequivalents en tots aquells valors per als que ambdues tenen sentit, és a dir, per a aquells en què nos’anul·la el denominador.

Exemple:

• En una suma de fraccions polinòmiques com aquesta: 2

42322 −−

++−

xxxx

x

podem aconseguir un comú denominador als quocients a partir de la descomposició de cadadenominador:

)2()1(

443

)2()1(

4)2()23(

)2()1(

4

)2()1(

)2()23(

)2()1(

4

)1(

23

2

423

2

22

−⋅+⋅+−=

−⋅+⋅+−⋅−=

=⋅−⋅+

⋅+−⋅+⋅

−⋅−=−⋅+

++⋅

−=−−

++−

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

xx

xxxx

x

xxxx

x

Convé destacar que en el resultat final s’ha optat per deixar el denominador factoritzat. D’aqueixaforma, entre altres qüestions, s’aprecia ràpidament per a què valors de la indeterminada aqueixafracció algebraica no admet ser avaluada.

Activitats proposades47. Simplifica, si és possible, les expressions següents:

•863

423

2

−−++

xxx

xx

•863

123

2

−−+−

xxx

x

•xxx

x

6

123

2

−+−

48. Realitza les següents operacions tenint en compte les factoritzacions dels denominadors:

•xx

x

x 4

2

123

52 −

+++−

•1

13

12 22 −−−

+−−

x

x

xx

x



4.6. Productes notables de polinomisEn aquest apartat destacarem una sèrie de productes concrets de polinomis que sorgeixen sovint.Podem exposar-los de molt diverses formes. Tal com ho farem, apareixerà més d’una indeterminada;hem de ser capaços d’apreciar que si, en un algun cas concret, alguna indeterminada passa a ser unnombre concret açò no farà ni més menys que particularitzar una situació més general.

Potències d’un binomi. Les següents igualtats s’obtenen, simplement,després d’efectuar els oportuns càlculs:

• 222 2)( bababa ++=+

Observa els quadrats de la il·lustració i comprova com es verifica.

El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer, més el dobleproducte del primer pel segon, més el quadrat del segon.

• 222 2)( bababa +−=−

El quadrat d’una diferència és igual al quadrat del primer menys el dobleproducte del primer pel segon més el quadrat del segon.

Observa els quadrats i rectangles de la il·lustració.

• 32233 33)( babbaaba +++=+

• 32233 33)( babbaaba −+−=−

Podem observar que, en cada un dels desenrotllaments, l’exponent delbinomi coincideix amb el grau de cada un dels monomis.

Exemples:

• 96332)3( 2222 ++=+⋅⋅+=+ aaaaa

• 168442)4( 2222 +−=+⋅⋅−=− xxxxx

• 25309)5(532)3()53( 2222 ++=+⋅⋅+=+ xxxxx

• 22222 3612)6(62)6( yxyxyyxxyx +−=+⋅⋅−=−

• 12515030855)2(35)2(3)2()52( 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− xxxxxxx



Activitats proposades49. Realitza els càlculs:

• 2)41( a+

• 2)5( +− x

• 2)32( −− x

• 32 )1( −x

• 3)35( +x

50. Obtín les fórmules dels quadrats dels trinomis següents:

• 2)( cba ++

• 2)( cba −+

51. Desenrotlla les potències següents:

a) (2x + 3y)2 b) (3x + y/3)2 c) (5x − 5/x)2

d) (3a − 5)2 e) (a2 − b2)2 f) (3/5y − 2/y)2

52. Expressa com quadrat d’una suma o d’una diferència les següents expressions algebraiques:

a) a2 + 6a + 9 b) 4x2 − 4x + 1 c) b2 − 10b + 25

d) 4y2 + 12y + 9 e) a4 − 2a2 +1 f) y4 + 6y2 + 9

Suma per diferència. De nou la següent igualtat s’obtédesprés d’efectuar el producte assenyalat:

22)()( bababa −=−⋅+

Observa la il·lustració.

Suma per diferència és igual a diferència de quadrats.

Exemples:

• 497)7()7( 222 −=−=−⋅+ aaaa

• 11)1()1( 222 −=−=−⋅+ xxxx

• 943)2()32()32( 222 −=−=−⋅+ xxxx

• =−⋅+⋅−=+−⋅+⋅−=+−⋅−− )35()35()1()53()53()1()53()53( xxxxxx

222 925))3(5()1( xx +−=−⋅−=



Activitats proposades53. Efectua aquests productes:

• )23()23( yxyx −⋅+

• )15()15( 22 −⋅+ xx

• )2()2( 22 xxxx +⋅+−

Convé donar-se compte que les seues fórmules, llegides al revés, constitueixen una factorització d’unpolinomi.

Exemples:

• 2222 )6(6623612 +=+⋅⋅+=++ xxxxx

• 222223 )3(2)332(2)96(218122 −⋅=+⋅⋅−⋅=+−⋅=+− xxxxxxxxxxx

• )5()5(52 −⋅+=− xxx

• )2()2()4()4()4(16 2224 −⋅+⋅+=−⋅+=− xxxxxx

Activitats proposades54. D'acord amb allò que s’ha exposat, factoritza els polinomis següents:

• 442 +− xx

• 27183 2 ++ xx

• 35 93 xx −

55. Calcula els productes següents:

a) (3x + 1) ⋅ (3x − 1) b) (2a − 3b) ⋅ (2a + 3b)

c) (x2 − 5) ⋅ (x2 + 5) d) (3a2 + 5) ⋅ (3a2 − 5)

56. Expressa com a suma per diferència les següents expressions

a) 9x2 − 25 b) 4a4 − 81b2 c) 49 − 25 x2 d) 100 a2 − 64

57. Simplifica les següents fraccions algebraiques

a) 33

12

+−

x

x b)

9

181222

2

−++

x

xx c)

4

362 −−

a

a



Emmy Noether (1882-1935)Emmy Noether va ser una matemàtica alemanya d’origen jueu que va realitzar les seues investigacions en les primeres dècades del segle XX. Va demostrar dos teoremes essencials per a la teoria de la relativitat que van permetre resoldre el problema de la conservació de l’energia. Va treballar en estructures algebraiques i en l’actualitat el qualificatiu noetherian s’utilitza per a designar molts conceptes en àlgebra: anells noetherians, grups noetherians, mòduls noetherians, espais topològics noetherians, etc.Quan va intentar donar classes en la Universitat de Göttingen el reglament indicava explícitament que els candidats havien de ser hòmens per la qual cosa Noether no va poder accedir a la docència universitària. Es conta, com a anècdota, que Hilbert va dir en un Consell de la dita Universitat:

"no veig per què el sexe de la candidata és un argument contra el seu nomenament com a docent. Després de tot no som un establiment de banys"D’ella va dir Albert Einstein :"Al regne d’Àlgebra en què els millors matemàtics han treballat durant segles, ella va descobrir mètodes que s’ha demostrat que tenen una importància enorme... La matemàtica pura és, a la seua manera, la poesia de les idees lògiques. ... En aquest esforç cap a la bellesa lògica es descobreixen fórmules espirituals per a aconseguir una penetració més profunda en les lleis de naturalesa"

CURIOSITATS. REVISTA



Fes màgiaPensa un nombre* Multiplica'l per 2* Suma 4* Multiplica per 5* Divideix per 10* Resta el nombre* Màgia, màgia, màgia…

* ¡El resultado es 2!

Analitza com tu, el mag, has pogut conèixer el resultat.

PassatempsA B AA B AA B AB C B

Quant valen A, B i C?

RESUMNoció Descripció Exemples

Expressió algebraica

Expressió matemàtica que es construeix ambnombres reals i lletres sotmesos a les operacionsmatemàtiques bàsiques de suma, resta,multiplicació i/o divisió

zyxyx

x ⋅⋅−+

− 232

3

Valor numèric d’una expressió algebraica

En fixar un valor concret per a cada indeterminada,o variable, d’una expressió algebraica apareix unnombre real: el valor numèric d’aqueixa expressióalgebraica per a tals valors de les indeterminades

Si, a l’expressió precedent, fem x=3, y=-2, z=1/2 obtenim

2

3

2

1)2(3

)2(32

33 23

−=⋅−⋅−−+⋅

⋅−

Monomi Expressió donada pel producte de nombres reals iindeterminades

235 zyx ⋅⋅⋅− de grau 6 i coeficient

−57·x² de grau 2 i coeficient 7

Polinomi Expressió construïda a partir de la suma demonomis

684 23 +++− xxx

Grau d'un polinomi

El major grau dels seus monomis L’anterior polinomi és de grau 3

Suma i producte de polinomis

El resultat sempre és un altre polinomi 2ax – ax = ax2ax ∙ ax = 2a2x2

Divisió de dos polinomis

En dividir el polinomi p(x) entre q(x) s’obtenen altresdos polinomis, els polinomis quocient, c(x), i residu,r(x), tals que )()()()( xrxcxqxp +⋅=

)()()()( xrxcxqxp +⋅=

Factorització d’unpolinomi

Consisteix a expressar-lo com a producte d’altrespolinomis de menor grau

=+−− 33 235 xxx

)1()3( 32 −⋅−= xx

Arrels i factorització

Si α és una arrel del polinomi )(xp és equivalent

que el polinomi )(xp admeta una descomposició

factorial de la forma )()()( xcxxp ⋅−= α per a un

cert polinomi )(xc

2− és una arrel de

22 23 −−+ xxx

)1()2(22 223 −⋅+=−−+ xxxxx

Regla de Ruffini Ens pot ajudar a l’hora de factoritzar un polinomi iconèixer les seues arrels



EXERCICIS I PROBLEMES .1. En aquest exercici es va a presentar un truc mitjançant el qual endevinarem el nombre que resulta

després de manipular repetidament un nombre desconegut. Converteix en una expressió algebraicales successives alteracions del nombre desconegut i justifica el que ocorre.

i.Dis-li a un company que escriga en un paper un nombre natural i que no elmostre

ii.Que el multiplique per 3

iii.Que al resultat anterior li sumix 18

iv.Que multiplique per 2 el que obté

v.Que dividisca entre 6 l’última quantitat

vi.Que al resultat precedent li reste el nombre que va escriure

vii.Independentment del nombre desconegut original, quin nombre ha sorgit?

2. En aquest altre exercici endevinarem dos nombres que ha pensat un company. Construeix unaexpressió algebraica que arreplegue tots els passos i, finalment, descobreix el truc.

i.Sol·licita a un company que escriga en un paper, i no mostre, dos nombres naturals: und’una xifra (entre 1 i 9) i un altre de dues xifres (entre 10 i 99)

ii.Que multiplique per 4 el nombre triat d’una xifra

iii.Que multiplique per 5 el que obté

iv.Que multiplique el resultat precedent per 5

v.Que li sumix a l’anterior el nombre de dues xifres que va triar

vi.Si el teu company et diu el resultat d’aquestes operacions, tudescobreixes els seus dos nombres. Si et diu, per exemple, 467, llavorssaps que el nombre d’una xifra és 4 i el de dues xifres és 67, per què?

3. Estudia si hi ha nombres reals en què les següents expressions no poden ser avaluades:

•)322()5(

97

−⋅+−

xx

x

•962 +−

−xx

x

•432

324

3

−−−−

xx

xx

•22

15

yx

yx

++−

4. Una persona té estalviats 2500 euros i decideix dipositar-los en unproducte bancari amb un tipus d'interès anual del 2 %. Si decideixrecuperar els seus estalvis al cap de dos anys, quina serà la quantitattotal de què disposarà?

5. Generalitzem l’exercici anterior: Si ingressem X euros en un dipòsitbancari el tipus d'interès del qual és de l’i % anual, quina serà laquantitat que recuperarem al cap d’anys?



6. Construeix un polinomi de grau 2, p(x), tal que p(5)=-2.

7. Considerem els polinomis p (x )=−3 x3+2 x 2−4 x−3 , q ( x)=4 x 4+3 x3−2 x2+x+8 i

r ( x )=5 x2+6 x−2 . Realitza les operacions següents:

a) p+q+r

b) p - q

c) p · r

d) p · r - q

8. Calcula els productes:

a)

−⋅

−

623

xybyax b) (0,3x – 0,2y + 0,1z) ∙ (0,1x + 0,2y – 0,3z) c) (x – 1) (x – a) (x – b)

9. Efectua les divisions de polinomis:

• 2943 234 −+−− xxxx entre 443 2 −+ xx

• 73765 2345 −−++− xxxxx entre 433 ++ xx

10. Calcula els quocients:

a) (5x4):(x2) b) (3x2y4z6) : ((1/2)xy3z5) c) (x4 + 2x2y + y2) : (x2 + y)

11. Realitza les operacions entre les següents fraccions algebraiques:

a)96

3

3

3222 +−

+−

−xx

x

xx

x

b)96

3

3

3222 +−

−−

−xx

x

xx

x

c)96

3

3

3222 +−

⋅−−

xx

x

xx

x

d)96

3:

3

3222 +−−

−xx

x

xx

x

12. Construeix un polinomi de grau 2 tal que el nombre -5 siga arrel seua.

13. Determina un polinomi de grau 3 tal que les seues arrels siguen 6, -3 i 0.

14. Determina un polinomi de grau 4 tal que les seues arrels siguen 6, -3, 2 i 0.

15. Construeix un polinomi de grau 4 tal que tinga únicament dues arrels reals.

16. Determina un polinomi de grau 5 tal que les seues arrels siguen 6, -3, 2, 4 i 5.

17. Troba un polinomi q(x) tal que en dividir p (x )=2 x4+ x3+3 x 2+x+3 entre q(x) s’obtinga com a

polinomi residu r ( x )=x 2+x+1 .

18. Troba les arrels enteres dels polinomis següents:

a) 35113 23 −++ xxx

b) 3823 23 −++ xxx

c) 153 23 −++ xxx

d) 362 23 −−+ xxx

19. Obtín les arrels racionals dels polinomis de l’exercici anterior.

20. Descompon els següents polinomis com a producte de polinomis irreductibles:

a) 35113 23 −++ xxx b) 153 23 −++ xxx



c) 362 23 −−+ xxx d) 263 23 −+− xxx

21. Calcula les potències:

a) (x – 2y + z)2 b) (3x – y)3 c) ((1/2)a + b2)2 d) (x3 – y2)2

22. Analitza si els següents polinomis han sorgit del desenrotllament de potències de binomis, otrinomis, o d’un producte suma per diferència. En cas afirmatiu expressa la seua procedència.

362 −x

15 2 +x

115 2 −x

22 3yx −

962 +− xx

168 24 +− xx

22 520 yxyx ++

122 234 ++++ xxxx

122 234 +++− xxxx

23. Descompon en factors:

a) x4 − 1 b) x2 − y2 c) x2y2 – z2 d) x4 – 2x2y + y2

24. Amb aquest exercici es pretén mostrar la conveniència a l’hora de no operar una expressiópolinòmica. que tenim factoritzada totalment o parcialment.

a) Comprova la igualtat )3()2(65 2224 −⋅−=+− xxxx .

b) Determina totes les arrels del polinomi 65 24 +− xx .

25. Factoritza numerador i denominador i simplifica:

a) 1

122

2

−+−

x

xx b) 22

4224 2

yx

yyxx

+++

c) 14

3

−−

x

xx

26. Efectua les següents operacions i simplifica tot el possible:

a) )5(2

3

)5(

2

xxx −−

− b) 22

22

yx

yx

yx

yx

−+⋅

+−

c) 14

122 −

+x

x


a) 8

2

7

4 1:

1

x

x

x

x +− b)

ba

yx

ba

yx

22

4332

−+−

−+

c)

+−−

−+−+−

x

x

x

xxx

1

1

1

1)1(4 4


a)

+

−

xx

xx

1:

1 22

4 b)

ax

ax

ax

axaaxx

+−

+−+−

:33 3223

c) ba

ab

ba

ba

ba

ba

+

+−−

−+

:


a)

yax

yax

yxa

yxa

++

+−

++

+−

11

11

:11

11

b)

−−

++−

3232

231:

2311

xxxxxx c)

yx

yx

yx

yx53

12

31

23

+

−⋅

−

+



AUTOAVALUACIÓ1. Assenyala els coeficients que apareixen en les següents expressions algebraiques:

a) z

xyy

x 76

43

85 32

−+−

− b) 5423 345 −+−+− xxxx c) zyx ⋅⋅⋅⋅ 227

2. El valor numèric de l’expressió z

xyy

x 65

32

73 32

−+−

− en 1,1,2 −=−== zyx és:

a) 17 b) 15 c) 3− d) 5−

3. Completa adequadament les frases següents:

a) La suma de dos polinomis de grau tres sol ser un altre polinomi de grau ……….

b) La suma de tres polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ……….

c) El producte de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ……….

d) La diferència de dos polinomis de grau quatre sol ser un altre polinomi de grau ……….

4. En dividir el polinomi 2365)( 345 +++= xxxxp entre 853)( 2 ++= xxxq el polinomi residu

resultant:

a) ha de ser de grau 2. b) pot ser de grau 2.

c) ha de ser de grau 1. d) ha de ser de grau menor que 2.

5. Considera el polinomi 26485 234 +−+− xxxx . Quins dels següents nombres enters són

raonables candidats per a ser una arrel seua?

a) 3 b) 2 c) 4 d) 7

6. Considera el polinomi 3772 234 −−++ xxxx . Quins dels següents nombres racionals són

raonables candidats per a ser una de les seues arrels?

a) 3− b) 2

1− c)

3

1d)

2

3

7. Tot polinomi amb coeficients enters de grau tres

a) té tres arrels. b) té, com a màxim, tres arrels. c) té, almenys, tres arrels.

8. És possible que un polinomi, amb coeficients enters, de grau quatre tinga exactament tres arrels,ja siguen diferents o amb alguna múltiple?

9. Justifica la veracitat o falsedat de cada una de les frases següents:

a) La regla de Ruffini serveix per a dividir dos polinomis qualssevol.

b) La regla de Ruffini permet dictaminar si un nombre és arrel o no d’un polinomi.

c) La regla de Ruffini només és vàlida per a polinomis amb coeficients enters.

d) La regla de Ruffini és un algoritme que ens proporciona totes les arrels d’un polinomi.

10. Analitza si pot haver-hi algun polinomi de grau deu que no tinga cap arrel.



Matemàtiques 4t A ESO Capítol 33. Així resulta 2 ⋅ 3 + 5 = 11, i es diu que el valor numèric...

Documents

Transcript of Matemàtiques 4t A ESO Capítol 33. Així resulta 2 ⋅ 3 + 5 = 11, i es diu que el valor numèric...