Material Ecuaciones Simultaneas
-
Upload
carolina-acosta-pena -
Category
Documents
-
view
255 -
download
0
Transcript of Material Ecuaciones Simultaneas
ALGEBRA SUPERIOR SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEASELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 Martha G. Canales Leyva Roco Patricia Rivas Llanas Leticia Lizette Espinosa Fahl Joaqun Gilberto Trevio Dvila Jos Santos Garca Claudio Hiram Carmona Jurado Abraham Leonel Lpez Len Carlos Alfonso Gameros Morales Luis Roberto Fernndez Guilln REVISADO EN JUNIO 2009 Martha G. Canales Leyva Roco Patricia Rivas Llanas Claudio Hiram Carmona Jurado
23/02/2012
1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinEcuacin Lineal Una ecuacin lineal con una incgnita tiene la siguiente forma: a 1X = b 1 En la cual: a1 y b1 >0 son constantes X es la variable con exponente =1
23/02/2012
2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinSistema de Ecuaciones Lineales Simultneas Un sistema de Ecuaciones Lineales Simultneas con n incgnitas tiene la siguiente forma: a11X1 + a12X2+... +a1nXn = b1 a21X1 + a22X2+... +a2nXn = b2 am1X1 + am2X2+... +amnXn = bm En la cual: aij y bi son constantes Xj son variables con exponente =123/02/2012 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinSistema de Ecuaciones Lineales Simultneas No Homogneas Un sistema de Ecuaciones Lineales Simultneas No Homogneas con n incgnitas tiene la siguiente forma: a11X1 + a12X2+... +a1nXn = b1 a21X1 + a22X2+... +a2nXn = b2 am1X1 + am2X2+... +amnXn = bm En la cual: aij y bi son constantes y por lo menos una bi 0 Xj son variables con exponente =123/02/2012 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinSistema de Ecuaciones Lineales Simultneas Homogneas Un sistema de Ecuaciones Lineales Simultneas Homogneas con n incgnitas tiene la siguiente forma: a11X1 + a12X2+... +a1nXn = 0 a21X1 + a22X2+... +a2nXn = 0 am1X1 + am2X2+... +amnXn = 0 En la cual: aij son constantes Xj son variables con exponente =123/02/2012 5
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinMatriz de Coeficientes Es la matiz [A] cuyos trminos son los coeficientes del Sistema de Ecuaciones. Ejemplo. Del sistema a11X1 + a12X2+... +a1nXn = b1 [A] = a11 a12 ... a1n a21X1 + a22X2+... +a2nXn = b2 a21 a22 ... a2n am1X1 + am2X2+... +amnXn = bm am1 am2 ... amn
23/02/2012
6
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinVector del trmino Independiente Es el vector [B] cuyos elementos son los trminos independientes del Sistema de Ecuaciones. Ejemplo. Del sistema a11X1 + a12X2+... +a1nXn = b1 a21X1 + a22X2+... +a2nXn = b2 am1X1 + am2X2+... +amnXn = bm23/02/2012
[B] =
b1 b2 bm7
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinMatriz Aumentada Es la matiz [AB] cuyos elementos son los coeficientes y el trmino independiente del Sistema de Ecuaciones. Ejemplo. Del sistema a11X1 + a12X2+... +a1nXn = b1 [AB] = a11 a12 ... a1n b1 a21X1 + a22X2+... +a2nXn = b2 a21 a22 ... a2n b2 am1X1 + am2X2+... +amnXn = bm am1 am2 ... amn bm
23/02/2012
8
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinVector de Incgnitas o de Variables Es el vector [X] cuyos trminos son las incgnitas del Sistema de Ecuaciones. Ejemplo. Del sistema a11X1 + a12X2+... +a1nXn = b1 [X] = X1 a21X1 + a22X2+... +a2nXn = b2 X2 am1X1 + am2X2+... +amnXn = bm Xm
23/02/2012
9
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinPor lo anterior un Sistema de Ecuaciones Lineales Simultneos se pueden representar en forma matricial como: [A] [X] = [B]
23/02/2012
10
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.1. DefinicinSistema de Ecuaciones Lineales Simultneas no Homogneos [A]m,n [X]n = [B]m En donde [B]m [0] Sistema de Ecuaciones Lineales Simultneas Homogneos [A]m,n [X]n = [0]m
23/02/2012
11
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinEn los sistemas de ecuaciones lineales simultneas no homogneas se presentan los siguientes casos de solucin: I) Determinados o consistentes. a) Determinados con solucin nica r[A] = r[AB] = cantidad de incgnitas y ecuaciones b) Determinado con solucin mltiple r[A] = r[AB] < m cantidad de incgnitas y m-r variables por asignar valor II) Indeterminados o Inconsistentes r [A] r [AB]23/02/2012 12
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinEjemplo Que tipo de solucin tiene el sistema? Sea el sistema -1X1 + 2X2+3X3 = 11 Se calcula r[A] y r[AB] para decidir 2X1 - 3X2 = -6 1X1 - 1X2 +1X3 = 1 1 2 3 A= 2 1 0 =2 La matriz [A] es No singular r[A] =3 1 De la matriz [AB] se selecciona un cofactor y se calcula 11 2 3 AB = = 6 La matriz [AB] es No singular r[AB] =3 6 3 0 Sistema determinado o Consistente con 13 1 23/02/2012 1 1 Solucin nica r[A] =3 = r[AB] =3 3 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinEjemplo Que tipo de solucin tiene el sistema? Sea el sistema 3X1 - 2X2+1X3 = 1 Se calcula r[A] y r[AB] para decidir 1X1 - 1X2 -1X3 = 2 2 3 1 6X1 - 4X2 +2X3 = 3 A= 1 1 1=0 La matriz [A] es singular, entonces se selecciona un 6 4 2 menor y se calcula menor = 3 2 =-1 por lo tanto r[A] =21 11 2 3 2 1 4 1 1 2
AB =
23/02/2012
De la matriz [AB] se selecciona un menor, se calcula =11 La matriz es No singular, por lo tanto r[AB] =3 Sistema indeterminado o Inconsistente 14 Sin solucin r[A] =2 r[AB] =3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEASEjemplo Que tipo de solucin tiene el sistema?
7.2. Solucin
........
Sea el sistema X1 + 3X2+ 9X3 = 12 Se calcula r[A] y r[AB] para -3X1 - 7X2- 31X3 = -26 decidir 3X1 + 5X2 +35X3 = 161 A= 3 3 3 7 5 9 31
=0 La matriz [A] es singular, entonces se selecciona un 35 menor y se calcula 1 3 menor= 7 =2 La matriz es No Singular por lo 3 tanto r[A] =2contina15
23/02/2012
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEASEjemplo Que tipo de solucin tiene el sistema?
7.2. Solucin
AB =
1 3 3
3 7 5
12 26 16
De la matriz AB se selecciona un menor y se calcula =0 La matriz [AB] es singular, se selecciona uh menor 3 7 y se calcula menor = 3 =6 5 por lo tanto r[AB] =2
Sistema Determinado o Consistente con Solucin mltiple r[A] =2 = r[AB] =2 < 3 (cantidad de ecuaciones) una variable por asignar valor23/02/2012 16
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinRepresentacin grfica de la solucin de un sistema de ecuaciones lineales simultneas I) Determinados o consistentes. a) Con solucin nica Considerar un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. En la representacin grfica, la solucin es el punto de cruce de las dos rectas. Ecuacin 1Solucin
Ecuacin 223/02/2012 17
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinRepresentacin grfica de la solucin de un sistema de ecuaciones lineales simultneas I) Determinados o consistentes. b) Con solucin mltiple Considerar un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. En la representacin grfica, la solucin es mltiple, ya que ambas son la misma recta.Solucin todos los puntos23/02/2012 18
Ecuacin 1 y Ecuacin 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinRepresentacin grfica de la solucin de un sistema de ecuaciones lineales simultneas II) Indeterminados o inconsistentes. No hay solucin, no existe Considerar un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. En la representacin grfica, no hay cruce entre las dos rectas por lo que no hay solucin, ya que ambas rectas son paralelas.Ecuacin 1 Ecuacin 2 No hay interseccin o cruce, no hay solucin
23/02/2012
19
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.2. SolucinSolucin Ecuaciones Lineales Homogneas Es un sistema con n incgnitas de la forma: [A]m,n [X]n = [0]m tenemos que r[A]= r[A0] El sistema siempre es consistente. La solucin se llama Trivial. Si r [A] = n, el sistema solo tiene la solucin trivial [X]n = [0]m r[A] = cantidad de variables y r[AB] < r[A] El caso de inters es cuando existe la solucin No Trivial y es: Si r [A] < n, existe una solucin no trivial, para (n- r) valores arbitrarios.23/02/2012 20
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.3. MtodosMtodo de Cramer Sea [A]m,n [X]n = [B]m con |A| 0, o sea que [A]m,n sea matriz No singular Construir una matriz [Am] con la matriz de los coeficientes y en la columna de la primera variable se sustituye el vector [B] de los trminos independientes. Se calcula | A1 | El valor de la variable ser X1 = |A1| / |A| Las dems variables se calculan en forma similar.23/02/2012 21
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosMtodo de Cramer El valor de las incgnitas se calcula: X1 = | A1 | / | A | X2 = | A2 | / | A | X3 = | A3 | / | A | Xm= | Am | / | A |
23/02/2012
22
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosMtodo de Cramer. Ejemplo Sea el sistema -1X1 + 2X2+3X3 = 11 2X1 - 3X2 = -6 1X1 - 1X2 +1X3 = 111 2 3 1
El sistema tiene solucin nica ya que r[A] =3 r[AB] =3
3 0 1
A =
1 2 1
2 3 1
3 0 1
=2
X1 =
6 3
=6
X1= X1 /A= 6/2=3
23/02/2012
23
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosMtodo de Cramer. Ejemplo
X2 =
1 2 1
11 6 1
3 0 1
=8
X2= X2 /A= 8/2=4
1
2 3 1
11 6 =4 1
X3 =
2 1
X3= X3 /A= 4/2=224
23/02/2012
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEliminacin de Gauss o EscalonadoEn la matriz aumentada [AB] del sistema, por medio de transformaciones elementales, transformar el valor del elemento de la diagonal principal para obtener un uno y valores cero en los elementos ubicados debajo de la diagonal. Se realiza este calculo, para cada elemento de la diagonal principal. El siguiente paso es: Iniciar por la ltima fila, despejar la variable y se obtiene su valor, a continuacin en la penltima fila, emplear la variable ya calculada y despejar el valor de la variable, y as sucesivamente con el resto de las variables.23/02/2012 25
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEjemplo Eliminacin de Gauss o Escalonado -1X1 + 2X2+3X3 = 11 El sistema tiene solucin nica ya que 2X1 - 3X2 = -6 r[A] =3 = r[AB] = 3 1X1 - 1X2 +1X3 = 1 1 2 3 11 1 2 3 11 0 [AB] = 1 2 3 11 1 2 3 11 1 6 16 f 1= - f 1 f3 = f3 + f2 f3 = f3/2 f2 = f2-2 f1 f 3 = f 1- f 3 Despejando de la ltima ecuacin X3 = 2 con este valor, En la segunda fila X2 = 4 y con estos dos valores 23/02/2012 En la primera fila X1 = 32 1 3 1 0 6 1 1 0 0 1 1 6 4 16 12 0 0 1 0 6 2 16 4 0 0 1 2
26
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEjemplo Eliminacin de Gauss o Escalonado X1 + 3X2+ 9X3 = 12 El sistema tiene solucin mltiple ya que -3X1 - 7X2- 31X3 = -26 r[A] =2 = r[AB] = 2 < cantidad de variables 3X1 + 5X2 +35X3 = 16 [AB] =1 3 3 3 7 5 9 31 35 12 26 16
f2 = f2/2 Se elimina la tercera ecuacin por ser igual a la segunda En la ltima ecuacin se tienen dos variables SI X3 =c, con este valor, Despejar el valor de X2 = 5 + 2c y con estos dos valores 23/02/2012 27 En la primera fila X1 = 12 3(5+2c)-9c = -3 15c
f2 = f2 +3f1 f3 = f3-3 f1
1 0 0
3 2 4
9 4 8
12 10 20
1 0
3 1
9 2
12 5
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEjemplo Eliminacin de Gauss o Escalonado 3X1 - 2X2+X3 = 1 El sistema no tiene solucin ya que X1 - 1X2 -X3 = 2 r[A] =2 r[AB] = 3 6X1 - 4X2 +2X3 = 3 Para fines didcticos se aplicar el mtodo 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 2 [AB] = 1 1 1 2 0 1 4 5 0 1 4 5 6 4 2 3 0 2 8 9 0 0 0 1
f1 = f2 f3 = f3-2 f2 f2 = f2 -3f1 f3 = f3-6f1 En la ltima ecuacin se tienen una igualdad imposible 0 = 1 lo cual corrobora que el sistema no tiene solucin.23/02/2012 28
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEjemplo Eliminacin de Gauss o Escalonado X1 + 3X2 -X3 = 0 El sistema tiene solucin mltiple 5X1 +16X2-10X3 = 0 r[A] =2 = r[AB] = 2 < cantidad de variables 16X1+50X2-26X3 = 0 1 3 1 3 3 3 [AB] = 1 16 10 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 5 0 0 0 0 0 5 5 0 5 0 16 50 26 0 0 2 10 0 0 1 5 0
f2 = f2 -5f1 f3 = f3 /2 Se elimina la tercera ecuacin por ser f3 = f3-16f1 igual a la segunda En la ltima ecuacin se tienen dos variables SI X3 =c, con este valor, Despejar el valor de X2 = 5c y con estos dos valores En la primera fila X1 = 3(5c)+c =-14c 23/02/2012 El sistema tiene solucin distinta a la Trivial
29
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7.3. MtodosEjemplo Eliminacin de Gauss o Escalonado X1-2 X2+X3 = 0 El sistema tiene nicamante solucin trivial 3X1 -X2 +X3 = 0 r[A] =3 r[AB] = 2 -X1+4X2 -X3 = 0 [AB] = 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 03 1 1 4 1 1 0 0 0 0 5 2 2 0 0 0 0 0 1 0 2/5 4/5 0 0
f2 = f2 -3f1 f3 = f3+f1
f2 = f2 /5 f3 = f3-2f2
En la ltima ecuacin se tiene para la variable X3 =0, con este valor, Despejar el valor de X2 = 0 y con estos dos valores En la primera fila X1 = 0 El sistema tiene nicamente la solucin Trivial23/02/2012
30
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. Mtodos
Mtodo de Gauss Jordan Es similar al mtodo de Gauss, solo que tambin hay que transformar en ceros a los elementos que estn arriba de la diagonal. Los valores de las variables quedarn en la columna que ocupaba [B].
23/02/2012
31
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEjemplo Gauss Jordan -1X1 + 2X2+3X3 = 11 2X1 - 3X2 = -6 1X1 - 1X2 +1X3 = 1 [AB] = 1 2 3 11 1 2 1 3 1 0 6 1 1 0 0
El sistema tiene solucin nica r[A] =3 = r[AB] = 32 1 1 3 6 4 11 16 12
1 0 0
0 1 0
9 6 2
21 16 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3 4 2
f 1= - f 1 f3 = f3 + f2 f3 = f3/2 f2 = f2-2 f1 f1 = f1 +2 f2 f1 = f1 -9f3 f 3 = f 1- f 3 f2 = f2 -6 f2 Los valores de las variables quedan en los lugares de [B] en la matriz aumentada X3 = 2, X2 = 4 y X1 = 323/02/2012 32
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosMtodo Matricial. Por medio de la matriz Inversa De la expresin [A]m,n [X]n = [B]m Multiplicando por la izquierda tendremos [ A ]-1 x [A]m,n [X]n =[ A ]-1 [B]m Como [ A ]-1 x [A]m,n es [ I ] y [I] x [A] = [A] Para resolver el sistema por medio de la inversa ser:23/02/2012 33
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosMtodo Matricial. Por medio de la matriz Inversa [X]n = [ A ]-1 [B]m Donde [ A ]-1 puede calcularse por : Inversa por medio de la matriz adjunta Inversa por medio de Transformaciones Elementales
23/02/2012
34
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS7. 3. MtodosEjemplo Mtodo Matricial -1X1 + 2X2+3X3 = 11 2X1 - 3X2 = -6 1X1 - 1X2 +1X3 = 1 [A]-1 = 3 / 2 1 1/ 2 5/ 2 2 1/ 2 9/2 3 1/ 2
El sistema tiene solucin nica r[A] =3 = r[AB] = 3 3 / 2 1 1/ 2 5/ 2 2 1/ 2 9/ 2 3 1/ 2
[X] = [A]-1 [B] =
11 6 1
=
3 4 2
Los valores de las variables son X3 = 2, X2 = 4 y X1 = 3
23/02/2012
35