Material en validación 1


Este programa es posible gracias a la alianza entre el Ministerio de Educación Nacional, la Caja Colombiana de Subsidio Familiar –Colsubsidio- y las Secretarías de Educación de Cartagena, Arauca, Sincelejo, Quibdó, Tumaco, Buenaventura, Bucaramanga, Bogotá, Medellín, Florencia, Policarpa (Nariño) y San José de Guaviare.


Presentación A partir de hoy conocerás un programa educativo denominado Grupos Juveniles Creativos cuyo propósito es que todos los jóvenes, que por diferentes circunstancias se hayan retirado del sistema educativo, tengan la oportunidad de formarse y avanzar en la construcción de sus sueños y la consecución de sus metas. ¿Por qué se denomina Grupos Juveniles Creativos? GRUPOS, porque el programa tiene como base dinamizadora los aprendizajes mediante el trabajo cooperativo, en tanto que los jóvenes con niveles más altos en el desarrollo de competencias, generan procesos colectivos para cualificar aprendizajes en todos los integrantes del grupo. JUVENILES, porque tú eres el eje fundamental del programa, estás entre los 13 y 26 años de edad y te encuentras desescolarizado. Tú como muchos jóvenes colombianos vives una etapa de capital importancia en la que se consolida la identidad y se construyen los proyectos de vida. CREATIVOS, porque es la oportunidad para que los jóvenes expresen sus ideas, formulen y participen en proyectos, sueñen con posibilidades nuevas para ellos y asuman formas de vida favorables para su presente y futuro. Este programa será el espacio para que los jóvenes desarrollen habilidades para ser recursivos, propositivos, activos y proactivos frente a los problemas propios y comunitarios. Con el fin de ofrecer formación integral de calidad y pertinencia para jóvenes que por diferentes circunstancias se han retirado del sistema educativo, el programa GJC organiza el proceso de enseñanza y aprendizaje en dos líneas de trabajo para atender las cuatro dimensiones formativas y buscar el desarrollo de competencias básicas, ciudadanas y laborales. La básica y la de profundización; cada una cuenta con sus escenarios para el aprendizaje y metodologías propias.


Contenido ¿QUE ENCONTRARAS EN ESTA CARTILLA? 5 Guía 1. PITÁGORAS 9 Guía 2. TEOREMA 15 Guía 3. COORDENADAS 20 Guía 4. TRIGONOMETRÍA 28 ANEXOS 35 NOTAS BIBLIOGRÁFICAS 37


¿Qué vas a encontrar en esta cartilla? El programa asume la formación del campo Lógico como un fundamento para que desarrolles estructuras mentales que te hagan más competente en diversos contextos. “Esto Implica que reconozcas la existencia de distintos tipos de pensamiento lógico y matemático que utilizas para tomar decisiones informadas, para proporcionar justificaciones razonables o refutar las aparentes y para ejercer la ciudadanía crítica, es decir, para que participes en la preparación, discusión, toma de decisiones y para que desarrolles acciones que colectivamente puedan transformar la sociedad. A través de esta área piensas y juegas ya que está organizada con base en el enfoque de sistemas que integran los contenidos de la matemática para que puedas utilizarlos en la vida diaria y en la aplicación de los conocimientos científicos y tecnológicos. Tienes en tus manos un plan de trabajo que te ayudará a desarrollar competencias Lógico – matemáticas como: Conocimientos matemáticos, situaciones problema y comunicación matemática. Conocimientos matemáticos: Darás cuenta del cómo y del porqué de los caminos

que sigues para llegar a conclusiones. Justificas estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problema. Formulas hipótesis, haces conjeturas, exploras ejemplos y contraejemplos, pruebas y estructuras argumentos. Generalizas propiedades y relaciones, identificas patrones y los expresas matemáticamente. Planteas preguntas. Sabes que es una prueba de matemáticas y como se diferencia de otros tipos de razonamiento y distingues y evalúas cadenas de argumentos.

Situaciones problema: Mediante la cual formulas problemas a partir de

situaciones dentro y fuera de la matemática. Traduces la realidad a una estructura matemática. Desarrollas y aplicas diferentes estrategias y justificas la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas. Justificas la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida. Verificas e interpretas resultados a la luz del problema original y generalizas soluciones y estrategias para dar solución a nuevas situaciones problema.

Comunicación matemática: Se refiere a la capacidad de expresar tus ideas,

interpretar, representar, usar diferentes tipos de lenguaje, describir relaciones. Relacionar materiales físicos y diagramas con ideas matemáticas. Modelar usando lenguaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico y algebraico. Manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas, utilizar variables y construir argumentaciones orales y escritas.

Para este ciclo 5, desarrollarás niveles específicos de cada una de las competencias de acuerdo con los conceptos y contenidos a trabajar.


1. NIVELES DE COMPETENCIA: Conocimientos matemáticos: Manipulas proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas; utiliza variables, resuelve ecuaciones y realiza cálculos. Situaciones problema: Sigues y evalúas cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos; desarrolla procedimientos intuitivos; construye y expresa argumentos matemáticos. Comunicación matemática: Creas problemas basados en contextos reales. 2. CONCEPTOS Y CONTENIDOS: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

• Teorema de Pitágoras: Introducción, triángulos rectángulos. • Plano cartesiano: Coordenadas. • Ángulo: Grados, radianes, conversión de medidas de ángulos, gráfica en el

plano cartesiano. • Funciones trigonométricas: Seno, Coseno y Tangente. Funciones

trigonométricas recíprocas, gráficas. Solución de triángulos rectángulos.

En cada guía encontrarás:

¡¡¡BIENVENIDO (A)!!!


CONVENCIONES Para el desarrollo y comprensión de las guías debes tener en cuenta las diferentes actividades a realizar, identificadas con las siguientes convenciones:

Conoces en qué consisten las actividades del día y realizas los ejercicios que te ayudarán a ubicarte en la sesión

Empiezas a buscar e indagar nuevos conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes.

Realizas actividades y ejercicios individuales para fortalecer tus conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes.

Asumen responsabilidades con otro compañero de tal manera que las desarrollen juntos.

Consolidar un equipo de trabajo, integrarse a él y establecer roles y responsabilidades para realizar actividades coordinadas con otros

Revisas si realmente realizaste individualmente y como equipo, un buen trabajo que permitió el reto del día.

Reflexionas sobre lo trabajado en el día y buscas el uso práctico en la vida cotidiana.

Asumes la responsabilidad de realizar consultas, averiguaciones, trabajos, actividades que buscan fortalecer lo desarrollado en la sesión del día o que te servirá para preparar el siguiente encuentro.


Tus compañeros de viaje

Hola quiero presentarme y presentarte a mis amigos, ella es Killa, él es Carlos y yo soy Mavin, te acompañaremos todos los días y juntos aprenderemos a vivir mejor.


Pitágoras Guía No. 1

Para empezar toma tu libro y realiza tu lectura silenciosa por 15 minutos. Cuando termines debes apuntar en tu cuaderno la agenda del día que te indicará el tutor (a). Luego escoge un compañero o compañera y realiza la siguiente actividad: El gigante y los enanos: El tablero que esta en la figura puedes dibujarla fácilmente en una hoja de papel. Necesitas tres fichas para los enanos (E) y una ficha de diferente color o tamaño para el gigante (G). Empiezas en la posición mostrada en el dibujo. El enano se mueve primero, y estos se pueden mover hacia abajo, o de lado, a una celda adyacente que no esté ocupada. Así por ejemplo, el enano del lado izquierdo puede mover hacia abajo al círculo 2, o diagonalmente al círculo 1. El gigante puede moverse de la misma manera, y además tiene permitido moverse hacia arriba en el tablero. El objetivo del juego es que los enanos rodeen al gigante de modo que éste no se pueda mover. Juega y trata de encontrar una estrategia de victoria.

RETO Te retamos a que logres identificar y solucionar según la clasificación de los triángulos algunos problemas geométricos.

PALABRAS CLAVES: Pitágoras: Biografía.

Triángulos rectángulos: Clasificación según sus lados y

ángulos.


Para empezar a trabajar en forma, primero debes conocer sobre la vida de un Filósofo y Matemático griego que consideraba que el universo era una obra sólo descifrable a través de las matemáticas. PITÁGORAS (Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza comprensible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.1

Sabias que…. Pitágoras es famoso sobre todo por el Teorema que lleva su mismo nombre, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Quien demostró dicho teorema fue uno de sus discípulos, Hipaso de Metaponto.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipaso_de_Metaponto


Después de que hayas leído esta interesante información de Pitágoras, rescata las ideas principales y luego compártelas con tus compañeros y compañeras del grupo.

Ahora, realiza un breve repaso sobre una figura geométrica de la cual habla el teorema

a desarrollar, para esto completa los espacios en blanco:

Un triángulo es un ____?____ de tres lados que viene determinado por tres puntos no colineales llamados ____?____, notados generalmente en letra mayúscula. Los segmentos que unen dos vértices del triángulo son los __?__ y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Se llama ángulo de un triángulo, al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice. El ángulo, se denota con la misma

letra que el vértice correspondiente.

Los triángulos se clasifican según sus __?___ y según sus ___?____. Según sus ___?___ se clasifican en:

_____?_____ Es aquel triángulo que tiene sus tres lados iguales.

_____?____ Es aquel triángulo que tiene dos lados iguales y uno diferente.

____?____ Es aquel triángulo que tiene sus tres lados de ____?____ longitud.

a

a a

b

a a b

c

a


Según sus ___?____ se clasifican en:

_____?_____ Es aquel que tiene un ángulo recto (mide 900) y dos ángulos agudos (miden menos de 900).

C = 900

____?______ Es aquel que tiene 3 ángulos agudos.

A y B y C miden menos de 900

_____?______ Es aquel que tiene un ángulo obtuso (mide más de _?_º) y dos agudos.

C Es Angulo Obtuso. (Mide más de __?__º y menos de __?__º)

Es importante que conozcas e identifiques dichas clasificaciones. Por ahora, enfatizarás en los triángulos rectángulos. Empieza por encontrar el área de un triángulo rectángulo.

En la figura los triángulos ABC y CDA son congruentes, es decir, uno de los triángulos puede ser convertido en el otro por medio de movimientos, tales como: rotaciones, traslaciones, simetría con respecto a una recta. En este caso, ¿Qué movimiento sería?

Ahora, escribe en tu cuaderno la fórmula general para calcular el área de un triángulo. El siguiente dibujo te puede ayudar.

Consejitos… Entre los lados de un triángulo y sus ángulos se pueden establecer diferentes relaciones, entre ellas puedes citar: La suma de los ángulos interiores siempre es igual a 180º.


Realiza un dibujo y el respectivo procedimiento en tu cuaderno para resolver los siguientes ejercicios:

1. Halla el área de un triángulo sabiendo que la base mide 6,8 metros y la altura 9,3 metros.

2. Encuentra el área y el perímetro de un triángulo equilátero de lado 8,4 centímetros.

3. ¿Cuál es el área y el perímetro de un triángulo isósceles de base 24 centímetros y lados congruentes de 15 centímetros?

4. Encuentra el área y el perímetro de un triángulo Rectángulo de lados 30 centímetros y 40 centímetros.

Al terminar, socializa la solución de los ejercicios con un compañero o compañera.

Si dos corredores salen del mismo punto de partida, un corredor A hacia el norte y el otro corredor B hacia el este. Juntos paran después de correr por 10 minutos. En este punto si trazas una línea imaginaria en donde quedaron los dos atletas formarías un triángulo. El área encerrada por esta figura es de 7.650 metros cuadrados y la distancia recorrida por el atleta B es de 90 metros. ¿Cómo puedes hallar la distancia recorrida por el atleta A? Ahora, si sabes que la medida del ángulo que forma la línea imaginaria con la línea que muestra el recorrido del atleta B es de 55º, ¿Cómo hallas la medida de los otros ángulos formados?

Primero debes reunirte con un compañero o compañera. Luego, vas a intercambiarle tu cuaderno. Dirígete a la parte del cuaderno en donde se desarrollo los ejercicios en forma individual, vas a analizarlos y posteriormente dibuja la siguiente rúbrica en su cuaderno y complétala según la información pedida y criterios:


RÚBRICA PARA TRABAJO EN SESIÓN NOMBRE DEL COMPAÑERO (A):

DESCRIPCIÓN 1 2 3 4 Realizó el dibujo correspondiente en cada situación. Cada ejercicio tiene su respectivo procedimiento. Identificó las partes del triángulo. Clasificó correctamente cada uno de los triángulos. Diferenció el cálculo del perímetro y el área. Escribió de forma ordenada y legible los procedimientos.

CRITERIOS 1: MALO, 2: REGULAR, 3: BUENO, 4: EXCELENTE

Ahora, realiza el promedio, es decir , suma los puntos obtenidos y divide entre el número de criterios, o sea 4. El máximo valor que puedes tener es 5. Ahora mide y analiza que descripciones debe mejorar tu compañero y compañera y haz que los corrija.

Realiza tu misión en una hoja que anexarás al portafolio en el apartado correspondiente. Para esto, primero ten en cuenta la siguiente información: Un triangulo rectángulo siempre tiene un lado más largo que los otros dos, este lado se llama Hipotenusa, los otros dos lados se conocen como los Catetos.

Ahora, tienes un cuadrado cuyos lados son la unión de dos segmentos, uno de medida b y el otro de medida c.

Resuelve cada uno de los siguientes pasos:

1. Dibuja el cuadrado en la hoja tal cual como aparece en la figura.

2. ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado en términos de b y c?

3. Halla el área de este cuadrado en términos de b y c. 4. Traza 4 rectas tales que cada recta una el punto

final de cada segmento de medida c con el punto final del segmento c de otro lado del cuadrado.

Para practicar…. El universo era una obra sólo descifrable a

través de las matemáticas. Pitágoras


Teorema Guía No. 2

Para empezar realiza tu lectura silenciosa durante 15 minutos, luego escribe en tu cuaderno la agenda del día que te indicará el tutor (a). Luego, observa el siguiente dibujo y escribe que crees que significa. Nota que la figura ubicada en el centro es una figura geométrica vista en la sesión anterior.

Recuerda los nombres dados a las partes del triángulo (rectángulo): Tu trabajo de hoy iniciará con la realización de tu misión de la sesión anterior. Saca la hoja en donde dibujaste el cuadrado y las cuatro rectas. Vas a suponer que cada una de estas rectas, ya que son iguales, tienen una medida a.

a

b

c

RETO Geometría y trigonometría de triángulos, ¿Existirá alguna relación? Tu reto será responder esta pregunta mediante el estudio de conceptos teóricos y resultados prácticos fundamentales.

PALABRAS CLAVES: Área: Cuadrado y triángulo.

Teorema de Pitágoras: Deducción y aplicación.


Tu objetivo es hallar el área de uno de los cuatro triángulos que aparece en el dibujo que realizo Carlos de misión de la guía anterior, es decir, un triángulo con medida de la hipotenusa a y la medida de los catetos b y c. Ahora, como cada lado es la unión de dos segmentos uno de medida b y el otro de medida c, entonces cada lado del cuadrado tiene de medida b+c. En este sentido, halla el área del cuadrado (azul) de medida de lado b+c:

A = (b+c) × (b+c) = (b+c)2 = ?

De esta forma, halla el área del cuadrado (amarillo) de lado a:

A = ?

Luego, halla el área de cada triángulo rectángulo (base por altura partido por 2): A = ?

Mi dibujo quedo de esta forma:

Como ya conozco la medida del lado del cuadrado puedo hallar su área ya que esta se calcula realizando el producto de un lado por otro lado.


Sabias que… El gran resultado que acabaste de encontrar y demostrar es el famoso TEOREMA DE PITÁGORAS.

Grafica y analíticamente el área del cuadrado (azul) de lado b+c es igual al área del cuadrado (amarillo) de lado a más el área de los cuatro triángulos rectángulos. Lista los resultados encontrados:

Área del cuadrado (azul) de lado b+c: A = ?

Área del cuadrado (amarillo) de lado a: A = ? Área de un triángulo rectángulo: A = ?

Por lo tanto tienes: Área del cuadrado (azul) de lado b+c = Área del cuadrado (amarillo) de lado a + (4 × Área de un triángulo rectángulo).

Realiza esta operación con los resultados de las áreas encontradas. Pista: finalmente debes llegar al siguiente resultado: b2 + c2 = a2

Escribe el procedimiento desarrollado para llegar a este resultado en tu cuaderno.

Reúnete con un compañero o compañera y devuélvete al dibujo del sintonicémonos. Complementa este ejercicio con el resultado encontrado, es decir, encuentra la relación entre el número de cuadraditos en los cuadrados de medida de lado a,b y c con el área de la figura geométrica que encuentras en el centro. Compara el resultado visual y analíticamente. Luego escribe el enunciado en forma general del Teorema de Pitágoras con tus propias palabras. Para practicar, encuentra la medida de la hipotenusa:

3cm.

4cm. ?


Finalmente, socializaras estas generalidades con el gran grupo.

Realiza esta actividad en una hoja, la cual irá al portafolio en el apartado correspondiente. A cada arista (lado) del cubo de la figura llámala a:

a

Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar: 1. Una expresión que corresponda a la diagonal de la base del cubo. 2. Una expresión de la diagonal del cubo cuando la arista es de 5 centímetros.

Si tienes la fórmula general: b2 + c2 = a2 y el único valor desconocido es a, es decir, conoces los valores de b y c. Puedes hallar fácilmente este valor desconocido aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Ahora bien, si conoces los valores de b y a, necesitas hallar el valor de c, ¿Cómo lo haces? Escribe la respuesta argumentándola en tu cuaderno.

Consejitos… Para que puedas resolver claramente la pregunta anterior, dale valores numéricos a a, b y c. Realiza un par de ejercicios con estos valores y verifica tu respuesta.


Soluciona los siguientes ejercicios en tu cuaderno:

1. Encuentra la longitud del lado cuyo valor es desconocido en cada triángulo y halla el área de cada uno.

8 cm. 12 cm. 30 ? 12m 15 m ? ? 18 2. Encuentra la longitud de la diagonal de un cuadrado de 20 centímetros de lado. 3. Cuál es la medida de la base de un rectángulo cuya altura y diagonal mide 6 metros

y 10 metros respectivamente.

4. Cuál es la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 8 centímetros y los lados congruentes miden 1 decímetro. Expresa el resultado en centímetros.

Para practicar…. Descubriste el Teorema de Pitágoras mediante una serie de pasos algebraicos. Esta no es la

única prueba que existe. Consulta otras pruebas y compara.


Coordenadas Guía No. 3

Para empezar realiza tu lectura silenciosa durante 15 minutos, luego escribe en tu cuaderno la agenda del día que te indicará el tutor (a).

¿Alguna vez has jugado BATALLA NAVAL? Reúnete con un compañero o compañera. Cada uno en una hoja o en el cuaderno dibuje una cuadricula de 10 filas y 10 columnas. Cada fila la enumeras con números del 1 al 10 y las columnas con las 10 primeras letras del alfabeto.

Ahora, cada uno tiene cuatro barcos, todos con medidas diferentes, como lo muestra la ilustración. Colócalos en tu tablero en la posición que quieras.

A B C D E F G H I J

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RETO Al ubicar un punto en el plano cartesiano determinarás sus coordenadas y aplicarás esta herramienta en la solución de algunos problemas geométricos y geográficos.

PALABRAS CLAVES: Plano cartesiano:

Coordenadas.


Positivos Negativos

Negativos

Positivos

La finalidad del juego es poder hundir todos los barcos del contrincante. Para esto, por turnos vas a decirle una letra y un número a tu compañero, él buscará esta posición en su tablero, si precisamente en esta posición se encuentra un barco, él gritará FUEGO. El proceso se repite hasta que los cuatro barcos de un jugador se hayan hundido.

Como pudiste notar en el juego anterior, a cada cuadro del tablero le correspondía un nombre, una letra y un número. Así como a todo número le corresponde un punto de la recta numérica y a cada punto de la recta numérica le corresponde un número.

Dibuja en tu cuaderno una recta numérica con los respectivos números. Luego traza sobre el origen (cero) una recta vertical. Sobre esta recta vertical vas a nombrar con los números positivos del origen hacia arriba y con los negativos del origen hacia abajo.


Al observar el plano cartesiano, notas que queda divido en cuatro partes llamados cuadrantes, observa el dibujo2:

Es como si dibujará dos rectas numéricas cruzadas, una vertical y

Sabias que…. El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas:

• El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas.

• El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas.

En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se

intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema

de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de

coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo

francés René Descartes (1596-1650)).


Realiza una descripción en tu cuaderno de cómo son los valores numéricos que toma cada eje en cada uno de los cuadrantes. Recopila los datos en el siguiente cuadro:

VALORES NUMÉRICOS CUADRANTE EJE X EJE Y

I II III IV

Así como cada punto del tablero del juego tiene un nombre, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, las cuales reciben el nombre de coordenadas del punto. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es -3 y cuya ordenada es 1, cuya representación es A(-3,1) y para ubicarlo en el plano3 trazas una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.

Dibuja el plano cartesiano en tu cuaderno, ubica un punto cualquiera. Ahora, para determinar las coordenadas de dicho punto realiza los pasos:

1. Traza por el punto rectas paralelas a cada uno de los ejes. 2. Determina los valores numéricos en donde estas paralelas cortan los ejes.

De esta forma, los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el eje y; y los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el eje x.


Determina que coordenada debe ir en el espacio amarillo del siguiente dibujo4. Reproduce esta plano en tu cuaderno y complétalo.

Este plano es muy útil ya que aquí puedes realizar la representación gráfica de funciones. Observa una de las utilidades del plano cartesiano, que verás con más detalle en

otra unidad. Tienes una función g definida de la siguiente forma:

g(x) = 2x + 3 y = 2x + 3 Vas a realizar su representación gráfica en el plano, para esto le das valores numéricos aleatorios a x y así obtienes un valor numérico para y. Si x = 0, entonces y = g(0) = 2(0) + 3 y = 0 + 3 y = 3, así obtienes el punto (0,3) Si x = -2, entonces y = g(-2) = 2(-2) + 3 y = -4 + 3 y = -1, así obtienes el punto (-2,-1) Ahora, ubica en el plano cartesiano estos dos puntos, luego únelas por una línea. La recta que obtuviste es la representación gráfica de esta función.

Sabias que…. Una función es una correspondencia o relación entre un elemento de un conjunto A con los elementos de un conjunto B.


Aplicación geométrica: Identifica las coordenadas de cada uno de los puntos.

Luego calcula el perímetro de cada figura5 (sugerencia: Para que halles la medida de las diagonales, puedes aplicar el Teorema de Pitágoras)

Dibuja los planos cartesianos en tu cuaderno y resuelve los ejercicios (puedes trabajar con un compañero o una compañera):

1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano. Luego únelos, identifica que figura es y halla su perímetro y su área.

a. A(-3,-2), B(-3, 2), C(3,2) Y D(3,-2) b. A(0,0), B(6, 4) Y C(6, -4) 2. Dibuja una circunferencia en el plano tal que su centro este ubicado tres

unidades arriba del origen y tenga de diámetro 5 unidades. 3. Si un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos A(-4, 0) Y B(0, 4) y

el centro del cuadrado (punto de intersección de sus diagonales) coincide con el origen de coordenadas, ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices?

4. Identifica las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E. Luego halla el perímetro de la figura.


5. Sean h(x) = x y f(x) = -x. Realiza la representación gráfica de cada función en un mismo plano cartesiano y determina las coordenadas del punto en el cual se cortan estas dos rectas.

6. Une y coloca el nombre de los cuadriláteros más semejantes

a).-caballo negro + torre negra + alfil blanco +reina blanca y luego unir con el origen b).-torre negra + reina negra + rey negro + reina blanca y unir con origen

7.

Recuerda que: Dos figuras son

semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente.

El plano cartesiano es una herramienta geográfica muy útil. Por ejemplo: Los pilotos durante su vuelo se ubican mediante coordenadas. No tienen otra forma de ubicación. Cuando vas por la calle en busca de una dirección, debes tener en cuenta el número de la calle y la carrera o diagonales y transversales. Esta es otra forma de ubicación por medio de coordenadas. Ahora piensa en que otras situaciones reales se ha implementado el sistema de coordenadas. Realiza un listado y compleméntalo con el gran grupo.

c).- Peón negro + peón blanco + torre blanca + rey blanco y unir con el origen

d).- Torre blanca + torre negra + peón negro + rey blanco


Ingresa al blog del programa en www.jovenescreatics.blogspot.com. Ubica los recursos para el ciclo en el grupo de pensamiento lógico. Haz clic en el enlace Plano Cartesiano complementa la información adquirida durante el desarrollo de la guía con la lectura de la información que te proporciona la página. Luego ingresa a las dos Interactividades que encuentras y resuelves los ejercicios propuestos. Escribe los enunciados y procedimientos en una hoja que irá al portafolio en el apartado correspondiente.

Para practicar…. Haz una representación gráfica en el

plano cartesiano del lugar donde vives.

http://www.jovenescreatics.blogspot.com/


Trigonometría Guía No. 4

Para empezar realiza tu lectura silenciosa durante 15 minutos, luego escribe en tu cuaderno la agenda del día que te indicará tu tutor (a). El desarrollo de estos contenidos será parte importante del desarrollo de tu aprendizaje autónomo. Implementarás una herramienta de Internet que te guiará de manera sencilla el trabajo que tienes que realizar. Así que, prepárate porque también deberás demostrar las habilidades adquiridas en el uso del computador y sus instrumentos. --Recuerda que antes de empezar a trabajar debes tener tu cuenta de correo electrónico—

Ahora, vas a ingresar al blog del programa en la página: www.jovenescreatics.blogspot.com, busca en la parte derecha el link de Grupo de Pensamiento Lógico.

RETO Desarrollarás tu aprendizaje autónomo mediante la implementación de una herramienta de Internet que te proporcionará información de los contenidos a desarrollar.

PALABRAS CLAVES: Ángulo: grados, radianes,

conversión de medidas de ángulos, gráfica en el plano cartesiano.

Funciones trigonométricas: Seno, Coseno y Tangente. Funciones

trigonométricas recíprocas, gráficas. Solución de triángulos rectángulos.

Sabias que…. WebQuest es una metodología de búsqueda orientada, en la que casi todos los recursos utilizados provienen de la Web. Fue propuesta por el profesor Bernie Dodge, en 1995.

http://www.jovenescreatics.blogspot.com/

http://es.wikipedia.org/wiki/Web

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bernie_Dodge&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/1995


Ingresa y busca el recurso Funciones Trigonométricas para tu respectivo ciclo.


Este link te llevará a una herramienta de la Web que te indicará los pasos a seguir: En la primera hoja encontrarás la introducción de los contenidos a desarrollar. 1. En la segunda hoja está el trabajo que debes desarrollar. 2. En la tercera hoja encontrarás el proceso que debes seguir y los enlaces a

páginas de consulta para el desarrollo de tu trabajo. 3. En la siguiente hoja esta listada la forma de evaluación para tu misión. 4. Y por último, las conclusiones del trabajo realizado.

El proceso de evaluación lo encuentras en la WebQuest que trabajaste. Este trabajo lo irás complementando en cada sesión y lo entregarás al terminar la unidad, es decir que tu evaluación durante esta unidad será permanente.

Consejitos… No olvides el comportamiento y cuidado que debes tener al ingresar a la sala de Internet. Cualquier duda o inquietud la puedes comunicar al tutor (a).


El estudio del concepto y contenidos de funciones trigonométricas es de susto para muchos, pero esta vez desarrollaste el tema de una forma práctica, didáctica y sobre todo de mucha autonomía.

Ahora, sabes que dichas funciones son herramientas indispensables en la solución de triángulos rectángulos en los cuales debes identificar sus partes y las relaciones entre ellos.

De seguro las has utilizado sin notarlo, pero ahora que conoces a profundidad el tema, ¿En qué lo podrías emplear? ¿Cómo?

Este cuadro resumen te ayudará en la solución de los ejercicios:

RAZONES FUNDAMENTALES

Sen θ = hipotenusa

opuestocateto

Cos θ = hipotenusa

adyacente cateto

Tan θ = adyacentecatetoopuestocateto

RAZONES RECÍPROCAS

Csc θ =opuestocateto

hipotenusa

Sec θ = adyacentecateto

hipotenusa

Cot θ = opuestocateto

adyacentecateto

Puedes notar que las razones trigonométricas fundamentales y sus recíprocas tienen invertidos sus términos.

1. En la siguiente figura aprecias varios triángulos rectángulos. Determina cuales son los catetos opuestos, adyacentes e hipotenusas para cada uno de los ángulos.

K = 900

L + P = 900 G + F

S A n a

p

f c

b

K K

m s

d

L P

G

I N


2. Una escalera de 4,5 m. de largo está apoyada sobre la pared de una casa. Si la base de la escalera está a 2,2 m. de la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso?

3. Un rayo rompe un árbol, la parte superior cae formando con el suelo un triángulo rectángulo; si la parte superior forma con el piso un ángulo de 38º y la distancia desde el suelo en forma vertical hasta la ruptura del árbol es de 6 m. ¿Cual es la altura que tenía el árbol? 4. Un globo se encuentra amarrado al suelo por una pita de 170 m. de largo. Con el viento, el hilo se desvía en 35º de su vertical. ¿Cuál es ahora, la altura del globo sobre el suelo? Responde las preguntas 5, 6 y 7 teniendo en cuenta la siguiente información: Desde un avión situado a 300 metros sobre el nivel del suelo se hacen observaciones de un lago obteniendo los resultados que se muestran en la figura. Según la situación mostrada se pueden establecer dos triángulos, para encontrar el largo del lago. 5. El proponer los dos triángulos simultáneamente A. permite encontrar el valor de la variable X, sin necesidad de encontrar el valor de Y. B. posibilita el hacer semejanzas entre ellos, para poder solucionar la incógnita X. C. dificultan el proceso para hallar el largo del lago en cuestión.

ANGULO A F G I N L P S

Cateto Opuesto Cateto adyacente


D. permiten encontrar el valor de Y en el primer triángulo para después encontrar el valor de x.

6. Para calcular el valor de Y, se puede establecer la relación A. tan 70º = 300m / Y B. tan 70º = cateto opuesto / cateto adyacente. C. cos 40º = 300m / Y D. sec 70º = 300m / Y 7. Para poder determinar el valor de la longitud del lago, se debe saber la longitud Y la cual vale 109.20 m, para después sumar el valor de X, el cual se puede determinar utilizando A. razones trigonométricas. B. sen 40º = 300m / ( X + Y) C. tan 40º = 300m / ( X + Y) D. el valor de la altura a la cual viaja el avión. 8. Soluciona los siguientes triángulos: A. B.

9. En el siguiente triángulo, rectángulo en C, determina las funciones trigonométricas de los ángulos A y B, sabiendo que:

a) AC = 6 cm. y BC = 8 cm.

b) BC = cm. y AB = 3 cm.

10. Sabiendo que sen 28º = 0,469; calcular:

a) Cos 28º

b) Tan 28º

12 m

a

b 450

B

a b

600

A

C B


c) Csc 28º

Las siguientes identidades te pueden ser de mucha ayuda:

senxx

xsenxx

xsenx

1csc

costan

1cos 2

=

=

−=

Para practicar…. Solucionar un triángulo rectángulo es encontrar la medida de sus lados y sus ángulos, para ello utilizas las

relaciones establecidas entre ellos, es decir la aplicación de las funciones trigonométricas.


ANEXOS

ALFABETO GRIEGO

A B C D E F G H I J K L M N Α Β Χ ∆ Ε Φ Γ Η Ι ϑ Κ Λ Μ Ν

Ñ O P Q R S T U V W X Y Z ∇ Ο Π Θ Ρ Σ Τ Υ ς Ω Ξ Ψ Ζ

a b c d e f g h i j k l m n α β χ δ ε φ γ η ι ϕ κ λ µ ν

ñ o p q r s t u v w x y z ⟩ ο π θ ρ σ τ υ ϖ ω ξ ψ ζ

GUÍA No. 2 Evaluemos 1. d = a 2

2. d = 22 5)25( +

Misión

1. 14,4cm., A = 48cm2

9m., A = 180m2.

24, A = 540

2. d = 28.2 centímetros.

3. 8 metros.

4. 9,16 centímetros.

GUÍA No. 3 Evaluemos 1. P = 20 unidades, A = 24 unidades cuadradas. 2. P = 2 52 + 8, A = 24 unidades cuadradas. 3. (4, 0) y (0, -4).


4. A(0, 3), B(2, 1), C(2, -2), D(-2, -2), E(-2, 1). P = 2 8 + 10 5. Se cortan en (0, 0). GUÍA No. 4 Misión 1.

2. Aproximadamente 60°. 3. Aproximadamente 17,5m. 4. Aproximadamente 139,25. 5. D 6. A 7. C 8. a. 26;26 == ba b. BbBa 2;3 == 9. Sen A = 0,8 Sen B = 0,6 Cos A = 0,6 Cos B = 0,8 Tan A = 1,3... Tan B = 0,75 10.

( )

13.2469.01

28128csc

53.088.046.0

28cos2828tan

88.07795.022040.0146947.0128128cos22

==°

=°

==°°

=°

==−=−=°−=°

sen

sensen

ANGULO A F G I N L P S

Cateto Opuesto m b c m s f p s

Cateto adyacente b m m c f s s p


NOTAS BIBLIOGRÁFICAS 1 BIOGRAFÍAS Y VIDAS. Pitágoras. En línea: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/pitagoras.htm. Consultada en noviembre de 2007. 2 Gráfica tomada de http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm Consultada en Noviembre de 2007. 3 ESCOLAR.COM. Plano cartesiano.En línea: http://www.escolar.com/avanzado/matema067.htm Consultada en Diciembre de 2007. 4Gráfica tomada de http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm Consultada en Noviembre de 2007. 5 El plano cartesiano. En línea: http://www.edilatex.com/index_archivos/algebra5tintas.pdf Consultada en Noviembre de 2007. PEDRO JOSÉ HERRERO PIÑERO. Historia de Matemáticas. El Teorema de Pitágoras. En línea: http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm. Consultada en noviembre de 2007. Tomado y adaptado: BACHILLERATO PARA ADULTOS BAC. Guías de Matemáticas, ciclo 5. Colsubsidio. Imágenes tomadas de Corbis. En línea: http://pro.corbis.com/

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/pitagoras.htm

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm

http://www.escolar.com/avanzado/matema067.htm

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm

http://www.edilatex.com/index_archivos/algebra5tintas.pdf

http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm

http://pro.corbis.com/

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