Materias - Álgebra I - Formulario de 2 Teoría de Conjuntos
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Teoría de Conjuntos 1. Clasificación de los Números Complejos.⎧ ⎧ ⎧ ⎧ Naturales : N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Enteros : Z ⎨0 ⎪ ⎪Reales : R ⎪ Racionales : Q ⎨ ⎪ Enteros Negativos : Z − ⎪ ⎨ ⎩ ⎪ Complejos : C ⎨ ⎪ ⎪ Fraccionarios : Z ' ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ Irracionales : Q' ⎩ ⎪ ⎪Imaginarios : I ⎩2. Relaciones entre conjuntos. Inclusión de conjuntos. (⊂: Subconjunto, ⊃: Superconjunto )A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ BPropiedades: Reflexividad: ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ A;Verdad ,∴ A ⊂ A Transitividad: Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C Antisimé
Transcript of Materias - Álgebra I - Formulario de 2 Teoría de Conjuntos
Teoría de Conjuntos 1. Clasificación de los Números Complejos.
⎪⎪⎪⎪
⎩
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⎨
⎧
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⎧
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⎧
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⎪⎨
⎧
−
IaginariosQesIrracional
ZiosFraccionarZNegativosEnteros
NNaturalesZEnteros
QRacionalesRales
CComplejos
:Im':
'::
0:
::
:Re:
2. Relaciones entre conjuntos.
- Inclusión de conjuntos. ( )ntoSuperconjuoSubconjunt :,: ⊃⊂
BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂ : Propiedades:
Reflexividad: AAVerdadAxAxx ⊂∴∈⇒∈∀ ,;: Transitividad: Si CACBBA ⊂⇒⊂∧⊂ Antisimétrica: Si BAABBA =⇒⊂∧⊂
- Igualdad de conjuntos.
ABBABA ⊂∧⊂⇔=
- Conjunto de partes.
Sea el conjunto A, con n elementos X: Subconjuntos de A
: Conjunto de partes, con elementos ( )AP n2 ( ) { }AXXAP ⊂= / ( ) AXAPX ⊂⇔∈
3. Operaciones entre conjuntos.
- Unión de conjuntos.
Caso general:
n
n
ii AAAAA ∪∪∪∪=
=
...3211U
Caso específico: { }BxAxxBA ∈∨∈=∪ /
- Intersección de conjuntos.
Caso general:
n
n
ii AAAAA ∩∩∩∩=
=
...3211I
Caso específico: { }BxAxxBA ∈∧∈=∩ /
- Complemento de un conjunto.
{ }AxUxxAC ∉∧∈= / - Diferencia de conjuntos.
( ){ }BAxBxAxxBA ∩∉∧∉∧∈=− / - Diferencia simétrica de conjuntos.
( ) ( )( ){ }BAxBxAxxBA
ABBABA∩∉∧∈∧∈=Δ
−∪−=Δ/
4. Leyes de operaciones de conjuntos.
- Leyes de idempotencia.
AAA =∪ AAA =∩
- Leyes de identidad.
AA =∪φ UUA =∪ φφ =∩A AUA =∩
- Leyes de complemento.
UC =φ φ=CU
UAA C =∪ φ=∩ CAA
( ) AA CC = - Leyes de diferencia.
φ=− AA CBABA ∩=− ( ) ( ABBABA )−∪−=Δ
- Leyes conmutativas.
ABBA ∪=∪ ABBA ∩=∩
- Leyes asociativas.
( ) ( ) CBACBA ∪∪=∪∪ ( ) ( ) CBACBA ∩∩=∩∩
- Leyes distributivas.
( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪ ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩
- Leyes de Morgan.
( ) ( )CABACBA −∩−=∪− )( ( ) ( )CABACBA −∪−=∩− )(
( ) CCC BABA ∩=∪ ( ) CCC BABA ∪=∩
- Leyes de absorción.
( ) ABAA =∪∩ ( ) ABAA =∩∪
5. Relación entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Matemática.
- El conjunto vacío ( )φ , corresponde con una contradicción. - El conjunto universal ( , corresponde con una tautología. )U
Conjuntos BA ⊂ BA = BA∪ BA∩ CA BA − BAΔ
Proposiciones qp ⇒ qp ⇔ qp ∨ qp ∧ p¬ qp ¬∧ qp ∨ 6. Cardinal de un conjunto.
Sean A, B, C tres conjuntos dados, entonces: El cardinal de cada conjunto respectivamente es: , ( )An ( )Bn , ( )Cn , por tanto tenemos las siguientes propiedades: ( ) ( ) ( )BAnAnBAn ∩−=− ( ) ( ) ( )BAnBAnBAn ∩−∪=Δ ( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn ∩−+=∪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
7. Producto Cartesiano. Símbolo: BA× Definición: ( ){ }ByAxyxBA ∈∧∈=× /,
O bien: ( ) ByAxBAyx ∈∧∈⇔×∈, Si AB = , entonces ( ){ }AyAxyxAAA ∈∧∈=×= /,2
8 Partición de conjunto. Sea el conjunto A, donde sus particiones son: ...321 +++ AAA Tales que:
o φ=∩ ji AA Si ji ≠ (Disjuntos) o AAAA =∪∪∪ ...321
