Materias - Cálculo I - Formulario de 1 Números Reales

Formulario de Calculo I Números Reales

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Números Reales

1. Clasificación. Existe toda una teoría de los números. Pero se distinguen los siguientes tipos de números:

Complejos:ℂ Reales:ℝ Racionales:ℚ Enteros:ℤ Naturales:ℕ0EnterosNegativos:ℤFraccionarios:ℤ′Irracionales:ℚ′Imaginarios:

2. Suma y Producto.

Conmutatividad respecto a la suma + = + Conmutatividad respecto al producto ∙ = ∙ Asociatividad respecto a la suma + + = + + Asociatividad respecto al producto ∙ ∙ = ∙ ∙ Distributividad ∙ + = ∙ + ∙ Existencia del Elemento Neutro en la suma + 0 = Existencia del Elemento Neutro en el producto ∙ 1 = Existencia del Elemento Opuesto en la suma + − = 0 Existencia del Elemento Inverso en el producto ∙ = 1

3. Potenciación.

Ley Fundamental de la potenciación = ∙ ∙ ∙ … ∙ veces Exponente unidad = Exponente nulo = 1 ≠ 0 Exponente par de un número negativo − = Exponente impar de un número negativo − = − Exponente inverso =

Exponente negativo = Suma de potencias ± = ± Producto de potencias ∙ = División de potencias = Potencia de una potencia = ∙ Potencia de un binomio (Binomio de Newton)

+ = + ! + ! + ! + ⋯+ Potencia de un producto ∙ = ∙

Potencia de un cociente = Igualdad de exponentes = ⟹ = Igualdad de potencias = ⟹ =



4. Radicación.

Ley fundamental de la radicación = √ Radical par de un número negativo √− = √ Radical impar de un número negativo √− = − √ Radical inverso √ = √

Radical negativo √ = √

Suma de radicales √ ± √ = ± √ Producto de radicales √ ∙ √ = √∙

División de radicales √√ = √∙

Radical de una potencia √ =

Potencia de un radical √ =

Radical de un radical √ = √∙ Radical de un producto √ ∙ = √ ∙ √

Radical de un cociente = √√

Exponente negativo inverso = √

Igualdad de la radicación = ⟹ = √ Igualdad de una potencia doble = ⟹ = √

Igualdad de potencias infinitas ... = ⟹ = √

Igualdad de potencias radicales infinitas = √ √ √ √ ... ⟹ =

5. Logaritmación. Notación de logaritmos:

Sistema Base Denominación log = lg a Logaritmo de base alog = log 10 Logaritmo común o decimal log = ln e Logaritmo natural o neperiano log = lb 2 Logaritmo binario

Ley fundamental de la logaritmación = Logaritmo de la unidad log 1 = 0 Logaritmo de un número e igual base log = 1 Logaritmo de una potencia log = ∙ log Logaritmo de un radical log √ = ∙ log Logaritmo de un producto log ∙ = log + log



Logaritmo de un cociente log = log − log

Logaritmo con base como potencia log = ∙ log Logaritmo con base como radical log √ = ∙ log

Cambio de base log =

Logaritmo inverso log =

Logaritmo negativo − log = log Producto de logaritmos inversos log ∙ log = 1 Productos sucesivos de logaritmos inversos log ∙ log ∙ log = log Igualdad de exponentes = ∙ Igualdad de potencias logarítmicas = Igualdad del cociente de logaritmos = ⟹ = √

Cologaritmo colog = log = − log Antilogaritmo antilog = Antilogaritmo de un logaritmo antilog log = Logaritmo de un antilogaritmo log antilog =

6. Productos Notables

Binomio al cuadrado: + = + 2 + − = − 2 +

Binomio al cubo: + = + 3 + 3 + = + + 3 + − = − 3 + 3 − = − − 3 − Diferencia de cuadrados: − = − + Suma de cubos: + = + − +

Diferencia de cubos: − = − + + Trinomios al cuadrado: + + = + + + 2 + 2 + 2

Trinomios al cubo: + + = + + + 3 + + 3 + + 3 + + 6

+ + = + + + 3 + + +

Producto de Binomios: + + = + + +



Identidades de Legendre: + + − = 2 + + − − = 4

Identidad de Argand: + + 1 − + 1 = + + 1 Identidad de Lagrange:

+ + − = + +

Ecuación General de Segundo Grado: 02 =++ cbxax

+ + = − √ − √

7. Cocientes Notables

−− = + + +⋯+ ∀ ∈ ℕ

++ = − + −⋯+ ∀ : Impar +− = − + −⋯− ∀ : Par −+ = Divisiónnoexacta ∄

8. Desigualdades. Leyes:

Ley de Tricotomía: espositivo > 0 escero = 0

noespositivo < 0 Leyes de Monotonía: > 0, > 0 ⟹ + > 0

> 0, > 0 ⟹ ∙ > 0 Definiciones:

Si: > , − > 0, − ∈ ℝ Si: < , − < 0, − ∈ ℝ Si: ≥ , > ∨ = Si: ≤ , < ∨ =



Teoremas: Si: > , > ⟹ > Si: > ⟹ + > + Si: > ⟹ − > − Si: > 0 ⟹ > 0 Si: < 0 ⟹ > 0 Si: > ⟹ − < −

Si: ∙ > 0 ⟹ > 0 ∧ > 0< 0 ∧ < 0

Si: > ; > 0 ⟹ ⋅ > ⋅ Si: > ; < 0 ⟹ ⋅ < ⋅ Si: > ; > ⟹ + > + Si: < ; < ⟹ + < +

9. Intervalos.

≤ ≤ ≡ , Intervalo Cerrado ••,

≤ < ≡ , ≡ , Intervalo Semicerrado o,•

< ≤ ≡ , ≡ , Intervalo Semiabierto •,o

< < ≡ , ≡ , Intervalo Abierto oo,

10. Operaciones entre Intervalos.

Sea: : ≤ ≤ ; : ≤ ≤

Unión: ∪ ≤ ≤ Intersección: ∩ ≤ ≤ Diferencia: ∖ ≤ ≤ ∖ ≤ ≤ Complemento: −∞ < < ; < < ∞ −∞ < < ; < < ∞

11. Métodos de resolución.

- Método de la Regla de los signos - Método del Análisis de posibilidades - Método de los Cuadrados - Método Triangular

∞∞−



12. Tipo de Inecuaciones.

- Inecuaciones lineales - Inecuaciones dobles lineales - Inecuaciones de n-ésimo orden: - Inecuaciones algebraicas - Inecuaciones dobles algebraicas - Inecuaciones trascendentales

13. Valor absoluto.

Definición: | | = > 00 = 0− < 0

Desigualdades Triangulares: | + | ≤ | | + | | | + | ≥ | | − | | | − | ≥ | | − | | | − | ≤ | | + | | Teoremas:

| ∙ | = | | ∙ | | = | || | | | = | | | − | = | − | | | = + Si: | | < ⟹ − < <

Si: | | > ⟹ −∞ < < − ∧ < < ∞

14. Tipo de Inecuaciones con Valor Absoluto:

- Inecuaciones tipo | | ≤≥ - Inecuaciones tipo | | ≤≥ | | - Inecuaciones tipo ∑| | ≤≥ - Inecuaciones tipo ≤≥ ℎ

- Inecuaciones tipo ≤≥

- Inecuaciones dobles - Inecuaciones variadas



15. Definiciones. - Cuerpo de los Números Reales. - Cortaduras. Es una partición del conjunto de los números reales en dos clases que son

subconjuntos de los números reales, si: a) la unión de las clases comprende todo el conjunto de los números reales, b) cada una de las clases no es vacía y c) cada número de la clase inferior es menor que cualquier número perteneciente a la clase superior.

- Vecindades. Una vecindad de radio delta, o , de un punto es el conjunto de todos los puntos tales que | − | < donde es cualquier número positivo dado.

- Conjunto Abierto. Un conjunto abierto es un conjunto que consiste solamente de puntos interiores.

- Conjunto Cerrado. Un conjunto se dice que es cerrado si cada punto límite de pertenece a , esto es, si contiene todos sus puntos límites.

- Conjunto Acotado. Un conjunto se dice que es acotado si podemos encontrar una constante tal que | | < para cada punto de en .

- Conjunto Ilimitado. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. - Conjunto Compacto. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama conjunto compacto. - Punto Inferior. Llamado también ínfimo o extremo inferior y se denota por = inf , si

cualquier ∈ cumple la desigualdad ≥ ; para cualquier > 0, existe ∈ tal que < + . - Punto Mínimo. Si el extremo inferior o ínfimo pertenece al conjunto se llama punto

mínimo o mínimo del conjunto. - Punto Superior. Llamado también supremo o extremo superior y se denota por

M= sup , si todo ∈ cumple la desigualdad ≤ ; para cualquier > 0, existe ∈ tal que > − . - Punto Máximo. Si el extremo superior o supremo pertenece al conjunto se llama punto

máximo o máximo del conjunto. - Punto Interior. Un punto se llama punto inferior de un conjunto si podemos

encontrar una vecindad de cuyos puntos pertenecen todos a . - Punto Frontera. Si cada vecindad de contiene puntos pertenecientes a y también

puntos no pertenecientes a , entonces se llama un punto frontera. - Punto Exterior. Si un punto no es punto inferior ni punto frontera de un conjunto , es un

punto superior de - Punto de Acumulación. Llamado también punto límite de un conjunto de números un

número tal que todo entorno reducido de contiene elementos del conjunto.

16. Teoremas. - Teorema de Dedekind (1872). Continuidad de la Recta, hay un correspondencia biunívoca

entre los números reales y los puntos de una recta. - Teorema de Bolzano-Weiertrass. Todo conjunto infinito acotado tiene al menos un punto

límite. - Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Si el intervalo cerrado , = es recubierto por una

familia de intervalos abiertos , entonces un número finito de intervalos abiertos de la familia se puede elegir de tal manera que recubren a , .

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