Las cónicas

Creado por:● Isabel Carretero Rodríguez● Raúl Segui Hontanilla ● Aldo Mendoza Herrero

1-12-2010 1º BACHILLERATO CCNN

indice

● Secciones cónicas de un cono (dibujo de una superficie cónica y el corte de los planos con dicha superficie obtenida la elipse, la hipérbola y la parábola)

● Elipse: Definición, parámetros, estudio analítico, trazado y ejemplos reales.

● Hipérbola: Definición, parámetros, estudio analítico, trazado y ejemplos reales.

● Parábola:Definición, parámetros, estudio analítico, trazado y ejemplos reales.

● Hoja ralizda en el visionado del videdo en clase.

● Opinión personal acerca del trabajo realizado.

SECCIONES CÓNICAS DE UN CONO

ELIPSEDEFINICIÓN:es un lugar geométrico de dos puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

PARÁMETROS:-F1 y F2 son puntos fijos, los focos de la elipse.-La recta que contiene a los se llama eje focal.-A, B, C y D son los vértices de la elipse.-El segmento AB es el eje mayor y el segmento CD es el eje menor.-El punto de intersección de los dos ejes, es el centro.

d(F1, F2)= 2c d(A, B)= 2a d(C, D)= 2b

ESTUDIO ANALÍTICO:con la fórmula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos sus puntos.Cambia sobre le gráfico los valores de las coordenadas ( x, y), y da los parámetros de la elipse(a, b, c), observando la posición que adopta el punto P y obtenemos la ecuación de la elipse:

TRAZADOS:

– Trazado de la elipse por puntos:situamos los focos trazado un arco de centro C y radio “a”. Situamos dos puntos al

azar entre el foco y el centro de la curva. Cuantos mas puntos tracemos, mas facil nos resultará el dibujo final nos resultara el dibujo final de la elipse. Trazamos arcos pinchando en los focos F y F`. Unimos los puntos calculados y los extremos de los ejes.

– Trazdo de una elipse por haces proyectivos:trazamos el rectángulo AOCE, y fividimos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales. Seguídamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc, y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

– Trazado de la elipse mediante radios vectores:Teniedno en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor, 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1`, 2`, 3`, etc. de la elipse.Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

– Trazado de la elipse por envolventes:Esta contrucción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los

focos a las tangentes a la elipse.Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicando en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, ontendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

– Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines:comenzaremos trazado las ciercunferenciad de centro 0, y diametros AB y CD. Seguidamente trazaremos radios como el 01, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2. Por dichos puntos trazaremos las paralélas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.

– Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines:partiendo de los ejes conjugados A`B`y C`D`, comenzamos trazando la

circunferencia de centro 0 y diámetro A`B`. Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A`B`, como la 1-2. Uniendo 2 con C`y 1 con D`, obtendremos los triángulos 02C`y 01D`. Dolo restará contruir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo 02C`, obteniendo así puntos de la elipse.

– Método del jardinero:Para trazar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitud igual al eje mayor, colocamos ese extremo sobre los focos y extiramos la cuerda para dibujar la curva.

EJEMPLOS REALES:– Órbitas planetarias:las órbitas de los planetas al rotar alrededor del sol son elípticas. El sol estaría

situado en uno de sus focos. La excentridad es proxima al cero, es decir se acerca bastante a una circunferencia.

– Formas cirularesLa representación de cualquier forma circular que no observamos frontalmente, es una elipse.

– Bovedas elipsoidalespermiten a dos personas situadas en los focos, mantener una conversación sin que las personas mas proximas se enteren.

HIPÉRBOLADEFINICIÓN:es el lugar geométrico de los puntos tal que el valor absoluto de la diferencia de sus

distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.PARÁMETROS:– F y F`son los focos, los puntos fijos de la hipérbola.– La recta que une los focos F yF, se llama eje focal.– Los vértices V1 y V2, son los dos puntos de intersección del eje focal con la

hipérbola.– El punto medio del segmento que une los focos en el centro de la hipérbola.– Las dos recta a las que la hipérbola se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas

se denominan asíntotas.– Situando la hipérbola en unos ejes cartesianos y su centro sobre el origen de

coordenadas, se cumple que: d( F,F`)= 2c d(V1, V2)=2a

ESTUDIO ANALÍTICO:

tomando una hipérbola cuyo centro es el origen de coordenadas, sus focos están situados en los puntos F y F`. Se cumple que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola, P (x, y), al os focos. Obtenemos la ecuación reducida de la hipérbola:

TRAZADOS:– Trazado por puntos a partir de los ejes:

los datos son: 2a=AB y 2c=FF`.

Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radios A1 y centros en F y F`se trazan dos arcos.

Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radiso B1 y centros F y F`se trazan dos arcos que se cortan con los anteriores en puntos de la hipérbola.

Se repite el proceso varias veces y se unen los puntos con plantilla.

– Trazado de la tangente y normal a la hipérbola en un punto P de ella:La tangente y la normal en un punto P de la hipérbola, al igual que en la elipse, son las bisectrices de los ángulos que forman los radios vectores r y r' del punto P.

– Trazado por papiroflexia:

El doblez es una tangente a la hipérbola, y a su vez, eje de simetría entre el punto P (foco de la elipse) y los puntos de la circunferencia de papel.

EJEMPLOS REALES:

– Iluminación:

la luz que proyecta la lampara troncocónica sobre una pared paralela a si eje, tiene forma de hipérbola.

– Reloj solar:

la sombra que proyecta una barilla recta clavada perpenducularmente sobre un plano, tien forma de hipérbola. Por ello los relojes solares tienen esa disposición. La sombra arrojada cada día es diferente al anterior. En el gráfico adjunto se encuentra las siete líneas de declinacion comunes, esto e, la línea para cada uno de los solsticios, equinocios, y la supuesta entrada del sol en cada uno de los signos del zodíaco.

– Telescopiso de tipo cassegrain

fue inventado en 1672 por el físico francés N. Cassegrain. La incorporación del espero hiperbólico, reduce considerablemente su tamaño. Telescopios de tipo Cassegrain están en funcionamiento en algunos de los observatorios astronómicos más importantes del mundo..

PARÁBOLADEFINICIÓN:

es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta que se denomina directriz.

PARÁMETROS:

- F es el foco de la parábola y D es la directriz.

– A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.

– La recta que pasa por F y es perpendicular a D es el eje.

– El vértice es el punto V, que es la interseción del eje con la parábola.

– Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que:

D: y = -P/2

ESTUDIO ANALÍTICO:Tomando un punto P(x, y), de una parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas, V(0,0), y su eje se sitúa sobre el eje Y, obtenemos la ecuación reducida de la parábola:

TRAZADOS:-Trazado de una parábola por puntos:Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vértice V es el punto medio del segmento

AF.

Se trazan varias perpendiculares al eje, del vértice a la derecha.

Con centro en F y radio A1=r, se corta a dicha perpendicular, obteniendo el punto P y su simétrico, que son puntos de la curva; se obtiene así r= PF = PN, según la definición de la curva.

Esta operación se repite para obtener nuevos puntos que se unen con plantilla de curvas.

– Trazado de la tangente y normal en un punto M de la parábola: La tangente t en un punto M de la parábola es la bisectriz de los radios vectores MN y MF; la normal n es perpendicular a la tangente

EJEMPLOS REALES:– Superficies parabólicas:

Reflejan las radiaciones paralelas al eje sobre su foco y viceversa, propieda que se utiliza para fabricar: Antenas parabólica, espejos, calefactores, faro, lentes, hornos solares, centrales electricas parabólicas, etc.

– Iluminación

la forma que adopta la proyección de un foco puntual sobre un plano paralelo a un lado del foco, es una parábola.

– Trayectoria de proyectiles

También es parabólica la trayectoria que describen los proyectiles. Intenta clavar la flecha en la diana eligiendo el ángulo y lanzándola.

– Diseño

es utilizda frecuentemente en la arquitectura moderna y en diseño industrial.

CAPÍTULO 5: DEL BALONCESTO A LOS COMETAS MATERIAL PARA EL ALUMNO.

1- Hoy vamos a hablar de: la cónica

2- ¿ Cuáles de las curvas mencionadas se ven el el vaso? Un círculo y un elipse

3- ¿Qué instrumento se utiliza para dibujar las cónicas sobre una pared? Lámparas

4- ¿Son siempre útiles los estudios de un matemático? No

5- Apolonio de pérgamo es el autor del mas importante tratado de la antigüedad dedicado a las fórmulas.

6- ¿De donde procede el nombre de cónicas? Del cero

7- ¿Quién utilizó por primera vez las cónicas? ¿Para que? J.Kepler, para calcular la trayectoria de la tierra alrededor del sol.

8- ¿Qué propiedad geométrica caracteriza a las elipses? Que tien dos centros elipticos.

9-¿Dónde encontramos elipses? En las estaciones de metro, la arquietectura renacentiasta, el balón de ruttbi, piedras...

10- ¿Dónde aparece la parábola? En el baloncest, en la fuente cuando suben el agua, en el futbol.

11-¿Quién descubrio la parábola? Galileo al principio del siglo XVII

OPINIÓN PERSONAL

Este trabajo que hemos realizado nos a parecido muy interesante porque nos hemos dado de muchas cosas de nuestro alrededor que se componen de todas la figuras cónicas. Estaría bien que todo el mundo supiese algo acerca de las cónicas y de las situaciones en las que se representa.El caso mas curioso para nuestra opinión es el ejemplo de la estación de tren, ya que es un lugar muy transitado, y la mayoria de la gente no sabe esa representación cónica.Lo mas complicado que nos a resultado hacer en este trabajo ha sido los trazados de la hiperbola.