MatM3SolTema15

15 PROBABILIDAD

P A R A E M P E Z A R

En un cajón hay tres monedas de un euro, otras tres de dos euros y una de cincuenta céntimos. Expresa lacantidad de monedas de dos euros respecto del total de monedas de las siguientes formas.

a) Mediante una fracción.

b) Mediante un tanto por uno.

c) Mediante un porcentaje.

a) �35

� b) 0,6 c) 60 %

Expresa en forma de fracción la cantidad de bolas negras respecto del total de cada urna.

Al extraer una bola, ¿dónde crees que es más fácil que salga una bola negra?

A � �25

� � �14280

�; B � �152� � �

15200

�; C � �38

� � �14250

� De donde se deduce que es más fácil sacar una bola negra de B.

Mediante diferentes ensayos, se ha comprobado que una medicina es efectiva en el 85,25 % de loscasos.

a) Expresa la efectividad de la vacuna mediante una fracción y mediante un tanto por uno.

b) Si se vacuna a un grupo de 250 personas, ¿cuántas quedarán inmunizadas?

a) Tanto por uno: 0,8525; forma fraccionaria: �180502050

�

b) 250 � 0,8525 � 213,13 � 213 personas de las 250 quedarán inmunizadas.

3

2

1

15 PROBABILIDAD

A C T I V I D A D E S D E L O S E P Í G R A F E S

Experimentos aleatorios

P A R A P R A C T I C A R

Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles no.

a) Lanzar al aire una moneda y observar si sale cara o cruz.

b) Soltar una moneda desde una altura de 10 metros y observar el tiempo que tarda en llegar al suelo.

c) Introducir una botella cerrada en un cubo lleno de agua y observar qué cantidad de agua se derrama.

d) Observar el número de días lluviosos durante un mes.

a) Es un experimento aleatorio, ya que no se puede predecir su resultado.

b) Las leyes físicas establecen una fórmula que permite calcular el tiempo sin necesidad de realizar el experimento. No es unaexperiencia aleatoria.

c) Se derrama la capacidad de la botella. No es un experimento aleatorio.

d) Es un experimento aleatorio, ya que no se puede predecir su resultado.

Cada urna contiene 10 bolas.

El experimento que consiste en sacar una bola de una urna y anotar el número, ¿es aleatorio?

Es un experimento aleatorio, ya que no se puede predecir el resultado.

Para cada una de las siguientes experiencias aleatorias, escribe el espacio muestral y el número de su-cesos elementales que lo integran.

a) Lanzar al aire dos monedas.

b) Lanzar al aire un dado y una moneda.

c) Sacar una bola de una bolsa que contiene una bola blanca, una negra y una roja.

d) Tirar una moneda al aire tantas veces como sea necesario hasta obtener una cara.

a) M � {CC, CX, XC, XX }

El espacio muestral está formado por cuatro sucesos elementales.

b) M � � �El espacio muestral está formado por 12 sucesos elementales.

c) M � {B N R }

El espacio muestral está formado por tres sucesos elementales.

d) M � {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Se pueden necesitar 1, 2, 3 … tiradas para obtener por primera vez una cara. El espacio tiene infinitos sucesos elementales.

(1 C ) (2 C ) (3 C ) (4 C ) (5 C ) (6 C )(1 X ) (2 X ) (3 X ) (4 X ) (5 X ) (6 X )

15.3

15.2

15.1

15 PROBABILIDAD

Gira la aguja de cada ruleta y observa dónde para.

En cada caso:

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Da un ejemplo de suceso seguro.

c) Da un ejemplo de suceso imposible.

a) M � {1, 2, 3, 4, 5}; M � {azul, amarillo, rojo, verde, naranja}

b) Suceso seguro: “Obtener un número positivo”, “Obtener un color distinto de negro”

c) Suceso imposible: “Obtener un número negativo”, “Obtener color negro”

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

Se lanzan dos dados sobre la mesa. Escribe el espacio muestral y los siguientes sucesos.

A � “Obtener una pareja de números iguales”.

B � “Obtener ocho puntos en total”.

El espacio muestral es:

M � � �El suceso elemental (2 3) quiere decir que en el primer dado se ha obtenido un 2, y en el segundo, un 3.

A � {(1 1), (2 2), (3 3), (4 4), (5 5), (6 6)}

B � {(2 6), (3 5), (4 4), (5 3), (6 2)}

En un control aduanero se realiza un experimento que consiste en anotar el último número de la ma-trícula de los turismos que llegan a él.

a) ¿Es un experimento aleatorio?

b) Forma el espacio muestral.

a) Es un experimento aleatorio, ya que no se puede predecir su resultado.

b) El espacio muestral está formado por 10 sucesos elementales. M � {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

15.6

(1 1), (1 2), (1 3), (1 4), (1 5), (1 6)(2 1), (2 2), (2 3), (2 4), (2 5), (2 6)(3 1), (3 2), (3 3), (3 4), (3 5), (3 6)(4 1), (4 2), (4 3), (4 4), (4 5), (4 6)(5 1), (5 2), (5 3), (5 4), (5 5), (5 6)(6 1), (6 2), (6 3), (6 4), (6 5), (6 6)

15.5

15.4

1

2

3

4

5

I) II)

15 PROBABILIDAD

Se lanzan dos dados: uno rojo y otro blanco. Indica cuántos sucesos elementales forma cada suceso com-puesto.

a) A � “La suma de las puntuaciones es 2”.

b) B � “La suma de las puntuaciones es 7”.

c) C � “La puntuación del dado rojo es superior a la del dado blanco”.

a) A � {(1 1)}

El suceso A está formado por un único suceso elemental.

b) B � {(1 6), (2 5), (3 4), (4 3), (5 2), (6 1)}

El suceso B está formado por seis sucesos elementales.

c) C � � �El suceso C está formado por 15 sucesos elementales.

Se extrae una carta de una baraja española y se consideran estos sucesos.

A � “Obtener una carta de copas”.

B � “Obtener una figura”.

Escribe los sucesos elementales que corresponden a cada uno de los siguientes sucesos.

a) A d) B� g) A � B

b) B e) A � B h) A� � B�

c) A� f) A� � B� i) A � B��

a) A � {AC , 2C , 3C , 4C , 5C , 6C , 7C , SC , CC , RC}

b) B � � �c) A� � � �

d) B� � � �e) A � B � {SC , CC , RC}

f) A� � B� � � � � A � B��

g) A � B � � �

h) A� � B� � � �i) A � B�� Ao , 2o , 3o , 4o , 5o , 6o , 7o

Ae , 2e , 3e , 4e , 5e , 6e , 7e

Ab , 2b , 3b , 4b , 5b , 6b , 7b

Ao , 2o , 3o , 4o , 5o , 6o , 7o , So , Co , Ro

Ac , 2c , 3c , 4c , 5c , 6c , 7c

Ae , 2e , 3e , 4e , 5e , 6e , 7e , Se , Ce , Re

Ab , 2b , 3b , 4b , 5b , 6b , 7b , Sb , Cb , Rb

Ac , 2c , 3c , 4c , 5c , 6c , 7c , Sc , Cc , Rc

So , Co , Ro , Se , Ce , Re , Sb , Cb , R

Ao , 2o , 3o , 4o , 5o , 6o , 7o

Ae , 2e , 3e , 4e , 5e , 6e , 7e

Ab , 2b , 3b , 4b , 5b , 6b , 7b

Ao , 2o , 3o , 4o , 5o , 6o , 7o

Ac , 2c , 3c , 4c , 5c , 6c , 7c

Ae , 2e , 3e , 4e , 5e , 6e , 7e

Ab , 2b , 3b , 4b , 5b , 6b , 7b

Ao , 2o , 3o , 4o , 5o , 6o , 7o , So , Co , Ro

Ae , 2e , 3e , 4e , 5e , 6e , 7e , Se , Ce , Re

Ab , 2b , 3b , 4b , 5b , 6b , 7b , Sb , Cb , Rb

So , Co , Ro

Sc , Cc , Rc

Se , Ce , Re

Sb , Cb , Rb

15.8

(2 1), (3 1), (3 2), (4 1), (4 2)(4 3), (5 1), (5 2), (5 3), (5 4)(6 1), (6 2), (6 3), (6, 4), (6 5)

15.7

15 PROBABILIDAD

Probabilidad de un suceso


Se ha realizado 200 veces el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas al aire y contarel número de caras obtenidas. La tabla muestra el número de veces que se han obtenido exactamentedos caras cuando se llevan realizados algunos lanzamientos.

a) Dibuja el polígono de frecuencias relativas.

b) ¿A qué número tiende la probabilidad del suceso “obtener dos caras y una cruz”?

a)

b) La probabilidad del suceso tiende a 0,375.

Ejercicio resuelto

El espacio muestral de cierto experimento está formado por tres sucesos elementales A, B y C.

Se sabe que P(A) � —12

— y que P(B) � —25

—. Calcula P(C) y P(C�).

P(A ) � P(B ) � P(C ) � 1 ⇒ P(C ) � 1 � P(A ) � P(B ) � 1 � �12

� � �25

� � �110�

P(C� ) � 1 � P(C ) � 1 � �110� � �

190�

El espacio muestral de una experiencia es M � {A1, A2, A3}. Si se tiene que: P(A1) � P(A2) � —15

—

a) Calcula P(A3). b) Calcula P(A3�).

a) P(A3) � 1 � P(A1) � P(A2) � 1 � �15

� � �15

� � �35

�

b) P(A3� ) � 1 � P(A3) � 1 � �

35

� � �25

�

15.11

15.10

15.9

Número de Frecuencias Frecuenciaslanzamientos absolutas relativas

25 8 0,32

50 20 0,40

75 30 0,40

100 37 0,37

150 57 0,38

200 75 0,375

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

25N.o de lanzamientos

Frec

uenc

ia r

elat

iva

50 75 100 150 200

15 PROBABILIDAD


Una nueva vacuna contra una enfermedad ha sido probada en 100, 200, 300, 400, 500, 800 y 1 000 vo-luntarios. Los resultados se han anotado en una tabla de frecuencias absolutas del número de volun-tarios en los que aparece inmunidad.

a) Dibuja el polígono de frecuencias relati-vas.

b) ¿Qué probabilidad asignarías a la efecti-vidad de la vacuna?

a)

b) Se puede asignar la probabilidad experimental.

b) P (efectividad) � �1808020

� � 0,882

El gráfico muestra el polígono de frecuencias del suceso “salir cara” y del suceso “salir cruz”.¿Se puede afirmar que la moneda está trucada?Justifica la respuesta.

La suma de las probabilidades de un suceso y de su con-trario es uno, por lo que no se puede afirmar que la mo-neda esté trucada.

La probabilidad de que al elegir el delegado de la clase salga un chico, es de —37

—.

¿Cuál es la probabilidad de que salga elegida una chica?

P (Chica) � 1 � P (Chico) � 1 � �37

� � �47

�

15.14

15.13

15.12

0

0,5

1

100N.o de voluntarios

Frec

uenc

ias

rela

tiva

s

200 300 400 500 800 1 000

Lanzamientos

1 CaraCruz

Frec

uenc

ia r

elat

iva

0,5

0

Número de voluntarios Frecuencias absolutas

100 95200 170300 270400 356500 437800 711

1 000 882

15 PROBABILIDAD

De una urna con bolas blancas y negras, Juan nos dice que la probabilidad de sacar una bola blanca

es de —27

—, y Andrés, que la probabilidad de sacar bola negra es de —1261—.

a) ¿Pueden ser correctas las dos afirmaciones?

b) Si la afirmación de Juan es correcta, ¿cuál sería el valor de la probabilidad de sacar bola negra?

a) Sea A � “sacar bola blanca” y B � “sacar bola negra”, P (A) � �27

� y P (B) � �1261�

Se debe cumplir que P (A) � P (B) � 1; �27

� � �1261� � �

2221� � 1, por tanto, la afirmación es incorrecta.

b) P (B ) � 1 � P (A) � 1 � �27

� � �57

�

La ruleta del dibujo ha sido trucada de forma que la probabilidad de obtener 3 es el doble que la delresto de los números. Halla la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del experimentoque consiste en girar la ruleta y anotar el resultado.

A � “obtener un 3”, entonces P (A) � 2PP � P1 � P2 � P4 � P5 � P6 � P7 � P8 � P9 � P10 � �

111�

P (A) � �121�

Regla de Laplace

Ejercicio resuelto

Se lanza un dado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:A � {2, 4, 6} B � {3, 4} C � {2} E � {1, 2, 3, 4, 5, 6}

El espacio muestral es E � {1, 2, 3, 4, 5, 6}; por tanto, hay 6 casos posibles.Se trata de un espacio de sucesos elementales equiprobables y se puede aplicar la regla de Laplace:

P (A) � �36

� � �12

� P (B ) � �26

� � �13

� P (C ) � �16

� P(E ) � �66

� � 1


Ejercicio resuelto

Una bolsa contiene una bola blanca y cien bolas negras. Se saca una bola al azar.a) Si B es el suceso “sacar bola blanca” y N el suceso “sacar bola negra”, ¿el espacio muestral

M � {B N} es un espacio de sucesos equiprobables?b) Escribe un espacio muestral correspondiente a esta experiencia aleatoria que esté formado por

sucesos elementales equiprobables. ¿Cuántos elementos tiene?

a) Sacar una bola negra es más fácil que sacar una blanca. Por tanto, los sucesos B y N no son equiprobables.b) Se puede considerar el espacio:

M � {B N1 N2 N3 … N100}donde los 101 sucesos que lo forman sí son equiprobables.

15.18

15.17

15.16

15.15

15 PROBABILIDAD

Se lanzan tres monedas al aire.a) El espacio muestral M � {tres caras, dos caras y una cruz, una cara y dos cruces, tres cruces}, ¿es un

espacio de sucesos equiprobables?b) Escribe un espacio muestral correspondiente a esta experiencia aleatoria que esté formado por

sucesos elementales equiprobables. ¿Cuántos elementos tiene?

a) Sacar tres caras es más difícil que sacar dos caras y una cruz. Por tanto, los sucesos del espacio propuesto no son todosequiprobables.

b) Se puede considerar el espacio:

M � � �donde los ocho sucesos que lo forman sí son equiprobables.

Indica si en cada situación se puede aplicar o no la regla de Laplace y, en caso positivo, escribe el es-pacio muestral que se puede considerar.

a) Tirar una chincheta sobre la mesa y observar si cae con la punta hacia arriba o apoyada en la pun-ta y en la cabeza.

b) Extraer dos bolas consecutivas de una bolsa que contiene dos blancas y una negra.

a) Las dos situaciones posibles, caer apoyada sobre la cabeza o caer apoyada sobre la cabeza y la punta, no son equiproba-bles. Por tanto, no es posible aplicar la regla de Laplace.

b) Si se considera el espacio muestral M � {B1B2, NB1, B2B1, B2N, B1N, NB2}, en el que todos los sucesos son equiprobables, sepuede aplicar la regla de Laplace.

Se elige al azar una carta de una baraja española. ¿Se puede utilizar el espacio muestral M � {oros,copas, bastos, espadas} para calcular la probabilidad de obtener un oro aplicando la regla de Laplace?

Los cuatro sucesos son equiprobables, ya que es tan difícil sacar un oro como una copa o como una espada o como un basto.Por tanto, se puede aplicar la regla de Laplace.

La probabilidad de obtener un oro es P (O ) � �1400� � 0,25.

Se elige al azar una carta de una baraja española. ¿Se puede utilizar el espacio muestral M � {figura,no figura} para calcular la probabilidad de obtener una figura aplicando la regla de Laplace?

Recuerda que las figuras de la baraja son las sotas, los caballos y los reyes.

Es más difícil obtener una figura que una no figura. Por tanto, los sucesos no son equiprobables y no se puede aplicar la re-gla de Laplace.

Escribe espacios muestrales de sucesos elementales equiprobables para las siguientes experiencias.

a) Lanzar un dado y una moneda.b) Sacar simultáneamente dos bolas de una bolsa que contiene dos blancas y dos negras.c) De los números 1, 2, 3 y 4, elegir tres diferentes.

a) M � {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X }b) M � {B1B2, B1N2, B2B1, N2B1, B1N1, B2N2, N1B1, N2B2, B2N1, N1N2, N1B2, N2N1}c) M � {123, 124, 134, 234}

15.23

15.22

15.21

15.20

CCC, CCX, CXC, XCCCXX, XCX, XXC, XXX

15.19

15 PROBABILIDAD


¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca al extraer una bola de cada una de estas urnas?

Sea B � “sacar una bola blanca”.

Urna A: P (B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �12

�

Urna B: P (B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �102� � 0

Urna C: P (B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �26

�

El Ayuntamiento de una ciudad realiza un sorteo de viviendas de protección oficial para jóvenes. Elsorteo consta de 125 pisos de 1 habitación y 200 de 2 habitaciones. Si se presentan 1 523 solicitudes:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le toque un piso de 1 habitación?b) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le toque un piso?

a) �1152253

� b) �1352253

�

Un videoclub automático se ha estropeado y da las películas al azar. Si su videoteca está repartida dela siguiente forma:

¿Cuál es la probabilidad de que la película sea comedia? ¿Y de que no sea drama?

P (comedia) � �49449

� � 0,209 P (drama) � �240409

� � 0,445 P (no drama) � 1 � P(drama) � 1 � 0,445 � 0,554

15.26

15.25

15.24

30 Infantiles 125 Acción200 Drama 94 Comedia

15 PROBABILIDAD

Calcula la probabilidad de que al sacar dos bolas consecutivas de la caja y formar un número con doscifras se obtenga un número múltiplo de 3.

La cantidad de números diferentes que se pueden formar es 9 � 8 � 72, ya que para laprimera cifra hay 9 posibilidades, y para la segunda, 8. Por tanto, el número de sucesos ele-mentales o casos posibles es de 72.

Los casos favorables son:

� � En total hay 27.

P (A ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �2772� � �

38

� � 0,375

Probabilidad experimental. Simulación


En cada situación, indica si se puede asignar probabilidades mediante la regla de Laplace o si convieneasignar probabilidades experimentales.

a) Lanzar una moneda al aire.b) En un equipo de fútbol, que un jugador meta un gol de penalti.c) En un laboratorio farmacéutico, que un medicamento cure una enfermedad.d) En una bolsa con 3 bolas rojas y 2 blancas, sacar una bola y mirar el color.

a) Probabilidades mediante la regla de Laplace c) Probabilidades experimentalesb) Probabilidades experimentales d) Probabilidades mediante al regla de Laplace

Una caja contiene 100 bolas de dos colores, blancas y negras. Se sacan 10 bolas de la caja y resultaque 8 son blancas.

Asigna experimentalmente probabilidades a los sucesos extraer bola blanca y extraer bola negra.

Sean los sucesos A � “sacar bola negra” y B � “sacar bola blanca”.

P (A ) � �120� � 0,2 P (B ) � �

180� � 0,8

Una bolsa contiene un número indeterminado, pero muy grande, de fichas grabadas con un número.Si se extrae al azar una ficha, ¿cómo se puede determinar la probabilidad de que tenga grabado unnúmero par?

Mediante la probabilidad experimental, puesto que repitiendo el experimento un número significativo de veces puedo estimarel resultado para toda la muestra.

Ejercicio resuelto

Con ayuda de la calculadora, halla un número aleatorio entero comprendido entre 12 y 28.

1.o Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.2.o Se multiplica por 28 � 12 � 1 � 17, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 17, sin alcanzar este último valor.3.o Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 16, ambos inclusive.4.o Se le suma 12, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 12 y 28.

15.31

15.30

15.29

15.28

12 15 18 21 24 27 33 36 3912 15 18 21 24 27 33 36 3912 15 18 21 24 27 33 36 39

15.27

15 PROBABILIDAD

Con ayuda de la calculadora, obtén una lista de cinco números aleatorios comprendidos entre:

a) 1 y 12 b) 25 y 50

a) Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.

1.o Se multiplica por 12, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 12, sin alcanzar este valor.2.o Se desprecia la parte decimal y se obtiene un número entero entre 0 y 11, ambos inclusive.3.o Se le suma 1, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 1 y 12.4.o Se repiten los pasos anteriores cinco veces.Por ejemplo: 12 9 2 11 7

b) Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.

1.o Se multiplica por 26, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 26, sin alcanzar este valor.2.o Se desprecia la parte decimal y se obtiene un número entero entre 0 y 25, ambos inclusive.3.o Se le suma 25, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 25 y 50.4.o Se repiten los pasos anteriores cinco veces.Por ejemplo: 44 34 28 40 31

Con ayuda de la calculadora, simula estos experimentos.

a) Lanzamiento de una moneda 10 veces. b) Lanzamiento de un dado 10 veces.

a) Se pulsa la tecla RAND# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.

1.o Se multiplica por 2, y se obtiene un número decimal entre 0 y 2, sin alcanzar este último valor.2.o Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 1, ambos inclusive.3.o Si se obtiene 0, se considera cara. Si se obtiene 1, se considera cruz.4.o Se repiten los pasos anteriores cinco veces.Por ejemplo: C C C X C

b) Se pulsa la tecla RAND# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.

1.o Se multiplica por 6, se obtiene un número decimal entre 0 y 6, sin alcanzar este último valor.2.o Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 5, ambos inclusive.3.o Se le suma 1, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 1 y 6.4.o Se repiten los pasos anteriores 10 veces.Por ejemplo: 1 6 2 1 3 5 4 4 1 2


Se ha observado que en 2 000 accidentes de tráfico con impacto frontal, cuyos conductores no lleva-ban el cinturón de seguridad, 300 individuos quedaron con secuelas.¿Qué probabilidad se asignaría a sufrir un impacto frontal y tener secuelas?

P � �2300000

� � 0,15

Una fábrica de bombillas ha seleccionado 100 bombillas de su producción diaria y ha comprobado quehay 1 defectuosa. ¿Qué probabilidad se puede asignar al suceso “bombilla defectuosa”?

P � �1100� � 0,01

Para hallar la probabilidad experimental de un determinado suceso, Juan ha realizado 10 pruebas, yPablo, 100. ¿Cuál de los dos obtendrá una probabilidad experimental más próxima al valor teórico dela probabilidad?

Pablo, puesto que es el que más veces ha realizado el experimento.

15.36

15.35

15.34

15.33

15.32

15 PROBABILIDAD

Se quieren sacar 10 premios en una rifa en la que se han vendido 1 000 papeletas.¿Cómo se podría proceder si solo se dispone de una calculadora?

Obteniendo 10 números aleatorios comprendidos entre 1 y 1 000. Si alguno se repite, se obtiene otro.

Javier y Elena inventan un juego en el que se lanzan dos monedas al aire. Establecen las siguientesreglas.

• Si salen dos caras, Elena gana dos puntos.• Si salen una cara y una cruz, Javier gana un punto.• Si salen dos cruces, nadie gana puntos.

Elena, al contrario que Javier, piensa que el juego es justo. ¿Cómo puede demostrar esta conjetura?

Puede utilizar la probabilidad experimental y lanzar las dos monedas un número grande de veces. Tras la correspondiente con-tabilización de puntos, se comprobará que ambos tienen un número aproximadamente igual de ellos.

También se puede comprobar la conjetura utilizando la regla de Laplace. La probabilidad de obtener dos caras es 0,25 y la deobtener una cara y una cruz 0,5. Después de un número grande de jugadas, Javier habrá ganado aproximadamente el doblede veces que Elena, pero como cada vez que ella gana obtiene el doble de puntos, los dos obtendrán finalmente un númeroparecido de puntos. El juego es justo.

15.38

15.37

15 PROBABILIDAD

Matemáticas aplicadas


Se quiere saber el número de conejos que hay en un parque natural. Se capturan 40 conejos, a los quese vuelve a soltar después de identificarlos con una marca en la oreja. Pasada una semana, en variospuntos, se atrapan 90 conejos de los que sólo hay 3 ejemplares con la marca en la oreja.¿Cuántos conejos aproximadamente viven en el parque natural?

La probabilidad de coger un conejo con anilla es: P � �930� � �

310�.

�4x0� � �

310� → x � 1 200

En el parque natural hay unos 1 200 conejos.

Muchas especies de aves migratorias viajan durante el invierno desde regiones frías a otras más cáli-das. Se ha vigilado una colonia de aves, en la que 50 tienen una anilla identificativa. Después de suemigración invernal, de 30 aves que se observan, sólo 2 de ellas portan la anilla.¿Cuál es aproximadamente la población que emigró?

La probabilidad de coger un ave con anilla es: P � �320� � �

115�.

�5x0� � �

115� → x � 750

El número de aves que emigró es de unas 750.

15.40

15.39

15 PROBABILIDAD

Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Se hace girar la perindola de la figura y se espera que se asiente sobre uno de los lados correspon-dientes a uno de los ocho números.

a) Escribe el espacio muestral e indica si los sucesos elementales son o no equiprobables.

b) Da un ejemplo de suceso seguro y otro de suceso imposible.

c) Si se consideran los sucesos A � “Obtener múltiplo de 2” y B � “Obtener múltiplo de 3”. Escri-be los sucesos elementales que corresponden a A � B, A � B, A� � B y A � B�.

a) M � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de salir, ya que cubren igual área. Por tanto, son equiprobables.

b) Suceso seguro: obtener un número menor que 10.Suceso imposible: obtener un número mayor que 10.

c) A � {2, 4, 6, 8} B � {3, 6}A � B � {2, 3, 4, 6, 8} A � B � {6}A� � B � {1, 3, 5, 6, 7} A � B� � {2, 4, 8}

Ordena de mayor a menor las siguientes ruletas según la dificultad de obtener color rojo.

P (I): �13

� � �26

00� P (II): �

15

� � �1620� P (III): �

14

� � �1650� P (IV): �

16

� � �1600�

La mayor dificultad está en la ruleta IV luego en la ruleta II luego en la III y la de mayor probabilidad de obtener rojo es laruleta I.

15.42

15.41

I II

IIIIV

15 PROBABILIDAD

Un conductor ha tenido un accidente grave. La probabilidad de que haya bebido alcohol recientementees nueve veces la probabilidad de que no lo haya hecho.

a) Halla la probabilidad de que haya bebido alcohol recientemente.

b) Halla la probabilidad de que no haya bebido.

Considerando los sucesos B � “haber bebido” y B� � “no haber bebido” se tiene:

a) y b) � ⇒ 9 � P (B�) � P (B�) � 1 ⇒ 10 � P (B�) � 1 ⇒ �Un espacio muestral está formado por tres sucesos elementales A, B y C. Calcula P (C) sabiendo queP(A) � 0,375 y P(B) � 0,125.

P (A ) � P (B ) � P (C ) � 1 ⇒ P (C ) � 1 � P (A ) � P (B ) � 1 � 0,375 � 0,125 � 0,5

Un dado ha sido construido de forma que la probabilidad de obtener una cierta cara es proporcionalal número que tiene marcado en ella.

Si el espacio muestral del experimento de lanzar ese dado es M � {1, 2, 3, 4, 5, 6}, calcula las proba-bilidades de los seis sucesos elementales.

P (1) � k, P (2) � 2k, P (3) � 3k, P (4) � 4k, P (5) � 5k, P (6) � 6k

P (1) � P (2) � P (3) � P (4) � P (5) � P (6) � 21k � 1 ⇒ k � �211�

P (1) � �211�, P (2) � �

221�, P (3) � �

231�, P (4) � �

241�, P (5) � �

251�, P (6) � �

261�

Con las cartas de la figura, calcula la probabilidad de que, al extraer una de ellas:

a) Salga número par. e) Salga un número negativo.

b) Salga número impar. f) Salga un número menor que 1 000.

c) Salga número mayor que 5. g) No salga un múltiplo de 4.

d) Salga número múltiplo de 5. h) No salga un múltiplo de 5 ni divisor de 12.

a) P (A ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �150� � 0,5 e) P (E ) � �

CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �100� � 0

b) P (B ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �150� � 0,5 f) P (F ) � �


� � �1100� � 1

c) P (C ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �150� � 0,5 g) P (G ) � �


� � �180� � 0,8

d) P (D ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �120� � 0,2 h) P (H ) � �


� � �130� � 0,3

15.46

15.45

15.44

P (B) � �190�

P (B�) � �110�

P (B) � 9 � P (B�)P (B) � P (B�) � 1

15.43

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15 PROBABILIDAD

Un experimento consiste en extraer una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral y calcula la pro-babilidad de cada caso.

Consideramos los sucesos Ai � “sacar la bola i de la urna A” y B � “sacar una bola de la urna B”.

M � {A1B, A2B, A3B, R4B}

P (A1B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �14

� P (A3B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �14

�

P (A2B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �14

� P (A4B) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �14

�

En un estanque hay muchos peces de color rojo, negro y plata. Con una red se han realizado 80 cap-turas, sacándose 25 rojos, 12 negros y el resto plateados.

a) ¿Qué probabilidad experimental asignarás al suceso “extraer un pez rojo”?

b) ¿Y al suceso “extraer un pez negro”?

c) ¿Y al suceso “extraer un pez plateado”?

d) ¿Y al suceso “extraer un pez que no sea plateado o que no sea rojo”?

a) P (Rojo) � �28

50� � 0,3125

b) P (Negro) � �18

20� � 0,15

c) P (Plateado) � �80 � 2

850

� 12� � �

4830� � 0,5375

d) Se trata de un suceso seguro; por tanto, su probabilidad es 1.

Utilizando una calculadora, explica cómo puedes obtener:

a) Números aleatorios del 1 al 10.

b) Números aleatorios del 1 al 100.

c) Números aleatorios del 7 al 25.

a) Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.Se multiplica por 10, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 10, sin alcanzar este último valor.Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 9, ambos inclusive.Se le suma 1, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 1 y 10.

b) Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.Se multiplica por 100, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 100, sin alcanzar este último valor.Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 99, ambos inclusive.Se le suma 1, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 1 y 100.

c) Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.Se multiplica por 19, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 19, sin alcanzar este último valor.Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 18, ambos inclusive.Se le suma 7, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 7 y 25.

15.49

15.48

15.47

15 PROBABILIDAD

Se elige un número entero positivo menor que 50. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga dosdivisores?

Se pide la probabilidad de que el número sea primo, puesto que son los únicos números que sólo tienen dos divisores.Los primos menores que 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

P (A ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �14

59� � 0,306

15.50

15 PROBABILIDAD

P A R A R E F O R Z A R

De los siguientes experimentos, indica cuáles son aleatorios.

a) Abrir un libro al azar y anotar el último número de la página de la derecha.

b) Medir el perímetro de un cuadrado de 7 metros de lado.

c) Escribir cada uno de los nombres de los alumnos de una clase en un papel, doblarlos e introducirlosen un recipiente. A continuación, extraer sin mirar un papel.

d) Se tiene una bolsa con 250 bolas rojas y una negra. Se extrae una bola al azar y se anota el color.

a) No se puede predecir el resultado. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio.

b) Existe una fórmula que da el resultado sin necesidad de realizar la medición. No es un experimento aleatorio.

c) No se puede predecir el resultado. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio.

d) No se puede predecir el resultado. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio.

En una urna hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. Se extrae una bola al azar. Determina la probabilidadde cada suceso.

a) A � “Sacar número par”.

b) B � “Sacar número inferior a 15”.

c) C � “Sacar número negativo”.


� � �49

� � 0,444 b) P (B ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �99

� � 1 c) P (C ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �09

� � 0

Un grupo de alumnos ha realizado 10 ejercicios para calcular probabilidades y los resultados han sido:

P1 � 0,34 P2 � 0,9 P3 � 0,03 P4 � �1,23 P5 � 0,17P6 � 0,52 P7 � 2,3 P8 � 0,68 P9 � 0,06 P10 � 157,3

Al mostrárselo al profesor, éste dice: “Sin necesidad de mirarlos con detalle, estoy seguro de que tresejercicios están mal”. ¿Cuáles son los ejercicios que están mal?

El cuarto, ya que la probabilidad no puede ser negativa.El séptimo y el décimo, ya que la probabilidad no puede ser mayor que 1.

La probabilidad de que un turista pierda el avión de regreso a su país es 0,015.Halla la probabilidad de que no lo pierda.

Considerando el suceso P � “pierde el avión”: P (P� ) � 1 � P (P ) � 1 � 0,015 � 0,985

En un centro de Secundaria hay matriculados 250 alumnos de 1.o de ESO, 225 de 2.o de ESO, 200 de3.o de ESO y 190 de 4.o de ESO.Elegido un alumno al azar, halla las siguientes probabilidades.

a) Que sea de 3.o de ESO.

b) Que no sea de 1.o de ESO.

c) Que sea de 3.o o de 4.o de ESO.


� � � �280605

� � 0,231


� � � �681655

� � 0,711


� � � �389605

� � 0,451200 � 190

��250 � 225 � 200 � 190

225 � 200 � 190��250 � 225 � 200 � 190

200��250 � 225 � 200 � 190

15.55

15.54

15.53

15.52

15.51

15 PROBABILIDAD

Luis tiene guardadas en un cajón 62 canicas, de las que 30 son azules, 22, verdes y el resto, amarillas.Si extrae una canica al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Que sea azul.

c) Que sea amarilla.

d) Que no sea ni azul ni verde.


� � �36

02� � 0,484


� � �62 � 3

602

� 22� � �

1602� � 0,161


� � �16

02� � 0,161

Se quiere saber cuántos automóviles de los que circulan regularmente por una localidad no han pasadola revisión obligatoria de la ITV. Para ello, se solicita la acreditación a 50 conductores elegidos al azary se observa que tres de ellos no han cumplido con la revisión.

a) ¿Qué probabilidad asignarías al suceso “no haber pasado la ITV”?

b) Si se sabe que en el municipio hay inscritos 1 000 automóviles, ¿cuántos de ellos se espera que nohayan pasado la ITV?

a) La probabilidad experimental sería: P (no haber pasado la ITV) � �530� � 0,06

b) Se espera que haya 1 000 � 0,06 � 60 automóviles que no han pasado la ITV.

15.57

15.56

15 PROBABILIDAD

P A R A A M P L I A R

Se lanzan tres dados sobre la mesa.

a) ¿Cuántos sucesos elementales equiprobables tendrá el espacio muestral?

b) Calcula la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea 4.

a) Hay 6 � 6 � 6 � 216 sucesos elementales equiprobables.

b) Los sucesos favorables son (1, 1, 2) (1, 2, 1) y (2, 1, 1).

Por tanto, P (A ) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �2316� � 0,014

Se supone que la probabilidad de que el dardo se clave en cualquiera de los puntos de la diana de lafigura es la misma. Calcula la probabilidad de que el dardo se clave en alguno de los puntos de la zona azul.

Considerando que las dos circunferencias interiores tienen por radio r y 2r:

P (A ) � � ��(

�

(2r�

)2

(3�

r)2

r 2)� � �

4r 2

9�

r 2

r 2

� � �39

� � �13

�

Se elige al azar un número de cuatro cifras. Calcula la probabilidad de que:a) Sea múltiplo de 6. b) Sea múltiplo de 17.

a) Entre 1 002 y 9 996 hay 1 500 múltiplos de 6. b) Entre 1 003 y 9 996 hay 530 múltiplos de 17.

P � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �19

50

00

00

� � 0,167 P � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �9503000

� � 0,059

Calcula la probabilidad de que al elegir un punto cualquiera del interior del cuadrado resulte seruno que pertenece a la zona blanca.

Considerando que el cuadrado tiene por lado 2x:

P (A ) � �Área

Árzeoana

tobtalalnca

� � �(2x)2

(

�

2x)

�2

� x 2

� � �4x 2

4�

x 2

�x 2

� � �4 �

4�

� � 0,215

15.61

15.60

Área de la zona azul��

Área total

15.59

15.58

15 PROBABILIDAD

Se lanzan cuatro monedas al aire.

a) Escribe el espacio muestral correspondiente a la experiencia aleatoria en el que todos los sucesoselementales tengan la misma probabilidad de verificarse.

b) Calcula la probabilidad de no obtener ninguna cara.

c) Calcula la probabilidad de obtener exactamente una cara.

d) Calcula la probabilidad de obtener más de una cara.

a) M � � �b) P(ninguna cara) � �


� � �116� � 0,0625

c) P(una cara y tres cruces) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �146� � 0,25

d) P(más de una cara) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �1116� � 0,6875

CCCC CCCX CCXC CXCC XCCC CCXX CXCX CXXCXCCX XCXC XXCC CXXX XCXX XXCC XXXC XXXX

15.62

15 PROBABILIDAD

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El ratón, el gato y el quesoJuan observa que un ratón que va en busca de un queso por el circuito de la figura, cuando llegaa un cruce de caminos, elige uno de ellos al azar. Por ejemplo, cuando llega al primer cruce debeelegir entre los caminos A, B o C.

Juan piensa que al haber cinco llegadas y dos de ellas fa-vorecer al ratón, la probabilidad de que este obtenga el

queso es de —25

—.

¿Crees que tiene razón? Explica la respuesta.

La probabilidad de que elija el camino B es de �13

�, en ese caso en la mitad de los casos acabará en el queso, por tanto,

la probabilidad de que acabe en el queso será de �13

� � �12

� � �16

�.

La probabilidad de que elija el camino C es de �13

�, y en la mitad de los casos acabará en el queso, por tanto, la probabilidad

de que acabe en el queso será de �13

� � �12

� � �16

�.

La suma de los dos casos será la probabilidad de acabar en el queso: �16

� � �16

� � �13

�.

Llegada puntual

Un tren sale todas las mañanas de A a las 10.00 y llega a B entre las 10.55 y las 10.59, siendo igual laprobabilidad de que el tren llegue en cualquier hora de dicho intervalo.El gráfico representa las horas de llegada del tren en dos días consecutivos. Así, el punto señalado conX indica que el primer día el tren llegó a las 10.57, y el segundo, a las 10.58.

a) Copia el gráfico y señala en él la zona de posibles ho-ras de llegada del tren si los dos días llega después delas 10.58.

b) Calcula la probabilidad de que en dos días consecutivosel tren llegue después de las 10.58.

a) La zona de posibles llegadas es la zona sombreada.

b) P (Z ) � � �26

84� � 0,4375

Área zona sombreada��Área total de la zona

15.64

15.63

Queso

Gato

Ratón

A

B

D

C

E

F

G

10.5910.55

10.55

10.59

X

1.er día

2.° día

O

10,55

1.er día

2.o día

10,55 10,59

10,59

15 PROBABILIDAD

A U T O E V A L U A C I Ó N

Escribe los espacios muestrales correspondientes a las siguientes experiencias aleatorias e indica si lossucesos elementales que los integran son o no equiprobables.

a) Sacar dos bolas consecutivas de una bolsa que contiene una bola negra, una verde y una azul.b) Sacar dos bolas de la bolsa anterior, pero introduciendo en la bolsa la primera bola extraída antes

de sacar la segunda.c) Lanzar dos dados tetraédricos con las caras numeradas del 1 al 4.

a) M � {NV, VN, NA, AN, VA, AV }El suceso NV quiere decir que la primera bola extraída es la negra y la segunda es la verde.Los seis sucesos elementales son equiprobables.

b) M � {NN, NA, VA, NV, AN, AV, VN, VV, AA }Los nueve sucesos elementales son equiprobables.

c) M � � �Los 16 sucesos elementales son equiprobables.

En una urna hay un número indeterminado de bolas azules y verdes. Con el fin de poder asignar unaprobabilidad experimental al suceso “extraer bola verde”, Rocío ha extraído al azar 10 bolas, de lascuales 3 son verdes, y Ana ha extraído 25 bolas, de las cuales 8 son verdes.

a) ¿Cuál será la probabilidad experimental que asignarán Rocío y Ana al suceso “extraer bola verde”?b) ¿Cuál de las dos probabilidades crees que es más correcta?

a) PRocío(V ) � �130� � 0,3

PAna(V ) � �285� � 0,32

b) La probabilidad asignada por Ana será más correcta, ya que ha repetido el experimento un mayor número de veces.

Se quiere sortear 10 entradas para asistir a un concierto de rock entre los 632 alumnos de un centroescolar. ¿Cómo se deberá proceder utilizando la tecla Rand de la calculadora?

Se realiza 10 veces el siguiente proceso:1.o Se pulsa la tecla Rand# de la calculadora y se obtiene un número decimal comprendido entre 0 y 1.2.o Se multiplica por 632, con lo que se obtiene un número decimal entre 0 y 632, sin alcanzar este último valor.3.o Se desprecia la parte decimal, con lo que se obtiene un número entero entre 0 y 631, ambos inclusive.4.o Se le suma 1, con lo que se obtiene un número aleatorio entero entre 1 y 632.

Si se repite algún valor obtenido, se realiza el proceso una vez más.

Calcula la probabilidad de que al sacar dos bolas de una vez de una bolsa que contiene dos verdes yuna roja, resulten ser de diferente color.

El espacio muestral es M � {V1R, V2R, V1V2}.Se ha considerado que las bolas se sacan las dos a la vez sin poder determinar el orden en que han salido.Los tres sucesos elementales son equiprobables.

P(diferente color) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �23

� � 0,667

El problema también se podría haber resuelto considerando el espacio muestral:M � {V1R, RV1, V2R, RV2, V1V2, V2V1}, en el que sí se ha considerado el orden de extracción.El resultado sería el mismo:

P(diferente color) � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �46

� � 0,667

15.A4

15.A3

15.A2

(1 1), (1 2), (1 3), (1 4)(2 1), (2 2), (2 3), (2 4)(3 1), (3 2), (3 3), (3 4)(4 1), (4 2), (4 3), (4 4)

15.A1

15 PROBABILIDAD

Se considera el experimento que consiste en lanzar un dado dodecaédrico con las caras numeradas del1 al 12. Calcula las siguientes probabilidades.a) Sacar un 3.b) Sacar múltiplo de 3.c) No sacar múltiplo de 3.d) Sacar un número negativo.e) Sacar un número menor que 20.

El espacio muestral es M � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

a) P � �CCaasosossfapvoosriabbleless

� � �112�

b) P � �142� � �

13

�

c) P � �182� � �

23

�

d) Suceso imposible ⇒ P � 0

e) Suceso seguro ⇒ P � 1

15.A5

15 PROBABILIDAD

E N T R E T E N I D O

MAGIA POTAGIA

Ana toma entre sus dedos 3 dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6, y pregunta a Laura: “¿A queno sabes cuánto suman las seis caras que están ocultas? Dos de ellas las tapo con mis dedos, y las otras cua-tro están ocultas al estar juntos los dados”. Laura piensa un poco y dice: “21”.Ana cambia de posición los 3 dados y vuelve a preguntar lo mismo. Laura responde de nuevo que las 6 carasocultas suman 21. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

Laura tiene razón.Los puntos de las caras opuestas de un dado cúbico siempre suman 7. Así, independientemente de la posición que tengan los dados,si hay ocultas 6 caras, opuestas 2 a 2, en total hay 3 parejas de caras opuestas que sumarán: 7 � 3 � 21.

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