Matrices

Prof. Kyria A. Pérez

Estándares de contenido y expectativas

• N.NS.9.1.1 Representa datos

categorizados en dos variables en una

matriz y rotula las filas y columnas.

Interpreta el significado de una entrada

particular de una matriz en términos de

los contextos. Utiliza matrices para

analizar datos. Reconoce las matrices

como sistemas que tienen algunas

propiedades de los números reales.

Estándares de contenido y expectativas

• N.OE.9.1.2 Desarrolla las propiedades

de suma de matrices, suma y resta

matrices para resolver problemas.

• A.PR.9.2.1 Verifica las propiedades de

la multiplicación de una matriz por un

escalar y utiliza estas propiedades para

resolver problemas.

Objetivos particulares del tema

• Representar datos de dos variables en una

matriz y rotular las filas y columnas.

• Utilizar las matrices para analizar datos.

• Desarrollar las propiedades de suma de

matrices.

• Sumar y restar matrices para resolver

problemas.

• Verificar las propiedades dela multiplicación de

una matriz por un escalar y utilizar estas

propiedades para resolver problemas.

Definición de Matriz

• Se llama MATRIZ a todo cuadro de números

distribuidos en filas y columnas. Las matrices

aparecen por primera vez hacia el año 1850,

introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial

de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton

en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación

matricial como una forma abreviada de escribir un

sistema de m ecuaciones lineales con n

incógnitas.

Definición de Matriz

• Los términos horizontales son las filas de la

matriz y los verticales son sus columnas. Una

matriz con m filas y n columnas se denomina

matriz m por n, o matriz m ð n.

• Las matrices se denotarán usualmente por

letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de

las mismas por minúsculas, a, b, ...

• Un elemento genérico que ocupe la fila i y la

columna j se escribe aij . Si el elemento

genérico aparece entre paréntesis también

representa a toda la matriz : A = (aij)

Definición de Matriz

• Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

Definición de Matriz

• Orden de la matriz = El número de filas y

columnas de una matriz determina el orden de

la matriz. El orden de la matriz está

determinado por un par de números naturales;

m y n.

Definición de Matriz

• Las filas son los números dispuestos en m

horizontales. En el ejemplo, la primera fila

estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

• Las columnas son los números dispuestos en n

verticales. En el ejemplo, la primera columna

estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

• Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de

números dispuestos en m filas y n columnas.

• Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una

matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz

contiene 4 filas y 3 columnas.

Clases de Matrices

Clases de Matrices

Clases de Matrices

Clases de Matrices

• Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es

la que tiene el mismo número de filas que de

columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð

n es de orden n y se denomina matriz n-

cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de

orden 3 y 2 respectivamente

Ejercicios

• Clasifique las siguientes matrices:

C =

Ejercicios

• Clasifique las siguientes matrices:

D =

Operaciones con matrices

• Suma: Dadas dos matrices de la misma

dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz

suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella

matriz cuyos elementos se obtienen: sumando

los elementos de las dos matrices que ocupan

la misma misma posición.

• Resta: Dadas dos matrices de la misma

dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz

resta como: A-B=(aij-bij). Es decir, aquella

matriz cuyos elementos se obtienen: restando

los elementos de las dos matrices que ocupan

la misma misma posición.

Operaciones con matrices

Ejercicios de suma • Sume las siguientes matrices:

A= 3 4 6 1 ┼ B = 2 3 3 3 =

2 2 2 2 4 5 5 4

C= 4 1 4 ┼ D = 1 0 1 =

6 3 8 3 1 0

E= 0 2 0 2 0 2 ┼ F= 5 2 5 2 5 2 =

4 6 4 6 4 6 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 5 6 5 6 5 6

0 3 0 3 0 3 4 4 4 4 4 4

Ejercicios de Resta • Reste las siguientes matrices:

A= 3 4 6 1 ─ B = 2 3 3 3 =

2 2 2 2 4 5 5 4

C= 4 1 4 ─ D = 1 0 1 =

6 3 8 3 1 0

E= 0 2 0 2 0 2 ─ F= 5 2 5 2 5 2 =

4 6 4 6 4 6 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 5 6 5 6 5 6

0 3 0 3 0 3 4 4 4 4 4 4

Operaciones con matrices

• Multiplicación:

Producto de un escalar: Dada una matriz A =

(aij) y un número real k R, se define el

producto de un número real por una matriz: a la

matriz del mismo orden que A, en la que cada

elemento está multiplicado por k.

k · A=(k aij)

Operaciones con matrices

• Multiplicación: Dos matrices A y B se dicen

multiplicables si el número de columnas de

A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se

obtiene multiplicando cada elemento de la

fila i de la matriz A por cada elemento de la

columna j de la matriz B y sumándolos.

Operaciones con matrices

Resumen

• Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de

números o expresiones dispuestos en

forma rectangular, formando filas y

columnas.

Cada uno de los números de que

consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la

posición que ocupa, es decir, la fila y la

columna a la que pertenece.

Resumen

El número de filas y columnas de una

matriz se denomina dimensión de una

matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n

columnas se denota por Amxn o (aij), y

un elemento cualquiera de la misma,

que se encuentra en la fila i y en la

columna j, por aij.

Resumen

Dos matrices son iguales cuando

tienen la misma dimensión y los

elementos que ocupan el mismo

lugar en ambas, son iguales.