Matemtica Bsica

Sistema de Ecuaciones Lineales

Introduccin: un problema de inversionesUn inversionista coloc $100 mil en dos proyectos, el primero de ellos le rindi una tasa de 5% durante el primer ao y el segundo, una tasa de 10%. Si durante el primer ao obtuvo una rentabilidad total del 8%, cunto invirti en cada proyecto?

Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) es una coleccin de dos o ms ecuaciones lineales, cada una con dos o ms variables (incgnitas).Una solucin de un S.E.L. consta de valores de las variables para los cuales cada ecuacin del sistema se verifica.Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Solucin (C.S.) del S.E.L.SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESDefinicin

Sistema de ecuaciones lineales en las incgnitas x1, x2 ,..., xn :Los aij se denominan coeficientes, los bi se denominan terminos independientesSi los bi son nulos, el S.E.L. Se llama homogneo.

Interpretacin geomtricaCada ecuacin representa una recta: x + 2y = 72x + y = 8x + 2y = 72x + y = 8.(3,2)El punto de corte es la nica solucin.Sistema compatible - determinadoC.S. = {(3;2)}xy

x + 2y = 7 2x + 4y = 14--------------------x + 2y = 72x + 4y = 14Interpretacin geomtricaRectas coincidentes: infinitas solucionesSistema compatible - indeterminadoC.S. = {(x;y) R2 / x + 2y = 7}xy

x + 2y = 7 2x + 4y = 8-------------------x + 2y = 72x + 4y = 8Interpretacin geomtricaRectas paralelas: no admite solucin. Sistema IncompatibleC.S. = xy

Determinado: solucin nica.Indeterminado : infinitas soluciones. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMPATIBLE INCOMPATIBLE CONJUNTO SOLUCIN VACIO Rango(A)=rango(B)Rango(A) Rango(B)

Sistema de Ecuaciones Lineales con tres variablesLos mtodos para resolver un S.E.L. con dos variables pueden usarse tambin para resolver un S.E.L. con tres variables. Sin embargo, en esta clase nos concentraremos en los mtodos matriciales.Una ecuacin lineal general con 3 variables es una ecuacin de la forma:ax + by + cz = ddonde, a, b, c y d son constantes

Ejemplo resolver el sistema por eliminacinalgebraica

Qu sistema es ms fcil de resolver?

Pivot de una filaDefinicin:Pivot de la fila i, es el 1er elemento distinto de cero que se encuentra en la fila i de la matriz.ai,k0 pivot de la fila i

Matriz escalonada por filasDefinicin:Una matriz se llama escalonada por filas si:Todas las componentes que se encuentran debajo del pivot de una fila son ceros.Todas las filas nulas se encuentran al final de la matriz.Matriz escalonada reducida por filasDefinicin:Una matriz se llama escalonada reducida por filas si, adems de ser escalonada por filas se cumple que:Todos los pivots son iguales a 1.En cada columna donde el pivot es 1 los otros elementos son iguales a cero.

Ejemplos:Matriz escalonada por filasMatriz escalonada reducida por filas

Rango de una matrizLlamaremos rango de la matriz A, al nmero de filas no nulas de la matriz escalonada que se obtenga de la matriz A.Al escalonar se obtiene:* Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2OBS:Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.

Matriz EscalonadaEjemplo: Hallar el rango de la matriz A.

RESOLUCIN DE UN S.E.L. POR EL MTODO DE GAUSS MATRICIALPara resolver el sistema, se requiere el uso de la matriz ampliada del sistema, la cual se define como [A:B]A.X = BLuego, se sustituye A por la matriz escalonada equivalente, aplicando operaciones elementales.

RESOLUCIN DE UN S.E.L. POR EL MTODO DE GAUSSEjemplo: Resolver el sistemaSolucin: la matriz ampliada [A:B]~~~~

RESOLUCIN DE UN S.E.L. POR EL MTODO DE GAUSSEjercicios: Resolver los siguientes sistemas

Anlisis de un SEL mediante el rango1.- El sistema es compatible solamente si rango [A:B] = rango [A]2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (nmero de incgnitas), entonces el sistema tiene solucin nica.3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso se eligen n-r variables libres (parmetros)4.- El sistema es incompatible solamente si rango [A:B] rango [A]

**