MATRICES

CONTENIDO DEL TEMA: Concepto de matriz de orden n x m Clases de matrices según su forma Tipos de matrices cuadradas Suma de matrices Producto de un escalar por una matriz Producto de matrices Transposición de matrices. Matriz simétrica y

hemisimétrica 

Definición La matriz se usa en la vida cotidiana, en

juegos, como el de “barquitos”, en una clasificación de una competición deportiva o en la cotizaciones de la bolsa.

En estas tablas numéricas, cada valor tiene un significado preciso, y para mayor facilidad de consulta, los números están repartidos en filas y columnas.

Por conclusíón: una matriz es la ordenación de m x n, de elementos ordenados en filas y columnas.

1. Concepto de matriz m x n.Se llama matriz de orden m x n a la aplicación que a cada

elemento del producto cartesiano M x N le asigna un número real

En otras palabras, a cada par ordenado de números naturales se le asigna un número real. Así tenemos un conjunto de m x n números reales que se acostumbra a escribir distribuidos en m filas (horizontales) y n columnas (verticales e introducidos entre paréntesis.

ija

Diapositiva siguiente

Suma de matrices

– Solo se pueden sumar dos matrices si tienen las mismas dimensiones. 

– Dadas dos matrices de orden n x m:

  

 

– Su suma es de dimensión:

 

– Cada elemento se obtiene sumando los elementos de las matrices sumandos que están en la misma posición.

– Ejemplo

ijij

bB

aA

ijij baBA

la suma de matrices presenta una estructura de grupo abeliano, cumple las cuatro propiedades siguientes: Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C) Conmutativa: A+B=B+A Elemento neutro: es la matriz nula Elemento opuesto: Para cada matriz A existe su

opuesta (-A), que se obtiene cambiando en A los signos de todos sus elementos, tal que A+(-A)=N.

2. Clases de matrices según su forma. matriz fila( 1x n) :

–  

matriz columna (m x 1):

matriz cuadrada, n=m:

Matriz diagonal,escalar, unidad, nula y triangular

621

3

9

5

79

52

Dada una matriz A=(aij) de orden n x m y un número real k (escalar), se llama matriz producto de A por k a la matriz de orden n x m cuyo elemento genérico es de la forma:

Ejemplo

1. Producto de un escalar por una matriz.

)( ijkakA

Distributiva respecto a la suma de escalares: (k+k')A=kA+k'A

Distributiva respecto a la suma de matrices: k(A+B)=kA+kB

Asociativa mixta: (kk')A=k(k'A) Producto por el elemento unidad de R:

1.A=A

Propiedades del producto de un escalar:

Dos matrices sólo son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda, si son de órdenes n x m (la primera) y m x p (la segunda, se obtiene una matriz de orden n x p.

1. Producto de matrices.

Asociativa: (AB)C=A(BC) No es conmutativa ya que, en general, Matriz unidad: Toda matriz cuadrada A de orden n multiplicada por la

matriz identidad del mismo orden queda inalterada, o sea AI=A:

El producto de matrices no es simplificable, AB=AC no implica que B=C.

El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, o sea A(B+C)=AB+AC.

 

Propiedades del producto de matrices:

BAAB

Aaa

aa

aa

aaIA

2221

2211

2221

1211

10

01

Se llama matriz traspuesta de la matriz A de orden n x m y la representamos por A’ a la matriz de orden m x n que se obtiene cambiando las filas por las columnas.

1. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y hemisimétrica.

2221

1211

aa

aaA

2212

2111

aa

aaAt

La traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial, (A’)’=A

La traspuesta de una suma de matrices es la suma de las traspuestas, (A+B)t=At+Bt.

La traspuesta de un producto de matrices es el producto de las traspuestas en orden inverso, o sea: (AB)t=BtAt

Se llama matriz simétrica a una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, esto es cuando aij=aji.

Propiedades:

En una matriz simétrica, la traspuesta coincide con la propia matriz.

Se llama matriz hemisimétrica a una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son números opuestos, esto es cuando aij=-aji

En una matriz hemisimétrica los elementos de la diagonal principal han de ser nulos.

–Es el producto matricial de n matrices iguales a A, esto es:

 1. Potencia de una matriz cuadrada.

AAAAA nn ..............