MATRICES Y SISTEMAS C.C.S.S. EJERCICIOS Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 1 Matemticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Ejercicios de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha Bloque I. lgebra Matrices (Ejercicios propuestos antes del ao 2000) 1.SepuedeencontrarunamatrizB,talqueA B seaunamatrizde3filas,siendo 1 3 2 14 5 3 2A = ? Hallar 2132B B I + , siendo 2 31 1B = ; 1 00 1I = 2.Dada la matriz 2 2 11 3 11 2 2A = se pide: Calcular( ) ( )25 A I A I , siendo 1 0 00 1 00 0 1I = Obtener tA(matriz traspuesta de A) y razonar si existe la inversa de A. 3.Si 1 2 3 14 5 3 2A = : a)Se puede encontrar una matriz tal queA B sea una matriz de 3 filas? b)Si 2 31 1B = , calcular 23 B B . c)Si 1 2 00 1 21 2 1A = , calcular 1A. 4.Dadas las matrices: 1 2 32 1 1A = , 1 02 21 1B = , 1 11 0C = , se pide: a)ObtenerC AB + . b)Son iguales las matrices( )11C AB+y( )1C AB+ ? 5.Seanlasmatrices: 1 0 21 3 0A = , 2 01 11 1B = , 1 13 4C = , 1 13 4D = .Se pide:a)A B C +b)Es cierto queAB C AB C + = +c)Calcular, si es posible, 1D Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 2 6.EncontrarunamatrizXqueverifique 2X B A B = ;siendo 1 2 11 3 10 0 2A = ; 1 0 12 2 20 0 6B = 7.EncontrarunamatrizXparalaquesecumplaque 2A X B C D = ,siendo 1 21 1A = ; 1 11 0B = ; 2 1 01 1 2C = ; 1 02 10 1D = 8.Sean las matrices: 1 0 00 2 01 0 3A = ; 1 0 10 0 09 3 3B = ; 1 1 12 3 03 4 5C = i)Calcular la matriz inversa de A. ii)Encontrar una matriz X tal que:2 A X B C = . 9.Dadas las matrices: 2 2 11 1 11 2 2A = ; 1 0 03 1 54 0 2B = i)Calcular la matriz( )2M A B = . ii)Calcular la matriz inversa de B. 10. Dadas las matrices: 1 0 12 2 20 0 1A = ; 1 2 01 3 10 0 2B = i)Hallar la matriz 2M A BA = + . ii)Calcular la matriz inversa de A. 11. DadalaecuacinmatricialA X B C + = ,sepideobtenerlamatrizXsiendo 1 1 01 2 00 0 1A = ; 1 10 11 2B = ; 0 11 31 1C = 12. Una fbrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C acuatropasesdefricaP1,P2,P3yP4segnsedescribeenlamatriz 1M(cantidadesentoneladas).Estafbricaharecibidopresupuestosdedosempresas para el transporte de los productos a los pases de destino como indica la matriz 2M(en euros por tonelada). AB C P1 P1P2P3 P4 P2 E1 P3 2M = E2 500 450 375 350510 400 400 350 1M = P4 200 100 120110 130 200220 200 100150 160 150 ; Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 3 Efecta el producto de las matrices y responde a las cuestiones: i)Qu representa el elemento 11ade la matriz producto? ii)Quelementodelamatrizproductonosindicaloquecuestatransportarel producto C con la empresa E2? iii) Indica qu elementos de la matriz producto te permiten decir cul es la empresa que ms barato transporta el producto B a todos los pases. 13. Resuelve la ecuacin2 X A X B + = , siendo 1 0 10 1 01 1 1A = , 2 1 10 1 11 1 2B = . 14. Dadas las matrices A, B y C:1 1 32 4 1A = ; 3 03 15 2B = ; 4 1 0 23 2 4 1C = i)Halla A B y B A .Puedessacaralgunaconclusindelosresultados obtenidos? ii)ExistealgunamatriztalquemultiplicadaporC,dlugaraunamatrizde3 filas? 15. Dadas las matrices C y D se pide:3 1 21 2 00 1 0C = ; 1 0 11 2 12 0 1D = i)Hallar 1C y 1D.ii)Calcular la matriz inversa deC D . iii) Comprobar que( )11 1C D D C = (Ejercicios propuestos a partir del ao 2000) 16. Dadas las matrices 1 2 11 0 12 1 0A = , 2 11 2B = y 5 23 07 2C = , se pide: 1) Calcular la matriz inversa de A y la matriz inversa de B. 2) Hallar una matriz X tal queA X B C = . (J unio, 2000) 17. Dadaslasmatrices 1 1 11 2 10 1 2A = , 1 2 21 1 32 0 2B = y 0 0 42 8 64 2 0C = , calcular una matriz X tal que2 X A B C = + . (Septiembre,2000) 18. Dadas las matrices 1 1 00 1 11 0 1A = y 3 1 20 3 33 2 1B = , se pide: 1) Calcular la matriz inversa de A. 2) Calcular una matriz X tal queA X A B + =(Reserva 1, 2000) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 4 19. UnafbricadecalzadodeportivodisponedezapatillasparaAtletismo(A), Balonmano (B)y Tenis (T), en dos modelos: Mujer (M) y Hombre (H). Elnmero de pares existentes en el almacn viene definido por la matriz E. El precio, en euros, de cada uno de los pares viene definido por la matriz P. M H ABT A MB P = H 20 19 1822 19 21 E = T 70 12045 6560 50 Se pide: 1) Obtener, si es posible, las matricesC P E = yD E P = . 2) Qu informacin proporcionan los elementos 11cde C y 33dde D? 3) Qu elemento de C o de D nos informa de la valoracin de todas las zapatillas de balonmano? (Reserva 2, 2000) 20. DeterminaunamatrizXtalque2 A X B C + = ,siendo 1 2 10 3 1A = , 1 1 12 0 11 1 1B = , 1 2 38 1 1C = . (J unio, 2001) 21.Losprecios,eneuros,delasentradasaunparquetemticoparaAdultos(AD)y NiosyJubilados(NJ)enTemporadaAlta(TA),TemporadaMedia(TM)y TemporadaBaja(TB)vienendadosporlamatrizP.Elnmerodeasistentes,en miles, a dicho parque a lo largo de un ao viene dado por la matriz N. ADNJ TA TMTB TA ADTM P = NJ 25 20 1420 15 7 N = TB 500 600350 300125 100 Se pide: a)Obtener, si es posible, las matrices 1R P N = y 2R N P = . b)Acuntoseurosasciendelarecaudacintotalcorrespondientealosniosy jubilados? Y la correspondiente a la Temporada Baja? c)Qu elemento de 1R o de 2Rnos proporciona informacin sobre la recaudacin total correspondiente a los adultos? d)A cuntos euros asciende la recaudacin total? (Septiembre, 2001) 22. Dadaslasmatrices 8 23 55 7A = , 1 1 20 1 11 2 1B = y 1 10 23 1C = ,hallarotra matriz X tal queA B X C =(Reserva 1, 2001) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 5 23. EnunatiendadediscossedisponedemsicaRap(R),Pop(P)yFolk(F)endos formatos:Compact-Disc(CD)yMusicassette(MC).Losprecios,eneuros,delos distintos ejemplares vienen determinados por la matriz D y el nmero de existencias de cada tipo de msica y formato por la matriz E. CDMC RPF R CDP E = MC 15 20 1410 8 7 D = F 13 1012 1014 9 Se pide: a)Obtener, si es posible, las matrices 1V D E = y 2V E D = . b)Acuntoseurosasciendelavaloracindelasexistenciasdemsicapop?Y las de todos los Compact-Disc? c)Quelementodelamatriz 1V ode 2V nosproporcionainformacinsobrela valoracin de las existencias de msica Folk? d)Acuntoseurosasciendelavaloracindeexistenciasdetodoslostiposde msica? (Reserva 2, 2001) 24. EnunaclnicadentalcolocantrestiposdeprtesisP1,P2yP3,endosmodelos diferentes, M1 y M2. El nmero de prtesis que tienen ya construidas viene dado en la matriz A. El precio, en euros, de cada prtesis viene dado en la matriz B. M1 M2 P1 P1P2P3 P2 M1A = P3 11 2116 129 14 B = M2 150 160 240210 190 220 a)Obtener, si es posible, las matricesC A B = yD B A = . b)Quinformacin proporcionanlos elementos 12cdelamatrizCy el elemento 22dde D? c)QuelementodeC odeDproporcionaelvalortotaldetodaslasprtesisdel tipo P2? (J unio, 2002) 25. Considerandolasmatrices 1 42 3A = , 1 01 1B = y 2 04 1C = ,calcularuna matriz X que verifique:AX BX C = + . (Septiembre, 2002) 26. Considerandolasmatrices 1 11 0A = yBunamatrizqueverifica: 1 422 0A B + = a)Calcular 2 2A B +b)Calcular la inversa de la matriz productoA B . (Reserva 1, 2002) 27. EnunaacademiaseimpartenclasesdeIngls(I),Lengua(L)yMatemticas(M) para tres niveles (1, 2, 3). El nmero de horas de clase de cada asignatura por cada nivel en la academia viene dado por la siguiente matriz A: Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 6 ILM 1 2A = 3 20 5 318 6 522 1 22 La academia paga a sus profesores cada hora de clase segn el nivel al que imparta, 8 euros por el primer nivel, 9 por el segundo y 10 por el tercero. a)Cuntas horas totales de Ingls se dan en la academia? b)Cuntas horas totales se dan al segundo nivel? c)Cunto le cuesta a la academia las clases de Lengua? (Reserva 2, 2002) 28. Dadas las matrices 2 0 10 2 11 1 1A = ; 2 10 10 2B = y 0 01 00 0C = 1)Halla la matriz inversa de A. 2)Resuelve la ecuacin matricialA X B C = . 3)Calcula la matriz X. (J unio, 2003) 29. Dadas las matrices 1 0 10 1 01 1 2A = y 1 1 23 3 34 5 5B = 1)Halla la matriz inversa de A. 2)Resuelve la ecuacin matricialX A A B = + . 3)Calcula la matriz X. (Septiembre, 2003) 30. Dadas las matrices 2 1 00 0 23 1 3A = ; 4 2 23 2 01 1 4B = e 1 0 00 1 00 0 1I = 1)Halla la matriz inversa de( ) A I . 2)Resuelve la ecuacin matricialX A B X = . 3)Calcula la matriz X. (Reserva 1, 2003) 31. Dadas las matrices 1 21 1A = ; 1 0 12 1 01 1 2B = y 10 4 52 1 1C = 1)Halla las matrices inversas de A y B. 2)Resuelve la ecuacin matricialA X B C = . 3)Calcula la matriz X. (Reserva 2, 2003) 32. 1) Resuelve la ecuacin matricial tX A A X B + = , siendo tAla matriz traspuesta de A. Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 7 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 0 00 1 11 0 1A = y 30 1211 1231 12B = . (J unio, 2004) 33.1) Resuelve la ecuacin matricial tX A X A C + = , siendo tAla matriz traspuesta de A. 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 1 00 1 21 1 0A = y 0 1 13 0 1B = . (Septiembre, 2004) 34. 1) Resuelve la ecuacin matricial 13 X A A B+ = + , siendo 1A la matriz inversa de A. 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 0 20 1 12 1 0A = y 3 3 32 3 13 1 1B = . (Reserva 1, 2004) 35. 1) Resuelve la ecuacin matricialX A X B + = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 0 21 1 11 0 2A = y 1 2 10 0 43 2 3B = . (Reserva 2, 2004) 36. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:A X A I A X = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 1 00 1 21 0 1A = e 1 0 00 1 00 0 1I = . (J unio, 2005) 37. 1)DespejalamatrizXenlaecuacin: 1A X A X I + = siendo 1Alamatriz inversa de A. 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 0 10 1 10 1 0A = e 1 0 00 1 00 0 1I = . (Septiembre, 2005) 38. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin: 2X A X B = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 0 11 1 00 2 1A = y 2 6 22 2 36 4 2B = . (Reserva 1, 2005) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 8 39. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:A X B C = . 2)HallalamatrizXsabiendoque 2 3 11 1 10 2 1A = , 0 1 21 0 21 1 1B = y 4 4 70 3 53 1 3C = . (Reserva 2, 2005) 40. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:A X X B X C = + . 2)HallalamatrizXsabiendoque 1 1 01 0 11 1 1A = , 2 0 01 1 20 0 1B = y 2 2 02 4 31 2 3C = . (J unio, 2006) 41. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin: 2X A B X = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 1 00 1 11 1 1A = y 0 2 11 1 31 2 4B = . (Septiembre, 2006) 42. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:2 3 X A B X C = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 1 21 0 1A = , 1 02 11 1B = y 1 1203C = . (Reserva 1, 2006) 43. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:X A X B = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 1 00 1 22 1 0A = y 2 2 32 3 1B = (Reserva 2, 2006) 44. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:2 X A X C B X = . 2)HallalamatrizXsabiendoque 2 1 01 2 11 1 2A = , 1 1 00 1 01 2 1B = y 0 0 11 1 21 3 3C = . (J unio, 2007) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 9 45. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin: 1X A A B + = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 0 10 1 00 0 1A = y 1 1 00 1 11 0 1B = . (Septiembre, 2007) 46. 1) Despeja la matriz X de la ecuacin:2 A X I A X = . 2) Halla la matriz X siendo I la matriz identidad de orden 3 y 1 0 10 1 11 0 0A = . (Reserva 1, 2004) 47. 1) Despeja la matriz X de la ecuacin:A X A X B + + = . 2) Halla la matriz X sabiendo que 1 1 10 1 21 0 1A = y 0 5 62 5 42 3 5B = . (Reserva 2, 2007) 48. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:2 X B A X = . 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 1 0 12 1 01 3 1A = y 1 23 34 3B = . (J unio, 2008) 49. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:X A X B = . 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 1 1 20 1 31 1 1A = y 0 1 81 2 10B = . (Septiembre, 2008) 50. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:2 A X X B = . 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 2 1 11 0 11 1 0A = y 5 00 31 1B = . (Reserva 1, 2008) 51. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:3 A X B X = . Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 10 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 0 1 11 0 11 1 1A = y 2 12 33 1B = . (Reserva 2, 2008) 52. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:2 X A X I + = . 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 1 0 10 0 21 1 1A = e 1 0 00 1 00 0 1I = . (J unio, 2009) 53. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin: 2A A X B + = . 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 1 1 00 1 11 0 1A = y 0 2 01 0 01 0 0B = . (Septiembre, 2009) 54. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:X A X B X = . 2)HallalamatrizXdelaecuacinanteriorsabiendoque 1 1 01 0 10 0 1A = y 1 12 11 1B = . (Reserva 1, 2009) 55. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin:A B X A X + = . 2) Halla la matriz X de la ecuacin anterior sabiendo que 1 1 01 0 12 1 1A = y 0 0 11 1 01 1 0B = . (Reserva 2, 2009) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos Matemticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Ejercicios de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha Bloque I. lgebra Sistemas de ecuaciones. Mtodo de Gauss (Ejercicios propuestos antes del ao 2000) 1.La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es 48. Dentro de 10 aos, el doble delasumadelasedadesdeloshijos,excederen6aosalaedaddelpadre. Cuandonacielpequeo,laedaddelpadreexcedaen6unidadesaltripledela edad que tena el hijo mayor. Calcula las edades de los tres 2.Enunareunin,ciertapartedelospresentesestnjugando,otraparte,estn charlando y el resto, que es la cuarta parte del total,bailando. Ms tarde, 4 dejan el juego por el baile, 1 de la charla por el juego y 2 dejan el baile por la charla, con lo cual, el nmero de personas que est en cada grupo es el mismo. Cuntas personas componen la reunin? 3.Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda una partida,entregar a cadauno delos otros dos una cantidadigualala que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdi una partida y al final cada uno tena 24 pesetas. Cunto dinero tena cada jugador al comenzar el juego? 4.La suma de las edades, en el momento actual de un padre y sus dos hijos es 73 aos. Dentro de 10 aos la edad del padre ser el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 aoslaedad delhijomayorera doble dela edadde suhermano.Hallarla edad de cada uno. 5.Sevendentresespeciesdecereales:trigo,cebadaymijo.Eltrigosevendecada cahz por 4 denarios. La cebada se vende cadacahz por 2 denarios. El mijo se vende cada cahz por 0,5 denarios. Si se venden 100 cahces y se obtiene por la venta100denarios,cuntoscahcesdecadaespeciesevende?Interpretala(s) solucin(es). 6.La edad de un padre es doble quelasuma delasedades desus doshijos,mientras que hace unos aos (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edaddelpadreeratriplequelasumadelasedadesenaqueltiempodesushijos. Cuando pasen tantos aos como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma deedadesdelastrespersonasser150aos.Quedadtenaelpadreenel momento del nacimiento de cada uno de sus hijos? 7.Resolverlossiguientessistemasdeecuacioneslinealesutilizandoelmtodode Gauss: a) 1012x y ztx y ztx yztx y zt+ + + = + =+ = + + = ; b) 3 4 3 32 3 103 2x y zx y zx y zx y z+ + = + + = + = = ; c) 13 2 02 3 12x yztx y z tx y ztxzt + = + + + =+ + + = + = ;Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos d) 3 3 5 82 3 32 4 74x y zx y zx y zx yz = = =+ = ; e) 3 2 23 42 2 13x y z tx ytx y ztx yt + = + = + =+ + = ; f) 2 42 3 4 63 5 12 3 4 3x y zx y zx y zx y z+ + = + = + = + = ;g) 3 02 2 24 3 35 6x y ztx y ztx yztx y zt+ + = + + + = + + = + + = 8.Clasificar y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 2 2 4566 3 3 2 32x y ztx y ztx yztx y z t + = + + = + = + = ; b) 4 22 12 3 14 9 5x y zx yzx y zx y z+ = = + = + = 9.EntreCarlos,PedroyRalsuman515librosdedistintosgnerosliterarios.Sial nmerodelibrosqueposeeCarloslesumamoseltripledeladiferenciaentrelos que tienen Pedro y Ral, entonces Carlos tendra tantos como Ral. Adems 8 veces elnmerodevolmenesdePedroequivalea9veceselnmerodelosdeCarlos. Cuntos libros tiene cada uno? 10. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Ral y Pedro suman 1545 pesetas. Si a loquegastaMartaselesumaeltripledeladiferenciaentrelosgastosdeRaly PedroobtendremosloquegastaPedro.Ochovecesladiferenciaentreelgastode Ral y de Marta es igual al gasto de Marta. Averiguar cul es la cantidad que gasta cada uno. 11. Una tiendahavendido 330 discos compactos de msica clsica, rock ycantautores por un importe total de 740.000 pesetas. El precio de un disco compacto de msica clsica es de 2.500 pesetas, y los de grupos de rock y cantantotes un 15% y un 20%ms baratos que los de msica clsica, respectivamente. Tambin se sabe que se ha vendido una cantidad de compactos de cantautores que es igual a los dos tercios del nmero de compactos de rock vendidos. Averiguar cuntos discos compactos se han vendido de cada clase. 12. En una tienda de alimentacinhay tres productos en oferta: harina,vinagreybotes de guisantes.Un cliente compr un paquete deharina,cuatro botellas devinagrey dos botes de guisantes, porunimporte de 200 pesetas, otro cliente compr unbote deguisantes,dosbotellasdevinagreydevolviunpaquetedeharinaquetena insectosensuinterior,pag70pesetas,yuntercerclientecompr tresbotellasde vinagre y devolvi dos paquetes de harina, pagando 20 pts. Cules eran los precios delos tres productos?Cmo sera elsistemasi el tercer cliente hubiera comprado dosbotesdeguisantesy4botellasdevinagreyhubieradevueltodospaquetesde harina y le hubieran cobrado 150 pesetas? 13. Unaeditorialvaalanzaralmercado treslibrosdebolsilloL1,L2yL3.Elimporte total dela edicin es 3.750.000 pesetas. Los costes en pesetas porunidadson 700, 500 y 600 respectivamente. Se sabe que el nmero de ejemplares de L3 es igual a los dos sptimos de los del tipo L2, y que si al triple del nmero de ejemplares de L1 se Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos le suma el nmero de ejemplares de L3 se obtiene el doble del nmero de ejemplares de L2. Averiguar cuntos libros se han editado de cada tipo. (Ejercicios propuestos a partir del ao 2000) 14. En la lista de precios de una cafetera figura la siguiente informacin: Cuatro cafs y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos. Cuatro cafs y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos. Dos cafs, un refresco y un bocadillo cuestan 950 pesetas. Calcular el precio de un caf, de un refresco y de un bocadillo. (J unio, 2000) 15. Los 345 atletas quellegaron alameta en una prueba demaratn sepeden agrupar as: Grupo A: Atletas cuyo tiempo final est comprendido entre 2 y 3 horas. Grupo B: Atletas cuyo tiempo final est comprendido entre 3 y 4 horas y grupo C: Atletas cuyo tiempo final est comprendido entre 4 y 5 horas. ElnmerodeatletasdelgrupoAexcedeen4unidadesaltripledelnmerode atletas del grupo C. La diferencia entre el nmero de atletas del grupo B y el nmero de atletas del grupo A es cuatro veces el nmero de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. Calcular el nmero de atletas que hay en cada grupo. (Septiembre, 2000) 16. SegnlaGuaOficialdeHoteles,enunaciudaddellitorallevantinoexisten106 establecimientos contando los de 2* (dos estrellas), los de 3* (tres estrellas)y los de 4* (cuatro estrellas). Si 9 hoteles de 3* pasaran a la categora de 2*, entonces habra igualnmerodehotelesde2*yde3*.Encambio,sihubieraunhotelmsde2*, entonceselnmerodestosseracuatroveceselnmerodelosde4*.Cuntos hoteles hay de 2*, 3* y de 4*? (Reserva 1, 2000) 17. Una persona reparte entre sus tres hijos el premio obtenido en un sorteo, de la forma siguiente:Almayorleasignalamitaddelasumadelascantidadesque corresponden alos otros dos. Alhijomedianoleasignalamitad delasuma delas cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo menorle asigna la mitad de la diferencia de las cantidades que corresponden a los otros dos ms 100 euros. Hallar la cantidad de dinero asignada a cada hijo y el importe total del premio. (Reserva 2, 2000) 18. EnunacompeticindeportivacelebradaenunI.E.S.participaron50atletas distribuidos,segnlaedad,entrescategoras:Infantiles,CadetesyJuveniles.El doble del nmero de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al nmero de atletas cadetesy,porotraparte,coincide con el quntuplo delnmero de atletas juveniles. Determina el nmero de atletas que hubo en cada categora. (J unio, 2001) 19. Dividimos un nmero de tres cifrasxyz, entrelasuma de stasy obtenemos 20 de cociente y 3 de resto. La cifra de las decenas, y, es igual a la mitad de la suma delasotrasdos.Lacifradelasunidades,z,esigualalasumadelasotrasdos. Hallar el nmero xyz. (Septiembre, 2001) 20. Lasedadesdetresmiembrosdeunamismafamilia,elabuelo,elhijoyelnieto, verifican lo siguiente: La suma de las edades del abuelo y del nieto excede en 5 aos al doble de la edad que tienen el hijo. Hace 5 aos la edad del abuelo era doble de la edad que tena el hijo. Sumando las edades que tendrn los tres dentro de 10 aos se Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos obtiene 28 veces la edad que tena el nieto hace 5 aos. Halla las edades actuales de los tres. (Reserva 1, 2001) 21. Se reparten 18400 euros entre tres personas A, B y C de modo que: Por cada 2 euros querecibeA,recibeBtreseuros.Porcada5eurosquerecibeB,recibeCsiete euros. Qu cantidad corresponde a cada persona? (Reserva 2, 2001) 22. De la edad de tres hermanos, Ana, Jess y Fernando, se sabe que: el doble de la edad de Ana ms el triple de la edad de Jess es tres aos superior a cuatro veces la edad de Fernando; el triple de la edad de Fernando menos el doble de la edad de Jess es siete aos inferioral doble dela edad de Ana;y el doble dela edad deAnams el dobledelaedaddeFernandoestresaosinferioracincoveceslaedaddeJess. Calcular la edad de cada uno de los hermanos. (J unio, 2002) 23. Unadeterminadacompaadeteatropresentaunaobraenunaciudad,dandoslo tres representaciones. Se sabe que el nmero de espectadores que asiste a la segunda representacinseincrementenun12%respectoalaprimera,queenlatercera representacin asistieron 336 espectadores menos que a la segunda y que el nmero de espectadores de la primera super en 36 espectadores el de la tercera. Calcular el nmero de espectadores que asistieron a cada representacin. (Septiembre, 2002) 24. Loshabitantesdeunaciudadtienenlosojosdecolorazul,odecolornegroode color marrn. El nmero de los que tienen ojos azules, aumentado en 5, es igual a la sexta parte delnmero delos que tienenlos ojosnegros o marrones.Elnmero de losquetienenojosnegros,disminuidoen75,esigualalamitaddelosquetienen los ojos azules o marrones. Finalmente, el nmero de los que tienen ojos marrones, aumentadoen50,esigualalnmerodelosquetienenojosazulesonegros. Cuntos habitantes tiene la ciudad? (Reserva 1, 2002) 25. Tresamigas,Elena,CarmenyCristina,entranenunatiendadedeportesenlaque slo hay tres tipos de artculos. Elena se compra 2 pares de zapatillas, 1 sudadera y 1 pantaln.Carmensecompra1pardezapatillas,2sudaderasy2pantalones,y Cristina se compra 2 pares de zapatillas y 3 pantalones. Elena se ha gastado en total 70 euros, Carmen 80 euros y Cristina 75 euros. Cunto vale cada artculo? (Reserva 2, 2002) 26. Ungrupode30alumnosde2debachilleratorealizaunavotacinafinde determinareldestinodelaexcursinfindecurso,entrelossiguienteslugares: Baleares,CanariasyPars.ElnmerodelosqueprefierenBalearestriplicaal nmerodelosqueprefierenPars.El40%delosqueprefierenCanariascoincide conlaquintapartedelasumadelosqueprefierenlosotrosdoslugares.Hallael nmero de votos que obtuvo cada destino. (J unio, 2003) 27. Tres amigos A, B y C, deciden hacer un fondo comn con el dinero que tienen para hacerunacompradegolosinas.Laraznentrelasumayladiferenciadelas cantidades que tienenAyB es 11/5. Dividiendo lacantidad de dinero que tieneA entrelacantidaddedineroquetieneBseobtienedecociente2yderestola cantidaddedineroquetieneC.Hallalacantidaddedineroquetienecadauno sabiendo,adems,queeldobledelasumadelasquetienenByCexcedeendos euros a la que tiene A. Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos (Septiembre, 2003) 28. Hallarlasedadesdeunpadreydesusdoshijossabiendoqueactualmentelastres suman 88 aos; que dentro de 10 aos, la suma de las edades que tendrn el padre y el hijo menor exceder en 2 aos al triple de la edad que tendr el hijo mayor y que hace12aos,lasumadelasedadesquetenaelpadreyelhijomayoreradoce veces la edad que tena el hijo pequeo. (Reserva 1, 2003) 29. Alos 10minutos de comenzar una clase dematemticas de 2debachillerato, una partedelosalumnosestnmirandolasanotacionesqueelprofesorhaceenla pizarra,otraparteesttomandoapuntesyelresto,queeslasextapartedeltotal, estndistrados.Quinceminutosmstarde,tresalumnosdistradospasanatomar apuntes, un alumno de los que toma apuntes pasa a mirar la pizarra y 8 alumnos que miraban la pizarra, se distraen. En este momento hay el mismo nmero de alumnos en cada uno de los tres grupos: los que miran la pizarra, los que toman apuntes y los distrados. Hallar el nmero de alumnos que hay en la clase. (Reserva 2, 2003) 30. Las edades de tres vecinos suman 54 aos y son proporcionales a 2, 3 y 4. Halla la edad de cada uno de ellos. (J unio, 2004) 31. En una clase se celebran elecciones para Delegado. Se presentan dos candidatos: X e Y.El5%deltotaldevotosemitidosesnulo.Cuatroveceselnmerodevotos obtenidoporYmenostresveceselnmerodevotosobtenidosporXexcedeal nmerodevotosnulosenunaunidad.Sidividimoselnmerodevotosobtenidos por X entre el nmero de los obtenidos por Y se obtiene de cociente 1 y de resto 7. Cuntos votos obtuvo cada candidato? (Septiembre, 2004) 32. UnadeterminadaUniversidadtiene1000profesoresentreCatedrticos,Titularesy Asociados.Si50TitularespasaranaserCatedrticos,elnmerodeTitulares restantes sera doble que el nmero de Catedrticos que resultaran del traspaso ms elnmerodeAsociados.Encambiosi100TitularespasaranaserCatedrticos, entonceselnmerodeTitularesrestantesseraigualquelasumadelnmerode CatedrticosresultantesdeltraspasoyelnmerodeAsociados.Hallaelnmero inicial de profesores de cada categora. (Reserva 1, 2004) 33. Enunabolsahaycanicasdetrescolores:amarillo,verdeynegro.Sisacamosuna boladelabolsa,eltotaldebolasnegrascoincideconunterciodelasquequedan. Introducimosdenuevolabolaenlabolsayacontinuacinsacamosdosbolas. Entonces pueden ocurrir dos cosas: El total de bolas verdes coincide con la mitad de lasquequedanoeltotaldebolasamarillascoincideconlacuartapartedelasque quedan. Determina el nmero de bolas de cada color que hay en la bolsa. (Reserva 2, 2004) 34. Unvideo-clubestespecializadoenpelculasdetrestipos:Infantiles,Oeste americano y Terror. Se sabe que: (a) El 60% de las pelculas Infantiles ms el 50% delasdelOesterepresentanel30%deltotaldelaspelculas.(b)El20%delas infantilesmsel60%delasdelOestemsel60%delasdeterrorrepresentanla Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos mitad del total de pelculas. (c) Hay 100 pelculasms delOeste que de Infantiles. Halla el nmero de pelculas de cada tipo. (J unio, 2005) 35. Los30alumnosdeungrupode4deESOcursantresasignaturasoptativas distintas:Francs,CulturaClsicayEnergasalternativas.Sidosalumnosde Francssehubiesenmatriculado de Cultura Clsica, entonces estas dos asignaturas tendraelmismonmerodealumnos.SidosalumnosdeCulturaClsicase hubiesenmatriculadoenEnergasAlternativas,entoncesEnergasAlternativas tendra doble nmero de alumnos que Cultura Clsica. Halla el nmero de alumnos matriculado en cada asignatura. (Septiembre, 2005) 36. Para poder comprar 5 bolgrafos necesito 2 euros ms de los que tengo. En cambio, mesobrauneurodeloquetengosicompro2lapiceros.Finalmente,necesito60 cntimosdeeuromsdeloquetengoparapodercomprardosbolgrafosydos lapiceros.Hallaelpreciodeunbolgrafoyeldeunlapicero.Decuntodinero dispongo? (Reserva 1, 2005) 37. Se consideran, el nmero de tres cifras xyz y el que resulta de ste al permutar las cifrasdelasunidadesydelascentenas.Hallaelvalordelascifrasx,yyz sabiendo que la suma de los dos nmeros es 585, que la divisin del primero entre el segundo tiene de cociente 1 y de resto 99 y que la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas del primer nmero es 7. (Reserva 2, 2005) 38. Unhombrelediceasuesposa:Tehasdadocuentaquedesdeeldadenuestra boda hasta el da del nacimiento de nuestro hijo transcurrieron el mismo nmero de aosquedesdeeldadelnacimientodenuestrohijohastahoy?Eldadel nacimiento de nuestro hijolasuma denuestras edades era de 55 aos. Lamujerle replic: Me acuerdo que en ese da del nacimiento de nuestro hijo, t tenas la edad que yo tengo ahora y adems recuerdo que el da de nuestra boda el doble de la edad quetutenasexcedaen20aosalaedadqueyotengohoy.Hallalasedades actuales de ambos. (J unio, 2006) 39. Para la compra de un artculo de precio 10,70 euros se utilizanmonedas de 1 euro, de50cntimosdeeuroyde20cntimosdeeuro.Elnmerototaldemonedas excede en una unidad al triple de monedas de 1 euro. El 30% de la suma del nmero de monedas de 1 euro con el doble del nmero de monedas de 50 cntimos coincide conelnmerodemonedasde20cntimos.Hallaelnmerodemonedasquese utilizan de cada clase. (Septiembre, 2006) 40. Enungrupode2deBachillerato todoslosalumnostienencomomateriaoptativa unadeestastresasignaturas:Literatura,PsicologaoFrancs.Elnmerode alumnosmatriculadosenLiteraturarepresentael60%deltotaldealumnosdel grupo. Si tres alumnos de Psicologa sehubiesenmatriculado enFrancs,entonces estas dos asignaturas tendran el mismo nmero de alumnos. Finalmente, el doble de la diferencia del nmero de matriculados en Literatura y en Psicologa es el triple de ladiferenciadelosmatriculadosenPsicologayenFrancs.Hallaelnmerode alumnosmatriculadosencadaunadelasmateriasoptativasyelnmeroalumnos del grupo. (Reserva 1, 2006) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 41. EnunInstitutoseimpartenenseanzasdeESO,BachilleratoyCiclosFormativos. La suma delnmero delos alumnos de Bachillerato y del doble delos alumnos de Ciclos Formativos excede en 100 al nmero de los alumnos de ESO. Si sumamos el 40%de losmatriculados en ESO con el 30%delos matriculados en Bachilleratoy conel20%delosmatriculadosenCiclosFormativosseobtieneunnmeroque excedeen45unidadesal30%delnmerototaldealumnos.Sabiendoquecursan estostrestiposdeenseanzauntotalde1200alumnos,hallaelnmerode matriculados en cada tipo de enseanza. (Reserva 2, 2006) 42. Un alumno de 2 de Bachillerato emplea en la compra de tres lpices, un sacapuntas ydosgomasdeborrar, treseuros. Eldobledelpreciodeunlpizexcedeencinco cntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar. Si cada lpiz costara cinco cntimos de euro ms, entonces su precio duplicara al de unagomadeborrar.Determinaelpreciodeunlpiz,deunsacapuntasydeuna goma de borrar. (J unio, 2007) 43. La suma de las edades actuales de los tres hijos de un matrimonio es 59 aos. Hace cinco aos, la edad del menor era un tercio de la suma de las edades que tenanlos otros dos. Dentro de cinco aos, el doble de la edad del hermano mediano exceder enunaunidadalasumadelasedadesquetendrnlosotrosdos.Hallalasedades actuales de cada uno de los hijos. (Septiembre, 2007) 44. UnInstitutocompra500paquetesdefoliosatresproveedoresdiferentesa2,75; 2,70y2,80euroscadapaquete,respectivamente.Lafacturatotalasciendea1360 euros.Ladiferenciaentreelnmerodepaquetessuministradosporel2yel3 proveedor,estripledelnmerodepaquetessuministradosporel1proveedor. Cuntos paquetes suministra cada uno de los proveedores? (Reserva 1, 2007) 45. EnunapoblacinsehanpresentadodospartidospolticosAyBalaselecciones municipales.Si250votantesdelpartidoAhubiesenvotadoelpartidoB,ambos partidos hubiesen empatado a votos. El nmero de votos en blanco o nulos es el 1% delasumadelnmerodevotosobtenidosporambascandidaturas.Sabiendoque fueron a votar 11615 electores, halla el nmero de votos obtenido por cada partido y cuantos son blancos o nulos. (Reserva 2, 2007) 46. Enunafbricadeartculosdeportivossedisponede10cajasdediferentetamao: Grandes, Medianasy Pequeas para envasarlas camisetas de atletismo producidas,con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana,entonceshabraelmismonmerodegrandesydemedianas.Entotalse envasan 390 camisetas. Determina el nmero de cajas que hay de cada clase. (J unio, 2008) 47. En la XXI Olimpiada Nacional de Qumica se contrataron 5 autobuses de 55 plazas cadauno,incluidaladelconductor,paraeltransportedealumnos,profesoresy acompaantes. La suma del 10% del nmero de profesores y del 20% del nmero de acompaantes excede en una unidad al 10%delnmero de alumnos. Elnmero de alumnos duplicara al de profesores en el caso de quehubieran asistido 5 profesores menos. Determina el nmero de alumnos, de profesores y de acompaantes. (Septiembre, 2008) Matemticas aplicadas a las CCSS I I Pedro Castro Ortega Ej ercicios propuestos en SelectividadProfesor del I ES Fernando de Mena de Socullamos 48. Los 147 alumnos de un Instituto participan en un taller de percusin organizado por elDepartamentodeMsica.Haytresmodalidades:Merengue,TangoySamba.Si 15alumnosdelosquehanelegidoMerenguehubieranelegidoSamba,entonces ambasmodalidadeshubierantenidoelmismonmerodealumnosinscritos.La sumadelnmerodeinscritosenMerengueydeldobledelnmerodeinscritosen Sambaexcedeen20aldobledelnmerodeinscritosenTango.Determinael nmero de alumnos inscritos en cada modalidad. (Reserva 1, 2008) 49. Enunatiendaespecializada,unclienteadquieredosPenDrivede1GB,unode2 GB y uno de 4 GB abonando por todos ellos 33 euros. Otro cliente adquiere uno de 1 GB, dos de 2 GB y devuelve uno de 4 GB adquirido el da anterior, abonando por todoello6euros.Sabiendoqueunarebajadel20%enelpreciodelosde1GB permitiraadquirirdos de stos porel precio de uno de 2 GB.Calcula el precio de los Pen Drive de cada clase. (Reserva 2, 2008) 50. Conlas 12monedas que tengo en elbolsillo (de50 cntimos, de 20 cntimosy de 10cntimosdeeuro)puedocomprarunpastelcuyoprecioes2,80euros.Siuna moneda de 50 cntimos lo fuera de 20, entonces el nmero de las de 20 cntimosy el nmero de las de 10 cntimos coincidira. Cuntas monedas tengo de cada clase? (J unio, 2009) 51. En una caja hay monedas de 1, de 2 y de 5 cntimos de euro. El nmero de monedas de 1 cntimo excede en cuatro unidades a la suma del nmero de las de 2 cntimos y delnmerodelasde5cntimos.Elnmerodemonedasde2cntimosexcedeen unaunidadal40%delnmerodemonedasde1cntimo.Sabiendoquesi tuviramosunamonedamsde1cntimo,elvalordetodasellasserade50 cntimos, calcula el nmero de monedas que hay de cada clase. (Septiembre, 2009) 52. Enunabolsahaycaramelosdetressabores:menta,cafylimn.Cadacaramelo cuesta5cntimosdeeuro.Elpreciototaldelabolsaesde3euros.El30%del nmero de los de sabormenta excede en dos unidades al 10% de la suma de los de caf y los de limn. Sabiendo que la suma del nmero de los de sabor menta y los de saborlimn esel triple delos desaborcaf,determina elnmero de caramelos de cada sabor que hay en la bolsa (Reserva 1, 2009) 53. Lasuma delasedades de treshermanos es32 aos. Dividiendola edad delmayor entre la edad del ms pequeo se obtiene 2 de cociente y 1 de resto. Sabiendo que la edad del pequeo es igual a la suma del 20% de la edad del mayory del 40% de la edad del mediano, determina las edades de cada uno de ellos. (Reserva 2, 2009)