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7/25/2019 MATRICES.ejrs(Con Sol) (1)

1/12

Ejercicios resueltos de matrices. Matemticas II

EJERCICIOS DE MATRICES (algunos resueltos)

1.- Calcula los productos posibles entre las matrices

=

=

=

543

012Cy

1

2

1

B,

110

111

321

A

2.- Para las matrices

=

=

=

=

3

12

Dy

3001

24151032

C,321

430B,

304

211A , realiza las

siguientes operaciones:

a) A + B b) 3A - B c) AB d) A! e) BC

") C! g) At C #) !t At i) Bt A $) !t ! %) ! !t

3.- !escomposici&n en suma de una matriz sim'trica ( otra antisim'trica las matrices siguientes:

a)

52

41b)

435

240101

c)

272010

101

.- Para la matriz

=

01

10A , calcula A*( A. ncuentra los alores de a ( b para /ue la matriz A

conmute con la matriz

1b

0a.

.- 0bt'n las matrices e /ue eri"i/uen los siguientes sistemas matriciales:

a)

101

234Y3X

012

221Y2X

=

=+b)

=

=+

10

26YX

03

12YX

c)

=+

=+

42

01Y2X

20

13YX2

d)

=+

=+

10

81YX

23

83YX3

e)

=

=

63

01YX

24

51Y3X2

.- Calcula An, para n 4, siendo A las siguientes matrices:


2/12


a)

11

11b)

10

11c)

cossen

sencosd)

100

010

101

e)

111

111

111

")

100

110

111

.- Calcula el rango de las siguientes matrices:

a)

012

101b)

240

101

120

c)

1000

1112

0100

1112

d)

13111031

54321

81512

5.- Calcula las matrices inersas, si e6isten, de las siguientes matrices:

a)

0210 b)

4321 c)

8421 d)

2 1 *

3 1 2

* 1

e)

114

301

211

")

1098

765

432

.- 7esuele la ecuaci&n A 8 B + C 9 *, siendo:

=

=

=0301

1210C y

011-2-

1-021B,

01

14A


3/12


4/12


b)

=

=

=

21816

10153

1284

16120

9012

633

321

4304

304

2113B4A3

c) A263?B263. 4o es posible. d)

=

=

1

7

3

1

2

304

211DA 1x33x2

e)

=

=14855

1812311

3001

2415

1032

321

430CB 4x33x2

") C36?!361. 4o es posible. g)

=

32

01

41

At At362?C36. 4o es posible.

#)( ) )1,7

32

01

41

312AD t

2x3

t

3x1 =

= @ambi'n: )1,717

)DAAD

tttt

=

==

i)

=

=1416

1235

304

304

211

34

23

10

AB 3x2t2x3 $)

( ) 143

1

2

312DD 1x3t3x1 =

=

%) ( )

=

=

936

312

624

312

3

1

2

DD t 3x11x3

.- a)

1 2 22

2 1 *

3 23

1 * 1

x y

x y

+ = =

3 6 3(

3 *

- 3 26-3(

1 * 1

-1 3 -1 3 6 6- 3 1 1 3 1

+ = =

= =


5/12


1 2 2 26 (

2 1 *

5 2

2 * 2

5 5 (

* 1 2 * 1 -2

x y

y

+ = + =

= =

b)

2 1

3 *

2

* 1

5 3 3 226

3 1 3 2 1 2

x y

x y

x

+ = =

= =

2 16 (

3 *

- -2-6 (

* -1

- 1 -2 1 22( (

3 1 3 2 1 2

+ = + =

= =

c)

3 12

* 21 *

22

x y

x y

+ = + =

26 2(

* -

-1 *-6-2(

2 -

2 2 3 236 6

2 5 3 2 5 2

+ = =

= =

3 126 (

* 22 *

2 5

1 1 -13 1 3

3 ( 1* 3 1* 3

x y

y

+ =

=

= =

d)

3 53

3 2

1 5

* 1

2 * 1 *26

3 1 3 2 1 2

x y

x y

x

+ =

+ =

= =

3 536 (

3 2

3 2-36-3(

* 3

* 1 * 5-2( (

3 1 3 2 1 2

+ =

=

= =


6/12


e)

1 26 3(

2

2 *2 2

12

3 3

(2 1* 2 1*

x y

y

= + =

= =

1 26 3(

2

3 *3 3

15

1 1

x y

x x

= + =

= =

.-

a)

2 1

3 2

1 1

3 2 2 3 n

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 2 29 2

1 1 1 1 2 2

2 2 1 1 9 2

2 2 1 1

2 2 9 2 2 2 2 A

2 2

n n

n n

A

A A

A A

A A A A A A A

=

= =

= =

= = = =

b)

2

3

3 n

1 1

* 1

1 1 1 1 1 2

* 1 * 1 * 1

1 2 1 1 1 3

* 1 * 1 * 1

1 3 1 1 1 1 9 9 A

* 1 * 1 * 1 * 1

A

A

A

nA A A

=

= =

= =

= =

c)

2 2

2

2 2

3

cos

cos

cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos

cos 2 2

2 cos 2

cos 2 2 c

2 cos 2

senA

sen

sen sen sen sen senA

sen sen sen sen sen

sen

sen

senA

sen

=

= =

+ + =

=

( ) ( )

( ) ( )n

cosos cos3 3A

coscos 3 cos3

n sen nsen sen

sen n nsen sen

= =


7/12


d) 2

3 n

1 * 1

* 1 *

* * 1

1 * 1 1 * 1 1 * 2

* 1 * * 1 * * 1 *

* * 1 * * 1 * * 11 * 2 1 * 1 1 * 3 1 *

* 1 * * 1 1 * 1 * A * 1 *

* * 1 * * 1 * * 1 * * 1

A

A

n

A

= = = = = =

e)2 1

1 1 1

3 2 n 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 3 3 3

1 1 1 1 1 1 3 3 3 9 3

1 1 1 1 1 1 3 3 3

3 3 33 3 3 1 1 1

3 3 3 1 1 1 9 3 A A 3 3 3

3 3 3 1 1 1 3 3 3

n n n

n n n

n n

A

A A

A

=

= =

= = = 1n

")

2

3

1 1 1* 1 1

* * 1

1 1 1 1 1 1 1 2 3

* 1 1 * 1 1 * 1 2

* * 1 * * 1 * * 1

1 2 3 1 1 1 1 3

* 1 2 * 1 1 * 1 3

* * 1 * * 1 * * 1 1)

11 1* 2

A * 1 * 1

* * 1 * * 1

n

A

A

A

n nn

A n

= = = = = +

= =

1

n

) recuerda: ;

2

na a n

+ =


8/12


.- a)22

1 * 1 1 * 1 rg a) 2

2 1 * * 1 2F F

rg rg

= =

b)

2 32B

* 2 1 1 * 1 1 * 1

1 * -1 * 2 1 * 2 1 rg b) 2

* 2 * 2 * * *F

rg rg rg

= = =

c)

2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

* * 1 * * * 1 * * 2 * * rg c) 3

2 1 1 1 * 2 * * * * 1 *

* * * 1 * * * 1 * * * 1

rg rg rg

= = =

d)

2 1 -1 5 1 3 1* 11 13 1 3 1* 11 13

-1 2 3 -1 2 3 * 13 1 15

1 3 1* 11 13 2 1 1 5 * 1 23 15

1 3 1* 11 13 * 13 1 15 rg d) 3

* * 2 5 *

rg rg rg

rg

= = =

= =

5.- a)

1 1

11 12 d

21 22

1

* 1 * 1 : )C 2 *

2 * 2 *

* A 2 * -2 * 1A : )

1 A * 1 * 2 *

* -1 * 121

-2 * 1 *2

d t

d t

AA A A y A

A

AA

A

A

= = = =

= =

= = = =

= =

Comprobaci&n:

=

=

10

01

01

2!1002

10AA 1

b)

d t -1

1 2 A 2

3

3 2 2 2 11 A ) A2 1 3 1 3 1 3 2 1 22

d

A

A

= =

= = = =

Comprobaci&n: -1

1 2 2 2 * 1 *1 1A ? A -

3 3 1 * 2 * 12 2

= = =

c)1

1 2 A *

5A A

= =


9/12


d)

11 12 13

21 22 23

31 32

2 1 * 2 1 * * 2 2

3 1 2 A 3 1 2 3 1 2 5 3 1

* 1 * 1 * 1

1 2 3 2 3 11 A 3 5) A

* 1 1 *1 * 2 * 2 1

1 A 2 A * 1 1 *

1 * 2 *2 A

1 2 3 2

A

A

A

A

= = = = = =

= = = = = = =

= = = = = =

= = = =

33

d t -1

1

1 2

2 2 1

A 3 1

1 1 2 1 1 2 1 3 1 3 2 31

A ) 2 A 2 3 2 3 33

- 3 3 3

dA

= = =

= = =

e)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 2 1 1 2

1 * 3 A 1 * 3 2 12 3 1 1

1 1 1 1

* 3 1 3 1 *3 A 11 A 1

1 1 1 1

1 2 1 2 1 1

1 A A 1 1 1 1

1 2 1 2 1 13 A A 1

* 3 1 3 1 *

A

A

A

A

= = = + + =

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

d t -1

3 11 1

1 3 1

3 1 3 3 1 3 3 1 11 311

A ) 11 A 11 111 1 11

1 1 1 1 11 1 11

d

A

=

= = =

") 1

2 3

A *

5 1*

A A = =

.-

=01

14A ,

=

0112

1021B ,

=

0301

1210C

Primero despe$amos la matriz inc&gnita : A 8 B + C 9 * A 9 B 8 C


10/12


A1? A ? 9 A-1B 8 C) D 9 A-1B 8 C) 9 A-1B 8 C)

CElculo de A-1: 1

1* 1) 1 *

1 *A A= = =

11 12 1

22 22

* 1

* A 1 * 1 * 1 * 11 Aad )

1 A 1 1 1 1

tA

Aad AA

= =

= = = = = =

Por lo tanto la matriz inc&gnitaXes:

* 1 1 2 * 1 * 1 2 1 * 1 1 3 2 2 3 1

1 2 1 1 * 1 * 3 * 1 3 1 * 11 1 1X

= = =

12.- a) es "alsa, por e$emplo no se eri"ica para

=

22

11A (

=

*1

*1B

b) ( c) son "alsos por la misma raz&n.

d) es erdadera.

13.- a) BA 8 AB b) * c) AB

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcula el ad$unto del elemento a23en

"#2n2

n"#2

#n"

2. !adas las matrices: A 9

=

=

032

301

210

C

201

015

321

B

111

131

321

a) >allar la matriz traspuesta de A.b) F@iene la matriz C un nombre especialG

c) Calcular , sabiendo /ue A + 2B - C 9 *

3. >allar la matriz inersa de: A 9

210

121

012

. !adas las matrices: A 9

=

21

42B

203

132

214

>allar sus inersas, si e6isten.

. !e"ine la matriz inersa de una matriz regular ( determina por uno de los procedimientos la matriz

inersa de la matriz A 9

769

813

524


11/12


. !emuestra /ue toda matriz cuadrada A es la suma de una matriz sim'trica ; ( otra antisim'trica @.

AplHcalo a la matriz: A 9

231

143

112

. !adas las matrices: A 9

=

=

3212C

12

21

01

B201212

a) "ectIa, cuando ello sea posible, los productos AB, AC ( CA.

b) 0bt'n las traspuestas ( las inersas de A, B ( C.

c) Calcula ABC ( ACB.

5. !ada la matriz A 9

321

determina todas las matrices B, 2 6 2, tales /ue AB 9

00

00, obteniendo

el alor de para /ue e6ista soluci&n.

. ;ea A una matriz idempotente A29 A). !emuestra /ue si B 9 2A - D, es B29 D.

1*. 0bt'n todas las matrices cuadradas de segundo orden, A, tales /ue A29D.

11. Calcula las potencias sucesias de la matriz

a) A 9

111

111

111

b) B 9

100

110

111


22

11comprueba /ue puede eri"icar una relaci&n de la "orma:

A2+ A + D 9 *, determinando los alores de ( .

13. 7esoler la ecuaci&n A 9 B + C, siendo: A 9

=

=

01

10C

10

01B

21

11

1. >allar todas las matrices /ue conmutan con: A 9

10

21


$c

ba#allar 6 e (, reales, para /ue se eri"i/ue A29 6 A + (D, siendo D la matriz

unidad de orden 2.

1. >allar A tales /ue:

=

200

100A

20

10

1. Calcular Ancon n 4, siendo A 9

102

012

011


12/12


15. >allar las inersas de:

A 9

=

=

=

1020

1201

0312

2011

D

012

134

501

C

112

301

103

B

210

132

201

1. >allar todas las matrices /ue conmuten con

41

21

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