Matrius

MATRIUS

Matemàtiques 2n Batx CCSSdavidc

Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i columnes

1.1 CONCEPTE DE MATRIU

Files: sentit horitzontalColumnes: sentit verticalCada nombre real es un element de matriu i quedat definit pel seu nombre de fila i de columna que ocupaOrdre o dimensió : ( nº de files, nº de columnes)



Files: 3 files Columnes: 4 columnesOrdre: (3,4)


Files: 4 files Columnes: 2 columnesOrdre: (4,2)


Exemple: Joan ,Anna i Elena han anat a una tenda i han comprat el següent:

Joan ha comprat dos entrepans, un refresc i un pastísAnna ha comprat un entrepà, un refresc i un pastísElena ha comprat un entrepà i un refresc


Files: Persones 3 files Columnes: Productes: 3 columnesOrdre: (3,3)

Entrepans Refrescos Pastissos

Joan 2 1 1

Anna 1 1 1

Elena 1 1 0

Exemple: Joan ,Anna i Elena han anat a una tenda i han comprat el següent:

Joan ha comprat dos entrepans, un refresc i un pastísAnna ha comprat un entrepà, un refresc i un pastísElena ha comprat un entrepà i un refresc


Files: Persones 3 files Columnes: Productes: 3 columnesOrdre: (3,3)

2 1 1

1 1 11 1 0

Dimensió de la matriu nm

2ª columna

3ª fila

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

1.1 CONCEPTE DE MATRIUS’ anomena matriu d’ orden m×n a tot conjunt d’ elements aij disposats en m línees horizontales (files) i n verticals (columnes) de la forma:

S’anomena matriu d’ ordre m×n a tot conjunt d’ elements aij disposats en m línees horizontals (files) i n verticals (columnes) de la forma:

Abreujadament se solen expressar en la forma A =(aij), amb i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Els subíndexs indiquen la posició de l’ element dintre de la matriu, el primer denota la fila ( i ) i el segon la columna ( j ). Per exemple l’ element a25 serà l’ element de la fila 2 i columna 5.

L’ ordre és el nombre de files i columnes que té la matriu, es representa per m x n.

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=


1.1 CONCEPTE DE MATRIUExemple 1. Donada la matriu

Indica:

1.L’ ordre2.Els elements a11, a14, a32

3.Els termes de la segona columna

4.Els termes de la quarta fila

Exemple 1. Donada la matriu

Indica:

1.L’ ordre : (3,4)

2.Els elements a11 = 2 , a14 = 5 , a32= 0

3.Els termes de la segona columna: -1, 1,0

4.Els termes de la quarta fila: no hi ha quarta fila


Exemple 2. Escriu la matriu A d’ordre (3,2) tal que els seus elements de matriu venen donats per aij = 2i + j


1.2 TIPUS DE MATRIUS

Matriu quadrada

Matriu rectangular

Matriu fila

Matriu columna

Matriu nul.la

Matriu oposada

Matriu transposada


Matriu quadrada

matriu en que el nombre de files i de columnes coincideixen

Ordre : ( n,n)

0752

A

2x2 3x3

A = ( 7)

1x1


Matriu rectangular

matriu en que el nombre de files i de columnes NO coincideixen

Ordre : ( n,m)

2x3

4x1

B=

3x2


Matriu fila:

matriu formada per una sola fila

Ordre : ( 1,n)

A = (1 3 5 7 9 ) A


Matriu columna

matriu formada per una sola columna

Ordre : ( n,1)

B=


Matriu nul.la:

matriu en la que tots els seus elements són nuls

33

000000000

O

23

000000

O


Matriu oposada d’una matriu

matriu que s’ obté canviant cadascun dels seus elements pel seu oposat


Matriu transposada d’una matriu

matriu que s’ obté intercanviant files per columnes

2x3 3x2

4x4 4x4

Matriu triangular superior

Matriu triangular inferior

Matriu diagonal

Matriu escalar

Matriu unitat o identitat

Matriu simètrica

Matriu antisimètrica

1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

Diagonals d’ una matriu quadrada

matriu en que el nombre de files i de columnes coincideixen


Matriu triangular superior

Matriu on tots els elements situats per sota de la diagonal principal són zeros.


Matriu triangular inferior

Matriu on tots els elements situats per sobra de la diagonal principal són zeros.


Matriu diagonal

Matriu que es a la vegada triangular superior i inferiorTots els seus elements són zero excepte els de la diagonal principal


Matriu escalar

Matriu diagonal on tots els elements de la digonal principal són iguals


Matriu unitat o identitat

Matriu escalar on tots els elements de la diagonal principal són 1


Matriu simètrica

Matriu on els elements cumpleixen


jiij aa A = AT

Matriu antisimètrica

Matriu on els elements cumpleixen


jiij -aa A = –AT

1.4.1 Suma i diferència de matrius

1.4.2 Producte d’ una matriu per un nombre

1.4.4 Producte de matrius

1.4.5 Potència d’ una matriu quadrada

1.4 OPERACIONS AMB MATRIUS

1.4.3 Transposada d’una matriu

La suma de dos matrius A=(aij), B=(bij) de la mateixa dimensió, es una altra matriu

S=(sij) de la mateixa dimensió que les matrius que es sumen i amb terme general S = (a ij + bij). La suma de les matrius A i B s’ indica per A+B.

Exemple:

En canvi , no es poden sumar.

La diferència de matrices A i B es representa per A–B, i es defineix com la suma de A amb l’ oposada de B : A–B = A + (–B)

Per tant, per a poder sumar dos matrius han de tenir la mateixa dimensió.

1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS

Per a sumar dos matrius A i B 3x3 amb les mateixes dimensions es sumen els corresponents elements: si A = (aij) y B = (bij) llavors A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )


• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Element neutre: A + 0 = 0 + A = A on 0 és la matriu nul.la.

• Element oposat: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriu –A (oposada) s’ obté canviant de signe els elements de A.

Siguin A, B i C tres matrius del mateix ordre es cumpleixen les següents propietats:

1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS Propietats de l’ addició de matrius.

• Conmutativa: A + B = B + A


• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C


• Element neutre: A + 0 = 0 + A = A on 0 és la matriu nul.la.


• Element oposat: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriu –A (oposada) s’ obté canviant de signe els elements de A.


Per a multiplicar un nombre real per una matriu, es multipliquen cada un dels elements de la matriu per aquest nombre.

Si A = (aij), llavors kA = (kaij)

k . A = k . (aij) = k·

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU

Aquesta operació sempre es pot fer independentment de la dimensió de la matriu.No cal que sigui quadrada

1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Element neutre: 1 · A = A

• Associativa mixta: k(hA) = (kh)A

Siguin A i B dos matrius del matei orden i k i h dos nombres reals es cumpleixen les propietats següents:

PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB



• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA


• Element neutre: 1 · A = A

092360543

092360543

1


• Associativa mixta: k(hA) = (kh)A

120624363024024

120624363024024

201465404

6603

12181512012

2

201465404

32201465404

32

1.3 TRANSPOSADA D’UNA MATRIU

Donada una matriu d’ ordre m x n, A = (aij), s’anomena matriu transposada de A, i es representa per At, a la matriu que s’ obté canviant les files per les columnas (o viceversa) en la matriu A.

És a dir:

1.3 TRANSPOSADA D’UNA MATRIU

Exemple: Si A =

1 2 3

4 5 6 llavors At =

1 4

2 5 3 6

I. Per a la matriu A, (At)t = A

II. Per a les matrius A i B, (A + B)t = At + Bt

III. Per a la matriu A i el nombre real k, (k . A)t = k . At

IV. Per a les matrius A i B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A és una matriu simètrica, At = A

Propietats de la matriu transposada:

Donades dos matrius A i B, el seu producte és altre matriu P els elements de la qual s’ obtenen multiplicant les files de A per les columnes de B (motiu pel qual han de coincidir). De manera más formal, els elements de P són de la

forma:

El nombre de columnes de A ha de coincidir amb el nombre de files de B. Si A té dimensió m x n i B dimensió n x p, la matriu P serà de ordre m x p,

no es poden multiplicar perquè el nombre de columnes de la primera matriu (1) no coincideix amb el nombre de files de la segona matriu (2)

Exemples:

Pij = ai · bkj amb k=1,….n

1.4 PRODUCTE DE MATRIUS

3x1 2x3

1.4 PRODUCTE DE MATRIUS

(aij)m,n . (bij)n,p =

Possible

files

columnes

(cij)m,p

El producte de matrius és possible quan coincideix el nombre de columnes d’ una matriu amb el nombre de files de l’ altre matriu.

1.4 PRODUCTE DE MATRIUSEl producte de la matriu

A = (a ij) =

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

per la matriu

B = (b ij) =

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbbbbbbbbbb

................

......

......

......

és la matriu C = A · B, tal que l’element que ocupa la posició ij és: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj

1.4 PRODUCTE DE MATRIUSExemple 1 :

Ordre A : (1,3)Ordre B: (3,1)

Ordre AB (1,1)

1.4 PRODUCTE DE MATRIUSExemple 2 :

Ordre A : (3,3)Ordre B: (3,3) Ordre AB (3,3)

1.4 PRODUCTE DE MATRIUSExemples directes :

PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS

I. Propiedat associativa. Per a les matrius A de dimensió mxn, B de dimensió nxp i C de dimensió pxr.

A . (B . C) = (A . B) . C


II. Propiedat distributiva per l’ esquerra. Per a les matrius A de dimensió mxn, B de dimensión nxr i C de dimensión nxr.

A . (B + C) = A . B + A . C


III Propiedat distributiva per la dreta .Per a les matrius A de dimensión mxn, B de dimensión mxn i C de dimensión nxp.

(A + B) . C = A . C + B . C


IV. Propietat conmutativa : NO s’acostuma a cumplir.

ABBA


IV. Propietat conmutativa : NO s’acostuma a cumplir. ABBA


IV. Propietat conmutativa : Només es cumpleix en dos casos

1) Si les dues matrius a multiplicar són diagonals quadrades del mateix ordre

A

400030002

B

200030001

BA

800090002

200030001

400030002

AB

800090002

400030002

200030001


IV. Propietat conmutativa : Només es cumpleix en dos casos

2) Si les dues matrius a multiplicar són quadrades del mateix ordre i una d’elles és la matriu identitat ( l’altra matriu pot ser qualsevol)

A

601543012

I

100010001

IA

601543012

100010001

601543012

AI

601543012

601543012

100010001

1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADASi A és una matriu quadrada, les potències de A, d’ exponent natural, es defineix com en el cas dels nombres naturals: l’ exponent indica el nombre de vegades que es multiplica la matriu per si mateixa

An = A . A . ........... . A

Exemple 1:

A

3215

A2

114227

3215

3215

AA

B

062135

B2

062135

062135

BB

2x3

2x3

No es poden multiplicar!!!

1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA

Exemple 2:

1011

A

1021

1011

1011

AAA2

1041

1031

1011

AAAAAAA 34

1031

1021

1011

AAA 23

101

1011

1011

AAAAA 1-

veces-

nnn

n

n


Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal principal a l’exponent indicat

A

5002

A2

25004

5002

5002

AA

A2

25004

5002

5002

2

22



B

300010002

B5

243000100032

3000)1(0002

300010002

5

5

55

B5 ... BBBBB MOLT LLARG!!



C

100010001

C13 C

100010001

1000)1(0001

100010001

13

13

1313

C78 I

100010001

1000)1(0001

100010001

78

78

7878

senarésnsiCparellésnsiI

C n

........

Matrius

Education

Transcript of Matrius