Anlisis Matemtico II8 Mximos y mnimos

Docentes : Lic.Bruno MeszProf. Luciana Volta

Ejercicio 1Encontrar los puntos crticos de las siguientes

funciones y verificar que son puntos de ensilladuraa > f Hx, yL = x2 y2b > f Hx, yL = x3 + y3 3 xc > f Hx, yL = x y

Ejercicio 2a > Calcular los puntos crticos de f Hx, yL = x2 + y4 y de g Hx, yL = x4 + y4y sus hessianos en dichos puntosb > Justificar que f y g tienen un mnimo en sus puntos crticos

Ejercicio 3Hallar los extremos relativos de las siguientes funcionesa > f Hx, yL = x2 + 3 xy + y2 b > f Hx, yL = x2 xy + 2 y2 + 4 x c > f Hx, yL = x2 + x y + y2d > f Hx, yL = x x sen y

Ejercicio 4Sea f Hx, yL = Iy 3 x2M Iy x2MProbar quea > D HHf H0, 0LL = 0b > H0, 0L es un punto de ensilladurac > f tiene un mnimo relatvo en H0, 0L en cada recta que pasa por H0, 0L, o sea : si y = m x,entonces f Hx, m xL tiene un mnimo relativo para cualquier m y pasa lo mismo si la recta es x = 0

Ejercicio 5Sea f Hx, yL = Iy x2M Iy 2 x2MProbar que H0, 0L es un punto de ensilladura. Sugerencia : representar y =

x2 e y = 2 x2 y mostrar dnde f es positiva y negativa.

Ejercicio 6Hallar mximos, mnimos y puntos de ensilladura de

a > f Hx, yL = H2 x + 1 yL2b > f Hx, yL = x3 + 3 x2 4 x y + y2c > f Hx, yL = 10 x2 + 10 y2 + 12 x y + 2 x + 6 y + 1

f > f Hx, yL =4

x+

2

y+ xy

d > f Hx, yL = 1+x2+y2

e > f Hx, yL = x2 + y2 + x y

f > f Hx, yL = x3 + y2 +1

x2 + y2

g > f Hx, yL = ln I2 x2 + 2 y2 + 2 x y + 2 x + 1Mh > f Hx, yL = Hx yL2 + 1 + 2 Hx yLi > f Hx, yL = I2 x x2M I2 y y2Mj > f Hx, y, zL = 2 x2 + 2 y2 + z2 2 x y + 2 x z + 2 y + 1

Ejercicio 7Hallar los extremos de f sujeta a la restriccin indicadaa > f Hx, y, zL = x y + z x2 + y2 + z2 = 2b > f Hx, yL = x y x2 y2 = 2c > f Hx, yL = x2 + y2 2 x + y = 1d > f Hx, yL = xy x + y = 10e > f Hx, y, zL = x2 + y2 + z2 x + y + z = 6

f > f Hx, yL = 6 x2 y2 x + y 2 = 0g > f Hx, y, zL = 3 x + y + 10 x2 y = 6h > f Hx, yL = x2 + 2 y2 x2 + y2 = 1

Ejercicio 8Hallar los extremos relativos de f en A

a > f Hx, yL = x4 + y4 x2 y2 + 1 A = 9Hx, yL 2 x2 + y2 1=b > f Hx, yL = x2 2 x y + 2 y A = 9Hx, yL 2 0 x 3, 0 y 2=c > f Hx, yL = 3 + xy x 2 y A es la regin triangular cerrada con vrtices H1, 0L,H5, 0L, H1, 4Ld > f Hx, yL = x + 3 y + 6 A es el cuadriltero

formado por la interseccin de las cuatro rectas siguientes :

2 x + y = 31

3 x + y =

2

3 4 x + y = 14

3

5 x + y = 3

e > f Hx, yL = x2 + y2 A = 9Hx, yL 2 x2 + y2 = 1=HSugerencia : Usar que x = cos t e y = sen t, 0 t 2 L

f > f Hx, y, zL = x . y x2 + 4 y2 = 1

Ejercicio 9Determinar utilizando multiplicadores de Lagrange los puntos sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 4,que estn ms cercanos y lejanos del puntoH3, 1, 1L.Hsugerencia : utilizar la funcin distancia al cuadradoL

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