Mcg
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M´ ınimos Cuadrados Generalizados Rom´ an Salmer´ onG´omez Los dos ´ ultimos temas de la asignatura han estado enfocados en estudiar por separado la relajaci´ on de las hip´ otesis de que las perturbaciones est´ en incorrelacionadas y tengan varianza constante. Aunque ambos problemas no suelen suceder conjuntamente, en este documento se analiza el caso m´ as general presentando el estimador por M´ ınimos Cuadrados Generalizados (MCG) como corrector de dichos problemas de forma simult´ anea. Los problemas que surgen en esta situaci´ on derivan del hecho de que la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones no es un escalar por la matriz identidad, es decir, la varianza puede no ser constante y las covarianzas ser distintas de cero. Se examinan tambi´ en las consecuencias que ´ esto tiene sobre las propiedades de los estimadores MCO de los coeficientes del modelo y sobre el estimador de la varianza de las perturbaciones. Tambi´ en se evaluan las implicaciones que esta nueva situaci´ on tiene sobre la utilizaci´ on de las expresiones habituales para realizar los contrastes de hip´ otesis que se han considerado hasta ahora. Este punto es muy importante para que el alumno entienda que los resultados que se obtienen al estimar por MCO est´ an siempre condicionados al cumplimiento de las hip´ otesis del modelo. 1. Hip´otesis del Modelo. Matriz de varianzas y covarianzas no es- calar El modelo lineal uniecuacional m´ ultiple (con n observaciones y k regresores) responde a siguiente expresi´ on matricial y n×1 = X n×k · β k×1 + u n×1 , (1) donde E[u]=0 n×1 y V ar(u)= E[u · u t ]= σ 2 · I n×n (esto es, la matriz de varianzas-covarianzas de la perturbaci´ on aleatoria es escalar o, equivalentemente, las perturbaciones son esf´ ericas). Las condiciones anteriores sobre la perturbaci´ on aleatoria implican que la misma est´ a centrada (E[u t ] = 0, ∀t), es homoced´ astica (E[u 2 t ]= σ 2 , ∀t) e incorrelada (E[u i · u j ] = 0, ∀i 6= j ). Luego, para un an´ alisis correcto del modelo, adem´ as de la estimaci´ on y validaci´ on del mismo, se deben de comprobar como ciertas dichas hip´ otesis. Ahora bien, ¿y si dichas hip´ otesis no se verifican? En tal caso el estimador por m´ ınimos cuadrados ordinarios deja de ser ´ optimo (en el sentido de m´ ınima varianza) y existe un estimador alternativo superior. Planteamos el problema de analizar el modelo (1) bajo las hip´ otesis E[u]=0 n×1 y E[u · u t ]=Σ n×n donde Σ= σ 2 1 σ 12 ... σ 1n σ 21 σ 2 2 ... σ 2n . . . . . . . . . . . . σ n1 σ n2 ... σ 2 n . Advi´ ertase que la matriz anterior implica que E[u 2 t ]= σ 2 t 6= σ 2 , ∀t (heteroscedasticidad) y que E[u i · u j ]= σ ij 6= 0, ∀i 6= j (autocorrelaci´ on). Adem´ as, por cuestiones de notaci´ on se suele considerar que Σ = σ 2 · Ω y hablaremos de un modelo con matriz de varianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esf´ ericas. 1
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minimos cuadrados restringidos
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Mnimos Cuadrados GeneralizadosRom anSalmer onGomezLosdos ultimostemasdelaasignaturahanestadoenfocadosenestudiarporseparadolarelajaciondelas hipotesis de que las perturbaciones esten incorrelacionadas y tengan varianza constante. Aunque ambosproblemas no suelen suceder conjuntamente, en este documento se analiza el caso mas general presentandoelestimadorporMnimosCuadradosGeneralizados(MCG)comocorrectordedichosproblemasdeformasimultanea.Los problemas que surgen en esta situacion derivan del hecho de que la matriz de varianzas y covarianzasde las perturbaciones no es un escalar por la matriz identidad, es decir, la varianza puede no ser constanteylas covarianzas ser distintas decero. Seexaminantambienlas consecuencias queestotienesobrelaspropiedadesdelosestimadoresMCOdeloscoecientesdelmodeloysobreelestimadordelavarianzadelas perturbaciones. Tambien se evaluan las implicaciones que esta nueva situacion tiene sobre la utilizaciondelasexpresioneshabitualespararealizarloscontrastesdehipotesisquesehanconsideradohastaahora.Este punto es muy importante para que el alumno entienda que los resultados que se obtienen al estimar porMCO estan siempre condicionados al cumplimiento de las hipotesis del modelo.1. HipotesisdelModelo.Matrizdevarianzasycovarianzasnoes-calarEl modelo lineal uniecuacional m ultiple (con n observaciones y k regresores) responde a siguiente expresionmatricialyn1 = Xnk k1 +un1, (1)dondeE[u] =0n1yV ar(u) =E[u ut] =2 Inn(estoes, lamatrizdevarianzas-covarianzasdelaperturbacion aleatoria es escalar o, equivalentemente, las perturbaciones son esfericas).Las condiciones anteriores sobre laperturbacionaleatoriaimplicanque lamismaestacentrada(E[ut] =0, t), eshomocedastica(E[u2t] =2, t)eincorrelada(E[ui uj] =0, i =j). Luego, paraunanalisiscorrectodel modelo, ademasdelaestimacionyvalidaciondel mismo, sedebendecomprobarcomo ciertas dichas hipotesis.Ahorabien, y si dichashipotesisnoseverican?En tal casoel estimador por mnimoscuadradosordinarios deja de ser optimo (en el sentido de mnima varianza) y existe un estimador alternativo superior.Planteamos el problema de analizar el modelo (1) bajo las hipotesis E[u] = 0n1 y E[u ut] = nn donde =_____2112. . . 1n2122. . . 2n............n1n2. . . 2n_____.Adviertase que la matriz anterior implica queE[u2t] =2t =2, t (heteroscedasticidad) y queE[ui uj] =ij = 0, i = j(autocorrelacion).Ademas, por cuestiones de notacion se suele considerar que =2 y hablaremos de un modelocon matriz de varianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esfericas.12. PropiedadesdelestimadorMCOconperturbacionesnoesferi-casPuesto que en el metodo de estimacion por mnimos cuadrados ordinarios no inuye la matriz de varianzas-covarianzasdelaperturbacionaleatoriaesclaroqueel estimadorpormnimoscuadradosordinariosdelmodelo (1) con perturbaciones no esfericas sera:MCO =_XtX_1Xty. (2)Dicho estimador sigue siendo lineal e insesgado, ya que las condiciones que conducen a vericar dichaspropiedades en el modelo con perturbaciones esfericas no se han modicado (las demostraciones son identicasa tal caso). Sin embargo, ya no se tiene asegurado que la varianza sea mnima, ya que en este caso se obtienela siguiente expresion:V ar_MCO_= _XtX_1XtE[u ut]X_XtX_1= 2_XtX_1XtX_XtX_1,distinta a la del modelo con perturbaciones esfericas:2(XtX)1.3. Estimaci onporMnimosCuadradosGeneralizados. Propieda-desEn el apartado anterior hemos comprobado que en un modelo con perturbaciones no esfericas el estimadorpormnimoscuadradosordinarioseslineal einsesgadoperonotenemosaseguradoqueseaoptimo(enelsentido de varianza mnima).Para resolver este problema surgen los mnimos cuadrados generalizados. Dicho metodo consiste entransformar un modelo con perturbaciones no esfericas en otro con perturbaciones esfericas, de forma que alaplicarle a este ultimo el metodo de mnimos cuadrados ordinarios se obtenga un estimador lineal, insesgadoy optimo.En dicha transformacion es fundamental el teorema de Aitken, el cual arma que al ser una matrizsimetrica denida positiva entonces existe una matriz regular,T, tal queTtT= 1(en tal caso se vericaque = T1_T1_t, de donde se deduce queTTt= Inn).Partiendo del modelo (1) con perturbaciones no esfericas y premultiplicando el mismo por una matriz noestocastica,P, se obtiene:Py = PX +Pu y = X +u,dondey = Py,X = PXyu = Pu.Si se estudian las propiedades de la perturbacion aleatoria del modelo transformado obtendremos que:E[u] = E[Pu] = PE[u] = 0n1,E[u ut] = E[PuutPt] = PE[uut]Pt= 2PPt.De la expresiones anteriores se deduce que siPPt= Inn, entonces el modelo transformado es un modelocon perturbaciones esfericas.Adviertasequeenlatransformacionrealizadanosehanmodicadolascantidadesconstantesdelmodelo que se desean estimar.ExistePtal quePPt=Inn?Enefecto, usandoel teoremadeAitken, sinmasqueelegirP=Ttenemos asegurado que se verica tal hecho. Por tanto, el modelo transformado es un modelo lineal m ultipleconperturbacionesesfericas,porloquealaplicarlemnimoscuadradosordinariosseobtieneunestimadorlineal, insesgado y optimo:MCO =_XtX_1Xty.2Dicha estimacion recibe el nombre de estimador por Mnimos Cuadrados Generalizados (MCG). Sin mas quedeshacer el cambio:MCG= _XtPtPX_1XtPtPy= _Xt1X_1Xt1y, (3)V ar_MCG_= 2_XtX_1= 2_XtPtPX_1= 2_Xt1X_1,donde la matriz de varianzas-covarianzas es mnima.Los estimadores obtenidos hasta el momento se pueden resumir en la siguiente tabla:Modelo con perturbaciones esfericas
MCO = (XtX)1Xty lineal, insesgado y optimoV ar_MCO_= 2(XtX)1Modelo con perturbaciones no esfericas
MCO = (XtX)1Xty lineal e insesgado (no optimo)V ar_MCO_= 2(XtX)1XtX (XtX)1
MCG =_Xt1X_1Xt1y lineal, insesgado y optimoV ar_MCG_= 2_Xt1X_13.1. Estimadordelavarianzadelaperturbaci onaleatoriaEnlaestimaciondeunmodelosetienecomoobjetivolascantidadesconstantesdelmismo,porloquefaltara estimar la varianza de la perturbacion aleatoria.A partir del modelo transformado es evidente que un estimador insesgado de la varianza de la per-turbacion aleatoria es:2MCO =eten k,dondee = y y = y XMCG = Py PXMCG = P(y XMCG) = Pe.En tal caso,ete = etPtPe = et1e, por lo que: 2MCG =et1en k,dondee = y XMCG.4. Estimaci onporintervaloycontrastedehip otesisPartiendo del modelo transformado, la estimacion por intervalo y los contrastes de hipotesis se realizanigual que en el modelo lineal m ultiple con perturbaciones esfericas sin mas que deshacer el cambio anterior-mente planteado. En tal caso obtendremos las siguientes expresiones:MCG N_, 2_Xt1X_1_,3(n k) 2MCG2 2nk,_RMCG r_t_R_Xt1X_1Rt_ 2MCG_RMCG r_ Fq,nk,a partir de las cuales se puede realizar inferencia en el modelo.5. LosestimadoresminimocuadraticosgeneralizadosfactiblesComo se pone de maniesto en las expresiones anteriores, para el calculo de MCG se requiere conocer lamatriz . Como en la practica dicha matriz es desconocida, habra que estimarla, obteniendose as el estimadorpor mnimos cuadrados generalizados factibles (MCGF):MCGF=_Xt1X_1Xt1y,donde es una estimacion de .Enlostemasdedicadosaheteroscedasticidadyautocorrelacionsehanestudiadolasformasmascomunes de la matriz en cada caso y, por tanto, como estimarla.6. ReexionAl compararlasexpresiones(2)y(3), juntoasuscorrespondientesmatricesdevarianzas-covarianzas,observamos que coinciden cuando = Inn.... En consecuencia, no hay ninguna razon por la que deba imponerse como matriz de covarianzasdel estimadorMCOunaexpresionrestringidacomoes 2(XtX)1, sinoquemasbienbederautilizarse2(XtX)1XtX (XtX)1y permitir as que en las circunstancias apropiadas (cuando no hay heterosce-dasticidad ni autocorrelacion) dicha matriz se reduzca numericamente a2(XtX)1.Portanto, laexpresion2(XtX)1XtX (XtX)1esrealmentelamatrizdecovarianzasdel es-timadorMCO. Comoyahemosmencionado, nosetratadediscutirsi enunmodeloderegresionexisteheteroscedasticidad y/o autocorrelacion, sino que mas bien, dando como un hecho el que ambos problemasestan siempre presentes en todo trabajo econometrico, entonces la cuestion reside en analizar en que medidaaparecen en cada aplicacion emprica...Novales (1988). Econometra (pagina 164).7. Ejemplos1. DadoelmodeloYt = 0 +1Xt,conlasobservacionesYtXt10 135 345 5Sesabequelamatrizdevarianzas-covarianzasdelasperturbacioneses2,dondeesiguala: =__1 0
6 0
20
6 0
8 0
60
2 0
6 0
9__4a)Sonestocasticamenteindependientesu1,u2yu3?b)Estimasey2porMCO,ascomolamatrizdevarianzascovarianzasdelestimadorMCO.c)Estimasey2porMCG,ascomolamatrizdevarianzascovarianzasdelestimadorMCG.Unavezmaslamatrizindicaquehayheteroscedasticidad(elementosdeladiagonal principal noconstante) y autocorrelacion (elementos de fuera de la diagonal principal no nulos), luego la perturbacionaleatoria para distintos instantes de tiempo no puede ser independiente. En este caso, las estimacionesobtenidas por MCO no seran optimas, al contrario que las obtenidas por MCG.A continuacion, con el objeto de comparar dichas estimaciones, calcularemos las estimaciones de,2yV ar__ por ambos metodos.En el caso de los MCO se obtiene:MCO= _XtX_1 Xty =_3 99 35_1_90340_=_1
4583 0
3750
375 0
125__90340_=_3
758
75_, 2MCO=et en k=37
53 2= 37
5,V ar__MCO= 2MCO _XtX_1= 37
5 _1
4583 0
3750
375 0
125_=_54
6875 14
062514
0625 4
6875_,donde se ha tenido en cuenta que:e = y y = y X MCO =__103545____1 11 31 5___3
758
75_=__103545____12
53047
5__=__2
552
5__.Mientras que en el de los MCG:MCG= _Xt1X_1 Xt1y =_1
7568 5
54055
5405 28
2432_1_48
6486241
8919_=_1
4929 0
29290
2929 0
0929__48
6486241
8919_=_1
78578
2143_, 2MCG=et 1 en k=321
42863 2= 321
4286,V ar__MCG= 2MCG _Xt1X_1= 321
4286 _1
4929 0
29290
2929 0
0929_=_468
75 120
5357120
5357 40
1786_,donde se ha tenido en cuenta que:e = y y = y X MCG =__103545____1 11 31 5___1
78578
2143_5=__103545____10
000026
428642
8571__=__0
00008
57142
1429__,y1=__2
4324 2
8378 1
35142
8378 5
8108 3
24321
3514 3
2432 2
973__.En ambos casos se ha usado queX =__1 11 31 5__, y =__103545__, n = 3, k = 2.Por tanto, la estimacion por MCO sera:Yt = 3
75 + 8
75 Xt, 2= 37
5.(7
4) (2
16)mientras que por MCG:Yt = 1
7857 + 8
2143 Xt, 2= 321
4286.(21
65) (6
34)2. Enunmodelolineal dadoporlaexpresionYt=0 + 1Xt + utdel quesedisponedelossiguientesdatos:X Y2 5-4 -17 8AdemassevericaqueE[u] = 0yE[uut] = 2,siendo =__3 1 11 5 11 1 3__Sepide:a)Comentequesupuestosbasicosdel modelolineal general nosevericaqueenestecaso.b)Estimeelmodeloanteriorusandoelmodeloqueconsidereoportuno.Puestoqueloselementosdeladiagonal principal denosonconstantesylosrestantesnonulos,esclaroquelaperturbacionaleatoriadel modelopresentaralosproblemasdeheteroscedasticidadyautocorrelacion. Por tanto, habra que aplicar el metodo de los mnimos cuadrados generalizados pararesolver dichos problemas: = _Xt1X_1 Xt1y =_1
0000 1
66671
6667 17
0556_1_417
5_=_1
1946 0
11670
1167 0
07__417
5_=_2
73540
7588_,6donde se ha usado queX =__1 21 41 7__, y =__518__, 1=__0
3889 0
0556 0
11110
0556 0
2222 0
05560
1111 0
0556 0
3889__.Luego, la estimacion por MCG sera Yt = 2
7354 + 0
7588 Xt.7
