I

1 ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Modelos matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Crecimiento de una colonia de moho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Módulo

1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

“Lo que observamos no es la naturaleza en si misma sino la naturaleza

expuesta a nuestros métodos de indagación.”

Werner Heisenberg (1901 - 1976)

1.1 Introducción.

¿Qué es el cálculo diferencial e integral? ¿Por qué es útil conocer sus ideas? ¿Qué tipode problemas permite resolver? ¿Es imprescindible aprenderlo?

El cálculo infinitesimal, o simplemente cálculo como también suele llamarse, se desarrollóa lo largo de la historia de una manera no muy diferente ni especial al desarrollo de otras ramasde las matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyóen forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos,ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo.

Figura 1.1: Euclides (izquierda). Ar-químedes (derecha).

Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquí-medes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueronlos árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hastaque en el Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica comometodología para conocer e intentar explicar los fenónemos de la naturaleza. En esta etapa, lahistoria del cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, eldesarrollo y la formalización (ver Figura 1.2).

Figura 1.2: Línea de tiempo correspondiente a los tres períodos que comprenden el desarrollo del cálculo.

Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitospara encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa dedesarrollo, Issac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todasestas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del sigloXIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos entérminos de límite de funciones numéricas y sucesiones. El reduccionismo es un término de

la sociología que se utiliza para de-nominar el proceso mediante el cualse quieren explicar los fenómenos deuna ciencia con los términos y pro-cedimientos de otra. Se dice que unaciencia es reducida a otra cienciamás general.

Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útilespara explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía.Sus desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica,el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc.

En las ciencias químicas o las ciencias biológicas la relación con el cálculo diferencial

e integral se establace quizás de manera indirecta, o en términos reduccionistas, a travésde la física y los conocimientos generados en los estudios del movimiento de partículas, lacomposición de la materia, la termodinámica, la cinética de gases, transporte de energía, etc.Por ejemplo, es común que en los procesos biológicos aparezcan términos como: circulación

4 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

de la sangre, bombas, presión, conexiones nerviosas, redes neuronales, dinámica poblacional,etc. O en el caso de sistemas químicos, se considere la intervención de una gran cantidad demoléculas que, desde el punto de vista mecánico, se mueven y colisionan en forma aleatoria.

Otras áreas de la matemática apare-cen en las ciencias naturales apor-tando sus estructuras en otro tipode modelos, tales como los mode-los geométricos en la estructura delADN o en la conformación de na-notubos, la teoría de grafos en lasredes neuronales, la teoría de sime-trías en la estructura de los cristales,la estadística, etc.

Pero la relación más profunda entre la matemática y las ciencias naturales se establecea través de la noción de modelo. En particular, los modelos matemáticos basados en elcálculo diferencial e integral porque involucran el estudio de cómo cambian o cómo varíanlos sistemas. Se trata del estudio de funciones, sus cambios y cómo son esos cambios. Laposición de un automovil cambia en función del tiempo transcurrido, la cantidad de glucosaen la sangre cambia según aumenta la cantidad de insulina, la velocidad a la que se realiza unareacción química varía según la temperatura.

Presentaremos una versión resumida de la noción de modelo en la construcción delconocimiento científico. Los interesados en profundizar sobre el tema pueden consultar:

La noción de modelo en Ciencias. Olimpia Lombardi. Educación en Ciencias. Vol. II. Nro. 4.

https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw

1.2 Modelos matemáticos.

La relación entre la matemática y las ciencias naturales no se realiza de forma azarosao descontrolada; se enmarca en lo que se denomina modelos. Construimos modelos pararepresentar de alguna manera, alguna parte de la naturaleza, algún fenómeno o sistema realque es de nuestro interés.

C La palabra modelo tiene múltiples interpretaciones que van desde la moda, cosméticay belleza (las modelos de pasarela), la política (profundización del modelo, modelode desarrollo) hasta la connotación normativa como sinómimo de ejemplaridad (elniño modelo). También existe en las matemáticas una concepción formalista de modeloasociado a los sistemas axiomáticos. Por eso es necesario determinar con alguna precisióna qué llamaremos modelo matemático y de esa manera evitar confusiones.

Sistema Real

Modelo 1

Modelo 2

.

.

.

Modelo n

No existe el modelo del sistema.

Figura 1.3: Esquema orientativo so-bre diferentes modelos que puedenrepresentar a un mismo sistema.

Comenzamos diciendo que no existe el modelo de un sistema real dado, sino una multi-plicidad de modelos según los factores que se eligen, los postulados, las estructuras, etc. Laelección del modelo a utilizar depende del interés de cada caso particular (ver Figura 1.3).

Un sistema real es un sistema complejo, que involucra una gran cantidad de factores, porlo que se vuelve complicado – y a veces imposible - tener en cuenta todas y cada una de lasmúltiples características de sus elementos. Por este motivo se prefiere trabajar con sistemassimplificados e idealizados, abstrayendo y reduciendo el problema bajo estudio sólo a lasvariables que se consideran relevantes. Esta reducción es lo que en ciencias experimentales(biología, química, física, etc.) se denomina modelo.

Todos los modelos tienen un conjunto de definiciones y enunciados que le dan forma.Son las hipótesis teóricas que se hacen sobre el sistema. En muchas ocasiones (vale aclararque no siempre ocurre, ni necesariamente tiene que ser así), estos enunciados se escriben entérminos matemáticos. Cuando nos referimos a modelo matemático nos referimos entonces ala utilización de las herramientas matemáticas (funciones, geometría, etc.) y su propio lenguajematemático para modelar una situación correspondiente a un sistema real. Las herramientasmatemáticas podrían variar según las necesidades abarcando uno o varias disciplinas internas dela matemática como el cálculo infinitesimal, la matemática discreta, la teoría de probabilidades,la teoría de grafos, etc.

C En particular, en el marco del cálculo infinitesimal el planteo del modelo se realiza entérminos de las interacciones o las fuerzas que actuan en él y que producen cambios.El cálculo es, en esencia, el estudio del cambio, ¿cómo cambian las cosas? Y elconcepto matemático fundamental son las funciones como forma de relacionar dos omás cantidades numéricas.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 5

A partir de las hipótesis y enunciados de partida es posible deducir consecuencias sobre elmodelo y el supuesto comportamiento del sistema. La utilidad y la validez del modelo propuestose testea mediante las consecuencias que sean observables en el sistema real, de maneraaproximada, dentro de un margen de error considerado aceptable. Los datos experimentales

(datos empíricos) y las predicciones teóricas deben contrastarse para determinar el grado devalidez del modelo construido y funcionar como sistema de retroalimentación. En algunos casosse requiere hacer algunos ajustes; pero en otros casos corresponde abandonar completamenteel modelo.

En la Figura 1.4 se representa en forma esquemática la situación descripta anteriormente.

Sistema real(físico, químico, biológico, etc.)

Modelo matemático.Ecuaciones, definiciones, fórmulas.Generalizaciones, simplificaciones.

Teoría, hipótesis, marco teórico.

Resultadosexperimentales

Prediccionesteóricas

Comparación.Confrontación.

Se construye.

Se aplica sobre el modelo.

Figura 1.4: Relación esquemática entre el modelo, el sistema real y la teoría.

Debemos distinguir los dos grandes niveles en la construcción de un modelo en las cienciasexperimentales:

El sistema real, yel modelo construido.

Entre ambos, sistema real y modelo, se establece una relación compleja. En general sucedeque hay elementos del sistema que se descartan y por lo tanto no aparecen en el modelo que seestá considerando. También puede darse el caso inverso, pueden existir elementos del modeloconstruido que no tienen su correspondiente en el sistema real.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas.

Lo detallado en la sección 1.2 corresponde formalmente a lo que se denomina modelo

determinista y se refiere al que construye un sistema de causas y consecuencias entre losacontecimientos. De tal manera que conociendo los valores de ciertas magnitudes sería posibledeterminar los acontecimientos futuros del sistema en su todo completo. Claro está que, al serlos modelos una simplificación, la relación causa-efecto está supeditada a las simplificacionesque se realizaron previamente. También se debe considerar que los datos observables nuncason accesibles con 100 % de precisión por lo que las comparaciones y deducciones se analizanen términos probabilísticos.

Existen otros modelos matemáticos, denominados modelos empíricos o modelos esta-

dísticos, que se construyen sólo a través de los datos experimentales observados sin que sepretenda que los datos recolectados sigan una relación de causa-efecto asociada a alguna ley

6 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

propia del sistema. En estos modelos empíricos las predicciones se realizan al ajustar losdatos a algún modelo funcional que sea lo más sencillo posible sin dejar de ser representativode la situación. Las descripciones se realizan en términos estadísticos.

Para enfatizar lo anterior recomendamos visitar el sitio web:

http://tylervigen.com/spurious-correlations

en el que se presentan estudios estadísticos que correlacionan variables tan dispares como:

Número de personas que se caen dentro de la pileta vs. cantidad de películas en las queaparece Nicolas Cage.Consumo per cápita de queso vs. el número de personas que mueren enredados en lassábanas.Consumo per cápita de muzzarella vs. cantidad de doctorados en ingeniería civil.

Los modelos estadísticos no pretenden establecer leyes ni explicar el por qué de la situación.No está dentro de sus posibilidades metodológicas.

En ambos casos de modelado matemático es común que incluso luego de ya haber logradoformular el sistema en estudio, la etapa de comparación experimental permite avanzar en elgrado de comprensión del sistema manipulando algunos parámetros numéricos del modelo ycontrastando con sistemas similares pero distintos.

1.4 Modelos lineales

Como primer acercamiento a los modelos matemáticos, desarrollaremos algunos modelos

lineales, pues son muy sencllos de construir y comprender.

Los dos primeros casos corresponden a modelos empíricos con datos para realizar unaregresión lineal utilizando el método de mínimos cuadrados. Luego se propone un modelodeterminístico con una dinámica lineal entre variables.

1.4.1 Tablas de crecimiento para niñas y niños de la República Argentina

Las tablas de crecimiento son herramientas poderosas para evaluar la salud de los niñosy las niñas. Se utilizan en medicina clínica para estudiar cómo crecen o ganan peso los niños yniñas en comparación con sus pares y estudiar el impacto de determinadas acciones para eltratamiento de enfermedades crónicas. Muy especialmente se utilizan para estudiar la velocidadde crecimiento de los individuos.

Se elaboran estudiando la altura y el peso en diferentes edades agrupándolos y analizandoel porcentaje de niños y niñas debajo de cada una de las medidas que se desea estudiar. Porejemplo, sin que sea la manera más relevante, se estudia la “mediana” o “percentil 50” de laestatura como el valor con respecto al cual el 50 % de los individuos tiene una estatura menoro igual a este valor y el otro 50 % es más alto (mayor o igual). Para comprender su significadopodemos imaginar a todos los niños de 4 años parados y ordenados en una fila de acuerdo consus estaturas en orden creciente.

Figura 1.5: Población de niños de 4años desordenados.

1.4 Modelos lineales 7

Figura 1.6: Niños de 4 años en filaordenados de menor a mayor.

Caminando a lo largo de esta fila, llegamos a un punto entre dos niños donde la mitad estápor detrás y la otra mitad por delante de nosotros. La estatura correspondiente a este punto esel percentil 50.

Figura 1.7: Ubicación del percentil50 en la fila ordenada de niños.

Estudiaremos en esta actividad las tablas de crecimiento elaboradas por profesionalesdel Servicio de Crecimiento y Desarrollo del Hospital Nacional de Pediatría “Prof. Dr. JuanP. Garrahan” y publicadas en el año 2009. Hemos extraído una parte de la información delartículo referente a los datos numéricos del percentil 50 de la altura según la edad de niños yniñas de varias regiones del país.

En los siguientes links pueden acceder a los materiales completos:

Tablas de crecimiento. Hospital Nacional de Pediatría “Prof. Dr. juan P. Garrahan”.

http://www.garrahan.gov.ar/tablas-de-crecimiento/crecimiento-y-desarrollo/crecimiento-y-desarrollo-tablas-de-crecimiento

Referencias de peso y estatura desde el nacimiento hasta la madurez para niñas y niños argentinos.

Incorporación de datos de la OMS de 0 a 2 años, recálculo de percentiles para obtención devalores LMS. Año 2009.

https://drive.google.com/open?id=1IXJhPJVpC6cWkd7MEev5ig-4fNevyD8n

Figura 1.8: Hospital Nacional de Pe-driatría “Prof. Dr. Juan P. Garrahan”.

El estudio contempla datos recopilados de:

250 niños y niñas de 2 a 3 años del Hospital de San Roque (en Gonnet). La Plata, BuenosAires.1800 niños y niñas de 4 a 12 años seleccionados/as de la ciudad de La Plata en formaaleatoria a partir de los domicilios, sorteados sobre una fotografía aérea de la ciudad ysus manzanas. Año 1970.1800 niños y niñas de Córdoba. Año 1970.15200 estudiantes secundarios de todo el país de 12 a 19 años de 1985.Todas las muestras estuvieron constituidas por niños sanos y niñas sanas.

En la Tabla 1.1 se presenta un extracto de los datos recopilados y que utilizaremos para laactividad.

8 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Edad (en años) Altura de niños (en cm) Altura de niñas (en cm)

4 101,87 100,55 107,93 106,76 114,15 112,987 120,24 118,798 125,92 124,119 131,07 129,2210 135,76 134,5611 140,27 140,5612 145,35 147,0313 151,52 152,9114 158,39 157,1715 164,57 159,58

Tabla 1.1: Percentiles 50 de estaturas de niños y niñas. Extractos de los datos recopilados.

Por ejemplo, el percentil 50 para niñas de 7 años de edad es de 118,79 cm. Por lo tanto, el50 % de las niñas de 7 años analizadas tiene a lo sumo 118,79 cm de altura.

En las Figuras 1.9a y 1.9b se representan los datos consignados de la Tabla 1.1.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altur

a(e

ncm

)

(a) Niños.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altur

a(e

ncm

)

(b) Niñas.

Figura 1.9: Percentiles 50 de estaturas de niños y niñas correspondientes a la Tabla 1.1.

Actividad 1.1

a) Podemos observar que los puntos dibujados en cada sistema de ejes coordenadosno están alineados. ¿Cómo puede justificarse? Elijan uno de los sexos y muestrenanalíticamente que los puntos no están alineados.

b) Si bien no hay una recta que pase por todos los puntos a la vez, ¿hay alguna rectaque se pueda utilizar como alternativa? O sea, los puntos están “casi” alineados. Loque nos interesa es estudiar rectas que se aproximen a los puntos lo más posible.¿Qué recta utilizarían? ¿Con qué criterio la eligen? Determinen la ecuación de larecta elegida.

�

1.4 Modelos lineales 9

El problema consiste en elegir una recta que represente al conjunto de datos de la mejor

manera posible; para lo cual tendremos que decidir previamente, qué entendemos por “lamejor manera posible”. Considerando que las rectas están determinadas por la pendiente yla ordenada al origen buscamos una manera de elegir m (la pendiente) y b (la ordenada alorigen) para que la recta

y = mx + b

se aproxime lo mejor posible a los datos recopilados.

En este caso, hemos decidido tomar a

x como la variable en el eje horizontal asociada a la edad,y como la variable en el eje vertical asociada al percentil 50 de la altura.

Hay infinitas opciones posibles para elegir la recta. Tomaremos un ejemplo que nospermitirá definir una idea de error en la aproximación. Por ejemplo, en la Figura 1.10 semuestra la recta que pasa por los puntos correspondientes de niños de 9 y 10 años.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altur

a(e

ncm

)

Figura 1.10: Recta que pasa por los puntos con edades 9 y 10.

La recta no pasa por todos los puntos y parece no ser una buena elección. Es posible quesea una mala elección de la pendiente. Se observa (ver Figura 1.11 que hay puntos alejadosde la recta; algunos de ellos se encuentran por debajo de la recta y otros se encuentran porarriba de ella. Hay diferencia entre los valores observados (valores experimentales de la Tabla1.1) y los valores correspondientes a la recta.

El enfoque tradicional para medir el error y resolver este situación es elevar al cuadradocada diferencia entre el valor experimental y el valor del modelo y luego calcular el promedio.El valor que se obtiene se llama error cuadrático medio (ECM) y es el que tradicionalmentese utiliza para analizar qué tan buena es la recta elegida. El criterio que utilizaremos paradecidir si una recta es mejor que otra será estudiando los errores cuadráticos medios asociadosa cada una.

10 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altur

a(e

ncm

)

Diferencia positiva

Diferencia negativa

Figura 1.11: Diferencias entre los datos observados y la recta.

Actividad 1.2

a) Calculen la ecuación de la recta anterior y el correspodiente ECM.b) Calculen el ECM de la recta elegida en la actividad 1.1.c) Recopilar los datos de los ECM de otros grupos de estudiantes del aula que

seguramente eligieron una recta distinta en la actividad 1.1.�

Figura 1.12: Paso 1: acceder a laplanilla de cálculos.

Para calcular el error cuadrático medio asociado a un modelo lineal y una serie dedatos se puede utilizar la planilla de cálculos del .

Paso 1: Necesitaremos el clásico. Se accede mediante el linkhttps://www.geogebra.org/classic

Acceder a la Hoja de cálculo. Figura 1.12.Paso 2: Tipear los datos de edad y altura en las columnas A y B. Usar la primer fila

para los títulos de cada columna.Para ahorrar este paso pueden usar el siguiente link para un recurso conlos datos de la Tabla 1.1 ya cargados. https://ggbm.at/mrkCx7n8

Paso 3: La columna C se completará con los valores del modelo lineal que se analiza.En este caso la recta que pasa por los puntos de edades 9 y 10 (Figura 1.9).Completamos la celda C2 con la fórmula correspondiente a la ecuación de larecta que se está estudiando y apretamos ENTER.

= 4.69 ∗ A2 + 88.86

Paso 4: En la columna D calculamos el cuadrado de la diferencia entre las columnas By C.

= (B2 − C2)2

Paso 5: Usando el arrastre automático completamos las filas de la tabla. Figura 1.13.Paso 6: En la celda D14 calculamos el ECM promediando los valores de la columna D.

= SUMA(D2 : D13)/12

Figura 1.13: Paso 5: Arrastre auto-mático de las fórmulas.

El error cuadrático medio nos da una medida del error que se comete con la recta elegida:a) El ECM siempre es un número mayor o igual a 0.b) La única opción para que el ECM sea igual a 0 es cuando la recta elegida pasa exactamente

por todos los puntos experimentales.c) Si el ECM es un valor cercano a 0 quiere decir que la recta elegida está muy próxima

1.4 Modelos lineales 11

de los puntos experimentales.

Método de mínimos cuadrados.

El método de mínimos cuadrados es,desde su creación por el astrónomoy matemático francés Lagrange enel siglo XVII, el más usado de losmétodos estadísticos. El motivo desu popularidad es principalmente sufácil aplicación y siempre permiteuna respuesta explícita.

¿Cómo encontrar la recta con el ECM más cercano a cero posible para garantizar quehemos encontrado la mejor recta según este criterio? La respuesta a esta pregunta está enel método de mínimos cuadrados. Es el método que permite encontrar la pendiente y laordenada al origen de la recta que estamos buscando. Este método se desarrolla en el curso deAnálisis de datos y ahora lo utilizaremos con .

Determinaremos la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados.

Paso 1: Señalar el conjunto de datos de la tabla elaborada previamente. Corresponde alas celdas A2:B13.

Paso 2: Seleccionar la herramienta Análisis de regresión de dos variables

dentro del menú . Se abrirá una nueva ventana con los puntos graficados.Paso 3: En la nueva ventana seleccionar Modelo de regresión = Lineal.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altur

a(e

ncm

)

Datos experimentalesModelo inicial

Modelo Mínimos cuadrados.

Figura 1.14: Comparación entre los dos modelos lineales estudiados.

Actividad 1.3 Determinen la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados de losdatos asociados al grupo de niños y al grupo de niñas. �

Ninguna otra recta tendrá, para el mismo conjunto de datos (niños o niñas), un ECM másbajo que el obtenido por el método de mínimos cuadrados.

Analizando las unidades de las cantidades involucradas en los coeficientes y variables dela ecuación tenemos que:

La altura y de los datos tiene unidad de medida cm por lo tanto, tanto m.x como b debenestar en cm.Dado que la edad x está dada en años, entonces la pendiente m tendrá como unidadcm/año.

Hemos elaborado un modelo lineal mediante tratamiento de datos a través del método demínimos cuadrados para el crecimiento de niños y niñas en la Argentina. Con este modelomatemático, ¿qué tipo de preguntas pueden responderse? Vean si pueden completar la siguienteactividad.

12 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Actividad 1.4

a) ¿Cuál es la altura estimada para un niño de 7 años y 6 meses de edad?b) ¿Cuál es la altura que el modelo predice para los recién nacidos varones?c) Si una niña de 6 años tiene una altura de 110 cm, estimar qué tan alta será a los 7

años de edad.�

El modelo predice que la altura de un niño de 7 años y seis meses de edad será 122.10 cmy se determina sustituyendo x = 7.5 años en la ecuación de la recta. Este es un ejemplo deinterpolación porque se ha un estimado un valor desconocido pero que se encuentra entre

valores observados.

Chirridos porminuto

Temperatura(°C)

176 26.944185.6 25.833174.4 25.556140 23.056140 21.389130.4 20.000115.6 18.889110.8 18.333102 16.38981.5 13.88950 12.778144.8 22.500132 18.889116 20.278126.8 20.278124 20.000115 18.88994 15.000129.6 21.111124 20.556118 19.44490 16.25082.4 14.722140 22.222132.4 21.667126 20.556115.2 19.16785.2 15.556151.2 23.889148 22.917148.4 22.500144.8 21.111125.6 19.722120.8 18.889125.2 20.556104.4 17.222100.8 17.22294.64 16.11174 11.111110.8 18.333104 17.22286.8 15.000

Tabla 1.2: Chirridos por minuto ytemperatura de una especie de grillosen Nebraska.

El valor de 80.72 cm que predice el modelo para varones recien nacidos se obtienesustituyendo x = 0 años en la ecuación lineal. Este es un ejemplo de extrapolación porque seha predicho un valor en una edad que está fuera del rango considerado en las observaciones.Consecuentemente, estamos menos seguros acerca de la precisión de esa predicción. Más aún,nos resulta sospechoso el valor obtenido para un recién nacido.

Es posible responder el último punto de varias maneras: una manera sería evaluar en x = 7años, como se hizo en el primer punto, y así obtener el valor estimado de 118.20 cm. Otraopción, podría ser utilizar el valor de la pendiente de la recta, que es 5.54 cm/año: se estimaque la niña crezca 5.54 cm cada año. Por lo tanto,

110 cm + 5.54 cm = 115.54 cm

.

¿Cuáles son algunas limitaciones y cómo podrían mejorar el modelo?

La limitación más inmediata tiene que ver con el rango de edades con los que se cuenta enla Tabla 1.1. Por ejemplo, para predecir la altura de jóvenes varones de 25 años llegamos a218.66 cm, un valor que no resulta para nada razonable. Es recomendable analizar con máscuidado los resultados para aquellas edades que estén fuera del intervalo [4, 15].

1.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano?

En verano, durante las tardes o las noches, el canto de los grillos no pasa desapercibido;es difícil evitar escuchar ese “cri-cri” que emiten los grillos machos (los únicos que cantan)cuando intentan atraer a las hembras. ¿Cómo influye la temperatura ambiente en el “chirrido”de los grillos?

Actividad 1.5 Un método casero bastante popular en las provincias del norte dice que sepuede conocer la temperatura ambiente escuchando el cantar de los grillos. Hay que contarla cantidad de chirridos por minuto que se escuchan, dividiendo por 7 y luego sumando 4.Se considera en este caso que la temperatura está medida en grados Celsius. Determinenuna expresión algebraica que relacione la temperatura ambiente y la cantidad de chirridosdescripta por el método casero. Detallen las variables utilizadas y sus unidades. �

La Tabla 1.2, construida en base a los datos experimentales de un estudio realizado enColorado (Estados Unidos) en el año 2007, relaciona el promedio de la cantidad de chirridosde una especie de grillos emitidos durante un minuto con la temperatura ambiente en gradosCelsius.

Los datos están disponibles enhttps://www.globe.gov/explore-science/scientists-blog/archived-posts/sciblog/index.html_

p=45.html

1.6 Crecimiento de una colonia de moho. 13

Link de recurso conlos datos de la Tabla 1.2 ya cargados.https://ggbm.at/TjC5AyaG

Actividad 1.6 Utilicen para realizar las actividades:a) Representen gráficamente los datos de la tabla mediante un gráfico de puntos. En

el eje horizontal ubicar la cantidad de chirridos y en el eje vertical la temperatura.Incorpore al gráfico la recta asociada al método casero.

b) Realicen un ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados. Incorporen algráfico anterior la recta obtenida.

c) Describan la diferencia entre las rectas encontradas. ¿Cuál considera que aproximamejor los datos?

d) ¿Qué limitaciones aparecen desde el punto de vista biológico para utilizar estosmodelos?

e) ¿En qué rango de temperaturas son válidos?f ) ¿Cómo podría mejorarse la precisión del modelo determinado por mínimos cuadra-

dos?g) ¿Por qué cantan más los grillos en verano?

�

Las respuestas que pudieron desarrollar dan cuenta de la complejidad de la relación entre elproblema biológico y el modelo matemático. Es muy probable que las respuestas no hayan sidocompletas pero seguramente permiten apreciar cómo se aproximan el modelo matemático y elproblema biológico. Con el debido cuidado, nos permite apreciar cómo se usan las matemáticasy alguna de sus limitaciones.

La pregunta d) es de naturaleza biológica, y la matemática juega un papel pobre allí.Podríamos preguntarnos sobre las cuestiones biológicas que se estudian. Desde un punto devista práctico, este termómetro biológico tiene usos limitados. Los grillos generalmente cantansólo algunos meses en el año y durante la noche cuando la temperatura es superior a los 10° C.

Las preguntas e) y f ) resultan importantes por el vínculo entre el proceso de modeladomatemático y el problema biológico que se estudia. El rango de validez en cuanto a lastemperaturas determinan el dominio en el cual corresponderá usar el modelo. Generalmente,los límites para usar el modelo matemático están dados por los puntos entre los cuales se hanrecolectado los datos (o posiblemente ligeramente un poco más allá de los datos recolectados).En nuestro caso, los datos disponibles se encuentran entre los 9°C y los 27°C. Que es apropiadapara las noches en Colorado durante agosto y septiembre. El método casero, aunque alejadoun poco de los datos recopilados, es mucho más sencillo de utilizar en una noche de veranocon amigos.

La última pregunta g) puede ponerse también en términos de limitaciones del modelo. Elmodelo no puede responder a la pregunta de causalidad entre las dos variables. No hay unaexplicación del fenómeno que permita deducir cómo influye la temperatura ambiente en lafrecuencia con la que los grillos frotan sus patas traseras para generar el chirrido; sólo unacorrelación estadística de las observaciones. Será necesario conocer más sobre el metabolismoy la morfología del insecto para plantear alguna hipótesis de respuesta a la pregunta. Luegovendrán otras tantas como: ¿Por qué es tan difícil ubicar al grillo que canta cuando estamos enuna habitación? ¿Por qué cantan al unísono todos los grillos del campo?

Actividad 1.7 En las actividades previas ubicamos en el eje horizontal los valores corres-pondientes a los chirridos por minuto de los grillos y en el eje vertical a la temperaturaambiente. Sin embargo, es más natural que la variable independiente sea la temperaturadado que por algún mecanismo que desconocemos afecta al grillo haciendo que produzcamás chirridos por minuto. Encuentren, a partir de la ecuación obtenida en la Actividad1.6 item b) la ecuación lineal que represente la cantidad de chirridos en función de latemperatura. Estime la cantidad de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 21ºC.�

1.6 Crecimiento de una colonia de moho.

Nos proponemos ahora desarrollar brevemente un modelo determinista. O sea, ya nodesde el punto de vista estadístico ajustando datos. Examinaremos el crecimiento de una

14 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

colonia de moho que se forma en una medio líquido nutritivo. Por ejemplo, en las tazas de caféo té con azucar que quedan varios días sin limpiar en los escritorios. El moho está compuestoprincipalmente por hongos y bacterias. Crecen mejor en condiciones cálidas y húmedas.

Figura 1.15: Varias colonias demoho sobre la superficie de frascocon bebida kombucha.

En la Figura 1.16 se muestran imágenes fotográficas tomadas de una colonia de mohoque crece en la superficie de una mezcla de té y azúcar. Las imágenes fueron tomadas alas 10:00 hs cada mañana durante 10 días consecutivos. Debajo del recipiente se ubicó unagrilla cuadriculada con líneas separadas cada 2 mm. Para determinar cómo crece la coloniaestudiaremos el área que ocupa la colonia a medida que pasan los días. Consideraremos que elárea ocupada por el moho es una medida razonable del tamaño de la población.

C Nos interesa construir un modelo matemático que permita predecir el tamaño de lacolonia en los días siguientes; que pueda manipularse para estudiar otros casos decolonias circulares, etc.

Actividad 1.8 Antes de continuar con la lectura hagan una pausa aquí e intenten resolver elproblema planteado. Se requerirá observar las fotografías con atención, plantear algunashipótesis sobre el modo en que está creciendo la colonia, definir variables adecuadas yrelacionarlas mediante ecuaciones. �

Figura 1.16: Fotografías de una colonia de moho tomadas en días sucesivos. Las líneas del fondo están separadas en intervalos de 2milímetros.

Observamos de la serie de fotografías lo siguiente:a) Parece que la colonia crece en forma circular.b) El crecimiento de la colonia se produce en el borde de la región. O sea, el interior oscuro

de las fotos permanece estable y aparece un aro de color claro rodeando la colonia.c) El aro blanco alrededor de la colonia parece tener el mismo grosor todos los días.Tomando como supuestos los ítems anteriores especificaremos la siguiente notación:

Tomaremos t para indicar el día.Tomaremos

A0, A1, A2, . . . , A9

para indicar el área en mm2 de la colonia en los correspondientes días.

1.6 Crecimiento de una colonia de moho. 15

TomaremosR0, R1, R2, . . . , R9

para indicar el radio en mm de la colonia en los días correspondientes suponiendo quela colonia es circular.

En forma genérica tendremos que At y Rt indican el área y radio de la colonia en el día t.Siendo t un número natural entre 0 y 9 (inclusive).

Nos proponemos encontrar una fórmula que nos permita calcular At para distintos valoresde t mayores o iguales a 0.

At = ¿? para valores de t ≥ 0

De los supuestos anteriormente podemos plantear que el radio de la colonia aumenta cadadía un valor fijo que denominaremos K . O sea, K será el incremento diario que sufre el radiode la colonia al comienzo del día cuando fue fotografiada. Escrito en términos algebraicos sería

Rt+1 − Rt = K (1.1)

que es equivalente a

Rt+1 = Rt + K (1.2)

y luego

R1 = R0 + K (1.3)

R2 = R1 + K = (R0 + K) + K = R0 + 2K (1.4)

R3 = R2 + K = (R0 + 2K) + K = R0 + 3K (1.5)

(1.6)

y por lo tanto

Rt = R0 + t K (1.7)

La ecuación 1.7 es una relación lineal entre las variables t y Rt .En la Tabla 1.3 se presentan los valores de las áreas de la colonia determinados por

observación de las fotografías (faltan los datos correspondientes a los días 2 y 6). Con estosdatos es posible determinar valores aproximados para R0 y K .

Día Área (en mm2)

0 41 823 504 785 12667 2488 3269 420

Tabla 1.3: Valores observados delárea de la colonia en los días sucesi-vos

Actividad 1.9

a) Calculen valores aproximados de R0 y K y utilizarlos para determinar una fórmulapara

At = (1.8)

.b) Completen los valores del área para los días 2 y 6. Controlen los valores estimados

con el gráfico 1.17 y los correspondientes de las fotografías.

16 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

0 2 4 6 8

0

100

200

300

400

Tiempo - Días

Áre

ade

laco

loni

a-

mm

2

Figura 1.17: Valores observados del área de la colonia en los días sucesivos.

c) Mediante una hoja de cálculo en comparen los valores observados y los valoresque predice el modelo. ¿El modelo es adecuado? ¿Hace falta hacer alguna correccióno algún ajuste a la propuesta?

d) La fórmula 1.8 está determinada por los valores R0 y K aproximados medianteobservación. ¿Qué pasará en otras colonias de moho? El modelo permite predecirel comportamiento cambiando los valores correspondientes a R0 y K . Por ejemplo,grafiquen At vs. t para una colonia cuyo radio inicial (al comienzo de la observación)es de 1 mm y cada día el radio de la colonia aumenta 1 mm.

�

C El análisis realizado en el item d) es de orden teórico. Con el fin de estudiar el modelo yesta predicción faltaría realizar un experimento que permita contrastar con resultadosexperimentales.

1.7 Ejercitación. 17

1.7 Ejercitación.

Ejercicio 1.1 En cada caso, hallen la ecuación de la recta que satisface las condicionesmencionadas:

a) pasa por el punto (2,−3) y tiene pendiente −1

3b) pasa por el punto (7, 5) y tiene pendiente 0c) pasa por los puntos (3,−1) y (2,−1)d) pasa por los puntos (−1, 3) y (5,−3)e) corta al eje y en 2 y pasa por el punto (−2, 3)f) paralela a la recta 3x − 6y = 1 y pasa por el punto (1, 0)g) perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 y pasa por el putno (3, 2).

�

Ejercicio 1.2 Escriban la ecuación de una recta para cada una de las siguientes gráficas �

Ejercicio 1.3 Encuentren las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen que sonperpendiculares y paralelas a la recta y = 3 − 2x. �

Ejercicio 1.4 Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 0).¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen para esta recta? Grafiquen la recta. �

Ejercicio 1.5 La curva de crecimiento para períodos cortos puede considerarse una línearecta. Supongamos que la población de erizos blancos de mar tienen un diámetro medio de28 mm al comienzo de junio y de 3 mm al comienzo de julio. Estimen la media del diámetropara la población de erizos blancos de mar el 20 de junio, el 10 de junio, el 1 de agosto y el15 de agosto. ¿Cuál o cuáles de todas las respuestas es la más confiable? �

Ejercicio 1.6 Para un rango de valores, la absorbancia A leída por un espectrofotómetrovaría en forma lineal con la concentración del nickel (II), N . Si el espectrofotómetro no seencuentra correctamente calibrado a cero para la señal de referencia entonces se necesitausar la fórmula

A = kN + b

para algunas constantes k y b.a) Supogamos que una muestra con 0.02 mg/ml de nickel (II) da una absorbancia de

0.26 y una con 0.04 mg/ml de nickel (II) da una absorbancia de 0.44. Determimen loscorrespodientes valores para k y b considerando que la absorbancia es un número sinunidades.

b) Encuentren la absorbancia para una muestra con 0.035 mg/ml de nickel (II).

18 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

c) Encuentren cuánto nickel (II) hay en una muestra que da una absorvancia de 0.31.�

Ejercicio 1.7 Para un gas que se mantiene a volumen constante, la presión P dependelinealmente de la tempertura T . Luego, podemos escribir la ecuación

P = kT + b,

para algunas constantes k y b.a) Supongamos que se corre un experimento y se encuentra que cuando T = 0◦C,la

presión P = 760 mm de Hg. Y que cuando T = 100◦C, la presión P = 1040 mmde Hg. Encuentren las constantes k y b para la ecuación anterior (indicando susunidades).

b) El cero absoluto puede aproximarse encontrando dónde la presión es P = 0. Encuentrenla temperatura en ◦C para el cero absoluto a partir del item anterior.

�

Ejercicio 1.8 La tabla 1.4 muestra el crecimiento de un niño. Encuentren y grafiquen laecuación de la recta que relaciona M y a. Muestren que todos los puntos están sobre elgráfico. ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa la ordenada al origen?

�

Edad (a) Masa (M)

semana 1 1,5 kgsemana 2 2,1 kgsemana 4 3,3 kgsemana 8 5,7 kg

Tabla 1.4: Crecimiento de un niño.

Ejercicio 1.9 Todas las conversiones de mediciones, pesos, temperaturas, etc. son relacioneslineales. Usaremos esta información para determinar una fórmula que relacione la temperaturaen grados Celsius con la temperatura en grados Fahrenheit.

Estados Unidos es uno de los pocos países que usa la escala Fahrenheit para la temperatura.El punto de congelación del agua es 32◦F y 0◦C. El punto de ebullición del agua es 212◦F

y 100◦C (al nivel del mar). �

Ejercicio 1.10 La presión del aire suministrada por el regulador a un buzo varía linealmentecon la profundidad del agua. Cuando el buzo está a 33 pies, el regulador entrega 29.4psi (libras / pulgadas al cuadrado), mientras que a 66 pies, el regulador entrega 44.1 psi.Encuentren la presión de aire entregada en la superficie 0 pies, a los 50 pies, y a los 130 pies(la profundidad máxima para el buceo recreacional). �

Ejercicio 1.11 Encuentren una fórmula para convertir la temperatura en Celcius, c, en unatemperatura en Fahrenheit, f . �