Mec2 04 Din Relativa

Mecanica II

Tema 4

Dinamica relativa

Manuel Ruiz Delgado

8 de marzo de 2011

Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Fuerzas ficticias de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ejemplo de fuerzas de inercia: coord. polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Efectos de la fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Movimiento relativo a la superficie de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Equilibrio de la plomada: vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Forma de la tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Latitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Movimiento relativo al triedro orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

Movimiento relativo

2

O1y1

z1

O

yz

x

MF

Movimiento M/S1: Absoluto

Movimiento M/S0: Relativo

Movimiento S0/S1: Arrastre

S1 inercial Ley de Newton: F = m M21

S0 no inercial F 6= m M20

Composicion: 2/1 = 2/0 + 0/1

absolutaM21

=

relativaM20

+

arrastreM01

+

Coriolis 2 01 v

M20

=

= M20

relativa

+ O01

+ 01 OM+ 01 ( 01 OM) arrastre

+ 2 01 vM20

Coriolis

S0 inercial: F = m M20

{O01 0

01 0 Transf. de Galileo

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 17

Fuerzas ficticias de inercia

Ecuacion del movimiento relativo:

F = m M21 = m(M20

+ M01

+ 2 01 vM20

)Fm M

01m 2 01 v

M20

= F+ FIA + FIC = m M20

Fuerza de inercia de arrastre:

FIA = m M01

=

arrastre m O

01

azimutal m 01 OM

centrifuga m 01 ( 01 OM)

arrastre

Fuerza de inercia de Coriolis:

FIC = m 2 01 vM20


2

Ejemplo de fuerzas de inercia: coord. polares

Partcula sobre recta que gira en un plano:

r

x

x1

y1Movimiento relativo: r

Movimiento de arrastre: (conocida)

Fuerzas directamente aplicadas: Fx, Fy

Reaccion normal N

Fuerzas de inercia:

FIA = 0m r j+m2 r i FIC = 2m r j

Con lo que las ecuaciones del movimiento seran:

Ligada{Fx +m

2 r = mr

Fy +N m r 2m r = 0

Libre{Fx = mr m

2 r

Fy +N = m r + 2m r

Partcula libre: ecuaciones en coordenadas polares (ejes moviles)


Efectos de la fuerza de Coriolis

sin

sin

N

S

FIC = m 2 01 vM20

7, 292115 105 rad/s

g 9, 8 m/s2


3


B-P Cor

v

Coriolis

-P

A-P Cor

v

Coriolis

-P

Figura 1: Ciclon y anticiclon en el hemisferio Norte.



Figura 2: Ciclones y anticiclones en el hemisferio Norte y en el Sur


4

Movimiento relativo a la superficie de la Tierra

t

23o

O

M

Movimiento de M respecto a ejes fijos a la Tierra:

Atraccion del Sol, mAM

Atraccion de la Tierra, mAM

Otras fuerzas dadas, F

Fuerzas de inercia

Ecuaciones del movimiento

mM20 = F+mAM +mAM m[O01 +

+01 OM + 01 (01 OM)]m 201 vM20

Se puede simplificar


Movimiento relativo a la superficie de la Tierra

mM20

= F+

2

mAM +

3 mAM m

[ 2O01

+

+

1 ((((

((01 OM +

3 01 (01 OM)

]m 201 v

M20

1. 01 = k Cte. Error: 1015 m/s2

2. O01

= A AM (pert. Prob 2 cuerpos) Error: 106 m/s2

3. g = AM 01 (01 OM) Definicion de gravedad

mM20 = F+mg m 201 vM20


5

Equilibrio de la plomada: vertical

Horizontal

c a

N

AM

M M

g

2MM 0 = T+mAM m01 (01 OM)

Peso: mg = T

Vertical: direccion de T

g = AM cos (a c) 2MM

cosa

0 = AM sin (a c) 2MM

sina

c: latitud geocentrica; a: latitud astronomica

Direccion aproximada de la vertical: suponemos tierra esferica, MM= RE cosc,

AM = /R2

E , y cosa cosc:

sin(a c) = 2R3E

cosa sina 0, 00346 cosa sina


Forma de la tierra

Normal V

ertical

Horizontal

Geoide

Elipsoide

c g a

N

g

Primera aproximacion: esfera

Segunda aproximacion: efecto de la rotacion, elipsoidede revolucion

Modelo WGS84: RE =6378,137 km, Rp =6356,752 km,

achatamiento f =RERpRE

=1/298,257223563, diferenciaRE Rp = 21, 384 km

Tercera aproximacion: geoide: superficie equipotencial asociada al nivel medio de los oceanos

Cuarto nivel: descripcion detallada del suelo que se encuentra en los mapas, con todos susaccidentes e irregularidades.


6

Geoide

Ondulacion del geoide muy exagerada. Imagenes cortesa NASA.


Latitud

Normal V

ertical

Horizontal

Geoide

Elipsoide

c g a

N

g

Latitud geocentrica c: radio vector con el plano ecua-torial.

Latitud geodesica o geografica g: normal al elipsoi-de con el plano ecuatorial (mapas).

Latitud astronomica a: vertical local la normal algeoide con el plano ecuatorial (plomadas, niveles)

Desviacion de la vertical es la diferencia entre la latitud astronomica y la geodesica.

Coordenadas geograficas: longitud, Latitud geodesica o geografica g, altura sobre el elipsoide.


7

Movimiento relativo al triedro orbital

z1

x1

y1

R t

E

O

M

x

y

zOrbita circular de O: 01 =

R3

k1

mr = m

|EM|3EM+ FIA + FIC

Donde EM = (R+ x, y, z).

FIA = m[O01

+01 OM+ 01 (01 OM)]=

= m

R3

R00

+m R3

xy0

FIC = 2m01 r = 2m

R3

yx0



Normalmente, |OM| R (103): linealizar la gravedad

|EM|3 =(R2 + 2xR+

x2 + y2 + z2)3/2

(R2 + 2xR

)3/2= R3

(1 + 2

x

R

)3/2Desarrollo (1 + )3 = 1 3

2+ . . . , pues = 2x/R 1:

m

|EM|3EM =

m

R3(1 3x/R)

R+ xyz

=

= m

R3

R 3x+ x

3x2/Ry

3xy/Rz

3xz/R


8


Conservando solo terminos de orden x/R,

mr = m

R3

R 2x

yz

+m R3

R00

+m R3

x

y0

+ 2m

R3

yx0

Se llega a las ecuaciones de Hill:

x = 32 x +2 y

y = 2 x

z = 2 z

Gradiente de gravedad: variacion de la gravedad + fuerza centrfuga Plano orbital atractor, planohorizontal local repulsor



Las ecuaciones de Hill son lineales de coeficientes constantes y tienen solucion analtica: lasEcuaciones de Clohessy-Wiltshire

x = 4x0 + 2y0

(3x0 + 2

y0

)cos t +

x0

sin t

y = y0 2x0

+ 2x0

cos t + 2

(3x0 + 2

y0

)sin t 3 (y0 + 2x0) t

z = z0 cos t +z0

sin t

Utiles para la aproximacion final entre dos satelites:Dados x0, y0, z0 y x0, y0, z0 en t0, obtener el v (impulso del motor) que lleva a x = 0, y = 0, z = 0en t1. Cerca del origen hay que dar otro v para frenar.


9

Movimiento relativoFuerzas ficticias de inerciaEjemplo de fuerzas de inercia: coord. polaresEfectos de la fuerza de CoriolisEfectos de la fuerza de CoriolisEfectos de la fuerza de CoriolisMovimiento relativo a la superficie de la TierraMovimiento relativo a la superficie de la TierraEquilibrio de la plomada: verticalForma de la tierraGeoideLatitudMovimiento relativo al triedro orbitalMovimiento relativo al triedro orbitalMovimiento relativo al triedro orbitalMovimiento relativo al triedro orbital

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