Mecanica
14
2.13. Una caja de 45 kg está soportada por tres cables distribuidos como se muestra en la figura adjunta. Determinar la tensión de cada uno de los tres cables necesarios para su equilibrio. SOLUCION: Expresión Cartesiana de las Fuerzas = .( 2̂ − 3̂ + 8 √2 2 + (−3) 2 +8 2 ) = 0,227( )̂ − 0,341( )̂ + 0,911( ) = .( −2̂ − 3̂ + 8 √(−2) 2 + (−3) 2 +8 2 ) = −0,227( )̂ − 0,341( )̂ + 0,911( ) = .( 0̂ + 3̂ + 8 √0 2 +3 2 +8 2 ) = 0,351( )̂ + 0,936( ) = −441.45 Por Equilibrio = 0 + + + =0 0,227( )̂ − 0,341( )̂ + 0,911( ) − 0,227( )̂ − 0,341( )̂ + 0,911( ) + 0,351( )̂ + 0,936( ) − 441.45 =0 (0,227( ) − 0,227( ))̂ + (−0,341( ) − 0,341( ) + 0,351( ))̂ + (0,911( ) + 0,911( ) + 0,936( ) − 441.45) =0 Aplicando las ecuaciones de equilibrio: ∑ =0 0,227( ) − 0,227( ) =0 ∑ =0 − 0,341( ) − 0,341( ) + 0,351( ) =0 ∑ =0 0,911( ) + 0,911( ) + 0,936( ) − 441.45 = 0 Resolviendo las ecuaciones: = 121,301 = 121,301 = 235,691
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Problemas de Mecancia Aplicada
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2.13. Una caja de 45 kg est soportada por tres cables distribuidos como se
muestra en la figura adjunta. Determinar la tensin de cada uno de los tres
cables necesarios para su equilibrio.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= . (2 3 + 8
22 + (3)2 + 82) = 0,227() 0,341() + 0,911()
= . (2 3 + 8
(2)2 + (3)2 + 82) = 0,227() 0,341() + 0,911()
= . (0 + 3 + 8
02 + 32 + 82) = 0,351() + 0,936()
= 441.45
Por Equilibrio = 0 + + + = 0
0,227() 0,341() + 0,911() 0,227() 0,341() + 0,911()
+ 0,351() + 0,936() 441.45 = 0
(0,227() 0,227()) + (0,341() 0,341() + 0,351())
+ (0,911() + 0,911() + 0,936() 441.45) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,227() 0,227() = 0
= 0 0,341() 0,341() + 0,351() = 0
= 0 0,911() + 0,911() + 0,936() 441.45 = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 121,301 = 121,301 = 235,691
-
2.14. Determine la fuerza F requerida y el peso de la carga suspendida si se
sabe que la tensin que se ejerce en la cuerda OC es de 250 N.
SOLUCION:
En el punto O
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= . (2 1,5 2,5
(2)2 + (1,5)2 + (2,5)2) = 0,565() 0,424() 0,707()
= . (2 + 1 2,5
(2)2 + 12 + (2,5)2) = 0,596() + 0,298() 0,745()
= 250. (2 + 0 + 0
22 + 02 + 02) = 250
= . (1,5 + 0 + 2,5
(1,5)2 + 02 + (2,5)2) = 0,514() + 0,857()
Por Equilibrio = 0 + + + = 0
0,565() 0,424() 0,707() 0,596() + 0,298()
0,745() + 250 0,514() + 0,857() = 0
(0,565() 0,596() + 250 0,514()) + (0,424() + 0,298())
+ (0,707() 0,745() + 0,857()) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,565() 0,596() + 250 0,514() = 0
= 0 0,424() + 0,298() = 0
= 0 0,707() 0,745() + 0,857() = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 101,080 = 143,819 = 208,507
-
En el punto D
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= . (1,5 + 0 + 2,5
(1,5)2 + 02 + (2,5)2) = 0,514(208,507) + 0,857(208,507)
=
=
Por Equilibrio = 0 + + = 0
0,514(208,507) + 0,857(208,507) + = 0
(0,514(208,507) + ) + (0,857(208,507) ) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,514(208,507) + = 0
= 0 0,857(208,507) = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 107,172 = 178,690
-
2.15. La carga W de 50N est soportada por los cables AC y AD, adems por el
cable AB el cual junto al cable BD se encuentran en la posicin indica por
efecto de la fuerza P. Determinar la magnitud de la fuerza P, y las tensiones de
los cables que participan si el sistema se encuentra en equilibrio.
SOLUCION:
En el punto A
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= . (1 2 + 2
12 + (2)2 + 22) = 0,333() 0,666() + 0,666()
= . (1 2 + 2
(1)2 + (2)2 + 22) = 0,333() 0,666() + 0,666()
= . (0 + 1,5 + 4
02 + 1,52 + 42) = 0,351() + 0,936()
= 50
Por Equilibrio = 0 + + + = 0
0,333() 0,666() + 0,666() 0,333() 0,666() + 0,666()
+ 0,351() + 0,936() 50 = 0
(0,333() 0,333()) + (0,666() 0,666() + 0,351())
+ (0,666() + 0,666() + 0,936() 50) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,333() 0,333() = 0
= 0 0,666() 0,666() + 0,351() = 0
= 0 0,666() + 0,666() + 0,936() 50 = 0
-
Resolviendo las ecuaciones:
= 10,237 = 10,237 = 38,850
En el punto B
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= . (0 + 3,5 2
02 + 3,52 + (2)2) = 0,868() 0,496()
= . (0 + 1,5 + 4
02 + 1,52 + 42) = 0,351(38,850) + 0,936(38,850)
=
Por Equilibrio = 0 + + = 0
0,868() 0,496() + 0,351(38,850) + 0,936(38,850) + = 0
(0,868() + 0,351(38,850) + ) + (0,496() + 0,936(38,850)) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,868() + 0,351(38,850) + = 0
= 0 0,496() + 0,936(38,850) = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 73,313 = 77,272
-
2.16. En la figura se muestra al sistema en equilibrio mecnico, la barra no
homognea pesa 138,564N determine la masa de la esfera. g=10 m/s2.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= cos 60 + cos 30 = 0,5 + 0,866
= 138,564
= +
Momento con respecto al punto A: = 0
|
sin 49 cos 49 00 138,564 0
| + |
2 sin 49 2 cos 49 00,5 0,866 0
| = 0
104,5755 + (0,6511) = 0
= 160,6135
Calculando la masa:
m = 16,06135 kg
-
2.17. Se muestra una barra uniforme de 12m de longitud y 50 kg de masa, que
se encuentra en equilibrio mecnico. Determine el peso de la esfera. g=10m/s2.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= cos 53 + cos 37 = 0,6 + 0,8
= 500
= +
Momento con respecto al punto A: = 0
|
4,8 3,6 00 500 0
| + |
9,6 7,2 00,6 0,8 0
| = 0
2400 + 3,36 = 0
= 714,285
Calculando el peso:
W = 714,285 N
-
2.18. La esfera homognea de 15 kg unida con una barra ingrvida se
encuentra en equilibrio a tal como se muestra. Determine el valor de la
reaccin en la articulacin. g=10m/s2.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= cos 53
+ cos 37 = 0,6 + 0,8
= cos 37
+ cos 53 = 0,8 + 0,6
= 150
Por Equilibrio = 0 + + = 0
0,6 + 0,8 0,8 + 0,6 150 = 0
(0,6 0,8) + (0,8 + 0,6 150) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,6 0,8 = 0
= 0 0,8 + 0,6 150 = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 120
-
2.19. Determine la deformacin del resorte de rigidez k=120N/m para que la
barra de 96N se mantenga en reposo. g=10m/s2.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= cos 53
+ cos 37 = 0,6 + 0,8
= 120 cos 53 + 120 cos 37 = 72 + 96
= 96
Por Equilibrio = 0 + + = 0
0,6 + 0,8 + 72 + 96 96 = 0
(0,6 + 72) + (0,8 + 96 96) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,6 + 72 = 0
= 0 0,8 + 96 96 = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 0,5
-
2.20. Determine el peso mximo de la fuerza que puede ser soportado sin
exceder una tensin en el cable de 50 lb en cualquiera de los cables AB o AC.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= . (35 + 60
352 + 602) = 0,503 + 0,863
= . (45 + 60
(45)2 + 602) = 0,6 + 0,8
=
Por Equilibrio = 0 + + = 0
0,503 + 0,863 0,6 + 0,8 = 0
(0,503 0,6) + (0,863 + 0,8 ) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,503 0,6 = 0
= 0 0,863 + 0,8 = 0
Como > En consecuencia: = 50 = 41,98
Reemplazando:
= 76,78
-
2.21. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza P requerida para
mantener el sistema de fuerzas concurrentes en equilibrio.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
1 = 2 . (5 + 6 2
52 + 62 + (2)2) = 1,240 + 1,488 0,496
2 = 0,5 . (0 3 + 0
02 + (3)2 + 02) = 0,5
3 = 0,75. (1,5 + 3 + 3
(1,5)2 + 32 + 32) = 0,25 + 0,5 + 0,5
= + +
Por Equilibrio = 0 1 + 2 + 3 + = 0
1,240 + 1,488 0,496 0,5 0,25 + 0,5 + 0,5 + + + = 0
(1,240 0,25 + ) + (1,488 0,5 + 0,5 + ) + (0,496 + 0,5 + ) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 1,240 0,25 + = 0
= 0 1,488 0,5 + 0,5 + = 0
= 0 0,496 + 0,5 + = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 0,99 = 1,488 = 0,004
= 1,787
= cos1 (0,99
1,787) = 123,641 = cos1 (
1,488
1,787) = 146,375 = cos1 (
0,004
1,787) = 90,128
-
2.22. Si el cable AB est sometido a una tensin de 700N determine la tensin
presente en los cables AC y AD y la magnitud de la fuerza vertical F.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= 700 . (2 + 3 6
22 + 32 + (6)2) = 200 + 300 600
= . (1,5 + 2 6
(1,5)2 + 22 + (6)2) = 0,230() + 0,300() 0,920()
= . (3 6 6
(3)2 + (6)2 + (6)2) = 0,333() 0,666() 0,666()
=
Por Equilibrio = 0 + + + = 0
200 + 300 600 0,230() + 0,300() 0,920() 0,333()
0,666() 0,666() + = 0
(200 0,230() 0,333()) + (300 + 0,300() 0,666())
+ (600 0,920() 0,666() + ) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 200 0,230() 0,333() = 0
= 0 300 + 0,300() 0,666() = 0
= 0 600 0,920() 0,666() + = 0
Resolviendo las ecuaciones:
= 130,378 = 510,549 = 1060,364
-
2.24. Determine las magnitudes de las fuerzas F1, F2 y F3 necesarias para
mantener la fuerza F = (9 8 5) en equilibrio.
SOLUCION:
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
1 = 1 cos 60 + 1 cos 30
= 0,51 + 0,8661
2 = 2 cos 135 + 2 cos 60
+ 2 cos 6 = 0,7072 + 0,52 + 0,52
3 = 3. (4 + 4 2
42 + 42 + (2)2) = 0,6663 + 0,6663 0,3333
= 9 8 5
Por Equilibrio = 0 1 + 2 + 3 + = 0
0,51 + 0,8661 0,7072 + 0,52 + 0,52 + 0,6663 + 0,6663 0,3333 9
8 5 = 0
(0,51 0,7072 + 0,6663 9) + (0,52 + 0,6663 8)
+ (0,8661 + 0,52 0,3333 5) = 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
= 0 0,51 0,7072 + 0,6663 9 = 0
= 0 0,52 + 0,6663 8 = 0
= 0 0,8661 + 0,52 0,3333 5 = 0
Resolviendo las ecuaciones:
1 = 8,17 2 = 2,55 3 = 10,08
-
2.25. Hallar la resultante de las fuerzas respecto al punto P (2;5;7). Si FA=20N,
FB=40N y FC=60N.
SOLUCION:
= (3; 0; 0) (2; 5; 7) = (1;5;7)
= (3; 4; 0) (2; 5; 7) = (1;1;7)
= (0; 4; 0) (2; 5; 7) = (2;1;7)
= (3; 0; 5) (2; 5; 7) = (1;5;2)
= (0; 0; 5) (2; 5; 7) = (2;5;2)
Expresin Cartesiana de las Fuerzas
= 20 . ((2 1) + (1 + 5) (7 + 7)
(3)2 + 42 + 02) = 12 + 16
= 40 . ((2 1) + (5 + 1) (2 + 7)
(3)2 + 42 + 52) = 16,97 22,627 + 28,284
= 60 . ((1 1) + (1 + 5) + (7 + 2)
02 + 42 + (5)2) = 37,482 46,853
Calculando : = + +
= 12 + 16 16,97 22,627 + 28,284 + 37,482 46,853
= (28,97 + 30,855 18,569)
