I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

V

mti

2

2

2

2

2

d xm F Vdt

V

mti

2

2

2

Dar (la posición) como una función

de (el tiempo):

De ahí deducimos las velocidad , la

energía, la cantidad de movimiento, etc.

x

t

x t

v t

0 0

0

20

La fuerza es igual a cero

La posición está dada a todo tiempo como:

La velocidad está dada a todo tiempo como:

1La energía es siempre

2

t

x t x v t

t

v t v

E mv

20 0

0

2

La fuerza es constante

La posición está dada a todo tiempo como:

1

2La velocidad está dada a todo tiempo como:

1La energía es

2

t

x t x v t at

t

v t v at

E mv t

F kx

max

La posición está dada a todo tiempo como:

cos 2

donde la frecuencia está dada como

1 1

2

donde es el periodo.

t

x t x ft

f

kf

m T

T

max

2 2 2max

La velocidad está dada a todo tiempo como:

2 sin 2

La energía es:

1 1 1

2 2 2

t

x t fx ft

E t mv t kx t kx

2

En este caso la fuerza es la de la

ley de la gravitación de Newton:

Resultan las leyes de Kepler.

La posición como función del tiempo

La velocidad como función del tiempo

La energía

mMF G

r

Todas las variables dinámicas (posición, tiempo, velocidad, cantidad de movimiento, energía, energía cinética, energía potencial, momento angular) son reales, es decir; todas las variables dinámicas son continuas.

V

mti

2

2

2

22

2 2 22

2

2

0

2 2

i Vt m

V

di i

t m t m dx

,x t T t x

2 2

22

di

t m dx

2 2

22

T di T

t m dx

2 2

22

,

di

t m dx

x t T t x

2 2 2 2

2 2

1 1

2 2

T d T di T i

t m dx T t m dx

2 2

22

,

di

t m dx

x t T t x

2 2

2

1 1 y

2

T di C CT t m dx

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2,

1 1

2 2

di

t m dxx t T t x

T d T di T i

t m dx T t m dx

2

y C mCi t i x

T Ae x Be

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2,

1 1

2 2

1 1 y

2

di

t m dxx t T t x

T d T di T i

t m dx T t m dx

T di C CT t m dx

2 2

2

2

di

t m dx

2

, 'C mC

i t x

x t A e

22

2

, 'i t k x

it m

x t A e

2 2

2 2 2

, ,10

u x t u x t

x v t

,u x t T t X x

2 2

2 2 2

, ,10

u x t u x t

x v t

2 2

2 2 2

, ,10 ,

u x t u x tu x t T t X x

x v t

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

10

1 1 10

1 1 1

exp exp

, ' C x vt

d X x d T tT t X x

dx v dt

d X x d T t

X x dx v T t dt

d X x d T tC C

X x dx v T t dt

X x A Cx T t B v Ct

u x t A e

, expu x t A i kx t

2 2

2 2 2

, ,10

u x t u x t

x v t

, expu x t A i kx t

2 2

2 2 2

, ,10

u x t u x t

x v t

EE

, exp

,, ,

u x t A i kx t

u x t Ei u x t i u x t

t

EE

2 2

2

2

di

t m dx

2

, 'C mC

i t x

x t A e

22 ,

, , ,2

r tr t V r t r t i

m t

Si , entonces proponemos

,

V r t V r

r t T t r

22 ,

, , ,2

r tr t V r t r t i

m t

22

22

22

2

1 1

2

1 1

2

dT tT t r V r T t r i r

m dt

dT tr V r i

m r T t dt

dT ti C r V r CT t dt m r

22 ,

, , ,2

,

r tr t V r t r t i

m t

r t T t r

221 1

y 2

,Ei t

dT ti E r V r ET t dt m r

r t r e

22 ,

, , ,2

,

r tr t V r t r t i

m t

r t T t r

22

22

,, , ,

2

,

2

Ei t

r tr t V r t r t i

m t

r t r e

r V r r E rm

22

22

d xV x x E x

m dx

22

22

2

2

ˆ

r V r r E rm

V r r E rm

H r E r

22

22

d xV x x E x

m dx

V x

0x x a

0

22

22

d xV x x E x

m dx

0

0 0

x

V x x a

a x

22

22

0 0 0

d xE x

m dx

x x a

22

2

22 2

2 2

22

2

2

2 donde

0

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria

de segundo orden lineal homogenea con

coeficientes constantes.

d xE x

m dx

d x mEk x k

dt

d xk x

dt

2 2

1 2

La ecuación característica es: 0

Las raices son: y

y por tanto las dos soluciones linealmente

independientes son exp y exp

y la solución general es

ikx

k

ik ik

ikx ikx

x Ae B

ikxe

2

22

0d x

k xdt

Las condiciones iniciales son:

0 0

0 0

y

2 sin

0 =0 y =0

ikx ikx ikx ikx

x x

x

x A B B A

x Ae Ae A e e A

a

i kx

2

22

0 ikx ikxd xk x x Ae Be

dt

0

2 sin 0

Ojo, esto implica que,

donde

Las condiciones iniciales son: 0 =0 y =0

1, 2,3,...

x a

x a iA ka

ka n

x x a

n

2

22

0 2 sind x

k x x iA kxdt

2 22

2¡¡¡¡¡¡¡

2 y 1, 2,3,...

así qu

1, 2,3,... !!!!!!!!

e

2nE

mEk ka

m

n

n na

n

2

22

0d x

k xdt

2 22

2 1, 2,3,...

2nE n nma

0x x a

2 2

1 22E

ma

2 2

2 24

2E

ma

2 2

2 29

2E

ma

2 22

2 1, 2,3,...

2nE n nma

0x x a

2 2

1 22E

ma

2 2

2 24

2E

ma

2 2

2 29

2E

ma

3 100

100

10 m 37.58 10 eV

10 m 37.58 eV

a E

a E

2 2

0 0

0

4 sin 4 sin

4 1 4cos sin 2 1

2 2 2

La condición de renormalizació

1

:

2

n 1

a n

n

n aAA x dx AA d

a n

AA a AA a nAA

x x dx

an n

A ia

2

22

0 2 sind x n

k x x iA xdt a

22

2

La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger

0

con condiciones a la frontera 0 0

es

2sin

donde 1, 2,3,...

d xk x

dt

a

nx x

a a

n

1

21 sinn x x

a a

2

2 22 sinn x x

a a

3

2 33 sinn x x

a a

4

2 44 sinn x x

a a

24

2 2424 sinn x x

a a

124

2 124124 sinn x x

a a

2 2

2

1

2V x m x

dV xF x m x

dx

22 2

2 2

2

2

2

2 22

4

4

co 2

2

s

d xm m xdt

d xx

dtx t L t

E m L

2 22 2

2

1/ 4 2

1

2 2

1exp

22 !

10,1,2,...

2

n nn

n

dm x E

m dx

m m m xx H x

n

E n n

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1

r

eV

2

2 22

2

eV E V

m r

2 2 2 22 2

2 2

2 sinsin sin sin 0

mr er E

r r r

2 2 2 22 2

2 2

4

2 2

2 sinsin sin sin 0

, , , ( ) , exp

donde

1 con 1, 2,...

2

nnlm nl lm

n

mr er E

r r r

Er t R r Y i t

meE n

n

4

2 2

1

2

1,2,...

n

meE

n

n

Se obtiene limpiamente el espectro del átomo de hidrógeno

•¿Y la intensidad de la líneas?

•La teoría de Schrödinger calcula la intensidad de manera correcta utilizando la probabilidad de transición entre los diferentes estados

•Se calcula también la vida media de los estados excitados

La ecuación de Schrodinger funciona hasta para moléculas complejas. Desde luego, los cálculos deben ser numéricos por la gran complejidad del problema

La ecuación de Schrödinger “está bien”. Sin embargo,

•No es relativista

•No toma en cuenta el espín

•La ecuación de Dirac

•La electrodinámica cuántica

V

mti

2

2

2

Funciona “a todo dar”. Con las versiones relativistas, se explica perfectamente la estructura de los átomos. Se calculan las energías de los niveles, las líneas espectrales, sus intensidades, reglas de transición, etc., pero ….

22

2i V

t m

?x t v t

¿Dónde están y

No aparecen como solución de la

ecuación de Schrodinger, en su

lugar aparece

¿Qué es

(la ahora muy famosa)

?

es la amplitud de probabilidad

es la probabilidad de encontrar

a la partícula en el intervalo ,

es la densidad de probabilidad

dx

x x dx

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1

1 1

2 2

3 4

4 4

Los estados propios de la energía:

.......

E

E

E

E

2

2

2

1/ 4

220

31/ 4

221

51/ 42 22

2

1 1

2

3 12

2

5 2 12 1

2 2

x i t

x i t

x i t

h x e e

h x xe e

h x x e e

4

2 2

1

2

1,2,...

n n

meE

n

n

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Clásicamente es imposible que la pelota se salga de la caja

Cuánticamente la probabilidad de encontrar a la pelota fuera de la caja es diferente de cero

Canica

Cerrito

10

Un electrón con una energía de 1 eV.

Una barrera cuya altura es 3 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.588

0.412

a

T

R

10

18

Un protón con una energía de 1 eV.

Una barrera cuya altura es 2 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.374 10

0.999999999999

a

T

R

•Las reacciones nucleares

•La desintegración radiactiva

•La conductividad

•La física del estado sólido

Semiconductores

Diodo de efecto túnel

Transistores

Materiales nuevos

•El microscopio de barrido de efecto túnel

6

14 146 7 C N

protones 7 protones

8 neutrones 7 neutrones

• La vida media del C14 es de 5730 años

• La probabilidad de que un átomo de C14 decaiga en 5730 años es de ½

•¿Cómo sabe o cómo decide el átomo cuando decaer?

14 146 7C N

141 kg de C

5730 años

14

14

1

21

2

kg de

kg de

C

N

14 146 7C N

Un átomo particular de C14 puede decaer en 10 segundos o en diez mil años, como se le de la gana

Einstein: “…Él no tira los dados.”

14 146 7C N

The theory yields a lot, but it hardly brings us any closer to the secret of the Old One. In any case I am convinced that He does not throw dice.

--Einstein, writing to Max Born, 4 December 1926.

235 23192 90U Th

• La vida media del U235 es de 704 millones de años

• La probabilidad de que un átomo de U235 decaiga en 704 millones de años es de ½

• ¿Cómo sabe o cómo decide el átomo decaer?

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

Región I Región II Región III

0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

202 2

2 2

22 2

2 2

En la región II:

2

En las regiones I y III:

2

m V Ed

dx

d mE

dx

Región I Región II Región III

0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

1 1

En la región I:

exp exp

exp exp

En la región II:

exp exp

En la región III:

exp

I

I

II

III

x A i x B i x

x i x R i x

x A x B x

x T i x

Región I Región II Región III

0x x a

0V

0 1

0

1

I

II

x R

x A B

R A B

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i x R i x

x A x B x

x T i x

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i i x i R i x

x A x B x

x i T i x

0 1

0

1

I

II

x i R

x A B

i R A B

exp exp

exp

exp exp exp

II

III

x a A a B a

x a T i a

A a B a T i a

exp exp

exp

exp exp exp

II

III

x a A a B a

x a i T i a

A a B a i T i a

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i x R i x

x A x B x

x T i x

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i i x i R i x

x A x B x

x i T i x

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

Condiciones en 0 :

1

1

Condiciones en :

exp exp exp

exp exp exp

x

R A B

i R A B

x a

T i a A a B a

i T i a A a B a

Región I Región II Región III

0x x a

0V

1

exp exp exp 0

exp exp exp 0

A B R

A B i R i

A a B a T i a

A a B a i T i a

Condiciones en 0 :

1

1

Condiciones en :

exp exp exp

exp exp exp

x

R A B

i R A B

x a

T i a A a B a

i T i a A a B a

1 1 1 0 1

0

0 0

0 0

a a i a

a a i a

A

i B i

e e e R

e e i e T

1

exp exp exp 0

exp exp exp 0

A B R

A B i R i

A a B a T i a

A a B a i T i a

:= C

1 0 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 1 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 1 0 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 0 14 I e

( ) I a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 2

2exp

sinh 2 cosh

iT i a

a i a

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

2 2 2 2

2 2

22 2 2 2 2 2

2 2

22 2 2 2 2 2

2 2

2 22 22 2 2 2 22

2 2

sinh 2 cosh sinh 2 cosh

4

sinh 4 cosh

4

sinh 4 1 sinh

4 1

sinh 4sinh 1

2

i iTT

a i a a i a

a a

a a

aa

T

2 2

2exp

sinh 2 cosh

iT i a

a i a

02 22 2 22 2

2

21 2

sinh 12

m V E mE

a

T

12 22 20

0 0 0

2

0 0

4 12 4

1

sinh1

4 / 1 /

V E E

E V E V V

a

E V E V

T

:= C

1 0 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 1 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 1 0 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 0 14 I e

( ) I a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 2 2 20 0

2 2 2 2 22 2 2 20 0 0 00

2 2 2 2 20 0

2 2 2 2 20 20 0 0 0

20

2

02

2 sinh 2 sinh

2sinh 8 82sinh 1 8 8

2 sinh 2 sinh sinh42sinh 8 8 2sinh 8

sinh

sinh4

sinh

V a V aRR

V a V E EV VV a E EV V

V a V a aE E VV a E EV V a E E V

aV

aE V

a

2 220

0 0 02 2

202

0 000

sinhsinh

4 4 / 1 /

sinh1sinh 1

4 / 1 /4

V aa

E V E E V E V

E V aa

E V E VE V EV

R

2 V2

cosh 2 m ( ) V E

h2

a

2

1

V2

cosh 2 2 m ( ) V E

h2

a 8 E2

8 E V V2

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sinh

4 / 1 / 21 ; ;

sinh sinh1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m V E

a a

E V E V E V E V

T R

Región I Región II Región III

0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

En la región I:

exp exp

En la región II:

exp exp

En la región III:

exp

I

II

III

x i x R i x

x A x B x

x T i x

022

22

2

2

m V E

mE

0

0

2

0

2

Si tenemos que

2=

y por lo tanto es imaginario.

2Escribimos .

Como sinh sin

E V

m V E

m E Vi i

i i x

02 22 2

2 2

m V E mE

2

0 02 2

0 0 0 0

022

sin

4 / 1 /1 ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

2

a

E V E V

a a

E V E V E V E V

m E V

T R

Región I Región II Región III

0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

En la región I:

exp exp

En la región II:

exp exp

En la región III:

exp

I

II

III

x i x R i x

x A i x B i x

x T i x

022

22

2

2

m E V

mE

0

0

(a) Puede ocurrir reflexión aun cuando .

Es un efecto enteramente cuántico.

Es claro que si ,

1 y 0

E V

E V

T R

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sin

4 / 1 / 21 ; ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m E V

a a

E V E V E V E V

T R

0

0

(b) Puede ocurrir transmisión aún cuando .

Es un efecto enteramente cuántico.

Es claro que si ,

0 y 1

E V

V E

T R

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sinh

4 / 1 / 21 ; ;

sinh sinh1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m V E

a a

E V E V E V E V

T R

0(c) Para , existe un conjunto de energías de

la "partícula" incidente para las cuales =1 y

0; es decir, a esas energías la barrera es

transparente.

E V

T

R

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sin

4 / 1 / 21 ; ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m E V

a a

E V E V E V E V

T R

2

0 0

2

0 0

1Están dadas por 1

sin1

4 / 1 /

sinÓ sea 0; es decir, con 1, 2,3,... ó

4 / 1 /

1

2

Es decir, cuando el ancho de la barrera es múltiplo de la mitad de la

longitud

n

n

a

E V E V

aa n n

E V E V

na n

T

de onda de de Broglie dentro de la barrera.

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sin

4 / 1 / 21 ; ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m E V

a a

E V E V E V E V

T R

El electronvoltio, abreviado como eV, es una unidad de energía equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio. Dicho valor se obtiene experimentalmente por lo que no es una cantidad exacta.1eV = 1,602176462 × 10-19 J

El electronvoltio es una unidad de energía, equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio.

A single atom is such a small thing that to talk about its energy in joules would be inconvenient. But instead of taking a definite unit in the same system, like 10−20 J, [physicists] have unfortunately chosen, arbitrarily, a funny unit called an electronvolt (eV) ... I am sorry that we do that, but that's the way it is for the physicists.http://home.att.net/~numericana/answer/feynman.htm

10

Un electrón con una energía de 10 eV.

Una barrera cuya altura es 20 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.146

0.854

a

T

R

10

Un electrón con una energía de 1 eV.

Una barrera cuya altura es 3 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.588

0.412

a

T

R

10

18

Un protón con una energía de 1 eV.

Una barrera cuya altura es 2 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.374 10

0.999999999999

a

T

R

10

Un protón con una energía de 0.18 eV.

Una barrera cuya altura es 0.2 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.0029

0.9971

a

T

R