Mecanica CuanticaNizama Mendoza

TESIS DE DOCTORADOCARRERA DE DOCTORADO EN FSICA

PROPIEDADES MAGNTICAS Y ENTRELAZAMIENTO CUNTICO ENSISTEMAS NANOSCPICOS

Mag. Marco Alfredo Nizama MendozaDoctorando

Dra. Karen HallbergDirectora

Febrero de 2011

Instituto BalseiroComisin Nacional de Energa Atmica

Universidad Nacional de CuyoConsejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas

Argentina

A mi familia

Resumen

Los corrales cunticos presentan propiedades interesantes debido a la interesantecombinacin de confinamiento y focalizacin algunas de las cuales fueron observadasexperimentalmente. Estudiamos el comportamiento esttico y dinmico de estos sistemas.En primer lugar analizamos el caso del corral cuntico no interactuante (sin impurezas),y con parmetros realistas obtuvimos los autoestados la elipse con el modelo de pareddura. Posteriormente estudiamos el sistema en presencia de dos impurezas de Kondo deespn S = 1/2 localizadas en los focos de la elipse. stas interactan con los electronesitinerantes en la elipse va un trmino de superintercambio J. Diagonalizamos este sistemanumricamente y estudiamos propiedades tales como correlacin de espn y correlacionesdinmicas. Encontramos que, para valores de J chicos comparado con el ancho de banda,los espines estn en un estado singlete para nmero par de electrones en la elipse o tripletepara nmero impar (rgimen RKKY). En ese lmite es posible describir el comportamientoa bajas energas con un hamiltoniano efectivo entre las impurezas. Para valores grandes deJ ms estados electrnicos estn involucrados y los espines se descorrelacionan formandoun estado de Kondo local con los electrones itinerantes. Estudiamos algunas magnitudesde la teora de la informacin cuntica que es una herramienta alternativa para el anlisis desistemas cunticos. Calculamos la entropa de von Neumann para diversas particiones delsistema y caracterizamos el cambio de rgimen de RKKY al de Kondo ante el incrementode J, de acuerdo a los resultados obtenidos con el clculo de funciones de correlacionesestticas y dinmicas.

Adicionalmente consideramos fluctuaciones de carga en los estados de las impurezasy analizamos propiedades estticas y dinmicas en funcin de los parmetros relevantesdel sistema. El modelo estudiado consiste de dos impurezas de Anderson localizadas enlos focos e hibridizadas con magnitud V a los electrones en la elipse. Con el estudio dela correlacin de espn entre las impurezas, y entre una impureza y los electrones en unmismo foco, caracterizamos los regmenes RKKY y Kondo. Esto est de acuerdo con losresultados obtenidos con la densidad de estados electrnica calculada usando un modeloms realista que incluye la hibridizacin con estados del continuo.

Encontramos una relacin entre el entrelazamiento entre las impurezas de espn yobservables fsicos del sistema. Con sto obtuvimos el diagrama de fases de entrelaza-miento entre las impurezas para llenado par e impar, que presenta regiones en las que estnentrelazadas y otras de estados separables. Mostramos resultados numricos que sustentanlas relaciones encontradas.

Como aplicacin adicional de los conceptos de informacin cuntica al estudio de laspropiedades fsicas de sistemas correlacionados, analizamos una cadena de espn S = 1con condiciones de contorno abiertas y con interaccin a primeros vecinos bilineal ybicuadrtica (). En particular estudiamos los modelos de Heisenberg ( = 0) y AKLT( = 1/3). Realizamos diversos estudios en sistemas bipartitos puros y mixtos. Paracaracterizar el entrelazamiento en un sistema bipartito puro usamos la entropa de vonNeumann, en cambio para un sistema bipartito mixto, usamos la negatividad. Estosestudios nos permitieron estudiar las excitaciones de espn 1/2 localizadas en los bordesde la cadena [87, 88].

Un resultado interesante aparece cuando analizamos el entrelazamiento entre dospartes del sistema; que es mximo entre los extremos de la cadena y disminuye haciael centro, reflejando el carcter fraccionario y la localizacin de las excitaciones de espndel modelo, que han sido observadas experimentalmente.

En conclusin, usando tanto tcnicas tradicionales (correlaciones estticas y dinmi-cas) como novedosas (informacin cuntica) para el estudio de sistemas interactuantes,investigamos el comportamiento de algunos sistemas nanoscpicos paradigmticos. Parasto utilizamos tcnicas tanto analticas como numricas de actualidad. Esperamos quelos resultados obtenidos en esta tesis sean tiles para una mejor comprensin de estossistemas, as como para posibles aplicaciones nanotecnolgicas.

Abstract

Quantum corrals have intriguing properties due to the interesting combination ofconfinement and focalization, some of which have been observed experimentally. Westudy the static and dynamic behavior of these systems. First, we analyze the case ofnon-interacting quantum corrals (without impurities) using realistic parameters to obtainthe eigenstates of the ellipse within the hard-wall approximation. Subsequently, we studythe system in the presence of two spin-half Kondo impurities located in the foci of theellipse. These spins interact with itinerant electrons in the ellipse via a superexchangeterm J. We diagonalize this system numerically and study properties such as static anddynamic correlations. We found that for small values of J (RKKY regime) compared withthe bandwidth, the spins are in a singlet state for even number of electrons in the ellipse ortriplet for odd number of electrons. In this limit it is possible to describe the behavior at lowenergies with an effective Hamiltonian between the impurities. For large values of J moreelectronic states are involved and the spins are uncorrelated forming a local Kondo statewith the itinerant electrons. We also studied some magnitudes from quantum informationtheory, which is an alternative tool for analyzing quantum systems. We calculated the vonNeumann entropy for different partitions in the system and characterize the change of theregime from RKKY to Kondo with the increase of J, according to the results obtainedwith the calculation of static and dynamic correlation functions.

We further consider charge fluctuations in the states of impurities and analyze staticand dynamic properties in terms of relevant parameters of the system. The model studiedconsists of two Anderson impurities located at the foci and hybridized with magnitude Vwith the electrons in the ellipse. By studying the spin correlations between the impurities,and between an impurity and the electrons at the same foci, we characterize the RKKYand Kondo regimes. This is in accordance with results obtained with the density ofelectronic states calculated using a more realistic model which includes the hybridizationwith continuum states.

We found a relation for the entanglement between the two impurity spins and physicalobservables of the system. With this we obtained the phase diagram of entanglementbetween the impurities for even and odd fillings, which has regions in which they areentangled and others in separable states. We show numerical results that support therelation found.

As an additional application of the concepts of quantum information to the studyof physical properties of correlated systems, we analyze a chain of spin S = 1 withopen boundary conditions and a bi-linear and bi-quadratic nearest-neighbor interaction(). In particular we study the Heisenberg ( = 0) and AKLT models ( = 1/3). Wehave performed several studies in pure and mixed bipartite systems. To characterize theentanglement in a pure bipartite system we use the von Neumann entropy, and for mixedbipartite systems we use the negativity. These studies allow us to study the behavior ofspin 1/2 excitations localized at the chain edges [87, 88].

An interesting result appears when we analyze the entanglement between two parts ofthe system: It is maximum between the ends of the chain and decreases towards the center,reflecting the fractional nature and location of the spin excitations in the model, whichhave been observed experimentally.

In conclusion, we use both traditional techniques (static and dynamical correlations)and a novel perspective for the study of interacting systems which is the use of quantuminformation, to investigate the behavior of some paradigmatic nanoscopic systems. Forthis, we have used analytical and new trends in numerical techniques. We expect the resultsobtained in this thesis to be useful for a better understanding of these systems, and therebyfor possible applications in nanotechnology.

ndice general

1. Introduccin a corrales cunticos elpticos 11.1. Corral cuntico elptico no interactuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Modelo de dos impurezas de Kondo en un corral elptico 72.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Caso interactuante - Modelo de dos impurezas de Kondo . . . . . . . . . 8

2.2.1. Propiedades estticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Comportamiento dinmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Densidad local de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Informacin cuntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1. Caso no interactuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Fidelidad y concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Entropa cuntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2. Caso interactuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Particin 1: a lo largo del eje menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Particin 2: separacin de los espines de los estados de la elipse . . . . . 25Particin 3: en el espacio de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Modelo de Anderson con dos impurezas en un corral elptico 313.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Modelo de Anderson de dos impurezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1. Propiedades estticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2. Propiedades estticas en funcin del nivel de Fermi . . . . . . . . . 383.2.3. Propiedades dinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Efecto de una interaccin directa entre las impurezas . . . . . . . . . . . 473.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Entrelazamiento cuntico entre dos impurezas de Kondo en un corral elptico 514.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3. Matriz densidad reducida de las dos impurezas de Kondo . . . . . . . . . 54

4.3.1. Entrelazamiento para espines S=1/2 en estados mixtos . . . . . . . 564.3.2. Diagrama de fases del entrelazamiento cuntico . . . . . . . . . . . 594.3.3. Resultados numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Importancia de los estados electrnicos en la concurrencia . . . . . . . . 64

NDICE GENERAL

4.4.1. Relacin entre observables del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2. Resultados numricos para los observables fsicos de inters . . . . 67

4.5. Entrelazamiento cuntico entre las impurezas y los estados electrnicos . 704.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Correlaciones cunticas y entrelazamiento en cadenas de espn S=1 735.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1. Modelo AKLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2. Matriz densidad reducida y medidas de entrelazamiento cuntico . . . . . 78

5.2.1. Negatividad en dos sitios de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.2. Concurrencia parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3. Negatividad versus concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.1. Resultados numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4. Negatividad y excitaciones de espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.1. Efecto de tamao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5. Conclusiones y perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6. Conclusiones generales 103

A. Medidas de entrelazamiento cuntico 107A.1. Entropa de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.1.1. Descomposicin de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2. Concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.3. Negatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Bibliografa 111

Captulo 1

Introduccin a corrales cunticoselpticos

Recientemente, gracias al avance de la nanotecnologa, se han podido manipulartomos y colocarlos sobre superficies metlicas en diversas formas [1]. Esto ha sidoposible, en parte, gracias al desarrollo de la microscopa de efecto tnel (STM, por sussiglas en ingls). Un experimento de inters fue realizado por Manoharan y colaboradores[2]. Ellos lograron construir corrales cunticos elpticos con tomos de cobalto Co (usando34 y 36 tomos, con excentricidades de = 0.786 y = 0.5 respectivamente) separadosentre s una distancia de d = 10 A, sobre la superficie (111) de cobre Cu. El eje mayorde la elipse es del orden de 100 A (la distancia entre focos es 71.3 A). Posteriormentecolocaron una impureza magntica en un foco y con la punta del STM pudieron detectarel efecto Kondo [2] no slo en el foco de las impurezas, sino tambin en el foco vaco.Este fenmeno fue llamado espejismo cuntico, ya que a pesar de no estar presente unaimpureza en el foco, se observa el efecto Kondo como una consecuencia de las propiedadesde focalizacin de la elipse. De esta manera lograron observar experimentalmente lasconsecuencias de los estados electrnicos confinados en el corral, ya que estos son losresponsables del espejismo cuntico. En la figura 1.1 se muestra una representacin grficadel espejismo cuntico (obtenida de [3]).

El efecto Kondo es el resultado de la interaccin de una impureza magntica conlos electrones de conduccin, los cuales orientan sus espines de forma que apantallenel momento magntico local de la impureza, formndose un estado singlete de muchoscuerpos alrededor de la impureza [4]. Este efecto fsico se observa a temperaturas menoresque la temperatura de Kondo (TK 53K para Co sobre una superficie de Cu(111) [2], yTK 88K para Co sobre una superficie de Cu(100), y la temperatura de Kondo para Coen el bulk es del orden de 500K [5]).

En el experimento realizado en [2] reportaron que los estados electrnicos estnprcticamente desacoplados de los estados del bulk, con lo cual se tiene un gas deelectrones bidimensionales confinados en el corral. ste hecho es crucial para el espejismocuntico. Estos estados superficiales desacoplados del bulk son llamados estados deSchokley y fueron estudiados en detalle en [6].

2 Introduccin a corrales cunticos elpticos

Figura 1.1: Representacin de la imagen topogrfica obtenida con el STM en un corral elpticoformado con 36 tomos de Co (figura inferior), y con un tomo de Co localizado en el focoizquierdo. Se observa la densidad electrnica en el corral que tiene una mayor densidadelectrnica en el foco con impureza comparada con el foco vaco (de menor magnitud quela del foco derecho). Sobre el foco izquierdo est representada la impureza de espn y sobre elderecho su imagen (tomo fantasma). La figura fue obtenida de [3].

3En la figura 1.2 se muestra la topografa obtenida con el STM de los corrales elpticoscon una impureza en el foco izquierdo (panel izquierdo superior) y con una impureza fuerade los focos de la elipse (panel derecho superior). Los tomos de Co estn representadospor puntos de color verde (esferas). Tambin se muestran la diferencia de la conductanciadiferencial ([dI/dV]) entre los corrales con impureza en su interior y los casos sinimpurezas. sto se realiz con el objetivo de realzar la imagen Kondo en el sistema. Enel panel izquierdo inferior se observa la imagen Kondo en los dos focos de la elipse,notndose el espejismo cuntico en el foco vaco. En cambio en el panel derecho inferiorslo se observa imagen Kondo en la posicin de la impureza dentro del corral, y no seobserva espejismo cuntico en el sistema, porque al no estar la impureza localizada en unfoco, no se produce el efecto de focalizacin cuntica.

Figura 1.2: Imagen topogrfica de un corral elptico con excentricidad = 0.5, con 36 tomosde Co formando el corral y un tomo en el foco izquierdo de la elipse (panel izquierdo superior)[2]. En el panel izquierdo inferior se muestra [dI/dV] en el corral (diferencia entre dI/dVpara los casos con y sin impureza dentro del corral) ac se observa la imagen fantasma delefecto Kondo en el foco vaco (foco derecho). Tambin se muestra la imagen topogrfica parala impureza dentro del corral, pero fuera de los focos (panel derecho superior). Para este casose muestra la seal [dI/dV], y slo se observa Kondo en la posicin de la impureza (panelderecho inferior).

El efecto de confinamiento de los corrales cunticos en diferentes superficies metlicas(Au, Cu, Ag) ha sido estudiado intensamente tanto para una como para dos impurezas enlos trabajos tericos [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. En uno de estos trabajos seha usado un modelo de tight binding (modelo de confinamiento fuerte) para estudiar elrol de los estados del corral en el espejismo cuntico [10]. Los autores de este trabajousan una red triangular con parmetros realistas para el elemento de hopping. Tambinmuestran densidades de carga de diferentes estados del corral elptico, observando queciertas autofunciones del sistema presentan mxima proyeccin en los focos del corral.


Notan que las autofunciones se modifican ante la presencia de una impureza en los focosdel corral elptico.

En los trabajos [15, 16] se estudian las correlaciones de espn en corrales elpticosentre el espn de una impureza con los electrones de conduccin, y tambin se estudianlas correlaciones de espn de una impureza sobre una superficie abierta de Cu (dondelos estados electrnicos superficiales estn desacoplados de los estados del bulk). Losautores predicen una interaccin efectiva del tipo RKKY entre las impurezas hibridizadasa los electrones superficiales dentro del corral, usando para ello parmetros realistas paracorrales cunticos [2]. El modelo RKKY fue propuesto en el pasado por Ruderman,Kittel, Kasuya y Yosida (ver [18]). En este modelo los electrones itinerantes actan comomediadores en la interaccin efectiva entre las impurezas magnticas presentes en unamuestra (esta interaccin es dependiente de la muestra).

Hasta ahora hemos enfatizado en las referencias la interaccin de una impureza en unfoco con los electrones confinados en corrales elpticos. En [8] y [17, 19] estudiaron laspropiedades fsicas de los corrales elpticos en presencia de dos impurezas magnticas enlos focos que interactan con los electrones confinados en el corral cuntico embebidoen el resto del sistema (bulk). Con tal motivo estudiaremos en la tesis dos impurezaslocalizadas en el corral con diversos modelos (el modelo de Kondo y el de Anderson),con el objetivo de estudiar la interaccin efectiva entre las impurezas (rgimen de RKKY)y estudiar tambin en el espacio de parmetros de nuestros sistema cundo ocurre el efectoKondo en cada impureza. Para sto estudiaremos diversas propiedades fsicas del sistema,las cuales sern detalladas en el desarrollo de la tesis en los captulos 2, 3 y 4.

En este breve captulo describimos al corral con un modelo de tight-binding en laaproximacin de paredes duras (o infinitas), con el objetivo de obtener los autoestados dems baja energa de la elipse [10].

1.1. Corral cuntico elptico no interactuanteEn esta seccin daremos una breve descripcin del modelo no interactuante en la

elipse. En todo el trabajo adoptamos una descripcin simplificada del sistema basada enun modelo de tight-binding (sin espn), y definido en una red cuadrada con condiciones decontorno de la elipse (pared dura, implicando que la probabilidad de encontrar un electrnfuera del sistema es cero). La excentricidad de la elipse considerada es = 0.6 y elelemento de matriz de hopping t (2t es usado como unidad de energa en los captulos2,3,4). El hamiltoniano Hel (en la elipse) en este caso es muy sencillo y es de la forma:

Hel = ti, j

c+i c j (1.1)

En la expresin anterior, ci, c+i representan al operador de destruccin y creacinrespectivamente de un electrn (spinless), y los ndices i, j recorren los sitios dentrode la elipse (el smbolo significa que la sumatoria es sobre primeros vecinos). Los

1.1 Corral cuntico elptico no interactuante 5

sitios (tomos) considerados en la elipse son de alrededor de 1000. Consideramos unagrilla rectangular como se muestra en la figura 1.3, con x en el intervalo [20, 20] y lavariable y en [16, 16] y x = y = 1. Esto fija los valores de los semiejes de la elipse ena = 20 (semieje mayor) y b = 16 (semieje menor), y la ecuacin de la elipse est dada por(x/a)2 + (y/b)2 = 1. La excentricidad de la elipse es =

1 (b/a)2 = 0.6. Los puntos en

la grilla para los cuales se cumple (x/a)2 + (y/b)2 1 forman una elipse mordida.

Figura 1.3: Representacin de la superficie de Cu por una grilla rectangular con semiejesa = 20 y b = 16. Los puntos azules representan a los sitios dentro del corral elptico, y lossmbolos en cuadrados son obtenidos con la ecuacin de la elipse ((x/a)2 + (y/b)2 = 1) querepresenta a la pared ideal del corral.

Consideramos la energa local, en cada sitio igual a cero (ya que slo representa uncorrimiento constante en la banda de energa de los estados superficiales). Analizaremoslas funciones de onda de ms baja energa, donde la longitud de onda en el nivel de Fermi,F 30 A [19], es ms grande que la separacin entre los tomos (la distancia entreprimeros vecinos para Cu(111) es 2.55 A [2]). Tambin se conoce del experimento [2] quela separacin entre los tomos de Co, dc = 10 A, que forman el corral es menor que lalongitud de onda del nivel de Fermi F > dc, con lo cual se tiene poca hibridizacindel sistema con electrones fuera del corral y por consiguiente poco ensanchamientode los niveles de la elipse, con lo cual el modelo de pared dura es una muy buenaaproximacin. Por consiguiente la distribucin de los tomos en la red es irrelevante[20]. En [10] estudiaron una red triangular y no se observ ninguna discrepancia conlas funciones de onda obtenidas en una red cuadrada. Para niveles de ms alta energase necesita un discretizacin del sistema mucho ms fina. La distancia entre los focosdel corral en el experimento es del orden de d f 70 A, con lo cual podemos estimar elvalor x en nuestro modelo (longitud usada en la discretizacin de la red) y obtenemosx = d f /(2a) 70 A/24 2.9 A, y se observa que es del orden de la separacin atmicade primeros vecinos en la superficie de Cu(111) (2.55 A [2]).

Cabe resaltar que el sistema tiene solucin exacta en el continuo, y las soluciones sonlas funciones de Mathieu [21]. Estas soluciones son similares a las obtenidas por estemtodo dentro de la aproximacin de red discreta. En la figura 1.4 se muestra la densidad


de probabilidad |i|2, donde i es la amplitud de probabilidad del autoestado | enel sitio i de la elipse. Se muestran |i|2 para los primeros 25 autoestados de la elipseordenados por filas, donde estn marcados los primeros autoestados de cada fila.

Figura 1.4: Densidad de probabilidad de los autoestados |. Est marcado el autoestado |23que ser nuestro nivel de Fermi para el caso interactuante, estudiado en los prximos captulos.

La energa del nivel de Fermi fue elegida en el nivel 23 (figura 1.4), cuya energa essimilar a la energa en el experimento [2] (450meV medida desde el primer autoestadodel sistema) para lo cual se observa experimentalmente similar distribucin espacial deprobabilidad electrnica. En el siguiente captulo mostramos la distribucin espacial delautoestado |23 de la elipse sin impurezas proyectada en el plano x,y, en el modelo depared dura. Esta configuracin no es crucial para los resultados, y otras excentricidadesy niveles de referencias tendran similares resultados en la fsica del problema, siemprey cuando stas tengan pesos apreciables en los focos [7, 11]. En todo el trabajo de tesisconcerniente a corrales elpticos consideramos como escala de energa al valor 2t = 1eV(parmetro realista obtenido de [10]).

Captulo 2

Modelo de dos impurezas de Kondo enun corral elptico

2.1. IntroduccinLos recientes avances en las tcnicas de fabricacin de sistemas nanoscpicos han

ayudado a revelar una gran variedad de fenmenos fsicos. Esto se debe, en parte, aque es posible la manipulacin de tomos con la ayuda del microscopio de efecto tnel,STM (Scanning Tunneling Microscope, por sus siglas en ingls) [1]. Un ejemplo de unfenmeno interesante fue la observacin del espejismo cuntico [2]. Este efecto se observaen sistemas nanoscpicos llamados corrales cunticos donde la funcin de onda de loselectrones est confinada en una regin por medio de una barrera que est formada detomos (por ejemplo tomos de cobalto), encerrando una regin de una superficie deCu(111).

Los corrales cunticos son construidos colocando tomos con la ayuda del STMsobre una superficie limpia de un metal noble (libre de impurezas) [22, 23]. En recientesexperimentos, Manoharan y colaboradores [2] fueron capaces de construir corraleselpticos con tomos de Co sobre una superficie de Cu(111). La superficie de Cu(111),tiene una banda de estados superficiales desacoplados de los estados del bulk (electronessuperficiales con una relacin de dispersin de electrn casi libre [24]), la cual puede serrepresentada como un gas de electrones bi-dimensional confinado en el corral. El nivel deFermi est a 450 meV por arriba del fondo de la banda de los estados de superficie.

Un nmero de trabajos tericos ha analizado estos experimentos con una o msimpurezas, y considerando diferentes configuraciones [7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 14, 15, 16].Tambin se puede ver un estudio detallado sobre corrales cunticos en [19, 20]. En lasreferencias [15, 16] fue sugerido que, como una consecuencia de las propiedades defocalizacin de los corrales cunticos elpticos, dos impurezas localizadas en cada foco delsistema podran interactuar fuertemente. Tal prediccin ha sido sustentada por Stepanyuky colaboradores en [17]. Ellos reportaron resultados de clculos de primeros principiospara la interaccin de intercambio entre dos impurezas magnticas localizadas en cadafoco del corral. Consideraron diferentes tipos de tomos magnticos, localizados en los

8 Modelo de dos impurezas de Kondo en un corral elptico

focos de la elipse, de tamaos diferentes.

Las propiedades fsicas de los corrales cunticos son afectadas por muchos factores,como el confinamiento, interferencia cuntica y efecto de muchos cuerpos. Hasta ahora lostrabajos anteriores se han centrado en el estudio las propiedades estticas de los corralescunticos dejando sin explorar el comportamiento dinmico.

En este captulo estudiamos las propiedades estticas y dinmicas ms relevantes enlos corrales elpticos para diversos modelos (no interactuantes e interactuantes) y diversasperturbaciones. Las propiedades de focalizacin tienen importantes consecuencias en elcomportamiento fsico del sistema.

Los corrales cunticos ofrecen tambin un escenario ideal para estudiar el entrelaza-miento cuntico entre las impurezas y los estados electrnicos en el corral, as como otrasposibles particiones en el sistema. El entrelazamiento nos proporciona informacin sobrelas posibles transiciones en el sistema [25], sin la necesidad de definir un parmetro deorden.

En la primera parte del captulo estudiaremos una elipse aislada (seccin 1.1). Lamisma est descripta por un sistema cuntico cerrado (no disipativo), conteniendo unnmero arbitrario de electrones no interactuantes, y ocupando niveles hasta la energa deFermi (similar a la del experimento [2]). En la segunda parte estudiaremos dos impurezasde espn S = 1/2 interactuantes va un trmino de superintercambio con los electrones enlos focos del corral elptico . Este problema de muchos cuerpos fue tratado numricamentey analizamos propiedades estticas y respuestas dinmicas (seccin 2.2). En la seccin2.3, recurrimos a la perspectiva de la informacin cuntica, y calculamos diferentesmagnitudes cunticas estadsticas, tales como la fidelidad, la concurrencia y la entropade von Neumann, para ciertas particiones en el sistema. Y por ltimo, en la seccin 2.4mostramos las conclusiones ms importantes del presente captulo.

2.2. Caso interactuante - Modelo de dos impurezas deKondo

En esta seccin estudiamos el caso ms interesante del efecto de las propiedades defocalizacin de la elipse sobre la interaccin de dos espines interactuantes S = 1/2 queinteractan va un trmino de superintercambio con los electrones en la elipse [26, 27, 28,29, 30].

En la figura 2.1 se observa una representacin de las interacciones en el sistemasuperpuesta sobre un autoestado de la elipse no interactuante | = |23 (nivel de Fermi,similar al del experimento [2]). Las zonas claras en la figura indican alta densidad deprobabilidad, y las zonas oscuras indican el caso opuesto. El hamiltoniano del sistema esel siguiente:

2.2 Caso interactuante - Modelo de dos impurezas de Kondo 9

Figura 2.1: Mdulo al cuadrado del autoestado en el nivel de Fermi |23|2 para la elipsesin impurezas y con excentricidad = 0.6. Las zonas claras y oscuras representan alta y bajadensidad de probabilidad electrnica respectivamente. Las lneas oscuras representan las lneasnodales del autoestado electrnico | = |23, el cual tiene alta densidad de probabilidad enlos focos de la elipse. Tambin son representados los espines de las impurezas en los focos S 1y S 2 que interactan con los espines i va una interaccin de superintercambio J.

H=Hel + J(~S 1 ~1 + ~S 2 ~2); (2.1)con:

~S i ~i=S zizi +12

(S +i i + S i +i ), (2.2)y +i =cici,

zi = (ni ni)/2, donde ni = c+ici es el operador nmero con espn y ci

el operador de destruccin de un electrn con espn en el foco i de la elipse (i = 1, 2). Enla base de los autoestados | de la elipse, estos operadores locales pueden ser expandidosde la forma: ci =

ic, donde c es el operador de destruccin del estado | con

espn y i es la amplitud del estado | en el foco i. Hel es el hamiltoniano de laelipse sin impurezas, descripto en el captulo anterior (ver ecuacin (1.1) del captulo 1)al cual le hemos agregado el espn en forma trivial. Podemos reescribir el hamiltonianono interactuante en la elipse de la forma: Hel = t

i j

ci+c j. Consideramos unainteraccin de superintercambio antiferromagntica, J > 0 a menos que indiquemos locontrario. En esta base, los operadores de espn para los electrones pueden ser expresadoscomo:

zi =12

(ni ni) = 1212

1i2i(c1c2 c+1c2)

+i = c+ici =

12

1i2ic+1c2

i = c+ici =

12

1i2ic+1c2 (2.3)

Obtuvimos numricamente el estado fundamental |0 de H, usando el mtodo deLanczos [31] (alternativamente tambin se podra usar el mtodo de Davidson [32]), para


diversos llenados en la elipse (par e impar) y diversos valores de J. El nivel de Fermi(EF), es similar al del experimento [2]. Si observamos la ecuacin (2.3), notamos quenecesitaramos todos los estados | de la elipse para localizar al electrn itinerante enel foco i, lo cual numricamente es imposible, debido a que el espacio de Hilbert creceexponencialmente con el nmero de niveles considerados (el espacio de Hilbert msgrande que hemos estudiado es del orden de 106 estados). El nmero de niveles en la elipseobtenido con el modelo de pared dura es del orden de 1000 (ver seccin 1.1 del captulo1), y por limitaciones numricas slo consideramos hasta 10 niveles electrnicos | en laelipse. El mximo nmero de electrones considerados es Ne = 12. A pesar de tener tamaofinito ms adelante veremos que, podemos estudiar el sistema en forma satisfactoria. Eneste caso slo consideramos los estados | con alta densidad de probabilidad en los focosde la elipse, y que estn cercanos en energa al nivel de Fermi. Para la eleccin de dichosniveles utilizamos un criterio, que consiste en considerar a los estados | con valor msalto de Pn = |

niRi

EnER|, donde ni es la proyeccin del estado |n en el foco i, En es la

energa del estado |n, y |R es el ltimo nivel lleno para llenado par (o el nivel de Fermi,para llenado impar) y con n , R. | son estados pares o impares respecto del eje menorde la elipse (1 = 2). En general la cantidad de estados escogidos de simetra par escasi la misma que los estados de simetra impar. El criterio usado para la eleccin de losniveles relevantes a considerar en la ecuacin (2.3) no es nico y se podran considerarotros criterios en su reemplazo. Con este criterio escogimos los estados ms cercanos alnivel de Fermi con mayor peso en los focos (y que se hibridizan ms con los espines S 1 yS 2).

Figura 2.2: Representacin grfica de los procesos involucrados en H (ver ecuaciones (2.1) y2.3). Consideramos 4 partculas y 4 niveles |n de la elipse en el sistema (n = 1, 2, 3, 4). Lasflechas a trazos indican el proceso de destruir un electrn en un nivel ocupado y crearlo enotro desocupado. S 1 y S 2 representan los espines de las impurezas.

Cabe resaltar que la excentricidad de la elipse se fij en = 0.6 (para ms detallesde la eleccin de esta excentricidad ver seccin 1.1 del captulo 1). Se puede notar quelos trminos del hamiltanoniano H dado por la ecuacin (2.1) mezclan todos los estados| (mezcla de todos con todos). En la figura 2.2 se observa una representacin grfica delos procesos involucrados en H, donde se destruye un electrn en un nivel ocupado y secrea en cualquier nivel desocupado (ver ecuacin (2.3)). En la figura 2.2 consideramos a


manera de ejemplo, 4 partculas y 4 niveles |n (n = 1, 2, 3, 4) de la elipse no interactuante.Tambin estn representados los espines de las impurezas como S 1 y S 2.

2.2.1. Propiedades estticasUna de las consecuencias ms importantes sobre las impurezas de espn en la

presencia del corral elptico es que la correlacin entre las impurezas se ve aumentadacuando ellas se encuentran localizadas en los focos comparado con impurezas sobre unasuperficie abierta (esto fue observado en los trabajos tericos en [15, 16]). Por ejemplo, si

Figura 2.3: a) Correlacin de espn entre las impurezas localizadas en los focos en el estadofundamental para nmero par e impar de electrones y diferentes niveles en la elipse. b)Panel superior: Ne par, para el primer estado excitado (espn total S = 1), se observa elcarcter triplete entre los espines localizados para valores de J chicos. Panel inferior: funcinde correlacin de espn entre el espn localizado S 1 y el espn del electrn itinerante 1;comparado con la correlacin S 1.S 2 en el estado fundamental (Ne par). Para valores deJ chicos los espines localizados estn en un estado singlete y descorrelacionados de loselectrones itinerantes. Para valores grandes de J, estos espines se desacoplan mientras surgeuna interaccin local con los electrones itinerantes.

analizamos la funcin de correlacin de espn entre la impurezas en el estado fundamental0|~S 1~S 2|0 (el procedimiento para el clculo del estado fundamental fue descripto enla subseccin anterior), encontramos que ellas forman un estado singlete o triplete paraJ chicos (respecto de la escala de energa antes mencionada 2t), y llenado par o impar


respectivamente (ver figura 2.3a). En este caso decimos que el sistema se encuentra enel rgimen de RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida), en el cual los electrones actancomo mediadores de una interaccin efectiva entre las impurezas [18]. Una interaccinferromagntica entre las impurezas localizadas para llenado impar fue encontrado en [8].Para valores grandes de J las impurezas se descorrelacionan, tanto para llenado par comoimpar. En este caso las impurezas se encuentran en un rgimen de Kondo, en el que losespines de los electrones apantallan localmente el espn de cada impureza [4]). El resultadoes dbilmente dependiente del nmero de niveles considerados, tal como se observa en lafigura 2.3a

Tambin es interesante analizar la correlacin de espn en un foco entre el espnlocalizado S 1 y el espn del electrn itinerante 1. En la figura 2.3b, observamos queesta correlacin antiferromagntica aumenta ante el incremento de J, mientras S 1 y S 2se descorrelacionan. Por lo tanto, cuando J aumenta la correlacin local entre un espnlocalizado y los electrones en un foco aumenta y debera crecer hasta el valor de un estadosinglete de 0.75. Sin embargo encontramos un valor absoluto ms bajo debido a la finituddel sistema (consideramos hasta 10 niveles electrnicos en la elipse, el nivel de Fermicorresponde al nivel |23). En este lmite son necesarios ms estados | para formar elestado localizado en los focos (ver ecuacin (2.3), donde los operadores ferminicos enlos focos involucran los estados extendidos de la elipse).

2.2.2. Comportamiento dinmicoEn esta seccin calculamos la funcin respuesta a una excitacin de espn realizada

en el foco 1 [33]. La funcin respuesta C al operador A = S z1, est dada por la expresin[33, 34, 35]:

C() = 1

lm0+

ImG( + i + E0) (2.4)con:

G(z) = 0|A+(z H)1A|0. (2.5)En la expresin anterior G es la funcin de Green, es la energa, E0 es la energa

del estado fundamental, es el ancho de la lorentziana y |0 es el estado fundamental delsistema.

La funcin de Green G(z) se expresa en la representacin de fraccin continua, para locual se usa el procedimiento de Lanczos (ver Lanczos [31]). Se usa A|0 = | f0 como unvector inicial en el mtodo de Lanczos y se genera de manera recursiva una base ortogonalcompleta. Usando el procedimiento de Lanczos se tiene:

| fn+1 = H| fn an| fn b2n| fn1; (2.6)se tiene n 0; b0 = 0 (para inicializar el procedimiento); y fn| fn = 0 para n , n. Porconsiguiente H es tridiagonal en esta base. Los coeficientes an y bn son obtenidos de laforma:

an = fn|H| fn fn| fn ; (2.7)


bn = fn| fn

fn1| fn1 ; (2.8)El resolvente de GA(z) se puede escribir como una fraccin continua [36] de la forma:

G(z) = 0|AA|0

z ao b21

z a1 b22

z

(2.9)

Figura 2.4: Funcin espectral C() para un nmero par de electrones, 3 valores diferentes deJ y diferentes nmero de niveles en la elipse. No se observa un efecto apreciable de tamaofinito en el sistema. Para valores chicos de J, el gap de espn es chico y la primera excitacines principalmente un estado triplete (ver figura 2.3b, curva superior). Consideramos 103.

La expresin anterior, converge antes de recorrer toda la base {| fn} y el criteriode convergencia se elige cuando bn tiende a cero (< 1010) o cuando an y bn son losuficientemente grandes (> 1010).

En las figuras 2.4 y 2.5 mostramos los resultados de la funcin espectral C()para diferentes valores de J y para llenados par e impar, respectivamente. Para Ne par,encontramos que las excitaciones para valores chicos de J consisten principalmente de unpico localizado en el gap de espn s, el cual es muy chico (s 105). En este caso, losespines localizados forman un estado singlete bien definido, mientras la primera excitacinde espn tiene un carcter triplete, como se puede ver en la figura 2.3b. Para valores msgrandes de J, el peso de este pico disminuye, y otros estados se involucran en la dinmica,con lo cual la densidad espectral es ms complicada. Para Ne impar y valores de J chicos


Figura 2.5: Funcin espectral C() con los mismos parmetros usados en la figura 2.4, parael caso Ne impar.

Figura 2.6: Dependencia temporal de la funcin de correlacin de espn entre las impurezaslocalizadas en los focos para la funcin perturbada |(t) = U(t)S z1|0, para valoresmoderados de J. Para valores chicos de J, la correlacin es casi un triplete, similar a lo vistoen las figuras anteriores.


(ver figura 2.5), los espines localizados en los focos forman un estado triplete bien definidoen el estado fundamental.

El hecho de que, para valores de J chicos y un nmero par de partculas, la primeraexcitacin es casi un estado triplete, puede tambin ser interpretado como una excitacinrobusta, la cual vara suavemente en el tiempo (ver figura 2.6). En dicha figura, mostramosla funcin de correlacin (t)|S 1S 2|(t) para |(t) = U(t)S z1|0, donde U(t) esel operador de evolucin temporal y |0 es el estado fundamental interactuante delhamiltoniano dado por la ecuacin (2.1). Para J = 0.1, encontramos un comportamientocasi constante y el estado es casi un triplete; en cambio para J grandes la correlacin varams debido a que estn involucrados ms estados en la evolucin temporal. Usamos lafuncin U(t)S z1|0 normalizada.

2.2.3. Densidad local de estadosEn esta subseccin usaremos otro recurso para determinar cundo el sistema se

encuentra en el rgimen de Kondo. Para ello analizaremos una propiedad dinmica enel sistema. En este caso, podemos analizar la densidad local de estados electrnica en unode los focos j ( j = 1, 2). La densidad local de estados, queda definida por las expresiones[33, 34, 35]:

j() = 1

lm0+

ImG( + i + E0),

j() = 1

lm0+

ImG( + i + E0), (2.10)

y

G(z) = 0|cj(z H)1c j|0,G(z) = 0|c j(z H)1cj|0 (2.11)

En las expresiones anteriores, es la energa, j = 1, 2 (referido a los focos de laelipse), E0 es la energa del estado fundamental, () y () corresponden a los espectrosde fotoemisin y fotomoemisin inversa y |0 es el estado fundamental del sistema. Lasfunciones de Green G y G son calculadas con el mtodo de fraccin continua (ecuacin(2.9)), estudiada en la subseccin anterior. Se inicia el procedimiento de Lanczos (ecuacin(2.6)) con | f0 = c j|0 para obtener G y con | f0 = c+j|0 para calcular G.

En la figura 2.7 mostramos resultados para la densidad local de estados electrnicaen el foco 1 de la elipse para valores de J antiferromagnticos AFM (panel izquierdo) yvalores de J ferromagnticos FM (panel derecho). Para este estudio nos interes estudiartambin el caso de J ferromagntico con el fin de comparar los resultados de la densidad deestados con el caso AFM, en donde aparece el efecto Kondo. En la figura 2.7, para valoresde J de carcter AFM podemos distinguir dos regmenes diferentes (ya caracterizadoscon funciones de correlacin de espn). Para valores chicos de J el espectro consiste


Figura 2.7: Densidad local de estados (en unidades arbitrarias) en el foco 1 de la elipse paraestados ocupados (lnea llena), y estados desocupados (lnea de trazos). Hemos considerado8 niveles y 10 electrones en la elipse para diferentes valores de J de carcter AFM (panelizquierdo) y de carcter FM (panel derecho). Consideramos = 103.

principalmente de niveles discretos aproximadamente coincidentes con los de la elipsesin impurezas. Sin embargo observamos que, cuando la interaccin de superintercambio Jincrementa su valor (J/2t > 1), un seudogap o reduccin de la densidad local de estadosempieza a desarrollarse. Esto sucede alrededor del nivel de Fermi. Dicha reduccin es unaconsecuencia de la interferencia de Fano entre los estados de la elipse y el espn localizado[37]. Entonces se forma un singlete entre el espn localizado y los electrones itinerantes[4] (rgimen de Kondo), lo cual implica el desacople entre las impurezas.

Tambin mostramos resultados de la densidad local de estados electrnica para J decarcter FM (J < 0). Para el caso FM (J < 0) observamos que la densidad local de estadosno desarrolla un seudogap alrededor del nivel de Fermi, siendo para todo valor de J decarcter FM (figura 2.7, panel derecho). En este caso no hay efecto Kondo entre el espnde la impureza y los electrones.

2.3. Informacin cunticaCon el fin de tener una visin alternativa sobre las propiedades cunticas de nuestro

sistema, y debido a que ste ofrece de manera natural un sistema de qubits (sistema de dosniveles), estudiamos este sistema desde el punto de la la teora de informacin cuntica(para un estudio ms detalle se puede consultar las pginas 528-593 de [25]). La teorade informacin cuntica ha sido utilizada, entre otras cosas, para caracterizar las fases encadena de espines S = 1 [38, 39] sin recurrir a un parmetro de orden que el sistema.

2.3 Informacin cuntica 17

En la presente seccin estudiaremos las propiedades de correlaciones cunticas en estesistema. El objetivo es caracterizar las fases en el sistema con magnitudes de la teorainformacin cuntica. Hemos usados dos modelos para el estudio del entrelazamientocuntico en diversas particiones en los sistema estudiados. En el presente captulo sloanalizaremos el entrelazamiento cuntico en sistemas bipartitos en un estado puro.

El primer modelo consideramos es el caso no interactuante (estudiado en la seccin1.1 del captulo 1), que consiste de una elipse aislada que contiene un nmero fijo deelectrones confinados.

El segundo modelo estudiado es el caso interactuante (modelo de Kondo de dosimpurezas), estudiado en la seccin 2.2). En este modelo se consideraron dos impurezasmagnticas localizadas en los focos de la elipse, las cuales interactan con los electronesitinerantes en la elipse va un un trmino de superintercambio J (ver [26, 27, 28, 29, 30]).Posteriormente, analizamos el entrelazamiento cuntico entre dos partes del sistema. Paraello calculamos la entropa de von Neumann [40] (ver apndice A.1) en un sistemabipartito (particin del sistema en dos partes A y B). Las particiones realizadas fueron:

a) A lo largo del eje menor de la elipse, quedando una impureza como el sistema A yla otra como sistema B.

b) Las dos impurezas como un sistema (A) y los estados electrnicos en la elipse comoel segundo sistema (B).

c) En el espacio de energa, considerando como sistema A a los estados de una partculade la elipse hasta el nivel de Fermi incluyendo a las dos impurezas, y como sistema B losestados excitados.

2.3.1. Caso no interactuanteEn esta subseccin, estudiaremos el entrelazamiento cuntico en el modelo analizado

en la seccin 1.1, al que le aplicaremos un potencial local en el foco e1. El hamiltonianodel sistema est dado por la ecuacin (1.1) ms un trmino H = e1c+1 c1, donde c1 es eloperador de destruccin de un electrn en el foco 1. Calculamos la fidelidad (F(t)), quees una medida de la transferencia de un estado cuntico en el sistema, en un tiempo dado[25, 41]. Luego, calculamos la concurrencia (C(t)) que mide el grado de entrelazamientoentre dos estados cunticos (para ms detalle ver el apndice A.2). Tambin obtenemosla entropa de von Neumann (entropa cuntica, una medida del entrelazamiento paraestados puros), para una particin en el sistema. Para ms detalles sobre medidas deentrelazamiento ver el apndice A.

Fidelidad y concurrencia

Se tiene mucha evidencia que el uso de la teora de informacin permite un anlisisconfiable de las propiedades fsicas relevantes de sistemas cunticos de muchos cuerpos.En [42] y [43] se estudia detalladamente esa relacin para diversos sistemas cunticos.

En el pasado las cadenas de espn S = 1/2 [44, 45, 46] han sido estudiadas en detalle,ya que se piensa que podran ser tiles como canales de comunicacin cunticos. En estos


sistemas se analiza la transferencia de un estado arbitrario desde cualquier sitio de lacadena a otro sitio alejado y miden la eficiencia de ese proceso (llamado fidelidad). En [38]usan la fidelidad para caracterizar las fases presentes en una cadena de espn, y reportanque sus resultados son satisfactorios, en comparacin con la obtencin del diagrama defases obtenido con otras magnitudes fsicas.

Veremos qu tan eficiente es nuestro sistema como canal de comunicacin cunticoy si podemos proponer alguna aplicacin prctica con este propsito. Estudiaremos latransferencia cuntica de estados (fidelidad, ver [25, 41]) en nuestro sistema. Inicialmentepreparemos el sistema a t = 0 en |23 y al prender un potencial local en un foco a t = 0,analizaremos su evolucin en el tiempo. Posteriormente analizaremos para qu tiempost , 0 recuperamos el estado inicial parcial o totalmente respecto a su imagen especular at = 0. Esto nos dir si nuestro sistema es eficiente para tareas de informacin cuntica.

Tambin calculamos el entrelazamiento entre dos partes de la elipse respecto de sueje menor (en este caso, obtenemos la concurrencia C(t) [47], que es una medida delentrelazamiento para sistemas de dos niveles, llamados qubits, para ms detalles ver A.2).Consideramos como estado inicial el estado |23 (ver figura 2.1, similar al del experimento[2]), a t = 0 aplicamos un potencial local negativo en el foco 1 (e1) y analizamos larespuesta temporal del sistema.

Definimos la fidelidad como [48]:

F1(t) = | R0|U(t)|0| = |0|RU(t)|0|, (2.12)donde R es el operador reflexin con respecto del eje menor de la elipse, U(t) = eiHt esel operador evolucin de tiempo del hamiltoniano Hpert = Hel +H, Hel es el hamiltonianode la elipse no interactuante sin potenciales locales (ecuacin (1.1)), H = e1c+1 c1 esel hamitoniano de la perturbacin local e1 en un foco, c1 y c+1 son los operadoresde destruccin y de creacin de un electrn en el foco 1 respectivamente. Adems|0(t=0)= |23 es el autoestado nmero 23 de la elipse no interactuante con e1 = 0.

Definimos la concurrencia en el sistema con simetra de reflexin como [48, 49]:

C(t) =

j|( j, t)||R( j, t)| (2.13)

donde ( j, t) es la funcin de onda evolucionada con Hpert = Hel + H y proyectada en elsitio j en la elipse.

En la figura 2.8 mostramos la fidelidad y la concurrencia para este sistema. Se observaF1(t = 0) = 1, C(t = 0) = 1. Esto se debe a que la funcin de onda escogidatiene simetra de reflexin con respecto del eje menor de la elipse (R|23 = |23).Tambin encontramos que, para ningn valor de t > 0, se recupera en totalidad el estadoinicial reflejado, pero s se logra un alto overlap ( 0.8). Tampoco, se obtiene mximoentrelazamiento en el sistema, esto se debe a la prdida de simetra de la funcin de ondaevolucionada. Las oscilaciones observadas en la fidelidad y la concurrencia se deben a quela funcin de onda evolucionada es una combinacin principalmente de dos estados consimetra especular y con alta proyeccin en los focos de la elipse.


Figura 2.8: Evolucin de la fidelidad F1 y la concurrencia C, para una elipse sin impurezasdespus de aplicar un potencial e1 = 1 a t = 0 en el foco 1.

Adicionalmente, estudiamos la respuesta del sistema a la adicin de un electrn enun foco a t = 0 y lo destruimos en el otro foco, a t , 0 para lo cual calculamosla magnitud (fidelidad definida de una forma alternativa): F2(t) = |0|c2eiHel tc+1 |0|,donde c+1 , c2 son los operadores de creacin y destruccin de un electrn en los focos1 y 2 respectivamente, |0 es la funcin de onda de 23 partculas (spinless) y Hel es elhamiltoniano no interactuante sin potenciales locales en los focos.

En la figura 2.9 observamos que la fidelidad F2 tiene un comportamiento constantehasta t = t0 20 (en unidades de ~/2t), despus del cual la perturbacin alcanza elsegundo foco. El tiempo de respuesta a la perturbacin, t0, est relacionado semiclsica-mente al tiempo que tarda un electrn en ir del foco 1 al foco 2. Tambin notamos uncomportamiento oscilatorio en la fidelidad.

Entropa cuntica

Adicionalmente hemos estudiado el entrelazamiento para una particin en el sistemaa lo largo del eje menor de la elipse para el caso no interactuante. Una medida importantedel entrelazamiento cuntico es la entropa de von Neumann (ver el apndice A.1). Elentrelazamiento cuntico entre dos sistemas cunticos A y B (sistema bipartito de un estadopuro), se calcula como S = Tr(Alog2A) = Tr(Blog2B), donde A = TrB[] yB = TrA[] son las matrices densidades reducidas en los sistemas A y B respectivamente.La matriz es la matriz densidad total del sistema, = ||, donde | es cualquierestado puro, por ejemplo, el estado fundamental.

Es conveniente diagonalizar A y B ya que de esta forma es fcil obtener la entropacuntica (para ms detalle ver el apndice ver el apndice A.1) que queda expresada como:


Figura 2.9: Fidelidad del sistema cuando se crea un electrn en un foco de la elipse a t = 0 yse destruye en el otro foco a t , 0.

S = dkAk log2Ak =

dkBk log2Bk (2.14)

En la expresin anterior A(B)k es un autovalor de A(B) y d es la dimensin ms chicaentre A y B. Una propiedad importante de la matriz densidad es Tr[] = 1 con lo cualtenemos:

dk

Ak =

dk

Bk = 1. En el caso que Ak = Bk = 1, para algn k se tiene S = 0,

con lo cual, podemos escribir a | como un producto directo de un estado de A y de Brespectivamente: | = |A|B, |A(B) es un estado en el subsistema A(B). Lo anterior,S = 0 es un criterio de separabilidad para estados puros, y diremos que un estado | esno separable cuando S , 0.

En las figuras 2.10 y 2.11 mostramos resultados del entrelazamiento para una y 23partculas respectivamente, para una particin a lo largo del eje menor de la elipse, y conun potencial local aplicado en un foco e1 (en el lado izquierdo de la elipse, respecto a sueje menor). Consideramos una biparticin en el sistema, donde A corresponde a la parteizquierda de la elipse respecto a su eje menor e incluye los sitios localizados incluso en eleje menor y el sistema B corresponde al lado derecho de la elipse.

En la figura 2.10 mostramos resultados para el estado fundamental de una partcula.La matriz densidad reducida A(B) tiene dos autovalores 1 y 2 en funcin de e1. Usandolas expresiones de la ecuacin (A.4) del apndice A.1.1 para reescribir A y B (referido ala descomposicin de Schmidt), notamos que lo anterior se debe que hay una probabilidadPA =

1 de encontrar a la partcula en el sistema A (lado izquierdo de la elipse) y una

probabilidad PB =2 de encontrarla en B (lado derecho de la elipse). Para e1 = 0

(sistema sin perturbar) y una partcula, los dos autovalores difieren ligeramente, como sepuede observar en la figura 2.10 (panel izquierdo). Esto se debe, a que el sistema A tienems estados que el B (la funcin de onda escogida tiene peso a lo largo del eje menor de


la elipse). Si la funcin de onda presentara un nodo a lo largo del eje menor de la elipse,entonces los dos autovalores sera iguales 1 = 2. Observamos que, ante el incremento de|e1|, un autovalor empieza a aumentar (aumenta la probabilidad de encontrar a la partculaen el sistema A). Esto quiere decir, que la partcula empieza a localizarse, en el ladode la elipse donde est ubicado e1 (sistema A). Por lo tanto, disminuye la probabilidadde encontrarlo en el sistema B. Esto se ve reflejado en la entropa de von Neumann delsistema, tal como se observa en la figura 2.10 (panel derecho) donde la entropa empieza adisminuir hasta acercarse a cero, con el aumento de |e1|. En este lmite (|e1| 2t), el estadoes separable y es un producto directo de un estado ocupado en A, por un estado vaco enB, y se expresa: |0 = |A |B, donde |A es un estado del sistema A con probabilidad1 y |B es el estado vaco del sistema B. Esto quiere decir que no hay entrelazamientoentre los sistemas A y B en el estado fundamental, para valores de |e1| grandes (estadoseparable).

Figura 2.10: Panel izquierdo: los dos autovalores (i = 1, 2) de A, B en el estado fundamental,para una partcula y para un potencial local en un foco e1. Los autovalores representan laprobabilidad de encontrar a la partcula en el sistema A (curva superior) o en el sistemaB (curva inferior). La lnea de puntos muestra el valor de 0.5, que representa mximoentrelazamiento en el sistema. Panel derecho: entropa cuntica S en funcin del potenciallocal e1. Para valores de |e1| grandes, los sistemas A y B no estn entrelazados (estadosseparables).

Por otro lado, estudiamos el caso con 23 partculas (spinless) en la elipse con unpotencial local e1 aplicado en un foco (figura 2.11). En este caso, la entropa cuntica secalcula como la suma de la entropa de todos los estados de una partcula hasta el estado23. Esto es porque el sistema es no interactuante, y el estado fundamental es un productode estados de una partcula hasta el nivel de Fermi). Para valores de |e1| chicos, la entropaes muy cercana a su valor mximo (S max = 23). Para valores de |e1| grandes, solamentecontribuyen 22 estados, dado que la entropa del primer estado de la elipse es cero.


Figura 2.11: Entropa cuntica en funcin del potencial local en un foco e1 con 23 partculasen la elipse. El mnimo en la entropa se debe a un cruce de niveles para e1 1.

2.3.2. Caso interactuanteEn esta parte analizamos las propiedades cunticas en la elipse desde el punto de

vista de la informacin cuntica para el caso de dos impurezas magnticas localizadasen los focos (espn S = 1/2), interactuantes con los electrones confinados en la elipseva un trmino de superintercambio. Este modelo fue estudiado en la seccin 2.2, dondeanalizamos las correlaciones estticas y dinmicas. Con el fin de caracterizar los regmenesKondo y RKKY, estudiamos el entrelazamiento para diversas biparticiones al sistema.

Particin 1: a lo largo del eje menorUna particin al sistema fue realizada respecto del eje menor de la elipse quedando

una impureza en el sistema A (lado izquierdo de la elipse), y la otra en B (lado derechode la elipse). En la figura 2.12 se observa la representacin de tal particin. El espacio deHilbert es el mismo para A y B. Obtuvimos la matriz densidad reducida en los sistemasA y B en el estado fundamental del hamiltoniano H (ecuacin (2.1)) y diagonalizamos A(B) para diferentes nmeros de niveles y de electrones en la elipse (llenado par y impar).

En las figuras 2.13 a) y b) observamos los autovalores de A (B) en funcin de J para4 niveles, 4 partculas y 6 niveles, 6 partculas respectivamente. Notamos que el nmero deautovalores de diferentes de cero aumenta con J y con el nmero de niveles y partculasconsiderados en la elipse. Esto quiere decir que se entrelazan muchos estados al aumentarJ. Este comportamiento es un poco anti-intuitivo ya que pensamos que, para valores de Jgrandes, se formara un estado singlete alrededor de cada impureza (de cada foco), y elestado fundamental sera un producto directo de estos dos estados. Sin embargo el aumentode J hace que se involucre una mayor cantidad de niveles electrnicos en la elipse lo queda lugar a un aumento de la entropa (y por ende del entrelazamiento cuntico) entre A yB.


Figura 2.12: Representacin de la biparticin a lo largo del eje menor de la elipse con unaimpureza en cada subsistema. Tambin est representada la interaccin en el sistema. Losespines localizados en los focos estn representados por S 1 y S 2 y los espines de los electroneslocalizados en los focos por i, i = 1, 2.

Figura 2.13: Autovalores de la matriz densidad reducida A en funcin del ndice del autovalori para 4 niveles y 4 partculas en la elipse (panel izquierdo) y para 6 niveles y 6 partculas enla elipse (panel derecho) y valores de J = 0.1; 1; 3; 10. En ambos casos, la distribucin de losautovalores se ensancha con el incremento de J.


Figura 2.14: Autovalores de la matriz densidad reducida A para 4 niveles y 5 electrones(panel izquierdo) y para 6 niveles y 9 partculas en el sistema. Para este caso, la distribucinde los autovalores es ms extendida lo que implica una mayor entropa cuntica que en el casode llenado par.

Figura 2.15: Diferencia de entropas de von Neumann en funcin de J entre el caso del sistemacon y sin impurezas (S S (J = 0)) para los mismos parmetros que en las figuras 2.13 y 2.14.

Para nmero impar de electrones, el comportamiento de los autovalores de A (B) esparecido al caso par, como se observa en la figura 2.14. En este caso, tambin, se observaun ensanchamiento en la distribucin de los autovalores de A, con el aumento de J.

En la figura 2.15, observamos la entropa de von Neumann S , en los sistemas A yB. sta aumenta con el valor J y con el nmero de niveles y partculas en la elipse. Elcomportamiento de la entropa no muestra efecto de tamao apreciable en funcin de J.Para llenado impar, la entropa cuntica es mayor que el caso de llenado par. Esto se debe


a que, para llenado impar, el sistema tiene ms grados de libertad involucrados (tiene mspartculas), lo cual se ve reflejado en la entropa cuntica.

Particin 2: separacin de los espines de los estados de la elipse

Es importante conocer el entrelazamiento entre los espines localizados y los estadoselectrnicos, lo cual es un estudio complementario al de las correlaciones estticas de espn(estudiadas en la subseccin 2.2.1). La biparticin consiste en los espines localizados enlos focos constituyendo el sistema A, y los estados electrnicos en el sistema B. En la figura2.16, observamos una representacin grfica de la particin estudiada, con los impurezasen el sistema A y lo restante en el sistema B.

Calculamos A (B) y la entropa cuntica en funcin de J para diferentes niveles yllenados en la elipse (ver figura 2.17). Para nmero par de electrones y para valores chicosde J, los espines localizados forman un estado singlete en el estado fundamental de H(ecuacin (2.1)) tal como lo muestran los resultados de la subseccin 2.2.1. Esto se vereflejado en la entropa cuntica que, para valores de chicos J, es cercana a cero. Estoquiere decir que el sistema es separable y puede expresarse como producto de un estadode A y otro de B. En cambio, para valores de J grandes, la entropa aumenta y converge aS = log24 = 2. Esto se debe a que tenemos 4 estados posibles en el sistema A (B1 = {| ,| , | , | }), los cuales se mezclan con igual probabilidad, para valores de J grandes.

Figura 2.16: Representacin de la particin en el sistema agrupando los espines localizadosen el sistema A y estados electrnicos en B.

Por otro lado, para llenado impar en la elipse, la entropa cuntica tiene un compor-tamiento diferente al caso par para valores chicos de J. El valor de la entropa cunticaes S = log22 = 1, para valores de J cercanos a cero. Esto se debe, a que el estadofundamental tiene dos estados fuertemente entrelazados (2 estados tripletes entre lasimpurezas magnticas, debido a escogimos el subespacio con S zT = 1/2, para nmeroimpar de partculas). En cambio, para valores grandes de J tiene el mismo comportamiento


Figura 2.17: Entropa de von Neumann en funcin de J para diversos llenados en el sistemapara la particin 2. El incremento de la entropa con J es claramente observado. Esto refleja elincremento del entrelazamiento de los espines con los estados electrnicos con el aumento deJ.

que el caso de llenado par, en ese lmite. En este caso, la entropa tiende a S = log24 = 2;los cuatro estados que conforman la base B1 en el sistema A se mezclan con igualprobabilidad.

Particin 3: en el espacio de la energa

Finalmente realizamos una ltima particin en el sistema, el cual consiste en unabiparticin en el espacio de la energa. La biparticin consiste en agrupar los estados nointeractuantes hasta el nivel de Fermi ms las dos impurezas magnticas en el sistema A, ylos estados no interactuantes desocupados en el sistema B. En la figura 2.18, observamos larepresentacin grfica de la particin. Esta particin nos dar evidencia de la participacinde los estados vacos ante el incremento de J.

Figura 2.18: Representacin de la particin del sistema en el espacio de energas.

2.4 Conclusiones 27

La entropa cuntica en este caso aumenta con J. Para valores chicos de J, la entropaes aproximadamente cero (figura 2.19). Esto se debe a que, para valores chicos de J,tenemos estados llenos hasta el nivel de Fermi, con un estado singlete entre las impurezasmagnticas, el cual est desacoplado de los estados electrnicos en el estado fundamental.Esto quiere decir que la funcin de onda puede escribirse como producto directo de unestado singlete entre las impurezas (A) y un estado correspondiente a la parte electrnicallena hasta EF . Los estados por encima del nivel de Fermi no participan en forma relevanteen el entrelazamiento.

Figura 2.19: Entropa de von Neumann en funcin de J para la particin 3 en el espacio deenergas.

En cambio, para valores grandes de J, se observa que la entropa depende ligeramentedel nmero de niveles considerados en la elipse, y se observa un ligero aumento con elnmero de niveles y partculas consideradas. Esto quiere decir, que los estados por encimadel nivel de Fermi son importantes ante el aumento de J.

2.4. ConclusionesHemos estudiado las propiedades estticas y dinmicas de un corral elptico, con una

pared dura. Para el caso no interactuante obtuvimos los autoestados de la elipse a bajasenergas.

Por otro lado hemos estudiado el caso interactuante, donde dos impurezas magnticaslocalizadas en los focos de la elipse interactan va un trmino de superintercambio Jcon los electrones itinerantes. Encontramos diferentes comportamientos para llenado pare impar en la elipse.

Para llenado par y valores chicos de J, ambas impurezas se encuentran en un estadosinglete en el estado fundamental, y en un estado triplete en el primer excitado. En este


caso, el sistema puede ser modelado por dos espines interactuantes va una interaccinefectiva de carcter antiferromagntica Je f f . Por lo tanto podemos escribir un hamiltonianoefectivo para las impurezas He f f = Je f f ~S 1. ~S 2, donde Je f f = s, y s es el gap de espn enel sistema.

Una caracterstica importante aparece al analizar las funciones de correlacin de espncon el aumento de J. Las funciones de correlacin de espn entre las impurezas, ~S 1. ~S 2y entre una impureza en un sitio y el espn local de los electrones, ~S 1. ~1, permitencaracterizar la transicin del rgimen RKKY al rgimen Kondo al aumentar J. Dichascorrelaciones tienen un comportamiento opuesto con J. Para valores grandes de J lasimpurezas interactan fuertemente con los espines de los electrones locales. Y en el lmitetermodinmico se formara un estado singlete local alrededor de cada impureza indicandoel rgimen de Kondo. En cambio, para valores chicos de J, las impurezas interactanfuertemente entre s, dando lugar al rgimen de RKKY.

Para nmero impar de electrones, la interaccin efectiva entre las impurezas esferromagntica en el estado fundamental. Esto sugiere que, experimentalmente, estainteraccin podra ser controlada al cambiar el potencial qumico en el sistema (porejemplo yendo de llenado par a impar, la interaccin efectiva entre las impurezas cambiade AFM a FM, en el estado fundamental).

Si bien hemos despreciado la interaccin con otros grados de libertad u otrosdecaimientos en el sistema, en este tipo de corrales cunticos la interaccin entre espineslocalizados en los focos puede ser robusta (distancias tpicas entre espines son del ordende 10nm y con un gap de espn del orden de 105eV [26, 27], obtenido con parmetrosrealistas). Por lo tanto, estos sistemas son excelentes candidatos para aplicaciones eninformacin cuntica [25], donde al poder contar con un sistema con dos estados biendiferenciados de espn que se puede determinar arbitrariamente. Estos se encuentranmximamente entrelazados a pesar de encontrarse a una distancia mucho mayor que elparmetro de red del Cu(111).

Hemos analizado algunas magnitudes relacionadas con la Teora de InformacinCuntica (fidelidad, concurrencia y entropa de von Neumann) para diversas particionesen el sistema en el estado fundamental. Estas medidas ofrecen perspectivas alternativaspara estudiar sistemas cunticos fuertemente correlacionados.

.

Para el caso no interactuante estudiamos el entrelazamiento entre dos partes del sistemay una perturbacin local en un foco e1 (e1 < 0), particionando a la elipse a lo largo de su ejemenor. La entropa de von Neumann es una buena medida del entrelazamiento en sistemasbipartitos puros. Se puede capturar con la entropa cuntica el efecto de localizacin deun electrn en el foco 1 al aumentar |e1| y con una partcula en el sistema. En este caso laentropa cuntica es cero, indicando que el sistema es separable (debido a la localizacindel electrn en un subsistema).

2.4 Conclusiones 29

En el caso interactuante, realizamos una particin en la elipse a lo largo de su eje menor(con una impureza en cada sistema A y B) y encontramos que la entropa cuntica aumentacon el trmino de superintercambio J. Otra particin considerada, fue incluir a los espineslocalizados en el sistema A y los electrones itinerantes en el sistema B. Para el caso par,observamos que la entropa cuntica tiende a cero con valores chicos de J y aumenta conJ hasta que satura en log24 = 2. Esto se debe a que, para J chicos, los espines localizadosy los estados electrnicos estn desacoplados, y se mezclan aumentando J. Encontramosun comportamiento similar para nmero impar de partculas, slo que para J chicos laentropa es log22 = 1, debido a que las impurezas estn en una mezcla de dos estadostripletes. Para valores grandes de J tiene el mismo comportamiento que para el caso dellenado par.

La ltima particin realizada fue en el espacio de energas. La particin consiste enestados hasta el nivel de Fermi ms las impurezas magnticas formando el sistema A yestados por encima del nivel de Fermi conformando el sistema B. La entropa cunticaaumenta con J y con el nmero de niveles | considerados en el sistema, tanto parallenado par como impar.

Las impurezas de espn S = 1/2 en los focos tienen proyeccin z de espn 1/2,y cada una es equivalente a un sistema de dos niveles, llamados qubits en teora dela informacin. Recordamos que en computacin clsica las unidades para transmitir oguardar informacin son los bits. Los estados de las impurezas en el corral son robustosante perturbaciones, y para valores chicos del parmetro de control J, estas se encuentranfuertemente entrelazadas para llenado par, incluso para llenado impar hay entrelazamientofinito. La existencia de entrelazamiento cuntico entre ellas hace posible que stas puedanser definidas como qubits robustos y ser usadas para guardar informacin.

Captulo 3

Modelo de Anderson con dos impurezasen un corral elptico

3.1. Introduccin

Un fenmeno muy estudiado en la fsica de materia condensada es el efecto Kondo[4]. Este fenmeno fsico es originado cuando una impureza magntica est inmersa enun material no magntico metlico. Los electrones de conduccin del material alineansu espines de tal forma que apantallan el espn de la impureza magntica a temperaturasmenores que la escala de energa relevante en el sistema (temperatura de Kondo) y seforma un estado singlete entre los electrones de conduccin y la impureza magntica.Cabe resaltar que el efecto Kondo fue estudiado experimentalmente en tomos adsorbidosy en superficies abiertas de Ag y Au(111) en los trabajos [50, 51] (dichos trabajosfueron realizados casi simultneamente). Ellos observaron el efecto Kondo sobre tomosmagnticos absorbidos y aislados (Ce y Co) sobre superficies de metales nobles y en [51]pudieron caracterizar la temperatura de Kondo y reportaron que era mucho menor que elcaso de 3D (tri-dimensional).

Con estos antecedentes, Manoharan y colaboradores observaron fsica novedosa encorrales cunticos [2]. En ese trabajo experimental, ellos construyeron corrales elpticoscon paredes de tomos de cobalto y diferentes excentricidades (para ver detalles tcnicossobre la construccin de corrales ver [23]). Observaron que, al colocar un tomo decobalto (magntico) en un foco del corral, se originaba el efecto Kondo en dicho foco[4], y tambin observaron el efecto Kondo en el foco sin impureza. Dicho fenmenoes debido al proceso de focalizacin de la elipse que fue llamado espejismo cuntico.Esta observacin experimental motiv muchos estudios tericos del espejismo cuntico[7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] (ver captulo 1 para un descripcin ms detallada).

En otros trabajos anteriores [7, 11] estudiaron el espejismo cuntico (una impureza enel foco de un corral elptico) en funcin del tamao del corral, para el nivel de Fermi fijo.Ellos estudiaron tericamente la densidad local de estados de los electrones en el nivel deFermi, al modicar el tamao de la elipse con la excentricidad fija en = 0.5 y reportaronun comportamiento oscilatorio de dicha propiedad fsica con el tamao de la elipse.

32 Modelo de Anderson con dos impurezas en un corral elptico

En los trabajos tericos [15, 16], los autores reportaron, a partir de clculos sobreespejismos cuntico, que dos impurezas magnticas localizadas en el focos podraninteractuar fuertementemente entre s, a pesar que stas se encuentran a distancias delorden de 50 veces la distancia interatmica. Luego, en un trabajo terico realizado en [17]estudiaron dos impurezas magnticas colocadas en los focos de un corral elptico usandoclculos ab initio (de primeros principios). Estudiaron la interaccin entre impurezas delmismo tipo en un corral as como en una superficie abierta analizando el efecto del corralen la interaccin entre las impurezas. Reportaron que la interaccin entre las mismas sevea magnificada en el corral.

En [8] estudiaron dos impurezas en los focos con el modelo de Anderson, observaron elpico de Kondo y un pico adicional (en el rgimen de U grande), e hicieron comparacionescon el efecto Kondo de una sola impureza. Un experimento interesante fue realizado en[52] donde se observa que en dmeros de tomos de Co adsorbidos sobre una superficiede un metal noble (distancia entre tomos del orden de la separacin atmica del metalnoble) el efecto Kondo local en cada impureza desaparece.

El problema de dos impurezas de Kondo ha sido extensamente estudiado (en bulk), congrupo de renormalizacin en [53], donde encuentran una competencia entre dos escalasde energa en el sistema: la energa de Kondo (referido al de una sola impureza), y lainteraccin efectiva de RKKY, JRKKY . Debido a la competencia entre el orden magnticoy el efecto Kondo se origina un punto fijo inestable [53]. En otro trabajo terico en[54], estudiaron el problema de dos impurezas de Anderson en el bulk, con teora deperturbaciones, donde reportaron una relacin entre el ancho y la magnitud del picoen el nivel de Fermi en la densidad espectral de una impureza con la distancia entrelas impurezas. En [55] estudiaron experimentalmente la dependencia de la interaccinRKKY, para dos impurezas magnticas adsorbidas sobre un metal noble, en funcin de laseparacin de las mismas con el objetivo de estudiar el efecto de la interaccin RKKY enlas propiedades del sistema [55].

En trabajos anteriores [26, 27, 28, 29, 30], analizamos el modelo de Kondo dedos impurezas (con grados de libertad de espn solamente), y pudimos caracterizar dosregmenes, cuando el sistema se encuentra en la fase RKKY y en la fase Kondo en funcinde una interaccin de superintercambio entre las impurezas y la densidad de electronesconfinados en un corral elptico.

Teniendo en cuenta el estudio previo de los trabajos anteriores mencionados condos impurezas, nos preguntamos qu sucede con la competencia entre la interaccinRKKY entre las impurezas y la energa de Kondo en el sistema; en particular si estnpresentes las fluctuaciones de carga en el sistema que son tenidas en cuenta al considerarel modelo de Anderson para dos impurezas. Para lograr nuestros objetivos, estudiamos lascorrelaciones estticas y dinmicas de espn, para el modelo de dos impurezas de Andersonlocalizadas, en los focos de un corral cuntico elptico. En ms detalle, analizamos lasfunciones de correlacin de espn tanto entre las impurezas localizadas en los focos yentre cada impureza con los electrones itinerantes en funcin de su energa de sitio Ed y

3.2 Modelo de Anderson de dos impurezas 33

la hibridizacin con los electrones de la elipse V . Posteriormente, obtenemos el diagramade fases que caracteriza la transicin continua entre los regmenes presentes en el sistema(RKKY Kondo). Para valores grandes de V y de Ed (comparables con el ancho debanda del sistema) las impurezas forman un singlete local y estn descorrelacionadas entres, mientras que para valores chicos de la hibridizacin, las impurezas estn fuertementeentrelazadas entre s, y una consecuencia es que el efecto Kondo desaparece en el sistema.Adicionalmente, analizamos la correlacin de espn entre las impurezas localizadas en losfocos en funcin del nivel de Fermi, para algunos valores fijos de Ed y V , con el objetivode entender el efecto del nivel de Fermi en las propiedades del sistema.

Con el fin de comparar con resultados experimentales consideramos el sistema dela elipse acoplado a un bao electrnico con densidad de estados constante. Con estotratamos de simplificar la interaccin de las impurezas y de los electrones confinados conlos estados del bulk, y otros procesos fsicos en el sistema. Una propiedad dinmica delsistema es la densidad local de estados de las impurezas y de los electrones. Estudiamostambin comportamientos caractersticos de esta propiedad en cada fase del sistema.

Con el afn de comparar con resultados experimentales [55] consideramos unainteraccin adicional y directa entre las impurezas, Js. Analizamos el gap de espn y lacorrelacin entre las impurezas en funcin de Js, y observamos la transicin de la faseantiferromgnetica (AFM) a la ferromgnetica (FM) en funcin de Js. Estos resultadostambin fueron observados en nuestros clculos de la densidad local electrnica en losfocos del corral, lo que nos da una herramienta experimental para detectar el estadomagntico de las impurezas.

La estructura del presente captulo es la siguiente: en la seccin 3.2 describimos elmodelo de Anderson de dos impurezas. En la subseccin 3.2.1 mostramos el estudio delas propiedades estticas de las impurezas localizadas en los focos, y de los electronesitinerantes en la elipse. En la subseccin 3.2.2, estudiamos las propiedades estticas enfuncin del nivel de Fermi y tambin estudiamos con teora de perturbaciones el papel quejuega la paridad de los estados electrnicos en las propiedades del sistema en el estadofundamental. En 3.2.3 estudiamos las propiedades dinmicas calculando la densidad localde estados. En la seccin 3.3 analizamos las transiciones de fase posibles en el sistemacuando las impurezas interactan entre s, va un trmino magntico Js. En la ltimaseccin 3.4, mostramos las conclusiones relevantes del trabajo.

3.2. Modelo de Anderson de dos impurezasEn el captulo 2 estudiamos dos impurezas de Kondo localizadas en los focos de un

corral elptico, las cuales interactan va un trmino de superintercambio J (AFM), con loselectrones itinerantes en la elipse [56]. Analizamos las funciones de correlacin estticasy dinmicas de espn entre las impurezas y con los electrones en la elipse. Con estascorrelaciones pudimos caracterizar la transicin RKKY-Kondo sin considerar el efecto delas fluctuaciones de carga en el sistema [4]. Para estudiar dicho efecto, estudiaremos en


este captulo el modelo de Anderson, ampliamente estudiado en fsica del estado slido(para ms detalles ver [4]).

En esta seccin estudiamos dos impurezas de Anderson localizadas en los focos de uncorral elptico interactuantes con los electrones confinados en el sistema va un trminode hibridizacin V1 = V2 = V (Vi es la hibridizacin de los electrones con la impureza enel foco i), donde modelamos a los electrones en la elipse como un gas bidimensional. Eneste modelo la energa de un nivel de la impureza en el foco i es Ed,i (por simplificacin,consideramos Ed,1 = Ed,2 = Ed); los electrones en los niveles de las impurezas tambinexperimentan una repulsin coulombiana Ui en el foco i (consideramos U1 = U2 = U). Elsistema est descripto por el hamiltoniano HA:

HA = Hel +

i

V(c+idi + d+ici) + U

i

d+idid+idi + Edi,

d+idi, (3.1)

donde:ci =

ic, , (3.2)

ci es el operador local de destruccin ferminico en el foco i (i = 1, 2), con espn ,i es la proyeccin del autoestado de la elipse | sin impurezas en el foco i, c es eloperador de destruccin de un electrn en el estado | con espn y di es el operador dedestruccin de un electrn en el nivel de la impureza en el foco i de la elipse con un dadoespn . La energa de los electrones itinerantes en la elipse sin impurezas est consideradaen el hamiltoniano Hel (estudiado anteriormente, ver ecuacin (1.1)). Por simplificacindel modelo consideramos Ed EF U/2 (caso casi simtrico). La unidad de energaconsiderada es 2t (elemento de hopping entre sitios vecinos en la elipse sin impurezas, verseccin 1.1 del captulo 2). EF es la energa del nivel de Fermi en la elipse sin impurezas.

El espacio de parmetros (V ,Ed,EF,D, donde D es el ancho de banda de los electronesen la elipse) definir los diversos regmenes en el sistema. No estamos interesados en elrgimen de valencia intermedia [4] (los niveles de la impureza estn dentro del ancho debanda de los electrones), con lo cual elegimos EFEd > D/2 (los niveles de las impurezasestn fuera de la banda). ste es el lmite de Kondo para el que tenemos un electrn en elnivel de la impureza cuando V 0. El ancho de banda de los electrones confinados en laelipse est definida por los niveles considerados, siendo D 0.25.

El hamiltoniano de dos impurezas de Anderson dado por la ecuacin (3.1), parael lmite de U >> D, se puede expresar en un hamiltoniano de Kondo usando latransformacin de Schrieffer-Wolff [57] (ecuacin (2.1)). La derivacin de la relacinde parmetros entre modelos es sencilla de obtener (por ejemplo ver [4]). Para el casode una impureza se puede expresar J (interaccin de intercambio) de la forma: J =

U |V |2(U+EdEF )(EFEd ) . Para el caso simtrico (EF Ed = U/2) la expresin queda simplificadade la forma:

J =2|V |2

EF Ed=

4|V |2U

. (3.3)

Para estudiar las propiedades de nuestro sistema, obtuvimos numricamente el estadofundamental |0 de HA usando el mtodo de Lanczos [31] (alternativamente tambin se


podra usar el mtodo de Davidson [32]), para diversos llenados en la elipse (par e impar) ydiversos valores de Ed y V , y consideramos hasta 10 niveles electrnicos | en el sistema.El criterio usado para la eleccin de estos estados | est descripto en la seccin 2.2 delcaptulo 1. El nivel de Fermi (EF), es similar al del experimento [2].

Con las consideraciones anteriores, el nivel de Fermi en la elipse se fij alrededor delestado |23 autoestado de hamiltoniano Hel debido a que dicho estado tiene mucho pesoen los focos de la elipse Dependiendo del llenado, sera nivel resonante o no (para llenadoimpar el nivel de Fermi coincide con dicho estado, nivel resonante). En la figura 3.1,podemos observar la densidad de probabilidad en el nivel |23. Las zonas claras indicanmayor densidad de probabilidad, en cambio las zonas oscuras indican baja densidad deprobabilidad de encontrar a los electrones. Tambin, en la figura 3.1, observamos larepresentacin grfica de la interaccin en la elipse. Estn tambin representados losniveles localizados de las impurezas en los focos con sus respectivas energas.

Figura 3.1: Densidad de probabilidad en el autoestado |23 de la elipse (nivel de Fermi, similaral del experimento [2]); las zonas claras indican mayor densidad de probabilidad, y las oscurasel caso contrario. Tambin podemos observar la representacin grfica de la interaccin en elcorral elptico con las impurezas localizadas en los focos, i es la representacin del espndel electrn itinerante en el foco i = 1, 2. Adicionalmente, representamos los niveles de lasimpurezas con energas Ed y Ed + U. La hidridizacin de los electrones en la elipse con lassitios de las impurezas es representada por V .

3.2.1. Propiedades estticasPara un estudio detallado del sistema, necesitamos caracterizar las posibles transicio-

nes en el mismo. Para eso, estudiamos la funcin de correlacin de espn entre las dosimpurezas, y entre las impurezas y los electrones itinerantes en la elipse.

La funcin de correlacin de espn entre las impurezas est definida como 0| ~S 1. ~S 2|0en el estado fundamental |0, donde ~S 1. ~S 2 = S z1S z2 + (S +1 S 2 + S 1 S +2 )/2; S +i es el operadorde espn de subida en el foco i (S +i | = | y S i | = | ). Los operadores de espn


para impurezas en el foco i se expresan en funcin de los operadores di ( es el espn) dela forma: S +i = d+idi, S i = d+idi y S

zi = (d+idi d+idi)/2.

Para el clculo de estas funciones de correlacin estamos considerando 6 nivelesrelevantes en la elipse (escogidos con el criterio estudiado en la seccin anterior) y 6electrones confinados.

Figura 3.2: a) Funcin de correlacin de espn entre las impurezas ~S 1. ~S 2 en funcin deEd y V (caso simtrico): observamos un cambio en la concavidad de la grfica, indicativodel cambio de rgimen (RKKY-Kondo). En b) observamos la proyeccin de la funcin decorrelacin en el plano de Ed y V . El llenado considerado en el sistema es par (6 electrones)y el nmero de niveles es 6 (el nivel de Fermi no est en resonancia). La curva de trazos y decolor rojo es un fiteo de los puntos que indican el cambio de rgimen (RKKY Kondo), yest dada por la ecuacin: E()d = 2.174|V |2 1.717.

En la figura 3.2a, observamos la funcin de correlacin de espn entre las impurezas ~S 1. ~S 2 en el estado fundamental |0, en funcin de V y Ed. En la figura 3.2b observamosla proyeccin de la funcin de correlacin en el plano. En color rojo indicamos el rgimenKondo, en cambio color azul indica el rgimen RKKY. Por consiguiente, con este resultadopodemos caracterizar la transicin del rgimen RKKY-Kondo, en funcin de V y Ed. Enel rgimen RKKY (para valores chicos de V) los electrones actan como intermediariosentre la interaccin efectiva entre las impurezas, y esto correspondera a ~S 1. ~S 2 cercanoal valor de 3/4 [18, 58]. En cambio en el rgimen de Kondo (para valores grandes deV) los electrones apantallan el espn de cada impureza, formndose una nube de Kondoalrededor de las mismas [4]. En este caso las impurezas estn descorrelacionadas. Elapantallamiento completo sucedera en el lmite termodinmico, considerando todos losestados de la elipse. En cambio en nuestro caso, en el que tenemos pocos estados, es difcildefinir una temperatura de Kondo (en [12] realizan un estudio del efecto de tamao en elrgimen de Kondo, referido al nmero de niveles electrnicos | de la elipse considerado


en la diagonalizacin de HA). Por lo tanto podemos decir que en nuestro caso slo tenemosevidencia que, para valores de U grandes (U >> 2t), las impurezas estn en el rgimende Kondo.

Figura 3.3: a) Funcin de correlacin de espn entre las impurezas y los electrones itinerantesen el foco 1 de la elipse S z1.z1 en funcin de Ed y V (caso simtrico). Observamos losregmenes RKKY y Kondo, donde el cambio de concavidad en la grfica indica el cambio dergimen (consideramos 6 electrones y 6 niveles en la elipse). En b) observamos la proyeccinde la funcin de correlacin en el plano de Ed y V .

El criterio que usamos para caracterizar el paso de un rgimen a otro (RKKY-Kondo),es el punto de inflexin de la curva de la funcin de correlacin de espn donde lamisma cambia de concavidad. Como en este caso el cambio de rgimen es continuoes difcil usar un slo criterio para definirlo. En nuestro caso, los regmenes Kondo yRKKY estaran separados por la franja de color amarillo en la figura 3.2b. La curva detrazos y de color rojo corresponde al fiteo de la curva donde se produce el cambio de unrgimen a otro (RKKYKondo), para los parmet

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