mecanica de fluidos
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FLUJO FLUJO POTENCIALPOTENCIAL
FLUJO POTENCIAL
Superponer varios flujos potenciales simples para construir un flujo.
El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad
Es posible estudiarlos teóricamente
Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solución de la capa límite.
Objetivo
CONCIDERACIONES BÁSICAS
- Flujo bidimensional, permanente, incompresible e irrotacional.- Condiciones de contorno para flujo no viscoso.- Conservación de masa- Física y matemáticas necesarias para la mecánica de fluidos
FISICA Y MATEMATICAS NECESARIAS PARA LA MECANICA DE FLUIDOS
DERIVADAS PARCIALES
2( , ) 2 cos(3 )
2 2cos(3 )
???
F x y yx x y
Fxy y
xF
y
REGLA DE LA CADENA
( , )
( , )
( , )
???
F F A B
A x y
B x y
F F A F B
x A x B xF
y
r
X
Y
Z
r xi yj zk
V ui vj wk
dr dx dy dzV i j k
dt dt dt dt
, ,dx dy dz
u v wdt dt dt
VECTORES
Considere el movimiento de una partícula. Denotando como r el vector posición (desplazamiento) de la partícula, y los vectores i, j, y k denotan a los vectores unitarrios en la dirección X, Y y Z, respectivamente. Luego
El vector velocidad V del movimientode un punto es dado por:
donde por definición
Por lo tanto:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
OPERADOR NABLA
Es un operador diferencial representado por el símbolo V (nabla).
Este operador puede aplicarse a campo escalares Ф o a campos vectoriales
Líneas de Corriente
Es un lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en instante t .
v
y
u
x
Ecuación de la línea de corriente en forma vectorial
CAPA LÍMITE
Prandtl 1904: Explica la resistencia de los cuerpos currentilineos, placas planas paralelas al flujo y similares en flujo de pequeña viscosidad
Los efectos friccionantes del flujo se confinan a la capa limite y quizá a una estela detrás de un cuerpo pero fuera de la capa limite la viscosidad del fluido no tiene efecto el fluido es sin fricción e irrotacional
V=0 en A y C Punto de estancamiento
En A y C V=0 Punto de estancamiento
En A y C la presión es máximo
En B la velocidad es máximo y la presión es mínimo
a) Flujo inviscido
b) Flujo existente
Flujo alrededor de una esfera
Región separada
Capa límite
FUNCIÓN CORRIENTE
Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de la línea de corriente.
)........(1 udyvdx
:es toralderivada la ),( : Si yx
.....(2) dyy
dxx
d
Comparando ambas expresiones se tiene :
.......(3) y
ux
v
El flujo entre las lineas de corriente puede ser cuantificado por:
La ecuación de Vorticidad:
y
uv
x
expresados en términos de :
2
2
2
2
x y
Para flujos irrotacionales z =0
0x
22
2
2
2
y
Ecuación de Laplace
POTENCIAL DE VELOCIDADEs una función (x,y) cuya derivada negativa con respecto a la distancia en cualquier dirección proporciona la velocidad en dicha dirección.
),(),(
vuVyx
y- v
dxu
gradV
Solo los campos irrotacionales pueden ser representado por una función potencial
Es perpendicular a la función de corriente
De la definición:
La función escalar se llama Potencial de Velocidad
Si el flujo es considerado incompresible y estable, introduciendo en la ecuación de continuidad.
0y
v
dx
u
Se obtiene:
02
2
2
22
yx
La ecuación de Laplace.
RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE LA CORRIENTE Y EL POTENCIAL DE VELOCIDAD
xyv
dxu
y
Ecuación de Cauchy-Riemann
RELACIÓN ENTRE LAS LÍNEAS DE CORRIENTES Y LAS LÍNEAS EQUIPOTENCIALES
Las líneas son constantes forman una familia de líneas de corrientes, ahora se vera que las líneas de son constantes o líneas equipotenciales constituyendo otra familia de líneas ortogonales a la líneas de corrientes, las dos familias de curvas constituyen una malla ortogonal conocida como red de flujo.
u
v
dx
dy
udyvdxdyy
dxx
c
0Línea de corrientes cte:
COORDENADAS POLARES
Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por una ángulo y una distancia
(1)
(2)
Las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadas polares.
......(3)
r
y
yr
x
xr
De (1) y (2) en (3):
sencos
yxr
Componentes radiales de velocidad:
r
Vr
Vr
Sustituyendo las derivadas parciales del Potencial de Velocidad por las componentes de la velocidad.
)sencos( VyVx
r
Vx y Vy componentes de la velocidad
en la dirección radial
En función de la función corriente:
rrVr
V
Relaciones polares en función de corrientes y en potencial de velocidad
rr
rr
FLUJOS BÁSICOS
Un Flujo Uniforme es aquel que tiene magnitud constante. (V0)
Flujo rectilíneo
1c
1k 2k 3ky
x
2c
3c
4c
0V
en una misma dirección.
En el campo de Flujo: u=V v=0
CUydxVdy )0(
La función corriente se obtiene:
Para = 0 la línea de corriente coincide con el eje x
Función de corriente
Potencial de velocidad
Vy
Vx
En coordenadas polares donde: y = rsen
= Vrsen
Vy
x
r
0
0
Fuente y sumidero
Fuente y sumidero son dos conceptos matemáticos. Son dos puntos singulares en
medio del fluido, en el cual la materia (sale) o es extraída (Sumidero)
El componente radial y tangencial de la velocidad.
0
2
rV
r
q
rVr
r = módulo del vector posiciónq = Caudal (Intensidad) a través de cualquier
banda
A través de todos los círculos de radio r pasara el mismo régimen de flujo q.
Fuente :
2
q
Función de corriente
q= caudal por unidad de profundidad= arc tang. (y/x)
Potencial de velocidad
rq
ln2
= fuerza de la fuente2q
Sumidero :
2
q
Función de corriente
= arc tang. (y/x)q= caudal por unidad de profundidad
Potencial de velocidad
rq
ln2
= fuerza de la fuente2q
Vórtice libre o irrotacional El vórtice libre esta descrito por líneas de corriente circulares
concéntricas y con distribuciones de velocidades tal que el campo de flujo es irrotacional.
Las componentes radiales de velocidad en todas partes es igual a 0.
tVr 2
Ciculación La
r
Se obtiene un vórtice bidimensional si se toma la función de corriente de la fuente como función potencial
La circulación es la magnitud del vórtice
Función de corriente
dextrògiro Vórtice ln2
Votice del Fuerza ,ln2
02
0 ,2
r
r
cddrr
Vrr
V rt
Función potencial
2
• La circulación a lo largo de cualquier curva cerrada coincidente con cualquier línea de corriente se calcula:
2
ln2
VelocidaddePotencial
rCorrienteFunción
SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS
Fuente en un Flujo RectilíneoLa superposición de una fuente y un flujo rectilíneo
s
Xs
V
2
2
VelocidaddePotencial
qVrsenCorrienteFunción
La distancia entre el punto de estancamiento ‘s’ y el origen es ‘x’
q
vxs 2
Donde q es la intensidad de la fuenteY v la velocidad del flujo
Contorno de Cuerpo 22qqsenVr
Componente de Velocidad Vr y Vt
r
qV
qsenV
rrV rr
2cos
2
1
Vsenq
senVrr
V rt
2
FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA
El campo de flujo producido por una fuente y un sumiderode igual fuerza, el régimen de flujo total pasa de uno a otro
y se caracteriza por una familia de líneas de corrientes originadas en la fuente y que terminan en el sumidero.
La Función Corriente del campo de flujo es
12
2121
2
2
22
donde
qqqqt
La Función de Corriente en coordenadas cartesianas
ax
y
ax
yqarctanarctan
2
FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA EN UN FLUJO RECTILINEO
De la combinación de un fujo rectilíneo con una fuente y un sumidero de igual fuerza resulta el ovalo de Rankine.
V
f s
1 22
b
1r
2r
Función de Corriente
1.........arctanarctan2
ax
y
ax
yqVy
El contorno del cuerpo
Va
qa
l
1
2
b\2 se obtiene para x=0; y=b\2 y ψ=0 en (1)
Potencial de Velocidad
3........2
senVq
rsft
Función de Corriente
senVrrq
rsft lnln2
DobleteUn doblete se define como el resultado de la suma de la fuente y un sumidero de igual intensidad cuandoSe aproximan uno al otro.
21
22
0
0
:
rrr
sen
a
Como
asensenrAB 22
a a
1 2
Función de Corriente
r
asenq
2
2
Sea 2qa=m fuerza del doblete
r
mseny
2
DOBLETE EN FLUJO RECTILINEO
Cuando se combina el doblete con el flujo rectilíneo resulta uncaso limite del ovalo de Rankine.
S S
V
Función de Corriente
r
msensenVr 2
En contorno 0
senr
RrV
VmR
2
2 doblete del fuerza ,VR2m donde
cte.R 2
Componente Radial de la Velocidad:
Componente tangencial de la Velocidad:
cos)1( 2
2
r
RV
rvr
sen
r
RV
rvt )1( 2
2
Potencial de Velocidad:
Función de Corriente:
r
qvr cos
cos
r
senqsenvr
EL DOBLETE EN EL FLUJO RECTILINEO CON CIRCULACIÓN
Se puede construir otro campo de flujo útil por superposición de:Vórtice libre, un doblete y un flujo rectilíneo uniforme.
Obteniéndose la Función de corriente:
cos2
)(2
senr
RrV
Las Componentes de Velocidad
cos)1( 2
2
r
RV
rvr
rsen
r
RV
rvt 2
)1( 2
2
En el contorno del cuerpo r=R vr=0
RVsenvt
2
2
En el punto de estancamiento: 0tv
VRsen
4
Fx, Fy = Fuerzas ejercidas
por el fluido sobre el circulo.
1.sen ntoestancamie depuntos dos loson confundier se ,
es d'' de grande ams valor el Para
2
vertical.ejesu sobrey cìrculo del debajolugar algun en encontrara se
ntoestancamie de punto el ,1VR4
Para
VR41
R
14
VR
R
Conociendo u y v la función corriente es:
Cdyy
dxx
La ecuación de continuidad:
......(4) 0 x
y
vu
Sustituyendo el (3):
xyyxx
22
o )x
( y
)y
(