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MECANICA DE LOS
FLUIDOS
Ing. Alejandro Mayori
6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA
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- Teoría matemática y resultados experimentales han desarrollado soluciones practicas
- Permite realizar experimentos en modelos a escala
- Análisis dimensional y la semejanza hidráulica simplifica las experiencias y el análisis de los resultados obtenidos
6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA
6.1 Introducción
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- Toda ec. que exprese una relación física entre magnitudes debe igualar las magnitudes por los valores numéricos y por las dimensiones
- Todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre Fuerza, Longitud y Tiempo o entre Masa, Longitud y Tiempo
6.2 Análisis Dimensional
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Aplicaciones :
- Conversión de unidades
- Desarrollo de ecuaciones
- Reducción nro.. variables requeridas experimento
- Establecimiento de los principios para el diseño de modelos
6.2 Análisis Dimensional
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- Modelos pueden ser verdaderos o distorsionados
- Modelos verdaderos esta a escala (semejanza geométrica) y satisfacen las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica)
- Resultados obtienen modelos son buenos
6.3 Modelos Hidráulicos
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- Hay semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas son iguales
- Lrel = Lmodelo / Lprototipo Lr = Lm / Lp
- Lrel 2 = Amodelo / Aprototipo = Lmodelo
2 / Lprototipo 2
6.4 Semejanza Geométrica
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- Hay semejanza cinemática entre el modelo y el prototipo cuando
- 1 Las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes
- 2 Las relaciones entre velocidades de las partículas homologas son iguales
- Velocidad Vm/Vp = (Lm/Tm )/ (Lp/Tp ) = Lr/Tr
- Aceleracion am/ap = (Lm/Tm 2)/(Lp/Tp
2) = Lr/Tr 2
- Caudal Qm/Qp = (Lm 3/Tm)/(Lp
3/Tp)= Lr 3/Tr
6.5 Semejanza Cinemática
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- Hay semejanza dinámica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre fuerzas homólogas son iguales
- Las condiciones para la semejanza completa se obtiene del 2 principio de Newton Σ F = m a
- Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas
- ΣFuerzasmodeloΣFuerzasprototipo
= MmamMpap
6.6 Semejanza Dinámica
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- Fr =Fuerzam
Fuerzap = Mmam
Mpap =
ρmLm 3
ρpLp 3
Lr
Tr 2 =ρrLr
2 (Lr
Tr ) 2
6.7 Relación entre Fuerzas de Inercia (Ecuación Newtoniana)
- Fr = ρr Lr
2 Vr
2 = ρr
Ar
Vr
2
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- Euler = M ap A
= ρL3(L/T2)
p L 2 =
ρV2
p
6.8 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Presión (Nro. Euler)
6.9 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Viscosas (Nro. Reynolds)
- Reynolds= M at A
= M a
m (𝑑𝑉
𝑑𝑦)A
= ρL2V2
m (𝑉
𝐿)L2
= ρVL
m
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- Froud2= M aM 𝑔
= ρL2V2
ρg L3 = V2
g L
6.10 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Gravitatorias (Nro. Freud)
6.11 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Elásticas (Nro. Cauchy)
- Cauchy = M aE A
= ρL2V2
E L2 = ρV2
E
- A su raíz se le conoce nro. de March
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- Weber = M as L
= ρ L2
V2
s L =
ρ L V2
s
6.12 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Tensión Superficial (Nro. Weber)
6.13 Relación de Tiempos
- Las relaciones de tiempos gobernadas por la viscosidad, la gravedad, la tensión superficial o la elasticidad son :
- Tr = Lr
2 /vr
Tr = Lr
/gr
- Tr = Lr 3
rr
/sr
Tr = Lr
/ Er /rr
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•EXPERIMENTACIÓN MECÁNICADE FLUIDOS
•ADIMENSIONALES MECÁNICA DE FLUIDOS
•SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach
6.13 Metodología
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Las ecuaciones fundamentales de un flujo no
son generalmente suficientes para una solución
completa del problema.
En Mecánica de fluidos que pueden intervenir
hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible
la experimentación. Afortunadamente, en un
problema concreto, no influirán más de 6;
pero todavía es excesivo.
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Mediante el análisis dimensional podemos formar
agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas
en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con
ello se reduce el número de variables a (n - m):
n = número de magnitudes físicas que intervienen
m = número de magnitudes básicas que intervienen
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Cuantas menos agrupaciones resulten, menos
experiencias hay que hacer: una agrupación
requeriría una experiencia; dos agrupaciones
varias experiencias (10 por ejemplo) para
construir una curva, y tres nos llevaría a varias
(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).
Una ventaja adicional que nos proporciona la
teoría dimensional es la de predecir los resultados
de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando
con un modelo a escala. José Agüera Soriano 2011
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Para establecer los posibles adimensionales,
supongamos que intervienen a la vez todas
las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,
de gravedad, de fricción, de elasticidad y de
tensión superficial.
Expresemos la resultante (Σ F), o fuerza de
inercia (Fi),que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u:
- ΣF = F = ma = ρL3
L
T2 = ρL2 u2
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Fuerza de presión (p):
Fuerza elástica (K):
Fuerza tensión superficial (s)
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa (μ):
Fp = l2 p
Fg = l3ρ g
Fr = l2 t = l u μ
Fs = l s
FK = l2 K
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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
l2 p + l3𝜌 g + l u μ + l2 K + l s = 𝜌 l2
u2
expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con
frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar
de las 8 (dimensionales).
f (l, p, ρ, g, u, μ, K, s) = 0
- Φ (𝑝
𝜌u2 , lg
u2,
𝜇
𝜌𝑙u ,
𝐾
𝜌u2 , s
𝜌lu2) = 0
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- Φ (𝑝
𝜌u2 , lg
u2,
𝜇
𝜌𝑙u , 𝐾
𝜌u2 , s
𝜌l u2) = 0
Número de Reynolds Re = 𝜌𝑙u
𝜇
Número de Mach Ma = 𝑢
𝐾/𝜌 =
𝑢
𝑎
Número de Weber We = 𝑢
s/𝜌𝑙
Coeficiente de person Cp =𝑝
𝜌u2
Número de Froude Fr = 𝑢
𝑙𝑔
- Φ (𝑝/𝜌
u2/2 ,
𝑢
𝑙𝑔, 𝜌𝑙u
𝜇,
𝑢
𝐾/𝜌,
𝑢
s/𝜌𝑙) = 0
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- Φ (𝑝/𝜌
u2/2 ,
𝑢
𝑙𝑔, 𝜌𝑙u
𝜇,
𝑢
𝐾/𝜌,
𝑢
s/𝜌𝑙) = 0
(𝑝/𝜌
u2/2 ) = f (Fr, Re, Ma, We)
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l
y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
(𝑝/𝜌
u2/2 ) = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales
cuya intervención sea nula o poco importante
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No es necesario ensayar con el mismo fluido
que utilice el prototipo. El agua y el aire son
los fluidos que generalmente se utilizan.
Los modelos se hacen de materiales diversos
madera, escayola, metales, hormigón, plástico etc.
6.14 Ensayos con Modelos
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Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc., se hacen en los laboratorios de hidráulica. Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de agua. Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales hidrodinámicos
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Leyes de semejanza
Existe semejanza cinematica en dos corrientes fluidas cuando las lineas de flujo de una lo sean respecto a las homologas de a otra. Para ello es necesario
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos
Deben ser semejantes
a) Semejanza geométrica
- λ = Lp / Lm ; λ2 = Lp
2 / Lm2 ;
λ3 = Lp3 / Lm
3
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a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude, Frp = Frm b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem
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Frp = Frm
Semejanza de Froude
y si gp=gm, como es lo habitual:
Por ejemplo, si λ = 25, up /um=5.
Relación de velocidades
𝑢𝑝
𝑙p𝑔p
=𝑢𝑚
𝑙m𝑔m
𝑢𝑝
𝑢𝑚
= λ 𝑔𝑝
𝑔m
𝑢𝑝
𝑢𝑚
= λ
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Relación de caudales (Q = S u)
Relación de fuerzas (F = γ l
3)
𝑄𝑝
𝑄𝑚
=𝑆
𝑝
𝑆𝑚
𝑢
𝑝
𝑢𝑚
𝑄𝑝
𝑄𝑚
= λ5/2
𝐹𝑝
𝐹𝑚
=γ𝑝
γ𝑚
λ3
y si γ p = γ m, como es lo habitual:
𝐹𝑝
𝐹𝑚
= λ3
Por ejemplo, si λ = 25, Fp /Fm = 15625.
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Relación de potencias (P = F u)
y si γ p = γ m,
𝑃𝑝
𝑃𝑚
=𝐹𝑝
𝐹𝑚
𝑢𝑝
𝑢𝑚
= λ3 λ1/2
Por ejemplo, si λ = 25, Pp /Pm = 78125.
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Semejanza de Reynolds 𝑅𝑒𝑝
= 𝑅𝑒𝑚
Relación de velocidades.
𝑙𝑝
𝑢
𝑝
ν𝑝
= 𝑙
𝑚 𝑢
𝑚
ν𝑚
Por ejemplo, si λ = 25, up / um = 1/25
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor. Por lo que no es posible que se cumplan ambos a la vez, salvo que la escala sea la unidad
𝑢
𝑝
𝑢𝑚
= ν
𝑝 𝑙
𝑚
ν𝑚
𝑙𝑝
𝑢𝑝
𝑢𝑚
= ν𝑝 ν𝑚
1
λ
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ṁ𝑝
ṁ𝑚
= ρ𝑝
𝑠𝑝𝑢𝑝
ρ𝑚 𝑠𝑚𝑢𝑚
= ρ𝑝 ρ𝑚
λ2 ν𝑝 ν𝑚
1
λ=
ρ𝑝 ρ𝑚
ν𝑝 ν𝑚
λ
Relación de caudales ṁ = ρ Q = ρ S u
ṁ𝑝
ṁ𝑚
= μ
𝑝
μ𝑚
λ
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F𝑝
F𝑚
= l𝑝
𝑢𝑝𝜇𝑝
l𝑚 𝑢𝑚𝜇𝑚
= λ𝜈𝑝 𝜈𝑚
1
λρ𝑝 ρ𝑚
Relación de fuerzas (F = l u 𝝁)
F𝑝
F𝑚
= (𝜈𝑝
𝜈𝑚
)2 ρ𝑝
ρ𝑚
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo
estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo
cortante en el modelo contrarresta su
menor superficie de rozamiento
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Relación de Match
Ma p = Ma m
Relación de Velocidades
𝑢𝑝
𝐾𝑝/𝜌
𝑝
= 𝑢
𝑚
𝐾𝑚
/𝜌𝑚
𝑢𝑝
𝑢𝑚
= 𝑎
𝑚
𝑎𝑚
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Relación de Fuerzas (F = K S )
ṁ𝑝
ṁ𝑚
= ρ𝑝
𝑠𝑝𝑢𝑝
ρ𝑚 𝑠𝑚𝑢𝑚
= ρ𝑝 ρ𝑚
λ2 𝑎𝑝 𝑎𝑚
Relación de Caudales (ṁ = ρ Q = ρ S u )
F𝑝
F𝑚
= 𝐾𝑝
𝑆𝑝
𝐾𝑚 𝑆𝑚
= 𝐾𝑝 𝐾𝑚
λ2
y como 𝑎 = 𝐾/𝜌
F𝑝
F𝑚
= 𝜌𝑝 𝜌𝑚
(𝑎𝑝 𝑎𝑚
)2 λ2
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