7/24/2019 Mecanica de Materiales Reporte

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Ecuaciones diferenciales para vigas columnas

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

INSTITUTO TECNOLGICOdel istmo

MATERIA:

MECANICA DE SUELOS APLICADA

TEMA:ECUACION DIFERENCIAL DE LA VIGA COLUMNA

CATEDRTICO:ING. JAVIER SANTIAGO SANTIAGO

INTEGRANTES DEL EQUIPO:David Garcia Domingue

E!a" Laaro C#om$a

ESPECIALIDAD:INGENIERIA CIVIL

SEMESTRE:

%&

Juchitn de Zara o a Oax. a 26 de Octubre del 2015

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Para una ms completa comprensin del problema de la viga columnaresulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre lasvariables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elementodiferencial de viga columna como se indica en la Figura 3. Notarespecialmente que el elemento se muestra en su posicin deformada. Para

vigas ordinarias (comportamiento lineal cargadas transversalmente estono es necesario. Por otro lado los despla!amientos que se tratan en esteanlisis son peque"os en relacin con la lu! de la viga columna# lo cualpermite las siguientes simpli$caciones.

dv%d& ' tan ) ) sen# cos ' * ds) d&

Con esta base# las dos ecuaciones de equilibrio son

+a primera de estas ecuaciones da,

-ue no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en laposicin sin deformacin.+a segunda# despreciando in$nitesimales de orden superior# da,

Por lo tanto# para vigas columnas# la fuer!a cortante # adems dedepender de la derivada del momento / como en la vigas# depende a0orade la magnitud de la fuer!a a&ial 1 de la pendiente de la curva elstica. El2ltimo trmino es la componente de P a lo largo de las secciones inclinadasque se muestran en la Figura 3.En este desarrollo se puede utili!ar la relacin usual de la teor4a de 5e&in#v6 ' /% (E7.

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8ubstitu1endo la ecuacin (9.*3 en la (9.*: 1 0aciendo uso de la relacinanterior# se obtienen dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigas;columnas

1 (9.*? resultan las mismasecuaciones vistas para vigas con carga transversal.Para las nuevas ecuaciones# las condiciones de borde son las mismasvistas con anterioridad# e&cepto que la fuer!a de corte se obtiene de lae&presin (9.*3.Para referencia futura# la solucin 0omognea de la ecuacin (9.*>;(9.*?1

sus derivadas se listan a continuacin.

Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para e&presar lascondiciones de contorno# a $n de evaluar las constantes C*# C:# C3 1 C>.

Ejemplo :@na barra delgada de E7 constante se somete simultneamente amomentos de e&tremo# /=# 1 a fuer!as a&iales P# como se indica en laFigura >.a.

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Puesto que / (& ' E7vAA# con a1uda de las ecuaciones (9.*B.a 1 (9.*B.cestas condiciones dan

esolviendo las cuatro ecuaciones en forma simultnea#

Por lo tanto la ecuacin de la elstica es,

El ma1or momento 5ector ocurre tambin en & ' +%:. 8u valor m&imoabsoluto es

El ma1or momento 5ector ocurre tambin en & ' +%:. 8u valor m&imoabsoluto es

Es importante observar que en miembros delgados los momentos 5ectorespueden aumentar substancialmente por la presencia de fuer!as a&iales decompresin. Cuando e&isten tales fuer!as# aumentan los despla!amientoscausados por la carga transversal. En el caso de fuer!as de traccin losdespla!amientos disminu1en.

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FORMULA DE EULER 'ARA COLUMNAS ARTICULADAS

Co(umna con e)*remo! ar*icu(ado!.+Co(umna idea(.

+' ,'cr- (a co(umna !e $andeara.

De*erminando (a carga cr*ica o $andeo de Eu(er

+Secci/n *ran!ver!a( en e( $un*o 0-+Momen*o 1(e)ionan*e 2 (a 1uera '

+Momen*o 1(e)ionan*e !er34

Donde 5 e! (a de1(e)i/n (a*era(

2 ' e! (a carga !ome*ida.

La carga cr*ica 6'cr7.

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Para determinar las cargas cr4ticas 1 la forma pandeada de la columna# sedebe usar la curva de la 5e&in de una viga# 8on aplicable a una columnapandeada debido a que la columna se 5e&iona como una viga# se elige laecuacin diferencial del momento 5e&ionante que es ,

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Ana(iando - $ueden ocurrir > co!a!

En e( ?er ca!o e! 8ue C?@ - !i ocurre e!o - !e reduce a 2@ 2 (a co(umna e! rec*a.

En e( >do ca!o e! 8ue !en6 L7@ - 2 e!o im$(ica 8ue L@- , 2 -e*c. -

e8uiva(en*e a

Donde

n@ e! e( n"mero de o!ci(acione!

De!$e;ando

4

Como las ra4ces son complejas conjugadas# estamos en el 3 caso#

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E(evando a( cuadrado

5 (o com$aramo! con

Donde n@?

De (a ecuaci/n !e deduce4

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ILIOGRAFIA4

Mec3nica de !o(ido! Egor ' 'o$ov

Formu(a de Eu(er $ara co(umna! ar*icu(ada!

?: RESISTENCIA DE MATERIALES Romero Garca