Mecánica lagrangiana

La energía cinética está dada por

K=mv2

Para un sistema de N partículas la energía cinética en el plano cartesiano estará dada por

K=∑n

DOF12mi x i

2

Donde mi es la masa y x i es la velocidad lineal de una partícula. Para describir la posición de una partícula en un sistema es necesario x i por cada grado de libertad (DOF), así que para un sistema en una dirección basta con solo una x i y para 3 dimensiones se requieren 3 x i.

El momentum, momento lineal o ímpetu definido como la magnitud que describe el movimiento de un cuerpo, está dado por

p=mv

De la ecuación de energía cinética es posible ver que

dd x i

K= dd x i

12mi x i

2=mi xi=p i

Por otro lado se tiene la fuerza la cual puede definir a partir de la derivada temporal del momento lineal:

F=d pdt

Por lo tanto

F ik=d pi

dt= ddt

dd x i

K

También se tiene que la energía potencial está dada por

U=−∫ Fid x

Con lo que se obtiene

F iu=−∂U∂ x i

Usando leyes de Newton y suponiendo un sistema sin disipación de energía se tiene

F ik−Fiu=0

ddt

dKd x i

−∂ (−U )∂ x i

=0

Ya que

∂ K∂x i

=0

∂U∂ x i

=0

Se tiene

ddt

d (K−U )d x i

−∂ (K−U )

∂x i

=0

Los términos K−U son conocidos como Lagrangiano

ddt

d Ld x i

−∂ L∂ x i

=0

Deslizamiento plano

Cuando se aplica una fuerza sobre un objeto no es posible saber qué es lo que ocurrirá, bien podría deslizarse o girar. Para determinar el movimiento que se tendrá al ejercer una fuerza y que esta efectué un deslizamiento plano, ya sea e rotación o translación.

Para solucionar este problema hará una aproximación en base a tres pasos.

El primero será desarrollar las expresiones para la fuerza y el momento, haciendo uso de una distribución de presión. Una vez que se tenga la fuerza y el momento para una distribución finita de presión se establecerán los casos posibles de movimiento deslizante en el plano.

Fuerza y momento de un deslizamiento plano

Se considera un objeto en una superficie en la cual se establece un marco coordenado del mundo. La región del objeto que toca con la superficie se define como R. Para el análisis se elige una pequeña área dA en una posición r , con una presión p (r ) y una velocidad v (r ).

La dirección de movimiento está determinada por

v (r )|v (r )|

Además una fuerza normal a la superficie puede ser determinada por el área y la presión que esta ejerce

F=pA

De la ley de Coulomb se sabe tiene que

F f=−μ F N

Donde F f es la fuerza de fricción y FN la fuerza normal a la superficie. Despejando se obtiene

F f i=−μv (r )

|v (r )|p (r )dA

F f=−μ∫ v (r )|v (r )|

p (r )dA(del areatotal )

De la ecuación anterior el signo negativo además de la ecuación de dirección de movimiento permite determinar el sentido de la fuerza de fricción, la cual será con signo opuesto a la dirección de movimiento.

Por último se define el momento de fuerza el cual está dado por

m=r ×F

Así el momento, para un diferencial de área, de la fuerza de fricción se define por

mi=−μ(r× v (r )|v (r )|

p (r )dA)Y para toda el área R de la superficie de contacto del objeto como

m=−μ∫r ×v (r )

|v (r )|p (r )dA

En este punto se tienen dos casos, el primero es que al realizar el deslizamiento se tenga una trayectoria de translación y el otro caso es que el objeto rote sobre un punto.

CASO 1: Translación pura

En este caso se tiene un objeto deslizándose en un movimiento de traslación, por lo que evidentemente que la velocidad de cada uno de los puntos que conforman el área de contacto es la misma. Por lo que la velocidad es constante, haciendo posible despejarla de las ecuaciones

F f=−μv (r )

|v (r )|∫ p (r )dA

m=−μ∫r p (r )dA×v (r )

|v (r )|

La fuerza total es expresada en el término de la integral de la primera ecuación

F0=∫ p (r )dA

Sustituyendo se tiene

F f=−μv (r )

|v (r )|F0

De estas dos últimas ecuaciones se deduce el teorema siguiente:

Teorema: Para un cuerpo rígido en deslizamiento de traslación pura en una superficie, con coeficiente de fricción uniforme, las fuerzas de fricción se reducen a una fuerza a través del centro de fricción, opuestas a la velocidad.

CASO 2: Rotación

En el segundo caso de rotación un cuerpo gira sobre un punto, llamado centro de rotación r IC. Como se trata de un objeto girando la velocidad pasa de ser lineal a ser velocidad de rotación, la cual está dada por

v (r )=ω× ( r−r IC )= θ k × (r−rIC )

De la ecuación anterior puede deducirse la dirección del movimiento como

v (r )|v (r )|

=sgn ( θ ) k×r−r IC

|r−r IC|

Sustituyendo en F f=−μv (r )

|v (r )|∫ p (r )dA y m=−μ∫r p (r )dA×v (r )

|v (r )| se obtiene las

ecuaciones de fuerza y momento para un caso de rotación

F f=−μ sgn ( θ ) k ×∫ r−r IC

|r−r IC|p (r )dA

m=−μ sgn ( θ )∫ r ∙r−rIC|r−rIC|

p (r )dA

La superficie límite de fricción (. Sección 27.7) es útil para la manipulación de análisis de empuje, ya que describe las fuerzas de fricción que pueden ocurrir como una parte se desliza sobre una superficie de soporte.

Cuando la parte es empujada con un “wrench” contenido dentro de la superficie límite, la fricción entre la pieza y el soporte resiste el “wrench” de empuje y la parte permanecerá inmóvil. Cuando la parte desliza cuasiestáticamente, el “wrench” de empuje w reside en la superficie límite, y el giro de la pieza t es normal a la superficie límite en w (Fig. 27.10). Cuando la pieza se traslada sin girar, la magnitud de la fuerza de fricción es μmg, donde m es la masa de la pieza y g es la aceleración gravitacional. La fuerza aplicada por la pieza hacia la superficie esta dirigida a través del centro de masa de la pieza en la dirección de la translación.

Si el “wrench” de empuje hace un momento positivo cerca del centro de masa de la pieza, la pieza girará en sentido anti horario (CCW), y si éste hace un momento negativo cerca del centro de masa de la pieza, ésta girará en sentido horario (CW). Del mismo modo, si el punto de contacto sobre la pieza se mueve a lo largo de una línea que pasa alrededor del centro de masa de la pieza en un sentido horario CW (respectivamente, CCW), entonces la parte girará en sentido horario CW (CCW). A partir de estas dos observaciones y teniendo en cuenta todos los modos posibles de contacto, se puede concluir que una parte empujada en un punto de contacto rotará en sentido horario CW (CCW), si: (1) ambos bordes del cono de fricción de contacto pasan CW (CCW) cerca del centro de masa o (2) un borde del cono de fricción y la dirección de empuje en el contacto pasan alrededor del centro de masa en un sentido CW (CCW) [27.14,57], (Fig. 27.11).

Esta observación permite al empuje ser usado para reducir la incertidumbre en la orientación de la pieza. Una serie de empujes con una valla plana se puede utilizar para eliminar completamente la incertidumbre en la orientación de una pieza poligonal [27,57-59]. Los límites en la velocidad de rotación de las piezas [27,14, 60, 61] permiten el uso de una secuencia de vallas estacionarias suspendidas encima de una cinta transportadora para orientar partes empujándolas cuando éstas son transportadas a lo largo del transportador [27,62, 63]. Planes de empuje estables (Fig. 27.12)

usan movimientos de empuje que garantizan mantener la parte fija al empujador cuando éste se mueve, incluso en un contexto de incertidumbre en la distribución de la presión de la pieza [27,14, 64, 65]. Extensiones de este trabajo encuentran movimientos de empuje para montajes planos de piezas para que estos permanezcan fijos en sus configuraciones relativas durante el movimiento [27,66-68].

Los ejemplos anteriores asumen que las fuerzas de empuje y de apoyo las de fricción de apoyo actúan en el mismo plano. Otros trabajos sobre empuje han considerado efectos tridimensionales, donde las fuerzas de empuje se aplican por encima del plano de soporte [27,69].

La sección 27.3 presentó la noción de un cono “wrench”, que describe el conjunto de “wrenches” que se pueden aplicar a través de un punto de contacto con fricción. Cualquier “wrench” de contacto está limitada a estar dentro de la superficie del cono. Esto da lugar a la noción general de ‘una superficie límite de fricción’ - la superficie que delimita el conjunto de “wrenches” que se pueden ser aplicados a través de un contacto dado o conjunto de contactos.