1.- TRABAJO Y ENERGIA

1.1.- CONCEPTO DE TRABAJO

En mecnica clsica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a

la energa necesaria para desplazar este cuerpo. El trabajo es una magnitud

fsica escalar que se representa con la letra (del ingls Work) y se expresa en

unidades de energa, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de

Unidades.

Ya que por definicin el trabajo es un trnsito de energa, nunca se refiere a l

como incremento de trabajo, ni se simboliza como W.

Matemticamente se expresa como:

Donde F es el mdulo de la fuerza, d es el desplazamiento y es el ngulo que

forman entre s el vector fuerza y el vector desplazamiento.

Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo

sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay

desplazamiento, el trabajo tambin ser nulo.

1.2.- POTENCIA

En fsica, potencia (smbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidad

de tiempo.

Si W es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo de

duracin t, la potencia media durante ese intervalo est dada por la relacin:

La potencia instantnea es el valor lmite de la potencia media cuando el

intervalo de tiempo t se aproxima a cero.

Donde

P es la potencia,

W es el trabajo,

t es el tiempo.

1.3.- ENERGIA CINETICA

Cuando un cuerpo est en movimiento posee energa cintica ya que al chocar

contra otro puede moverlo y, por lo tanto, producir un trabajo.

Para que un cuerpo adquiera energa cintica o de movimiento, es decir, para

ponerlo en movimiento, es necesario aplicarle una fuerza. Cuanto mayor sea el

tiempo que est actuando dicha fuerza, mayor ser la velocidad del cuerpo y, por

lo tanto, su energa cintica ser tambin mayor.

Otro factor que influye en la energa cintica es la masa del cuerpo.

Por ejemplo, si una bolita de vidrio de 5 gramos de masa avanza hacia nosotros a

una velocidad de 2 km / h no se har ningn esfuerzo por esquivarla. Sin

embargo, si con esa misma velocidad avanza hacia nosotros un camin, no se

podr evitar la colisin.

La frmula que representa la Energa Cintica es la siguiente:

E c = 1 / 2 m v 2

E c = Energa cintica

m = masa

v = velocidad

Cuando un cuerpo de masa m se mueve con una velocidad v posee una

energa cintica que est dada por la frmula escrita ms arriba.

En esta ecuacin, debe haber concordancia entre las unidades empleadas. Todas

ellas deben pertenecer al mismo sistema. En el Sistema Internacional (SI), la

masa m se mide en kilogramo (kg) y la velocidad v en metros partido por

segundo (m / s), con lo cual la energa cintica resulta medida en Joule ( J ).

1.4.-ENERGIA POTENCIAL

Todo cuerpo que se ubicado a cierta altura del suelo posee energa potencial.

Esta afirmacin se comprueba cuando un objeto cae al suelo, siendo capaz de

mover o deformar objetos que se encuentren a su paso. El movimiento o

deformacin ser tanto mayor cuanto mayor sea al altura desde la cual cae el

objeto.

Otra forma de energa potencial es la que est almacenada en los alimentos,

bajo la forma de energa qumica. Cuando estos alimentos son procesados por

nuestro organismo, liberan la energa que tenan almacenada.

Para una misma altura, la energa del cuerpo depender de su masa. Esta energa

puede ser transferida de un cuerpo a otro y aparecer como energa cintica o

de deformacin. Sin embargo, mientras el cuerpo no descienda, la energa no se

manifiesta: es energa potencial.

Todos los cuerpos tienen energa potencial que ser tanto mayor cuanto mayor

sea su altura. Como la existencia de esta energa potencial se debe a la

gravitacin (fuerza de gravedad), su nombre ms completo es energa potencial

gravitatoria.

Entonces:

Energa potencial gravitatoria es aquella energa que poseen los cuerpos

que se encuentran en altura. Esta energa depende de la masa del cuerpo

y de la atraccin que la Tierra ejerce sobre l (gravedad).

Cmo calcular la Energa Potencial Gravitatoria?

Si un cuerpo de masa m se sita a una altura h arriba de un nivel de referencia,

este cuerpo posee una energa potencial gravitatoria con respecto a este nivel, la

cual se expresa mediante la siguiente frmula:

m = masa

g = constante de la fuerza de gravedad

h = altura Ep = m g h

1.5.- FUERZA CONSERVATIVA

En fsica, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para

desplazar una partcula entre dos puntos es independiente de la trayectoria

seguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campo

de fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley de

conservacin de la energa.

1.6.- PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA

La ley de la conservacin de la energa afirma que la cantidad total de energa en cualquier sistema aislado (sin interaccin con ningn otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energa puede transformarse en otra forma de energa. En resumen, la ley de la conservacin de la energa afirma que la energa no puede crearse ni destruirse, slo se puede cambiar de una forma a otra.

Aunque la energa no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de la termodinmica. En un proceso irreversible, la entropa de un sistema aislado aumenta y no es posible devolverlo al estado termodinmico fsico anterior. As un sistema fsico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energa pero con dicha energa en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un movimiento con friccin es un proceso irreversible por el cual se convierte energa mecnica en energa trmica. Esa energa trmica no puede convertirse en su totalidad en energa mecnica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontneo, es necesario aportar energa extra para que se produzca en el sentido contrario.

Desde un punto de vista cotidiano, las mquinas y los procesos desarrollados por el hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce en prdidas de energa y por lo tanto tambin de recursos econmicos o materiales. Como se deca anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimiento del principio enunciado sino como una transformacin irremediable de la energa.

1.7 CONSERVACION EN EL TRABAJO MECANICO

Aunque en la vida cotidiana es compn asociar la idea de trabajo con el esfuerzo o cualquier otra accin en la que se requiera energa, en fsica y en mecnica en particular, el trabajo tiene una definicin bastante restringida. Decimos que una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo cuando al actuar sobre ste lo desplaza en la misma direccin en que acta. Por ejemplo:

En este caso, la fuerza realiza trabajo porque el cuerpo es desplazado una distancia d de manera paralela a la fuerza. Operacionalmente el trabajo (W) se determina como:

W = Fd

Sus unidades estn dadas por:

W = Fd [Nm] = joule = [J]

Es muy importante tener en cuenta algunas situaciones especiales, por ejemplo, cuando aplicamos una fuerza, pero no somos capaces de producir desplazamiento, el trabajo en ese caso es nulo. Esto es independiente de la energa que empleemos, si no hay desplazamiento no hay trabajo. Algo similar ocurre cuando sostenemos una maleta o un bulto en el hombro en reposo. Aunque nos cansemos, no hay trabajo porque no hay desplazamiento. Tambin es importante considerar que el desplazamiento debe ser realizado en la direccin en que acta la fuerza. Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, esa fuerza no realiza trabajo. Por ejemplo, si sostenemos una maleta verticalmente para evitar que el peso la haga caer y nos movemos horizontalmente, entonces esa fuerza vertical, al igual que el peso no realizan trabajo porque actan de manera perpendicular al desplazamiento.

1.8.-FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Fuerzas no conservativas

Las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por las

mismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizado

por las fuerzas no conservativas es dependiente del camino tomado. A mayor

recorrido, mayor trabajo realizado.

Ejemplos de fuerzas no conservativas seran:

Fuerza de rozamiento

Fuerza magntica

Campos no conservativos

El campo magntico es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser

derivado de un potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las lneas de

campo del campo magntico son cerradas.

Propiedades

Dado un campo vectorial definido sobre una regin simplemente conexa el campo

es conservativo si cumple cualquiera de estas condiciones (de hecho puede

demostrarse que si cumple una de ellas cumple las otras dos tambin):

1. Un campo es conservativo si, y slo si, el trabajo que realiza la fuerza que

genera el campo entre dos puntos no depende del camino que haya seguido el

mvil entre esos dos puntos.

1.9.- EJERCICIOS

1. Calcula la energa cintica de un vehculo de 1000 kg de masa que circula a

una

Velocidad de 120 km/h.

Solucin: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes:

m = 1000 kg

v = 120 km/h

Ec =?

Todas las magnitudes deben tener unidades del SI, en este caso es necesario

convertir 120

Km/h en m/s

V= 120 km/h * 100m/1 km * 1h/3600s = 33, 3 m/s

Una vez que tenemos todas las magnitudes en el SI sustituimos en la frmula: Ec = 0,5. M. v2 = 0,5. 1000. (33,3)2 = 554445 J

2. Calcula la energa potencial de un saltador de trampoln si su masa es de 50 kg y est sobre un trampoln de 12 m de altura sobre la superficie del agua. Solucin: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes: m = 50 kg h = 12 m Ep =? Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en la frmula: Ep = m. g. h = 50. 9,8. 12 = 5880 J

3. Una fuerza de 100 N acta sobre un cuerpo que se desplaza a lo largo de un plano horizontal en la misma direccin del movimiento. Si el cuerpo se desplaza 20 m. Cul es el trabajo realizado por dicha fuerza? Solucin: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes: F = 100 N = 0 Ox = 20 m W =? Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en la frmula: W = F. cos . Ox = 100. 1. 20 = 2000 J

2.- SISTEMA DE PARTICULAS

2.1.- Dinmica de un sistema de partculas

Sea un sistema de partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partculas. Sobre la partcula 1 acta la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partcula 2, F12. Sobre la partcula 2 acta la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partcula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partculas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partculas se cumple que la razn de la variacin del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula considerada, es decir, el movimiento de cada partcula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actan sobre dicha partcula.

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema de partculas. El movimiento del sistema de partculas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

2.2.- Movimiento del centro de masa

El centro de masas de un sistema de partculas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actan sobre el mismo.

Se utiliza para describir el movimiento de traslacin de un sistema de partculas.

Vector de posicin del centro de masas

El vector de posicin del centro de masas se define como:

Donde M es la masa total del sistema de partculas. La posicin del centro de masas no tiene por qu coincidir con la posicin de ninguna de las partculas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

Velocidad del centro de masas

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posicin:

El segundo miembro de la ecuacin anterior es el momento lineal total del sistema de partculas dividido por la masa total del sistema, por lo que este ltimo puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

Este ltimo resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partculas es igual al momento lineal que tendra la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslacin del sistema de partculas est representado por el de su centro de masas.

Si el sistema de partculas est aislado, su momento lineal ser constante, por lo que la velocidad de su centro de masas tambin lo ser.

Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema de partculas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial. Resulta particularmente til para estudiar las colisiones.

Aceleracin del centro de masas

Cuando un sistema de partculas no est aislado, sobre l actuarn fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partculas de dicho sistema tendrn en general aceleracin, y el centro de masas tambin estar acelerado.

Sistema constituido por dos partculas. Sobre l actan fuerzas internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas externas aplicadas en el centro de masas.

Para calcular la aceleracin del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda a cada una de las partculas del sistema:

Masa 1:

Masa 2:

Sumando ambas,

En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley de Newton.

La expresin anterior queda entonces:

Para un sistema constituido por N partculas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas que actan sobre el sistema y por tanto:

Que no es ms que la segunda ley de Newton para el centro de masas de un sistema de partculas. En la parte (b) de la figura anterior se observa el centro de masas del sistema con las fuerzas externas aplicadas en l.

la aceleracin del centro de masas de un sistema de partculas es debida

nicamente a las fuerzas externas que actan sobre el sistema.

2.3 Teorema de conservacin de la cantidad de movimiento Si sobre un sistema no acta ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento

de ste

Permanece constante.

Por tanto, si debido a acciones mutuas entre los componentes de un

sistema se produce un fenmeno en l (p. ej. un choque entre ellos o una

explosin interna), la suma de las cantidades de movimiento de cada uno de los

componentes antes de la explosin debe ser igual a la suma de las cantidades de

movimiento de cada uno de los componentes despus del Fenmeno, es decir:

M1v1 + m2 v2 +........... = m1v1+ m2v2+.

El retroceso de las armas de fuego se debe precisamente a este principio. Sean

"m" y "M" las masas del proyectil y arma respectivamente, "V" la velocidad de

salida del proyectil y "v" la de retroceso del arma. Si antes del disparo el conjunto

arma-proyectil estaba en reposo significa que su cantidad de movimiento inicial es

cero y por tanto ser igualmente cero despus del disparo ya que no ha actuado

ninguna fuerza exterior, por tanto tendremos que:

0 = mV + Mv es decir mV = - Mv

Y como las masas deben ser positivas y al tomar la velocidad del proyectil

igualmente positiva resulta que la velocidad del arma debe ser necesariamente

negativa, es decir, de retroceso.

El movimiento de los cohetes y aviones a reaccin se basan igualmente en este

principio, as el avin, al expulsar grandes cantidades de gases a elevada

velocidad, avanzar en direccin contraria a la de salida de los gases.

2.4.- Teorema de conservacin de la energa

El teorema de la conservacin de la energa mecnica establece que el trabajo

realizado sobre un cuerpo se invierte, exactamente, en aumentar algn tipo de

energa.

Cuando en un sistema slo hay fuerzas conservativas: la energa mecnica

permanece constante. La energa cintica se transforma en energa potencial y

viceversa.

2.5.- Colisiones elsticas e inelsticas

En fsica, se denomina choque elstico a una colisin entre dos o ms cuerpos

en la que stos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una

colisin elstica se conservan tanto el momento lineal como la energa cintica del

sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan despus

del choque.

Las colisiones en las que la energa no se conserva producen deformaciones

permanentes de los cuerpos y se denominan inelsticas.

Un choque inelstico es un tipo de choque en el que la energa cintica no se

conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir

deformaciones y aumento de su temperatura. En el caso ideal de un choque

perfectamente inelstico entre objetos macroscpicos, stos permanecen unidos

entre s tras la colisin. El marco de referencia del centro de masas permite

presentar una definicin ms precisa.

La principal caracterstica de este tipo de choque es que existe una disipacin de

energa, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformacin de los cuerpos

como el aumento de su energa interna se obtiene a costa de la energa cintica

de los mismos antes del choque. En cualquier caso, aunque no se conserve la

energa cintica, s se conserva el momento lineal total del sistema.

2.6.- Cuerpo rgido

Qu es un cuerpo rgido?

Un cuerpo rgido es aquel que no se deforma. En la fsica es importante estudiar

los cuerpos rgidos debido a que con los mtodos anteriores solo se poda estudiar

una partcula en particular, lamentablemente esto en la

vida real, no es posible debido a que la gran mayora de los elementos a estudiar

estn conformados de diferentes puntos de aplicacin de fuerzas.

Nota: Ningn elemento real es inalterable, es decir 100% cuerpo rgido, a pesar de

esto se siguen estudiando

con estos mtodos debido a que sus deformaciones son mnimas y no tienen el

valor suficiente como para ser

escatimadas, acepto en algunos casos, claro.

En un cuerpo rgido, existen dos tipos de fuerzas: fuerzas externas y fuerzas

internas. Las primeras

(externas) son las fuerzas que se aplican sobre el cuerpo a estudiar, para

deformarlo; Las segundas (internas)

son las que internamente mantienen a la estructura o cuerpo, como por ejemplo

las fuerzas de adhesin.

Principio de transmisibilidad - fuerzas equivalentes:

Nos dice que en un cuerpo rgido se puede sustituir una fuerza A por otra B,

siempre y cuando ambas tengan

la misma intensidad, direccin y lnea de accin, pero sin importar donde se

encuentre su punto de aplicacin.

2.7 EJERCICIOS

1.- Por el carril circular sin rozamiento de radio R de la figura se lanza una masa m de dimensiones despreciables con una velocidad v. En el tramo rectilneo siguiente de longitud d el coeficiente de rozamiento cintico entre la masa y el suelo es . Suspendida de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m.

Datos: v = 10 m/s; = 0.6; R = 1 m; d = 4 m. Tomar g = 10 m/s2

a. Se conserva la energa mecnica de la masa m en el tramo circular de la pista? Determinar su velocidad cuando llega al final de dicho tramo circular (punto A).

b. Determinar la velocidad de la masa m cuando ha recorrido el tramo

horizontal de longitud d (en el punto B).

c. Cuando la masa m llega a la posicin donde se encuentra M choca

elsticamente con ella. Determinar la velocidad de ambas masas despus

del choque.

d. Calcular la altura que alcanza la masa M despus del choque. Hacia

dnde se mover la masa m?

2.- Un sistema que est formado por tres partculas de masas m1 = m, m2 = 2m ym3 = 3m se ve sometido a la accin de una nica fuerza externa conservativa F. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O (origen de un sistema de referencia inercial) en funcin del tiempo viene dada por p = 3 t3 i - 6 t j, en kgms-1 .

Dato: m = 0.5 kg.

a. Se conserva la energa total del sistema? Expresar la velocidad y el

vector posicin del centro de masas del sistema en funcin del tiempo,

suponiendo que la posicin inicial del centro de masas es ro = - i + 3 j,

expresado en m.

b. Determinar la fuerza externa F y la aceleracin del centro de masas del

sistema en funcin del tiempo.

c. Si la energa cintica total del sistema medida en t = 2 s con respecto a

O vale 200 J, calcular la energa cintica orbital y la energa cintica

interna del sistema en ese mismo instante.

3.- Tres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, estn localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0, 0), respectivamente, en metros a partir del origen En dnde est el centro de masa de este sistema?

Dados: m1 =2.0kg Encontrar: X cm (coordenadas CM)

m2=3.Okg

m3=6.Okg

X1 =3.0m

X2=6.0m

X3=-4.Om

Luego, simplemente realizamos la sumatoria como se indica en la ec. 6.19,

X cm = Sumatoria m1 x1

M

(2.0 kg)(3.0 m) + (3.0 kg)(6.0 m) + (6.0 kg)( 4.0 m)

2.0kg + 3.0kg + 6.0kg

La resolucin = 0, por lo que sabemos que el centro de masa est en el origen