Mecánica de Fluidos · 2020. 12. 21. · fluidos inmiscibles de densidades diferentes uno sobre...
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Ing. Paulina Lima PhDMecánica de Fluidos – Período 2020 2020
Mecánica de Fluidos
Ing. Paulina Lima Ph.D
Departamento de Hidráulica
Universidad Central del Ecuador
Quito, Ecuador
SEMANA 04 – S04
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Mecánica de Fluidos – Período 2020 2020 Ing. Paulina Lima PhDS04
Contenido
Contenido
▪ Presión
▪ Presión en un punto
▪ Ecuación básica para el campo de presión
▪ Variación de la presión en un fluido en reposo
▪ Principio de Pascal
▪ Medidores de presión
▪ Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Ing. Paulina Lima PhDMecánica de Fluidos – Período 2020 2020
Presión
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Mecánica de Fluidos – Período 2020 2020 Ing. Paulina Lima PhDS04
Presión
Presión en un punto
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▪ El término presión se utiliza para indicar la fuerza normal por unidad de área en un
punto dado, que actúa en un plano dado dentro de la masa de fluido de interés.
▪ Una pregunta que surge de inmediato es cómo la presión en un punto varía con la
orientación del plano que pasa por el punto.
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Presión
Presión en un punto
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Considere el diagrama de cuerpo libre: ▪ Esta se obtuvo al eliminar una pequeña
cuña triangular de fluido de alguna
ubicación arbitraria dentro de una masa
de fluido.
▪ Como se está considerando la situación
en la que no hay tensiones de corte, las
únicas fuerzas externas que actúan sobre
la cuña se deben a la presión y al peso.
▪ Para simplificar, las fuerzas en la dirección
x no se muestran, y el eje z se toma como
el eje vertical, por lo que el peso actúa en
la dirección negativa z.
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Presión
Presión en un punto
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∑𝐹𝑦 = 𝑝𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑠 sin 𝜃 = 𝜌𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
2𝑎𝑦
∑𝐹𝑧 = 𝑝𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦 − 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑠 cos 𝜃 = 𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
2= 𝜌
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
2𝑎𝑧
𝛿𝑦 = 𝛿𝑠 cos 𝜃 𝛿𝑧 = 𝛿𝑠 sin 𝜃
𝑝𝑦 − 𝑝𝑠 = 𝑝𝑎𝑦𝛿𝑦
2
𝑝𝑧 − 𝑝𝑠 = (𝑝𝑎𝑧 + 𝛾)𝛿𝑧
2
Como estamos realmente interesados en lo que está sucediendo
en un punto, tomamos el límite cuando x, y y z se acercan a
cero y se tiene que:
𝑝𝑦 = 𝑝𝑠 𝑝𝑧 = 𝑝𝑠
ps, = py = pz
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Presión
Presión en un punto
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Por lo tanto, como se muestra en la fotografía en el margen, en la unión del lado y la parte inferior
del vaso de precipitados, la presión es la misma en el lado que en la parte inferior.
La presión en un punto en un fluido en reposo es
independiente de la dirección.
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Presión
Ecuación básica para el campo de presión
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▪ Aunque hemos respondido a la pregunta de cómo
la presión en un punto varía con la dirección, ahora
nos enfrentamos a una pregunta igualmente
importante: ¿cómo varía la presión en un fluido en el
que no hay esfuerzos de corte de un punto a otro?
Para responder a esta pregunta, considere un
pequeño elemento rectangular de fluido retirado de
alguna posición arbitraria dentro de la masa de
fluido de interés como se ilustra en la figura:
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Presión
Ecuación básica para el campo de presión
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▪ Hay dos tipos de fuerzas que actúan sobre este
elemento: fuerzas superficiales debido a la presión
y una fuerza de cuerpo igual al peso del elemento.
▪ Si dejamos que la presión en el centro del
elemento se designe como p, entonces la presión
promedio en las diversas caras se puede expresar
en términos de p y sus derivados, como se muestra
en la Figura.
▪ En realidad, estamos utilizando una expansión de
la presión de la serie Taylor en el centro del
elemento para aproximar las presiones a una corta
distancia y descuidar los términos de orden
superior que desaparecerán cuando dejemos que
x, y y z se acerquen a cero.
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Presión
Ecuación básica para el campo de presión
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Por simplicidad, las fuerzas de superficie en la dirección x no se
muestran. La fuerza superficial resultante en la dirección y es:
𝛿𝐹𝑦 = 𝑝 −𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2𝛿𝑥𝛿𝑧
𝛿𝐹𝑦 = −𝜕𝑝
𝜕𝑦𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
Del mismo modo, para las direcciones x y z, las fuerzas superficiales
resultantes son:
𝛿𝐹𝑥 = −𝜕𝑝
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 𝛿𝐹𝑧 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
La fuerza superficial resultante que actúa sobre el elemento puede
expresarse en forma de vector como:
𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝐹𝑥 Ƹ𝒊 + 𝛿𝐹𝑦 Ƹ𝒋 + 𝛿𝐹𝑧𝒌
𝛿𝐹𝑠 = −𝜕𝑝
𝜕𝑥Ƹ𝒊 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦Ƹ𝒋 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧𝒌 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (1)
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Presión
Ecuación básica para el campo de presión
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El grupo de términos entre paréntesis en la ecuación (1) representa
en forma vectorial el gradiente de presión y puede escribirse como:
𝛿𝐹𝑠 = −𝜕𝑝
𝜕𝑥Ƹ𝒊 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦Ƹ𝒋 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧𝒌 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (1)
𝜕𝑝
𝜕𝑥Ƹ𝒊 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥Ƹ𝒋 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝒌 = ∇𝑝
∇ =𝜕
𝜕𝑥Ƹ𝒊 +
𝜕
𝜕𝑦Ƹ𝒋 +
𝜕
𝜕𝑧𝒌
el símbolo (nabla) es el gradiente. La fuerza resultante por
unidad de volumen puede ser expresada como:
𝛿𝐹𝑠𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
= −∇𝑝
Como el eje z es vertical, el peso del elemento es:
−𝛿𝑊𝑘 = −𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧𝑘
La segunda ley de Newton, aplicada al elemento fluido,
puede expresarse como:
𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 𝒂
∑𝛿𝐹 = 𝛿𝐹𝑠 − 𝛿𝑊𝒌 = 𝛿𝑚 𝒂
O
−∇𝑝𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 − γ𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧𝑘 = 𝜌𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 𝒂
Y, por lo tanto:
−∇𝑝 − 𝛾𝑘 = 𝜌 𝑎 (2)
Ecuación general de movimiento para un fluido en el que no hay esfuerzos de corte
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Presión
Ecuación básica para el campo de presión
Para un fluido en reposo a = 0 y Eq. .2 se reduce a:
൯−∇𝑝 − 𝛾𝑘 = 𝜌 𝑎 (2 ∇𝑝 + 𝛾𝑘 = 0
O en su forma de componentes:
Estas ecuaciones muestran que la presión no depende de x o y. Por lo tanto, a medida que nos movemos de
un punto a otro en un plano horizontal (cualquier plano paralelo al plano x – y), la presión no cambia. Como p
depende solo de z, la última de las ecuaciones (3) puede escribirse como la ecuación diferencial ordinaria:
𝑑𝑝
𝑑𝑧= −𝛾 (4)
𝜕𝑝
𝜕𝑥= 0
𝜕𝑝
𝜕𝑦= 0
𝜕𝑝
𝜕𝑧= −𝛾 (3)
La ecuación (4) es la ecuación fundamental para fluidos en reposo y puede usarse para
determinar cómo cambia la presión con la elevación.
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Principio de Pascal
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Principio de Pascal
Introducción
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▪ La presión en un fluido en reposo es independiente de la forma o sección transversal del
recipiente que lo contiene.
▪ Ésta cambia con la distancia vertical, pero permanece constante en las otras direcciones.
▪ Por lo tanto, la presión es la misma en todos los puntos de un plano horizontal en un fluido
dado.
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Principio de Pascal
Principio de Stevin
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En 1586, el matemático holandés Simon Stevin (1548-1620) publicó el principio que se ilustra en la
Figura.
Nótese que las presiones en los puntos A, B, C, D, E, F y G son idénticos porque están a la misma profundidad e
interconectados por el mismo fluido estático. Sin embargo, las presiones en los puntos H e I no son iguales, porque
estos dos puntos no están interconectados por el mismo fluido (es decir, no se puede trazar una curva desde el
punto I hasta el H permaneciendo en el mismo fluido en todo momento), aun cuando están a igual profundidad.
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Principio de Pascal
Máquina de Pascal
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Una consecuencia de que la presión en un fluido
permanezca constante en la dirección horizontal
consiste en que la presión aplicada a un fluido
confinado aumenta la presión en toda la extensión
de éste en la misma cantidad. Esto se conoce
como ley de Pascal.
Pascal también sabía que la fuerza aplicada por
un fluido es proporcional al área superficial.
Observó que se podían conectar dos cilindros
hidráulicos de áreas diferentes y se podía usar el
más grande para ejercer una fuerza
proporcionalmente mayor que la aplicada al más
pequeño.
𝑃1 = 𝑃2 →𝐹1𝐴1
=𝐹2𝐴2
→𝐹2𝐹1
=𝐴2𝐴1
(1)
La razón A2/A1 se llama ventaja mecánica ideal del
elevador hidráulico.
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Medidores de Presión
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Medidores de presión
Manómetro
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Considerando la ecuación:
Δ𝑃 = 𝑃2 − 𝑃1 = 𝜌𝑔Δ𝑧 = 𝛾𝑠Δ𝑧 1
▪ Se advierte, que un cambio en la elevación de z en
un fluido en reposo corresponde a P/g, lo cual
sugiere que se puede usar una columna de fluido
para medir diferencias en la presión.
▪ Un instrumento que funciona según este principio se
llama manómetro.
▪ Es de uso común para medir diferencias en la
presión, pequeñas y moderadas. Un manómetro
consta principalmente de un tubo en U de vidrio o
plástico que contiene uno o más fluidos como
mercurio, agua, alcohol o aceite.
Puesto que los efectos gravitacionales de los
gases son despreciables, la presión en cualquier
parte del tanque y en la posición 1 tiene el
mismo valor. Además, debido a que la presión
en un fluido no varía en la dirección horizontal
dentro del mismo, la presión en el punto 2 es la
misma que la que se tiene en el punto 1, P2 = P1.
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Medidores de presión
Manómetro
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Δ𝑃 = 𝑃2 − 𝑃1 = 𝜌𝑔Δ𝑧 = 𝛾𝑠Δ𝑧 1
La columna diferencial de fluido de altura h está en equilibrio
estático y abierta a la atmósfera. Entonces de manera directa,
a partir de la ecuación:
)𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ 𝑜 𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝜌𝑔ℎ (2
se determina que la presión en el punto 2 es:
)𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ (3
donde es la densidad del fluido en el tubo.
Algunos manómetros se relacionan con múltiples
fluidos inmiscibles de densidades diferentes uno sobre
otro. Esos sistemas se pueden analizar con facilidad
cuando se recuerda que:
1. El cambio de presión de uno a otro lado de una
columna de fluido de altura h es P = gh
2. La presión aumenta hacia abajo en un fluido
dado y disminuye hacia arriba (es decir, Pfondo >
Parriba), y
3. Dos puntos a la misma altura en un fluido continuo
en reposo están a la misma presión.
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Medidores de presión
Manómetro
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▪ El último principio (Dos puntos a la misma altura en
un fluido continuo en reposo están a la misma
presión), el cual es resultado de la ley de Pascal,
permite “saltar” de una columna de fluido a la
siguiente en los manómetros sin preocuparse por el
cambio de presión, mientras no se salte sobre un
fluido diferente y el fluido esté en reposo.
▪ Entonces, se puede determinar la presión en
cualquier punto cuando se parte de un punto de
presión conocida y cuando se suman o restan
términos gh a medida que se avanza hacia el
punto de interés.
▪ Por ejemplo, se puede determinar la presión en el
fondo del tanque de la Figura.
Si se empieza en la superficie libre,
en donde la presión es Patm, se
avanza hacia abajo hasta llegar al
punto 1 en el fondo y se iguala el
resultado a P1. Esto da:
)𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌1𝑔ℎ1 + 𝜌2𝑔ℎ2 + 𝜌3𝑔ℎ3 = 𝑃1 (4
En el caso especial de que todos los fluidos tengan la misma
densidad, esta relación se reduce a la ecuación (3), como era
de esperarse.
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Medidores de presión
Manómetro
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En particular, los manómetros son adecuados para medir
caídas de presión a lo largo de la sección horizontal de
flujo, entre dos puntos especificados, debido a la
presencia de un dispositivo, como una válvula o un
intercambiador de calor, o cualquier otra resistencia al
flujo.
Esto se realiza cuando se conectan los dos extremos del
manómetro a estos dos puntos.
El fluido de trabajo puede ser un gas o un líquido, cuya densidad es
1. La densidad del fluido manométrico es 2 y la diferencia en su
altura es h.
Se puede obtener una relación para la diferencia de presión P1 - P2
si se parte del punto 1 con P1, y se desplaza a lo largo del tubo por
medio de la suma o sustracción de los términos gh hasta alcanzar
el punto 2 e iguala el resultado a P2:
)𝑃1 + 𝜌1𝑔 𝑎 + ℎ − 𝜌2𝑔ℎ − 𝜌1𝑔𝑎 = 𝑃2 (5
Nótese que se saltó desde el punto A horizontalmente hasta el B y
se ignoró la parte que está abajo, puesto que la presión en los dos
puntos es la misma. Cuando se simplifica:
)𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌1 − 𝜌2 𝑔ℎ (6
Nótese que la distancia a no afecta el resultado, pero debe
incluirse en el análisis. Cuando el fluido que fluye en el tubo es un
gas, entonces 𝜌1 ≅ 𝜌2 y la relación de la ecuación (6) se simplifica a
𝑃1 − 𝑃2 𝜌2ℎ𝑔.
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Medidores de presión
Otros medidores
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▪ Otro tipo de dispositivo mecánico que comúnmente se utiliza
para medir la presión es el tubo de Bourdon, nombrado así en
honor del ingeniero e inventor francés Eugene Bourdon (1808-
1884). Consta de un tubo metálico hueco, doblado como un
gancho, cuyo extremo se cierra y se conecta a la aguja de un
indicador de carátula.
La electrónica ha abierto su camino hacia cada aspecto
de la vida, inclusive a los instrumentos de medición de la
presión.
En los sensores modernos de presión, llamados
transductores de presión, se aplican varias técnicas para
convertir el efecto de presión en un efecto eléctrico,
como un cambio en la tensión, la resistencia o la
capacitancia.
Los transductores de presión son más pequeños y más
rápidos, y pueden ser más sensibles, confiables y precisos
que sus contrapartes mecánicas. Pueden medir presiones
desde un millonésimo de 1 atm hasta varios miles de atm.
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Medidores de presión
Barómetro
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▪ La presión atmosférica se mide con un instrumento llamado
barómetro; por tanto, con frecuencia se hace referencia de la
presión atmosférica como presión barométrica.
▪ El italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) fue el primero en
probar de manera concluyente que se puede medir la presión
atmosférica cuando se invierte un tubo lleno de mercurio en
un recipiente lleno con este mismo líquido que está abierto a
la atmósfera, como se muestra en la Figura.
La presión en el punto B es igual a la atmosférica y
se puede tomar la presión en C como cero, ya que
sólo existe vapor de mercurio arriba del punto C, y la
presión es muy baja en relación con Patm por lo que
se puede despreciar para tener una aproximación
excelente. Si se escribe un balance de fuerzas en la
dirección vertical se obtiene.
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔ℎ
donde es la densidad del mercurio, g es la
aceleración gravitacional local y h es la altura de la
columna de mercurio por arriba de la superficie libre.
Nótese que la longitud y el área de la sección
transversal del tubo no afectan la altura de la
columna de fluido de un barómetro.
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Medidores de presión
Barómetro
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▪ Una unidad de presión que se usa con frecuencia es la atmósfera estándar, la cual se
define como la presión producida por una columna de mercurio de 760 mm de altura a
0[°C] (Hg = 13 595 [kg/m3]) bajo la aceleración gravitacional estándar (g = 9.807 [m/s2])
▪ La presión a veces se expresa en términos de la altura de la columna de mercurio.
▪ Por ejemplo, la presión atmosférica estándar es de 760 [mm Hg] a 0[°C]. La unidad [mmHg]
también se conoce como torr, en honor de Torricelli. Por lo tanto, 1 [atm] = 760 [torr] y 1
[torr] = 133.3 [Pa].
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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▪ Sobre una superficie plana las fuerzas hidrostáticas
forman un sistema de fuerzas paralelas y, a menudo,
se necesita determinar la magnitud de la fuerza y su
punto de aplicación, el cual se llama centro de
presión.
▪ En la mayoría de los casos, el otro lado de la placa
está abierto a la atmósfera (como el lado seco de
una compuerta) y, donde, la presión atmosférica
actúa sobre los dos lados de la placa y conduce a
una resultante cero.
▪ En esos casos conviene restar la presión atmosférica
y trabajar sólo con la presión manométrica (Figura
4.1). Por ejemplo, Pman = gh en el fondo del lago.
Superficie plana
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Superficie plana
Considérese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria, sumergida totalmente en un líquido, como se muestra
en la Figura junto con su vista desde arriba.
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Superficie plana
El plano de esta superficie (normal al plano de la página) se interseca con la superficie libre horizontal y forma un
ángulo , y la línea de intersección se toma como el eje x. La presión absoluta arriba del líquido es P0, la cual es la
presión atmosférica local Patm si ese líquido está abierto a la atmósfera (pero P0 puede ser diferente de Patm si se
crea un vacío en el espacio que está arriba del líquido o se presuriza).
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Superficie plana
Entonces la presión absoluta en cualquier punto de la placa es:
)𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sen 𝜃 (1
donde h es la distancia vertical del punto a la superficie libre y y es la distancia del punto al eje x (al punto O en
la Figura)
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Superficie plana
La fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la superficie se determina cuando se integra la fuerza P dA que actúa sobre
un área diferencial dA sobre toda el área superficial
𝐹𝑅 = න𝐴
𝑃 𝑑𝐴 = න𝐴
𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sen 𝜃 𝑑𝐴 = 𝑃0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴
)𝑦 𝑑𝐴 (2
Pero el primer momento de área 𝑎 𝑦 𝑑𝐴 está relacionado con la coordenada y del centroide (o centro) de la superficie por:
𝑦𝐶 =1
𝐴න𝐴
𝑃 𝑑𝐴
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Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Superficie plana
𝐹𝑅 = න𝐴
𝑃 𝑑𝐴 = න𝐴
𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sen𝜃 𝑑𝐴 = 𝑃0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴
)𝑦 𝑑𝐴 (2 𝑦𝐶 =1
𝐴න𝐴
𝑃 𝑑𝐴
Se efectúan las sustituciones:
൯𝐹𝑅 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝐶 sen𝜃 𝐴 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶 𝐴 = 𝑃𝐶𝐴 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝐴 (3
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Mecánica de Fluidos – Período 2020 2020 Ing. Paulina Lima PhDS04
Fuerzas provocadas por la presión hidrostática
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Superficie plana
൯𝐹𝑅 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝐶 sen 𝜃 𝐴 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶 𝐴 = 𝑃𝐶𝐴 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝐴 (3
donde PC = P0 + ghC es la presión en el centroide de la
superficie, la cual equivale a la presión promedio sobre la
superficie, y hC = yC sen es la distancia vertical del
centroide a la superficie libre del líquido (véase la Figura ).
De ello se llega a la conclusión que:
La magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre una superficie
plana de una placa totalmente sumergida en un fluido homogéneo
(de densidad constante) es igual al producto de la presión PC en el
centroide de la superficie y el área A de ésta.
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Mecánica de Fluidos – Período 2020 2020 Ing. Paulina Lima PhDS04
Bibliografía
REFERENCIAS
▪ Fundamentals of fluid mechanics, Munson, 2012
▪ Mecánica de fluidos, Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, Y., & Cimbala J.,
2006.
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