MedicionyError(03)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES INGENIERÍA EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL Cátedra de Instrumentos y Mediciones – Docente: Adrián E. Ronconi

Instrumentos y Mediciones Instymed_t1 1

1 Medición y Error.

1.1 Definiciones: Instrumento: Dispositivo para determinar el valor o magnitud de una cantidad o

variable. Exactitud: Aproximación con la cual la lectura de un instrumento se acerca al valor real

de la variable medida. Precisión: Medida de la reproducibilidad de las mediciones. Es una medida del grado

con el cual mediciones sucesivas difieren unas de otras. Para tener una correcta evaluación de la precisión de un instrumento debe considerarse tanto la conformidad como las cifras significativas. Por ejemplo el valor real de una resistencia es 1.384.572Ω, y se mide con un multímetro el cual indica repetidamente 1.4MΩ. Aquí se tiene conformidad pero existe un error creado por las limitaciones de la escala. El aumento de las cifras significativas incrementa la precisión de la medición. La conformidad es condición necesaria pero no suficiente en cuanto a precisión. De modo semejante, la precisión es condición necesaria pero no suficiente para la exactitud.

Cifras significativas: El número de cifras significativas, como hemos visto, es importante a la hora de cuantificar magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad. Es importante remarcar que, cuando se manejan valores medidos con distintas cifras significativas, suele cometerse el error de escribir el resultado del error absoluto con cifras que carecen de sentido.

1.2 Tipos de errores:

1.2.1 Graves o gruesos: Son en gran parte de origen humano, como la mala lectura de los instrumentos,

ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, así como equivocaciones en los cálculos. Un error grave típico es el error por efecto de carga o error de inserción.

1.2.2 Sistemáticos: Se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o desgastadas, y

efectos ambientales sobre el equipo. Un ejemplo típico como veremos más adelante en el galvanómetro de D’arsonval, se deriva de la fricción de los cojinetes de las partes móviles, deterioro del resorte antagónico, etc. Estos errores pueden evitarse mediante una buena elección del instrumento, aplicación de factores de corrección, o recalibrando los mismos contra un patrón.

1.2.3 Aleatorios o fortuitos: Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores

sistemáticos han sido considerados. Para compensar estos errores debe incrementarse el número de lecturas y usar medios estadísticos para lograr una mejor aproximación del valor real de la cantidad medida.

Cabe aclarar que algunos autores simplemente separan los errores en sistemáticos, y fortuitos (o residuales), y en los primeros incluyen los graves o humanos, los instrumentales, ambientales, etc.


1.3 Expresando el resultado de una medición: Error absoluto: Es directamente la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero,

vmx XXE −= (1-1) Ahora el valor verdadero, ¿existe?. Lo que podemos asegurar es que cuanto más

cercano al valor verdadero se quiera llegar, será más el esfuerzo, y por ende, el costo del instrumento utilizado.

No existe una regla única e invariante para determinar este error. Ver puntos siguientes (1.4, y 1.5).

Error relativo: Cuando se requiere comparar dos errores de dos magnitudes medidas muy diferentes, el error absoluto no es suficiente. Por lo tanto, se define,

v

x

v

vmx X

EX

XXe =

−= (1-2)

el cual en general se expresa en porcentaje. Debido a la imposibilidad de conocer el valor verdadero, suele a veces utilizarse en su lugar, el valor verdadero convencional (Xvc) el cual puede determinarse con otro instrumento mucho más exacto respecto al utilizado en la medición. En la práctica generalmente con los datos del fabricante, uno puede determinar en error absoluto, entonces para hallar el error relativo, se suele utilizar en el denominador directamente el valor medido (Xm).

Error límite: Si podemos concluir que Ex es el error absoluto límite (máximo medible), entonces podemos expresar la medición como,

xm EXX ±= (1-3) En la mayoría de los instrumentos de indicación, la exactitud está garantizada por un

cierto porcentaje de la lectura en plena escala, también conocido como error límite o de garantía. Este error, para el caso de instrumentos analógicos, está relacionado a la clase del instrumento. De esta manera, el fabricante promete que el error no será mayor que el error límite, pero cabe aclarar que, para lecturas lejos del fondo de escala, el error relativo aumenta.

1.4 Error en un instrumento analógico: Para expresar el error límite absoluto y también el relativo de un instrumento

analógico, es necesario conocer ciertas definiciones según la norma IEC 60051-1: Error intrínseco (Ex): Error propio del aparato que comete cuando se encuentra en

condiciones normales de uso. Valor fiduciario (Xf): Es un valor convencional al cual se refieren los errores de un

instrumento con el fin de especificar su exactitud. Esta puede ser: • El límite superior del campo de medida en: aparatos con ‘0’ en un extremo no

fuera de escala (excepto óhmetros). • La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con ‘0’

dentro de la escala. • 90° eléctricos para cosfímetros, y fasímetros. • La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída (por

Ej. óhmetros). El análisis del error relativo en un óhmetro serie, será tratado más adelante.



Clase (c): Se define como clase de exactitud a:

100×=f

x

XE

c (1-4)

Las clases típicas son: • Para instrumentos de tablero: 1; 1.5 • Para multímetros: 2; 2.5; 5

1.4.1 Lectura en un instrumento analógico: En general se observa la deflexión de una aguja dentro de una escala graduada,

obteniéndose, [ ]

[ ]divisiónX de unidad :lectura de constante :xk

[ ]división :medidas divisiones:mδ Luego el valor medido será:

mxm kX δ×= (1-5) y finalmente el resultado de la medición será como la expresión (1-3) donde Ex se

obtiene con la clase del instrumento utilizado.

1.5 Error en un instrumento digital: Para determinar el error límite o de garantía de un instrumento digital, existen varias

expresiones, pero la más difundida por la mayoría de los fabricantes es la que sigue la norma IEC 485:

)%( dígitosmXpE mx ×+×±= (1-6) donde p es un porcentaje de valor medido, y m es la cantidad de dígitos de los menos

significativos para la escala seleccionada. Ejemplo: Se mide un voltaje de 17.80Vcc en un multímetro digital en la escala de

19.99Vcc. La hoja de datos provista por el fabricante indica: )1%1.0( dígitosUE mu ×+×±=

entonces, VccVccVccEu 0278.0)01.0180.17%1.0( ±=×+×±=y el resultado de la medición será, V Vcc)03.080.17( ±=¿Cuál sería el resultado si se midiera en la escala de 199.9Vcc?

1.6 Propagación de errores: Cuando se realiza una medición indirecta, esto es, la variable a determinar depende de

más de una medición, surge la necesidad de evaluar como pesan cada uno de los errores en el error del resultado final.

Sea una variable , entonces desarrollando por serie de Taylor, y considerando que los errores son tan pequeños tal que se pueden despreciar los términos de orden superior:

),...,,( 21 nXXXfX =

nn

nn

XXfX

XfX

XfX

dXXfdX

XfdX

XfdX

∆

∂∂

++∆

∂∂

+∆

∂∂

≅∆⇒

∂∂

++

∂∂

+

∂∂

=

......

......

22

11

22

11



∂∂

++∂∂

+∂∂

±=⇒ xnn

xxx EXfE

XfE

XfE ...... 2

21

1

(1-7)

La cual se denomina ley de propagación de errores límites. Por ejemplo para la suma de dos mediciones:

++

±=⇒

+=+=⇒+=

BAEE

e

EEEEEBAS

BAS

BABAS .1.1

1.7 Análisis estadístico: El análisis estadístico de datos de mediciones es una práctica común ya que permite

obtener una determinación analítica de la incertidumbre del resultado final (ver punto 1.8), esto es, una vez hallados y acotados los errores sistemáticos puede obtenerse un valor que caracterice a los errores restantes (aleatorios o fortuitos). Cabe aclarar que el tratamiento estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en las mediciones, como por ejemplo, la que puede derivar de un error sistemático.

Para realizar el análisis y aplicar los métodos estadísticos mencionados, es necesario contar con un gran número de mediciones, o sea contar con una población de datos, y además los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación con los errores residuales (o aleatorios). Como ejemplo, en la siguiente tabla se muestran 50 mediciones de voltaje.

Voltaje leído [V] Número de lecturas 99.7 1 99.8 4 99.9 12

100.0 19 100.1 10 100.2 3 100.3 1

Tabla 1-1

Figura 1.1




Luego con estos datos pueden hallarse los siguientes índices:

Media aritmética: También llamada promedio:

n

XX

n

ii∑

== 1 (1-8)

Desviación de la media: Es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética: XXd ii −= (1-9)

Cada una de las desviaciones puede ser positiva o negativa. Nótese que la . 01

=∑=

n

iid

Desviación promedio: Es una indicación de la precisión de los instrumentos:

n

dD

n

ii∑

== 1 (1-10)

Desviación estándar: Es la raíz media cuadrática de las desviaciones. Es muy utilizada en el análisis estadístico de errores. Para un número finito n de datos:

11

−=

∑=

n

dn

ii

σ (1-11)

La desviación estándar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable medida. Varianza: También llamada desviación cuadrática media:

2σ=V (1-12)

1.7.1 Distribución normal de errores: Esta distribución, muchas veces da una buena descripción de muchos resultados en

mediciones que están afectadas de errores. Las medidas repetidas y realizadas con gran cuidado siguen en muchos casos esta particular distribución.

El contorno de la misma es una curva con forma de campana llamada campana de Gauss.

Figura 1.2


Para un punto cualquiera de esta curva, la función distribución de probabilidad será:

2

2

21)(

σ

πσ

−

= ey

Esta distribución normal o gaussiana de error es la base del estudio analítico de los efectos aleatorios.

• Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de distorsión, llamados errores aleatorios.

• Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos. • Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o negativos.

El área total bajo la distribución normal entre los límites -∞, y +∞ representa el número entero de observaciones. Ahora el área sombreada entre ±σ incluye alrededor del 68% de todos los casos.

1.7.2 Error probable: En el gráfico anterior se define como error probable, esto es, se tiene

igual probabilidad (50%) de que alguna observación tenga un error aleatorio ≤ . El coeficiente que multiplica a la desviación estándar se define como factor de cobertura k.

σ⋅±= 6745.0rr±

k Fracción de área total

(probabilidad p) 0.6745 0.5000 1.0000 0.6828 1.6450 0.9000 1.9600 0.9500 2.0000 0.9545 3.0000 0.9972 2.5800 0.9900 3.0000 0.9970

Tabla 1.2

1.8 Incertidumbre de la medición: Un hecho significativo de las medidas es que el valor ‘verdadero’ de una magnitud

medida no es nunca conocido con absoluta certeza. Los fenómenos físicos y las leyes que los describen son estadísticos por naturaleza. Si bien en la mayoría de los fenómenos macroscópicos las incertidumbres son despreciables, al seguir magnitudes al nivel de calibraciones, se alcanza inevitablemente el límite del ‘ruido’ de fluctuaciones aleatorias. Esta característica intrínseca de las magnitudes físicas requiere entonces estimarse como veremos más adelante.

Se debe prestar atención y tener claro la diferencia entre error e incertidumbre. Por ejemplo el resultado de una medición luego de aplicar una corrección (por los errores sistemáticos) puede estar muy cerca del valor de la cantidad, aunque no lo podemos saber, es decir con un error pequeño, aunque puede existir, debido a los métodos e instrumentos utilizados en la medición, una gran incertidumbre.

El CIPM1 y el NIST2 con su nota técnica 1297, coinciden en las siguientes definiciones. La incertidumbre del resultado de una medición generalmente consiste en

1 Comité Internacional de Pesos y Medidas 2 National Institute of Standars and Terminology



varios componentes que pueden ser agrupados en dos categorías de acuerdo al método usado para estimar sus valores numéricos:


A.- Aquellos componentes de incertidumbre que son evaluados mediante métodos estadísticos.

B.- Aquellos que son evaluados por otros métodos o juicios científicos tales como resultados previos, conocimiento de propiedades de materiales componentes, especificaciones de fabricantes, reportes de calibraciones, etc.

Estudiaremos a continuación la incertidumbre tipo A.

1.8.1 Incertidumbre estándar (µi): Representa cada componente de incertidumbre que contribuye a la incertidumbre del

resultado de una medición mediante la desviación estándar estimada:

11

−≅=

∑=

n

dn

ii

i σµ

1.8.2 Incertidumbre estándar combinada (µc): Representa la estimación de la desviación estándar, a través de combinar las

incertidumbres estándares µi obtenidas. Comúnmente llamada ley de propagación de incertidumbre o RSS (raíz cuadrada de la suma de los cuadrados).

Para fines prácticos, suele estimarse solo una µi, por lo tanto la estándar coincide con la combinada.

1.8.3 Incertidumbre expandida (U): Se define a partir de la incertidumbre combinada y el factor de cobertura k.

ckU µ⋅= Por lo tanto para una cierta cantidad ‘y’ medida, el resultado de la medición será:

y-U ≤ Y≤ y+U Este entorno acotado alrededor del valor Y se define como intervalo de confianza el

cual tiene un nivel de confianza determinado por la fracción p de la probabilidad asociada al factor de cobertura k (ver tabla 1.2).

Por ejemplo, si k = 2.58, se tiene un nivel de confianza del 99%.

1.8.4 Distribución t-Student: Fue desarrollada por el inglés William Gosset, y permite validar conclusiones

estadísticas a partir de pequeñas cantidades de datos (n<25). Puede considerarse como una aproximación a la distribución normal, de hecho para una población de datos mayor a 30 la diferencia entre ambas es despreciable.

En aplicaciones prácticas, suele reemplazarse el factor de cobertura k por la letra t como coeficiente de Student.

En la tabla 1.3, se pueden observar los valores de la constante t correspondientes al coeficiente de Student para diferentes números de mediciones y niveles de confianza. Por ejemplo para 20 mediciones con un nivel de confianza del 90%, se tiene un t de Student de 2.093 que difiere del factor de cobertura para ese mismo nivel de confianza (k = 1.9600).


Nivel de confianza Número de mediciones 90% 95% 99% 99.5%

2 6.314 12.706 63.657 127.320 3 2.920 4.303 9.925 14.089 4 2.353 3.182 5.841 7.453 5 2.132 2.770 4.604 5.598 6 2.015 2.571 4.032 4.773 7 1.943 2.447 3.707 4.317 8 1.895 2.365 3.499 4.029 9 1.860 2.306 3.355 3.833

10 1.833 2.262 3.250 3.690 11 1.812 2.228 3.169 3.581 12 1.796 2.201 3.106 3.497 13 1.782 2.179 3.055 3.428 14 1.771 2.160 3.012 3.372 15 1.761 2.145 2.977 3.326 16 1.753 2.131 2.947 3.286 17 1.746 2.120 2.921 3.252 18 1.740 2.110 2.898 3.222 19 1.734 2.101 2.878 3.197 20 1.729 2.093 2.861 3.174

Tabla 1.3

1.8.5 Relación test de Incertidumbre (TUR): Se define como el cociente entre la incertidumbre especificada de un instrumento a

testear y la incertidumbre del instrumento calibrador. Ejemplo: Se tiene un multímetro digital con un rango de 10Vdc con la siguiente

especificación: ± 20ppm de la lectura + 1.6ppm del rango, por lo tanto, para una medición de 10Vdc, su resultado será: 10V±216µV.

Por otro lado se tiene el calibrador que entrega los 10Vdc al multímetro anterior que, en el rango de 11Vdc, tiene la siguiente especificación: ± 5ppm de la salida ±4µV. Entonces el resultado es: 10V±54µV.

Si el nivel de confianza es el mismo para ambos instrumentos (por Ej. 99%), vale decir que:

14

54216

==VVTUR

µµ

el cual es un valor aceptable para estándares de calibración, esto es, puede realizarse la calibración del multímetro con ese calibrador. Cabe aclarar que, cuando el instrumento y calibrador son especificados con niveles de confianza diferentes (≠k) basados ambos en distribuciones normales, entonces debe aplicarse la siguiente corrección:

oinstrument

calibrador

kkaparenteTURTUR ⋅=

1.9 Temas a desarrollar: • ¿Cuáles son los errores sistemáticos estáticos y dinámicos?. Dar ejemplos. • Demostrar que, tanto para un instrumento analógico como en uno digital, es

conveniente medir a fondo de escala.



• ¿Qué ley sigue la propagación de la incertidumbre de medición para una medición indirecta?

1.10 Bibliografía: 1) 'Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición' de W. Cooper. Editorial Prentice Hall 1982. 2) 'Análisis de medidas eléctricas' de E. Frank, Editorial Mc Graw Hill 1969 3) 'Technical Note 1297: Guidelines for evaluating and expressing the Uncertainty’ de N.I.S.T. 1994. 5) Norma IRAM 35050 2000 6) Norma IEC 60051-1 1984 7) ‘Introduction to metrology’ de Fluke Corporation 1995.


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