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Medidas de ángulos
Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas de origen común.
Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales o en radianes.
Medidas en grados (unidades sexagesimales):
El grado es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la
circunferencia de este círculo un arco de longitud o
r
360
2.
Un grado es igual a 60 minutos. Un minuto es igual a 60 segundos.
Un ángulo recto mide 90. Un ángulo llano mide 180. Un ángulo completo mide 360.
Medidas en radianes
En el sistema internacional, SI, la unidad de medida del ángulo es el radián (rad).
El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la
circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio.
Teniendo en cuenta la longitud de una circunferencia (2r), y con la definición de radián dada, podemos
deducir que una circunferencia cualquiera medirá 2 radianes.
Un ángulo recto mide 2 rad. Un ángulo llano mide rad. Un ángulo completo mide 2 rad.
Equivalencia entre grados y radianes.
Para pasar de grados, minutos y segundos, a radianes, se multiplica por y se divide por 180.
Para pasar de radianes a grados, minutos y segundos, se multiplica por 180 y se divide por .
Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo
Seno del ángulo es la razón entre el cateto
opuesto y la hipotenusa. Se designa por sen .
hipotenusa
opuestocatetosen
Coseno del ángulo es la razón entre el cateto
adyacente y la hipotenusa. Se designa por cos .
hipotenusa
contiguocatetocos
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Tangente del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Se designa por tg .
contiguocateto
opuestocatetotg
A partir de estas tres razones, definimos otras tres inversas de ellas:
Cosecante del ángulo es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
sen
1cos
opuestocateto
hipotenusaec
Secante del ángulo es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto contiguo.
cos
1sec
contiguocateto
hipotenusa
Cotangente del ángulo es la razón que existe entre el cateto contiguo y el cateto opuesto.
tg
1cot
opuestocateto
contiguocatetog
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Observando la figura obtenemos que:
r
ysen ,
r
xcos .
Elevando al cuadrado ambas igualdades y
sumando obtenemos:
1cossen2
2
2
2
2
222
r
r
r
x
r
y , que
se llama relación fundamental y suele
escribirse: 1cossen 22 .
Dividiendo la relación fundamental entre 0sen2 :
22
2
2
2
sen
1
sen
cos
sen
sen
22 coscot1 ecg
Dividiendo la relación fundamental entre 0cos2 :
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
22 sec1tg
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Razones trigonométricas de: 30 , 45 y 60
Los ángulos de 30 , 45 y 60 aparecen con mucha frecuencia en las formas geométricas. Sus
razones trigonométricas se calculan fácilmente a partir del triángulo equilátero y el cuadrado.
2
3
2
2
2 aa
ah
2
3:
2
3º60sen aa
a
h
222 aaad
2
2
2
1º45sen
d
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Consideramos unos ejes coordenados de origen O. Con centro en O, trazamos una circunferencia de
radio r.
Un ángulo es positivo si el giro del primer lado al segundo se realiza en sentido contrario al de las
agujas del reloj. Si el sentido de giro coincide con el de las agujas del reloj, el ángulo es negativo.
Situamos un ángulo “” con su vértice en el origen O y su primer lado en el semieje positivo OX. Se dice
que el ángulo es del cuadrante en el que esté el segundo lado. El segundo lado corta a la circunferencia
en el punto P de coordenadas (x,y).
Para un ángulo cualquiera la
definición de las razones
trigonométricas directas es
la siguiente:
r
y
radio
ordenadasen
r
x
radio
abscisacos
x
y
abscisa
ordenadatg
y
x
Pdeordenada
Pdeabscisag cot
y
r
Pdeordenada
radioec cos
x
r
Pdeabscisa
radiosec
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Las razones trigonométricas son independientes
del radio de la circunferencia elegida. Al
aumentar o disminuir el radio de ésta, lo único
que hacemos es construir diferentes triángulos
rectángulos semejantes, y las razones
trigonométricas sólo dependen del ángulo, no
del triángulo. Por comodidad, tomaremos la
circunferencia de radio unidad y centrada en el
origen de coordenadas, que se llama
circunferencia goniométrica. Así, para un
ángulo tendremos:
sen = y; es decir, el valor de la ordenada del punto P.
cos = x; es decir, el valor de la abscisa del punto P.
Los ángulos mayores que 360º tendrán su segundo lado en el cuadrante que corresponda después de
restarles una ó más vueltas completas. (Para un ángulo mayor que 360º, dividimos entre 360 –no entre
36, aunque se pudiera simplificar-, el cociente nos proporciona el número de vueltas dada a la
circunferencia y el resto sería el ángulo que tiene las mismas razones trigonométricas que el dado.
Signo de las razones trigonométricas
0sen 0sen 0sen
0cos 0cos 0cos
0tg 0tg 0tg
En todo triángulo rectángulo se verifica que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y
como el seno y el coseno de un ángulo es la razón entre un cateto y la hipotenusa, en consecuencia se
cumplirá que:
-1 sen a +1 y –1 cos a +1
En cambio la tangente, al ser el cociente entre dos catetos, puede tomar cualquier valor real.
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El signo de las razones trigonométricas seno y coseno, en cada uno de los cuadrantes, viene dado por el
signo que en éste tenga la ordenada y la abscisa. El signo de la tangente se obtiene por cociente. El
signo de las restantes razones trigonométricas se obtiene a partir de éstas tres.
Ejemplo: ¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo , sabiendo que 4
3tg y que está en el
cuarto cuadrante?
Por estar en el cuarto cuadrante, se deduce que el seno y tangente son negativas.
5
4cos ;
5
3sen
Además:
Ángulo 0 90 180 270
Seno 0 1 0 -1
Coseno 1 0 -1 0
Tangente 0 No existe 0 No existe
Relaciones entre las razones de ciertos ángulos
Se llama reducir al primer cuadrante a relacionar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
con las razones de un ángulo agudo.
Ángulos complementarios: y 90 - ( y /2 - )
En la figura se observa que el valor del seno de
es igual al valor del coseno de 90- y que el
valor del coseno de es igual al valor del seno
de 90-.
sen (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sen
tg (90 - ) = cotg
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Ángulos suplementarios: y 180 - ( y - )
En la figura se observa que los valores de los
senos son iguales y los valores de los cosenos
son opuestos.
sen (180 - ) = sen
cos (180 - ) = - cos
tg (180 - ) = - tg
Ángulos que difieren en 180: y 180 + ( y + )
Si dos ángulos difieren en 180º, sus senos y sus
cosenos son opuestos y sus tangentes son
iguales.
sen (180 + ) = - sen
cos (180 + ) = - cos
tg (180 + ) = tg
Ángulos opuestos: y - o que suman 360º: y 360º- ( y 2-)
sen (- ) = sen(360º-) = - sen
cos (- ) = cos(360º-) = cos
tg (- ) = tg(360º-) = - tg
Si dos ángulos son opuestos o suman 360º, sus
cosenos son iguales y sus senos y sus tangentes
son opuestas.
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EJERCICIOS
19.- Utilizando los valores de las razones de 30º, 45º y 60º, determina las razones trigonométricas
siguientes:
a) sen 120º b) cos 210º c) tg 300º d) tg 225º e) sen 330º
f) cotg 150º g) sec 240º h) cos(-60º) i) tg 210º j) sen(-45º)
k) cosec 225º l) sec 315º m) sen 1215º n) sec 4440º o) tg(18750º)
Soluciones: a) 2
3 b)
2
3 c) 3 d) 1 e)
2
1 f) 3
g) -2 h) 2
1 i)
3
3 j)
2
2 k) 2 l) 2 m)
2
2
n) 2 o) 3
3
21.- Sin utilizar la calculadora, halla el valor exacto de las siguientes expresiones:
a) 2
sen3
5sen3
2
3sen4
2sen
3
2
b)
6
8
3
4
6
7cos
3
2 tgtgsen
c)
cos4
cos26
sen4 d) 2
sen26
sen43
2sen32
e) 4
7sen
4
3cos
4
5sen
f)
6
7tg
3
4tg
3
5cos
g) 3
sen324
cos26
sen6
cos3
Soluciones: a) 3 b) 33 c) 2 d) 3 e) 2
2 f)
6
343 g) -2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Observando la figura, se tiene: OB=1
OA = OB · cos = cos
AB = OB · sen = sen
Expresamos el segmento OP de dos formas
distintas:
OP = OB · cos(+) = cos(+)
OP = OQ - PQ;
OQ = OA · cos = cos · cos;
PQ = AB · cos(90º-) = sen · sen
Igualando y sustituyendo, tenemos:
sensencoscoscos
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De esta se deduce:
·senº90sen·cosº90cosº90cosº90cossen
·sencos·cossen·sencos·cossen . Luego:
·sencos·cossensen
·tgtg1
tgtg
·coscos
·sensen
·coscos
·coscos
·coscos
·sencos
·coscos
·cossen
·sensen·coscos
·sencos·cossen
cos
sentg
Luego:
·tgtg1
tgtgtg
Como )( , se tiene:
sensencoscoscos
sencoscossensen
tgtg1
tgtgtg
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
A partir de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos y haciendo =, se tiene:
cossen22sen
22 sencos2cos
2tg1
tg22tg
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
Tenemos:
2cos
2sen1
2sen
2cos
22coscos
22
22
. Sumando y restando ambas igualdades:
2·sen2cos1
2·cos2cos1
2
2
. Despejando, obtenemos:
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2
cos1
2sen
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tg
Sumas y diferencias de senos y cosenos (transformación en productos)
Llamaremos A=+ y B=-, entonces: 2
BA ,
2
BA .
Sabemos que:
·sencos·cossensen
sencoscossensen
Sumando: ·cos·sen2sensen
Restando: ·sen·cos2sensen
También sabemos que:
sensencoscoscos
sensencoscoscos
Sumando: ·cos·cos2coscos
Restando: ·sen·sen2coscos
Sustituyendo por A y B, queda:
2·cos
2·sen2sensen
BABABA
2·sen
2·cos2sensen
BABABA
2·cos
2·cos2coscos
BABABA
2·sen
2·sen2coscos
BABABA
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EJERCICIOS
26.- Si 5
3sen y cos < 0, calcula:
a) cos b) 2sen c) 2
tg
d)
2sen e) tg f)
6sen
Soluciones: a) 4/5 b) 24/25 c) -3 d) –4/5 e) –3/4 f) 10
433
30.- Sabiendo que 13
12sen y
7
24tg y que 270º < < 360º y 180º < < 270º, calcula:
sen , cos y tg .
Soluciones: 325
36sen
;
325
323cos
;
323
36tg
33.- Simplifica las siguientes expresiones:
a) º20cosº40cos
º20senº40sen
b)
º75senº195sen
º75senº195sen
c)
º40senº60sen
º40cosº60cos
Soluciones: a) 3
3 b) 3 c) –tg 50
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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son ecuaciones en las que aparecen razones trigonométricas actuando sobre un ángulo incógnita que,
como en todas las ecuaciones, hay que despejar. Salvo que se pida expresamente, el valor de la
incógnita se puede dar en grados o en radianes. Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas
sobre la ecuación inicial, pues frecuentemente aparecen soluciones extrañas.
Para resolver una ecuación trigonométrica, se utilizan las fórmulas trigonométricas anteriores,
aplicando el siguiente procedimiento:
a) Despejamos el mismo ángulo en todas las razones trigonométricas.
b) Pueden presentarse dos casos:
Que nos quede toda la ecuación en función de una razón trigonométrica.
Que nos quede la ecuación como un producto de factores igualado a cero, de forma
que en cada factor sólo haya una razón trigonométrica.
c) Escribir la solución:
Dada una razón trigonométrica hay infinitos ángulos con esa misma razón.
Por ejemplo, sabiendo que 2
3sen , para hallar los ángulos que tienen esa razón primero se
determinan los cuadrantes a los que puede pertenecer el ángulo “”, observando el signo de la razón
trigonométrica. Como el seno es positivo, “” puede pertenecer al primero y al segundo cuadrante. Hay
dos ángulos comprendidos entre 0º y 360º cuyo seno vale 2
3, que son 60º y 180º-60º=120º. Si a cada
uno de estos ángulos le sumamos un número entero de vueltas, obtenemos ángulos con el mismo seno.
Por tanto, las soluciones son:
= 60º + 360º·k = 3
+ 2K, con k Z
= 120º + 360º·k = 3
2 + 2K, con k Z
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SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplo: Resuelve:
1coscos
3
yx
senysenx
12
·cos2
·cos2
32
·cos2
·sen2
yxyx
yxyx
. Dividiendo miembro a
miembro: 3
2·cos
2·cos2
2·cos
2·sen2
yxyx
yxyx
3
2cos
2sen
yx
yx
32
tg yx
soluciónmismayxyx
Iyxyx
1203604802402
)(120602
. Entonces:
32
·cos60·sen2 yx
32
·cos2
3·2
yx 1
2cos
yx 0
2
yx x – y = 0 (II)
Uniendo (I) y (II) se tiene: 600
120
yx
yx
yx
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Resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo cualquiera está compuesto por seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un
triángulo es hallar el valor de sus seis elementos, conocidos algunos de ellos. Para resolver triángulos
rectángulos, tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:
La suma de sus ángulos es: A + B + C = 180.
Teorema de Pitágoras: 222 cba
Razones trigonométricas básicas: Ca
bB cossen ;
Ca
cB sencos ;
c
bB tg ;
b
cC tg
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EJERCICIOS
2.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
a) a = 130 m B = 40º b) C = 55º c = 95 m
c) a = 65 m b = 40 m d) c = 32 m B = 15º
Soluciones: a) C = 50º, b = 83`58 m, c = 99`58 m b) B = 35º, a = 115`97 m, b = 66`52 m
c) A = 58`39º, B = 31`61º, c = 76`32 m d) C = 75º, a = 33`12 m, b = 8`57 m
3.- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 10 metros, cuando los rallos del sol
forman un ángulo de 60º con el suelo.
Solución: 17,32 m
4.- Si la sombra de un poste es igual a su altura, ¿qué ángulo forman los rallos del sol con el horizonte?
Solución: 45º
5.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que
forman las ramas del compás.
Solución: 33`92º
6.- Calcula la altura de un poste, sabiendo que dese un cierto punto del suelo se ve éste bajo un ángulo
de 30º y si nos acercamos 30m, lo vemos bajo un ángulo de 45º.
Solución: 40,95 m
7.- Desde dos torres de observación separadas entre sí 2485 metros se ve un incendio forestal (entre
ambas torres) bajo unos ángulos respectivos de 84º y de 72º. ¿A qué distancia de cada una de las
torres se está produciendo el incendio?
Solución: 1879,37 m y 605`63 m
8.- Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal
bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del pedestal.
Solución: 1,13 m
9.- Halla la altura de la torre QR de pie
inaccesible y más bajo que el punto de
observación, con los datos de la figura.
Solución: 77,87 m
10.- Calcula la altura QR, cuyo pie es inaccesible
y más alto que el punto donde se encuentra el
observador, con los datos de la figura
Solución: 74,55 m
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Teorema del seno: En cada triángulo, el ángulo mayor tiene enfrente el lado mayor y el ángulo menor, tiene enfrente el
lado menor.
Una expresión cuantitativa de este hecho es el teorema de los senos, que se enuncia así:
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
C
c
B
b
A
a
sensensen
Demostración:
En un triángulo ABC trazamos una altura h desde el vértice A:
Los triángulos BHA y CHA son rectángulos. Por tanto, tenemos:
CbBc
Cbhb
hC
Bchc
hB
·sen·sen
·sensen
·sensen
,
de donde:
B
b
C
c
sensen .
Si trazáramos la altura desde el vértice C se obtendría:
B
b
A
a
sensen .
Aplicación:
Sirve para relacionar dos lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Por tanto, se podrá resolver
con él cualquier triángulo del que conozcamos dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos.
Al utilizar el teorema del seno, podemos tener dos soluciones distintas válidas.
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Teorema del coseno: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido:
Abccba ·cos2222
Baccab ·cos2222
Cabbac ·cos2222
Demostración:
Supongamos que los ángulos A y C son agudos. El razonamiento es similar en los demás casos.
AH = c · cosA
HC = b – AH = b – c · cosA
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos AHB y BHC y teniendo en cuenta las igualdades
anteriores, se obtiene:
AcbAcbhAcbhHCha ·cos··2·cos·cos 222222222
AchAchAHhc 22222222 ·cos·cos
Restando: Acbbca ·cos··2222
Por tanto: Abccba ·cos2222
Aplicación:
El teorema de los cosenos sirve para relacionar los tres lados de un triángulo con uno de los ángulos del
mismo. Por tanto, se podrá resolver con él cualquier triángulo del que se conozcan los tres lados, o bien
un triángulo del que se conozcan dos lados y el ángulo comprendido.
Interpretación geométrica del Teorema del seno:
En todo triángulo, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto (constante de proporcionalidad entre
los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos) es igual al diámetro de la circunferencia
circunscrita a dicho triángulo.
RC
c
B
b
A
a2
sensensen
EJERCICIO
40.- Un ángulo de un triángulo vale 30. Calcula su lado opuesto sabiendo que el radio de la
circunferencia circunscrita es 3.
Solución: a=3
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ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Veremos distintas expresiones del área de un
triángulo:
1. En función de la base y la altura:
bhbS ·2
1
2. En función de dos lados y el ángulo comprendido:
Caha
hC ·sensen . Sustituyendo en el apartado 1: CabS ·sen·
2
1
3. En función de los lados. Fórmula de Herón.
CabS ·sen·2
1 , multiplicamos por 4:
CabS ·sen··24 , elevamos al cuadrado:
CababCabCabS 222222222222 ·cos··4··4cos1···4·sen··416
222 ·cos··2··4 Cabab , por el teorema del coseno:
222222··4 cbaab , por diferencia de cuadrados:
222222 2·2 cbabacbaba , por el cuadrado de la suma:
2222· baccba , por diferencia de cuadrados:
bacbaccbacba ···
Haciendo a + b + c = 2p y restando 2ª, 2b y 2c se obtiene:
b + c – a = 2p –2a = 2 (p-a);
a + c – b = 2p - 2b = 2 (p-b);
a + b – c = 2p - 2c = 2 (p-c);
Entonces:
)(2)·(2)·(2·216 2 apbpcppS
cpbpappS
2
cbap
p: semiperímetro
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4. En función de los lados y el radio de la circunferencia circunscrita:
Por el teorema de los senos se tiene que: R
cCR
C
c
2sen2
sen
R
abcS
4
Problemas de resolución de triángulos:
Un triángulo queda determinado cuando se conocen:
- tres lados.
- dos lados y el ángulo comprendido.
- un lado y los ángulos adyacentes.
Resolver un triángulo es obtener, a partir de los tres datos conocidos que lo determinan, los otros tres
restantes. Para ello se procede del siguiente modo:
1. Representar la figura.
2. Situar sobre la figura los datos conocidos.
3. Señalar sobre la figura los elementos que hay que hallar.
4. Utilizar las herramientas estudiadas.