Medidas de tendencia central con casos

Medidas de Tendencia Central

Oswaldo Quiroz Marín Marín

1

La Estadística Sumaria

2

Después de construir tablas y gráficos, a partir de una colección de datos, se requieren medidas más exactas.

La estadística sumaria o de resumen, proporciona medidas para describir un conjunto de datos.

Existen tres tipos de medidas de resumen:• De tendencia central.• De dispersión.• De la forma de la distribución.

(A) Las medidas de tendencia central

3

Se refieren al punto medio de una distribuciónSe conocen como medidas de posiciónEjemplo: A partir del gráfico siguiente, se observa que la

posición central de la curva B está a la derecha de la posición central de las curvas A y C. Obsérvese que la posición central de la curva A es la misma que la curva C.

(B) Las medidas de dispersión

4

Se refieren a la extensión o amplitud de los datos de una distribución

Representan el grado de variabilidad de los datos.Ejemplo: Observe que la curva A en el siguiente gráfico tiene una

mayor dispersión que la curva B, a pesar que la posición central es la misma.

(C) Las medidas de la forma de la curva

5

Las curvas que representan a un conjunto de datos, pueden ser analizadas de acuerdo a su:

a)Simetría b) Curtosis Las curvas simétricas, tienen una forma tal que con

una línea vertical que pase por el punto más alto de la curva, dividirá el área de esta en dos partes iguales.

6

Las curvas sesgadas son aquellas cuyos valores están concentrados en el extremo inferior o superior de la escala de medición del eje horizontal. La “cola” indica el tipo de sesgo.

7

Cuando medimos la curtosis nos referimos al grado de agudeza. Pueden ser: leptocúrtica (concentración al centro) mesocúrtica (distribuidos simétricamente) platicúrtica (aplanada).

3.3 Las medidas de tendencia central

Oswaldo Quiroz Marín 8

En general se denominan promedios. Los más importantes son la media, la mediana y la

moda.Aritmética

Media GeométricaMedidas de Mediana Armónicatendencia central Moda

También es útil conocer los percentiles (o fráctiles).

3.3.1 La Media


(A) La media aritmética ( )a) Obtención: Se obtiene sumando los valores

registrados y dividiéndolos entre el número de datos.

Ejemplo: La siguiente tabla muestra el número de reclamos y

quejas presentadas por vecinos por la demora en la construcción de carreteras . Calcule e interprete la media.

Día/Semana Lun Mar Mier Jue Vier SabReclamos/día 8 10 5 12 10 15

x


Media aritmética =

= 10 reclamosb) Interpretación: Si elige al azar un día de la semana,

se espera que los clientes de esta tienda realicen 10 reclamos por día.

c) Simbología: Tamaño Media aritmética

Muestra n (equis barra)Población N (mu)

10

60

6

1510125108

x

x


d) Cálculos a partir de datos no agrupados, se utilizan las siguientes formulas.Para una muestra

donde: : media muestral

: suma de todos lo datos

: número de datos

(muestra)

n

n

iix

1

X

para una población

donde: : media poblacional : suma de todos los

datos N : número de datos

(población)

:i

Xx

n

iX

N

N

ii

1X


e) Cálculo a partir de datos agrupados. Se utiliza la formula siguiente

donde: : media muestral : frecuencia absoluta

de la clase i : marca de la clase i

nf

nf

i

i

i

ii

x

1

1X

xif

iX


Ejemplo: La distribución de frecuencias siguiente, representa los puntajes obtenidos en una evaluación del desempeño, aplicado al personal técnico de una empresa. El puntaje máximo en la prueba es 50. Calcule e interprete en media.

Desempeño Número de

(puntos) técnicos

12 - 16 4

17 - 21 8

22 - 26 15

27 - 31 23

32 - 36 10

TOTAL 60


Primero se calcularán las marcas de clase ( ); es decir, el valor intermedio de cada clase

Marca de Frecuencia

clase ( ) absoluta(fi)12 - 16 14 417 - 21 19 822 - 26 24 1527 - 31 29 2332 - 36 34 10

Total 60

14(4) + 19 (8) + 24 (15) + 29 (23) + 34 (10)

4+8+15+23+10

iX

ix

x

x x

clase

1575 60 26.25


Interpretación : Si se elige al azar a un técnico, se espera que tenga un puntaje de 26,25 en su evaluación de desempeño.

f) La media aritmética ponderada ( )

donde:

= factor de ponderación

= datos

n

ii

n

iii

w

w

px

1

1

X

px

iw

iX


Ejemplo: Una empresa comercializadora de teléfonos celulares dispone de 3 vendedores, cada uno de los cuales cobra diferente comisión por teléfono vendido, y realiza diferente número de ventas. Calcule e interprete el valor medio de la comisión

Nº de teléfonos ComisiónVendedor vendidos por venta $

Pedro 30 30Juan 25 40Pablo 20 50

iw iX


Interpretación:Si se elige al azar un vendedor se espera que cobre una comisión de $38.67 por teléfono vendido.

67.38$75

2900

202530

)50(20)40(25)30(30

px


g)Ventajas y desventajas de la media aritméticaVentajas: Concepto familiar para muchas personas Es única para cada conjunto de datos Es posible comparar medias de diferentes muestras

Desventajas Se ve afectada por los datos extremos Si la muestra es grande y los datos no están agrupados, su cálculo es tedioso Si los datos están agrupados en clases con extremos abiertos, no es posible calcular la media.

(B) La media geométrica ( )


Se utiliza para calcular tasas medias de variación, como la tasa media de crecimiento poblacional, la tasa media de inflación mensual, la tasa media de mortalidad, entre otros.

a) Obtención Se obtiene extrayendo la raíz enésima del producto de los n valores de una serie.

gx

ng nx XXXX .........

321


Ejemplo:La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las ventas durante los últimos meses. Calcule e interprete la tasa media mensual.

Meses Enero Febrero Marzo Abril MayoAumento de

Ventas2.6% 5.4% 3.8% 0.5% 1.4%

La tasa 2.6% también se puede expresar como 0.026 y, ya que como se refiere a un aumento a partir de 100%, el factor de variación será 1.026. Para los otros datos se opera igual.


Por lo tanto, la media geométrica se calcula:

5 )014.1)(005.1( )038.1( )054.1( )026.1(

)( 0272540,1 medioocrecimientdeFactor

5 143903377.1

= (1,0272540 - 1) x 100 = 2.72%

100)1 ( Tasa mediade variación=

b) Cálculos

n xxxxx g ,......,, 321

gx

gx

gx

gx


c) InterpretaciónSi se selecciona al azar un mes entre enero y mayo, se espera que las ventas se hayan incrementado 2.72% con respecto al mes anterior.

(C) La media armónica ( )


Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad y aceleración media, como el tiempo medio para realizar un proceso productivo.

a)Obtención: se obtiene calculando el inverso de la media aritmética de los inversos de una serie.

hx

n

n

i i

hx

1X1

1


Ejemplo: Los siguientes datos registran el tiempo que utilizan cuatro clientes al realizar una compra de un artefacto doméstico. Calcule e interprete el tiempo medio.

Cliente A B C DTiempo

(minutos)45 38 52 40


b) Interpretación:Si se selecciona al azar a uno de los cuatro clientes, se espera que realice la compra de un artefacto en 43 minutos aproximadamente.

889202223171023401976

4

401

521

381

451

4

hx

minutos 117953.438249889204

hx

segundos 7 minutos 43hx

3.3.2 La Mediana


Es la medida que divide en dos subconjuntos iguales a datos, de tal manera que 50% de los datos es menor a la mediana y el otro 50% es mayor a la mediana.

a)Obtención: Se obtiene ordenando la serie de datos (en forma ascendente o descendente) y ubicando el dato central.


Ejemplo:Los siguientes datos se refieren al número de clientes atendidos durante los últimos 11 días en una tienda de artefactos. Calcule e interprete la mediana.

12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16

Primero se ordenan lo datos:5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17

5 datos menores 5 datos mayores

mediana


b) Interpretación: Durante 5 días se atendieron a menos de 11 clientes, y durante 5 días se atendieron a más de 11 clientes.

c) Reglas1º Si la serie es impar, la mediana ocupa el lugar

central de la serie previamente ordenada.

Ejemplo: 5, 10, 10, 12, 15 , 17, 20, 21, 24


Ejemplo: 8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34

3º Sea la serie par o impar, la mediana ocupa el lugar , de la serie previamente ordenada.

2

1n

5.202

2318

mediana

2º Si la serie es par, la mediana se obtiene de la semisuma de los dos valores centrales de la serie previamente ordenada.

donde:: mediana: limite real (o frontera) inferior de la clase medial (o mediana).: número total de datos.: suma de todas las frecuencias hasta, pero sin incluir, la clase mediana.: frecuencia de la clase medial: amplitud de clase


d) Cálculo a partir de datos agrupados.

c

Mdf

Fn

Md i

1

21

L

Md

iLnF

Mdfc


Ejemplo: La tabla siguiente muestra la experiencia profesional (años) del personal técnico que labora en una empresa. Calcule e interprete la mediana.

Experiencia Número deprofesional trabajadores

(años) técnicos 0 - 3 4 4 - 7 12

Clase Medial

8 - 11 24

12 - 15 16 16 - 19 10 20 - 23 3

69

Lugar de la mediana:

424

)17(2

169

8

dM

424

17358

Mediana = 11 años

o352

1692

1 n


Interpretación:

La mitad de los profesionales técnicos que laboran en esta empresa tienen una experiencia laboral igual o menor a 11 años. La otra mitad de los profesionales tienen una experiencia laboral igual o menor a 10 años y 6 meses.


e) Ventajas y desventajas de la mediana

Ventajas:Los valores extremos no afectan a la mediana como en el caso de

la media aritmética.Es fácil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos.

Desventajas:Como valor central, se debe ordenar primero la serie de datos.Para una serie amplia de datos no agrupados, el proceso de

ordenamiento de los datos demanda tiempo y usualmente provoca equivocaciones.

3.3.3 La Moda


La moda es el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos.a) Obtención: se obtiene organizando la serie de datos y seleccionando el o los datos que más se repiten.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15

4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27

7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38

Ejemplo:


b) Cálculo a partir de datos agrupados

donde:: moda: limite real (o frontera) inferior de la clase modal (la de mayor frecuencia): frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior: frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente: amplitud de clase

ci

21

1LoM

oM

iL

1

2

c


La clase medial pueden coincidir pero conceptualmente son diferentes.Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores de facturación durante un mes, en una empresa comercializadora.

Calcule e interprete la moda.Errores defacturación Días

0 - 3 6

4 - 7 12Clase Modal

8 - 11 8

12 - 15 3

16 - 19 1

Total 30

Clase moda : (4 - 7)

Mo = 6.4

61

42 4

466

4 Mo

Interpretación: Durante un mes, el número más frecuente de errores de facturación en esta empresa comercializadora es 6.


e) Ventajas y desventajas de la moda.Ventajas:

Se puede utilizar tanto para datos cualitativos como cuantitativos.No se ve afectada por los valores externosSe puede calcular, a pesar de que existan una o más clases abiertas.

Desventajas:No tiene un uso tan frecuente como la media.Muchas veces no existe moda (distribución amodal).En otros casos la distribución tiene varias modas, lo que dificulta su

interpretación.

3.3.4 Los Percentiles


Son los valores que dividen en 100 partes iguales a un conjunto de datos

a) Cálculo: para datos agrupados.

c

f

n

iK

KP

1F100

K

LP


donde:

: percentil

: el percentil

: número de datos

: frecuencia acumulativa hasta la clase

anterior a la clase donde se ubica el percentil

K

: frecuencia absoluta de la clase donde se ubica

el

percentil K

: amplitud de clase

KP

c

K

n

F

K

fP


Ejemplo:

La tabla muestra la experiencia (en años) de los trabajadores de una gran compañía textil.

Experiencia Trabajadores(años)

0 - 3 18 4 - 7 42

8 - 11 68 12 - 15 120 16 - 19 40 20 - 23 34 24 - 27 12

Total 334


¿Sobre qué edad se ubica el 25% de los trabajadores de mayor experiencia?

Para saber en qué clase se halla este dato, se calculó la frecuencia acumulativa.

Menor

Experiencia

Mayor

Experiencia

75 % 25 %

P75

K = 75

)ordenados números los de( 5.250100

)334(75100K

P delLugar o75 n


Experiencia Nº Trabajadores Frec. Acumulada(años) 0 - 3 18 18 4 - 7 42 60

8 - 11 68 128 12 - 15 120 248 16 - 19 40 28820 - 23 34 32224 - 27 12 334

334

Interpretación: Para que un trabajador esté comprendido en el 25% de mayor experiencia laboral debe tener al menos 16 años, 1 mesesy 24 días.

4

40

1248100

75(334)

1675

P

años 15.16

75P

iFif

En esta clasese ordenan del249º - 288º

F=248

3.4 Las medidas de dispersión


Llamadas también medidas de variabilidadSon útiles porque:Permiten juzgar la confiabilidad de la medida de

tendencia central. Los datos demasiados dispersos tienen un

comportamiento especial.Es posible comparar dispersión de diversas

muestras.

3.4.1 El rango (R)


Llamado también amplitud o alcance.

a) Obtención: se obtiene de la influencia entre el dato mayor y el dato menor más una unidad significativa, a fin de incluir ambos valores extremos.


Ejemplo:

Los siguientes datos representan el peso de 10 niños al nacer, (en kgs). Calcule e interprete el rango.

2,860 3,150 3,450 2,950 3,7804,170 3,920 3,280 4,050 3,120

Rango = (4,170 - 2,860) + 0.001Rango = 1,311 Kgs


b) InterpretaciónLa diferencia entre el bebe de mayor peso y el bebe menor peso es 1,311 Kgs.

c) Cálculo a partir de datos agrupadosSe utiliza la siguiente formula:

donde:R = (Ls - Li ) + 1 : Limite superior de la

última clase : Limite inferior de la primera clase

sL

iL


Ejemplo: La distribución de frecuencias siguiente representa el tiempo que demora un cliente en un banco. Calcule e interprete el rango

Rango = (36-12) + 1

R = 25 minutos

Tiempo Nº de Clientes(minutos) (por día)

12 - 16 4 17 - 21 8 22 - 26 15 27 - 31 23 32 - 36 10Total 60

Interpretación: la diferencia de tiempo entre el cliente que más demora y el que menos demoró es 25 minutos.


f) Ventajas y desventajas del rango

Ventajasfácil de calcularfácil de entender e interpretar

Desventajassólo considera los valores extremosno toma en cuenta ni el número de datos ni el valor de

estosno es posible calcular en tablas con extremos abiertos.

3.4.2 El rango intercuartil


Permite ubicar el 50% de los datos que se encuentran en el centro de la distribución, es decir, el 25% de los datos son menores al primer cuartil y también 25% de los datos son mayores al tercer cuartil.


Ejemplo: La tabla muestra la experiencia (en años) de los trabajadores de una gran compañía textil.

Experiencia (años)

Trabajadores

0 - 3 18 4 - 7 42 8 - 11 68

12 - 15 120 16 - 19 4020 - 23 3424 - 27 12Total 334

A)¿En qué valores se encuentra el 50% intermedio de estos datos?

B)¿Cuál es el rango intercuartílico?


Rango Intercuartílico

50 %25 %

Q3

clase 3ra laen ubica se 5.83100

)334(25PQLugar 251

o

25 %

Q1

4

68

160100

25(334)

5.7Q1

años 82.8Q

1


clase 5ta laen ubica se 5.250100

)334(75PQLugar 753

o

4

40

1248100

75(334)

5.153

Q

A)Es 50% de los trabajadores con experiencia intermedia se encuentran entre 8.82 y 15.65

B) El rango intercuartílico es 6 años 10 meses aproximadamente

años 65.153

Q

3.4.3 La varianza


Es una medida de desviación promedio con respecto a la media aritmética

a) Cálculos a partir de datos no agrupados.

para una muestra

para un población1

1

2

)X(2

n

n

ii

xS

N

N

ii

1

2

)X(2


8 8 - 10 = 2 4

10 10 - 10 = 0 0

5 5 - 10 = 5 25

12 12 - 10 = 2 4

10 10 - 10 = 0 0

15 15 - 10 = 5 25

Ejemplo:

La siguiente información se refiere al número de artículos vendidos durante una semana.

Calcule la varianza. 8, 10, 5, 12, 10, 15

Elaboramos un cuadro de la forma siguiente

x X xi 2X xi

60X 0X xi

10

6

60

x

x

58X 2xi


58X 2xi

1

)(X2

2

n

iS

x

6.1116

582

S

3.4.4 La desviación estándar


Es la raíz cuadrada de la varianza, sea poblacional o muestral.a) Cálculos a partir de datos no agrupados

para la muestra

para la población

1

)X(S 1

2

2

s

n

n

i

xi

N

N

ii

1

2

2)X(


Ejemplo:

La siguiente información se refiere al número de artículos vendidos durante una semana. Calcule la desviación estándar.

8, 10, 5, 12, 10, 15

Ya sabemos por el ejemplo anterior que S2 = 11.6 Entonces

s2

S

articulos 3,4 S

6,11S

3.4.5 El coeficiente de variación


Es una medida relativa de variabilidad de los datos, permite comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en unidades diferentes (peso; kgs y libras).

a) Calcular a partir de datos no agrupados

para la muestra:

para la población: 100xs

CV

100

CV


Ejemplo:

A continuación se presentan las ventas (en unidades monetarias) logradas durante una semana por dos tiendas de artículos electrodomésticas. La tienda I vende en soles y la tienda II en dólares ¿Cuál de ellos tiene un desempeño más estable, en cuanto a nivel de ventas?.

Tienda I (soles) Tienda II (dólares)40,70,60,48,52,65,58 70,35,150,140,82,110,140,120

Calculamos la media y desviación estándar por cada una de las tiendas


Tienda I

40 -16.14 260.50

70 13.86 192.10

60 3.86 14.90

48 -8.14 66.26

52 -4.14 17.14

65 8.86 78.50

58 1.86 3.46

x X xi 2X xi

14.567

393X1

ni

n

ix

393X 0X xi 86,632X 2xi


86.632X Si 2xi

27.101786.632

1

)X(S 1

2

n

n

ixi

100S

x

CV

29.1810056.1410.27 CV


Tienda II

70 -35.87 1286.6569

35 -70.87 5022.5569

150 44.13 1947.4569

140 34.13 1164.8569

82 -23.87 569.7769

110 4.13 17.0569

140 34.13 1164.8569

120 14.13 199.6569

x X xi 2X xi

87.1058

8471X

n

i

n

ix

847X 04,0X xi 88,11372X 2xi


88.11372X Si1

2

n

i i x

30.401888,11372

1

XS 1

2)(

n

n

ixi

100S

x

CV 06,30100105,8740,30 CV

La tienda II presenta una mayor variabilidad en el volúmen de ventas.

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