Memorias del XII Seminario de Estudiantes de …...categoría de Hamilton como uno de los grandes...

Memorias del XII Seminario de Estudiantes de Matemáticas

Auditorio “Mat. Enrique Valle Flores”

7 y 8 de Junio, 2012.

Índice Pag.

Teorema de Cayley‐Hamilton Vía Integración Compleja

Cienfuegos Colunga Valeria, Shingareva Inna……………………………………………………………………………………… 1

¿Cuándo es continua una función límite?

Cruz Lugo Jesús Ernesto, Ávila Godoy Guadalupe…………………………………………………………………………….…. 7

Una Prueba Geométrica de que e es irracional y una medida de su irracionalidad.

Cruz Lugo Jesús Ernesto, Ávila Godoy Guadalupe……………………………………………………………………………... 13

Estabilización Rápida en un modelo de Mezclas.

Mendoza Quintero Eduardo, Leyva Castellanos Horacio…………………………………………………………………… 17

¿Qué tan Intuitiva es la Descomposición en Primos?

Ramírez Montaño Daniel Iván, Soto Munguía José Luis………………………………………………………………….… 23

Sistemas Hamiltonianos y Ecuación de Hill

Romandía Flores Carmen María, Shingareva Inna……………………………………………………………………..…….. 29

El Desorden Absoluto es Imposible: Una Introducción a la Teoría de Ramsey.

Rosales Alcantar César Alberto, Brau Ávila Agustín………………………………………………………………………….. 35

Una Apuesta sin Perdedores, ¿Es Posible?

Rosales Alcantar César Alberto, Vega Amaya Oscar…………………………………………………………………………. 41

Combinación de Cómputo Numérico Tradicional, Cómputo Simbólico y Cómputo Numérico de

Precisión Arbitraria.

Valenzuela Aguilera Johanna, Shingareva Inna………………………………………………………………………………… 49

Convergencia en 2X.

Morales Ramírez Guadalupe, Robles Corbalá Carlos Alberto………………………………………………………….. 59

Memorias de la XII Seminario de Estudiantes de Matemáticas, Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora. 7 y 8 de Junio 2012, pp. 1—5.

1

TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON VÍA INTEGRACIÓN COMPLEJA Cienfuegos Colunga Valeria, Shingareva Inna

Departamento de Matemáticas

Universidad de Sonora e-mail: [email protected]

1. Introducción

Es usual que sólo en cursos avanzados de álgebra lineal se de a conocer el Teorema de Cayley–Hamilton. A continuación se dará a conocer la demostración de dicho teorema; lo que hace peculiar a esta, es la herramienta que se utiliza para probarlo: análisis complejo, básicamente haciendo uso de la integral de Cauchy. Primero hablaremos un poco de Arthur Cayley y Sir William Rowan Hamilton, dos grandes personajes, gracias a los cuales se les debe el nombre a tan fundamental teorema. Después conoceremos una serie de preliminares; seguido por un lema, el cual nos ayudara a demostrar por último el teorema de Cayley–Hamilton. ¿Quién fue Arthur Cayley y William Rowan Hamilton?

Sir William Rowan Hamilton (agosto 1805 – septiembre 1865), matemático, físico y astrónomo irlandés.

A la edad de 5 años, ya había aprendido latín, griego y hebreo.

Hamilton encontró un error en la mecánica celeste de Laplace, lo cual llamo la atención de John Brinkley, astrónomo de Irlanda; en 1822 dice: “este joven, no digo que será, sino que es, el primero matemático de su tiempo”.

Estructuró la teoría de los números complejos, los cuales definió como pares de números reales.

Descubrió la teoría de los cuaterniones (1843).

Cuenta la leyenda que a Hamilton se le permitía pisar el césped de la Universidad, algo totalmente prohibido. Este hecho camina entre la realidad y la ficción. Posiblemente ocurriera que, absorto en sus meditaciones, descuidara esta prohibición y accidentalmente caminase por los jardines, aunque absolutamente nadie en toda Irlanda se hubiera atrevido a interrumpirle o a amonestarle. Esta anécdota seguramente sirve para dar idea de la categoría de Hamilton como uno de los grandes matemáticos de su tiempo y de la historia. Arthur Cayley fue un matemático británico (agosto 1821 – septiembre 1895) es uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras.

2

Dio la primera definición moderna de grupo. Seguido y gracias a la teoría de los cuaterniones de Hamilton, Cayley descubre los

octoniones a veces llamados números de Cayley, dándolos a conocer en 1845; también se le da el crédito a John T. Graves, ya que dos años antes los había descubierto independientemente a Cayley.

Es el tercer matemático más prolífico de la historia, sobrepasado tan solo

por Euler y Cauchy, con aportaciones a amplias áreas de la matemática. Cayley es autor de

una colección de artículos, "The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley" (1889),

que contiene 966 artículos en trece grandes volúmenes. Lo más importante dentro de su

trabajo se encuentra el desarrollo del álgebra de matrices, desarrollo de geometría no

euclidiana así como la geometría n‐dimensional.

¿Cuál es la probabilidad de que dos grandes científicos nazcan y mueran el mismo mes, y

además hayan colaborado en el mismo teorema?

Un poco de historia

Cayley probó para el caso especial de matrices de orden (2x2) y orden (3x3), pero dice: “yo no

tengo la condición necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el teorema

para el caso general de una matriz de cualquier grado.

Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con Hamilton. En efecto, él también probó un

caso especial del teorema, para matrices de orden (4x4), en el curso de sus investigaciones sobre

cuaterniones.

Frobenius probó el teorema en forma general par matrices de orden (NxN) en 1898.

2. Preliminares

1. Sea una función analítica en el plano complejo y una matriz cuadrada de orden ,

donde sus eigenvalores están contenidos en el interior de un círculo centrado en el origen.

La siguiente expresión calcula el valor de la función en la matriz

. E. Cartan (en 1928) descubrió esta fórmula (en una carta a G. Giorgi).

3

Sea una función compleja (de una variable compleja) continua evaluada en , entonces

2. .

3. 2 1,

0 1.

4. 0,

donde está dentro de y es un polinomio complejo.

5. Sea una función matricial continua y evaluada en .

Definimos la matriz

,

donde los elementos de la matriz están dados por

.

6. Las propiedades de integración que todos conocemos se extienden a las funciones

evaluadas en matrices.

En particular, : ,

: .

Lema: Si es una matriz cuadrada de orden , donde sus eigenvalores están contenidos en el interior de un círculo C centrado en el origen, entonces

2 . Demostración

Notemos que .

o Recordemos que det es el polinomio característico de la

matriz y la matriz adjunta se calcula de la siguiente manera:

,

4

donde A 1 det es el ij ésimo cofactor de . Como las entradas en son polinomios en z, los elementos de la matriz

son funciones racionales.

Sea

un elemento de la matriz.

Tenemos la descomposición en las fracciones parciales:

, 1

donde los aj son simples eigenvalores y ) es la suma de términos

, 1.

Si

está fuera de la diagonal en , entonces el gr 2 y gr .

Entonces para mantener la identidad (1), debemos tener ∑ 0. Por otro lado, si

es un término de la diagonal, el gr p 1 y gr , entonces ∑ 1.

Por lo tanto

2 0

2 · .

5

Teorema de Cayley-Hamilton Si es el polinomio característico de la matriz cuadrada , entonces

, la matriz cero. Demostración:

Consideramos la matriz

.

Como las entradas en son polinomios, , para 0,1,2,…

· 2 · .

Luego

·12

12

12

12

0. Los elementos de la matriz son polinomios en . Bibliografía J. B. Deeds, The Cayley–Hamilton Theorem Via Complex Integration, The American

Mathematical Monthly, Vol. 78, No.9 , pp. 1003–1004, 1971.

T. Crilly, Cayley’s anticipation of a generalized Cayley–Hamilton theorem, Hist. Math. 1978, 5: 211–219.

R. F. Rinehart, The Equivalence of Definitions of a Matric Function, The American Mathematical Monthly, Vol. 62, No. 6 , pp. 395–414, 1955.

A. P. Campbell, D. Daners, Linear Algebra via Complex Analysis, School of Mathematics and Statistics, The University of Sydney, Australia, 2012.

www.history.mcs.st-and.ac.uk

Memorias del XII Seminariode Estudiantes de Matematicas.Departamento de Matematicas, Universidad de Sonora,7 y 8 de Junio 2012,pp. 7–12.

¿CUANDO ES CONTINUA UNA FUNCION LIMITE?

Cruz Lugo Jesus Ernesto, Avila Godoy Guadalupe

Departamento de MatematicasUniversidad de Sonora

e-mail: [email protected]

Resumen

En este trabajo se discute una condicion necesaria y suficiente para garantizar que el lımitepuntual de una sucesion de funciones continuas es una funcion continua. Tambien se exponenalgunos ejemplos para ilustrar que la convergencia uniforme no es una condicion necesaria paraque dicha funcion lımite herede la propiedad de continuidad.

1 Introduccion

En este trabajo se presenta el concepto de convergencia quasi-uniforme de una sucesionde funciones y se prueba que esta condicion es necesaria y suficiente para garantizar queel lımite puntual f de una sucesion fk de funciones continuas herede la propiedad decontinuidad. Primeramente en la Seccion 2 se exponen los conceptos de convergencia puntualy convergencia uniforme de una sucesion de funciones y la demostracion de uno de losresultados basicos de los cursos introductorios de analisis real que afirma que si cada funcionfk es continua en un punto c y la sucesion fk converge uniformemente a f entonces ftambien es continua en c. Tambien se muestra mediante ejemplos, en esta misma seccion, quela convergencia uniforme no es necesaria para que la funcion lımite de funciones continuas seatambien continua. Finalmente, en la Seccion 3, se presenta la definicion antes mencionada deconvergencia quasi-uniforme de una sucesion de funciones y se prueba que esta es la condicionmınima que se ha de agregar a la convergencia puntual para garantizar la continuidad de lafuncion lımite de funciones continuas.

2 Convergencia uniforme

Definicion 1. Se dice que una sucesion de funciones fk converge puntualmente a fen un intervalo I si fk(x) → f(x) para cada x ∈ I, o mas precisamente, si para cada x ∈ Iy cada ε > 0 existe un entero positivo K(ε, x) tal que |fk(x)− f(x)| < ε para toda k ≥ K.

Notemos que para x ∈ I fija, el entero positivo K dependera tanto de x como de ε. Sipodemos encontrar un entero K que solo dependa de ε y no de x, decimos que la convergenciade fk a f es uniforme en I.

Definicion 2. Se dice que una sucesion de funciones fk converge uniformemente a fen un intervalo I si para cada ε > 0 existe un entero positivo K tal que |fk(x) − f(x)| < ε

7

para toda x ∈ I y para toda k ≥ K.

Ejemplos:

1. fk(x) = (x− 1/k)2; f(x) = x2.

Para cada x ∈ [0, 1] fija, se tiene que limk→∞ fk(x) = limk→∞(x − 1/k)2 = limk→∞(x −1/k)(x−1/k) = limk→∞(x−1/k) limk→∞(x−1/k) = x·x = x2, ası que fk → f puntualmenteen [0, 1]. Tambien puede probarse facilmente que fk → f uniformemente en [0, 1].

2. fk(x) = 1x+k

; f(x) = 0.

Para cada x ∈ [0, 1] fija, se tiene que 1x+k

= 1/kx/k+1

→ 0, ası que fk → f puntualmente en

[0, 1]. Ademas, puede probarse que fk → f uniformemente en [0, 1].

3. fk(x) = x− xk; f(x) =

x si 0 ≤ x < 1,0 si x = 1.

8

Si 0 ≤ x < 1, x− xk → x, y si x = 1, entonces x− xk → 0. Ası, fk → f puntualmente. Sinembargo, se puede probar que esta convergencia no es uniforme. Este ejemplo muestra que ellımite puntual de una sucesion de funciones continuas puede ser una funcion discontinua. Eneste caso, f es discontinua en 1. Ası, la convergencia puntual no es una condicion suficientepara garantizar la continuidad de la funcion lımite.

4. fk(x) = tan−1 nx; f(x) =

π/2 si 0 < x ≤ 1,

0 si x = 0.Al igual que en el ejemplo anterior, se tiene que fk → f puntualmente en [0, 1], pero estaconvergencia no es uniforme. Ademas la funcion lımite tampoco es continua en [0, 1]. Eneste caso, f es discontinua en 0.

5. fk(x) = k2x(1− x2)k; f(x) = 0.

Aquı, fk → f puntualmente en [0, 1], pero no uniformemente. Este ejemplo ilustra que lafuncion lımite puede ser continua incluso si la convergencia no es uniforme.

9

El siguiente teorema se estudia en los cursos introductorios de analisis real. Se incluyeaquı para analizar una desigualdad clave utilizada en su prueba, la cual nos llevara a ladefinicion de convergencia quasi-uniforme.

Teorema 1 Sea fk una sucesion de funciones que converge puntualmente a una funcion fen un intervalo I. Supongamos que cada fk es continua en c ∈ I. Si fk → f uniformemente,entonces f es continua en c.

Prueba. Sea ε > 0. Como fk → f uniformemente, existe un entero positivo K tal que|fk(x)− f(x)| < ε para toda x ∈ I y para toda k ≥ K. Sea p ≥ K un entero fijo. Entonces|fp(x) − f(x)| < ε/3. Como cada fk es continua en c, en particular fp lo es, ası que existeδ > 0 tal que |fp(x) − fp(c)| < ε/3 siempre que |x − c| < δ y x ∈ I. Luego, para x ∈ I con|x− c| < δ se tiene que

|f(x)− f(c)| ≤ |f(x)− fp(x)|+ |fp(x)− fp(c)|+ |fp(c)− f(c)|< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.

Por lo tanto f es continua en c.

El Teorema 1 asegura que la convergencia uniforme es una condicion suficiente para lacontinuidad de la funcion lımite. Por otro lado, el ejemplo 5 muestra que puede ocurrirque la funcion lımite sea continua incluso si la convergencia no es uniforme. De aquı quela convergencia uniforme no es una condicion necesaria para la continuidad de la funcionlımite. Esto puede verse analizando la desigualdad clave

|f(x)− f(c)| ≤ |f(x)− fp(x)|+ |fp(x)− fp(c)|+ |fp(c)− f(c)|

El ultimo termino puede hacerse pequeno por la convergencia puntual en c. El terminode en medio puede hacerse pequeno para x cerca de c por la continuidad de fp en c. Elprimer termino tambien debe ser pequeno para toda x cerca de c−aquı es donde se requiere

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Referencias

[1] R. A. Gordon, When is a Limit Function Continuous?, Math. Mag. 71 (1998), 306-308.

[2] J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, 1era ed., W. H. Freeman and Company,1974.

[3] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3era ed., McGraw-Hill, 1976.

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UNA PRUEBA GEOMETRICA DE QUE E ES IRRACIONAL Y UNAMEDIDA DE SU IRRACIONALIDAD

Cruz Lugo Jesus Ernesto, Avila Godoy Guadalupe



Resumen

En este trabajo se presenta una prueba geometrica elemental de que e es irracional, y utilizandoesta prueba se da una medida de la irracionalidad de este numero.

1 Introduccion

En la Seccion 2 de este trabajo se da una prueba geometrica de que el numero e es irracionalconstruyendo una sucesion anidada de intervalos cerrados cuya interseccion es e. En laSeccion 3, se define la funcion de Smarandache S : N→ N y se dan algunos ejemplos para sumejor comprension. Luego se utiliza dicha funcion para dar una medida de la irracionalidadde e, esto es, una cota inferior de la distancia de e a cualquier numero racional, en funcionde su denominador.

2 Prueba geometrica de la irracionalidad de e

Para probar que e es irracional, se construira la siguiente sucesion anidada In de intervaloscerrados. Primero, se define I1 = [2, 3]. Despues, para n ≥ 2 se construye el intervalo Inmediante el siguiente proceso inductivo. Se divide el intervalo In−1 en n subintervalos demisma longitud. Luego, se define In como el segundo de estos subintervalos. Por ejemplo,para construir I2, se divide el intervalo I1 en dos subintervalos de longitud 1/2! cada uno.Estos subintervalos son

[2, 5

2!

]y[52!, 3]. Luego se define I2 como el segundo de ellos, esto es,

I2 =[52!, 3]. Para construir I3 se divide I2 en tres subintervalos de igual longitud, la cual,

en este caso es 1/3!. Estos subintervalos son[153!, 163!

],[163!, 173!

]y[173!, 183!

]. I3 sera el segundo

de estos tres subintervalos, es decir, I3 =[163!, 173!

]. Similarmente, se obtiene I4 =

[654!, 664!

],

I5 =[3265!, 327

5!

], etcetera. Los primeros cuatro intervalos de la sucesion In se ilustran en la

siguiente figura.

La interseccion de estos intervalos debera ser un solo punto, ya que se trata de una secesionanidada de intervalos cerrados. Sea x dicho punto, es decir,

∞⋂n=1

In = x. (1)

13

Para encontrar el valor de x, calculemos su distancia a 0. Como x ∈ I1, se tiene que ladistancia de 0 a x es mayor o igual que el punto extremo izquierdo de I1, esto es, |x− 0| =x ≥ 2 = 1

0!+ 1

1!. Dado que tambien x ∈ I2, su distancia a 0 es mayor o igual que 1

0!+ 1

1!mas

la distancia que hay del punto extremo izquierdo de I1 al punto extremo izquierdo de I2, lacual es 1/2!. Ası, |x − 0| = x ≥ 1

0!+ 1

1!+ 1

2!. Procediendo inductivamente, se obtiene que

x =∑∞

n=01n!

. Pero sabemos que esta serie converge, y de hecho

∞∑n=0

1

n!= e.

Por lo tanto, el punto de interseccion de los intervalos es e.

Cuando n ≥ 2 el intervalo In+1 se encuentra estrictamente entre los extremos de In, loscuales son a/n! y (a + 1)/n! para algun entero a = a(n) (por ejemplo, a(2) = 5, a(3) =16, a(4) = 65). Ası, como x ∈ I3 e I3 se encuentra estrictamente entre los extremos de I2, loscuales son 5/2! y 6/2!, e no puede ser ninguna fraccion con denominador 2!. Similarmente,como e ∈ I4 e I4 se encuentra estrictamente entre los extremos de I3, los cuales son 16/3!y 17/3!, e no puede ser ninguna fraccion con denominador 3!. Se sigue que el punto deinterseccion (1) no es una fraccion con denominador n! para cualquier n ≥ 1. Pero cualquiernumero racional p/q con q > 0 puede ser escrito como

p

q=

p · (q − 1)!

q!.

Por tanto, e es irracional.

3 Una medida de la irracionalidad de e

Para dar una medida de la irracionalidad de e, se define la funcion S : N → N de Smaran-dache como S(q) = mink > 0 : q | k!. Es decir, S(q) es el mınimo entero positivo tal queS(q)! es un multiplo de q.

Ejemplos:

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• 1|1!, asıque S(1) = 1.

• 2 - 1!, 2 | 2!, asıque S(2) = 2.

• 3 - 1!, 3 - 2!, 3 | 3!, asıque S(3) = 3.

• 4 - 1!, 4 - 2!,4 - 3!, 4 | 4!, asıque S(4) = 4.

• 5 - 1!, 5 - 2!,5 - 3!, 5 - 4!, 5 | 5!, asıque S(5) = 5.

• 6 = 3 · 2. Se tiene que 6 - 1!. Ademas, 2! = 2 · 1, asıque 6 - 2!. Pero 3! = 3 · 2 · 1, asıque6 | 3!. Por lo tanto S(6) = 3.

• S(7) = 7.

• S(11) = 11.

• S(q) = q, para q primo.

• S(q) ≤ q siempre se cumple.

• S(n!) = mink > 0 : n! | k! = n.

Teorema 1 Para cualesquiera dos enteros p y q con q > 1∣∣∣e− p

q

∣∣∣ > 1

(S(q) + 1)!, (2)

donde S(q) es el mınimo entero positivo tal que S(q)! es un multiplo de q.

Por ejemplo, para q = 7, S(7) = 7 y 1(S(7)+1)!

= 18!

.

En la vecindad B(e, 1/8!) de centro e y radio 1/8! no hay fracciones con denominador 7.

Prueba. Para n > 1 el extremo izquierdo de In es la fraccion mas cercana a e con denominadorno mayor que n!. Como e se encuentra en el interior del segundo subintervalo de In,∣∣∣e− m

n!

∣∣∣ > 1

(n + 1)!, (3)

para cualquier entero m. Ahora, dados dos enteros p y q con q > 1, sean

m = p · S(q)!/q y n = S(q).

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m y n son enteros. Ademas,

p

q=

p · S(q)!/q

S(q)!=

m

n!.

Por lo tanto, por (3), ∣∣∣e− p

q

∣∣∣ =∣∣∣e− m

n!

∣∣∣ > 1

(n + 1)!=

1

(S(q) + 1)!.

Como un ejemplo, toma q primo. S(q) = q. En este caso, (2) es la (muy debil) desigualdad∣∣∣e− p

q

∣∣∣ > 1

(q + 1)!(4)

De hecho, (2) implica que (4) se cumple para cualquier entero q > 1, ya que S(q) ≤ q siemprese cumple, y entonces ∣∣∣e− p

q

∣∣∣ > 1

(S(q) + 1)!≥ 1

(q + 1)!

El Teorema 1 serıa falso si reemplazaramos el denominador en el lado derecho de (2) porun factorial mas pequeno. En efecto, sea p/q un punto extremo de In, el cual tiene longitud1/n!. Si tomamos q = n!, entonces como S(n!) = n y e esta en el interior de In,∣∣∣e− p

q

∣∣∣ < 1

n!=

1

S(q)!.

Por ejemplo, para q = 7, S(7) = 7, 1(S(7)+1)!

= 18!

y 1S(7)!

= 17!

.

En la vecindad B(e, 18!

) no hay fracciones con denominador 7, pero en la vecindad B(e, 17!

)sıhay fracciones con denominador 7.

Referencias

[1] J. Sondow. A Geometric Proof that e is Irrational and a New Measure of its Irrationality.The American Mathematical Monthly. 113 (2006) 637-641.

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ESTABILIZACION RAPIDA EN UN MODELO DE MEZCLAS

Mendoza Quintero Eduardo, Leyva Castellanos Horacio



ESTABILIZACION RAPIDA EN UN MODELO DE MEZCLAS

I. Preliminares

Sistemas positivos

Considerando el Teorema de Frobenius-Perron para matrices Metzler en sistemas posi-tivos y los resultados conocidos de modos deslizantes, en particular la dinamica deslizantesobre hiperplanos Lx − k = 0 de codimension uno, es posible obtener nuevas soluciones alproblema de estabilizacion de sistemas lineales positivos mediante controles positivos. Pre-sentamos un ejemplo para describir el metodo y una aplicacion motivada de la necesidadde estabilizar la glucosa sin estibilizar la insulina lleva a problemas de Hiperinsulinemia; setiene rapidez de estabilizacion y robustez.

Definicion de matriz Metzler.

La matriz A = [aij] ∈ Rn×n se dice que es una matriz Metzler si se verifica queaij ≥ 0,para i 6= j Equivalentemente, la matriz A es Metzler si todos sus elementos fuera de la diago-nal son no-negativos, sin importar el signo de los elementos de la diagonal principal.Diremosque la matriz A = [aij] ∈ Rn×n es matriz Hurwitz si σ (A) ⊂ C− := z ∈ C|Re(z) < 0. Esdecir, tiene todos sus valores propios con parte real negativa.

Teorema de Frobenius-Perron para matrices Metzler.

Sea A ∈ Rn×n una matriz Metzler. Entonces, existen un numero real µ0 y un vectorx0 ≥ 0 tal que se cumple lo siguiente:a) µ0 es un valor propio de A y x0 su respectivovector propio, i.e. Ax0 = µ0x0; b) si µ 6= µ0 es cualquier otro valor propio de A, entoncesRe (µ) < µ0.

Propiedad de la inversa de las matrices Metzler. Sea A ∈ Rn×n una matriz Metzler. Lamatriz −A−1 existe y es positiva si, y solo si, A es Hurwitz (i.e. µ0 < 0).

Corolario.

Sea A ∈ Rn×n una matriz Metzler irreductible. Entonces, la matriz −A−1 existe y esestrictamente positiva si, y solo si, A es Hurwitz.

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Considere el sistema lineal homogeneo en tiempo continuo x = Ax, donde x ∈ Rn yA = [aij] ∈ Rn×n. Si x (t0) = x0 ∈ Rn

+, t ≥ 0, entonces la solucion x (t, t0, x0) ∈ Rn+, para

toda t ≥ 0, si y solo si, la matriz A es Metzler. Consideremos el sistema lineal positivo

x = Ax+ c (2)

donde x ∈ Rn.

Teorema.

Considere el sistema lineal (2) con una matriz Metzler A y un vector c > 0. Entonces, elestado de equilibrio (no trivial) x = −A−1c es asintoticamente estable ( i.e. A es Hurwitz)si, y solo si, dicho estado de equilibrio existe y es positivo.

Definicion de matriz compartamental.

La matriz A = [aij] es compartamental si se cumplen las dos condiciones:

1. A es matriz Metzler;

2.∑i

aij ≤ 0 para cada columna j = 1, .., n.

La segunda condicion es llamada de dominancia diagonal (por columnas). Del teoremade Gerschgorin (ver los trabajos [1] y [2]), se sigue que si A es matriz compartamental,entonces σ (A) ∩ C+ = ∅. Aquı, σ (A) representa el conjunto de valores propios de A yC+ := z ∈ C|Re(z) > 0.

Estabilizacion de Sistemas Positivos Mediante Modos Deslizantes.

Consideremos un sistema de control lineal positivo

x = Ax+ bu (1)

con variable de estado x ∈ Rn+, A matriz Metzler y Hurwitz, b ∈ Rn

+ y el parametro decontrol u ≥ 0; que podemos restringir a un intervalo: u ∈ [r1, r2], con r2 > r1 ≥ 0.

Problema de estabilizacion

Si A es Metzler y Hurwitz en el sistema (1) tenemos que el punto de equilibrio positivo x =−A−1bu (con u > 0 constante) es global asintoticamente estable. Planteamos la pregunta:

¿ es posible estabilizar mas rapidamente en x al considerar u ∈ [r1, r2] en lugar de u = u ?

II Estabilizacion rapida en un modelo de mezclas.

Dado un sistema dinamico lineal positivo en R3+,el cual modela una mezcla de tres tanques

A,B y C, a un volmen constante V , para cada uno de los tanques. Ambos tanques estan

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conectados de una forma especial, habiendo un flujo,f1 al tanque A, un flujo f2 del tanqueB al tanque A, f3 del tanque A al tanqueB, f4 del tanque C al tanqueB, f5 del tanque Bal tanque C, y finalmente, hay un flujo f6 del tanque C al exterior. Para que cada tanquetenga volumen constante debe cumplirse que f1 = f6, f3 = f1 + f2, f3 + f4 = f2 + f5 yf5 = f6 + f4 ⇒ f3 = f1 + f2 y f5 = f1 + f4. El parametro u representa la concentracionde entrada con el flujo f1.

podemos escribir el sistema de la siguiente forma:

dx

dt= Ax+ bu

dx1dt

= −f3Vx1 +

f2Vx2 + f1u

dx2dt

=f3Vx1 −

f2 + f5V

x2 +f4Vx3

dx3dt

=f5Vx2 −

f4 + f6V

x3

escrito matricialmente

A =

−f3V

f2V

0f3V−f3+f4

Vf4V

0 f1+f4V

−f4+f1V

y b =

f100

con u ∈ [r1, r2], con r2 > r1 ≥ 0 y constantes fi > 0.

se puede ver que la matriz cumple con ser metzler ademas podemos utilizar la definicionde matriz compartamental aplicandolo a nuestro problema lo que nos servirıa para decır quelos valores propios de A cumplen con σ (A)∩C+ = ∅,son negativos o iguales a cero. Ademasse puede comprobar que A es hurwitz, entonces −A−1 existe y es positiva pues A cumplecon ser metzler.

A−1 = Vf1

1 f2f3

f2f3

f4f5

1 1 f4f5

1 1 1

, nuestro punto de equilibrio no trivial esta dado por

x = −A−1bu =V

f1

1 f2f3

f2f3

f4(f1+f4)

1 1 f4(f1+f4)

1 1 1

f1

00

u =

111

V u

19

la dinamica sobre A es sencilla, al aplicar un control u∗ constante, cualquier solucion que ini-cie en R3

+ tiende asıntoticamente al punto de equilibrio.x = −A−1bu.Es aquı donde utilizare-mos modos deslizantes y para esto, consideremos que existe un plano l1x1 + l2x2 + l3x3 = k.,con li > 0 y k = 1

2(−A−1br2) de forma que el plano Lx− k = 0 pasa por el punto medio de

los puntos p1 =

000

y p2 =

VVV

r2,

Entonces si consideramos el control discontinuo:

u (x) =

0 si l1x1 + l2x2 + l3 > kr2 si l1x1 + l2x2 + l3 < k

Entonces nos formulamos la siguiente pregunta¿ Existira un modo deslizante sobre elplano l1x1 + l2x2 + l3x3 = k ?, supongamos que existe un plano Lx− k = 0,tenemos que,

Aeq = A+ b

(−LALb

)=

(I − bL

Lb

)A

= 1V

− 1l1l2f3

1l1l2 (f3 + f4)− 1

l1l3 (f1 + f4)

1l1l3 (f1 + f4)− 1

l1l2f4

f3 − (f3 + f4) f40 (f1 + f4) − (f1 + f4)

al existir una dinamica deslizante sobre el plano Lx−k = 0,tenemos que en general, para

valores arbitrarios (positivos) de l1, l2 y l3; tenemos que la matriz Aeq tiene valores propiosreales negativos. Ya que

Aeq

111

=

000

entonces σ (Aeq) = λ1 = 0, λ2, λ3, que un valor propio de Aeq sea cero se puede de-

mostrar facilmente, ya que b se encuentra

dentro del kernel de Aeq y es aqui donde establecemos que para λ1 = 0 sera el valorpropio dominante por el teorema de frobenius-perron .Haremos uso de la equivalencia(ver eltrabajo [3])

LAx < 0 ⇔ existe un modo deslizante con control posıtivo ueq = −LAxLb

por otrolado tenemos que:

LAx =(l1 l2 l3

) −f3V

f2V

0f3V−f3+f4

Vf4V

0 f1+f4V

−f4+f1V

x1x2x3

,

20

LAx = x2

(1

Vl3 (f1 + f4)−

1

Vl2 (f3 + f4) +

1

Vl1f2

)−x1

(1

Vl1f3 −

1

Vl2f3

)−x3

(1

Vl3 (f1 + f4)−

1

Vl2f4

)(∗)

Ahora la forma de determinar el hiperplano sera de la siguiente forma, supongamos estetermino (∗), supongamos que l1, l2 y l3 son tales que

l3 (f1 + f4)− l2 (f3 + f4) + l1f2 = 0, l1 > l2 y l3 (f1 + f4)− l2f4 ≥ 0

en particular, consideremos la asignacionl1 = f3, l2 = f2 ⇒ l3 =f2 (f3 + f4)− f3f2

(f1 + f4)=

f2f4

f1 + f4implicando que

l3 (f1 + f4)− l2f4 =

(f2

f4f1 + f4

)(f1 + f4)− f2f4 = 0. Es decir,

(l1 l2 l3

)=

(f3 f2 f2

f4f1 + f4

)Demanera que la expresion para Aeq,obtenemos que la matriz

Aeq = 1V

−f2 f2 0f3 − (f3 + f4) f40 (f1 + f4) − (f1 + f4)

se puede verificar que para estos valores de l1, l2 y l3, Aeq es compartamental y aseguramosque los valores propios de Aeq son a lo mas cero. entonces calculando los valores propiosobtenemos

λ1 = 0 y

λ2,3 = − 12V

(f1 + f2 + f3 + 2f4)± 12V

√f 21 − 2f1f2 − 2f1f3 + 4f1f4 + f 2

2 + 2f2f3 − 4f2f4 + f 23 + 4f 2

4

Entonces el control equivalente ueq = −LAxLb

esta dado por:

LAx = x2(1Vf2f3 + 1

Vf2f4 − 1

Vf2 (f3 + f4)

)− x1

(1Vf 23 − 1

Vf2f3

)y Lb = f1f3, de forma

que

ueq = 1f1f3

(x2(1Vf2f3 + 1

Vf2f4 − 1

Vf2 (f3 + f4)

)− x1

(1Vf 23 − 1

Vf2f3

)).

Entonces para asegurar el deslizamiento obtenemos el control discontinuo:

21

u (x) =

0 si l1x1 + l2x2 + l3 > k

ueq (x) si l1x1 + l2x2 + l3 = kr2 si l1x1 + l2x2 + l3 < k

Este control nos asegurara deslizamiento sobre el hiperplano es decir al aplicar este al f1se asegura una mayor rapidez para llegar al punto de equilibrio,es de esta manera que paracondiciones iniciales dadas para los flujos tenemos que al querer estabilizar las concentra-ciones en los tanques podemos obtener en menor tiempo nuestro objetivo a diferencia deutilizar una constante en el flujo.

22


23

¿QUÉ TAN INTUITIVA ES LA DESCOMPOSICIÓN EN PRIMOS? Ramírez Montaño Daniel Iván, Soto Munguía José Luis



Resumen

En el presente artículo se desarrolla la idea de que el Teorema Fundamental de la Aritmética no es tan intuitivo como parece a simple vista y se pretende poner en evidencia que la “naturalidad” de este resultado proviene de la familiaridad que tenemos con el conjunto de los números enteros. En primera instancia se presentan algunos ejemplos que ilustran la validez del teorema mencionado y algunos conceptos básicos involucrados en él, para luego enunciarlo. Posteriormente, se presenta un sistema de números diferente al de los enteros, en el cual se define lo que serán los números primos en este sistema y se identifican algunos números que pueden tener dos distintas factorizaciones en primos. Luego se presentan dos de las demostraciones más conocidas del Teorema Fundamental de la Aritmética, para tratar de comparar los pasos de estas demostraciones con sus posibles equivalentes en el nuevo sistema descrito, de tal manera que puedan identificarse en el nuevo sistema, las características que impiden la existencia de un “Teorema Fundamental de la Aritmética”. Finalmente se enfatizan también las características del sistema de los números enteros que hacen posible demostrar el teorema mencionado.

Desde que uno es niño y comienza a aprender matemáticas en la primaria, se le enseña que algunos números enteros son múltiplos de otros. Tiempo después, pero manteniéndose en este mismo campo, se introduce la noción de divisibilidad en los enteros diciendo que un numero es divisible por otro si hay un tercero tal que al multiplicar estos 2 últimos nos den el primero por resultado. También se estudia el concepto de número primo y número compuesto, siendo el primero los números enteros positivos tales que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad, y los segundos aquellos que tienen algún otro divisor aparte de esos 2. Con estas ideas se concluye luego de que cada entero puede ser representado como el producto de números primos, y es este un resultado que usamos muy habitualmente con toda seguridad. Vale la pena tomar un tiempo para reflexionar acerca esta factorización: ¿Es única? Evidentemente, si el número es primo, efectivamente será única, ya que su descomposición en primos es solamente el mismo. ¿Pero que pasa si el número a descomponer es compuesto? Tomemos por ejemplo al 84:

1 84 21 · 4 14 · 6

24

Bajo un primer y vago acercamiento, podría parecer que se obtendrían diferentes números en las factorizaciones; pero al continuar descomponiendo obtendríamos que:

84 21 · 4 14 · 6 2 84 3 · 7 · 2 · 2 2 · 7 · 2 · 3

Así notamos que al continuar hasta tener únicamente números primos, no importa como realicemos la descomposición, al final siempre obtendremos los mismos números y en misma cantidad de veces, por lo que, salvo el orden en que los escribamos, la descomposición de un numero en factores primos siempre será única. En efecto, esto es lo que afirma el Teorema Fundamental de la Aritmética, y representa un pilar dentro de la Teoría de Números; pero ¿Es en realidad este resultado tan evidente como parece? ¿Por qué damos este teorema por sentado, considerando que es incluso algo intuitivo? En lo que a continuación prosigue, expondremos algunas ideas que nos ayudarán a comprender que esto no es algo tan intuitivo, para comprender que si es cierto para los enteros, es porque éste sistema de números presenta características que lo hacen posible, y dicha idea de factorización única no puede ser extendida a cualquier sistema numérico. Primero, encontraremos un contraejemplo, es decir, hallaremos un sistema numérico, que por comodidad denotaremos como “Sistema Ω”, tal que podamos encontrar un número en Ω que pueda ser representado con 2 distintas factorizaciones de primos. A pesar de que la definición de número primo se mantendrá constante, puede darse el caso de que un numero sea primo en el sistema numérico de los enteros, más no en Ω. Luego, procederemos a comparar el método que se usa en los números enteros para probar el Teorema Fundamental de la Aritmética, e intentaremos hacer un análogo para nuestro sistema Ω, el cual obviamente no podrá ser llevado a cabo en su totalidad, y esto nos ayudará a comprender que características especiales son con las que cuenta el sistema de los enteros que hacen posible que la factorización en primos sea única. Definamos nuestro sistema Ω como el conjunto de todos los números de la forma √ 6 , donde a y b son números enteros normales. Se puede notar que este sistema contiene a todos los enteros, ya que estos se pueden conseguir para el caso 0 ; de aquí podemos asegurar que todos los números que nosotros conocemos como compuestos para el sistema de los enteros, son también compuestos en Ω. Consideremos el caso de factorizar 6 en este nuevo sistema:

3 6 2 · 3 √ 6 · √ 6 Podemos ver que hay dos distintas formas de hacer la factorización; sin embargo, podríamos pensar en hacer una comparación con el caso (1), es decir, que podamos representar a 2,3 y √ 6 como productos de algunos números primos en este sistema, y así llegar a algo parecido a lo que obtuvimos en (2). Para concluir que esto no sucede con este caso, demostraremos que 2,3 y √ 6 son números primos en el sistema Ω: Para esto, usaremos un concepto auxiliar al que denotaremos por “Norma de un Número”. La norma de número √ 6 , que denotaremos por “N √ 6]”, es igual al producto de

√ 6 √ 6 6 . Como a y b son números enteros, la norma de un número siempre será un número entero no negativo. Además, se tiene que la norma del producto de 2 números es igual al producto de sus normas, lo cual demostraremos a continuación:

√ 6 √ 6 6 √ 6 Usando la definición de Norma podemos escribirla como:

25

6 √ 6 6 √ 6

Pero 6 √ 6 = √ 6 √ 6 . De modo que obtenemos que:

√ 6 √ 6 √ 6 √ 6 √ 6 √ 6 Y agrupando por parejas los términos primero y tercero, y segundo y cuarto, llegamos a:

√ 6 √ 6 √ 6 √ 6 Que es lo que queríamos demostrar. En lo consecuente, usaremos este resultado para probar que 3 es un primo en el sistema Ω: Si 3 no fuera primo podríamos escribir: 3 √ 6 √ 6 y más específicamente:

3 √ 6 √ 6 , es decir: 9 6 6 Pero sabemos que ambos factores son enteros positivos, así como que el 9 solo puede ser factorizado de 2 formas en el sistema de los enteros: 3·3 y 9·1. Notamos que el primer caso no puede ser, ya que el 3 no puede ser representado en la forma a2+6b2, y aunque el segundo caso si puede ser, tenemos que 9 = 9·1, lo cual no es considerado una factorización realmente. Con esto hemos probado que 3 es un numero primo en este sistema, y podríamos usar el mismo procedimiento para probar que 2 y √ 6 también lo son. Al haber comprobado efectivamente que en el sistema Ω 2,3 y √ 6 son primos, hemos concluido satisfactoriamente con nuestro primer objetivo en este artículo, que era encontrar un sistema donde no se conservara que la factorización en primos es única; ya que hemos demostrado que el 6 puede ser factorizado en primos de 2 distintas maneras en el sistema Ω, como fue representado en (3). Ahora nos enfocaremos en la segunda parte de nuestro objetivo: presentaremos el procedimiento que se usa en los enteros para demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética, y posterior a eso, denotaremos cuales pasos no se pueden llevar a cabo con el sistema que ya hemos planteado. Aunque existen varias formas de demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética, para este artículo solo se presentaran 2 de ellas, las consideradas más conocidas. Demostración 1: Primero se debe probar el siguiente Corolario: “Si se tiene que | , siendo p un primo y

, , entonces p|a o p|b”. Para esta demostración se hace uso de 2 postulados: 1.- “Todo múltiplo común de 2 números, lo es también de su mínimo común múltiplo”. 2.- “El cociente del producto de 2 números a y b dividido sobre su mínimo común múltiplo, es siempre divisor común de a y b.” Las demostraciones de estos postulados en el campo de los enteros, no son muy complicadas, y se dejan como ejercicio al lector. Consideremos el m.c.m. de p y a, y denotémosle como m. El producto ab por hipótesis es múltiplo de p, y a su vez, evidentemente es múltiplo de a, por lo que aplicando el postulado 1 lo podemos expresar como múltiplo de m: . Ahora, por el postulado 2, tenemos que el número es divisor común de p y a, entonces,

como p es primo, esto nos reduce a 2 casos: d=1 o d=p.

26

Si d=p, tenemos que p divide al factor a. Si d=1, tenemos que m=pa , y sustituyendo en ab=hm nos queda: Podemos cancelar a en ambos lados de la igualdad para obtener que b es múltiplo de p, ósea que p divide a b. Como para cualquiera de los 2 casos que pudiera tomar el valor de d, obtuvimos que p|a o p|b; el corolario queda entonces demostrado. Ahora, usaremos este corolario para probar el Teorema Fundamental de la Aritmética: Sea S un número con 2 factorizaciones distintas de primos, se tendría entonces: ··· ··· donde n y m son naturales y todos los pi y qj son primos. Sin perdida de generalidad, tomemos , como divide a S, entonces divide a ··· , y por el corolario que acabamos de probar, divide a algún qj, supongamos que a . Como | , y ambos son primos, se sigue que ; y podemos cancelarlos en la igualdad entre factorizaciones para obtener: ··· ··· .Aplicando este mismo procedimiento cuantas veces sea necesario, podrán cancelarse eventualmente todos los factores, con lo que se concluye que deben ser los mismos. Hemos concluido con esta demostración que es totalmente legal para los enteros, y es aquí donde vale la pena preguntarse ¿Acaso este mismo procedimiento no puede llevarse acabo con los números del sistema que hemos creado? La repuesta es no, y la explicación es bastante comprensible: Aunque la demostración como tal del Teorema Fundamental de la Aritmética, si es válido para nuestro sistema, este usa herramientas que no se pueden demostrar en un sistema de números algebraicos como Ω. Para la demostración hemos usado el corolario de divisibilidad de p|ab con p primo, más éste no siempre cumple para Ω. Presentaremos un contraejemplo

10 2 √ 6 2 √ 6 2 5 Nosotros ya sabemos que 2 es primo en este sistema, y vemos que 2|10 , es decir 2| 2 √ 6 2 √ 6 . Pero tenemos que 2 2 √ 6 así como 2 2 √ 6 . Por lo tanto, no se cumple el corolario que necesitamos para hacer dicha demostración. Ahora ya demostrado que dicho resultado no es válido, y que no lo podemos usar para nuestra demostración, valdría la pena preguntarnos porque. Para probar el corolario usamos el concepto de mínimo común múltiplo; más sin embargo, esta idea no se puede extender al nuevo sistema, ya que dado el conjunto de todos los múltiplos de un número, no es posible decir cual de ellos es el menor, ya que Ω no es un conjunto ordenado. Dados cualesquiera 2 elementos de Ω, no se puede siempre decir que uno es menor, mayor o igual que el otro. Demostración 2: Esta demostración se hace usando el método de descenso infinito. Supongamos que existe al menos un número entero positivo tal que puede ser expresado como producto de primos de 2 formas distintas. Tomemos al menor de ellos y llamémosle n, entonces se tendrá:

··· ··· Donde , , … , , , , … , son todos números primos, con . . . . . . ; y ningún para cualquier 1 , y 1 . De haber algún par de primos que fueran el mismo en ambas factorizaciones, podríamos cancelar éste, y así obtener un numero menor que n con 2 factorizaciones en primos distintas, lo cual contradeciría que n es le menor entero positivo con esta característica.

27

Sin pérdida de generalidad, digamos que , entonces, por el algoritmo de la división, existen 2 enteros m y r tales que: , con 0 . Si multiplicamos la ecuación por 1 , obtenemos:

Ahora, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por obtendremos:

· ··· · · ···· · ···

Como el lado izquierdo de la igualdad es entero, el ultimo sumando del lado derecho también debe serlo. Llamémosle S a tal entero:

· · ··· de donde podemos llegar a que:

· · · ··· Como , se tiene que , pero además como , , … , son todos primos, tampoco divide a ninguno de ellos. De aquí se obtiene que aparece como factor en un lado de la igualdad, más no en el otro; entonces, si expresamos tanto a S como a r como producto de primos, la factorización de la izquierda será distinta a la de la derecha de la igualdad. Ahora, es fácil ver que ese número es menor que n, ya que , y del lado izquierdo de la igualdad aparece la factorización de n, pero cambiando a por r. Por lo tanto, hemos encontrado un entero positivo menor que n que cumple con la característica de tener 2 diferentes formas de ser expresado como producto de primos, lo cual contradice nuestra hipótesis inicial, por lo cual se confirma que tal entero no puede existir. Ahora analicemos que es lo que sucede cuando intentamos extender esta comprobación para el caso de nuestro sistema de números. Este demostración se hace suponiendo que existe un subconjunto de enteros positivos que cumplen con cierta característica, y se toma al menor de ellos, para luego llegar a la conclusión de que puede haber otro menor que este y así obtener una contradicción. Esto lo podemos hacer en los enteros positivos porque existe el Principio del Buen Orden, que nos asegura que dado un subconjunto de enteros positivos, siempre se puede elegir al menor de ellos. Para el sistema de números Ω no existe éste principio, ya que de hecho, como dijimos anteriormente, los elementos en él no están ordenados. Dado un subconjunto de números de éste sistema no podríamos decir cual es el menor de todos, y consecuentemente no podríamos hacer la demostración. Concluido el análisis de las 2 demostraciones para este importante teorema, podemos destacar que el orden es una característica primordial de los enteros que permite se de este resultado; a diferencia del sistema Ω, así como para algún otro sistema similar de números algebraicos que podamos crear. Esta propiedad es muy importante, nos permite saber cuando un número es mayor, menor o igual a otro, además que le da sentido a conceptos como el de Mínimo Común Múltiplo, Máximo Común Divisor y el Principio del Buen Orden. Sin la presencia de esta característica resulta muy arduo tratar de encontrar una equivalencia para el Teorema Fundamental de la Aritmética en algún otro sistema que nosotros creemos. Bibliografía [1] H. Rademacher, O. Toeplitz, Números y Figuras, Alianza Editorial, Madrid, 1970

28

[2] T. Andrescu, Andrica, D, y Z. Feng, 104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team, Birkhäuser Boston, 2006.

[3] M-L. Pérez, Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas: Teoría de Números, SMM, México, 2006.

[4] http://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html, 2 de mayo de 2012. 1.


SISTEMAS HAMILTONIANOS Y ECUACION DE HILL

Carmen Marıa Romandıa Flores, Inna Shingareva



Resumen

En el presente trabajo se consideran sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias linea-les de primer orden con coeficientes periodicos que describen movimientos de procesos fısicos.Estos sistemas poseen una estructura especial de las ecuaciones de movimiento que nos permiterepresentarlos en forma de sistemas Hamiltonianos con la funcion Hamiltoniana. En general,con la base de la teorıa de algebra lineal se demuestran algunas propiedades importantes delos sistemas Hamiltonianos considerados en este trabajo. Como ejemplo particular, se con-sidera la ecuacion de Hill y se demuestra que se puede representar en la forma de sistemasHamiltonianos.

1 Introduccion

Sir William Rowan Hamilton fue un fısico, astronomo y matematico irlandes del siglo XIX,que hizo contribuciones importantes a la mecanica clasica, optica y algebra. En el campodel algebra, junto con Arthur Cayley desarrollo el teorema que lleva sus nombres, Teoremade Cayley-Hamilton. Su contribucion mas importante fue la reformulacion de la mecanicaNewtoniana, que se conoce como mecanica Hamiltoniana. Los sistemas Hamiltonianos sonuniversalmente usados como modelos para practicamente cualquier proceso fısico. Su trabajoha contribuido al estudio del electromagnetismo y el desarrollo de mecnica cuantica. Veamoslas caracterısticas de este sistema.

2 Sistemas Hamiltonianos

Los sistemas Hamiltonianos describen una amplia variedad de fenomenos fısicos gracias alas caracterısticas que tienen sus ecuaciones de movimiento.

Lo que caracteriza a los sistemas Hamiltonianos es:

i. las coordenadas que describen el estado del sistema ocurren en parejas, frecuentementedenotadas por (qk, pk), k = 1, . . . , N llamadas variables generalizadas.

ii. las ecuaciones de movimiento son determinadas por una funcion Hamiltoniana H(q,p, t)mediante las ecuaciones hamiltonianas

dqkdt

=∂H

∂pk,

dpkdt

= −∂H

∂qk, k = 1, . . . , N.

29

Esta forma de las ecuaciones de movimiento restringe el comportamiento del sistema enmuchas maneras.

Si existe una solucion periodica de las ecuaciones Hamiltonianas (Q(t),P(t)), donde

Qk(t + T ) = Qk(t), Pk(t + T ) = Pk,

para toda t y k = 1, . . . , N , su estabilidad se examina cambiando el origen a un punto movilen la orbita periodica

qk = Qk(t) + xk, pk = Pk(t) + yk, k = 1, . . . , N.

Puede ser probado que el Hamiltoniano que describe el movimiento en un sistema coor-denado movil es:

K(x,y, t) = H(Q + x,P + y, t) + x · P− y · Qy las ecuaciones de movimiento son:

dxk

dt=

∂K

∂yk,

dykdt

=∂K

∂xk

, k = 1, . . . , N.

Si H(q,p) no depende explıcitamente de t, entonces K(x,y, t) es T -periodica en t. Masaun, la expansion de K(x,y, t) alrededor de x = 0,y = 0 no incluye terminos lineales en xo y, y los primeros terminos no-triviales son de forma cuadratica en x, y; ası, las ecuacionesde movimientos son lineales.

Ahora, es conveniente cambiar la notacion y definir

Qi+N = Pi, xi+N = yi, i = 1, . . . , N.

Expandiendo el Hamiltoniano K(x,y, t) sobre una orbita periodica obtenemos

K =1

2

2N∑i=1

2N∑j=1

Bij(t)xixj, Bij(t) =∂2H

∂QiQj

= Bji(t),

donde los coeficientes Bij son independientes de x y funciones T -periodicas de t:

Bij(t + T ) = Bij(t)

para toda t. B(t) es la matriz con elementos Bij(t).

Las siguientes ecuaciones de movimiento pueden ser representadas en una manera masconveniente, introduciendo la matriz anti-simetrica real de orden 2N × 2N :

J2N =

(0 −ININ 0

), (1)

donde IN es la matriz identidad de orden N ×N .

Con esto, las ecuaciones lineales de movimiento de la variacion pueden ser escritas de laforma:

dx

dt= −J2NB(t)x.

30

3 Propiedades Generales de la matriz anti-simetrica J2N .

Teorema 3.1 Sea J2N la matriz antisimetrica definida en (1), entonces las siguientes propiedadesgenerales son validas:

J22N = −I2N ,

y por lo tantoJT2N = −J2N = J−1

2N .

Demostracion:

Notemos que J2N es una matriz particionada. De la teorıa del algebra lineal, sabemosque la multiplicacion AB de dos matrices particionadas A,B esta dada por:

AB =

(A11B11 + A12B12 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

).

Entonces, calculando tenemos,

J22N =

(0 −ININ 0

)·(

0 −ININ 0

)=

(−IN 0

0 −IN

)= −I2N .

Ahora,

JT2N =

(0 −ININ 0

)T

=

(0 IN−IN 0

)= −J2N .

Con esto,

J2N (−J2N) =

(0 −ININ 0

)(0 IN−IN 0

)=

(IN 00 IN

)= I2N .

Ası, −J2N = (J−12N ).

Pasamos ahora a ver un problema particular.

4 Ecuacion de Hill

Ecuacion de Hill fue estudiada por primera vez por George William Hill en 1886. La ecuacionde Hill es una ecuacion diferencial homogenea, lineal de segundo orden con coeficientes realesperiodicos.

Ecuacion de Hill tiene muchas aplicaciones en fısica e ingenierı, incluyendo problemas enmecanica, astronomıa, conductividad electrica del metal, entre otros. Su importancia fuedescubierta por Lyapunov en 1907.

31

La ecuacion de Hill puede ser escrita de la siguiente forma:

d2x

dt2+ (a + p(t))x = 0,

donde a es una constante y p(t) es una funcion T -periodica.

Definiendo y = x podemos escribir la ecuacion de Hill en la matriz estandar

dr

dt= A(t)r,

donde

r =

(x1

x2

), A =

(0 1

−a− p(t) 0

).

Luego podemos llegar a un resultado para este problema particular.

Teorema 4.1 El Hamiltoniano para la ecuacion de Hill tiene la siguiente forma:

H =1

2(a + p(t))x2

1 +1

2x22,

donde x1 = x, x2 = x.

Demostracion:

Primero, reescribimos la ecuacion de Hill en la forma de un sistema de ecuaciones difer-enciales ordinarias lineales

dx1

dt= x2 (2)

dx2

dt= (a + p(t))x1, (3)

donde x1 = x y x2 =dx

dt.

Integrando, obtenemos el resultado final:

H =1

2(a + p(t))x2

1 +1

2x22.

Ahora, para obtener los elementos de la matriz B(t) utilizamos la formula

Bij(t) =∂2H

∂QiQj

.

32

Luego obtenemos:

B11 =∂2H

∂x21

= (a + p(t)),

B12 =∂2H

∂x1x2

= 0,

B21 =∂2H

∂x2x1

= 0,

B22 =∂2H

∂x22

= 1.

5 Conclusiones

En el presente trabajo se consideren una clase especial de sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias, es decir, sistemas lineales de primer orden con coeficientes periodicos.

Estos sistemas tienen gan importancia en la teorıde ecuaciones diferencialesy tiene muchasaplicaciones.

Estos sistemas poseen una estructura especial de las ecuaciones de movimiento que nospermite representarlos en forma de sistemas Hamiltonianos con la funcion Hamiltoniana.

Algunas propiedades generales de los sistemas Hamiltonianos se demuestran con la basede la teorıa de algebra lineal.

Como un problema particular, se considera la ecuacion de Hill y se demuestra que sepuede representar en la forma de sistemas Hamiltonianos.

Referencias

[1] Coddington, E.A., Carlson, R., Linear Ordinary Differential Equations.Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1997.

[2] Richards, D., Advanced Matematical Methods with Maple.Cambridge University Press, Cambdridge, 2002.

[3] Wilhelm Magnus, Stanley Winkler. Hill’s equation.http//:books.google.com.mx/books/about/Hill s Equation.html

[4] James Meiss. Hamitonian Systems.http//:www.scholarpedia.org/article/Hamiltonian systems

33


35

EL DESORDEN ABSOLUTO ES IMPOSIBLE: UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RAMSEY.

Rosales Alcantar Cesar Alberto, Brau Ávila Agustin

Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora


Resumen

Con este trabajo, se pretende hacer una introducción a la Teoría de Ramsey, una teoría de reciente construcción, con el fin de familiarizar al público con ella, y ver que hay más matemática además de la clásica que podríamos considerar como el Cálculo Diferencial, la Geometría, etc.

1. Introducción

Desde el comienzo del estudio de la matemática formal, alrededor de los siglos XVI y XVII, se buscó estudiar el orden de las cosas, la estructura que tenían los sistemas, etc. Este comienzo tuvo varios acercamientos en el área del Análisis Matemático, en Probabilidad, en Geometría, por mencionar solo algunas. Ya entrado el siglo XX, nació un niño, de nombre Frank Ramsey, que sería el creador, junto a Paul Erdös, quizás el matemático más prolifero, de una de las áreas de estudio más recientes y cuya aplicación ha sido de mucha ayuda para poder generalizar conceptos y crear más matemática. Nos referimos a la Teoría de Ramsey. Para comenzar a hablar acerca de la Teoría de Ramsey, primero necesitamos fijar el punto de inicio: este trabajo lo enfocaremos partiendo del principio combinatorio más sencillo, es decir, el Principio de las Casillas, y posteriormente ir generalizando y así llegar a la Teoría de Ramsey, que es una generalización inmediata del Principio de las Casillas.

2. Principio de Casillas

Es bien sabido, que en Combinatoria existen reglas generales o básicas, como lo son la regla del producto y la regla de la suma. Pero también, existe un principio fundamental de estudio, que por su sencillez, es el principio más útil, además de bello al momento de trabajar. Este principio se llama Principio de las Casillas. Daré un ejemplo para ilustrar este hecho: “Si tenemos 3 libros, y queremos repartirlos entre 2 niños, a uno de ellos le tocaran al menos 2 libros”. Este resultado se conoce como “Principio de Casillas, primera versión”: Si 1 objetos se deben acomodar en n casillas, entonces en alguna casilla hay al menos dos objetos. Este principio se fundamenta en elegir objetos y casillas, luego ir ubicando objetos en las casillas, dependiendo del contexto, lograr: a) el peor caso o b) el mejor caso, donde se cumpla (o no) alguna peculiaridad, alguna situación especial. Hay problemas donde no es tan fácil elegir

36

que usar como casillas y que usar como objetos, veamos el siguiente ejemplo: “Una recta nunca podrá atravesar los 3 lados de un triángulo”. Aquí, hay que elegir las casillas y los objetos. Para ello, tomemos a los objetos como vértices y a las casillas como los dos semiplanos que deja la recta al cortar un plano. Como sabemos que la recta corta los lados de un triángulo, entonces no pasa por los vértices. Por el principio, podemos asegurar que habrá 2 vértices del mismo lado de la recta, por lo tanto, estos 2 vértices formarán una recta que no será cortada por el vértice. Un último ejemplo sencillo, que puede ser visto en la vida real: “Una persona común y corriente, tiene entre 130 mil y 150 mil cabellos. Como en la ciudad de Hermosillo, Sonora, hay 715 061 habitantes, según el Censo 2010, podemos asegurar que hay al menos 2 personas con la misma cantidad de cabellos”. Este principio no solo contiene la versión anteriormente mencionada, contiene una serie de generalizaciones aplicadas en desigualdades, en promedios, pero siempre, bajo casos de objetos finitos y cajas finitas. Pero, ¿Qué sucederá si se plantea un problema con alguna variable infinita? ¿Hacia dónde nos conducirá ese camino? El enunciado más general de este principio es el siguiente: “Sean , , … enteros positivos. Si 1 objetos se deben acomodar en casillas, entonces existe un tal que en la casilla deberán quedar al menos 1 objetos”. El ejemplo más práctico es el siguiente: “A una reunión de matemáticos solamente llegarán sonorenses, sinaloenses y chihuahuenses. ¿Cuál es la menor cantidad de personas que deben asistir para asegurar que lleguen al menos 5 sonorenses o al menos 7 sinaloenses o al menos 9 chihuahuenses? La solución es bastante intuitiva, después de pensarle un poco. Basta con ver que si llegan a lo más 4 sonorenses, a lo más 6 sinaloenses y a lo más 8 chihuahuenses, no se cumple ni se asegura nada, es decir, con 4 6 8 18 personas, no podemos asegurar nada (peor caso). Pero si llega una 19na persona, esta tiene que ser forzosamente de alguno de los tres estados, por lo tanto, se cumpliría el problema. Así que la solución es 19.

3. Historia y Motivaciones

En matemáticas existe un área de estudio llamada “Teoría de Ramsey”. Esta teoría, parte de ser una extensión natural del Principio de las casillas, es una teoría que se enfoca en el estudio de sistemas muy grandes y con aparente desorden, mediante subsistemas, algunas veces no pequeños, pero que contienen orden y estructura, lo que nos facilita estudiar todo el sistema en general. De aquí nace la famosa frase: “El desorden absoluto es imposible”, de Theodore S. Motzkin, aunque en la vida real esta frase pareciera no ser siempre válida. Esta teoría tiene varios teoremas y resultados que serán presentados a continuación, así como se mencionarán algunas analogías que se lograron gracias a esta teoría, pero primero, hablemos de las personas que la desarrollaron: Frank Ramsey y Paul Erdös. Frank Ramsey:

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Matemático muy famoso, por varias cualidades: trabajó en diversas áreas, enfocándose en el estudio de la economía y la probabilidad; un hecho destacado es que comenzó a publicar artículos matemáticos a los 19 años. Realizó observaciones drásticas sobre la teoría de la estadística, así como aportaciones a la lógica matemática, a la filosofía y en la teoría de decisiones de probabilidad. Todo esto, le brindo la oportunidad de obtener un puesto de catedrático en la Universidad de Cambridge. Dentro de los hallazgos y aportaciones que realizó a la matemáticas, sobresale el interés que tenía por el estudio de los fundamentos

matemáticos, lo que le llevó a buscar una solución para el “Entscheidungsproblem”1. En su trabajo On Problem of Formal Logical, resolvió un caso particular de éste, que es conocido como Teorema de Ramsey, el teorema en base al cual está fundamentada la Teoría de Ramsey. Paul Erdös:

Ha sido uno de los grandes pensadores del siglo XX, llevando consigo también el titulo del matemático más prolífero, más de 1500 artículos redactados, algunos en colaboración, con un promedio de 1 cada 2 meses. Como dato curioso, se creó el número de Erdös, que está dado por el número de cercanía que tuvo Erdös con los matemáticos. Si alguna vez alguien publicó en conjunto con Erdös un trabajo, tiene número 1, si fue por medio de alguien que trabajó con Erdös, tiene número 2, y así sucesivamente. Erdös guarda el número 0. Ahora sí, prosigamos con la teoría.

4. Teoría de Ramsey

Para comenzar, definiremos el significado de una gráfica completa. Definición. Una gráfica de vértices, donde cada pareja de vértices está unida por una arista se

conoce como una gráfica completa de vértices y se denota por . Notemos que tiene 2

aristas. Abajo, se encuentra el ejemplo de la gráfica completa .

Un buen ejemplo para comenzar a observar el campo de estudio de la Teoría de Ramsey es el siguiente enunciado: “Tenemos 6 personas sentadas en una mesa. Entonces existen 3 que se conocen entre sí o existen 3 que no se conocen entre sí”. La demostración es la siguiente:

1 El problema de encontrar un método mecánico para decidir si una proposición matemática arbitraria puede ser probada dentro de

una teoría o no.

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Para hacer esta prueba, bastará con hacer una gráfica con 6 vértices A, B, C, D, E, F (cada vértice representa una persona) donde pintaremos las aristas de color negro o rojo (negro significa que las personas no se conocen y rojo que si se conocen). Ahora elegimos uno de los vértices, en este caso elegimos A. Como de A salen 5 aristas hacia los demás vértices, por el principio de casillas tenemos que al menos 3 de ellas serán del mismo color, supongamos que rojas y digamos que van a B, C y D; entonces las aristas AB, AC y AD son rojas.

Si alguna de las aristas BC, CD o BD fuese roja, terminamos puesto que ya tendríamos un triángulo rojo, que significaría que las 3 personas se conocen. Pero, si las 3 aristas fueran de color negro, no habría 3 que se conocen, pero si habría 3 que no se conocen, por lo tanto, también terminamos el problema.

Este problema nos lleva a una conclusión: Mediante el estudio de una parte de toda la gráfica, pudimos descubrir que el enunciado era cierto; no fue necesario tomar toda la gráfica, solo lo que necesitábamos. A continuación presentamos otros ejemplos: “Si se colorea de dos colores, A y B, entonces es posible tener una de un color A o una

de color B”.

“Existe una coloración de de 2 colores, digamos rojo y azul, sin roja y sin negra”.

Ahora bien, planteemos la siguiente cuestión: ¿Cómo debe de ser para que, si pintamos las aristas de con 2 colores, se pueda asegurar que hay una gráfica completa de vértices de un color o una gráfica completa de vértices del otro color? Con esta pregunta, damos paso al primer teorema de esta teoría: “Teorema de Ramsey”. Para cada , , existe tal que si coloreamos a con dos colores (rojo y negro, por ejemplo), entonces hay una subgráfica roja o una subgráfica negra, y se define , como el número natural mínimo con esta propiedad. A este número,

, se le llama número de Ramsey, y satisface: , 1, , 1 .

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Para estos números de Ramsey, también existen cotas superiores, para determinar sus valores; dicho con otras palabras, siempre es posible encontrar un , para cualesquiera valores de

y , tales que se cumpla el teorema. Corolario. Para cada , 2 se tiene que: , .

5. Generalizaciones Ahora bien, tenemos el resultado del teorema para colorear una gráfica en 2 colores; pero, ¿Se podrá colorear para algún 2 y que siga cumpliendo que se encuentran subgráficas del mismo color? La respuesta es clara y contundente. “SI”. A continuación enunciaremos esta extensión del Teorema de Ramsey. “Teorema de Ramsey, versión con varios colores”. Dados enteros positivos (llamémosles

, … , ) con 2 existe un entero mínimo , … , tal que si coloreamos a las aristas de ,…, con colores entonces existe un 1 y una subgráfica

,…, tal que todas sus aristas tienen el color . Más aún, hagamos uso de la frase de este trabajo, “el desorden absoluto es imposible”. En base a eso, preguntémonos, ¿Qué sucede en un subconjunto de elementos? ¿También existen subconjuntos monocromáticos? La respuesta vuelve a ser clara, “SI”. “Teorema de Ramsey, versión subconjuntos”. Dados enteros positivos (llamémosles

, … , ) y con 2 y 2 existe un entero mínimo , … , tal que si coloreamos con uno de los colores a los subconjuntos de elementos de un conjunto con

,…, elementos entonces existe un 1 y un subconjunto con elementos tal que todos sus subconjuntos de elementos tienen el color . Veamos un ejemplo, donde aplicaremos esta extensión: “Demostrar que 2, … 2 1 cuando en hay presentes números 2”. La solución es aparentemente sencilla: si coloreamos con colores los elementos de un conjunto de 1 elementos, hay 2 que tienen el mismo color. Esto es exactamente la primera versión del Principio de las Casillas que presentamos al comenzar el trabajo. Con esto, ya vimos que la Teoría de Ramsey generaliza el Principio de las casillas, y para verlo, daremos el Principio de las casillas, extendido a conjuntos infinitos. “Principio de las Casillas infinito”. Sea un entero positivo. Si los elementos de un conjunto finito se colorean con uno de colores, entonces contiene un subconjunto infinito monocromático. Con esto, podemos observar la potencia que tiene esta teoría, al generalizar, el concepto más útil del conteo finito, a un conteo infinito, con certezas de que siempre existirán características o cualidades que te permitirán describir el conjunto.

6. Conclusión

A lo largo del artículo, hemos resaltado dos aspectos muy importantes: el primero, que tiene que ver con la forma de ser del ser humano, visto desde la manera de hacer matemática. Descubrir algo, posteriormente demostrarlo, continuar generalizando y comprobando resultados. El segundo aspecto importante, es la manera en como un resultado matemático, de reciente descubrimiento, sirve como palanca para lograr generalizar otros conceptos; como, aún en estos

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días, se sigue avanzando y vamos viendo como existen cada vez mas áreas de trabajo en matemáticas.

7. Bibliografía José Antonio Gómez Ortega, Principio de Casillas, 2011, Instituto de Matemáticas, Ciudad

de México.

Graham R., Studies in Combinatorics: Ramsey Theory, 1978, The Mathematical Association of America, Massachusetts.

Pablo Fernández Gallardo, El desorden absoluto es imposible: la Teoría de Ramsey, 1999, La Gaceta-Real Sociedad Matemática Española, Madrid.

Ivan Niven, Mathematics of Choice, 1965, Random House-The L.W. Singer Company, Oregon.


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UNA APUESTA SIN PERDEDORES, ¿ES POSIBLE? Rosales Alcantar Cesar Alberto, Vega Amaya Oscar



Resumen

Con este trabajo se pretende dar a conocer la paradoja de la billetera, un juego de suma cero (en esencia) en el cual no existe una estrategia ganadora, en la cual todas las estrategias tienen la misma esperanza de ganar, y por lo tanto, todos los jugadores son virtuales ganadores

1. Introducción

Paseando por el pasillo del edificio 3K-2, el Dr. Oscar Vega se encuentra un juego por internet, una apuesta de billeteras. Entonces quiere discutirla con algún colega suyo de probabilidad y al primero que ve es al Dr. Fernando Luque. Entonces se acerca a él, lo saluda y le propone jugar, que consiste en lo siguiente: Oscar: “El que cargue en su billetera la menor cantidad de dinero gana”. Fernando se queda pensativo en aquel juego, no decide si jugar o no; pero si elige pensar en los diferentes escenarios. En esencia son 3 escenarios posibles:

a) Fernando carga consigo más dinero que Oscar. b) Fernando carga consigo menos dinero que Oscar. c) Ambos traen la misma cantidad de dinero.

En este punto se llega a preguntar Fernando: “Si tengo mas dinero que Oscar, pierdo todo, pero si tengo menos dinero que el, ganó más de lo que tengo”. Por esta deducción, Fernando se da cuenta de que gana más de lo que pierde, por lo que sus probabilidades son positivas y acepta jugar. Ahora veamos el punto de vista de Oscar. No es coincidencia que Oscar este pensando exactamente igual que Fernando, que existen 3 posibilidades y que siempre va a ganar más de lo que pierde. Entonces, Fernando tiene ventaja sobre Oscar y Oscar tiene ventaja sobre Fernando: ¿Acaso esto es posible? ¿Por qué los 2 tienen ventaja, y a la vez desventaja, si al final del juego uno ganará todo y el otro perderá lo que trae consigo? Aquí existe una contradicción. Y con este contexto, que puede ser muy variado, desde un juego de corbatas, pasando por un juego de dinero, incluso de cartas, tenemos la paradoja de la billetera: una apuesta sin perdedores.

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2. Historia

La historia de esta paradoja se remonta a un problema planteado por Martin Gardner, en su libro “Aha, Gotcha”. A su vez, Maurice Kraitchik, en su libro “Mathematical Recreations” también hace referencia a este juego, con la variante de que el ganador se lleva la billetera con la mayor cantidad de dinero, y el perdedor la billetera con la menor cantidad de dinero. En la versión de Gardner, que fue posterior a la versión de Kraitchik, no se explica el origen de la paradoja. En un trabajo posterior, elaborado por Merryfield, Viet y Watson acerca de la paradoja, aseguran que el origen de la paradoja está en el hecho de que ninguno de los jugadores toma en cuenta las probabilidades de victoria y de derrota. Aseguran que si los jugadores eligen sus montos de manera independiente, de una forma análoga, entonces el juego es justo. En términos probabilísticos es: La cantidad de dinero que trae consigo A está definida de la misma manera que la cantidad de dinero que trae consigo B, es decir, si la cantidad de dinero que trae consigo A está dada por la variable aleatoria y la cantidad de dinero que trae consigo B está dada por la variable aleatoria

, entonces las distribuciones de y son independientes e idénticamente distribuidas. De la misma manera, es común pensar que el traer la misma cantidad de dinero, en promedio, también es beneficioso para el juego, por lo que tomaremos como hecho que ambas variables aleatorias, y , tienen la misma esperanza. En el presente trabajo, plantearemos que no es suficiente que los jugadores tengan estrategias definidas por variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con misma esperanza, sino que además un jugador necesita conocer la estrategia del otro jugador. Para ello analizaremos el caso discreto y el caso continuo de variables aleatorias.

3. Un ejemplo discreto

3 chicos, A, B y C, se plantean jugar el juego de la billetera. Entonces, cada quien tiene una estrategia ganadora definida por la variable aleatoria , y , respectivamente. Supongamos los siguientes hechos:

$2 1

$1 $312

$1 3 $534

De aquí podemos observar que la esperanza de las tres variables aleatorias es $2. Definamos la variable aleatoria ⁄ que relaciona al jugador A con el jugador B de la siguiente manera:

⁄0

Si la estrategia es mejor que la estrategia , entonces diremos que es preferida sobre , y lo denotamos por . Ahora tenemos nuestra primera conjetura: si y solo si ⁄

0. Veamos como se desarrolla el juego entre A y B. El jugador A pierde $2 cuando el jugador B

trae $1 y gana $3 cuando el jugador B trae $3. Entonces tenemos que ⁄ 2

3 1 0. Por lo tanto tenemos que .

Para calcular el juego entre B y C usaremos la siguiente notación matricial:

43

/

34

14

1 5

12

1 0 5

12

3 3 5

Las entradas , de la matriz presentada anteriormente representan los montos ganados o perdidos del jugador B dado la estrategia elegida por el jugador C. Ahora, para calcular la ⁄ usaremos la siguiente formula:

⁄

Aplicando la fórmula tenemos que:

⁄

12340

145

1234

3145

58

98

58

18

0

Por lo tanto, llegamos a que . De una forma análoga al primer caso, si A y C juegan el juego de la billetera, tenemos que

⁄34

2145

64

54

14

0

Por lo tanto, tenemos que . De esta forma, hemos probado que hay una transitividad entre las 3 estrategias, por lo que no existe una estrategia ganadora, aun cuando cada una de ellas tenga la misma esperanza. Ahora, enunciemos la primera proposición.

4. Análisis del caso discreto

PROPOSICIÓN 1. Para cada variable aleatoria discreta con rango finito existe una variable aleatoria tal que y . PRUEBA. Supongamos que el jugador A conoce la manera de jugar de B que esta dada por la variable aleatoria . Cada uno de los valores del rango de , que denotaremos por , se le asigna una probabilidad tales que 0 y . De esta manera tenemos que

0 y que 1. Como A conoce la estrategia de B, entonces para ganar basta con diseñar o crear una variable aleatoria tal que en la mayoría de las ocasiones, derrote a . De manera interesante, la variable aleatoria tan solo necesita probabilidades positivas en tres valores, en contraste por la complejidad de la variable aleatoria . Definimos por la distribución de las probabilidades

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en los valores del rango por en 0, en y 1 en ,

donde y cumplen que:

112 1

1 y

12

1.

Como en el ejemplo anterior, acomodemos nuestros datos de forma matricial. Como no sabemos como son las comparaciones entre y las ′ entonces tomaremos como el peor escenario que

. De esta manera, la matriz sería:

/ … …

0 … 2⁄ … …

Aplicamos la fórmula de la esperanza de ⁄ para verificar el resultado:

⁄

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⁄ 1

12

1 1

Ahora, por definición de , tenemos que en (1) se cumple lo siguiente:

⁄12

1 0

Por lo tanto, hemos probado lo que queríamos demostrar. Prosiguiendo, de manera análoga podemos preguntarnos que sucederá en dado caso que la distribución de las variables es del tipo continuo.

5. Análisis del caso discreto

Supongamos que los 2 jugadores tienen sus estrategias definidas por las variables aleatorias continuas y , las cuales tienen cada una funciones de densidad y respectivamente. Ahora, probaremos que si ambas variables tienen las mismas esperanzas y medianas, podemos realizar el mismo procedimiento análogo que en caso discreto, veamos a continuación. PROPOSICIÓN 2. Para cada variable aleatoria continua con función de densidad existe una variable aleatoria continua con función de densidad tal que y . PRUEBA. Supongamos que el jugador A conoce la manera de jugar de B que esta dada por la variable aleatoria continua con función de densidad y sean su esperanza y su mediana. Como en el caso discreto, trataremos de construir una función de densidad para la variable aleatoria continua tal que y derrote a . Sea el promedio del valor condicional esperado de dentro del intervalo ,∞ definido por:

∞

∞ 2

∞

Sea la variable aleatoria continua con función de densidad definida de la siguiente forma:

1 2⁄1 2⁄0

0,,

,

donde 0 1 es elegido del tal forma que cumple y 12

A su vez, damos la siguiente desigualdad:

2 1∞

2

2 1

Aquí observamos que cuando 0 tenemos que 2 1∞

y que

2 1 , por lo que crece tan

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rápido como se aproxima a 0. Por esta razón, es posible hallar un pequeño que cumpla con la desigualdad, además de asegurarnos que, basándonos en la definición de , garantizaremos que

y que . Haciendo uso de la matriz de pagos de A con respecto a B, tenemos que

/ 1 2⁄

∞

0, , ,∞ 1 2⁄ 0, 0

1 2⁄ , 2

2⁄ , 2

donde y son los promedios de los valores condicionales esperados de dentro de los intervalos , y ,∞ , respectivamente. Aplicando la fórmula para ⁄ tenemos que:

⁄12

∞

12

12 2

∞

212 2

∞

Veamos que

12

∞

12

∞

∞

∞

12

∞12

∞12 2 4

Sustituyendo arriba tenemos

47

⁄ 412

12 2

∞

212 2

∞

414 2 4 2 2

∞

12

∞

⁄14 2 2 2 2

∞

12

∞

14

12 2

∞

12

∞

2

∞12

∞

12

∞

2

∞1

2

Ahora, si

12

∞

2

∞1

2

y realizando un poco de algebra, tenemos que se cumple la desigualdad de arriba, por lo tanto, tenemos que

⁄ 0 Por lo tanto, .

Memorias del XII SeminarioXII de Estudiantes de Matematicas.Departamento de Matematicas, Universidad de Sonora,7 y 8 de Junio 2012,pp. 49–57.

COMBINACION DE COMPUTO NUMERICO TRADICIONAL, COMPUTOSIMBOLICO, Y COMPUTO NUMERICO DE PRECISION ARBITRARIA

Johanna Valenzuela Aguilera, Inna Shingareva



Resumen

En el presente trabajo se consideran los conceptos de computo numerico y simbolico pararesolver varios problemas matematicos con ayuda del sistema de algebra computacional Maple.Se construyen soluciones combinando las siguientes ventajas de sistemas de algebra computa-cional para computo cientıfico: computo numerico tradicional, computo simbolico, y computonumerico de precision arbitraria. En particular, siguiendo el enfoque propuesto, se consideranproblemas de la evaluacion de errores computacionales, la comparacion de las representacionesnumericas de los numeros de conjuntos infinitos en la teorıa y en el sistema de algebra com-putacional Maple.

1 Introduccion

Es bien conocido que computo cientıfico y analisis numerico estan relacionado con la con-struccion e investigacion de metodos aproximados para obtener soluciones numericas deproblemas complicados matematicos, cientıficos, y de ingenierıa con ayuda de computadoras(para mas detalles, ver [2], [3]). Analisis numerico es un campo de matematicas mas impor-tante que tiene numerosas aplicaciones en todos areas de ciencias e ingenierıa (ver [1], [5]).Pretendemos discutir acerca de computo numerico y simbolico para resolver varios problemasmatematicos con ayuda del sistema de algebra computacional Maple (ver [4]).

En nuestras soluciones combinamos las siguientes ventajas de sistemas de algebra com-putacional para computo cientıfico:

1) computo numerico aproximado tradicional,

2) calculo simbolico, y

3) computo numerico aproximado de precision arbitraria.

En este trabajo mostraremos, resolviendo problemas matematicos en sistema de algebracomputacional Maple, como evaluar errores computacionales, como comparar las representa-ciones numericas de los numeros de conjuntos infinitos en la teorıa y en el sistema de algebracomputacional Maple, como obtener soluciones exactas y numericas de problemas y compararlos resultados.

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50 JOHANNA VALENZUELA AGUILERA, INNA SHINGAREVA

2 Errores Computacionales. Computo Numerico Tradicionaly Computo Simbolico

Sabemos que si utilizamos una computadora para aproximaciones numericas, introducimoserrores, por lo tanto es importante controlar la propagacion de errores. Los errores (odiscrepancias) pueden ser de diferente naturaleza, por ejemplo, los errores entre modelosfısicos y matematicos, los errores entre las soluciones obtenidas en la aritmetica exacta y enla aritmetica de computadora, aritmetica de punto flotante (errores de redondeo), los erroresentre soluciones exactas y soluciones analiticas aproximadas o soluciones numericas (erroresde truncamiento o discretizacion).

Estos errores, errores de redondeo y errores de truncamiento, se puede combinar en unsolo concepto de un error computacional, E. Recordemos que existen dos tipos de errorescomputacionales, los errores absolutos y errores relativos:

Eabs = |X − x|, y Erel =|X − x||x|

(x 6= 0),

donde x y X son, respectivamente, la solucion exacta de un modelo matematico y la solucionaproximada correspondiente. Por lo tanto, en la construccion de soluciones numericas, esimportante introducir un nuevo parameter ε ∈ R, la tolerancia, con la cual queremos tenerun error computacional.

En la teorıa, aunque los errores computacionales dependen de la solucion exacta descono-cida, no es posible calcular estos errores. En la practica, por lo tanto es necesario introducirlos errores computables (o estimaciones de errores), para estimacion de errores computa-cionales. Usualmente, los errores computacionales para metodos numericos son la diferenciaentre dos iteraciones sucesivas1

E(i)abs = |X(i) −X(i−1)| y E

(i)rel =

|X(i) −X(i−1)||X(i−1)|

.

Si, en el caso general, los valores de x y X no son numeros reales (por ejemplo, vectoreso matrices), consideraremos espacios normados. Si denotemos una norma de vector x por||x||, entonces los errores absolutos y relativos para el vector ||X|| se definen por

Eabs = ||X − x|| y Erel =||X − x||||x||

.

Errores computacionales.

Obtenemos los errores absolutos y relativos para una solucion a dada de un modelomatematico y la solucion aproximada correspondiente.

1de la palabra “iteratio”, la palabra Latin para “repeticion”

COMBINACION DE COMPUTO NUMERICO Y SIMBOLICO 51

E_abs:=(x,X)->abs(X-x);

E_rel:=(x,X)->if x<>0 then abs((X-x)/x); else 0; fi;

for x from 0 to 0.25 by 0.05 do

s1:=evalf(sin(x)); s2:=evalf(x-x^3/6);

printf("%15.9e %15.9e %15.9e %15.9e\n",

s1,s2,E_abs(s1,s2),E_rel(s1,s2)): od:

En general, un proceso numerico (o un numero finito de aproximaciones del modelomatematico) se puede representar en la forma de una funcion F(Ei) de un error computa-

cional (absoluto o relativo) Ei (Ei > 0). Si

limEi→0

F(Ei) = x,

es decir la solucion numerica coincide con la solucion exacta del modelo matematico, entoncesel proceso numerio es convergente. Ademas, si

limi→∞

Ei

Eqi−1

= C (donde C > 0 es constante),

entonces el metodo numerio es convergente de orden q.

Existen algunos parametros importantes en el analysis de algorıtmos, por ejemplo, elcosto computacional de un algorıtmo. Puesto que estamos interesados en algorıtmos quecontienen un numero finito de pasos, el costo computacional se define por el numero deoperaciones de punto flotante requeridas (flops) para obtener una solucion numerica. EnMaple, podemos calcular el costo computacional de un algorıtmo mediante de la funcionpredefinida cost (del paquete codegen).

Aunque en algunos casos es importante determinar el orden de magnitud de un algorıtmocomo una funcion de un parameter n de dimension de un problema y por lo tanto recordemosaquı el concepto de la complexidad de un algorıtmo. Por ejemplo, un algorıtmo con lacomplexidad constante requiere un numero de operaciones independientes de la dimension ndel problema, es decir O(1) operaciones, un algorıtmo con la complexidad lineal requireO(n) operaciones, un algorıtmo con la complexidad polinomial require O(nk) operaciones(k ∈ Z, k > 0), etc.

Otro parametro relevante es un indicador de la realizacion de un algorıtmo, es decir, eltiempo de CPU (“central processing unit”) el cual se requiere para realizar los diferentes con-juntos de instrucciones de codigo y operaciones para un problema computacional especıfico,el cula puede incluir otros procesos computacionales, por ejemplo, procesos leer/guardar(“read/write”) en la memoria y discos o despliego en la pantalla. En Maple, este parameterose puede obtener mediante la funcion predefinida time.

Notemos que todas operaciones en Maple se realizan asumiendo que el sistema numericoes el campo complejo C.


3 Conjuntos Infinitos. Computo Numerico Tradicionaly Computo Numerico de Precision Arbitraria

Ahora consideremos principales conjuntos infinitos. El conjunto de los numeros naturales Nse puede escribir en la forma:

N = 1, 2, . . . = x| x es un entero positivo.

El conjunto Z de todos los enteros se puede escribir en la forma:

Z = 0,±1,±2, . . . = x| x es un entero.

Los numeros de la formap

q(p, q ∈ Z, q 6= 0) se llaman numeros racionales y el conjunto de

los numeros racionales Q se escribe en la forma:

Q = x| x =p

q, p, q ∈ Z, q 6= 0.

El conjunto de los numeros irracionales I consiste de de los numeros decimales infinitos no

periodicos, que no pueden ser expresados como una fraccionp

q(p, q ∈ Z, q 6= 0). Los numeros

racionales y los irracionales forman el conjunto de los numeros reales

R = Q ∪ I.

El conjunto de los numeros complejos C se puede escribir en la forma:

C = z| z = a+ ib, a, b ∈ R, i2 = −1

y es una extension de los numeros reales que representan todas las raıces de los polinomios.Por lo tanto tenemos las siguientes relaciones entre los conjuntos:

N ⊂ Z ⊂ Q ∪ I ⊂ R ⊂ C.

Nos interesa estudiar como estos sistemas se pueden tratar en Maple.

En general, una de las ventajas de los sistemas de la algebra computacional para elcomputo cientıfico es la manera facil de combinar el computo numerico aproximado tradi-cional con el computo simbolico y numerico aproximado de precision arbitraria.

Por lo tanto, es importante comparar las representaciones numericas de los numeros deestos conjuntos infinitos en la teorıa y en el sistema de algebra computacional Maple.

En general, computadoras representan un numero real en la siguiente forma que se llamanotacion cietıfica:

x=(−1)s · (0.a1a2 . . . at) · bE=(−1)s ·M · bE−t, a1 6= 0, 0 ≤ ai ≤ b−1, (1)

donde el signo s = 0 o 1, la base b ∈ N, b ≥ 2, que admita una computadora, la mantissaM ∈ N, cuya longitud es el numero maximo de los dıgitos ai y igual a t, y el exponente


E ∈ N, Emin ≤ E ≤ Emax. Los dıgitos a1a2 . . . aq (q ≤ t) se llaman los primeros q dıgitossignificativos de x. La condicion a1 6= 0 significa que un numero siempre tiene una unicarepresentacion.

Maple tiene los dos sistemas numericos de punto flotante: sistema de punto flotante delhardware, donde los numeros son binarios de precision de la maquina (o precision doble),representados en el formato IEEE y establecidos por los fabricantes de computadoras, ysistema de punto flotante del software, donde los numeros se calculan en la aritmetica deprecision arbitraria (que depende de caracterısticas de computadora) en computo exacto yaproximado.

En Maple, en cualquier momento del tiempo, los sistemas numericos de punto flotante secontrolan automaticamente.

En Maple, la variable global Digits controla el numero de dıgitos decimales conser-vados en la mantisa de cualquier numero de punto flotante. Maple puede manejar unnumero muy grande de dıgitos (el numero maximo de dıgitos en nuestra computadora,Maple floats(MAX DIGITS), es 268435448, el valor predefinido es 10. El resultado de lafuncion D H:=evalhf(Digits) es el numero aproximado de dıgitos del sistema de puntoflotante del hardware en una computadora particular que no depende del valor de variableglobal Digits, por ejemplo, en nuestra computadora D H := 14. Este valor considera laprecision calculada en las funciones matematicas estandar.

Numeros naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, y complejos:

25,-55,5/6,sqrt(2),Pi,

3.4,-2.3e4,HFloat(23,-45),SFloat(23,-45),Float(23,-45)

3-4*I,Complex(2/3,3)

Observacion. Las funciones de Maple HFloat (numeros de punto flotante del hardware)y SFloat, Float (numeros de punto flotante del software) representan los numeros reales deprecesion doble y arbitraria, respectivamente.

Observacion. Maple utiliza el sistema numerico decimal para representacion de numerosde punto flotante del software.

4 Comparacion de RH, RS y R

Con mas detalles consideramos las estructuras algebraicas mas adecuadas para matematicamoderna, los sistemas de numeros reales y complejos.

Los numeros reales. Puesto que las computadoras tienen recursos acotados y el sistemaMaple tiene dos sistemas numericos de punto flotante (del hardware y software, con precisioondoble y arbitraria), el sistema R se puede representar como dos subconjuntos RH y RS dedimension finita. Puesto que cualquier numero real x es truncado o redondeado por lacomputadora, podemos denotar los nuevos numeros, numeros de punto flotante en ambos


conjuntos, flH(x) ∈ RH, flS(x) ∈ RS que pueden no coincidir exactamente con el numeroreal x.

Los subconjuntos RH y RS se caracterizan por propiedades que son diferentes de laspropiedades de R. Puesto que RH y RS son subconjuntos propios de R, las operacionesalgebraicas elementales sobre numeros de punto flotante no poseen todas las propiedades deoperaciones similares en R. Consideremos diferencias entre RH, RS y R:

I. Leyes conmutativas son validas para la adicion y la multiplicacion:

flH(a+b)=flH(b+a), f lH(ab)=flH(ba),

f lS(a+b)=flS(b+a), f lS(ab)=flS(ba).

II. Leyes asociativas no son validas:

flH(a)+flH(b+ c) 6=flH(a+ b)+flH(c), f lH(a)flH(bc) 6=flH(ab)flH(c),f lS(a)+flS(b+ c) 6=flS(a+ b)+flS(c), f lS(a)flS(bc)6=flS(ab)flS(c).

Esta situacion se puede ocurrir si sumamos numeros que poseen un overflow/underflow, esdecir, numeros mayores o menores a los numeros maximos/mınimos que admite una maquinaen los sistemas de punto flotante.

En Maple, para el conjunto RH, tenemos los siguientes valores de numeros maximo ymınimo de la maquina:

MaxRH = 0.99999999000000002 · 10308,

MinRH = 0.100000010000000001 · 10−306.

Por lo tanto, si escogemos

a = 0.1 · 10308, b = 0.11 · 10309, c = −0.1001 · 10309,

obtenemos

flH(a) + flH(b+ c) = 0.199000000000000008 · 10308,

pero flH(a+ b) + flH(c) = indefinido.

Para el conjunto RS, los numeros maximo y mınimo son (en una computadora con RAM2GB): MaxRS = 0.1 · 102147483647, MinRS = 0.1 · 10−2147483645. Similarmente, si

a = 0.9 · 102147483646, b = 0.91 · 102147483647, c = −0.1 · 102147483647,

obtenemos flS(a) + flS(b+ c) =∞, pero

flS(a+ b) + flS(c) = −0.1 · 102147483647.


useHardwareFloats:=true: Digits; MinR_H:=evalhf(DBL_MIN);

MaxR_H:=evalhf(DBL_MAX);

a:= 0.1e+308; b:=0.11e+309; c:=-0.1001e+309;

HFloat(a)+HFloat(b+c); HFloat(a+b)+HFloat(c);

restart: MaxDigits:=Maple_floats(MAX_DIGITS);

MaxR_S:=Maple_floats(MAX_FLOAT);

MinR_S:=Maple_floats(MIN_FLOAT);

a:=0.9e+2147483646; b:=0.91e+2147483647; c:=-0.1e+2147483647;

SFloat(a)+SFloat(b+c); SFloat(a+b)+SFloat(c);

III. Leyes distributivas no son validas:

flH(a+b)flH(c)6=flH(ac)+flH(bc), f lH(c)flH(a+b)6=flH(ca)+flH(cb),f lS(a+b)flS(c)6=flS(ac)+flS(bc), f lS(c)flS(a+b) 6=flS(ca)+flS(cb).

Similarmente, esta situacion se puede ocurrir si hacemos las operaciones adicion y multipli-cacion con numeros mayores o menores a los numeros maximos/mınimos que admite unamaquina en los sistemas de punto flotante (RH, RS).

IV. Los subconjuntos RH y RS son completamente caracterizados por la base b, el numerode dıgitos significativos t, y el intervalo [MinE, MaxE] (MinE < 0, MaxE > 0) de variaciondel exponente E. Por lo tanto, podemos denotar estos subconjuntos en la forma generalRH(b, t, MinE, MaxE). En el sistema Maple tenemos los siguientes resultados:

RH(2, 53,−1021, 1024), RS(10, 268435448,−2147483646, 2147483646).

Observacion. Para el sistema numerico decimal, los parametros del subconjunto RH setransforman a RH(10, 15,−307, 308).

Observacion. En Maple se puede representar los numeros hasta 102147483646.

V. El elemento 0 no pertenece a RH, RS, i.e., 0 6∈ RH y 0 6∈ RS, puesto que en el caso contrarioa1 = 0 en Eq. (1).

VI. El elemento 0 no es unico.

Los conjuntos RH, RS consisten de numeros aislados. Si agregamos, por ejemplo,

flH(x) + flH(y),

donde consideremos flH(y) < flH(x), y flH(y) < εM , y εM es el epsilon de la maquina,obtenemos flH(x) + flH(y) = flH(x).

El epsilon de la maquina εM = b1−t proporciona usualmente la distancia entre 1 y sunumero de punto flotante mas cercano y diferente de 1. En general, se puede decir que εM esla unidad de redondeo o precision relativa de la maquina que es la distancia entre un numerode punto flotante y el siguiente numero de punto flotante representado en sistemas RH y RS.Notemos que εM depende de la base b y el numero de dıgitos t.


En Maple, se puede obtener el resultado

εM = 21−53 = .222044604925031308 · 10−15 :

useHardwareFloats:=true: Digits;

epsilon_M:=evalhf(DBL_EPSILON); x1:=HFloat(1.0);

for i from 1 while HFloat(1.0+x1)>1.0 do

eps_M:=x1; x1:=HFloat(x1/2); end do:

eps_M; eps:=NextAfter(SFloat(0.),SFloat(1.));

1.+eps; n:=100; 1+eps/n;

Digits:=300; eps:=NextAfter(SFloat(0.),SFloat(1.)); 1+eps;

Digits:=10; NextAfter(HFloat(1.),HFloat(2.));

NextAfter(SFloat(1.),SFloat(2.));

VII. Se genera el error de redondeo en los subconjuntos RH y RS. El error de redondeo segenera inevitablemente cuando el numero real x ne0 se representa por su valor de puntoflotante flH(x) ∈ RH, flS(x) ∈ RS, y este error es pequeno. Existen las dos medidas delerror de redondeo, el error relativo,

|x− fl(x)|x

≤ 0.5εM ,

y el error absoluto, |x−fl(x)|. En ambos sistemas existen conceptos o funciones relacionadoscon el error de redondeo, por ejemplo, en Maple las variables globales Digits, Rounding, lafuncion fnormal:

Digits; csc(0.91^191); Rounding:=0; csc(0.91^191);

Rounding:=infinity; csc(0.91^191); a:=1.; b:=10^(-15);

fnormal(a+b); fnormal(a+I*b);

VIII. En RH, RS no existen formas indeterminadas. En ambos sistemas, no se definen valorespara las siguientes formas indeterminadas, por ejemplo,∞+(−∞),∞−(+∞), −∞−(−∞),±∞/±∞, ±0 · ±∞, ±0/± 0.

Inf:=infinity; Inf+(-Inf); Inf-(+Inf); -Inf-(-Inf);

Inf/(+Inf); Inf/(-Inf); -Inf/(+Inf); -Inf/(-Inf);

+0*(+Inf); +0*(-Inf); -0*(+Inf); -0*(-Inf); 0/0;

Numeros complejos seconsideren como un par ordenado de numeros reales (a; b) con la nocionde igualdad, (a; b) = (c; d), a = c; b = d; las cuatro operaciones fundamentales: adicion,

(a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d),

sustraccion,(a; b)− (c; d) = (a− c; b− d),


multiplicacion,(a; b) · (c; d) = (ac− bd; ad+ bc),

division,(a; b)

(c; d)= (

ac+ bd

c2 + d2;bc− adc2 + d2

).

Todo numero complejo se puede escribir en la forma binomica (a; b) = a+bi, donde la unidadimaginaria i = (0; 1)2 = (−1; 0) (i2 = −1), la parte real a = <(a+ bi) y la parte imaginariab = =(a+ bi).

En Maple, los numeros complejos se representan en la forma de pares ordenados denumeros reales, C = R × R = (a, b)| a ∈ R, b ∈ R, donde sabemos como representar losnumeros reales. La unidad imaginaria i se denota igualmente por I en ambos sistemas dealgebra computacional. Para considerar un numero complejo es necesario introducir, porejemplo, 1+I2 or la funcion Complex(1,2).

Agradecimientos

Este trabajo ha sido realizado gracias a financiamiento de la Divisin de Ciencias Exactas yNaturales.

Referencias

[1] Akritas, A. G. Elements of Computer Algebra with Applications. Wiley, New York, 1989.

[2] Calmet, J., van Hulzen, J. A. Computer Algebra Systems. Computer Algebra: Symbolicand Algebraic Computations. Springer, New York, 1983.

[3] J. H. Davenport, J. H., Siret, Y., and Tournier, E. Computer Algebra Systems andAlgorithms for Algebraic Computation. Academic Press, London, 1993.

[4] Shingareva, I. and Lizarraga-Celaya, C. Maple and Mathematica. A Problem SolvingApproach for Mathematics. Second Edition. Springer, Wien–New York, 2009.

[5] Wester, M. J. Computer Algebra Systems: A Practical Guide. Wiley, Chichester, UK,1999.

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CONVERGENCIA EN 2X

Guadalupe Morales Ramirez, Carlos Alberto Robles Corbala


e-mail: [email protected], [email protected]

Resumen

En este trabajo se da a conocer una caracterizacizacion de convergencia en el hiperespacio2X ,de todos los subconjuntos cerrados y no vacios de un espacio metrico, conexo y compactoX. Primeramente presentamos definiciones que nos llevaran a demostrar nuestro objetivo,donde tambien se exponen algunos ejemplos que nos diran cuando hay convergencia en dichohiperespacio.

1 Introduccion

El objetivo principal de este artıculo es dar a conocer una caracterizacion que determinasi existe convergencia en el hiperespacio . Ası veremos una serie de conceptos y resultadossobre la convergencia en el hiperespacio. Basicamente establecemos el concepto de continuo,ası como el de hiperespacio de un continuo . Ademas definiremos y probaremos una metricasobre 2X llamada la metrica de Haudorff, la cual esta definida en 2X , y no en la familia desubconjuntos de X.

2 Preliminares

Las siguientes definiciones forman un punto de partida para nuestro estudio.

Definicion 2.1 Un continuo X es un espacio topologico metrizable, conexo, compacto conmas de un punto.

Definicion 2.2 Un hiperespacio de un continuo X es una coleccion de subconjuntos de uncontinuo X.

Uno de los hiperespacios mas estudiados es

2X := A ⊂ X|A es cerrado, A 6= ∅

Para estudiar este hiperespacio como un espacio metrico, basta dotar una metrica a 2X ypara lograrlo necesitamos las siguientes definiciones.

59

60 GUADALUPE MORALES RAMIREZ, CARLOS ALBERTO ROBLES CORBALA

Definicion 2.3 Sea X un continuo. Dado ε > 0 y p ∈ X, se le llama la bola de radio εcentrada en p al conjunto

Bε(p) = q ∈ X : d(p, q) < ε

Definicion 2.4 Sea X un continuo, A ⊆X y ε > 0. La Nube de Radio ε y centro en A,denotada por N(ε, A) es el siguiente conjunto

N(ε, A) = x ∈ X | ∃ a ∈ A tal que d(a, x) < ε

Observese que la nube de radio ε centrado en A puede representarse como

N(ε, A) =⋃a∈A

Bε(a) y N(ε, p) = Bε(p).

3 Metrica de Hausdorff

Con las definiciones 3 y 4 podemos definir la metrica en 2X .

Definicion 3.1 La metrica de Hausdorff en 2X es:

H : 2X × 2X −→ R+

tal queH(A,B) = infε > 0 : A ⊆ N(ε, B) & B ⊆ N(ε, A) para A,B ∈ 2X (1)

El siguiente resultado es util por que nos brinda una manera de pasar de la metrica en X ala metrica en 2X y viceversa.

Teorema 3.2 Sea X un continuo, A,B ∈ 2X y ε > 0. Entonces H(A,B) < ε si y solo siB ⊆ N(ε, A) y A ⊆ N(ε, B)

Queremos ver que efectivamente H(A,B) es una metrica para 2X . Ası el siguiente teoremanos dice que si 2X es un espacio metrico, entonces tambien lo son sus subespacios.

Teorema 3.3 H(A,B) es una metrica para 2X .

Prueba.

1. Para todo A,B ∈ 2X , H(A,B) ≥ 0 puesHA,B es el ınfimo de puros terminos positivos.

2. Para todo A,B ∈ 2X , cerrados y no vacıos del contınuo X, se tiene que H(A,B) =H(B,A) pues en la definicion, H(A,B) juegan papeles simetricos. H(A,B) puedenintercambiarse los conjuntos A y B sin que cambie el numero H(A,B)

CONVERGENCIA EN 2X 61

3. Para todos A,B ∈ 2X , H(A,B) = 0↔ A = B. Es trivial pues infε > 0, A ⊆ N(ε, B)y B ⊆ N(ε, A) = 0↔ A = B

4. H(A,B) ≤ H(A,C) + H(C,B) ∀ A,B,C ∈ 2X . Para probar la desigualdad deltriangulo probaremos el siguiente teorema:

Teorema 3.4 Sea X un contınuo, A,B,C ∈ 2X y ε, δ > 0. Si A ⊆ N(ε, C) y C ⊆N(ε, B) ⇒ A ⊆ N(ε+ δ, B)

Prueba. Sea a ∈ A ⊆ N(ε, C) ⇒ ∃ c ∈ C tal que d(c, a) < ε, como c ∈ C ⊆ N(δ, B) ⇒∃ b ∈ B tal que d(b, c) < δ.Asi tenemos que:

d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) < ε+ δ

por lo tanto, para a ∈ A existe b ∈ B tal que d(a, b) < ε+ δ, entonces

A ⊆ N(ε+ δ, B)

Ahora pobaremos la desigualdad del triangulo.

H(A,B) ≤ H(A,C) +H(C,B) ∀ A,B,C ∈ 2X

Sean A,B,C ∈ 2X

H(A,C) +H(C,B) = inf ε > 0 : A ⊆ N(ε, C) ∧ C ⊆ N(ε, A)+

inf δ > 0 : C ⊆ N(δ, B) ∧B ⊆ N(δ, C)= inf ε+ δ : ε, δ > 0, A ⊆ N(ε, C)∧

C ⊆ N(ε, A) ∧ C ⊆ N(δ, B) ∧B ⊆ N(δ, C)≥ inf ε+ δ > 0 : A ⊆ N(ε+ δ, B)∧

B ⊆ N(ε+ δ, A)= infλ : A ⊆ N(λ,B) ∧B ⊆ N(λ,A)= H(A,B)

Por lo tanto

H(A,C) +H(C,B) ≥ H(A,B)

• Observemos que la metrica esta definida en 2X y NO en la familia de conjuntos de X.


Definicion 3.5 Sea An∞n=1 una sucesion de elementos de 2X .Definimos el limite inferior de An y el limite superior de An de la siguiente forma:

1. lim inf(An) = x ∈ X | ∀ ε > 0,∃ N ∈ N tal que, Bε(x) ∩ (An) 6= ∅ ∀ n ≥ N

2. lim sup(An) = x ∈ X | ∀ ε > 0, Bε(x) ∩ (An) 6= ∅ para una infinidad de n’s

Mientras que el lim inf(An) satisface la propiedad en cuestion, para toda la cola de la sucesionAn∞n=1 es suficiente que para el lim sup(An) la satisface para una infinidad de n’s.

Propiedades de limite superior e inferior

Sea X un continuo y An∞n=1 una sucesion de elementos de 2X entonces:

1. lim inf(An) ⊆ lim sup(An)

2. lim inf(An) y lim sup(An) son conjuntos cerrados en X

3. lim sup(An) 6= ∅ por tanto lim sup(An) ∈ 2X

4 Ejemplos

A continuacion presentamos ejemplos de cuando An converge en el hiperespacio 2X aplicandonuestra definicion de lim inf(An) y lim sup(An).

• Sea el continuo X = (x.y) : 0 ≤ x ≤ 3 y 0 ≤ y ≤ 1. Definamos la An∞n=1 ∈2X∀ n ∈ N por:

An =

[1, 3]× 1

n si n es impar

[0, 2]× 1n si n es par

lim inf An = [1, 2]× 0lim supAn = [0, 3]× 0Como se muestra en la Figura A

• Sea X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1,Definamos An∞n=1 ∈ 2X ∀ n ∈ N,

An =

[2, 3]× 1

n si n es impar

[0, 1]× 1n si n es par

Entonces por definicion, lim inf An = ∅ lim supAn = [0, 1]∪ [2, 3]×0 A continuacionveamos su comportamiento en la FiguraB.

• Figura C. Para n ∈ N, definimos la sucecion An∞n=1 ∈ 2X ∀ n ∈ N por:

An = [0, 1]× 1

n.

lim inf An = lim supAn = [0, 1]× 0.


Figura A:

Figura B:


Figura C:

5 Resultados Finales

Ahora presentaremos una caracterizacion de limite superior y limite inferior que nos ayudarapara determinar si existe convergencia en el hiperespacio 2X .

Proposicion 5.1 Sea X un continuo; An∞n=1 ⊆ 2X entonces:

1. x ∈ lim inf(An)⇔ ∃ Xn∞n=1 ⊆ X tal que limn→∞Xn = x y Xn ∈ An∀ n ∈ N

2. x ∈ lim sup(An)∞n=1 ⇔ ∃ una sucecion de numeros naturales n1 < n2 < ... y existenpuntos Xnk

∈ Ank∀ k ∈ N

Ahora para lograr nuestro objetivo, el siguiente teorema nos muestra la relacion que hayentre el lim inf(An), lim sup(An) y la convergencia en 2X , cuando 2X tiene la metrica deHausdorff.

Teorema 5.2 Sea An∞n=1 ⊆ 2X , entonces (An)∞n=1 converge con la metrica de Hausdorffa un punto A ∈ 2X ⇐⇒ lim inf(An) = A = lim sup(An).

Prueba. (=⇒) Supongamos que An converge con la metrica de Hausdorff a un A ∈ 2X .Demostraremos que lim inf(An) = A = lim sup(An), para lo cual es suficiente mostrar que:

1. A ⊆ lim inf(An).

2. lim sup(An) ⊆ A.


1) Sea a ∈ A. Sea ε > 0 como por hipotesis limAn = A ∈ 2X con la metrica de Hausdorff,entonces

para ε > 0 ∃ N ∈ N tal que H(An, A) < ε ∀ n ≥ N .

Por el Teorema anterior tenemos que A ⊆ N(ε, An) y An ⊆ N(ε, A). Sea n ≥ N ⇒a ∈ N(ε, An). Esto implica que existe xn ∈ An tal que d(xn, a) < ε. De manera quexn ∈ An ∩Bε(a) por tanto

An ∩Bε(a) 6= ∅ ∀ n ≥ N

por lo tanto a ∈ lim inf An.

2) Supongamos que el lim sup(An) * A, entonces existe un x ∈ X tal que x ∈ lim supAny x /∈ A, como A ∈ 2X , A es cerrado en X, entonces existe ε > 0 tal que Bε(a) ∩ An = ∅.Ahora bien, como x ∈ lim supAn entonces existe ε > 0 de que cumplira que Bε(a)∩An 6= ∅para una infinidad de n′s. Dado que An converge a A con la metrica de Hausdorff, existeN ∈ N tal que

An ⊆ N(ε/2, A) ∧ A ⊆ N(ε/2, An) para toda n ≥ N .

Entonces podemos elegir M ≥ N tal que

Bε/2(x) ∩ AM 6= ∅,

entonces, sea z ∈ Bε/2(x) ∩ AM , entonces d(z, x) < ε/2 y z ∈ AM ⊆ N(ε/2, A),de aqui lad(z, x) < ε/2 y existe a ∈ A tal que d(a, z) < ε/2, por lo tanto

d(x, a) ≤ d(x, z) + d(z, a) < ε/2 + ε/2 = ε,

entonces d(x, a) < ε con a ∈ A por lo tanto Bε(x) intersecta a A lo que contradice la eleccionde ε.

∴ limAn = A⇒ lim inf An = A y lim supAn = A.

(⇐=) Suponiendo que lim inf An = lim supAn, por demostrar limAn = A con la metricade Hausdorff.Sea A = lim supAn ası A 6= ∅ y A es cerrado, es decir A ∈ 2X .Sea ε > o probemos que:a) Existe M1 ∈ N tal que A ⊆ N(ε, An) ∀n ≥M1 yb) Existe M2 ∈ N tal que An ⊆ N(ε, A) ∀n ≥M2.

Demostracion (a):Observemos que la familia Bε/2(a) : a ∈ A es una cubierta abierta para A, y como Aes cerrado no vacio contenido en el compacto X ⇒ A es compacto, entonces existe unasubcubierte finita, es decir existe m ∈ N y a1, a2, a3, ...am ∈ A tal que


A ⊆ Bε/2(a1) ∪Bε/2(a2) ∪ ...Bε/2(am), es decirA ⊂

⋃mi=1Bε/2(ai).

Como A = lim inf(An) = x ∈ X : ∀ ε > o, ∃ N ∈ N tal que Bε(x) ∩ An 6= ∅ ∀ n ≥ N yai ∈ A ∀ i = 1, 2, ...,m

Luego dado λ > 0 tal queBλ(ai)∩An 6= ∅ ∀ n ≥ N , asi para cada i ∈ 1, 2, ...,m existe Ni ∈N tal que si

n ≥ Ni ⇒ Bλ(ai) ∩ An 6= ∅,

Sea M1 = MaxN1, N2, ..., Nm, asi dado n ≥M1 y i ∈ 1, 2, ...,m entonces Bε(ai) ∩An 6=∅. Afirmamos A ⊆ N(ε, An)∀ n ≥M1.En efecto, Sea n ≥M1 y a ∈

⋃mi=1Bε/2(ai)⇒ ∃ i ∈ 1, 2, ...,m tal que a ∈ Bε/2(ai), i.e.

d(a, ai) < ε/2

Ademas para las n ≥M1 existe x ∈ Bε/2(ai) ∩ An, luego

d(a, x) ≤ d(a, ai) + d(ai, x) < ε/2 + ε/2 = ε,

Por lo tanto,

d(a, x) < ε⇒ a ∈ N(ε, An) para n ≥M1

Demostracion (b):Supongamos que (b) es falsa, esto es ∀ N ∈ N,∃ n′s ≥ N tal que An * N(ε, A), asi para

N = 1 ∃ n1 ≥ 1 tal que (An1) * N(ε, A), paraN = n1 + 1 ∃ n2 > n1 tal que (An2) * N(ε, A)

Asi de manera inductiva, existe una sucesion de numeros naturales n1 < n2 < ... tal que

(Ank) * N(ε, A) ∀ k ∈ N.

Luego para cada k ∈ N tomemos Xnk∈ Ank

− N(ε, A) ⊆ X. Como X es compacto, existeun x0 ∈ X y una subsucesion xnki

∞i=1 de xk∞k=1 tal que xnki→ x0.

Observemos que

∀i ∈ N, xnki∈ X −N(ε, A) y X −N(ε, A)

Es un conjunto cerrado en X, entonces

limxnk= x0 ∈ X −N(ε, A)⇒ x0 /∈ A.

Ahora, limxnki= x0 y Anki

∞i=1 es una subsucesion de An∞n=1 entonces por la caracteri-zacion de lim supAn que dimos en la proposicion anterior se tiene:


x0 ∈ lim supAn = A⇒ x0 ∈ A,

lo cual es una contradiccion. por lo tanto (b) es verdadera i.e.

existe M2 ∈ N tal que An ⊆ N(ε, A) ∀n ≥M2.Como ya se probo (a) y (b) tomamos

N = maxM1,M2

entonces para n ≥ N , tenemos

A ⊆ N(ε, An) y An ⊆ N(ε, A)⇒ H(A,An) < ε si n ≥ N .

Por lo tanto limAn = A ∈ 2X con la metrica de Hausdorff.

6 Conclusiones

Observamos en el trabajo una descripcion apropiada de convergencia con respecto a lametrica de Hausdorff, de cuando una sucesion converge en el hiperespacio 2X . Donde ellim sup y el lim inf de una sucesion juegan papeles muy importantes para saber cuando pasaesta convergencia, como se puede ilustrar en los ejemplos. Nuestro principal objetivo nosmuestra la relacion que hay entre el lim sup(An), lim inf(An) y la convergencia en 2X cuandotiene una metrica que es la metrica de Hausdorff en 2X

Referencias

[1] Illanes Mejia, Alejandro. Hiperespacios de continuos. Aportaciones Matematicas num28, Sociedad Matematica Mexicana, 2004.

[2] Munkres, James R. Topologıa. Prentice Hall.

[3] Escobedo, Raul, Macıas, Sergio, Mendez, Hector. Invitacion a la Teorıa de los Con-tinuos y sus Hiperespacios. Aportaciones Matematicas num 31, Sociedad MatematicaMexicana, 2006.

[4] Nadler, S.B. Jr. Continuum Theory: An Introduction, Monographs and Textbooks inPure and Applied Math. Vol 158. Marcel Dekker, New York, Basel, Hong Kong, 1992.

[5] Whyburn, G.T. General Topology. Addison–Wesely Publishing Co., 1970.

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