7/24/2019 Metodo de diferencias finitas para EDP de segundo orden.

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Universidad Nacional Autonoma de

Honduras

UNAH -VS

Departamento de Fsica

Laboratorio de electricidad y magnetismo 2

LF-415

Apuntes Clase #2

7/24/2019 Metodo de diferencias finitas para EDP de segundo orden.

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Diferencias finitas para E.D.P.

En lo sucesivo consideramos las notaciones para E.D.P. siguientes: Supongamos una E.D.P.de orden 2 para la funcion V(x, y) dada por:

AVxx+Buxy+CVyy =f(x , y , V , V x, Vy)

Elptica: B2 4AC 0.

Ejmplo : Ecuacion de ondas utt u

xx= f(x, y).

Mallado

Denotamos por la region del plano sobre la que se define V(x, y), Res la frontera de .

Considerada una red o malla de puntos

{(xi, yj) :i = 0, 1, . . . , N + 1, j = 0, 1, . . . , M + 1}.

Para la region , llamaremos:

Vi,j =V(xi, yj) sera el valor exacto de la solucion de la E.D.P.

Ui,j al valor numerico proporcionado por un metodo de resolucion aproximada de la E.D.P.

Supongamos que es como se muestra y que hacemos un mallado rectangular

Notemos que algunos puntos de nuestro mallado estaran fuera de , en cambio si es unrectangulo esto no sucede.

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El metodo de diferencias finitas es mucho mejor cuando las regiones son regulares. Trabaja-remos considerando que = [a, b][c, d], es decir un rectangulo como el de la figura anterior.

Podemos definir

xi=a+ (i 1)k con k = b a

N 1

yj =c+ (j 1)h con h= d c

M 1

k es el espaciado del mallado en el eje xy h es el espaciado en y.

Formulas de aproximacion de derivadas parciales

Podemos encontrar formulas de aproximacion de funciones de varias variables al considerar

una serie de Taylor para funciones en varias variables o tambien extender las que ya tene-mos, recordando que al derivar parcialmente con respecto a una variable las restantes setoman como constantes.

De nuestra clase anterior recordemos que

f(x) = f(x+h) f(x)

h + O(h),

por lo que

V(x, y)x

= V(x+h, y) V(x, y)h

+ O(h)

V(x, y)

y =

V(x, y+h) V(x, y)

h + O(h).

Ademas recordemos que

f(x) =f(x+h) 2f(x) +f(x h)

h2 + O(h2),

entonces

2V(x, y)

x2 =

V(x+h, y) 2V(x, y) +V(x h, y)

h2 + O(h2)

2V(x, y)

y2 =

V(x, y+h) 2V(x, y) +V(x, y h)

h2 + O(h2).

Siguiendo la misma idea podemos extender todas las formulas de aproximacion con las quetrabajamos en la clase anterior.

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Problema de Laplace Dirichlet

Resolver usando diferencias finitas.

2V(x, y)

x2 +

2V(x, y)

y2 = 0, (x, y) = [a, b] [c, d]

V(x, y) =g(x, y), (x, y) .

Mallado bidimensional

(xi, yj) = (a+ (i 1)k, b+ (j 1)h).

Tomando h= k .

(xi, yj) = (a+ (i 1)h, b+ (j 1)h).

Aproximaciones de segundo orden

2Vi,j

x2

Ui+1,j 2Ui,j+ Ui1,j

h2

2Vi,j

y2

Ui,j+1 2Ui,j+ Ui,j1h2

.

2Vi,j

x2 +

2Vi,j

y2 = 0

Ui+1,j 2Ui,j+ Ui1,jh2

+Ui,j+1 2Ui,j+ Ui,j1

h2 = 0

Agrupando obtenemos

4Ui,j+ Ui+1,j+ Ui1,j+ Ui,j+1+Ui,j1= 0, i, j = 1, 2, 3, . . . , M .

La molecula computacional del metodo es

Por la condicion de contorno sabemos el valor de V en ciertos nodos, estos nodos estanmarcados en rojo en la figura siguiente

De lo anterior

4Ui,j+ Ui+1,j+ Ui1,j+ Ui,j+1+Ui,j1= 0, i, j = 2, 3, . . . , M 1.

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Forma matricial del problema

AAAUUU=BBB

Donde

UUU= {U22, U32, . . . , U M1,2, U23, U33, . . . , U M1,3. . . , U 2,M1, U3,M1, . . . , U M1,M1}T

AAA=

D II D I

I D I. . . . . . . . .

I D II D

,

dondeIdenota a matriz identidad de dimension M 2, ademas

D=

4 11 4 1

1 4 1. . .

. . . . . .

1 4 11 4

BBBT

={g12+g21, g31, . . . , gM2,1, gM1,1+gM,2, g13, . . . , gM,3, . . . , g1,M1,+g2,M, g3,M, . . . , gM1,M,+gM,M1},

dondeg(xi, yi) =gi,j.

Caso M= 5

AUAUAU=BBB

4 1 0 1 0 0 0 0 01 4 1 0 1 0 0 0 00 0 4 0 0 1 0 0 0

1 0 0 4 1 0 1 0 00 1 0 1 4 1 0 1 00 0 1 0 1 4 0 0 10 0 0 1 0 0 4 1 00 0 0 0 1 0 1 4 10 0 0 0 0 1 0 1 4

U22U32U42U23U33U43U24U34U44

=

g12+g21g31g41+g52

g130

g53g14+g25

g35g45+g54

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1. Ejercicios propuestos

Resolver en forma clara y ordenada dejando evidencia de sus procedimientos.

1. Obtener la expresion matricial y la molecula computacional para el metodo de dife-rencias finitas en los siguientes problemas de contorno. Considerar N=M= 4

2V(x, y)

x2 =

V(x, y)

y , (x, y) = [a, b] [c, d]

v(x, y) =g(x, y), (x, y) .

Usando cada una de las formulas de aproximacion,

a)

2Vi,j

x2 =

Vi+1,j 2Vi,j+ Vi1,jh2 + O(h

2

),

Vi,j

y =

Vi,j+1 Vi,jh + O(h).

b) 2Vi,j

x2 =

Vi+1,j 2Vi,j+ Vi1,jh2

+ O(h2), Vi,j

y =

Vi,j+1 Vi,j12h

+ O(h2).

c) 2Vi,j

x2 =

Vi+2,j 2Vi+1,j+ Vi,jh2

+ O(h), Vi,j

y =

Vi,j Vi,j1h

+ O(h).

2. Aplicando diferencias finitas para cada caso y con la ayuda de una calculadora pro-

gramable encontrar la solucion en cada nodo; usar las aproximaciones:

2Vi,j

x2

Ui+1,j 2Ui,j+ Ui1,jk2

2Vi,j

y2

Ui,j+1 2Ui,j+ Ui,j1h2

.

a) 2V = 0

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b) 2V =x(y 1), = [0, 1] [0, 1].

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