8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

1/9

METODO DE GAUSS-SEIDEL

La complejidad que presenta la obtención de una solución formal del problema delas cargas en una red de energía, radica en las diferencias en el tipo de datosespecificados para las distintas barras del sistema. Aunque no es difícil la

formulación del número de ecuaciones suficiente, no es práctico obtener unasolución directa. La resolución de los problemas de carga por el método digitalsigue un proceso iterativo, asignando valores estimados alas tencionesdesconocidas en las barras y calculando una de las tenciones en las barras apartir de los valores estimados en las otras y las potencias real y reactivaespecificadas. e esta forma se obtiene un nuevo conjunto de tensiones en lasbarras, que se emplea para calcular otro conjunto de tensiones en las barras! cadacálculo de un nuevo conjunto de tensiones se llama iteración. "l proceso iterativose repite #asta que los cambios en cada barra son menores que un valor mínimoespecificado.

DIAGRAMA UNIFILAR

"$aminamos primero la solución que e$presa la tensión de una barra comofunción de las potencias real y reactiva entregadas a la barra por los generadoreso suministrada a la carga conectada a la barra, las tensiones estimadas opreviamente calculadas en las otras barras y las admitancias propias y mutuas delos nudos. Las ecuaciones fundamentales se obtienen partiendo de unaformulación nodal de las ecuaciones de la red. educiremos a las ecuaciones paraun sistema de cuatro barras! después, escribiremos las ecuaciones generales.esignando la barra oscilante con el número %, partiremos para el cálculo de la

barra &. 'i  P2Y Q2  son las potencias real y reactiva previstas que entran al

sistema en la barra &,

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

2/9

  V 2 I 2¿= P

2+ j Q

2

(%)

e donde  I 2  se e$presa como*

   I 2= P

2− jQ

2

V 2

¿

(&)

+ en términos de las admitancias propias y mutua, se los nudos omitiendo losgeneradores y las cargas, opuesto que la corriente en cada nudo se e$presa comoen la ecuación (&).

  P

2− j Q

2

V 2

¿   =Y 21V 1+Y 22V 2+Y 23V 3+Y 24 V 4   ()

+ despejando V 2  da

V 2=

  1

Y 22 [ P2− j Q2V 2¿   −(Y 21V 1+Y 23 V 3+Y 24V 4)]   (-)

La ecuación (-) da un valor de V 2   corregido sobre la base de los valores

 P2Y Q

2   previstos, cuando los valores estimados inicialmente se sustituyen en el

segundo miembro las e$presiones de las tensiones. "l valor calculado para V 2

y el valor estimado para V 2¿

 no coincidirán. 'ustituyendo el conjunto del valor de

V 2  por V 2

¿

 en la ecuación (-) para calcular otro valor de V 2 , se conseguirá

una concordancia con un buen grado de e$actitud después de varias iteraciones y

seria el valor corregido de V 2  con las tensiones estimadas y prescindiendo de

la potencia e las otras barras. "ste valor no sería, sin embargo, la solución paraV 

2  con las condiciones de cargas especificadas, porque las tensiones sobre las

que se basa el cálculo de V 2  son valores estimados en las otras barras y las

tensiones reales no son todavía conocidas. 'e recomiendan en cada barra dos

cálculos sucesivos de V 2  (el segundo igual que el primero, salvo la corrección

de V 2¿

), antes de pasar a la siguiente.

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

3/9

"l valor corregido de la tensión, determinado en cada barra, se usa para calcular la tensión corregida de la siguiente. "l proceso se repite sucesivamente en todaslas barras (e$cepto en la oscilante) a lo largo de la red para completar la primeraiteración. espués se vuelve a realiar todo el proceso, una y otra ve, #asta queel valor de la corrección de la tensión en cada barra es menor que el índice de

precisión determinado."ste procedimiento de solución de ecuaciones lineales algebraicas se conocecomo el método iterativo de /auss0'eidel, si a través del proceso iterativo seutilia el mismo conjunto de valores en la tensión (en lugar de sustituirseinmediatamente el nuevo valor obtenido para el cálculo de la tensión en la pró$imabarra), el proceso se le llama método iterativo de /auss.

"s posible el desembocamiento en una solución errónea si las tensiones departida son muy diferentes de los valores correctos. "ste desembocamientoerróneo puede evitarse si las tensiones de partida tienen valores raonables y no

difieren en fase. Las soluciones indeseables se distinguen fácilmenteinspeccionando los resultados, puestos que las tensiones del sistemanormalmente no tiene un intervalo de fase mayor que -12 y la diferencia entrebarras adyacentes es menor a %32 y frecuentemente más peque4a.

La tensión calculada en cualquier barra 5, para un total de 6 barras  P K Y P K 

dados, es*

  V  K =  1

Y  KK  ( P K − j Q K 

V  K ¿   −∑

n−1

 N 

Y  Kn V n)   (1)'iendo n≠ k  . Los valores de las tensiones en el segundo miembro de la

ecuación son los mejores valores previos para las barras correspondientes! estoes, cada tensión es la calculada por la última iteración (o la tensión estimada si noasido efectuada la iteración en la barra en cuestión).

7omo la ecuación (1) se aplica solamente en las barras en las que las potenciasreal y reactivas están especificadas, es preciso un paso adicional en las barras enla que la tensión a de permanecer constante.

La e$periencia con el método de /auss0'eidel de resolución de los problemas de

distribución de energía #a demostrado que se necesita un número e$cesivo deiteraciones antes de que la tensión corregida este dentro de un índice aceptablede precisión, si la tensión corregida en una barra remplaada simplemente almejor valor anterior al progresar los cálculos entra las barras. "l número deiteraciones necesarias se reduce considerablemente si la corrección de la tensiónde cada barra se multiplica por alguna constante que aumenta el valor de lacorrección para llevar el valor de la tensión más pró$imo al valor que está

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

4/9

convergiendo. Los multiplicadores que permiten esta convergencia mejorada sedenomina factores de aceleración. La diferencia entre la tensión calculadanuevamente y el mejor valor anterior de la tensión en la barra se multiplica por elfactor de aceleración apropiado para obtener una corrección mejor que a4adir alvalor anterior. "l factor de aceleración para la componente real de la corrección

puede ser distinto del de la componente imaginaria. 8ara un sistema cualquiera,e$isten valores óptimos para el valor de los factores de aceleración, y una eleccióndesafortunada de tales factores puede dar lugar a una convergencia menos rápidao #acer imposible dic#a convergencia.

"n una barra en la que se #aya especificado el módulo de la tensión en lugar de lapotencia reactiva, las componentes real e imaginaria de la tensión para cadaiteración, se determinan calculando primero un valor para la potencia reactiva. ela ecuación (1) deducimos*

   Pk −

 jQk =

(Y kk V  k 

+∑n=1

 N 

Y kn V n)V k 

¿

(6)

onde n≠ k  . 'i permitimos que n=k  .

 Pk − jQk =V k ¿

  ∑n=1

 N 

Y kn V n

(9)

  Qk =−ℑ{V k ¿∑

n=1

 N  Y kn V n}(8)

"n la que el símbolo ℑ  significa parte imaginaria de.

La potencia relativa Qk   se evalúa por medio de la ecuación (:) para los valores

mejores previos de las tensiones en las barras, y este valor de Qk   se sustituye

en la ecuación (1) para determinar una nueva V k  . Los componentes de la

nueva V k    se multiplica después por la relación del módulo constante

especificado V k   al módulo de V k   calculado por la ecuación (1). "l resultado

es la tensión compleja corregida del valor especificado.

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

5/9

Los estudios de las cargas pueden facilitarse con el uso de ecuaciones quecomprenden la matri de impedancia de barra. ;ecalcamos, sin embargo que losgeneradores y las cargas se consideran e$ternas a la red cuando se solucionanlas ecuaciones de carga en términos de las admitancias de nudo propia y mutua.'i e$cluimos los generadores y las cargas, las impedancias de todas las barras a

tierra se componen únicamente de caminos de alta impedancia talas como lacapacitancia de la línea a tierra, los condenadores estáticos y la impedanciadebida a la corriente magnetiante del transformador. "sto significa que lacorriente aplicada a un nudo encuentra una alta impedancia a su flujo si todos losotros nudos están en circuito abierto, como es el caso de la medición de lasimpedancias en el nudo del transformador. Así, estas impedancias son muy altasy, si se desprecian los caminos a tierra, se #acen infinitas. 8or eso si caminamos a

tierra, el determinante de Y barra  es cero y en inverso no e$iste. Los estudios de

carga basados en la matri de impedancia de barra designan la barra del

generador oscilante como referencia para la definición deY 

barra  yZ 

barra . Laecuación para la matri de tenciones nodales con la barra de neutros comoreferencia es*

  V =Z barra+V  R

(9)

onde V  R   es la matri columna cuyos elementos son la tensión de la barra

oscilante.

 

METODO DE NEWTON-RAPHSON

La e$pansión en series de

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

6/9

cargas. Las derivadas parciales de orden superior a uno se desprecian en la seriede términos de la e$pansión de

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

7/9

7omo veremos, para cada iteración serán calculados los cambios en una a p  y

b p , aunque la suma de los cuadrados de a p   y b p   deban converger al

cuadrado del valor especificado en la barra de tensión controlada.

"n el proceso iterativo los valores calculados de  Pk Q k   o ?   V  P │2

 deben ser 

comparados con los valores especificados, y se definen en los siguientestérminos*

  B   Pk = Pk ,espec− Pk ,calc   (%1)

  B   Qk =Q k ,espec−Qk ,calc

(%C)

D si se especifica el valor de la tensión en la barra E.

  B?   V k │2=│V k , espec│

2−│ V k ,calc│

2

(%9)

"stos valores de B   Pk ,  B   Qk ,  y B?   V k │2

 son entonces usados para calcular 

nuevos valores para las tensiones de barra usando una ecuación que daremossolo para un sistema de tres barras, donde la barra % es la barra oscilante, la barra

&, la barra de carga con  P2Y Q2  especificados y la barra , barra con  P3  y ?

V k │ especificadas.

La ecuación para el sistema de barras, omitiendo la barra oscilante es*

  (%:)

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

8/9

La matri cuadrada de derivadas parciales se llama jacobiana. Los elementos dela jacobiana se encuentran tomando las derivadas parciales de las e$presiones

para  Pk  y Qk   y sustituyendo en ellas las tensiones supuestas en la primera

iteración o calculadas en la última iteración. Las cantidades desconocidas en laecuación (%:) son los elementos de la matri columna de incrementos en lascomponentes real e imaginaria de las tensiones. La ecuación se puede solucionar 

invirtiendo la jacobiana. Los B   ak   y B   bk   se agregan a los valores anteriores de

tensión para obtener nuevas tensiones y calcular  Pk  y Qk    o ?   V k │2

, y el

proceso se repite #asta que se alcance el índice de precisión deseado. "l métodose resume en los siguientes pasos*

%. 'e calculan  Pk   y Qk   o ?   V k │2

(para toda k =1,  donde la barra %

es la barra oscilante) de las tensiones obtenidas por la iteración de /auss0'eidel para la primera iteración de 6e=ton0;ap#son y obtenida en el paso1 para iteraciones siguientes se usan las ecuaciones (%) y (%-).

&. 'e determinan  Pk    y Qk    o ?¿

V k │2¿   para toda k =1 ) de las

ecuaciones (%1) a (%9). 'i todos los valores son menores que el índice de

precisión, para las iteraciones, se calculan  P1 y Q1  y se da la solución

completa incluyendo el flujo de la línea y otros resultados deseados.. 'i no se #a alcanado la precisión deseada, se evalúan los elementos de la

 jacobiana sustituyendo en las ecuaciones de las derivadas parciales

(obtenidas por diferenciación de las ecuaciones para  Pk    y Qk  ) las

tensiones supuestas para la primera iteración u obtenidas en el paso 1 paraiteraciones siguientes.

-. 'e resuelve la ecuación (%:) para B   ak   y B   bk    (para todo k  e$cepto

k =1 ).1. 'e determinan las nuevas tensiones de las barras agregando los

incrementos de tensión a los valores anteriores.

C. 'e agrega al paso %."l número de iteraciones requeridas por el método de 6e=ton0;ap#son usandolas admitancias de las barras es prácticamente independiente del número debarras.

 "l tiempo para el método de /auss0'eidel aumenta casi directamente con elnúmero de barras. e otro lado, el cálculo de los elementos de la jacobianaconsume tiempo y el tiempo por iteración es considerablemente más largo en el

8/18/2019 Metodo de Gaus Unidad 3

9/9

método de 6e=ton0;ap#son. A e$cepción de sistemas muy peque4os, para lamisma e$actitud el método de 6e=ton0;ap#son consume menos tiempo decomputador.