UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA MATEMATICA II

METODOS DE INTEGRACION:CASO: INTEGRACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:

∫ sennxdx, ∫cosnxdx, ∫ tgnxdx, ∫ ctgnxdx∫ senmxcosn xdx, ∫ tgmxsecn xdx, ∫ ctgmxcosec n xdx

Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes:

A) Para el cálculo de las integrales de la forma:

∫ senm xdx ,∫ cosnxdx

Se presentan dos casos:

Caso 1: Cuando “n” es un número entero positivo par se usan las identidades siguientes:

sen2 x=1−cos2 x

2 , cos2 x=1+cos2 x2

Caso 2: Cuando “n” es un número entero positivo impar a las integrales de esta forma las expresaremos de esta forma:

∫ se nn xdx = ∫ senn−1 xsenxdx

∫cosn xdx = ∫cosn−1 x cos xdx

Luego se usa la identidad trigonométrica: sen2 x+cos2 x=1

Ejemplos: Calcular las siguientes integrales

1. ∫ sen2 3 xdx 2. ∫cos4 2 xdx 3. ∫ sen3 4 xdx

1.∫ sen23 xdx

SOLUCIÓN:

Si el exponente es par usamos la identidad: sen2 3x = 1−cos6 x

2

∴ ∫ sen2 3 xdx = ∫ 1−cos 6 x2

dx

= 12∫ (1−cos 6 x )dx =

12∫ dx-

12∫ cos6 xdx=

x2− sen6 x

12 +C Rpta

Entonces podemos tener las siguientes integrales:

∫ sen(nx)dx=−cos (nx )n +C

∫cos (nx )dx=sen (nx )n

+C

2. ∫cos4 2 xdx

SOLUCION

∫cos4 2 xdx = ∫¿¿dx = 14∫ (1+2 cos4 x+cos2 4 x )dx

14∫ (1+2 cos4 x+cos2 4 x )dx =1

4∫ dx+24∫ cos 4 xdx+1

4∫ cos24 xdx

=14 x+

12.sen 4 x

4 +14∫

1+cos8 x2

dx = 14 x+

12.sen 4 x

4 +14 [

12∫ dx+

12∫ cos8 xdx

= 14 x+

18sen4x+

18x+

18 .

18sen8x+C =

38x+

18sen4x+

164sen8x+C Rpta

3.∫ sen3 4 xdx SOLUCION

∴ ∫ sen3 xdx= ∫ sen2 4 xsen 4 xdx = ∫ (1−cos2 x ) sen 4 xdx

∫ sen4 xdx - ∫cos2 4 xsen 4 xdx = -cos4 x

4 + cos3 4 x12

+ C

OBSERVACION: En forma practica se pueden integrar las siguientes funciones:

∫ senn (kx ) cos ( kx )dx = senn+1(kx)

(n+1 )k +C

∫cosn (kx ) sen (kx )dx = cosn+1(kx )(n+1 ) k +C

Hallar: ∫cos5 3xdx

B) Para el cálculo de las integrales de la forma:

∫ tgn xdx ,∫ctgn xdx

Se presentan los siguientes casos:

CASO1: Si “n” es un numero entero par positivo, a las integrales dadas se les reduce asi:

∫ tgn xdx = ∫ tgn−2 x tg2 xdx

∫ ctgn xdx = ∫ ctgn−2 x ctg2dx

Se usan luego la identidades trigonométricas pitagóricas:

1+ tg2 x=sec2 x ; 1+ c tg2 x=co sec2 x

CASO 2: Si “n” es un numero entero positivo impar, a las integrales dadas se expresan en la forma:

∫ tgn xdx = ∫ tgn−1 x tg xdx = ∫¿¿tgxdx∫ c tgn xdx = ∫ c tgn−1 xtg xdx = ∫¿¿tgxdx

Se usan luego la identidades trigonométricas pitagóricas:

1+ tg2 x=sec2 x ; 1+ c tg2 x=co sec2 x

Ejemplos de aplicación:

1. ∫ tg2 xdx

2. ∫ ctg4 xdx

3. ∫ tg6 xdx

4. ∫ tg3 5xdx

5. ∫ c tg53 xdx

Tacna, 9 de enero del 2014Docente: Ingº Luis Nina Ponce