Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MN

MÉTODO DE LA REGLA FALSA (O MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN)Clase 4

03-Junio-2014

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

• Un defecto del método de bisección, es que al dividir el intervalo 𝑎, 𝑏 en

mitades iguales no se toma en cuenta la magnitud de 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓 𝑏 ; y si por

ejemplo 𝑓(𝑎) esta mas cerca de cero que 𝑓(𝑏), es razonable que la raíz se

encuentre mas cerca de 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑏, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑋𝑅 = 0.


• El método de la regla falsa aprovecha la idea de unir los puntos

𝑎, 𝑓 𝑎 𝑦 (𝑏, 𝑓 𝑏 ) con una línea recta. La intersección de esta línea con el

eje 𝑥 proporciona una mejor estimación de la raíz. Al igual que el método

de bisección, se toma ese punto como el nuevo valor extremo del intervalo,

y se elimina el subintervalo que no contenga la raíz.


• El procedimiento se repite hasta que se logre una aproximación con un error

cercano a cero. El reemplazo de la curva por una recta da una posición falsa de la

raíz. De aquí que se pueda considerar con un método de interpolación lineal.

• La formula para la predicción de la nueva aproximación a la raíz se puede obtener

de la ecuación de la línea que pasas por los puntos extremos del intervalo

seleccionado: 𝑎, 𝑓 𝑎 𝑦 (𝑏, 𝑓 𝑏 ). El punto donde la recta corta al eje 𝑥 se obtiene

mediante la ecuación.

𝑋𝑅 = 𝑏 −𝑓(𝑏)(𝑎 − 𝑏)

𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)


• La ecuación de la recta donde se conoce un punto sobre la misma y su

pendiente es:

• Que en la recta de la figura 1 es

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ……… . (1)


𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 Primera iteración del

Método de la Falsa Posición


• Que en la recta de la figura 1 es

• En la intersección de esta recta con el eje 𝑥 se cumple la condición en que

𝑓 𝑥 = 0, por lo que al despejar 𝑥 se obtiene:

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑏 =𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏

𝑎 − 𝑏𝑥 − 𝑏 …… . . (2)

𝑋𝑅 = 𝑏 −𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏…… . . (3)


• La ecuación (3) es la ecuación usada para predecir la nueva aproximación

a la solución, la cual incluye como se señalo, los valores de las funciones

evaluadas en el intervalo.


• Algoritmo

1. Seleccionar los valores iniciales de 𝑎 𝑦 𝑏 y evaluar 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) en este

intervalo, de manera que la función cambie de signo. Establecer una

tolerancia de error.

2. La primera aproximación de la raíz se calcula por medio de la ecuación

(4)

𝑋𝑅 = 𝑏 −𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏…… . . (4)


• Algoritmo

3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar si se encontró la raíz o

para saber en que subintervalo se localiza.

Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 = 0 ⟹ la raíz es igual a 𝑋𝑅 y se terminan los cálculos.

Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 > 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋𝑅 𝑦 𝑏. Hacer 𝑎 = 𝑋𝑅 y pasar al

punto 4.

Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 < 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋𝑅 𝑦 𝑎. Hacer 𝑏 = 𝑋𝑅 y pasar al

punto 4.


• Algoritmo

4. Calcular el nuevo 𝑋𝑅 con la ecuación 4.

5. Calcular el error aproximado, con la ecuación (5) para decidir si la nueva

aproximación cumple con el criterio de error establecido. Si es así los

cálculos terminan, en caso contrario se regresa al paso 3.

𝑒𝑝 =𝑋𝑅𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑋𝑅

𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑋𝑅𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 ∗ 100…… (5)


• Ejemplo 1 (Archivo mne2-2v3)

• Aplicar el método de la regla falsa para encontrar la raíz real mayor del

polinomio.

• Realizar el proceso iterativo hasta que se cumpla un 𝒆𝒑 < 𝟎. 𝟎𝟏𝟓%

𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3 + 16.2965𝑥2 − 21.963𝑥 + 9.36


• Solución

• Para iniciar el problema se genera una gráfica de la ecuación

• En el intervalo de valores de "𝒙“ 𝐝𝐞 − 𝟑 𝐚 𝟑. Para esto se siguen los pasos que

se indican en el archivo de como graficar en Excel.

𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3 + 16.2965𝑥2 − 21.963𝑥 + 9.36

𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3 + 16.2965𝑥2 − 21.963𝑥 + 9.36

Figura 2 Gráfico de la Función


• La grafica de la figura 2 muestra que en el intervalo de 0 a 2.5 existen tres

cambios de signo, por lo que las raíces del polinomio se localizan en el.

Dependiendo de los valores iniciales seleccionados, se podrá localizar

cualquiera de las tres raíces.


• Implementación de la regla falsa mediante el uso de Excel

1. De acuerdo a la grafica de la figura 2, seleccionar un intervalo de 2.1 a

2.5 para encontrar la raíz mayor del polinomio, ya que en el se presenta un

cambio de signo en el valor de la función, por lo que estos puntos pueden

ser los valores corresp0pndientes de 𝑎 𝑦 𝑏 para aplicar el algoritmo.



2. Construir en Excel la tabla que aparece en la figura 3, en las que se

incluyen diferentes columnas para: el número de iteración (columna A),

los valores de los extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏 (columnas B y C), los valores

de la evaluación de la función en los extremos del intervalo

𝑓 𝑎 𝑦 𝑓 𝑏 columnas (D y E), el calculo de 𝑋𝑅 (columnas F), la evaluación

de la función en 𝑋𝑅 , 𝑓(𝑋𝑅) (columna G) y el porcentaje de error

aproximado (columna H).

Figura 3 Tabla para iniciar el método de la regla falsa



3. Introducir los valores de la iteración inicial y de los extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏, en

las celdas A70, B70 y C70, respectivamente.

4. Introducir la formula para evaluar la función en las celdas D70 y E70, para lo cual

hay que tener cuidado que el valor que se utilice sea el de la celda con la que

tenga correspondiente, por ejemplo para evaluar 𝑓(𝑎) se deberá utilizar los

valores de 𝑎, que se encuentran en la celda B70, para evaluar 𝑓(𝑏) se deberá

utilizar el valor de 𝑏, que se encuentra en la celda C70, como se muestra en la

figura.



5. Introducir la celda F70 la formula para evaluar 𝑋𝑅 (ecuación 4) y evaluar la

función en ese punto 𝑓(𝑋𝑅) en la celda G70.

6. Seguir los pasos 6 al 11 del ejemplo (mne2-1v3) correspondientes a la

implementación del algoritmo de bisección mediante el uso de Excel, ya que los

algoritmos del método de bisección y del método de la regla falsa son muy

parecidos, al final se obtiene el valor de la raíz, el cual aparece en la tabla de la

figura 4.

Figura 4 Presentación de las iteraciones para el calculo de la raíz mayor del polinomio

𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3 + 16.2965𝑥2 − 21.963𝑥 + 9.36


• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual

Basic

1. De acuerdo a la gráfica de la figura 2, se puede seleccionar el intervalo

de 2.1 a 2.5 para encontrar la raíz mayor del polinomio, ya que en el se

presenta un cambio de signo en el valor de la función, por lo que estos

puntos pueden ser los valores correspondientes de 𝑎 𝑦 𝑏 para aplicar el

algoritmo.


• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual Basic

2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 5 se abre una hoja nueva y se etiquetan las

celdas a emplear de acuerdo al algoritmo. En este caso deberán aparecer: el porcentaje de

error (celda B4), el valor inicial de 𝑎 (celda B6), el valor inicial de 𝑏 (celda B8) y el valor de la raíz

(celda B10). También se etiquetan las columnas de la tabla de resultados que aparecerá con los

siguientes datos: numero de iteración (columna A), valor de 𝑎 (columna B), valor de 𝑏 (columna

C), evaluación de la función en el punto 𝑎, 𝑓(𝑎) (columna D), evaluación de la función en el

punto 𝑏, 𝑓(𝑏) (columna E), producto de 𝑓 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑏) (columna F), calculo de la aproximación 𝑋𝑅

(columna G), evaluación de la función en 𝑋𝑅 (columna H) y el porcentaje de error aproximado

𝑒𝑝 (columna I).



Basic

3. Una vez hecha la tabla de la figura 5 se incrustan los botones, los cuales se

etiquetan con las leyendas: “calcular” y “limpiar”, según se muestra en la

figura 6.

Figura 5 Tabla inicial para calcular las raíces del polinomio por el método de la regla falsa

Figura 6 Se incrustan los diferentes botones para el método de la regla falsa con Visual Basic



Basic

4. El botón correspondiente a “calcular” tiene el propósito de calcular la raíz

y tiene le siguiente código de programación.



Basic

5. El botón correspondiente a “limpiar” tiene el siguiente código de

programación.



Basic

6. La función se introduce en el código general



Basic

7. Una vez que se introdujeron los códigos anteriores, se ejecuta el programa

introduciendo los valores iniciales sugeridos en la gráfica, 𝑎 = 2.1, 𝑏 =

2.5 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 0.015, según aparece en la figura 7. La raíz

obtenida fue de 2.288534.

Figura 7 Calculo de la primera raíz por el método de la regla falsa con Visual Basic



Basic

8. Si se desea aproximar la otra raíz, se utiliza el botón “limpiar” y se cambian

los valores iniciales, en este caso los valores iniciales sugeridos según la

gráfica son: 𝑎 = 1.05, 𝑏 = 1.3 , y el porcentaje de error de 0.015, según

aparece en la figura 8. La raíz obtenida fue de 1.129710

Figura 8 Calcula de la segunda raíz por el método de la regla falsa con Visual Basic

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