METODO DE NEWTON RAPHSON
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MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB
ECUACIONES NO LINEALES - MÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE NEWTON RASPHSON DE PRIMER ORDEN
El método de Newton-Raphson es un método iterativo para encontrar la raíz de una ecuación no lineal. La
iteración de Newton se deduce al hacer la expansión de la serie de Brook Taylor.
Supongamos que el problema consiste en encontrar una raíz de 0)(xf .
Sea f una función diferenciable en 0x un valor aproximado de
*x raíz única en ];[ 00 ba , como :
2
0
*
0
*
00
* )())((')()( xxhxxxfxfxf
2
0
*
0
*
0'0 )())((')(0 xxhxxxfxf , si 0)(' *xf tenemos:
2
0
*
0
*
0
0 )()()('
)(0 xxhxx
xf
xf entonces
2
0
*
0
00
* )())('
)(xxh
xf
xfxx
Si despreciamos el último sumando obtendremos un valor aproximado de *x
Al que le denotamos por 1x : )('
)(
0
001
xf
xfxx
Con este mismo razonamiento se genera la sucesión { ix } donde:
I
iPara
xf
xfxx
i
iii
,2,1,0
)('
)(1
Geométricamente I resulta de intersecar el eje de abscisas con la recta tangente a la curva f , en el
punto )(; ii xfx .
raíz
ALGORITMO DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Newton
repeat
xx0 ;
)('
)(
0
00
xf
xfxx
until Errorxx 21
retorno raíz es x
end Newton
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo: Calcular los ceros de la función )sin()3/exp()5.0()( xxxf en ]3;3[x
Resolución
PLOTEO DE LA CURVA )sin()3/exp()5.0()( xxxf
1x 0x 2x 3x 4x
x
*x
%ploteo de la curva - método de newton x=-3:0.005:3; y=(0.5)*exp(x/3)-sin(x); plot(x,y,'k') xlabel('EJE DE ABSCISAS') ylabel('EJE DE ORDENADAS') grid zoom on title('Gráfica de f(x)=(0.5)*exp(x/3)-sin(x)');
----------------------------------------------------------------------------------------------------- %PROGRAMA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON function newton
nombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)= ','s');
x0=input(' ingrese el valor inicial : ');
fprintf ('\n');
fprintf (' it aprox g(x) error \n');
i=1; e=1; delta=0.001;
while e>=3E-12 & i<=18
x=x0;
fx0=eval(nombre_f);
x=x0-delta;
df1=eval(nombre_f);
x=x0+delta;
df2=eval(nombre_f);
dfx0=(df2-df1)/(2*delta);
r=x0-(fx0/dfx0);
e=abs((r-x0)/r);
fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6f\n',i,x0,r,e);
x0=r;
i=i+1;
end
fprintf('La raíz es :%10.9f\n',x0); ----------------------------------------------------------------------
COMPILACIÓN DEL PROGRAMA
%compilarlo digitando:
>> newton
Ingrese la función asociada f(x)=(0.5)*exp(x/3)-sin(x)
ingrese el valor inicial : 0.1
it aprox g(x) error
1 0.100000 0.607014 0.835259
2 0.607014 0.674587 0.100170
3 0.674587 0.677209 0.003872
4 0.677209 0.677213 0.000006
5 0.677213 0.677213 0.000000
6 0.677213 0.677213 0.000000
La raíz es: 0,677212890
PRÁCTICA DIRIGIDA CON MATLAB EN EL LABORATORIO DE CÓMPUTO
I.-PRÁCTICA DIRIGIDA DE LABORATORIO CON “MATLAB”
Encuentre los ceros de las funciones utilizando el método de Newton-Raphson para
las siguientes funciones :
1) xexf x)( 2) 753)( 23 xxxxg
3) 324)( 23 xxx 4) 11661242)( 234 xxxxx
5) zezzf 21)( newton complejo iniciar con iz 410
II. Utilice el método de Newton-Raphson para hallar los ceros de las siguientes funciones:
1) 964)()( 23 xxxSenhxxf 2) 0096.0)1/()01.0()().101.0()( 2xxxSenxxg
3) 2
485)( 23 xexxxx 4) xexTanx )2.9()1.0()(
5) Las frecuencias de vibración naturales de una viga uniforme sujeta en un extremo y libre en el otro
son soluciones de ITanhTan 01)().( .
Donde : EL
L2
L = longitud de la viga (m) = frecuencia )( 1s
EL = rigidez ante la flexión ( 2mN ) =densidad del material de la viga ( 3/ mkg )
Investigue primero con el método gráfico los valores de que satisfagan la ecuación y luego determine
por iteración de Newton los tres valores más bajos de que satisfacen la ecuación.
MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB
ECUACIONES NO LINEALES - MÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE SEGUNDO ORDEN El método de Newton-Raphson es un método iterativo para encontrar la raíz de una ecuación no lineal. La
iteración de Newton se deduce al hacer la expansión de la serie de Brook Taylor.
Supongamos que el problema consiste en encontrar una raíz de 0)(xf .
Sea f una función )1(k veces diferenciable en ba ; y continua en ];[ ba donde su desarrollo de Taylor
alrededor de 0x es:
!
))((
!3
))((
!2
))(())((')()( 00
3
00
'''2
00
''
000n
xxxfxxxfxxxfxxxfxfxf
nn
Considerando la aproximación cuadrática de f en el desarrollo de Taylor tenemos:
Ixxxf
xxxfxfxf !2
))(())((')()(
2
00
''
000
Si x es una raíz de f y 0xxh tenemos en I
2
)()(')(0
2
0
''
00
hxfhxfxf , una ecuación cuadrática en variable h la cual por la fórmula general se
obtiene:
2
)(''2
)(2
)(''4)]('[)('
0
002
00
xf
xfxf
xfxf
h
Reduciendo y simplificando tenemos:
)(''
)().(''2)]('[)('
0
00
2
00
0xf
xfxfxfxfxx
)(''
)().(''2)]('[)('
0
00
2
00
0xf
xfxfxfxfxx
Con este mismo razonamiento se genera la sucesión { 1nx }
)().(''2)]('[:
3,2,1,0)(''
)('
)(''
)('
2
1
1
nnnn
n
nn
nn
n
nn
nn
xfxfxfxDonde
nxf
xxfxx
xf
xxfxx
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
%PROGRAMA DE NEWTON-RAPHSON DE 2° ORDEN
function newton2orden
nombre_f=input('Ingrese la función f(x)=','s');
nombre_f2=input('Ingrese la derivada de f(x)=','s');
x0=input('Ingrese el valor inicial:');
fprintf('\n');
fprintf('it aprox g(x) error \n');
i=1; e=1; delta=0.001;
while e>3E-12 & i<=18
x=x0;
fx0=eval(nombre_f);
x=x0-delta;
df1=eval(nombre_f);
df3=eval(nombre_f2);
x=x0+delta;
df2=eval(nombre_f);
df4=eval(nombre_f2);
dfx0=(df2-df1)/(2*delta);
d2fx0=(df4-df3)/(2*delta);
ds=((dfx0).^2)-(2*(fx0.*d2fx0));
r=x0+((-dfx0)+sqrt(ds))./(d2fx0);
e=abs((r-x0)/r);
fprintf('%3.0f%10.6f%10.6f%10.6f\n',i,x0,r,e);
x0=r;
i=i+1;
end
fprintf('La Raiz es :%10.9f\n',x0);
----------------------------------------------------------------------
Ejemplo: Calcular los ceros de la función 33)2()( 2xxSenexf x en ]5;4[x
Resolución
PLOTEO DE LA CURVA 33)2()( 2xxSenexf x
%ploteo de la curva - método de newton-raphson de 2° orden
x=-4:0.05:5;
y=exp(-x)+sin(2*x)-3*x.^2+3;
plot(x,y)
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('Método Newton de 2° orden')ojo mayúsculas
gtext('f(x)=exp(-x)+sin(2*x)-3*x.^2+3')
grid on
COMPILACIÓN DEL PROGRAMA
%compilarlo digitando:
>> newton2orden
Ingrese la función f(x)=exp(-x)+sin(2*x)-3*x.^2+3
Ingrese la derivada de f(x)=-exp(-x)+2*cos(2*x)-6*x
Ingrese el valor inicial:-2
it aprox g(x) error
1 -2.000000 -1.722342 0.161210
2 -1.722342 -1.721178 0.000676
3 -1.721178 -1.721178 0.000000
4 -1.721178 -1.721178 0.000000
La raíz es: -1,721177705
PRÁCTICA DIRIGIDA CON MATLAB EN EL LABORATORIO DE CÓMPUTO
I.-PRÁCTICA DIRIGIDA DE LABORATORIO CON “MATLAB”
Encuentre los ceros de las funciones utilizando el método de Newton-Raphson de segundo orden para
las siguientes funciones:
1) 83)2()( 212
xxSenexf x 2) 23)()2()( 2 xxxSenhxSenxg
3) 12)()2()( 2 xxxCoshxCosx 4) 23)(2)()( 2 xxxSenxCoshx
II. Utilice el método de Newton-Raphson de segundo orden para hallar los ceros de las siguientes
funciones reales
1) 13)2()( xxSenexf x 2) 0096,0)1/()01,0()()101,0()( 2xxxSenxxg
3) 2
485)( 23 xexxxx 4) xexTanx )2,9()1,0()(
5) 964)()( 23 xxxSenhxxf 6) 33)2()( 2xxSenexg x
7) )2(
322 2
43)()( xSen
xe
ex
xxSenxf 8) 53)2(
33)( 23
2
2
xxLnxex
xxxf
x
MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB
ECUACIONES NO LINEALES - MÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE PUNTO FIJO
Definición.- (Punto fijo)
Un punto fijo de una función )(xg es un número real P tal que )(PgP .
Geométricamente hablando, los puntos fijos de una función )(xg son los puntos de intersección de la
curva )(xgy con la recta xy .
Definición (Iteración del punto fijo)
La iteración )(1 nn pgp para ;3;2;1n se llama iteración de punto fijo.
Si la ecuación por resolver, 0)(xf se puede escribir en la forma:
1)( xgx
Entonces se puede escribir un esquema iterativo en la forma:
2)( 1 nn xgx
Donde, n es el número de pasos de iteración y 0x es una estimación inicial. Este método de denomina
de sustituciones sucesivas o de iteración del punto fijo.
La ventaja de este método es su sencillez y la flexibilidad para escoger la forma de )(xg . Por otro lado,
tiene la desventaja de que la iteración no siempre converge para una forma de )(xg elegida
arbitrariamente. Si queremos asegurar la convergencia de la iteración, deberemos satisfacer la siguiente
condición:
31' xg
Puede verse que la convergencia es asintótica si 1'0 g , y oscilante si 0'1 g . En caso contrario,
la iteración diverge.
La rapidez de convergencia aumenta conforme 'g se aproxima a cero.
Teorema 1.- Supongamos que g es una función continua y que 0nnp es una sucesión generada por
iteración de punto fijo. Si PpLim nn
, entonces P es un punto fijo de )(xg .
Teorema2.- Supongamos que ],[ baCg .
i) Si la imagen de la aplicación )(xgy verifica que ],[ bay para cada punto
],[ bax , entonces g tiene un punto fijo en ],[ ba .
ii) Supongamos, además, que )(' xg está definida en ba ; y que
baxxg ;;1)(' , entonces g tiene un único punto fijo P en ];[ ba .
Teorema3.- (Teorema del punto fijo) Supongamos que:
i) ];['; baCgg
ii) K es una constante positiva 0K
iii) bap ;0
iv) ];[;];[)( baxbaCxg
Entonces hay un punto fijo P de g en ];[ ba .
1) Si ],[;1)(' baxKxg , entonces P es el único punto fijo de g en ];[ ba y la iteración
)( 1nn pgp converge a dicho punto P .
En este caso, se dice que P es un punto atractivo.
2) PpyPg 0;1)(' entonces la iteración )( 1nn pgp no converge a P . En este caso, se
dice que P es un punto fijo repulsivo y la iteración presenta divergencia local.
Interpretación gráfica de la iteración de Punto fijo
a) Convergencia monótona cuando 1)('0 Pg
b) Convergencia monótona cuando 0)('1 Pg
1p P 2p
0p
);( 11 pp )(; 00 pgp
)(xgy
xy
X
Y
P
0
1p
P 2p
0p
);( 11 pp
)(; 00 pgp )(xgy
xy
X
Y
P
0
c) Divergencia monótona si )('1 Pg
d) Divergencia oscilante 1)(' Pg ojo el grafico
ALGORITMO DEL MÉTODO DE PUNTO FIJO
Punto Fijo
repeat
xx0 ;
)( 0xGx
until Errorxx 21
retorno raíz es x
end Punto Fijo
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
%Programa del punto fijo para hallar ceros de 3)()( 2xxCosxf
%PROGRAMA DE PUNTO FIJO
function puntofijo
nombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)=','s');
1p
P 2p
0p
)(; 00 pgp
)(xgy xy
X
Y
P
0
1p
P
2p
0p
)(xgy
xy
x
y
P
0 3p
nombre_f=input(' Ingrese la función del punto fijo g(x)=','s');
x0=input(' ingrese el valor inicial xo= ');
fprintf ('\n');
fprintf (' it aprox g(x) error \n');
i=1; e=1;
while e>=3E-6 & i<=18
x=x0;
r=eval(nombre_f);
e=abs((r-x0)/r);
fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6f\n',i,x0,r,e);
x0=r;
i=i+1;
end
fprintf('La raíz es :%10.9f\n',x0);
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema: Hallar los ceros de la función 3)()( 2xxCosxf
PLOTEO DE LA CURVA )()(1 xCosxf ; 3)( 2
2 xxf
x=-3:0.05:3;
f1=cos(x);
f2=x.^2-3;
plot(x,f1,'k',x,f2,'b')
xlabel('EJE DE ABSCISAS')
ylabel('EJE DE ORDENADAS')
title('Gráficas f1=cos(x) ; f2=x.^2-3 ')
grid on
gtext('f1=cos(x)')
gtext('f2=x.^2-3')
------------------------------------------------------------------
COMPILACIÓN DEL PROGRAMA >> puntofijo
Ingrese la función asociada f(x)=cos(x)-x.^2+3
Ingrese la función del punto fijo g(x) = sqrt(3+cos(x))
ingrese el valor inicial xo = 1.5
Resultados:
it aprox g(x) error
1 1.500000 1.752352 0.144008
2 1.752352 1.679119 0.043614
3 1.679119 1.700556 0.012606
4 1.700556 1.694286 0.003700
5 1.694286 1.696120 0.001082
6 1.696120 1.695584 0.000317
7 1.695584 1.695741 0.000093
8 1.695741 1.695695 0.000027
9 1.695695 1.695708 0.000008
10 1.695708 1.695704 0.000002
La raíz es: 1,695704209
PRÁCTICA DIRIGIDA CON MATLAB EN EL LABORATORIO DE CÓMPUTO
I.-PRÁCTICA DIRIGIDA DE LABORATORIO CON “MATLAB”
Encuentre los ceros de las funciones utilizando el método de punto fijo para las siguientes funciones :
1) 223)( 235 xxxxf
2) ))(()( xSenCosxg
3) )15,0()( 2 xSenxx
4) )()( xCosxxx
5) 2)()( xxLnxf
6) xxCosxxf )()(
7) 23)( 2 xexxxf
8) 5)(xeexf
9) 2)(1
)(1)(
xLog
xLogxf
10) 4;32,9)()(10
xeTanxf xx
II.- TAREA
1.- La ecuación 0322 xx puede reformularse para el método del punto fijo como sigue:
a) 2
32xx
b) 32xx
c) x
xx
32ojo
d) )32).(2.0( 2 xxxx ojo
Las raíces de la ecuación son 3x y 1x . Determine gráficamente cuáles de las fórmulas anteriores
convergen cuando se utilizan para encontrar la raíz 1x por el método del punto fijo. Repita el análisis
para la raíz 3x .
2.- Investigue la naturaleza de la iteración de punto fijo cuando 2
2
144)( xxxg
a) Resuelva xxg )( y pruebe que 2P y 4P son puntos fijos.
b) Tome como valor inicial 9.10p y calcule 1p , 2p y 3p .
c) Tome como valor inicial 8.30p y calcule 1p , 2p y 3p .
d) Halle los errores absolutos kE y los errores relativos kR de los valores kp obtenidos en los ítens
apartados (b) y (c).
e) ¿Qué conclusiones pueden deducirse usando el teorema del punto fijo?
DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESÚS