metodo de separacion de variables
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7/31/2019 metodo de separacion de variables
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BRIANDA GPE. VILLANUEVA ESCOBARJOHANA JAZMIN GONZALES ORELLANA
YESENIA KARINA GOMEZ RAMIREZ
KIRBETH LOPEZ VELAZQUEZ
ING. NICOLAS AGUILAR VAZQUEZ
METODO DE VARIACIN DE PARMETRO DEECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES NO
HOMOGENEOS
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SE TRATAR DE ENCONTRAR LA SOLUCIN GENERALDE LA ECUACIN NO HOMOGNEA.
ay + by + cy = g(x) (1)
EN DONDE A, B Y C SON CONSTANTES Y G ESCONTINUA. CUALQUIER FUNCIN YP , QUE NOCONTIENE PARMETROS ARBITRARIOS Y QUESATISFACEN (1), SE LLAMA SOLUCIN PARTICULAR DELA ECUACIN.
Ejemplo:
YP = X3- X ES UNA SOLUCIN PARTICULAR
Y - Y'+ 6Y = 6X3 3X2 + 1
PUESTO QUE YP
= 3X2 -1, YP
= 6X, Y
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Y - Y +6Y = 6X (3X2 1) + 6(X3 -X) = 6X3- 3X2 +1
SOLUCIN GENERAL
EL PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LA ECUACIN NOHOMOGENEA (1) CONSTA DE DOS PASOS:
(I) RESOLVER LA ECUACIN HOMOGENEA ASOCIADA
ay + by + cy = 0
(II) Y LUEGO ENCONTRAR CUALQUIER SOLUCINPARTICULAR DE LA ECUACIN NO HOMOGENEA (1) LASUMA DE LAS SOLUCIONES OBTENIDAS EN (I) Y(II)CONSTITUYE LA SOLUCIN GENERAL DE (1)
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SEA YPUNA SOLUCIN DADA DE LA ECUACIN NO
HOMOGNEA (1), Y SEA
YC= C1 Y1(X) +C2 Y2(X)LA SOLUCIN GENERAL DE LA ECUACIN HOMOGNEAASOCIADA. ENTONCES, LA SOLUCIN GENERALDE LAECUACIN NO HOMOGENEA ES.
Y= C1Y1 (X) + C2Y2 (X) + YP(X) = YC(X) +YP(X)VARIACIN DE PARAMETROS
UNA DE LAS FORMAS MS POPULARES PARADETERMINAR UNA SOLUCIN PARTICULAR Y
P
DE
LA ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL (1) SECONOCE COMO MTODO DE VARIACIN DEPARMETROS. PARA APLICAR ESTE MTODO SEEXPRESAR (1) EN LA FORMA :
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Y + PY'+ QY = f(X) (2)DIVIDIENDO LA ECUACIN ENTRE a.
SUPONGASE QUE Y1 y Y2 SON SOLUCIONES LINEALMENTEINDEPENDIENTES DE LA ECUACIN HOMOGENEA ASOCIADAA (2) ES DECIR,
Y 1 +PY1+QY1=0 y Y2 +PY2+QY2=0
ES POSIBLE ENCONTRAR DOS FUNCIONES U1
Y U2
DE MODO
QUE
YP= U
1(X) Y
1(X) + U
2(X) Y
2(X) (3)
SEA UNA SOLUCIN PARTICULAR DE (2) ? OBSERVESE QUESE HA PROPUESTO QUE Y
PTIENE UNA FORMA SEMEJANTE A
YC= C
1Y
1+C
2Y
2, PERO QUE SE HA REEM PLAZADO C
1Y C
2POR
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POR LOS PARAMETROS VARIABLES U1
Y U2. APLICANDO LA
REGLA DEL PRODUCTO PARA DERIVAR YPSE OBTIENE
YP = U1 Y1 +Y1U1+U2Y2+Y2U2 (4)SI ADEMAS SE EXIGE QUE U
1Y U
2SEAN FUNCIONES PARA
Y1U
1+Y
2U
2= 0 (5)
ENTONCES (4) SE TRANSFORMA EN:
YP = U1 Y1 +U2Y2
CONTINUANDO, SE HALLA QUE:
YP= U
1Y
1+Y
1U
1+U
2Y
2+Y
2U
2
Y POR LO TANTO
YP+PY
P+QY
P= U
1Y
1+Y
1U
1+U
2Y
2+Y
2U
2+PU
1Y
1+PU
2Y
2+QU
1Y
1+QU
2Y
2=
U1[Y
1+PY
1+QY
1] +U
2[Y
2+PY
2+QY
2] + Y
1U
1+Y
2U
2= f(x)
CERO CERO
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EN OTRAS PALABRAS,U1Y U
2DEBEN SER FUNCIONES QUE
ADEMAS SATISFAGAN LA CONDICION.
Y1U
1+Y
2U
2= f(x) (6)
LAS ECUACIONES (5) Y (6) CONSTITUYEN UN SISTEMALINEAL DE ECUACIONES PARA LAS DERIVADA U
1Y U
2. ES
DECIR , SE DEBEN RESOLVER
Y1U1+Y2U2= 0
Y1U
1+Y
2U
2= f(x).
POR LA REGLA DE CRAMER* SE OBTIENE
0 Y2
f(x) Y2
Y1
Y2
Y1
Y2
U1=
Y1 0Y1
f(x)
Y1
Y2
Y1
Y'2
U2=
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EL DETERMINANTE SE LLAMA WROSKIANO Y SE
DENOTA USUALMENTE POR WEJEMPLO:
RESOLVER: 4y'' + 36y = csc 3x
SOLUCION: PRIMERO SE ESCRIBE LA ECUACION EN LA FORMA:
Y'' + 9Y = 1 CSC 3X
PUESTO QUE LAS RAICES DE LA ECUACION AUXILIAR m2 + 9 = 0 SONm
1=3iY m
2= -3iSE TIENE:
YC= C
1cos 3x + C
2sen 3x
W = cos 3x sen 3x-3sen 3x 3cos 3x
U1=
Y1
Y2
Y1
Y'2
4
= 3(sen 3x)(csc 3x)
3=
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U1=
(cos 3x)(csc 3x)
3=
12 sen 3x
1 cos 3xY
INTEGRANDO u'1 Y u'2 RESULTA
U1
= 12
1x Y U2=
36
1ln sen 3x
POR LO TANTO:
yP=
12
1x cos 3x +
36
1(sen 3x) ln sen 3x
EN CONSECUENCIA, LA SOLUCION GENERAL ES:
Y = yc
+ yp
= C1 cos 3x + C2 sen 3x 12
1
x cos 3x + 36
1
(sen 3x) ln sen 3x