Método del Trapecio

MÉTODOS NUMÉRICOS

Iván A. Caicedo

Historia Método del TrapecioLa integración es un concepto muy aplicado en las matemáticas avanzadas, en campos como el cálculo y el análisis numérico.  En el cálculo integral que es una de las ramas de las matemáticas, el proceso de integración o antiderivación es muy común en las ingenierías y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas, volúmenes de regiones y sólidos de revolución.Asimismo, su uso se remonta desde los inicios de la humanidad con el cálculo de las áreas de los terrenos  para el cultivo de los granos.Arquímedes fue uno de los primeros matemáticos en demostrar que el área de un círculo era menor que el área del polígono circunscrito y mayor que el área del polígono inscrito, utilizando el método de exhausción propuesto por Eudoxo.  El matemático determinó que cuando el número de lados del polígono de igual radio era un número muy grande, las áreas de ambos polígonos eran prácticamente iguales.  Arquímedes también utilizó este método de los polígonos crecientes y decrecientes  para demostrar que π era menor que 317 y mayor que 31071.

El Método

En los cursos de Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral definida de una función continua haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que dice que si f(x) es una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una antiderivada de f(x) entonces:

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)El problema en la práctica se presenta, cuando se nos hace imposible mediante métodos analíticos determinar la antiderivada requerida, aun cuando se trate de integrales aparentemente sencillas como ∫21x31+x√dx, que son imposibles de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.

En estos casos, debemos de recurrir a la integración numérica que permite obtener aproximaciones bastantes exactas y que se pueden resolver con el uso de asistentes matemáticos como Maxima, Derive, Mathematica, entre otros.En este módulo nos referiremos a la regla del trapecio y a la regla de Simpson.

Regla del Trapecio

La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración de  Newton – Cotes, para el caso cuando el polinomio interpolante es de grado uno.Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene:A=∫baf(x)dx≅∫baf1(x)dx, donde f1(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)Precisamente el área bajo la recta es una aproximación de la integral ∫baf(x)dx, es decir queA=∫ba[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)]dx. Luego se tiene que la regla del trapecio viene dada por la fórmula:A=∫baf(x)dx≈(b−a)[f(a)+f(b)2]

Regla del TrapecioEl nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una línea recta en el intervalo [a, b] que es el área del trapecio que se forma, como se muestra en la figura.

EjemploCalcular la integral de f(x)=x3−6x2+11x−6, en el intervalo [1.3, 1.8] aplicando la regla del trapecio.Solución•Con la ayuda de una calculadora, evaluar la función en los extremos del intervalo f(1.3)=0.357, f(1.8)=0.192•Calcular b−a=1.8−1.3=0.5•Aplicar la fórmula de la regla del trapecio A=∫1.81.3(x3−6x2+11x−6)dx≅0.5[0.357+0.1922]=0.13725En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función construida con el software libre Winplot.

Ejemplo

Cabe mencionar que el valor real de esta integral es aproximadamente 0.165375, como se muestra en la hoja de trabajo deDerive.